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Función Lineal.
Si f función polinomial de la forma o , donde y
son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o
sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función, y nos indica la intersección de
la función con el eje de las . Se utiliza el término lineal puesto que la gráfica de f
es una línea recta.
Análisis de la monotonía según la pendiente.
Si la pendiente es positiva es decir , la función es estrictamente
creciente.
Si la pendiente es negativa es decir , la función es estrictamente
decreciente.
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4
f x = 2 x+1
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4
f x = -3 x+2
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Si la pendiente es igual a cero es decir, , la función es constante.
Dados dos puntos , podemos obtener el valor de la pendiente
utilizando la siguiente fórmula:
Para calcular el valor de la intersección con el eje , se aplica la fórmula:
Ejemplo.
1. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos .
Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto
anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la recta es .
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4
f x = 1
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2. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos .
Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto
anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la recta es .
Práctica
Función lineal
143. La función dada por con es
A. biyectiva
B. constante
C. estrictamente creciente
D. estrictamente decreciente
144. Si es una función tal que y , entonces
la función es
A. identidad
B. creciente
C. constante
D. decreciente
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145. Si es una función lineal con y se cumple que es
una , , entonces el criterio de es
A.
B.
C.
D.
146. La ecuación de la recta que pasa por los puntos corresponde
a
A.
B.
C.
D.
147. El criterio de la función lineal a la que pertenecen los puntos
es
A.
B.
C.
D.
148. La ecuación de una recta que contiene los puntos es
A.
B.
C.
D.
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149. La ecuación de la recta que contiene al punto e interseca al eje “y” en
corresponde a
A.
B.
C.
D.
150. Si es una función lineal con y entonces la
función es el valor de es
A. B. C. D.
151. La recta que interseca el eje y en y el eje x en es
A.
B.
C.
D.
152. Si es una función lineal tal que y , entonces el criterio
de es
A.
B.
C.
D.
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153. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f”, ¿Cuál es la
pendiente de la recta?
A.
B.
C.
D.
154. De acuerdo con los datos de la grafica, el criterio de la función “g”
corresponde a
A.
B.
C.
D.
155. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal ,
entonces la función se clasifica como:
A. Identidad
B. Creciente
C. Constante
D. Decreciente
156. Si es una función creciente entonces se cumple con
certeza que k pertenece al conjunto
A.
B.
C.
D.
2 3
g
x
y
1
1
2 g
x
y
-2
1
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157. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”.
De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f
I. El ámbito de f es R
II. La gráfica de f interseca al eje “y” en 0,2
III. f es estrictamente creciente
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
A. Solo la I y la II
B. Solo la I y la III
C. Solo la II y la III
D. La I, la II y la III
158. El criterio de una función lineal “f”, a cuyo grafico pertenecen los puntos
es
A.
B.
C.
D.
159. Si es una función tal que y entonces se cumple que:
A.
B.
C.
D.
2 3
f
x
y
1
-1
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160. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”.
De acuerdo con los datos de la grafica dada, de las funciones , ¿Cuál es
con certeza, estrictamente creciente?
A.
B.
C.
D.
161. Considere la siguiente gráfica de la función lineal.
De acuerdo con los datos de la grafica dada, la pendiente de la recta de la función
equivalente a
A.
B.
C.
D.
1
h
g
y
4
2
f
x
2
-2
m
1
y
x
b
a
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162. Si pertenecen al grafico de una función lineal f , considere
las siguientes proposiciones.
I. f es estrictamente creciente.
II. El ámbito de f es
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A. Ambas
B. Ninguna
C. Solo la I
D. Solo la II
163. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal ,
entonces la función se clasifica como:
A. Identidad
B. Creciente
C. Constante
D. Decreciente
164. Para que la función sea creciente se debe cumplir que:
A.
B.
C.
D.
165. Si y , ¿Cuál es el valor de b?
A.
B.
C.
D.
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166. Para que la función , sea decreciente se debe cumplir
que:
A.
B.
C.
D.
167. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos
?
A.
B.
C.
D.
168. Si es una función tal que y entonces
es:
A. Identidad
B. Creciente
C. Decreciente
D. Constante
169. Si ¿Cuál es el valor de ?
A.
B.
C.
D.
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y
x
-4
2
170. ¿Cuál es el criterio de la función lineal descrita por la siguiente gráfica?
A.
B.
C.
D.
171. Si es una función lineal y pertenecen a la función,
entonces es
A. Identidad
B. Constante
C. Decreciente
D. Creciente
172. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por
pendiente a -3 es la siguiente:
A.
B.
C.
D.
173. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal ,
entonces la función se clasifica como:
A. Identidad
B. Creciente
C. Constante
D. Decreciente
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174. Para que la función sea decreciente se debe cumplir que:
A.
B.
C.
D.
175. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por pendiente
a es la siguiente:
A.
B.
C.
D.
176. Si y , ¿Cuál es el valor de b?
A.
B. 17
C.
D.
177. Para que la función , sea creciente se debe cumplir
que:
A.
B.
C.
D.
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178. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos
?
A.
B.
C.
D.
179. Si ¿Cuál es el valor de m?
A.
B.
C.
D.
Intersecciones con los Ejes
1. Intersección con el eje y
Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que
tenga a la es decir la variable independiente por cero y despejar a , en
la ecuación que nos queda.
Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma , bastara con
tomar el par ordenado .
Ejemplos.
1. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por
.
Iniciamos eliminando el término que aporta la variable independiente y
resolvemos la ecuación que nos queda planteada.
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Por lo tanto la intersección con el eje de las , viene dada por el par
ordenado .
2. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por
.
Notemos que la función dada es de la forma , donde el valor de la
constante corresponde a -8.
Por lo tanto la intersección con el eje de las , viene dada por el par
ordenado .
Intersección con el eje x
Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que
tenga a la es decir la variable dependiente por cero y despejar a , en la
ecuación que nos queda.
Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma , bastara con
tomar el par ordenado .
Ejemplos.
1. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por
.
Iniciamos eliminando el término que aporta la variable dependiente y
resolvemos la ecuación que nos queda planteada.
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136
Por lo tanto la intersección con el eje de las , viene dada por el par
ordenado .
2. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por
.
Notemos que la función dada es de la forma , donde el valor de la
constante corresponde a y el valor de la constante corresponde a .
Entonces
Por lo tanto la intersección con el eje de las , viene dada por el par
ordenado .
Práctica
Intersecciones.
180. La gráfica de la función dada por , interseca al eje “ ” en
A.
B.
C.
D.
181. Los puntos de intersección con los ejes de la recta dada por , son
A.
B.
C.
D.
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182. Si la pendiente de una recta es y el punto , pertenece a ella, entonces
dicha recta interseca al eje en el punto
A.
B.
C.
D.
183. La gráfica de la función dada por , interseca al eje “x” en el punto
A.
B.
C.
D.
184. Si la pendiente de una recta es y el punto , pertenece a ella, entonces
dicha recta interseca al eje en el punto
A.
B.
C.
D.
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138
185. El punto de intersección de la recta definida por con el eje “ ”
corresponde a
A.
B.
C.
D.
Rectas Paralelas y Perpendiculares
Rectas paralelas
Dos o más rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran paralelas si y solo si
sus pendientes poseen el mismo valor, gráficamente dos rectas paralelas nunca se
intersecan. En otras palabras si es de la forma y es de la forma
y entonces podemos afirmar que .
El símbolo significa “paralelo o paralela a”.
Ejemplo.
1. Determine si las rectas definidas por y
son paralelas.
Para determinar si las rectas son paralelas debemos conocer el valor
respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones
dadas a ecuaciones de la forma .
a.
Por lo que
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b.
Por lo que
Entonces ambas rectas son paralelas pues
Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es paralela a la
recta dada por
Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.
4
2
-2
-4
-5 5
g x = 3 x-3
f x = 3 x+4
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140
De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos
indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser , pues
como conocíamos inicialmente que ambas rectas son paralelas.
Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje .
Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es .
Rectas perpendiculares
Dos rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran perpendiculares si y solo
si el producto de sus pendientes es igual a , gráficamente dos rectas
perpendiculares se intersecan formando entre si un ángulo de . En otras palabras
si es de la forma y es de la forma y
entonces podemos afirmar que .
Además, si tenemos la podemos encontrar la con la formula:
Ejemplo.
1. Determine si las rectas definidas por y son
perpendiculares.
Para determinar si las rectas son perpendiculares debemos conocer el valor
respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones
dadas a ecuaciones de la forma .
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a.
Por lo que
b.
Por lo que
Entonces ambas rectas son perpendiculares pues , veamos
Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.
4
2
-2
-4
-5 5
g x = -x-1
4
f x = 4 x+2
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2. Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es perpendicular
a la recta dada por
Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.
De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos
indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser , pues
como conocíamos inicialmente que ambas rectas son perpendiculares.
Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje .
Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es
Intersección entre dos Rectas
Por conocimientos previos sabemos que la intersección de dos rectas es un punto, el
cual obtenemos al calcular la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas. Esta solución corresponde a un par ordenado de la forma , el cual
se puede encontrar por los métodos estudiados en la parte de algebra recordemos
entre ellos; el de reducción, igualación, entre otros.
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143
Ejemplo.
1. Determine el punto de intersección para las rectas dadas por
y
Resolveremos el sistema utilizando el método de reducción
Tomemos el siguiente sistema
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema
Por lo tanto y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuación
del sistema obtenemos que el valor de es . Lo que nos indica que el punto de intersección de las rectas es
Gráficamente tenemos:
6
4
2
-2
-5 5 10
A: (3,00, 1,00)
g x = 5 x-14
f x = 3 x-8
A
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144
Práctica
Rectas Paralelas y Perpendiculares
186. Una recta paralela a la recta dada por corresponde a
A.
B.
C.
D.
187. La pendiente de una recta paralela con la ecuación es
A.
B.
C.
D.
188. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es
A.
B.
C.
D. +
189. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es
A. +
B.
C.
D. +7
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145
190. Si los puntos pertenecen a la recta l entonces la pendiente de una
recta perpendicular a la “l” es
A.
B.
C.
D.
191. La ecuación de una recta que contiene el punto y es perpendicular a la
recta dada por está dada por
A.
B.
C.
D.
192. Una ecuación de la recta a la que pertenece el punto y es
perpendicular a la recta dada por es
A.
B.
C.
D.
193. La ecuación de una recta perpendicular a la recta y que
contiene al punto es
A.
B.
C.
D.
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146
194. Considere la siguiente gráfica.
De acuerdo con los datos de la grafica dada, si l1 ll l2, entonces la pendiente de l1 es
A. B. C. D.
195. Considere la siguiente gráfica.
De acuerdo con los datos de la grafica dada, si la recta l2 esta dada por
¿Cuál es el punto de intersección de las rectas ?
A.
B.
C.
D.
l1
l2
y
2
x
2
4
l1
l2
y
-3
x
2
4
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147
196. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto , si la ecuación de
una de las recta es entonces la ecuación de la otra recta es
A.
B.
C.
D.
197. Una ecuación de la recta que contiene el punto y es paralela a la recta
es
A.
B.
C.
D.
198. El valor de para que la recta sea paralela a la recta
es
A.
B.
C.
D.
199. Considere la siguiente gráfica adjunta, si entonces la ecuación que
define a la recta es
A.
B.
C.
D.
-1 3
l1
l2
y
-6
x 1
2
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148
200. Las rectas definidas por y son paralelas
entonces el valor de es igual a
A.
B.
C.
D.
201. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica, la
ecuación de una recta perpendicular a la recta es
A.
B.
C.
D.
202. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, ¿Cuál es una ecuación que
define a la recta l
A.
B.
C.
D.
-1
3
1 2
l y
2
x
1
2 4
l
y
2
x
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149
203. Analice las pendientes de las siguientes de rectas.
I.
II.
III.
De estas rectas ¿cuales son perpendiculares a la recta ?
A. Todas
B. Ningunas
C. Solo la II y III
D. Solo la I y II
204. Sean funciones lineales paralelas. Si
entonces podemos afirmar que:
A.
B.
C.
D.
205. Si las funciones y representan rectas
paralelas, entonces el valor de k es:
A. B. C. D.
206. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a
la recta de que pasa por los puntos
A.
B.
C.
D.
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150
207. De las rectas y se puede afirmar que:
A. Son paralelas
B. Son perpendiculares
C. Son paralelas a la recta
D. Son perpendiculares a la recta
208. Si ¿Cuáles de ellas son
perpendiculares?
A.
B.
C. D. Ninguna
209. Para las funciones el valor de en la
intersección de ambas es:
A. 4
B. -4
C.
D.
210. En la siguiente figura están representadas las graficas de dos funciones lineales
perpendiculares. El criterio f es:
A.
B.
C.
D.
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151
211. Sean funciones lineales de paralelas. Si
entonces podemos afirmar que:
A.
B.
C.
D.
212. Si las funciones representan
rectas paralelas, entonces el valor de k es:
A. B. C. D.
213. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a
la recta de que pasa por los puntos
A.
B.
C.
D.
214. Si ¿Cuáles de ellas son
perpendiculares?
A.
B.
C.
D. Ninguna
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152
215. Dada la siguiente grafica.
¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje y en ?
A. + 2
B. + 4
C.
D. + 1
216. De las rectas y se puede afirmar que:
A. Son paralelas
B. Son perpendiculares
C. Son paralelas a la recta
D. Son perpendiculares a la recta
217. Halle la ecuación de la recta que pasa por (-1,5) y es perpendicular a la recta
.
A. + 7 = 0
B. 3 x — 2 y — 7 0
C. 3 x — 2 y + 13 = 0
D. 2 x + 3 y + 17 = 0
4 x
y
-3
2
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153
218. Analice las pendientes de las siguientes de rectas.
I.
II.
III.
De estas rectas ¿cuales son paralelas a la recta ?
A. Todas
B. Ningunas
C. Solo la II y III
D. Solo la I y II
219. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a , pasa por ?
A.
B.
C.
D.
220. La recta que pasa por es perpendicular a la está representada
por la ecuación:
A.
B.
C.
D.
221. Las rectas dadas por se intersecan en el punto:
A.
B.
C.
D.
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154
222. Las rectas definidas por se intersecan en el
punto:
A.
B.
C.
D.
223. Considere las siguientes ecuaciones, correspondientes a dos rectas.
¿Cuál es el punto de intersección de esas rectas?
A.
B.
C.
D.
Función Inversa
Si es una función tal que define al dominio de la función y define al
codominio de la función, y además se considera una función biyectiva, es decir
donde el codominio y el ámbito son iguales y que además todo elemento del ámbito
se relaciona únicamente con un elemento del dominio. Entonces se define a la
inversa de como la función que relaciona los elementos de ámbito de con los
elementos del dominio de .
La inversa de una función se denota por , , .
Si entonces .
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155
Ejemplos.
1. Si es una función biyectiva, denota la función inversa de .
Si entonces .
Por otra parte:
Si entonces
Si entonces
Si entonces
Por lo que el gráfico de una función y el de su inversa corresponden a
y
2. Si es una función lineal biyectiva y son elementos de f
entonces determine la ecuación de la inversa de .
3
12
f
3
12
1f
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156
Como nos indica el ejercicio los pares ordenados pertenecen al grafico de la
función por lo que inicialmente los convertiremos a pares de la inversa.
Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.
Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto
anterior, y cualquiera de los puntos dados.
Por lo tanto la ecuación de la inversa es .
3. Si es biyectiva tal que , entonces calcule el valor de .
En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que
calculemos la imagen la inversa. En este caso el elemento representa a una
imagen de la función, por lo cual basta con igualar la ecuación de a .
Por lo tanto .
4. Si es una función biyectiva tal que , entonces determine el
criterio de la inversa.
En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que
calculemos el criterio de la inversa.
Platearemos inicialmente la ecuación de la función de la siguiente forma:
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157
Como sabemos la función inversa plantea una relación entre el ámbito por
esto es válido intercambiar la variable dependiente con la independiente.
Y finalmente despejamos la variable independiente.
Por lo tanto el criterio de la inversa es .
Práctica
224. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal
entonces la pendiente de corresponde a
A.
B.
C.
D.
225. Si es una función dada por , la pendiente de la gráfica de la función
inversa de es
A.
B.
C.
D.
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158
226. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal
entonces el criterio de la función inversa de es
A.
B.
C.
D.
227. Si es una función biyectiva con dominio R , entonces el criterio
de es
A.
B.
C.
D.
228. Si entonces la función inversa de corresponde a
A.
B.
C.
D.
229. Si es una función y entonces la función inversa de es
A.
B.
C.
D.
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159
230. Si entonces la preimagen de en corresponde a
A.
B.
C.
D.
231. Si y es la inversa de entonces corresponde a
A.
B.
C.
D.
232. Si es una función dada por entonces
corresponde a
A. 6
B.
C.
D.
233. Si es una función dada por entonces es
A.
B.
C.
D.
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160
234. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de , se puede
afirmar que
A.
B.
C.
D.
235. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de , ¿Cuál es el
criterio de la función inversa?
A.
B.
C.
D.
236. Si los puntos pertenecen al grafico de la función
entonces la pendiente de corresponde a:
A.
B.
C.
D.
237. Si es una función biyectiva tal que ; entonces es igual
a:
A.
B.
C.
D.
2
1f
x
y
3
1
4 f
x
y
2
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161
238. Si es biyectiva, entonces la inversa de la función esta dad por:
A.
B.
C.
D.
239. Si la función f es biyectiva tal que , entonces es igual a:
A.
B.
C.
D.
240. Si los puntos pertenecen al grafico de f , entonces la pendiente
de es :
A.
B.
C.
D.
241. Si entonces la pendiente de es igual a:
A.
B.
C.
D.
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162
242. La inversa de la función dada por , corresponde a:
A.
B.
C.
D.
243. Si la función f es biyectiva tal que , entonces es igual
a:
A. B. C. D.
244. Si los puntos pertenecen al grafico de f , entonces la el
criterio de es :
A.
B.
C.
D.
245. Si es una función lineal tal que y entonces el
criterio de es:
A.
B.
C.
D.
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163
3
y
x
-3
y
x
246. La función inversa de está dada por:
A.
B.
C.
D. a
247. Si la función f es biyectiva tal que , entonces la grafica de
es:
A. B.
C. D.
y
x
3
y
x
-3
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164
248. Si , entonces la preimagen de – en corresponde a:
A.
B.
C.
D.
249. Si , entonces la preimagen de – en corresponde a:
A.
B.
C.
D.
250. Si los puntos y pertenecen al gráfico de una función lineal f
entonces la pendiente de corresponde a:
A.
B.
C.
D.
251. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal f,
entonces:
A.
B.
C.
D.
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165
252. Si , entonces )1(1f es igual a:
A.
B.
C.
D.
253. Si f es una función lineal tal que , entonces:
A.
B.
C.
D.
Función Cuadrática
Si f función polinomial de la forma , con constantes
reales y , se considera una función cuadrática. Se utiliza el término cuadrática
pues la variable independiente de mayor exponente se encuentra elevada al cuadrado.
Gráficamente una función cuadrática dibuja a una parábola.
Al realizar el estudio de una función cuadrática debemos considerar sus diferentes
características, las cuales analizaremos a continuación.
Concavidad.
Esta característica define la forma en que la grafica de la función abrirá, esta forma
quedara establecida por el valor de la constante . Por lo cual si el valor de es
positivo, la grafica de la función será cóncava hacia arriba es decir que abrirá hacia
arriba y si el valor de es negativo la gráfica de la función será cóncava hacia abajo
es decir que abrirá hacia abajo.
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166
Veamos esto gráficamente.
a. Si es positivo es decir .
Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia arriba.
b. Si es negativo es decir .
Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia abajo.
6
4
2
-2
-5 5
f x = 2 x2+5 x+3
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6 -4 -2 2 4 6
f x = -3 x2+5 x -2
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167
Discriminante.
Un valor indispensable en el estudio de la función cuadrática es el discriminante,
pues con este valor podemos enterarnos en cuantas ocasiones interseca la grafica de
la función al eje , además que forma parte en el cálculo de el vértice de la
función valor que estudiaremos mas adelante, el discriminante se define por la
fórmula:
Intersección con los ejes.
Intersección eje .
Para realizar el cálculo de la intersección o las intersecciones de una función
cuadrática con el eje , resolvemos la ecuación , donde el
valor de las soluciones de la misma serán las intersecciones con el eje.
Si analizamos el valor del discriminante tenemos que:
a. Si la función intersecará al eje es dos ocasiones.
b. Si la función intersecará al eje en una ocasión.
c. Si la función no intersecará al eje.
Ejemplos.
1.
Identificamos los valores de las constantes
Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en dos
ocasiones.
Las soluciones de la ecuación son y
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168
Por lo que las
Gráficamente se representa así:
2.
Identificamos los valores de las constantes
Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en una
ocasión.
La solución de la ecuación es 1
Por lo que la
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
f x = x2-x-6
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169
Gráficamente se representa así:
3.
Identificamos los valores de las constantes
Realizamos el cálculo del discriminante.
Por lo tanto lo que nos indica que la función no intersecará al eje.
Gráficamente se representa así:
6
4
2
-2
-5 5
f x = x2-2 x +1
6
4
2
-5 5
f x = x2+1
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170
Intersección eje .
Para conocer el par ordenado donde la función interseca al eje , basta
tomar .
Ejemplos.
1.
De aquí tenemos que , por lo que la intersección con es .
Vértice.
Se define al vértice como el par ordenado que representa al punto más bajo o al
punto mas alto en la gráfica de la función cuadrática, este comportamiento del
vértice quedara determinado por el valor de la constante .
De aquí que si el valor de es un número positivo, es decir la gráfica de la función
es cóncava hacia arriba, el vértice representa al punto mínimo de la función. Pero si
es un número negativo lo que significa que la gráfica de la función es cóncava
hacia abajo, el vértice representa al punto máximo de la función.
Para realizar el cálculo del vértice utilizamos la siguiente fórmula:
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
f x = x2-x-6
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171
Ejemplos.
1. Determine las coordenadas del vértice de la función .
Identificamos los valores de .
, ,
Realizamos el cálculo del discriminante.
Calculamos el valor de las coordenadas del vértice.
Esto nos indica que es el punto mínimo de la función puesto que el valor de .
Gráficamente se tendría que:
6
4
2
-2
-5 5
A: (2.01, -1.00)
f x = x2-4 x +3
A
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172
Eje de simetría.
Es la recta vertical definida por la coordenada del vértice, la cual nos divide la
gráfica de la función en dos partes iguales y la cual obtenemos con la fórmula:
Ejemplo.
Para la función , determine el eje de simetría.
Gráficamente se puede observar que divide a la grafica de la parábola en dos
partes iguales.
Dominio.
Recordemos que una función cuadrática es de tipo polinomial por lo que:
6
4
2
-2
-5 5 10
x =2
A: (2.01, -1.00)
f x = x2+-4 x+3
A
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173
Intervalos de monotonía y ámbito.
Para realizar el estudio de la monotonía y el ámbito, debemos dividir este estudio en
dos casos.
a. Si , es decir cóncava hacia arriba.
La grafica de la función será creciente en el intervalo
La grafica de la función será decreciente en el intervalo
El ámbito de la función será el intervalo
Ejemplo.
Para la función , determine loa monotonía y el ámbito.
Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.
y
6
4
2
-2
-5 5 10
x =2
A: (2.01, -1.00)
f x = x2+-4 x+3
A
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174
b. Si , es decir cóncava hacia abajo.
La grafica de la función será creciente en el intervalo
La grafica de la función será creciente en el intervalo
El ámbito de la función será el intervalo
Ejemplo.
Para la función , determine loa monotonía y el ámbito.
Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.
y
6
4
2
-2
-5 5 10
h y = 3
x = 3
A: (3.02, 4.00)
f x = -x2+6 x+-5A
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175
Práctica
254. Si la gráfica dada corresponde a la función cuadrática,
entonces se cumple que
A. y
B. y
C. y
D. y
255. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que se
cumple que
A. y c
B. y
C. y
D. y
256. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que
considere las siguientes proposiciones.
De ellas son Verdaderas.
A. Solo la I y la II
B. Solo la II y la III
C. Solo la I y la III
D. Solo la III
f
x
y
f
y
x
f
y
x
I. II. III.
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176
257. La gráfica de la función
interseca al eje en los puntos
A.
B.
C.
D.
258. La gráfica de la función interseca al eje en los puntos
A.
B.
C.
D.
259. La gráfica de la función interseca al eje en
A.
B.
C.
D.
260. La gráfica de la función interseca al eje en
A.
B.
C.
D.
261. La gráfica de la función dada por
A. No interseca al eje
B. No interseca al
C. Interseca al eje en dos puntos
D. Interseca al eje en dos puntos
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177
262. El eje de simetría de la función es la recta con ecuación
A.
B.
C.
D.
263. En la gráfica de la función dada por el vértice corresponde a
A.
B.
C.
D.
264. El Vértice de la función dada por es
A.
B.
C.
D.
265. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es
estrictamente creciente es
A.
B.
C.
D.
f
1
-1
x
y
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178
266. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es
estrictamente decreciente es
A.
B.
C.
D.
267. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que la función “ ” es
A. Creciente en
B. Creciente en
C. Decreciente en
D. Decreciente en
268. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es
estrictamente creciente es
A.
B.
C.
D.
3
f
6
-3
x
y
2
f
5
-3 x
y
-3
f 4
-1 x
y
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179
269. Para la función dada por considere las siguientes
proposiciones.
De ellas son Verdaderas.
A. Solo la I
B. Solo la II
C. Ambas
D. Ninguna
270. Un intervalo en donde la función dada por es decreciente
en
A.
B.
C.
D.
271. Un intervalo en el cual la función dada por
es estrictamente creciente es
A.
B.
C.
D.
I. es creciente en el intervalo
II. La gráfica de interseca al eje x en
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180
272. Un intervalo en el que la función es decreciente
corresponde a
A.
B.
C.
D.
273. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es
A.
B.
C.
D.
274. Dada la gráfica de la función “f” podemos afirmar que el ámbito o rango de “f”
es
A.
B.
C.
D.
1
f
2
-1
x
y
0
f
1
x
y
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181
275. El ámbito de la función con dominio corresponde a
A.
B.
C.
D.
276. Si , el ámbito de “ ” corresponde a
A.
B.
C.
D.
277. El ámbito de la función dada por corresponde a
A.
B.
C.
D.
278. Si “f” es una función dada por , entonces para todo
, se cumple que
A.
B.
C.
D.
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182
279. La función , con , es estrictamente decreciente para
toda que pertenezca al conjunto:
A.
B.
C.
D.
280. El conjunto de todas las imágenes de la función
es igual a:
A.
B.
C.
D.
281. El vértice de la parábola descrita por la función
es el par ordenado:
A.
B.
C.
D.
282. La grafica de la función interseca al eje de
las ordenadas en el punto:
A.
B.
C.
D.
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183
283. Si es el punto mínimo de la grafica de una función cuadrática de en
, entonces el ámbito de la función esta dado por:
A.
B.
C.
D.
284. La función — , es estrictamente creciente para toda
que pertenezca al siguiente conjunto:
A.
B.
C.
D.
285. La función , es estrictamente decreciente para
toda que pertenezca al conjunto:
A.
B.
C.
D.
286. El ámbito de la función — , es igual a:
A.
B.
C.
D.
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184
287. El ámbito de la función es igual a:
A.
B.
C.
D.
288. El ámbito de la función — — es igual a:
A.
B.
C.
D.
289. La función — — es positiva para toda
que pertenezca al conjunto:
A.
B.
C.
D.
290. Para la función f con — , se cumple que para toda
que pertenezca a:
A.
B.
C.
D.
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185
291. El vértice de la función — — — es el par
ordenado:
A.
B. —
C. —
D. —
292. El vértice de la función — es el par
ordenado:
A.
B.
C.
D. —
293. El vértice de la parábola dada por la función , es el par
ordenado:
A. —
B.
C. —
D. —
294. Si – es el vértice de la función – ,
entonces ¿cuál es el valor de ?
A.
B.
C.
D.
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186
295. El eje de simetría de la parábola dada por –
está dado por:
A.
B.
C.
D.
296. La gráfica de la función es cóncava hacia
arriba e interseca al eje x en dos puntos; entonces se cumple que:
A. –
B. –
C. –
D.
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187
Soluciones.
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
1 C 26 B 51 A 76 C
2 B 27 C 52 D 77 B
3 C 28 C 53 A 78 A
4 D 29 B 54 B 79 D
5 C 30 C 55 B 80 C
6 C 31 A 56 C 81 B
7 D 32 B 57 C 82 C
8 C 33 D 58 B 83 C
9 C 34 A 59 C 84 B
10 B 35 C 60 A 85 B
11 A 36 D 61 C 86 D
12 C 37 C 62 D 87 A
13 C 38 C 63 A 88 B
14 A 39 A 64 B 89 D
15 C 40 A 65 D 90 C
16 D 41 A 66 C 91 D
17 D 42 D 67 A 92 B
18 D 43 D 68 B 93 A
19 C 44 B 69 C 94 B
20 A 45 D 70 B 95 A
21 B 46 B 71 A 96 C
22 A 47 B 72 B 97 A
23 D 48 A 73 B 98 D
24 A 49 A 74 D 99 C
25 D 50 A 75 C 100 C
Colegio Universitario Boston Funciones
188
101 D 126 A 151 A 176 B
102 D 127 D 152 C 177 B
103 B 128 D 153 C 178 A
104 D 129 D 154 D 179 D
105 A 130 D 155 D 180 A
106 D 131 A 156 D 181 B
107 D 132 B 157 B 182 C
108 II 133 A 158 A 183 A
109 A 134 D 159 C 184 C
110 D 135 C 160 C 185 D
111 B 136 A 161 C 186 D
112 C 137 A 162 B 187 B
113 B 138 B 163 D 188 C
114 C 139 C 164 A 189 C
115 C 140 C 165 C 190 D
116 B 141 B 166 A 191 A
117 C 142 C 167 B 192 C
118 A 143 B 168 C 193 D
119 C 144 C 169 C 194 A
120 A 145 C 170 B 195 D
121 B 146 C 171 C 196 A
122 C 147 A 172 D 197 C
123 D 148 D 173 C 198 B
124 D 149 C 174 C 199 D
125 B 150 C 175 D 200 B
Colegio Universitario Boston Funciones
189
201 D 226 D 251 D 276 C
202 B 227 B 252 B 277 B
203 D 228 A 253 C 278 D
204 D 229 A 254 A 279 D
205 B 230 C 255 C 280 D
206 D 231 C 256 C 281 A
207 B 232 B 257 B 282 D
208 C 233 B 258 A 283 B
209 A 234 B 259 B 284 C
210 B 235 D 260 A 285 D
211 D 236 A 261 B 286 A
212 A 237 C 262 D 287 D
213 B 238 B 263 C 288 C
214 A 239 C 264 C 289 A
215 C 240 A 265 A 290 A
216 B 241 B 266 D 291 B
217 D 242 B 267 A 292 C
218 B 243 B 268 C 293 B
219 A 244 D 269 A 294 B
220 A 245 D 270 B 295 A
221 A 246 A 271 B 296 C
222 C 247 A 272 C 297
223 A 248 D 273 A 298
224 A 249 C 274 D 299
225 C 250 C 275 B 300