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Notas de

Matemática II

Instituto Balseiro

24 de marzo de 2009

Javier Fernandez

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Índice general

Prefacio iii

Capítulo 1. Series de Fourier 11. Introducción a las Series de Fourier 12. Series de Fourier (trigonométricas) 33. Series de Fourier (exponenciales) 114. Interpretación Algebraica 145. Apéndice - Teoremas de convergencia de la serie de Fourier 18

Capítulo 2. Funciones Especiales 231. Algunas funciones especiales 232. Ecuación de Bessel 28

Capítulo 3. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales 351. Generalidades 352. Notación 363. Algunas Ecuaciones Diferenciales 37

Capítulo 4. Ecuaciones de Primer Orden 391. Método de las curvas características 392. Datos iniciales 45

Capítulo 5. Ecuaciones de Segundo Orden 49

Capítulo 6. Ecuación de onda 551. Generalidades 552. Ecuación de onda en n = 1 553. Ecuación de onda en n > 1 66

Capítulo 7. La ecuación de Laplace 711. Generalidades 712. Nociones Básicas 723. Propiedades de las Funciones Armónicas 754. Regularización de funciones 795. Un Teorema de Existencia 846. Distribuciones 877. Función de Green (I) 898. Función de Green (II) ♦ 939. Autovalores y autofunciones del laplaciano 95

Capítulo 8. Ecuación del Calor 991. Generalidades 992. Principio del Máximo 1003. Solución Fundamental de la Ecuación del Calor 102

i

ii Índice general

Capítulo 9. Transformaciones Integrales 1051. Transformada de Fourier 1052. Transformada de Laplace 112

Bibliografía 121

Prefacio

Las siguientes son las notas de clase del curso de Matemática II dictado en el InstitutoBalseiro durante medio cuatrimestre en 2009. El estado actual de las notas es muy precario:en varios puntos están directamente incompletas y mucho del resto ha sido escasamentecorregido. También faltan las referencias bibliográficas en su casi totalidad. Este materialestá evolucionando aún.

El curso cubrirá distintos tópicos relacionados con las ecuaciones diferenciales en de-rivadas parciales. A grandes rasgos, se estudiarán las series de Fourier, algunas nocionesde funciones especiales, algunos métodos de resolución de ecuaciones de primer orden, lasecuaciones “clásicas” de segundo orden (ecuaciones de onda, de Laplace y del calor), paraterminar con una introducción a las transformaciones integrales (Fourier y Laplace).

En lo que sigue algunos comentarios marcados con “♦” pueden ser omitidos en unaprimera lectura.

Javier Fernandez24 de marzo de 2009

iii

Capítulo 1

Series de Fourier

1. Introducción a las Series de Fourier

Vamos a discutir la ecuación diferencial ∆u = 0 en el dominio (0, π) × (0, π) ⊂ R2.Más aún, queremos que las soluciones se anulen sobre los bordes superior, izquierdo yderecho del cuadrado considerado, mientras que sobre el borde inferior sea igual a algunafunción dada, que se anule en los extremos del segmento a fin de que la función en el bordesea continua (por ejemplo, u(x, 0) = x(π − x)). La notación habitual para este problemadiferencial es

∆u(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ (0, π) × (0, π)

u(0, y) = u(π, y) = 0, ∀y ∈ [0, π]

u(x, π) = 0 y u(x, 0) = g(x), ∀x ∈ [0, π].

(1.1)

Un método explícito de resolución usado frecuentemente es el llamado separación devariables y que consiste en buscar, en principio, soluciones u(x, y) en las que la dependenciade las variables sea de la forma

u(x, y) = X(x)Y (y), (1.2)

es decir que, de algún modo, las variables aparecen separadas. Normalmente no es deesperar que este tipo de solución resuelva el problema por completo, pero suele ser unpaso intermedio para hallar la solución completa.

Si se reemplaza (1.2) en ∆u = 0 se obtiene

X ′′(x)Y (y) +X(x)Y ′′(y) = 0 ⇒ X ′′(x)

X(x)= −Y

′′(y)

Y (y)

donde ′ denota a la derivada con respecto a la variable que corresponda. En particular,en la última expresión vemos que el lado izquierdo es función únicamente de la variable xmientras que el lado derecho lo es de la variable y. Siendo ambas variables independientes,la única posibilidad es que ambos lados sean constantes:

X ′′(x)

X(x)= −Y

′′(y)

Y (y)= λ, con λ ∈ R.

De aquí obtenemos dos ecuaciones ordinarias ; X ′′(x) − λX(x) = 0 y Y ′′(y) + λY (y) = 0.Notemos que estas ecuaciones involucran al parámetro desconocido λ.

Ahora bien, u satisface ciertas condiciones en la frontera. Por ejemplo, u(0, y) = 0para todo y. Entonces, X(0)Y (y) = 0 para todo y. Si X(0) 6= 0, sería Y (y) = 0 para todoy y u sería nula, cosa que no es compatible con una g no nula. Por lo tanto vemos que lasecuaciones ordinarias que encontramos traen asociadas ciertas condiciones de contorno:X(0) = 0 y, de un modo análogo, usando u(π, y) = 0 para todo y, X(π) = 0:

X ′′(x) − λX(x) = 0, con X(0) = X(π) = 0. (1.3)

Siendo esta una ecuación lineal ordinaria de coeficientes constantes, hay básicamente, trestipos de soluciones: exponenciales (λ > 0), funciones trigonométricas (λ < 0) y funcioneslineales (λ = 0).

1

2 1. SERIES DE FOURIER

λ > 0: el polinomio característico tiene dos raíces distintas ±√λ, con lo que

la solución general de la ecuación es X(x) = A exp(√λx) + B exp(−

√λx). Al

imponer las condiciones de contorno obtenemos 0 = A + B y 0 = A exp(√λπ) +

B exp(−√λπ), de donde se concluye fácil que A = B = 0, con lo que la única

solución es la nula.λ = 0, lleva a que X(x) = Ax + B y de las condiciones iniciales se deduce queA = B = 0 y nuevamente la única solución es la nula.λ < 0: las raíces son complejas y la solución es de la forma X(x) = A sin(

√−λx)+

B cos(√−λx). Evaluando en x = 0 se obtiene que B = 0. Por último, evaluando

en x = π sale 0 = sin(√−λπ), con lo que

√−λπ = kπ para algún k ∈ Z.

Del análisis de arriba vemos que, salvo que λ = −k2 para algún k ∈ Z la ecuación notiene otra solución que la nula. En el caso “de interés”, es decir donde hay solución nonula, X(x) = A sin(kx).

Volviendo a la ecuación para Y , tenemos: Y ′′(y) − k2Y (y) = 0, con lo que Y (y) =Aeky + Be−ky. De u(x, π) = 0 se deduce que 0 = Y (π) = A exp(kπ) + B exp(−kπ) dedonde B = −A exp(2kπ). Entonces la forma general es

Y (y) = A(exp(ky) − exp(2kπ) exp(−ky)) = A exp(kπ)(exp(k(y − π)) − exp(−k(y − π)))

= 2A exp(kπ) sinh(k(y − π)).

Todo junto,

u(x, y) = Ck sin(kx) sinh(k(y − π)) con k ∈ Z, Ck ∈ R, (1.4)

donde hemos absorbido varias constantes (que dependían de k) en la constante Ck.Revisemos: por construcción, (1.4) satisface la ecuación diferencial así como también

las condiciones de contorno nulas del problema. Sin embargo, salvo que g(x) tenga unaforma muy especial, la función (1.4) no se restringirá a g cuando y = 0.

Una condición “estructural” que no hemos usado es la linealidad de la ecuación ∆u = 0.Debido a esto podemos considerar no sólo soluciones de la forma (1.4) sino tambiéncombinaciones lineales suyas:

u(x, y) =

b∑

k=a

Ck sin(kx) sinh(k(y − π)).

Si bien esta expresión es más general que (1.4), aún no permite resolver el problema parauna función g suficientemente arbitraria. Una idea razonable parece ser considerar no sólosumas finitas sino sumas infinitas:

u(x, y) =

∞∑

k=1

Ck sin(kx) sinh(k(y − π)). (1.5)

Notamos que en esta última expresión sólo hemos usado k ∈ N mientras que habíamoshallado soluciones para k ∈ Z. Hacemos esto ya que, siendo el seno una función impar,las funciones sin(kt) y sin(−kt) son linealmente dependientes y no se pierde informaciónal considerar una combinación lineal que contenga a una sola de estas funciones.

Este último paso lleva a una cantidad de inconvenientes. Por ejemplo, mientras lasuma era finita, tomar derivadas conmutaba con la suma, lo que aseguraba que la funciónpropuesta era solución de la ecuación diferencial. Pero esto deja de ser cierto en generalpara series. La gran ventaja de las series es que permiten mucha más flexibilidad en el tipode funciones de contorno g que se pueden utilizar. Este último punto es, precisamente, elpunto de partida de nuestro estudio de las series de Fourier. El tipo de preguntas que nosinteresa responder es, por ejemplo, ¿bajo que condiciones puede ser escrita una función

2. SERIES DE FOURIER (TRIGONOMÉTRICAS) 3

como una combinación lineal (infinita) de funciones del tipo sin(kx)? ¿Qué tan buena esésta aproximación? ¿Permite la conmutación de límites con derivadas?

Entre la muy extensa bibliografía sobre series de Fourier sugerimos la lector consultarlos libros de M. Balanzat [2] y R. Churchill [3].

2. Series de Fourier (trigonométricas)

Vamos a considerar ahora una situación ligeramente más general: vamos a estudiar laposibilidad de escribir

f(t) = a0 +∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt)) (1.6)

para t ∈ [−π, π] y f : [−π, π] → R razonablemente arbitraria.Suponiendo que la representación (1.6) es válida, podemos usarla para hallar los cons-

tantes an, bn ∈ R. La clave es recordar las fórmulas siguientes, válidas para n,m ∈ Z:

0 =

∫ π

−π

sin(nt) cos(mt)dt, para todo n,m

πδn,m =

∫ π

−π

cos(nt) cos(mt)dt =

∫ π

−π

sin(nt) sin(mt)dt para todo m,n con m 6= 0.

(1.7)

Intercambiando sin preocuparnos (ya que esto es sólo heurístico)∫

con∑

tenemos:∫ π

−π

f(t) sin(kt)dt =

∫ π

−π

(a0 +

∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt))) sin(kt)dt

= a0

∫ π

−π

sin(kt)dt+

∞∑

n=1

(an

∫ π

−π

cos(nt) sin(kt)dt+ bn

∫ π

−π

sin(nt) sin(kt)dt)

= πbk,(1.8)

de donde

bk =1

π

∫ π

−π

f(t) sin(kt)dt (1.9)

Análogamente se ve que

ak =1

π

∫ π

−π

f(t) cos(kt)dt si k > 0 (1.10)

y

a0 =1

2π

∫ π

−π

f(t)dt. (1.11)

Definición 1.1. Dada f : [−π, π] → R se define su serie de Fourier como

a0 +∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt)) (1.12)

con los coeficientes an y bn dados por las fórmulas (1.9), (1.10) y (1.11).

Nota 1.2. Para poder calcular la serie de Fourier de f hace falta poder evaluar lasintegrales (1.9), (1.10) y (1.11). Éstas pueden ser calculadas si, por ejemplo, f es integrableen [−π, π]. Una condición muy común es que f sea continua a trozos (ver Definición 1.8),que implica que f es integrable.


Es importante tener en cuenta que aún cuando f es integrable y, por tanto, su seriede Fourier se puede calcular, esta serie no tiene por qué converger a f . Condiciones paraque esto ocurra serán estudiadas más adelante.

Nota 1.3. Es equivalente tener una función f : [−π, π) → R que tener una funciónf : R→ R periódica con período 2π.

En general, f tiene período 2T si vale f(x+ 2T ) = f(x) para todo x ∈ R. Es fácil verque si f es 2T periódica se tiene

∫ 2T

0

f(t)dt =

∫ a+2T

a

f(t)dt ∀a ∈ R(derivar el lado derecho respecto de a para concluir que su valor es independiente de a).De aquí que, por ejemplo, si f es 2π-periódica,

bk =1

π

∫ π

−π

f(t) sin(kt)dt =1

π

∫ 2π

0

f(t) sin(kt)dt.

Más en general se tiene

Definición 1.4. Dada f : R → R periódica con período 2T se define su serie deFourier como

a0 +∞∑

n=1

(an cos

(nπ

Tt)

+ bn sin(nπ

Tt))

con los coeficientes an y bn dados por las fórmulas:

a0 =1

2T

∫ T

−T

f(t)dt,

an =1

T

∫ T

−T

f(t) cos(nπ

Tt)dt si k > 0,

bn =1

T

∫ T

−T

f(t) sin(nπ

Tt)dt.

Usualmente, la notación

f(t) ∼ a0 +

∞∑

n=1

(an cos

(nπ

Tt)

+ bn sin(nπ

Tt))

significa que la serie del lado derecho es la serie de Fourier de la función f .

Nota 1.5. Cabe notar que la definición de coeficiente de Fourier puede aparecer, aveces, con algún cambio. Por ejemplo, algunos autores definen el coeficiente

a0 :=1

T

∫ T

−T

f(t)dt

que sigue la misma forma que los otros coeficientes an con n ∈ N. En este caso, larepresentación de la serie de Fourier asociada a f es

f(t) ∼ a0

2+

∞∑

n=1

(an cos

(nπ

Tt)

+ bn sin(nπ

Tt)).

En estas notas usaremos únicamente la Definición 1.4.


1.5

x

0.5

00

8

-0.5

4

1

-1

-1.5

62-2

Figura 1.1. Gráfico de f del Ejemplo 1.6

Ejemplo 1.6. Sea f la función 2π-periódica que vale f(t) = 12(π − t) si 0 < t ≤ 2π.

El gráfico de f se muestra en la Figura 1.1. Calculamos su serie de Fourier:

a0 =1

2π

∫ π

−π

f(t)dt = 0,

y

ak =1

π

∫ π

−π

f(t) cos(kt)dt = 0,

en ambos casos por tratarse de integrales de funciones impares sobre un dominio simétricorespecto del origen. Por otro lado,

bk =1

π

∫ π

−π

f(t) sin(kt)dt =1

π

∫ 2π

0

f(t) sin(kt)dt =1

2π

∫ 2π

0

(π − t) sin(kt)dt

=1

2π(

∫ 2π

0

π sin(kt)dt−∫ 2π

0

t sin(kt)dt) =1

2π(0 +

∫ 2π

0

td(cos(kt)

k))

=1

2π

((t

cos(kt)

k)

∣∣∣∣2π

0

−∫ 2π

0

cos(kt)

kdt

)=

1

k.

Por lo tanto

f(t) ∼∞∑

k=1

1

ksin(kt). (1.13)

La Figura 1.2 muestra como las distintas sumas parciales aproximan f .

Nota 1.7. La serie de Fourier de la función f del Ejemplo 1.6 converge a 0 para t = 0.Este valor coincide, no con f(0) sino con el promedio de los límites laterales de f en 0.

Se puede apreciar en la Figura 1.2 como la serie de Fourier parece converger a f(t) enlos puntos t donde f es continua.

Otra cosa que se puede apreciar en la Figura 1.2 es que cerca de las discontinuidades def aparecen “picos” en las distintas aproximaciones. Se nota que los picos se desplazan haciala discontinuidad a medida que la aproximación mejora pero, sin embargo, no disminuyensu altura. Este es un fenómeno general de la convergencia de la serie de Fourier de unafunción discontinua y se lo conoce como fenómeno de Gibbs.


1.5

0.5

0

-0.5

x

4

1

-1

62

-1.5

80-2

Figura 1.2. Gráfico de distintas sumas parciales de la serie de Fourier de f

Definición 1.8. Se dice que f es continua a trozos en [a, b] si los límites laterales

f(a+) := lımt→a+

f(t) y f(b−) := lımt→b−

f(t)

existen, son finitos y, además, f es continua en (a, b), salvo en, a lo sumo, finitos puntosen los cuales los límites laterales existen y son finitos. Se dice que f : R → R es continuaa trozos si lo es en cada intervalo [a, b]. Se dice que f es suave a trozos si f y f ′ soncontinuas a trozos.

Ejemplo 1.9. La función f del Ejemplo 1.6 es suave a trozos, g(t) := 1t

no es continuaa trozos y h(t) :=

√|t| es continua pero no es suave a trozos.

Teorema 1.10. Si f es periódica con período 2T , suave a trozos y

f ∼ a0 +

∞∑

n=1

(an cos(nπ

Tt) + bn sin(n

π

Tt)),

entonces vale

f(t+) + f(t−)

2= a0 +

∞∑

n=1

(an cos(nπ

Tt) + bn sin(n

π

Tt)) ∀t ∈ R.

En particular, si f es continua en t0 vale:

f(t0) = a0 +

∞∑

n=1

(an cos(nπ

Tt0) + bn sin(n

π

Tt0)).

Demostración. Ver Sección 5.1. �


Corolario 1.11. Si f y g son continuas, 2T -periódicas, suaves a trozos y tienen lamisma serie de Fourier, entonces son idénticas.

Teorema 1.12. Si f es 2T -periódica y suave a trozos, entonces la serie de Fourierde f converge a f uniformemente si y sólo si f es continua. Además, si f es continua, laconvergencia de su serie de Fourier asociada es absoluta.

Demostración. Ver Sección 5.2. �

Ejemplo 1.13. Se define la función 2π-periódica f que satisface

f(t) =

{π + t si − π ≤ t ≤ 0

π − t si 0 ≤ t ≤ π.

Se verifica que

f ∼ π

2+

4

π

∞∑

k=0

cos((2k + 1)t)

(2k + 1)2.

Dado que f es suave a trozos y continua, por el Teorema 1.10 sabemos que

f(t) =π

2+

4

π

∞∑

k=0

cos((2k + 1)t)

(2k + 1)2∀t ∈ R

(de hecho, la convergencia de la serie es uniforme por el Teorema 1.12). En particular,evaluando ambas expresiones en t = 0 se obtiene

π =π

2+

4

π

∞∑

k=0

1

(2k + 1)2,

de donde sale que

π2

8=

∞∑

k=0

1

(2k + 1)2.

Nota 1.14. Si f es una función par y 2T -periódica, todas las integrales∫ T

−Tf(t) sin(k π

Tt)dt

se anulan (por ser el integrando impar y el dominio de integración simétrico respecto de0). Por lo tanto, la serie de Fourier de f es una serie de cosenos. Del mismo modo, si f esimpar y 2T -periódica, su serie de Fourier es una serie de senos. En verdad, cuando f escontinua y suave a trozos, ambas observaciones son obviamente si y sólo si.

La Nota 1.14 resulta muy útil en la práctica, como muestra el ejemplo siguiente.

Ejemplo 1.15. En el contexto de la Sección 1, estamos interesados en escribir lafunción g(t) = t(π − t) como una serie de senos de modo que la descripción valga parat ∈ [0, π].

Una primera idea sería pensar a g como función π-periódica (ver Figura 3(a)) y hallarsu serie de Fourier. Sin embargo, al hacer esto, se obtiene una función par y, por lo tanto,su serie de Fourier es una serie de cosenos, que no es lo que se busca. Tomando en cuentaesta primera idea, otra posibilidad es extender g de manera impar al intervalo [−π, π] (verFigura 3(b)) y luego extenderla a todo R como función 2π-periódica. En este caso, al serla función impar, nos aseguramos que su serie de Fourier es una serie de senos. Entonces,

sea g la función 2π-periódica que satisface g(t) =

{g(t) si t ∈ [0, π]

−g(−t) si t ∈ [−π, 0]. Para hallar


0.4

5.0

0.0

−0.4

−0.8

−1.2

0.0

−1.6

−2.0

−2.4

−2.5−5.0 7.52.5 12.5

0.8

x

2.4

10.0

2.0

1.2

1.6

(a) periódica, con período π

0.4

5.0

0.0

−0.4

−0.8

−1.2

0.0

−1.6

−2.0

−2.4

−5.0 12.57.5

2.4

10.0

1.6

1.2

2.5−2.5

0.8

x

2.0

(b) impar en (−π, π), extendidacon período 2π

Figura 1.3. Posibles extensiones de g(t) = t(π − t)

el desarrollo de Fourier de g alcanza con calcular los coeficientes bk:

bk =1

π

∫ π

−π

g(t) sin(kt)dt =2

π

∫ π

0

g(t) sin(kt)dt =2

π

∫ π

0

g(t) sin(kt)dt

=2

π

∫ π

0

t(π − t) sin(kt)dt =2

π(

∫ π

0

πt sin(kt)dt−∫ π

0

t2 sin(kt)dt)

=2

π(−(−1)kπ2

k− 2

(−1)k

k3+

(−1)kπ2

k+ 2

1

k3) =

4

π

1 − (−1)k

k3.

Por lo tanto, bk = 0 si k es par y bk = 8πk3 si k es impar. Como g es suave a trozos y

continua vale que

g(t) =∞∑

j=0

8

π(2j + 1)3sin((2j + 1)t) ∀t ∈ [−π, π].

En particular,

t(π − t) =

∞∑

j=0

8

π(2j + 1)3sin((2j + 1)t) ∀t ∈ [0, π], (1.14)

con la serie convergiendo uniformemente.

Nota 1.16. En el Ejemplo 1.15 los coeficientes bk con k par son nulos. Esto estárelacionado con el hecho de que g es “par” respecto del punto medio de [0, π], es decir, π

2.

Ejercicio 1.17. Demostrar que la observación de la nota 1.16 es correcta y que seaplica a cualquier función g con la misma propiedad. Estudiar que ocurre si g es “impar”respecto del punto medio del intervalo.

Por último, vamos a usar la serie de Fourier calculada en el Ejemplo 1.15 para terminarde construir la solución del problema (1.1).

La separación de variables nos había llevado a proponer la forma (1.5) para la soluciónde (1.1). Resta determinar los valores de Ck para que u satisfaga la condición en el bordeinferior de la región. Para ser más concretos vamos a poner la condición de contornog(x) := x(π − x) allí, es decir, u(x, 0) = x(π − x). Usando (1.5) tenemos:

u(x, 0) =

∞∑

k=1

Ck sin(kx) sinh(−kπ) = x(π − x).


Tomando en cuenta (1.14) esta última ecuación dice que

Ck sinh(−kπ) =

{8

πk3 si k es impar

0 si k es par,

de donde, los valores de Ck no nulos son de la forma

C2j+1 =8

π(2j + 1)3 sinh(−(2j + 1)π),

con lo que la solución propuesta es

u(x, y) =

∞∑

j=0

8

π(2j + 1)3 sinh(−(2j + 1)π)sin((2j + 1)x) sinh((2j + 1)(y − π)). (1.15)

La Figura 4(a) muestra el gráfico de la función obtenida al truncar en el primer términola serie que define u. La misma Figura muestra el gráfico de la parábola correspondienteal valor en y = 0. La Figura 4(b) es similar pero incluye los dos primeros términos dela suma. En este caso no hay diferencia visible entre la aproximación y el valor dado eny = 0. La Figura 4(c) muestra el gráfico de la diferencia entre las dos aproximacionesanteriores (es decir, se grafica el término correspondiente a j = 1).

3

0.00.0

0.52

0.5

1.0

x

1.0

1.5

y

1.5

2.01

2.5

2.0

3.0

2.5

0

(a) N = 0

3

0.0

0.0

0.52

0.5

1.0

x

1.0

1.5

y

1.5

2.01

2.0

2.5

2.5

3.00

(b) N = 1

320.0

y

−0.05

0.5

0.0

0.05

1.0 1

x

1.5 2.0 2.5 3.0 0

(c) diferencia

Figura 1.4. Sumas parciales de la función u definida por (1.15)


Ahora bien, como mencionamos en la Sección 1, hay que verificar que (1.15) sea so-lución de la ecuación diferencial ya que, si bien cada sumando lo es, al haber una sumainfinita, no es obvio que se puedan intercambiar sumas y derivadas. Para poder ver esto,comenzamos por recordar un resultado de Análisis I.

Teorema 1.18. Sean sn : (a, b) → R una sucesión de funciones C1(a, b) que convergeuniformemente a la función s. Si lımn→∞ s′n(x) existe uniformemente para todo x ∈ (a, b),entonces s es diferenciable en (a, b) y s′(x) = lımn→∞ s′n(x)

Definimos

sn(x, y) :=

n∑

j=0

8

π(2j + 1)3 sinh(−(2j + 1)π)sin((2j + 1)x) sinh((2j + 1)(y − π)). (1.16)

Es claro que, siendo la suma finita, sn es C∞. Veamos que la convergencia es uniforme.Para esto vamos a ver que la sucesión es uniformemente de Cauchy: es decir que las colasde la serie están uniformemente acotadas. Para y ∈ (0, π) fijo tenemos, para k = 2j + 1,

sinh(k(y − π))

sinh(−kπ)=ek(y−π) − e−k(y−π)

e−kπ − ekπ=ek(y−2π) − e−ky

e−2kπ − 1= e−ky e

2k(y−π) − 1

e−2kπ − 1

≤ e−ky 1

1 − e−2π= Me−ky

para M = 11−e−2π . Entonces, suponiendo que n ≥ m,

|sn(x, y) − sm(x, y)|

=

∣∣∣∣n∑

j=m+1

8

π(2j + 1)3 sinh(−(2j + 1)π)sin((2j + 1)x) sinh((2j + 1)(y − π))

∣∣∣∣

≤n∑

j=m+1

8

π(2j + 1)3| sin((2j + 1)x)|

∣∣∣∣sinh((2j + 1)(y − π))

sinh(−(2j + 1)π)

∣∣∣∣

≤n∑

j=m+1

8

πMe−(2j+1)y =

8M

eyπ

n∑

j=m+1

(1

e2y)j ≤ 8M

eyπ

∞∑

j=m+1

(1

e2y)j .

Siendo y > 0, esta última expresión es la cola de una serie geométrica convergente (eindependiente de x), por lo que dicha cola puede ser hecha arbitrariamente pequeña, uni-formemente en x, para n y m suficientemente grandes. Por lo tanto, lo mismo vale paralas colas de las sn. Luego, sn(x, y) converge uniformemente (para y fijo). Con argumentossimilares se ve que ∂

∂xsn(x, y) también converge uniformemente para y fijo. Por el Teore-

ma 1.18 se puede intercambiar ∂∂x

con la sumatoria. Reiterando el razonamiento se puedever que lo mismo vale para ∂2

∂x2 . Razonamientos paralelos para x fijo permiten ver que ∂2

∂y2

también se puede intercambiar con la sumatoria. En conclusión, ∆ entra en la sumatoriay, siendo cada sumando una función armónica, se concluye que ∆u = 0 en (0, π)× (0, π).

Ejercicio 1.19. Completar el razonamiento anterior para mostrar que

∆u(x, y) = lımn→∞

∆sn(x, y) = 0

para todo (x, y) ∈ (0, π) × (0, π), donde u está definida por (1.15) y sn por (1.16).

Nota 1.20. Los Teoremas 1.10 y 1.12 permiten recuperar el valor en cada punto deuna función continua a partir de su serie de Fourier, siempre que la función sea, además,suave a trozos. Esta última condición puede ser relajada si lo que se permite que la frase “a

3. SERIES DE FOURIER (EXPONENCIALES) 11

partir de su serie de Fourier” tome un sentido más amplio que el de pedir la convergenciapuntual de la serie al valor de la función en cada punto. Por ejemplo, un resultado clásicodice que si sn es una sucesión que converge a s, entonces la sucesión cn := 1

n(c1 + · · ·+ cn)

–conocida como suma Cesàro de sn– también converge a s. Lo interesante es que cn puedeser convergente aún en casos en que sn no lo es, como por ejemplo cuando sn := (−1)n,en cuyo caso cn = −1−(−1)n

ntiende a 0. Si se aplica esta idea al caso en que sn es la suma

parcial de la serie de Fourier de f en t, es un resultado de L. Fejér que la sucesión cnasociada converge a 1

2(f(t+)+f(t−)) con la única hipótesis de que f sea continua a trozos.

En particular, si f es continua, las sumas Cesàro de su serie de Fourier convergen al valorde la función en cada punto.

3. Series de Fourier (exponenciales)

3.1. Definiciones. Usando las expresiones

sin(t) =eit − e−it

2iy cos(t) =

eit + e−it

2

se puede reescribir una serie de Fourier (1.12) en términos de exponenciales complejas:

a0 +

∞∑

k=1

(ak cos(kt) + bk sin(kt)) = a0e0t +

∞∑

k=1

(akeikt + e−ikt

2+ bk

eikt − e−ikt

2i)

= a0e0t +

∞∑

k=1

(ak − ibk

2eikt +

ak + ibk2

e−ikt)

=

∞∑

k=−∞cke

ikt,

(1.17)

donde

ck :=

ak−ibk

2si k > 0

a0 si k = 0a−k+ib−k

2si k < 0.

Notamos que los ck tienen una simetría: c−k = ck para todo k ∈ Z. Es claro que esteproceso se puede revertir mostrando que hay una equivalencia entre las series de Fouriertrigonométricas y exponenciales (que satisfacen la condición de simetría mencionada).

Más en general, es posible obtener desarrollos exponenciales para funciones periódicasa valores complejos. En este caso no se verifica la propiedad c−k = ck. Un razonamientoanálogo al (1.8) lleva a la siguiente definición.

Definición 1.21. Si f : R → C es 2T -periódica se define su serie exponencial deFourier como ∞∑

k=−∞cke

ik πT

t con ck :=1

2T

∫ T

−T

f(t)e−ik πT

tdt. (1.18)

Vale el siguiente resultado, análogo al Teorema 1.10 para series trigonométricas.

Teorema 1.22. Si f : R→ C es 2T -periódica y suave a trozos vale

f(t+) + f(t−)

2=

∑

k∈Z ckeik πT

t

para todo t ∈ R.

Por último se tiene


Teorema 1.23 (Igualdad de Parseval). Si f : R→ C es 2T -periódica y suave a trozosvale

1

2T

∫ T

−T

|f(t)|2dt =∑

k∈Z |ck|2. (1.19)

Corolario 1.24. Si f es real y satisface las condiciones del Teorema 1.23 entonces

1

T

∫ T

−T

f(t)2dt = 2∑

k∈Z |ck|2 = 2a20 +

∞∑

k=1

(a2k + b2k),

donde ak y bk son los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica de f .

3.2. Diferenciación e integración término a término. Concluimos esta seccióncon algunos comentarios sobre la diferenciabilidad e integrabilidad término a término delas series de Fourier.

Lema 1.25. Si f : R→ C es 2T -periódica, suave a trozos y continua con

f ∼∑

k∈Z ckeik πT

t,

entoncesf ′ ∼

∑

k∈Z ik πT ckeik πT

t

Demostración. Dado que f ′ es continua a trozos es posible partir al intervalo[−T, T ] = [t0, t1] ∪ · · · [tK−1, tK ] de modo que f ′ sea continua en cada intervalo (tj, tj+1).Entonces denotando por c′k al k-ésimo coeficiente de Fourier de f ′ e integrando por partesse tiene

c′k =1

2T

∫ T

−T

f ′(t)e−ik πT

tdt =1

2T

K∑

j=1

∫ tj

tj−1

f ′(t)e−ik πT

tdt

=1

2T

K∑

j=1

(f(t)e−ik π

Tt

∣∣∣∣tj

tj−1

−∫ tj

tj−1

f(t)e−ik πT

t(−ik πT

)dt

)

=1

2T

K∑

j=1

(f(t−j+1)e

−ik πT

tj+1 − f(t+j )e−ik πT

tj + ikπ

T

∫ tj

tj−1

f(t)e−ik πT

tdt

)

=1

2T

K∑

j=1

(f(t−j+1)e−ik π

Ttj+1 − f(t+j )e−ik π

Ttj )

︸︷︷︸=A

+ikπ

T

1

2T

K∑

j=1

∫ tj

tj−1

f(t)e−ik πT

tdt

︸︷︷︸=B

.

Ahora bien, tomando en cuenta que f es continua, vale que f(t+j ) = f(t−j ) = f(tj),con lo que prácticamente todos los términos de A se cancelan dando A = f(T )e−ikπ −f(−T )eikπ = 0 por la periodicidad de f . Por otro lado, B = 1

2T

∫ T

−Tf(t)e−ik π

Ttdt = ck. En

conclusión, c′k = ik πTck. �

Ejercicio 1.26. Sea f : R→ C una función 2T -periódica y continua a trozos. Mostrarque F (x) :=

∫ x

0f(t)dt es 2T -periódica si y solo si

∫ T

−Tf(t)dt = 0.

Lema 1.27. Sea f : R → C una función 2T -periódica y continua a trozos tal que∫ T

−Tf(t)dt = 0, con

f ∼∑

k∈Z−{0}cke

ik πT

t.

3. SERIES DE FOURIER (EXPONENCIALES) 13

Entonces, si F (x) =∫ x

0f(t)dt, vale que

F ∼(− T

iπ

∑

k∈Z−{0}

ckk

)+

∑

k∈Z−{0}

T

ikπcke

ik πT

t

Demostración. Por ser F la integral de una función continua a trozos resulta sercontinua y con F ′ = f continua a trozos. Entonces, aplicando el Lema 1.25 a F si

F ∼∑

k∈Z dkeik π

Tt,

entoncesf = F ′ ∼

∑

k∈Z dkikπ

T︸︷︷︸=ck

eik πT

t

y, por lo tanto,

dk =T

ikπck si k 6= 0.

Por otro lado, siendo F continua (además de suave a trozos) y F (0) = 0 se tiene

0 = F (0) =∑

k∈Z dkeik π

T0 = d0 +

∑

k∈Z−{0}

T

ikπck

de donde

d0 = − T

iπ

∑

k∈Z−{0}

ckk.

�

Nota 1.28. Los Lemas 1.25 y 1.27 muestran que, bajo hipótesis adecuadas, las seriesasociadas a derivadas e integrales de funciones se obtienen derivando o integrando términoa término la serie original.

Cabe destacar, sin embargo, que las hipótesis de los Lemas deben ser satisfechas. Porejemplo, si f(t) es la función 2π-periódica que vale t en [−π, π), se tiene

f ∼∑

k∈Z−{0}

(−1)k+1i

keikt.

Sin embargo, la serie obtenida derivando término a término esta última serie es∑

k∈Z−{0}(−1)keikt

cuyos coeficientes ck = (−1)k para k 6= 0 no satisfacen lımk→∞ ck = 0 como debiera ocurrirsi la serie fuese la serie de Fourier de una función suave a trozos, ya que en este caso, porel Teorema 1.10, la serie debiera ser convergente en cada punto, cosa que no ocurre parala serie dada ya que su término general no tiende a 0. Más aún, tampoco puede ser laserie de Fourier de una función continua a trozos (o integrable), debido al Lema 1.31.

Corolario 1.29. Sea f : R→ R una función 2T -periódica y suave a trozos con

f ∼ a0 +∞∑

k=1

(ak cos(kπ

Tt) + bk sin(k

π

Tt)).

Entonces:


1. si f es continua vale que

f ′ ∼∞∑

k=1

(− k

π

Tak sin(k

π

Tt)) + k

π

Tbk cos(k

π

Tt)

).

2. si a0 = 0, para F (x) :=∫ x

0f(t)dt vale que

F ∼(− T

π

∞∑

k=1

bkk

)+

∞∑

k=1

(T

kπak sin(k

π

Tt) − T

kπbk cos(k

π

Tt))

Demostración. De (1.17) se deduce que, si

f ∼∑

k∈Z ckeik πT

t,

entonces, para k ∈ N,{ck = ak−ibk

2

c−k = ak+ibk

2

y

{ak = ck + c−k

bk =c−k−ck

i

mientras que c0 = a0. Estas expresiones permiten traducir los resultados anteriores obte-nidos para series exponenciales a series trigonométricas. Del Lema 1.25, se tiene que

f ′ ∼∞∑

k=1

(kπ

Tbk cos(k

π

Tt) − k

π

Tak sin(k

π

Tt)).

Análogamente, del Lema 1.27 se deduce que

F ∼(− T

π

∞∑

k=1

bkk

)+

∞∑

k=1

(− T

kπbk cos(k

π

Tt) +

T

kπak sin(k

π

Tt))

�

4. Interpretación Algebraica

La igualdad de Parseval (Teorema 1.23) nos da la siguiente idea. La expresión del ladoizquierdo, 1

2T

∫ T

−T|f(t)|2dt, es una medida del tamaño de f . En álgebra lineal una manera

de introducir longitudes es a través de un producto interno y su norma asociada. Eneste caso, si consideramos el conjunto de las funciones 2T -periódicas a valores complejos,podemos verlo como un C-espacio vectorial con el “producto interno”

〈f, g〉 :=1

2T

∫ T

−T

f(t)g(t)dt. (1.20)

cuya norma asociada es

|f |2 = 〈f, f〉 =1

2T

∫ T

−T

|f(t)|2dt.

Nota 1.30. La operación (1.20) no define realmente un producto interno sobre elespacio que estamos considerando. El problema es que hay funciones no nulas que tienennorma 0. Por ejemplo, si f(t) := 1 para t entero y 0 en todo otro caso, tiene norma|f |2 = 1

2

∫ 1

−1|f(t)|2dt = 0 ya que f se anula en todos los puntos del intervalo salvo 3.

Este problema parece solucionarse si uno identifica dos funciones que difieren en unnúmero finito de puntos (ya que una integral no puede distinguir entre tales funciones).La solución correcta es un poco más sutil y pasa por identificar funciones que difierensolamente en conjuntos de medida nula, noción esta que no profundizaremos.

4. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA 15

En conclusión, para tener un auténtico producto interno, los elementos del espaciovectorial tienen que ser clases de funciones (cada clase consiste de funciones que difierenen conjuntos de medida nula). En lo que sigue trabajaremos en estas condiciones sinmencionarlo explícitamente.

Con este producto interno, ¿qué propiedades tienen las funciones eik πT

t? Calculemos:

〈eik πT

t, eij πT

t〉 =1

2T

∫ T

−T

eik πT

te−ij πT

tdt =1

2T

∫ T

−T

ei(k−j) πT

tdt = δj,k.

Es decir que las funciones eik πT

t forman un conjunto ortonormal para el producto in-terno (1.20). Por claridad, llamaremos

φk(t) := eik πT

t.

¿Qué podemos decir de los coeficientes de Fourier de f?

ck =1

2T

∫ T

−T

f(t)e−ik πT

tdt = 〈f, φk〉.

Es decir que, si el conjunto {φk}k∈Z fuese una base ortonormal de nuestro espacio, loscoeficientes de Fourier de f serían las coordenadas de f con respecto a esa base y, entonces,la serie de Fourier de f sería la manera de escribir a f como combinación lineal de loselementos de la base. Sin embargo, el conjunto {φk}k∈Z no es una base de nuestro espaciovectorial. La razón es simple: una base de un espacio vectorial cualquiera tiene que generar,es decir que todo elemento del espacio vectorial tiene que ser una combinación lineal finitade elementos de la base. Esto no ocurre para el conjunto {φk}k∈Z. A fin de poder considerarcombinaciones lineales infinitas se introduce la definición de espacio de Hilbert, que es unavariación de la noción de espacio vectorial con producto interno. Entonces, lo que se puedever es que {φk}k∈Z es una base del espacio de Hilbert considerado (tales cosas, a veces,son llamadas bases de Hilbert).

Supongamos ahora que {ψk}k∈Z es un conjunto ortonormal en el espacio con productointerno. Si f es una función cualquiera del espacio, cabe preguntarse cuál es la combinaciónlineal

∑Kk=−K αkψk (con αk ∈ C y K fijo) que aproxima mejor a f , en el sentido de que

“el error” |f − ∑Kk=−K αkψk|2 sea mínimo. Tenemos

|f −K∑

k=−K

αkψk|2 = 〈f −K∑

k=−K

αkψk, f −K∑

j=−K

αjψj〉

= 〈f, f〉 −K∑

j=−K

〈f, αjψj〉 −K∑

k=−K

〈αkψk, f〉 +

K∑

k,j=−K

〈αkψk, αjψj〉

= |f |2 −K∑

j=−K

αj〈f, ψj〉 −K∑

k=−K

αk〈ψk, f〉 +K∑

k,j=−K

αkαj〈ψk, ψj〉

= |f |2 − (

K∑

k=−K

αk〈f, ψk〉 + αk〈ψk, f〉) +

K∑

k,j=−K

αkαjδj,k

= |f |2 − (

K∑

k=−K

αk〈f, ψk〉 + αk〈ψk, f〉) +

K∑

k=−K

|αk|2


Sumando y restando∑K

k=−K |〈f, ψk〉|2 al lado derecho obtenemos

|f −K∑

k=−K

αkψk|2 = |f |2 −K∑

k=−K

|〈f, ψk〉|2 +

K∑

k=−K

(|〈f, ψk〉|2 − αk〈f, ψk〉 − αk〈ψk, f〉 + |αk|2)

= |f |2 −K∑

k=−K

|〈f, ψk〉|2 +K∑

k=−K

|αk − 〈f, ψk〉|2.

(1.21)

Ahora bien, esta última expresión tiene una primera parte, |f |2 − ∑Kk=−K |〈f, ψk〉|2, que

es independiente de los αk, mientras que la segunda,∑K

k=−K |αk − 〈f, ψk〉|2, dependientede los αk, es positiva. De aquí que el mínimo de |f − ∑K

k=−K αkψk|2 ocurre precisamentecuando esta segunda parte se anula, es decir, cuando vale αk = 〈f, ψk〉 para −K ≤ k ≤ K.En otras palabras, la combinación lineal de ψ−K , . . . , ψK que minimiza su distancia a fes aquella que tiene por coeficientes αk a los “coeficientes de Fourier” de f respecto de lasψk. Para esta elección de coeficientes, de (1.21) sale que

0 ≤ |f −K∑

k=−K

〈f, ψk〉ψk|2 = |f |2 −K∑

k=−K

|〈f, ψk〉|2 (1.22)

y, por tanto,K∑

k=−K

|〈f, ψk〉|2 ≤ |f |2.

Como en la última desigualdad el lado derecho es independiente de K, se puede tomar ellímite K → +∞ para obtener la desigualdad

∞∑

k=−∞|〈f, ψk〉|2 ≤ |f |2, (1.23)

conocida como desigualdad de Parseval y que vale para cualquier conjunto ortonor-mal {ψk}k∈Z. Una observación elemental es que, siendo la serie de términos positivos∑∞

k=−∞ |〈f, ψk〉|2 acotada, resulta convergente y, por tanto, su término general tiende a 0:

lımk→±∞

〈f, ψk〉 = 0. (1.24)

Este último resultado es conocido como Lema de Riemann–Lebesgue que enunciamosexplícitamente en el caso ψk(t) = φk(t) = eik π

Tt.

Lema 1.31 (Riemann-Lebesgue). Si f es una función continua a trozos en [−T, T ],entonces

lımk→±∞

〈f, φk〉 = lımk→±∞

1

2T

∫ T

−T

f(t)e−ik πT

tdt = 0.

Si, en particular, f es una función real,

lımk→∞

1

2T

∫ T

−T

f(t) sin(kπ

Tt)dt = 0 y lım

k→∞

1

2T

∫ T

−T

f(t) cos(kπ

Tt)dt = 0.

¿Qué nos dice la igualdad de Parseval (Teorema 1.23)? Esencialmente es una ver-sión sofisticada del Teorema de Pitágoras! El cuadrado de la longitud de un vector (ellado izquierdo de la igualdad) es igual a la suma de los módulos cuadrados de sus com-ponentes (los “catetos al cuadrado”, el lado derecho). También dice que para el sistema

4. INTERPRETACIÓN ALGEBRAICA 17

ortogonal φk(t) := eik πT

t con k ∈ Z, la desigualdad de Parseval (1.23) se convierte en unaigualdad (1.19) que, reescrita usando la notación del producto interno, queda

∞∑

k=−∞|〈f, φk〉|2 = |f |2 (1.25)

Los sistemas ortogonales que tienen esta última propiedad para toda f son llamadoscompletos y son bases de Hilbert.

Nota 1.32. Nada hemos dicho sobre el tipo de funciones que estamos considerando,más allá de ser periódicas. Uno puede considerar funciones “buenas”, como ser funcionescontinuas. Sin embargo se ve que para que el espacio tenga las buenas propiedades nece-sarias para ser un espacio de Hilbert es necesario agregar otras funciones (de modo queel conjunto sea completo). El resultado es que se toma el conjunto de todas las funcionesf : [−T, T ] → C cuyo cuadrado es integrable. Por ejemplo, f(t) := |t|−1/4 es una talfunción (que no es continua a trozos).

¿En qué sentido es una función f una combinación lineal de los elementos de la basedel espacio de Hilbert {φk}k∈Z? En un espacio de Hilbert se dice que f es el límite de lasucesión fn si lımn→∞ |f−fn|2 = 0, donde las barras verticales denotan la norma asociadaal producto interno. En particular, la serie

∑∞k=−∞ ckφk converge a la función f si vale

lımK→∞

∣∣∣∣f −K∑

k=−K

ckφk(t)

∣∣∣∣2

= lımK→∞

1

2T

∫ T

−T

∣∣∣∣f(t) −K∑

k=−K

ckφk(t)

∣∣∣∣2

dt = 0. (1.26)

Se suele decir en este caso que la serie converge a f en media cuadrática o en norma2, en ambos casos en alusión al cuadrado que aparece en la integral. Esta manera deconverger es muy natural y útil. De algún modo mide el “área entre los gráficos” delas funciones y la convergencia asegura que esta tiende a 0. No da información sobre elcomportamiento en cada punto, sino sobre conjuntos de “medida positiva”. Reformulamosesta última discusión en el siguiente resultado.

Teorema 1.33. Sea f : [−T, T ] → C una función de cuadrado integrable (por ejemplo,es continua a trozos). La serie de Fourier de f converge a f en media cuadrática. Es decir,vale (1.26).

En resumen, la familia de funciones {φk}k∈Z es una base del espacio de Hilbert defunciones 2T -periódicas y las series de Fourier no son otra cosa que la expansión de losvectores respecto de esta base.

Nota 1.34. El lector puede ya estar familiarizado con distintas nociones de convergen-cia, como ser la convergencia puntual o la convergencia uniforme. En esta sección hemosintroducido una nueva noción de convergencia: la convergencia en media cuadrática. Lasucesión (fn)n∈N converge a f en media cuadrática en [a, b] si

lımn→∞

∫ b

a

|f(t) − fn(t)|2dt = 0.

Por ejemplo, la sucesión fn(t) = tn converge a la función nula en media cuadrática en[0, 1]: ∫ 1

0

|tn − 0|2dt =

∫ 1

0

t2ndt =1

2n+ 1t2n+1|10 =

1

2n+ 1n→∞−−−→ 0.

Es interesante notar que las funciones fn(x) no convergen puntualmente a la función nulaya que fn(1) = 1 para todo n. Dado que las fn no convergen puntualmente a la funciónnula, tampoco lo hacen uniformemente.


No es difícil ver que la convergencia uniforme en un intervalo [a, b] con a y b finitos im-plica la convergencia en media cuadrática. Esto no es cierto si se reemplaza la convergenciauniforme por convergencia puntual.

Dado que la noción de convergencia en media cuadrática se basa en el cálculo deintegrales y el valor de las integrales no se altera si se modifica a las funciones (porejemplo a la función límite) en un número finito de puntos (o en un conjunto de medidanula), se ve que el límite de una sucesión convergente en media cuadrática no es único:por ejemplo, la sucesión fn(t) = tn converge en media cuadrática a la función nula, perotambién lo hace hacia la función que es nula para t < 1 y que vale 1 en t = 1. El límite pasaa ser único cuando se piensa en clases de equivalencia de funciones, donde dos funcionesson equivalentes si y solo si difieren en un conjunto de medida nula, en el sentido yadiscutido en la Nota 1.30.

5. Apéndice - Teoremas de convergencia de la serie de Fourier

En esta Sección daremos una demostración de los Teoremas 1.10 y 1.12, en el caso defunciones de período 2π, siendo el caso de período 2T fácilmente deducible de éste.

5.1. Convergencia puntual. Comenzaremos haciendo algunos cálculos auxiliares.Usando la fórmula de la suma para una suma geométrica se tiene

2

n∑

k=1

cos(ku) =

n∑

k=1

(eiku + e−iku) =

n∑

k=1

eiku +

n∑

k=1

e−iku = eiu einu − 1

eiu − 1+ e−iu e

−inu − 1

e−iu − 1

= ei u2einu − 1

ei u2 − e−i u

2

+ e−i u2e−inu − 1

e−i u2 − ei u

2

=ei(n+ 1

2)u − ei u

2 − e−i(n+ 12)u + e−i u

2

ei u2 − e−i u

2

= −1 +ei(n+ 1

2)u − e−i(n+ 1

2)u

ei u2 − e−i u

2

= −1 +sin((n+ 1

2)u)

sin(u2)

de donde se concluye que, siempre que sin(u2) 6= 0,

1

2+

n∑

k=1

cos(ku) =sin((n + 1

2)u)

2 sin(u2)

, (1.27)

conocida como fórmula de Lagrange.Si f ∼ a0 +

∑∞k=1(ak cos(kx) + bk sin(kx)), entonces su n-ésima suma parcial es

Sn(x) := a0 +

n∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx))

=1

2π

∫ π

−π

f(t)dt+

n∑

k=1

(1

π

∫ π

−π

f(t) cos(kt)dt cos(kx) +1

π

∫ π

−π

f(t) sin(kt)dt sin(kx))

=1

π

∫ π

−π

f(t)(1

2+

n∑

k=1

(cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx)))dt

=1

π

∫ π

−π

f(t)(1

2+

n∑

k=1

cos(k(t− x)))dt

que, usando (1.27), se convierte en

Sn(x) =1

π

∫ π

−π

f(t)sin((n+ 1

2)(t− x))

2 sin( t−x2

)dt

5. APÉNDICE - TEOREMAS DE CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER 19

o, definiendo z = t− x,

Sn(x) =1

π

∫ π

−π

f(z + x)sin((n + 1

2)z)

2 sin( z2)

dz.

Se define el Núcleo de Dirichlet como

Dn(z) :=1

2π

sin((n+ 12)z)

sin( z2)

.

Integrando (1.27) se obtiene∫ π

−π

Dn(z)dz = 1 para todo n ∈ N.De lo anterior se deduce la fórmula

Sn(x) −A =

∫ π

−π

f(z + x)Dn(z)dz −∫ π

−π

ADn(z)dz =

∫ π

−π

(f(z + x) −A)Dn(z)dz (1.28)

para cualquier A ∈ R.

Demostración del Teorema 1.10. Sea A := f(x+)+f(x−)2

. Por (1.28) se tiene

Sn − f(x+) + f(x−)

2=

∫ π

−π

(f(z + x) − f(x+) + f(x−)

2

)Dn(z)dz

=

∫ 0

−π

(f(z + x) − f(x−)

)Dn(z)dz −

∫ 0

−π

f(x+)

2Dn(z)dz +

∫ 0

−π

f(x−)

2Dn(z)dz

+

∫ π

0

(f(z + x) − f(x+)

)Dn(z)dz −

∫ π

0

f(x−)

2Dn(z)dz +

∫ π

0

f(x+)

2Dn(z)dz

=

∫ 0

−π

(f(z + x) − f(x−)

)Dn(z)dz

︸︷︷︸I1

+

∫ π

0

(f(z + x) − f(x+)

)Dn(z)dz

︸︷︷︸I2

donde, en la última igualdad, las 4 integrales se cancelan usando la sustitución y = −z.A continuación analizamos la integral I1, siendo el tratamiento de I2 enteramente

análogo. Sea

f(z) :=

{f(x+z)−f(x−)

zz

sin( z2)

si z < 0

0 si z ≥ 0.

Veamos que f es continua a trozos en [−π, π]. Si z > 0 no hay nada que decir, mientrasque si z < 0 dicha propiedad se deduce de la continuidad a trozos de f ya que z

sin( z2)

escontinua allí. Queda por analizar el comportamiento en z = 0. Nuevamente, por derechael límite es 0. Por izquierda,

lımz→0−

f(x+ z) − f(x−)

z= f ′(x−)

es la derivada por izquierda en x, que existe por hipótesis. Se concluye que f es continuaa trozos en [−π, π].


Volviendo a I1,

I1 =

∫ 0

−π

(f(z + x) − f(x−)

)Dn(z)dz

=1

2π

∫ 0

−π

f(z + x) − f(x−)

z

z

sin( z2)sin((n+

1

2)z)dz

=1

2π

∫ π

−π

f(z) sin((n+1

2)z)dz

=1

2π

∫ π

−π

f(z)(sin(nz) cos(1

2z) + cos(nz) sin(

1

2z))dz

=1

2π

∫ π

−π

f(z) cos(1

2z) sin(nz)dz +

1

2π

∫ π

−π

f(z) sin(1

2z) cos(nz)dz.

Dado que f(z) cos(12z) y f(z) sin(1

2z) son continuas a trozos en [−π, π] se concluye del

Lema 1.31 que lımn→+∞ I1 = 0. De modo análogo se ve que lımn→+∞ I2 = 0, con lo quese concluye que

lımn→+∞

(Sn − f(x+) + f(x−)

2

)= 0,

es decir que el límite de las sumas parciales de la serie de Fourier de f en x es f(x+)+f(x−)2

,tal como se quería demostrar.

�

5.2. Convergencia uniforme. Ahora estudiaremos condiciones para la convergen-cia uniforme de la serie de Fourier asociada a una función en [−π, π].

Demostración del Teorema 1.12. Sea

f ∼ a0 +

∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt)).

Para demostrar la convergencia uniforme de la serie a0+∑∞

n=1(an cos(nt)+bn sin(nt)) parat ∈ [−π, π] alcanza con demostrar que la serie numérica

∑∞n=1(|an| + |bn|) es convergente

ya que esta última serie acota superiormente el valor absoluto de la serie original defunciones (omitiendo el término a0 que no altera la convergencia ni uniformidad ya que esconstante). Es claro que la convergencia de

∑∞n=1(|an| + |bn|) se reduce a la convergencia

de las series∑∞

n=1 |an| y∑∞

n=1 |bn|. A continuación estudiaremos la convergencia de laprimera de estas series, siendo el caso de la segunda totalmente análogo.

Por el Corolario 1.29 se tiene que si

f ′ ∼∞∑

n=1

(a′n cos(nt) + b′n sin(nt))

entonces b′n = −nan con lo queK∑

n=1

|an| =K∑

n=1

1

n|b′n| ≤

( K∑

n=1

1

n2

) 12( K∑

n=1

|b′n|2) 1

2

donde la última desigualdad es la de Cauchy-Schwarz en RK . Siendo f suave a trozos, f ′

es continua a trozos y, por la desigualdad de Parseval (1.23) aplicada a f ′, se tieneK∑

n=1

|b′n|2 ≤K∑

n=1

(|a′n|2 + |b′n|2) ≤1

π

∫ π

−π

|f ′(t)|2dt <∞

5. APÉNDICE - TEOREMAS DE CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER 21

Por lo tantoK∑

n=1

|an| ≤( K∑

n=1

1

n2

) 12( K∑

n=1

|b′n|2) 1

2

≤( ∞∑

n=1

1

n2

) 12( ∞∑

n=1

|b′n|2) 1

2

<∞

con lo que la serie de términos positivos∑∞

n=1 |an| es acotada y, por lo tanto, convergente.El análisis de la serie

∑∞n=1 |bn| es similar. Esto termina la demostración de que la serie de

f converge uniformemente. Más aún, dado que se han tomado valores absolutos en todomomento, esto también demuestra que la serie converge absolutamente.

La recíproca, es decir que si la serie de Fourier converge uniformemente f resultacontinua, es un resultado general puesto que las sumas parciales de la serie de Fourier sonfunciones continuas y el límite uniforme de funciones continuas en siempre una funcióncontinua.

�

Capítulo 2

Funciones Especiales

1. Algunas funciones especiales

Mirando las secciones anteriores cabe preguntarse si la teoría de Fourier está esencial-mente unida a las funciones seno y coseno, o la exponencial, o si habrá otras funciones quepermiten desarrollar teorías similares. La respuesta a esto es que, si bien hay partes de lateoría que son específicas de estas funciones, una buena parte de la misma se extiende enotras direcciones. Una dirección que no exploraremos aquí es la de reemplazar el dominiobásico, el intervalo [−T, T ] (o más precisamente el círculo S1 que corresponde a identificarlos extremos del intervalo), por otras regiones en dimensiones más altas. En cambio, vol-veremos al comienzo para recordar que las funciones trigonométricas (o la exponencial)aparecieron como soluciones de una cierta ecuación diferencial ordinaria (ver (1.3)). Antesde continuar, cabe mencionar que en esta sección nos limitaremos a considerar problemassobre R. Valen propiedades análogas sobre C, agregando algunas barras de conjugaciónen lugares convenientes. Se sugiere el Capítulo 7 de [5] como referencia para esta seccióny la siguiente.

La ecuación (1.3) puede ser reescrita como

X ′′(x) = λX(x) con X(0) = X(π) = 0

lo que permite reinterpretarla como que X es una autofunción de autovalor λ del operadorL(u) := u′′, definido sobre el espacio de funciones (digamos C∞) con u(0) = u(π) = 0.

Este enfoque lleva directamente a una idea de como generalizar la teoría: dada unaecuación diferencial lineal y homogénea, se la puede interpretar como buscar el núcleode un operador lineal entre ciertos espacios vectoriales (que toman en cuenta los valoresde contorno de la ecuación dada). Entonces las autofunciones del operador proveen unabase (de Hilbert) del espacio vectorial considerado. Más aún, las soluciones de las versio-nes homogéneas e inhomogéneas de la ecuación diferencial dada pueden escribirse comocombinación lineal de esta base de autofunciones.

Lo expuesto en el párrafo anterior es cierto si la ecuación dada satisface algunas con-diciones, como veremos más abajo.

Dada la ecuaciónA(t)u′′(t) +B(t)u′(t) + C(t)u(t) = 0

con funciones A, B y C reales y C1 en un intervalo [a, b], con A nunca nula en el intervalo,se define el operador lineal

L(u) := Au′′ +Bu′ + Cu con u ∈ C2[a, b], u(a) = u(b) = 0. (2.1)

Es fácil ver que L satisface∫ b

a

(L(u(t))v(t) − u(t)L(v(t)))ρ(t)dt = (ρ(t)A(t)(u′(t)v(t) − u(t)v′(t)))|ba (2.2)

para

ρ(t) :=1

|A(t)|eR B(t)

A(t)dt.

23

24 2. FUNCIONES ESPECIALES

De (2.2) sale que L es un operador (formalmente) autoadjunto para el producto interno

〈u, v〉ρ :=

∫ b

a

u(t)v(t)ρ(t)dt. (2.3)

En otras palabras, vale que

〈L(u), v〉ρ = 〈u, L(v)〉ρ.Una consecuencia inmediata de esta fórmula es que si λ1 y λ2 son autovalores de Ldistintos y con autofunciones u1 y u2 respectivamente, entonces estas autofunciones sonortogonales:

λ1〈u1, u2〉ρ = 〈λ1u1, u2〉ρ = 〈L(u1), u2〉ρ = 〈u1, L(u2)〉ρ = 〈u1, λ2u2〉ρ = λ2〈u1, u2〉ρ,de donde, como λ1 6= λ2, se tiene que 〈u1, u2〉ρ = 0.

Hemos descripto el primer paso de la llamada Teoría de Sturm–Liouville, que estudialos autovalores y autofunciones asociados a ecuaciones lineales. Dado un operador unproblema básico es si posee suficientes autofunciones, es decir, si es diagonalizable. Aúnen el caso de operadores en espacios vectoriales de dimensión finita, no todos los operadoresposeen una base de autofunciones, aunque esto sí vale para operadores autoadjuntos.

Se puede ver que, si u es una autofunción de L de autovalor λ entonces vale

λ =

∫ b

a(−A(t)(u′(t))2 + C(t)u2(t))ρ(t)dt

∫ b

au2(t)ρ(t)dt

. (2.4)

Esta fórmula tiene varias consecuencias si −A y C son ambas funciones positivas1, comopor ejemplo que los autovalores de L son todos positivos. También es posible ver que elmenor autovalor de Lminimiza los cocientes (2.4) cuando u (en vez de ser una autofunción)varía sobre todo el espacio vectorial. De hecho, esta idea se utiliza para demostrar laexistencia de autofunciones.

Bajo las condiciones que venimos trabajando se tiene el siguiente resultado.

Teorema 2.1. Con L definido por (2.1) con las condiciones allí especificadas y −Ay C positivas:

1. L posee infinitos autovalores λ1 ≤ λ2 ≤ · · · con λ1 > 0 y lımj→∞ λj = ∞2. L posee una familia completa de autofunciones ortogonales –para el producto in-

terno (2.3)– φj con autovalor λj (es decir, las autofunciones φj forman una basede Hilbert del espacio vectorial dominio de L).

Nota 2.2. En toda la discusión anterior hemos sido bastante descuidados con laespecificación del espacio vectorial en cuestión. El espacio vectorial correcto no es el delas funciones C∞ sino, de modo análogo a lo mencionado en la Nota 1.32, uno más grande,llamado L2([a, b], ρ) y formado por las (clases de equivalencia de) las funciones de cuadradointegrable con peso ρ en [a, b], pero no entramos en esta cuestión que es más técnica.

Ejemplo 2.3. Para la ecuación −u′′ = 0 con u(0) = u(T ) = 0, los autovalores yautofunciones que menciona el Teorema 2.1 fueron calculados en la Sección 2 del Capítulo 1y son λk := (k π

T)2 (notar la diferencia de signos debido a que consideramos −u′′ = 0 en

vez de u′′ = 0) y φk(t) = sin(k πTt), con k ∈ N.

1Notar que −A positiva quiere decir que A es negativa. Por este motivo, cuando se estudian ecuacioneslineales es común “arreglar” este signo en la ecuación misma. Por ejemplo, para resolver u′′ = 0, que tieneA = 1, es común pasar a −u′′ = 0 que tiene las mismas soluciones y A = −1 < 0.

1. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 25

Nota 2.4. Como consecuencia del Teorema 2.1 tenemos que cualquier función f delespacio vectorial puede escribirse como

f =∑

k∈N ckφk (2.5)

para ciertos coeficientes ck. Como ya vimos en el Capítulo 1, este tipo de igualdad debeinterpretarse como que la serie converge a f en la norma del espacio, es decir que

lımK→∞

∣∣∣∣f −K∑

k=1

ckφk

∣∣∣∣2

= lımK→∞

∫ b

a

∣∣∣∣f(x) −K∑

k=1

ckφk(x)

∣∣∣∣2

dx = 0.

Esto es importante ya que puede ocurrir que (2.5) no valga punto a punto.Como ya se vio, los coeficientes ck en (2.5) se pueden encontrar multiplicando escalar-

mente por φj, para obtener

ck =〈f, φk〉ρ〈φk, φk〉ρ

(2.6)

o, si suponemos que las autofunciones han sido normalizadas,

ck = 〈f, φk〉ρ,que es exactamente la fórmula para los coeficientes de Fourier que encontramos en lassecciones anteriores.

Teorema 2.5. Si f : [a, b] → R satisface f(a) = f(b) = 0 y∫ b

a(Af ′2 + Cf 2)ρdt es

convergente, entonces la serie∑

k∈N ckφk(x) converge a f(x+)+f(x−)2

para todo x ∈ (a, b).

Ejemplo 2.6. La separación de variables en la ecuación diferencial

1(1+x)2

utt − uxx = 0 para (x, t) ∈ (0, 1) × Ru(x, 0) = f(x)

ut(x, 0) = 0

u(0, t) = u(1, t) = 0

lleva a las ecuaciones

X ′′(x) +λ

(1 + x)2X(x) = 0 y T ′′(t) + λT (t) = 0

con las condiciones de contorno X(0) = X(1) = 0, además de otras condiciones adiciona-les. En particular, la ecuación para X es el problema de autovalores para el operador Lde (2.1) con A(x) = −(1 + x)2, B = C = 0, por lo que ρ(x) = 1

(1+x)2.

La ecuación X ′′(x) + λ(1+x)2

X(x) = 0 es muy similar a una del tipo de Euler (es decir,donde cada derivada viene multiplicada por una potencia igual al orden de la derivada).Para hacer esto más preciso, comenzamos por multiplicar la ecuación por (1 + x)2 yproponer el cambio de variable y = 1 + x. En este caso, definiendo la función incógnitaX(y) = X(x) (es decir, el valor de x que corresponde al y dado), o sea X(y) = X(y − 1)o, también, X(1 + x) = X(x). Usando la regla de la cadena se obtiene

X ′(1 + x) = X ′(x) y X ′′(1 + x) = X ′′(x)

por lo que, la X satisface la ecuación (1+x)2X ′′(1+x)+λX(1+x) = 0 que, en términosde y queda y2X ′′(y) + λX(y) = 0 que es una ecuación de Euler. Las soluciones de este


tipo de ecuaciones son de la forma ya, por lo que reemplazando se obtiene la condicióna(a− 1) + λ = 0, de donde

a =1 ±

√1 − 4λ

2.

Para λ 6= 14

hay entonces un espacio de dimensión 2 de soluciones de esta forma. Entérminos de x, se tiene

X(x) := A(1 + x)1+

√1−4λ2 +B(1 + x)

1−√

1−4λ2 .

La condición X(0) = 0 restringe la solución a

X(x) := A

((1 + x)

1+√

1−4λ2 − (1 + x)

1−√

1−4λ2

)

La condición X(1) = 0 lleva a

2√

1−4λ = 1 (2.7)

Si el exponente es real, la única posibilidad es λ = 14. Este caso es especial ya que tenemos

una única solución, (1 + x)12 . Usando reducción del orden vemos que otra solución es, en

este caso, (1 + x)12 ln(1 + x). Pero entonces, la condición X(0) = 0 lleva a que la solución

es un múltiplo de la función logarítmica. Como esta función no se anula para x = 1, lacondición X(1) = 0 lleva a que la única solución es la nula, con lo que λ = 1

4no puede

ser autovalor.La única posibilidad que queda es entonces que el exponente de (2.7) sea imaginario,

es decir, λ > 14. En este caso es más conveniente reescribir la solución como

e1+i

√4λ−12

ln(1+x) = eln(1+x)

2 ei√

4λ−12

ln(1+x)

= (1 + x)12

(cos

(√4λ− 1

2ln(1 + x)

)+ i sin

(√4λ− 1

2ln(1 + x)

))

Como la ecuación original es real, las partes reales e imaginarias son soluciones indepen-dientes (en R) de la misma:

(1 + x)12 cos

(√λ− 1

4ln(1 + x)

)y (1 + x)

12 sin

(√λ− 1

4ln(1 + x)

)

La condición X(0) = 0 elimina la posibilidad del cos y la X(1) = 0 lleva a que

sin

(√λ− 1

4ln(2)

)= 0

con lo que √λ− 1

4ln(2) = nπ para n ∈ N.

Es decir, los autovalores del operador asociado a la ecuación son

λn = (nπ

ln(2))2 +

1

4

y sus correspondientes autofunciones

φn(x) = (1 + x)12 sin

(nπ

ln(1 + x)

ln(2)

).

1. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 27

Los resultados de esta sección muestran que las {φn} son una base de Hilbert del espaciode funciones L2([0, 1], (1 + x)−2), con el producto

〈u, v〉ρ :=

∫ 1

0

u(x)v(x)1

(1 + x)2dx

y que cualquier función f con∫ 1

0f(x)2 1

(1+x)2dx <∞ es aproximada por su serie de Fourier

f =∑∞

n=1 cnφn en L2([0, 1], (1+x)−2) con los coeficientes cn definidos por (2.6). Más aún, sif es continua y

∫ 1

0f ′(x)2dx es convergente, el Teorema 2.5 dice que f(x) =

∑∞n=1 cnφn(x)

para todo x.

Lamentablemente las condiciones para el Teorema 2.1 no se cumplen en varios pro-blemas de interés. Una razón típica para esto es que alguna de las condiciones sobre loscoeficientes en (2.1) deja de valer en alguno o ambos extremos del intervalo considerado.A pesar de esto, en muchos casos, los resultados de los Teoremas 2.1 y 2.5 siguen valiendo(en el último caso con alguna variación). Las condiciones precisas para que valgan estosresultados son un tanto complicadas de describir y se sugiere consultar la bibliografía.

Un ejemplo de lo descripto en el párrafo anterior es la familia de operadores

u(x) 7→ u′′(x) +1

xu′(x) − ν2

x2u(x), (2.8)

donde ν es una constante no negativa (es posible, también desarrollar la teoría para ν ∈ Cen cuyo caso se pide Re(ν) ≥ 0). Modificando los signos para que el coeficiente de u′′ seanegativo, el problema de autovalores asociado es

−u′′(x) − 1

xu′(x) +

ν2

x2u = λu(x),

o

u′′(x) +1

xu′(x) + (λ− ν2

x2)u(x) = 0. (2.9)

En la Sección 2 analizaremos esta ecuación y sus soluciones en detalle. En particularveremos que el problema de autovalores en este caso (con las condiciones de contorno uacotada en el origen, xu′(x) → 0 cuando x → 0 y u(1) = 0) tiene por solución a lasfunciones

φ(ν)k (x) := Jν(xp

(ν)k )

donde p(ν)k es el k-ésimo cero de la función de Bessel Jν(x). El autovalor correspondiente

a esta función es

λk := (p(ν)k )2.

En este caso vale que las funciones {φ(ν)k }k∈N son una base de Hilbert del espacio de

funciones correspondiente al problema con el producto interno

〈u, v〉ρ :=

∫ 1

0

u(x)v(x)xdx. (2.10)

Dada una función en el espacio L2([0, 1], x), su desarrollo

f =∑

k∈N ckφ(ν)k

es llamado el desarrollo de Fourier–Bessel de f .


2. Ecuación de Bessel

Comencemos por ver si existen soluciones u(x) de (2.9) con las condiciones xu′(x) → 0cuando x→ 0 y u(1) = 0 cuando λ = 0. En este caso, (2.9) es una ecuación de Euler, porlo que proponemos una solución de la forma u(x) = xα. Es inmediato que esta funciónes solución de la ecuación si y sólo si α2 = ν2. Si ν 6= 0 la solución general es u(x) =Axν +Bx−ν y la condición u(1) = 0 impone que B = −A, por lo que u(x) = A(xν −x−ν).Entonces, como xu′(x) = νA(xν +x−ν), la condición xu′(x) → 0 sólo se satisface si A = 0.Luego, si ν 6= 0 no hay soluciones no nulas del problema.

Cuando ν = λ = 0, (2.9) se resuelve directamente dado u(x) = A ln(x) +B. Entoncesu(1) = 0 lleva a que B = 0 y, como xu′(x) = A, la condición xu′(x) → 0 sólo se satisfacesi A = 0. Por lo tanto, en este caso tampoco hay soluciones no nulas. Concluimos queλ = 0 no es autovalor del operador (2.8) con las condiciones de contorno dadas.

Descartado el caso λ = 0, vamos a tratar el caso λ > 0. Mediante el cambio de variable

t = x√λ, (2.11)

la ecuación (2.9) se reduce a

d2u

dt2+

1

t

du

dt+ (1 − ν2

t2)u = 0, (2.12)

donde

u(t) := u

(t√λ

).

(2.12) es conocida como la Ecuación de Bessel de orden ν.

Ejercicio 2.7. Si α > 0 es una constante, y u(x) satisface (2.9), hallar la ecuaciónsatisfecha por u(t) := u( t

α). Concluir que para α =

√λ, u(t) satisface (2.12).

La solución de la ecuación de Bessel es por medio del método de Frobenius ya quet = 0 es un punto singular regular de la misma. El polinomio indicial es r2 − ν2, con loque la raíz más a la derecha es r = ν. Para este valor se obtiene la serie

u(t) = a0tν

(1 +

∞∑

k=1

(−1)k

22kk!(ν + 1) · · · (ν + k)t2k

).

Tomando2 a0 = 12νΓ(ν+1)

se tiene la solución particular

Jν(t) :=∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)(t

2)2k+ν

conocida como función de Bessel de primera especie. En particular, si ν = n ∈ N∪ {0} setiene

Jn(t) :=

∞∑

k=0

(−1)k

k!(n+ k)!(t

2)2k+n.

La Figura 2.1 muestra los gráficos de distintas funciones de Bessel.Cuando ν /∈ N ∪ {0} la función J−ν definida como

J−ν(t) :=∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(−ν + k + 1)(t

2)2k−ν

2La función Γ se define como Γ(z) :=∫∞

0tz−1e−tdt y es una función meromorfa con polos simples en

z = 0,−1,−2, . . .. Satisface, entre otras, las propiedades Γ(1) = 1, Γ(z) = (z − 1)Γ(z − 1) si Re(z) > 1.De aquí se deduce que para n ∈ N, Γ(n) = (n − 1)!.

2. ECUACIÓN DE BESSEL 29

30

x

400

20100

1

0.8

0.2

-0.4

50

0.6

0.4

-0.2

(a) ν = 0

30

x

0.4

40 5020

-0.2

100

0.6

0.2

0

(b) ν = 0.5

30 4020 50100

0.3

0.2

x

0.1

-0.1

-0.2

0

(c) ν = 10

Figura 2.1. Gráficos de Jν para distintos valores de ν

está bien definida (en particular, los denominadores Γ(−ν + k + 1) se pueden evaluar sinproblemas. En este caso, el estudio de las recurrencias muestra que J−ν es otra soluciónde la ecuación de Bessel, linealmente independiente de Jν ya que tienen distinto com-portamiento cerca de t = 0 (Jν está acotada mientras que J−ν diverge). En cambio, siν = n ∈ N∪{0} las expresiones Γ(−ν+k+1) para k = 0, . . . , ν−1 carecen de sentido puesΓ posee polos en los valores en los que se la evalúa. Una interpretación posible es tomarΓ(−ν + k + 1) = ∞, con lo que 1

Γ(−ν+k+1)= 0, con lo que se tiene, para ν = n ∈ N ∪ {0}

J−n(t) =∞∑

k=n

(−1)k

k!Γ(−n + k + 1)(t

2)2k−n =

∞∑

k=n

(−1)k

k!(−n + k)!(t

2)2k−n.

En verdad, la “interpretación” mencionada se justifica ya que esta última serie es la solu-ción del tipo de Frobenius obtenida de la ecuación de Bessel (2.12) cuando se toma la raízdel polinomio indicial r = −n y para una elección apropiada del coeficiente a0. Se puedeverificar que J−n = (−1)nJn, con lo que J−n y Jn resultan ser linealmente dependientes.

Para encontrar una segunda solución de la ecuación de Bessel si ν = n ∈ N ∪ {0} esposible usar el método de reducción del orden y la solución conocida Jν . Una alternativaes proceder del siguiente modo: para ν /∈ N ∪ {0} la función

Nν(t) :=cos(νπ)Jν(t) − J−ν(t)

sin(πν)

está bien definida. Se demuestra que el límite

Nn(t) := lımν→n

Nν(t)

existe y se lo conoce como función de Neumann o función de Bessel de segunda especie.Nn(t) es solución de la ecuación de Bessel. Además

Nn(t) =2

πJn(t)(γ + ln(

t

2)) +

Pn(t)

tn+ tnHn(t),

donde γ ≃ 0.577 . . . es la constante de Euler, Pn es un polinomio con P (0) 6= 0 y Hn unafunción entera. Una vez más, debido al comportamiento de Nn en el origen se ve que ellinealmente independiente de Jn. La Figura 2.2 muestra los gráficos de Nν para distintosvalores de ν.

Como {Jν , J−ν} es una base del espacio de soluciones de (2.12) para ν /∈ N ∪ {0},{Jν , Nν} resulta ser otra base, la diferencia es que esta última base sigue teniendo estapropiedad al considerar cualquier valor de ν ≥ 0, mientras que la primera no.


30200

-0.5

5010

-1

x

0

0.5

-1.5

-2

40

(a) ν = 0

-4

30

-3

x

4020

-2

1000

50

-1

(b) ν = 0.5

-15

x

-20

-25

50403020100

-5

-10

(c) ν = 10

Figura 2.2. Gráficos de Nν para distintos valores de ν

30

1

0.8

0.4

0.2

20

x

100

0.6

-0.2

500

-0.4

40

Figura 2.3. Varias Jν(x) mostrando la similitud con funciones sinusoidalespara |x| ≫ 0

En conclusión, la solución general de la ecuación de Bessel (2.12) para cualquier ν conν ≥ 0 es

u(t) = AJν(t) +BNν(t).

Los gráficos de Jν y Nν son sinusoides amortiguadas. Sus ceros son reales, simples yforman una sucesión creciente, con la distancia entre dos ceros consecutivos convergiendo a2π (ver Figura 2.3). Los ceros de las funciones Jν serán denotados por p(ν)

k con k = 1, 2, . . ..

Se puede ver que

eit sin(θ) =∞∑

n=−∞Jn(t)einθ

con lo que Jn son los coeficientes de Fourier de eit sin(θ) (como función de θ) y entoncesvale

Jn(t) =1

2π

∫ π

−π

eit sin(θ)e−intdθ =1

π

∫ π

0

cos(t sin(θ) − nθ)dθ.


Se tiene que

J 12(t) =

√2

πtsin(t)

y, más en general,

Jn+ 12(t) =

√2

πt(Pn(

1

t) sin(t) +Qn(

1

t) cos(t))

donde Pn y Qn son polinomios.Por último, hay fórmulas que relacionan las derivadas de las funciones de Bessel con

las funciones mismas, como por ejemplo

tJ ′ν(t) = νJν(t) − tJν+1(t).

Para volver al problema de autovalores (2.9), revertimos el cambio de variables (2.11),para obtener las soluciones (sólo las acotadas en t = 0)

u(x) = AJν(x√λ)

Al imponer la condición de contorno u(1) = 0 tiene que valer

Jν(√λ) = 0

con lo que los autovalores (correspondientes a λ ≥ 0) del operador (2.8) resultan ser loscuadrados de los ceros de Jν . A diferencia de las funciones trigonométricas, los ceros de lasfunciones de Bessel no están equiespaciados ni se los puede describir de manera explícita.Como antes, los llamamos p(ν)

k . Entonces, los autovalores del problema (2.9) son

λ(ν)k = (p

(ν)k )2 (2.13)

y una base de las autofunciones correspondientes está dada por

φ(ν)k (x) = Jν(xp

(ν)k ). (2.14)

Para terminar el análisis de los autovalores y autovectores resta considerar el caso λ < 0.En este caso se puede proceder como en el caso λ > 0, con la diferencia de que el cambiode variables (2.11) hace que t sea un número imaginario puro. El resto de lo discutidopara la ecuación de Bessel (2.12) vale sin modificaciones para el caso complejo (despuésde todo, las series involucradas se pueden evaluar sin problemas en el caso en que t ∈ C),dando por resultado de la ecuación (2.9) a

u(x) = AJν(x√λ).

Ahora bien, al imponer la condición u(1) = 0, se obtiene

0 = AJν(√λ),

donde√λ es un imaginario puro. El problema es que Jν sólo se anula en el origen del eje

imaginario puro, es decir que λ = 0, contradiciendo λ < 0. La afirmación sobre los cerosde Jν(is) para s ∈ R se sigue inmediatamente de que

Jν(is) =

(is

2

)ν ∞∑

k=0

1

k!Γ(ν + k + 1)(s

2)2k

︸︷︷︸>0

que sólo se anula cuando s = 0. En conclusión, los únicos autovalores y autofunciones delproblema son los dados por (2.13) y (2.14).


Una ecuación muy relacionada con la ecuación de Bessel (2.12) es la llamada Ecuaciónde Bessel modificada:

d2u

dt2+

1

t

du

dt− (1 +

ν2

t2)u = 0. (2.15)

Mediante el cambio de variable independiente a y = it, (2.15) se vuelve

d2u

dy2+

1

y

du

dy+ (1 − ν2

y2)u = 0

que es, formalmente, (2.12) y, por tanto, tiene soluciones Jν(y) y Nν(y). Volviendo a lavariable original t, una base de soluciones de (2.15) es {Jν(it), Nν(it)}. En vez de Jν(it)se suele usar la función (real)

Iν(t) := i−νJν(it) =

∞∑

k=0

1

k!Γ(ν + k + 1)(t

2)2k+ν ,

conocida como función de Bessel de primera especie modificada. De algún modo, estasfunciones Iν guardan la misma relación con Jν que las funciones hiperbólicas con lastrigonométricas usuales.

Algunas propiedades sencillas de las funciones de Bessel son:

Proposición 2.8. Para Re(ν) ≥ 0,

1. ddt

(tνJν(t)) = tνJν−1(t).

2. ddt

(t−νJν(t)) = −t−νJν+1(t).

3. ddt

(t2(J2ν (t) − Jν+1(t)Jν−1(t))) = 2tJ2

ν (t).

4.∫ 1

0(Jν(p

(ν)k x))2xdx = 1

2(Jν+1(p

(ν)k ))2, donde p

(ν)k es el k-ésimo cero de Jν(x).

Nota 2.9. Como mencionamos en la Sección 1, para ν fijo, las funciones φ(ν)k (x) :=

Jν(p(ν)x) con k ∈ N son una base de un espacio de Hilbert. En concreto, el espacio es

L2([0, 1], x) con el producto interno (2.10). Debido a esto, cualquier función en L2([0, 1], x)puede ser escrita como suma de funciones de Bessel. Por ejemplo, para f(x) = 1 para todox ∈ [0, 1] y con ν = 0, se puede escribir

1 =

∞∑

k=1

ckJ0(p(0)k x)

con

ck =1

|J0(p(0)k x)|2

〈1, J0(p(0)k x)〉 =

1∫ 1

0J2

0 (p(0)k x)xdx

∫ 1

0

J0(p(0)k x)xdx.

Usando la Proposición 2.8 se obtiene

ck =1

∫ 1

0J2

0 (p(0)k x)xdx

∫ 1

0

J0(

=y︷︸︸︷p

(0)k x)xdx =

112J2

1 (p(0)k )

∫ p(0)k

0

1

(p(0)k )2

J0(y)ydy

=2

J21 (p

(0)k )

( 1

(p(0)k )2

yJ1(y)|p(0)k

0

)=

2

p(0)k J1(p

(0)k )

con lo que

1 =∞∑

k=1

2

p(0)k J1(p

(0)k )

J0(p(0)k x). (2.16)

En muchos casos es necesario usar aproximaciones numéricas de los p(ν)k y las funciones

Jν . Estas aproximaciones se pueden obtener de tablas como las de Abramowitz y Stegun [1]


o de software como Maple, pari o matlab. La Tabla 2.1 muestra algunos de los valoresobtenidos para el cálculo de los 5 primeros coeficientes de la serie (2.16).

k p0k J1(p

0k) ck

1 2.404825558 0.5191474972 1.6019746972 5.520078110 −0.3402648066 −1.0647992593 8.653727913 0.2714522999 0.85139919284 11.79153444 −0.2324598313 −0.72964524005 14.93091771 0.2065464331 0.6485236142

Cuadro 2.1. Tabla de ceros y valores de funciones de Bessel

Hay que entender correctamente el significado de (2.16): la igualdad quiere decir queel límite de la serie de la derecha existe y es la función 1. Sin embargo, este límite es ellímite en L2([0, 1]) con el producto interno (2.10); ver Nota 1.34. En otras palabras, (2.16)dice que

lımN→+∞

∣∣∣∣1−N∑

k=1

2

p(0)k J1(p

(0)k )

J0(p(0)k x)

∣∣∣∣2

= lımN→+∞

∫ 1

0

(1−

N∑

k=1

2

p(0)k J1(p

(0)k )

J0(p(0)k x)

)2

xdx = 0.

En palabras, el área del cuadrado de la diferencia entre 1 y las sumas parciales de la serietiende a 0.

La discusión anterior es muy importante pues no es cierto que la igualdad en (2.16)ocurra en todos los puntos x ∈ [0, 1]. De hecho, cada sumando de la serie se anula enx = 1, mientras que el lado izquierdo de (2.16) no lo hace.

La Figura 2.4 muestra aproximaciones de 1 por distintas sumas parciales de (2.16),mientras que la Figura 2.5 muestra el cuadrado de las diferencias entre la función 1 y lasuma parcial de la serie.

0.60.40.20

1

0

x

0.8

0.6

0.2

0.8

1.2

0.4

1

(a) N = 10

0.60

0.4

1

0.2

0.8

0.2

x

0.80

1.2

0.4

1

0.6

(b) N = 50

Figura 2.4. Aproximaciones de la función f(x) = 1 por sumas parcialesde su serie de Fourier en términos de J0


0.60.4 0.80.2

x

0.2

1

0

0.8

10

0.4

0.6

(a) N = 10

0.60.4 0.80.2

x

0.2

1

0

0.8

10

0.4

0.6

(b) N = 50

Figura 2.5. Cuadrado de las diferencias en las aproximaciones de la fun-ción f(x) = 1 por sumas parciales su serie de Fourier en términos de J0

Capítulo 3

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

1. Generalidades

En muchas ramas de la ciencia y la tecnología es común expresar las relaciones entrelas magnitudes que describen un sistema a través de relaciones diferenciales. Es, por tanto,muy importante poder estudiar este tipo de problema. En muchos casos, si las relacionesestán bien planteadas es posible ver que hay una única solución para el problema, dadosciertos datos adicionales (por ejemplo, los valores del sistema en algún o algunos momentosprefijados).

El saber que un problema tiene solución no es, sin embargo, garantía de que talsolución pueda ser hallada en forma explícita. Mucho ingenio se ha invertido en hallarmétodos que permiten hallar una forma cerrada para la solución de estos problemas pero,aún así, de algún modo son pocos los problemas para los cuales tal cosa es posible.Para compensar esta ignorancia se han desarrollado teorías que permiten el estudio depropiedades cualitativas de las soluciones y que se aplican aún cuando no se dispone deuna forma cerrada para las mismas. En lo que sigue trataremos métodos explícitos pararesolver ecuaciones diferenciales así como también algunos métodos cualitativos.

Una ecuación diferencial es una relación de la forma

F (u(x), x1, . . . , xn, D[1]u(x), D[2]u(x), . . . , D[k]u(x)) = 0

donde F es una función de finitas variables (en muchos casos es un polinomio), u : Rn → Res la incógnita, (x1, . . . , xn) son las coordenadas en Rn, D[1]u(x) denota a las derivadasprimera de u en x, D[2]u(x) las derivadas segundas de u en x, etc. El mayor orden dederivada que aparece explícitamente en F –k en este caso– es llamado el orden de laecuación diferencial. En el caso n = 1 se dice que la ecuación es ordinaria y si n ≥ 2 es enderivadas parciales. Una función es solución de una ecuación diferencial si al sustituirla enla ecuación se obtiene una identidad para todos los valores de la variable independiente.En verdad, en muchos casos sólo se buscan soluciones en un subconjunto U de Rn, en cuyocaso solo se pide que la función esté definida y satisfaga la ecuación en U .

Ejemplo 3.1. La ecuación ordinaria de orden dos más general es de la forma

F (u, x,D(1,0)u(x), D(1,1)u(x)) = 0.

donde D(1,0)u(x) = ux(x) = u′(x) y D(1,1)u(x) = uxx(x) = u′′(x). Por ejemplo,

u′′(x) + x2(u(x))2u′(x) − sin(x) = 0

es una tal ecuación.

Ejemplo 3.2. La ecuación en derivadas parciales de primer orden en dos variablesmás general tiene la forma

F (u, x1, x2, D(1)u(x), D(2)u(x)) = 0.

Por ejemplo, xuxuy − u2x + exy = 0 es una tal ecuación.

35

36 3. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

También es posible considerar varias ecuaciones diferenciales que involucran a másde una función incógnita simultáneamente; estos son llamados sistemas de ecuacionesdiferenciales y, si bien son muy importantes, no serán tratados en este curso.

Algunos tipos de ecuaciones tienen nombres especiales. Por ejemplo, si F es lineal enu y sus derivadas, se dice que la ecuación es una ecuación lineal. Por ejemplo

xux + y2uy − u+ xy = 0

es una ecuación lineal de primer orden. Si F es lineal en, al menos, las derivadas de ordenmás alto de u, se dice que la ecuación es cuasi lineal. Un ejemplo es la ecuación

xuxx + y2u2y − u7 + xy = 0

que es una ecuación cuasi lineal de segundo orden (ya que es lineal en uxx).En lo que sigue estudiaremos algunos tipos particulares de ecuaciones en derivadas

parcialesUna cuestión no menor en el estudio de ecuaciones diferenciales es ¿qué es una so-

lución?. La versión más sencilla de solución es “algo que reemplazado en la ecuación lareduce a una identidad”, incluyendo en esto a las posibles condiciones iniciales o de con-torno. Para poder “reemplazar” una posible solución es necesario que la función propuestaadmita, al menos, tantas derivadas como el orden de la ecuación ya que de otro modoel “reemplazo” no es posible. Esta es la noción de solución clásica de una ecuación. Sibien esta idea es muy intuitiva, presenta el problema de que solo podrían ser solucionesde ecuaciones diferenciales funciones con derivadas. En particular, no sería posible queuna función discontinua fuese solución de una ecuación diferencial. Esto limita en buenamedida el estudio de problemas con singularidades (ondas de choque, por ejemplo). Poreste motivo se usan distintas nociones más generales de solución, como ser la de solucióndistribucional, en la que se permiten distribuciones (una generalización de la noción defunción que será vista en el Capítulo 7) o la de solución débil en la que se reemplaza laecuación diferencial dada por una condición integral a ser satisfecha por cualquier “fun-ción de prueba”. Para un ejemplo de solución débil, consultar el las Notas 4.8 y 4.9 delCapítulo 4.

2. Notación

En lo que sigue vamos a usar con frecuencia funciones de varias variables. Para trabajarcon mayor comodidad es útil tener una notación abreviada para escribir las distintasderivadas.

Si se trabaja en Rn con n ≤ 3 lo usual es denotar a las variables independientes por(x, y, z), siendo las derivadas uy(x, y) = ∂u(x,y)

∂yo uxz(x, y, z) = ∂2u(x,y,z)

∂x∂z.

Para trabajar en Rn con n arbitrario es más conveniente usar notación de multi-índices.Si las coordenadas del espacio son x = (x1, . . . , xn) y α = (α1, . . . , αn) ∈ (Z≥0)

n es unmulti-índice se define la derivada de orden α como

Dαu(x1, . . . , xn) :=∂|α|u(x1, . . . , xn)

∂xα=∂|α|u(x1, . . . , xn)

∂xα11 · · ·∂xαn

n

,

donde |α| =∑n

j=1 αj . Por ejemplo, si n = 3 y α = (1, 0, 2), se tiene

Dαu(x1, x2, x3) =∂3u(x1, x2, x3)

∂x1∂x23

.

Para el caso especial α = (0, . . . , 0), se define Dαu = u.

3. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES 37

Se define el factorial de un multi-índice α = (α1, . . . , αn) como α! := α1! · · ·αn!. Usandomulti-índices el desarrollo de Taylor de una función u centrado en x′ ∈ Rn adquiere unaexpresión razonablemente compacta:

u(x) =∞∑

k=0

∑

{α:|α|=k}

Dαu(x′)

α!(x− x′)α

donde(x− x′)α = (x1 − x′1)

α1 · · · (xn − x′n)αn .

Por ejemplo, en R2, los términos de orden ≤ 1 de dicho desarrollo son

D(0,0)u(x′)

(0, 0)!(x− x′)(0,0) +

D(1,0)u(x′)

(1, 0)!(x− x′)(1,0) +

D(0,1)u(x′)

(0, 1)!(x− x′)(0,1)

= u(x′) +ux1(x

′)

1!(x1 − x′1) +

ux2(x′)

1!(x2 − x′2).

Los operadores usuales (gradiente, laplaciano, etc) también tienen distintas notaciones.Por ejemplo, el gradiente se denota por

Du = ∇u = (∂u

∂x1, . . . ,

∂u

∂xn).

El laplaciano es

∆u =

n∑

j=1

uxjxj.

En ocasiones se usa la notación D2u para la matriz Hessiana de u, es decir la matrizcuadrada formada por todas las derivadas segundas de u. En particular vale ∆u = TrD2u.

Si S ⊂ Rn es una hipersuperficie (es decir que tiene dimensión n−1) y ν = (ν1, . . . , νn) :S → Rn es un campo vectorial unitario normal a S, se define la derivada normal a S deorden k ∈ N de una función u : Rn → R como

∂ku

∂νk:=

∑

|α|=k

(Dαu)να =∑

α1+···+αn=k

∂ku

∂α1x1 · · ·∂αnxn

να11 · · · ναn

n . (3.1)

Un caso particular de la fórmula anterior es la derivada normal (de orden 1):

∂u

∂ν:=

∑

|α|=1

(Dαu)να = Du · ν

que no es otra cosa que la derivada direccional de u en la dirección del campo ν normala S.

3. Algunas Ecuaciones Diferenciales

En esta sección enumeraremos algunas ecuaciones diferenciales de distintos tipos. Parauna lista más extensa se puede consultar, por ejemplo, el Capítulo 1 del libro de Evans [4].

3.1. Ecuaciones lineales.

Ecuación de Laplace

∆u =

n∑

j=1

uxjxj= 0. (3.2)

38 3. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ecuación lineal de transporte

ut +

n∑

j=1

bjuxj= 0. (3.3)

Ecuación del calor o de difusión

ut − ∆u = 0. (3.4)

Ecuación de Schrödingeriut + ∆u = 0. (3.5)

Ecuación de ondautt − ∆u = 0. (3.6)

Ecuación de Airyut + uxxx = 0. (3.7)

3.2. Ecuaciones no lineales.

Ecuación de Hamilton-Jacobi

ut +H(Du, x) = 0. (3.8)

Ecuación de Amoèredet(D2u) = f. (3.9)

Ecuación de Burgersut + uux = 0. (3.10)

Ecuación de Korteweg-de Vries (KdV)

ut + uux + uxxx = 0. (3.11)

3.3. Sistemas de ecuaciones.

Ecuaciones de Maxwell

Et = rotB

Bt = − rotE

divB = divE = 0.

(3.12)

Ecuaciones de Navier-Stokes(para fluido viscoso incompresible){ut + u ·Du− ∆u = −Dpdiv u = 0.

(3.13)

Capítulo 4

Ecuaciones de Primer Orden

1. Método de las curvas características

Estas ecuaciones son de la forma

F (u, x1, . . . , xn, ux1, . . . , uxn) = 0.

Muchas ecuaciones de este tipo remiten a problemas geométricos si se piensa en la (hi-per)superficie que es el gráfico de u. Veremos un ejemplo de esto a la brevedad.

Las ecuaciones lineales de primer orden son de la forma

A1(x)ux1 + · · ·+ An(x)uxn +B(x)u+ C(x) = 0. (4.1)

Una manera útil de interpretar este tipo de ecuaciones pasa por reescribirla como

A1(x)ux1 + · · ·+ An(x)uxn = −B(x)u− C(x). (4.2)

En esta expresión podemos reconocer en su lado izquierdo a la derivada direccional deu con respecto a la dirección A(x) := (A1(x), . . . , An(x)). Sea γ(s) = (γ1(s), . . . , γn(s))una curva integral de este campo de direcciones (llamada curva característica en estecontexto), es decir que vale

γ′(s) = A(γ(s)) = (A1(γ(s)), . . . , An(γ(s))). (4.3)

Entonces, si u(s) := u(γ(s)) es u restringida a la curva integral γ, tenemos

u′(s) =∂u

∂x1

(γ(s))γ′1(s) + · · ·+ ∂u

∂xn

(γ(s))γ′n(s)

=∂u

∂x1

(γ(s))A1(γ(s)) + · · ·+ ∂u

∂xn

(γ(s))An(γ(s))

= −B(γ(s))u(γ(s)) − C(γ(s)) = −B(γ(s))u(s) − C(γ(s))

(4.4)

con lo que u satisface una ecuación ordinaria lineal y de primer orden. Recapitulando,si u es una solución de (4.1) y γ es una curva integral del vector de coeficientes A(x), larestricción u de u a γ satisface (4.4). El método de las curvas características consiste enresolver esta última ecuación diferencial para hallar u y usar esta restricción para definiru en todo un abierto.

El método de las curvas características permite hallar una solución de (4.1) medianteel cálculo de las curvas características (es decir, la resolución de un sistema de n ecuacio-nes ordinarias), y la solución de una ecuación ordinaria satisfecha por u; de este modo, sereduce la solución del problema de ecuaciones en derivadas parciales al de n+ 1 ecuacio-nes ordinarias de primer orden. Más aún, bajo las condiciones adecuadas, el teorema deexistencia de soluciones para ecuaciones ordinarias de primer orden asegura la existenciade las soluciones y, por tanto, la de la solución de (4.1).

El proceso descripto más arriba deja una cantidad de información (“constantes deintegración”) sin determinar. Por lo común, se pide que la solución de (4.1) satisfagaalguna condición adicional que termina determinando estas constantes.

39

40 4. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

210

0-1

1

-2

5

4

-1

3

2

Figura 4.1. Curvas características de la ecuación (4.5)

Nota 4.1. El método descripto arriba parece depender de la existencia de u. Sinembargo se puede probar que la función u realmente produce una solución u de (4.1) paralos puntos x por los que pasa una curva característica que intersecta en un único puntoa la superficie donde está definido el dato inicial. La clave de la demostración es que sise define u como en el párrafo anterior, su derivada direccional en la dirección de A es,precisamente u′ y la ecuación (4.4) asegura que esta derivada, y por tanto la derivadadireccional de u, son iguales al lado derecho de (4.2).

Ejemplo 4.2. Consideremos la ecuación{ux + 2xuy = αu+ β

u(1, y) = g(y)(4.5)

con α y β constantes reales, α 6= 0. Siendo una ecuación lineal de primer orden, comen-zamos por determinar sus curvas características, es decir, queremos resolver

(γ′1(s), γ′2(s)) = (1, 2γ1(s)).

La primera componente nos dice que γ1(s) = s+A, con A constante. Entonces, la segundacomponente queda γ′2(s) = 2s + 2A, con lo que γ2(s) = s2 + 2As + B para B constante.De aquí, eliminando s, vemos que las características son parábolas de ecuación y = x2 −A2 + B. La Figura 4.1 muestra algunas curvas características. Vemos que, en particular,la característica que pasa por (x0, y0) cuando s = 0 es γ(s) = (s+ x0, s

2 + 2x0s+ y0).Ahora busquemos la solución u restringida a esta característica, es decir u(s) = u(s+

x0, s2 + 2x0s+ y0). Usando la ecuación diferencial tenemos:

u′(s) = αu(γ(s)) + β = αu(s) + β,

Que podemos integrar obteniendo

u(s) = C1eαs − β

α,

con lo que

u(x0, y0) = u(0) = C1 −β

α

1. MÉTODO DE LAS CURVAS CARACTERÍSTICAS 41

6

3

4

2

0

-1

210-1-2

5

1

Figura 4.2. Características y condición de contorno para la ecuación (4.5)

y sólo nos resta calcular la “constante de integración” C1 para conocer u. Cabe aclarar queC1 es constante para la característica elegida, pero que otra característica (otro (x0, y0)por ejemplo) puede tener otro valor de C1.

Para esto notemos que la característica pasa por x = 1 cuando s = 1 − x0. En esemomento, se tiene y = (1−x0)

2 +2x0(1−x0) + y0 = 1− x20 + y0, por lo tanto, la segunda

condición de (4.5) dice que

u(1 − x0) = u(1, 1 − x20 + y0) = g(1 − x2

0 + y0).

Por otro lado,

u(1 − x0) = C1eα(1−x0) − β

α,

de donde

C1 = (g(1 − x20 + y0) +

β

α)e−α(1−x0).

En total

u(x0, y0) = u(0) = (g(1 − x20 + y0) +

β

α)e−α(1−x0) − β

α.

y como esta expresión vale para todo (x0, y0) ∈ R2 concluimos que la solución generalde (4.5) es

u(x, y) =

(g(1 − x2 + y) +

β

α

)e−α(1−x) − β

α(4.6)

Ejercicio 4.3. Probar explícitamente que la expresión (4.6) es solución del proble-ma (4.5).

Ejercicio 4.4. Resolver el problema (4.5) con α = 0.

Nota 4.5. Para una ecuación lineal de primer orden el comportamiento de la soluciónsobre cada característica queda completamente determinado (en cada componente conexade la característica) si se conoce su valor en un punto de la misma. En el Ejemplo 4.2 fueposible determinar este valor de manera completa ya que el dato inicial, g, estaba prescritosobre la recta x = 1 que corta exactamente en un punto a cada curva característica, comose ve en la Figura 4.2. Sin embargo, otro podría ser el comportamiento si el dato inicialestuviese dado sobre otra curva. Por ejemplo, si fuese u(x, 1) = g(x), entonces habría


6

3

4

2

0

-1

210-1-2

5

1

Figura 4.3. Características y condición de contorno en y = 1 para la ecuación (4.5)

muchas características sobre las que no hay dato de contorno ya que no son intersectadaspor la recta x = 1, como se ve en la Figura 4.3. Esto indicaría que puede haber más de unasolución ya que los valores de u pueden ser determinados casi arbitrariamente sobre algúnpunto de las características que no cortan la recta. Por otro lado, no cualquier función gda origen a una solución del problema: la recta y = 1 intersecta en dos puntos a casi todaslas características. Ahora bien, el valor de la solución en uno de esos puntos determina(via la ecuación) el valor de la solución en el otro. Si los valores de g no satisfacen estacondición entonces el problema no tiene solución.

Un caso extremo de los problemas mencionados es el caso en que el dato inicial estádado completamente sobre una característica.

Estos comentarios valen en situaciones mucho más generales que la del Ejemplo 4.2: laexistencia y unicidad de solución de un problema diferencial puede variar completamentedependiendo de donde se especifique el dato inicial (para una misma ecuación).

Ejercicio 4.6. Hallar las condiciones que debe satisfacer la función g(x) de modoque el problema {

ux + 2xuy = αu+ β

u(x, 1) = g(x)

tenga solución en R2. Mostrar un ejemplo de g para el cual el problema no admita solución.

Ejemplo 4.7. Consideremos la Ecuación lineal de transporte

ut(x, t) + b · ∇u(x, t) = 0 en Rn × (0,∞), (4.7)

con b ∈ Rn constante1. Las características γ(s) son soluciones de (γ′x(s), γ′t(s)) = (b, 1),

con lo queγ(s) = (sb+B, s+ a)

para a ∈ R y B ∈ Rn constantes. En particular, la característica que pasa por (x, t)cuando s = 0 es γ(s) = (sb+ x, s + t). La Figura 4(a) muestra las curvas características.

1En (4.7) se usa, como es habitual, la convención de que los operadores diferenciales como ∇ actúansólo sobre las coordenadas espaciales cuando la función depende de coordenadas espaciales y del tiempo,t.

1. MÉTODO DE LAS CURVAS CARACTERÍSTICAS 43

La solución restringida a una característica u(s) = u(γ(s)) satisface

u′(s) = 0

con lo que u(x, t) es constante sobre las características. En particular, dada una condicióninicial

u(x, 0) = g(x) ∀x ∈ Rn (4.8)

valeu(x, t) = u(x− tb, 0) = g(x− tb) (4.9)

con lo que (4.9) es la solución general del problema (4.7) con la condición inicial (4.8).Notemos que la solución (4.9) traslada el dato inicial en la dirección del vector b, que

actúa de velocidad del desplazamiento (ver Figura 4(b)).

xb

1

t

(a) Vector velocidad y curvas características

xb

1

t

t1

(b) Dato inicial a t = 0 y solución a t = t1

Figura 4.4. Curvas características del Ejemplo 4.7 con n = 1

Nota 4.8. Es claro que si el dato inicial g en (4.8) es C1(Rn), la solución (4.9) admitederivadas y da una solución clásica de (4.7). Sin embargo, aún cuando g no sea derivable,parece razonable pensar que la fórmula (4.9) aún da una solución en algún sentido másgeneral. Con las definiciones apropiadas se puede ver que este es un caso de solución débilde (4.7). Para más detalles ver la Nota 4.9.

Nota 4.9. ♦ Soluciones débiles de (4.7) con la condición inicial (4.8). Como se observóen la Nota 4.8, cuando el dato inicial g en (4.8) no es diferenciable para algún x′ ∈ Rn, lasolución u dada por (4.9) no es diferenciable sobre toda la región x′ = x− tb y, por tanto,dicha u no es una solución clásica del problema. Para entender qué clase de solución es,una posibilidad es modificar (extender) el problema dado, del siguiente modo. En lo quesigue y para simplificar la notación vamos a fijar n = 1.


Si u es una solución clásica de (4.7) y φ es una función de prueba, es decir una funciónC∞(R2) y con soporte compacto (se anula fuera de una bola), entonces se tiene que

0 =

∫R2

(ut(x, t) + bux(x, t))φ(x, t)dxdt

=

∫R(∫R ut(x, t)φ(x, t)dt)dx+ b

∫R(∫R ux(x, t)φ(x, t)dx)dt

=

∫R ( ∫R(u(x, t)φ(x, t)

∣∣∣∣t=∞

t=−∞−

∫R u(x, t)φt(x, t)dt

)dx

+ b

∫R (u(x, t)φ(x, t)

∣∣∣∣x=∞

x=−∞−

∫R u(x, t)φx(x, t)dx

)dt

de donde, usando que φ tiene soporte compacto (y por tanto se anula para |t| ≫ 0 o|x| ≫ 0), se obtiene que

0 =

∫R2

u(x, t)(−φt(x, t) − bφx(x, t))dxdt (4.10)

para toda función de prueba φ. Cabe notar que por ser φ una función en C∞(R2) las deri-vadas que aparecen en (4.10) siempre tienen sentido. Por otro lado, en (4.10) u no apareceafectada por ninguna operación que requiera su diferenciabilidad. Por estos motivos sedice que una función (integrable) u es una solución débil de (4.7) si vale (4.10) para todafunción de prueba φ. Es claro que si u es una solución clásica, entonces u es una solucióndébil, pero la recíproca no es cierta como veremos a continuación.

Sean

g(x) :=

{1 si x ≥ 0

0 si x < 0.

y u la función definida por (4.9), es decir

u(x, t) :=

{1 si x ≥ tb

0 si x < tb.

Es claro que u no es continua sobre la recta x = tb, de modo que no es una soluciónclásica de (4.7). Veamos que u satisface (4.10) y es, por lo tanto, una solución débil dedicha ecuación. Sea φ una función de prueba. Entonces

∫R2

u(−φt − bφx)dxdt = −∫R2

u(x, t)φt(x, t)dxdt− b

∫R2

u(x, t)φx(x, t)dxdt

= −∫R(∫R u(x, t)φt(x, t)dt)dx− b

∫R(∫R u(x, t)φx(x, t)dx)dt

= −∫R(∫ x

b

t=−∞φt(x, t)dt)dx− b

∫R(∫ x=+∞

x=tb

φx(x, t)dx)dt

= −∫R φ(x,

x

b)dx+ b

∫R φ( tb︸︷︷︸=y

, t)dt

= −∫R φ(x,

x

b)dx+

∫R φ(y,y

b)dy

= 0.

2. DATOS INICIALES 45

2. Datos iniciales

Un problema de gran importancia en el estudio de ecuaciones diferenciales es el deresolver una ecuación de orden k, con k − 1 derivadas de la solución fijadas en unahipersuperficie dada. Más en concreto se tiene la siguiente definición.

Definición 4.10. Dada una ecuación diferencial de orden k definida en un abiertoU ⊂ Rn, una hipersuperficie S ⊂ Rn con campo normal unitario ν : S → Rn y funcionesgj : S → R para j = 0, . . . , k − 1, el Problema de Cauchy consiste en hallar una soluciónu de la ecuación de modo que

∂ju

∂νj(x) = gj(x) para todo x ∈ S,

donde se entiende que ∂0u∂ν0 = g0.

Por ejemplo, el Problema de Cauchy para la ecuación ordinaria u′′(x)−u(x) = 0 parax ∈ R con dato en S := {0} dado por g0, g1 ∈ R es el problema de valores iniciales dadopor {

u′′(x) − u(x) = 0 para x ∈ Ru(0) = g0 y u′(0) = g1.

En lo que sigue vamos a estudiar el Problema de Cauchy para ecuaciones lineales deprimer orden. En particular vamos a ver la relación entre S y la ecuación de modo que elproblema pueda tener solución (local) única. Consideremos la ecuación lineal de primerorden (4.1) con dato inicial{A1(x)ux1 + · · ·+ An(x)uxn +B(x)u+ C(x) = 0 ∀(x1, . . . , xn−1, xn) ∈ Rn−1 × R>0

u(x1, . . . , xn−1, 0) = g(x1, . . . , xn−1) ∀(x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1

(4.11)Llamaremos S al hiperplano xn = 0, sobre el que está dada la condición inicial y U :=Rn−1 × R>0, de modo que S = ∂U , el borde de U . Si u es una solución analítica de (4.11)se puede escribir la serie de Taylor

u(x) =

∞∑

k=0

∑

{α:|α|=k}

Dαu(x′)

α!(x− x′)α

para cualquier x′ ∈ U y con radio de convergencia x′n (la distancia de x′ a S). Supongamosque u es analítica en U , con lo que es posible tomar x′ ∈ S y la serie tiene algún radiode convergencia positivo. En este caso vale u(x′) = u(x′1, . . . , x

′n−1, 0) = g(x′), donde

x′ = (x′1, . . . , x′n−1) ∈ Rn−1 es el vector formado por las primeras n − 1 componentes de

x′. Del mismo modo, para j = 1, . . . , n− 1,

uxj(x′) =

∂u

∂xj(x′1, . . . , x

′n−1, 0) = gxj

(x′),

es decir que tanto u como casi todas sus derivadas primeras quedan determinadas por eldato inicial g. Para hallar uxn(x′) hay que considerar la ecuación diferencial que satisfaceu, suponiendo que u la satisface aún en U . Reescribiendo la ecuación como

An(x)uxn = −B(x)u− C(x) − A1(x)ux1 − · · · − An−1(x)uxn−1,

y evaluando en x′ se tiene

An(x′)uxn(x′) = −B(x′)g(x′) − C(x′) −A1(x′)gx1(x

′) − · · · − An−1(x′)gxn−1(x

′). (4.12)


Ahora bien, el lado derecho de (4.12) queda determinado por datos conocidos. Si

An(x′1, . . . , x′n−1, 0) 6= 0, (4.13)

entonces es posible despejar uxn(x′) en términos de datos conocidos (los coeficientes dela ecuación y el dato de contorno). De este modo, el desarrollo de Taylor en x′ quedadeterminado, hasta el primer orden, por los datos. Es claro que este argumento se puedeaplicar nuevamente para las derivadas de orden superior permitiendo la caracterización detodas las derivadas de u en x′ en términos de los datos del problema. Es posible estudiarla convergencia de la serie obtenida y usar este argumento para demostrar la existencia desolución de (4.11) en un entorno de S. Más allá de la existencia de solución, el argumentomuestra que hay, a lo más, una solución analítica de (4.11).

El paso crucial en el razonamiento anterior es la condición (4.13). Si esta condiciónfalla no es posible determinar las derivadas “normales” de u sobre S (en este caso uxn,ver (3.1)) y, por tanto, determinar el comportamiento de u fuera de esta zona. Desdeel punto de vista de las curvas características, la condición (4.13) dice que toda curvacaracterística que pasa por (x′1, . . . , x

′n−1, 0) es transversal a S (es decir, su tangente no

esta contenida en el espacio tangente a S). Por esto se dice que cuando vale (4.13) S esuna hipersuperficie no característica, mientras que si no vale, S es llamada característica.

Hemos visto, pues, que el Problema de Cauchy para S = {x ∈ Rn : xn = 0} tiene, a losumo, una solución analítica si S es no característica.

Más en general, la condición inicial de (4.1) está dada sobre la hipersuperficie

S := {x ∈ Rn : f(x) = 0} (4.14)

para alguna f : Rn → R, de modo que ν := 1|∇f |∇f es un campo unitario normal a S. En

este caso, si u es una solución analítica aún en S se tiene que para x′ ∈ S,

∇u(x′) = (∇u)t + (∇u)n, (4.15)

donde (∇u)t es la componente del gradiente de u tangente a S (es decir que ∇f ·(∇u)t = 0)y (∇u)n es la componente del gradiente normal a S (es decir que (∇u)n = ∂u

∂ν∇f|∇f | , para

∂u∂ν

la derivada normal definida en (3.1)). Se puede ver que (∇u)t queda completamentedeterminada por g. Por lo tanto, para calcular ∇u(x′) hay que hallar ∂u

∂ν. Usando la

ecuación diferencial escrita vectorialmente como

A(x) · ∇u = −B(x)u− C(x)

y la descomposición (4.15) se tiene

−B(x′)u(x′) − C(x′) = A(x′) · ∇u(x′) = A(x′) · (∇u)t + A(x′) · (∇u)n

y, por tanto,A(x′) · (∇u)n = −B(x′)u(x′) − C(x′) −A(x′) · (∇u)t.

Recordando que (∇u)n = ∂u∂ν

∇f|∇f | se obtiene

∂u

∂νA(x′) · ∇f = |∇f |(−B(x′)u(x′) − C(x′) − A(x′) · (∇u)t). (4.16)

Si

A(x′) · ∇f(x′) =n∑

j=1

Aj(x′)fxj

(x′) 6= 0 ∀x′ ∈ S (4.17)

entonces ∂u∂ν

queda determinada por (4.16) en términos de los datos de la ecuación y lacondición inicial. Se puede probar que todas las derivadas superiores de u pueden serhalladas del mismo modo siempre que se mantenga la condición (4.17), que se reduce ala condición (4.13) cuando f(x) = xn, es decir, cuando S := {x ∈ Rn : xn = 0}, que es el

2. DATOS INICIALES 47

caso analizado antes. Se dice que S es no característica dependiendo de si (4.17) vale ono. Igual que antes, si S es no característica, se puede ver que hay a lo más una soluciónanalítica del problema de valores iniciales.

Ejemplo 4.11. En las condiciones del Ejemplo 4.2, si se da una condición inicial sobreS definida por f(x, y) = y − x2 = 0, la condición de ser no característica (4.17) es

1 · (−2x) + 2x · 1 6= 0

que no vale en ningún punto de S, que resulta ser una hipersuperficie (curva, en estecaso) característica del problema. Esto coincide con la observación sobre la imposibilidadde extender un dato inicial sobre una curva característica hecha en la Nota 4.5.

Más en general, el argumento anterior se puede aplicar a ecuaciones de orden mayor.En el caso de ecuaciones lineales de orden 2

n∑

j,k=1

Ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n∑

j=1

Bj(x)∂u

∂xj+ C(x)u = D(x)

con condición inicial u y ∇u dadas sobre S como en (4.14), la condición de S no caracte-rística es

n∑

j,k=1

Ajk(x)νjνk 6= 0 ∀x ∈ S, (4.18)

donde

ν = (ν1, . . . , νn) =∇f(x)

|∇f(x)| .

es un campo unitario normal a S. La condición (4.18) se deduce de quen∑

j,k=1

Ajk(x)∂2u

∂xj∂xk

=( n∑

j,k=1

Ajk(x)νjνk

)∂2u

∂ν2+ T (x)

donde ∂2u∂ν2 es la derivada normal de u con respecto a ν y T (x) está determinado por u y

∇u en S, es decir, por los valores de contorno y la ecuación dados.

Capítulo 5

Ecuaciones de Segundo Orden

Las ecuaciones de segundo orden son las ecuaciones más comunes de la física mate-mática, comenzando por la famosa Ley de Newton: F = mx.

Si bien hay muchas ecuaciones de interés que son no lineales, en estas notas nosrestringiremos a considerar ecuaciones lineales, es decir aquellas de la forma L(u)(x) =D(x) con

L(u) :=

n∑

j,k=1

Ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n∑

j=1

Bj(x)∂u

∂xj+ C(x)u

con alguno de los coeficientes Ajk 6= 0. Se define la matriz A de modo que su coeficiente(A)jk es Ajk. Vale la pena notar que la matriz A se puede suponer simétrica ya que si nolo fuese se la puede reemplazar por A = 1

2(A+ At) puesto que

n∑

j,k=1

Ajk∂2u

∂xj∂xk=

n∑

j,k=1

Ajk∂2u

∂xj∂xk.

Consideremos que A es constante. En este caso, las derivadas segundas

L2(u) :=n∑

j,k=1

Ajk∂2u

∂xj∂xk

admiten una escritura muy conveniente:

L2 = 〈A∂x, ∂x〉 = (A∂x)t∂x

donde 〈, 〉 es el producto interno usual en Rn y

∂x :=

∂x1

...∂xn

Esto es así ya que

〈A∂x, ∂x〉 =

n∑

k=1

(A∂x)k(∂x)k =

n∑

j=1

n∑

k=1

Akj∂xj∂xk

=

n∑

j,k=1

Ajk∂xj∂xk

= L2.

Ahora bien, para estudiar la ecuación L2(u) = 0 trataremos de simplificarla de algúnmodo. Una manera es proponiendo un cambio de variable independiente. Dado que uncambio de variable a través de una función no lineal hace perder la condición de que laecuación tenga coeficientes constantes, consideraremos sólo cambios lineales de coorde-nadas, es decir, pasemos de la variable x a y = Gx con G ∈ Mn×n(R) inversible. Comox = G−1y, se tiene

xj =

n∑

k=1

(G−1)jkyk.

49

50 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Entonces

∂u

∂y1

=n∑

j=1

∂u

∂xj

∂xj

∂y1

=n∑

j=1

∂u

∂xj

G−1j1

...

∂u

∂yn=

n∑

j=1

∂u

∂xj

∂xj

∂yn=

n∑

j=1

∂u

∂xjG−1

jn

o, formalmente,∂y = (G−1)

t∂x ó ∂x = Gt∂y.

Volviendo a L2

L2 = 〈A∂x, ∂x〉 = 〈AGt∂y, Gt∂y〉 = 〈GAGt∂y, ∂y〉. (5.1)

donde, la ultima igualdad se puede ver como

〈AGt∂y, Gt∂y〉 = (AGt∂y)

t(Gt∂y) = (G(AGt∂y))

t∂y = 〈GAGt∂y, ∂y〉.

Por (5.1), la matriz de L2 respecto de las coordenadas y, Ay, es

Ay = GAxGt. (5.2)

Ahora recordamos un resultado de álgebra lineal

Proposición 5.1. Toda matriz simétrica A ∈Mn×n(R) posee una base de autovectoresortonormales respecto del producto interno usual en Rn.

Como Ax es simétrica, se puede aplicar el resultado anterior. Sea C la matriz cuyascolumnas son los autovectores de la base, de modo que C−1AxC es la matriz diagonalcuyas componentes en la diagonal son los autovalores de Ax. Se puede suponer que losautovectores de la base están ordenados de modo que las primeras componentes de ladiagonal sean > 0, las siguientes < 0 y las últimas nulas. A continuación se define G :=Ct = C−1, ya que C es una matriz ortogonal. De este modo se tiene que Ay = GAxG

t =C−1AxC es una matriz diagonal con los autovalores de Ax en la diagonal.

En conclusión, es posible construir un cambio lineal de coordenadas en las variablesindependientes de modo que en las nuevas variables la matriz de coeficientes es una matrizdiagonal.

Aún es posible hacer otra simplificación. Si A es una matriz diagonal, escribamosAjj = ǫjr

2j con ǫj = 0, 1,−1 según si Ajj es nulo, positivo o negativo. En estos dos últimos

casos, r2j = |Ajj|. El cambio de variables zj = 1

rjyj lleva a

∂yj=

1

rj

∂zj

con lo que

L2 =

n∑

j=1

Ajj∂2

∂y2j

=

n∑

j=1

ǫjr2j

∂2

∂y2j

=

n∑

j=1

ǫjr2j

1

r2j

∂2

∂z2j

=

n∑

j=1

ǫj∂2

∂z2j

.

En total tenemos

Proposición 5.2. El operador L2 :=∑n

j,k=1Ajk∂2

∂xj∂xkpuede ser transformado me-

diante un cambio lineal de variables independientes en un operador de la formar+∑

j=1

∂2

∂z2j

−r−∑

j=1

∂2

∂z2j+r+

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 51

donde r+ y r− son los números de autovalores positivos y negativos de A respectivamente.

Es práctica común decir que una ecuación de segundo orden es elíptica si r+ = n ór− = n, hiperbólica si no es elíptica pero n = r+ + r− y parabólica si n > r+ + r−.

Ejercicio 5.3. Estudiar las curvas características en R2 para ecuaciones elípticas,hiperbólicas y parabólicas. ¿Puede decir que ocurre en Rn?

Proposición 5.4. Dada la ecuación

L(u) :=

n∑

j,k=1

Ajk∂2u

∂xj∂xk+

n∑

j=1

Bj∂u

∂xj+ Cu = 0 (5.3)

con A, B y C constantes, su conjunto de soluciones es isomorfo al de la ecuación

r+∑

j=1

∂2v

∂w2j

−r−∑

j=1

∂2v

∂w2j+r+

+

n−r+−r−∑

j=1

βj∂v

∂wj+r++r−+ γv = 0 (5.4)

donde βj = 0, 1, γ es constante y r+ y r− son los números de autovalores positivos ynegativos de la matriz de coeficientes A.

Demostración. Por la Proposición 5.2, mediante un cambio lineal de variables laecuación (5.3) se convierte en

r+∑

j=1

∂2u

∂z2j

−r−∑

j=1

∂2u

∂z2j+r+

+

n∑

j=1

B′j

∂u

∂zj+ C ′u = 0.

Es más conveniente reescribir esto comon∑

j=1

ǫj∂2u

∂z2j

+

n∑

j=1

B′j

∂u

∂zj+ C ′u = 0

con ǫj = 0, 1,−1 según corresponda. Ahora proponemos

u(z) = ePn

j=1 αjzjv(z) = eα·zv(z)

y se ve que v satisfacen∑

j=1

ǫj∂2v

∂z2j

+

n∑

j=1

(2ǫjαj +B′j)∂v

∂zj+ (

n∑

j=1

(ǫjα2j + B′

jαj) + C)v = 0.

Es claro que en esta última ecuación es posible anular los coeficientes de ∂v∂zj

con j =

1, . . . , r+ + r− definiendo αj = −12ǫjB′

j. Con esta elección v satisface la ecuación

r++r−∑

j=1

ǫj∂2u

∂z2j

+n∑

j=r++r−+1

B′′j

∂u

∂zj

+ C ′′u = 0

Ahora podemos normalizar los coeficientes B′′j 6= 0 mediante el cambio de variable in-

dependiente wj = 1B′′

jzj , lo que finalmente lleva a que v satisface (5.4). Es claro que el

proceso es reversible y que toda solución v da origen a una solución u de (5.3). �

Ejemplo 5.5. La Proposición 5.4 dice que las soluciones de toda ecuación lineal desegundo orden en dos variables y con coeficientes constantes se corresponde con el conjunto

52 5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

de soluciones de exactamente una de las siguientes ecuaciones:

uxx + uyy + γu = 0

uxx − uyy + γu = 0

uxx + uy + γu = 0

uxx + γu = 0

con γ constante. En los casos γ = 0 estas son ecuaciones bien conocidas: la ecuaciónelíptica, de ondas y del calor1. La cuarta es una ecuación ordinaria y por lo tanto no esde interés para el tema que estamos tratando aquí.

Ejemplo 5.6. Queremos estudiar la “forma normal” dada por la Proposición 5.4 a laecuación

3ux1x1 + 10ux1x2 + 3ux2x2 − 2ux2 = 0.

El primer paso es estudiar la parte puramente de segundo orden

L2(u) = 3ux1x1 + 10ux1x2 + 3ux2x2

que tiene por matriz de coeficientes

A :=

(3 55 3

).

Los autovectores de A son1√2

(11

)y

1√2

(1−1

)

que tienen autovalores 8 y −2 respectivamente, con lo que vemos que la parte de orden 2corresponde a una ecuación de onda. Conocidos los autovectores de A se define

C :=1√2

(1 11 −1

)y G := Ct = C.

De este modo, definiendo las nuevas variables y = Gx, es decir, y1 := 1√2(x1 + x2) e

y2 := 1√2(x1 − x2) se tiene

L2(u) = 8uy1y1 − 2uy2y2.

El nuevo cambio z1 := 1√8y1 y z2 := 1√

2y2 reduce la parte cuadrática a

L2(u) = uz1z1 − uz2z2.

Para volver al estudio de la ecuación completa vemos como afectan los cambios de variablesrealizados hasta acá al término de primer orden:

ux2 = uy1

∂y1

∂x2+ uy2

∂y2

∂x2=

1√2(uy1 − uy2) =

1√2(

1√8uz1 −

1√2uz2) =

1

4uz1 −

1

2uz2,

con lo que la ecuación original se escribe, en términos de z1 y z2 como

uz1z1 − uz2z2 −1

2uz1 + uz2 = 0.

Ahora proponemos u(z1, z2) = eα1z1+α2z2v(z1, z2). Se ve que v satisface:

vz1z1 − vz2z2 + (2α1 −1

2)vz1 + (−2α2 + 1)vz2 + (α2

1 − α22 −

1

2α1 + α2)v = 0.

1La forma usual de escribir la ecuación del calor es uxx − ut = 0, que corresponde a un cambio linealde variables, como se vio en la Proposición 5.4. Este cambio no es enteramente trivial en este caso ya quehabitualmente se estudia esta ecuación cuando y > 0 y el cambio de variables necesario para cambiar elsigno del coeficiente justamente convierte esta región en y < 0.

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 53

Por tanto, para escribir la ecuación original en forma normal hay que tomar α1 = 14

yα2 = 1

2. Finalmente, la forma normal de la ecuación es

vz1z1 − vz2z2 +3

16v = 0.

Capítulo 6

Ecuación de onda

1. Generalidades

La ecuación de onda es la ecuación

utt(x, t) − ∆u(x, t) = 0 en U × (0,+∞), (6.1)

donde U ⊂ Rn es un conjunto abierto. Usualmente se ponen condiciones de contorno,sobre el comportamiento de la solución en ∂U × (0,+∞) y sobre sus valores inicialescuando t = 0.

En la literatura aparece el operador Dalembertiano

� :=∂2

∂t2− ∆

con lo que la ecuación de onda se convierte en �u = 0.Es común encontrar la ecuación de onda escrita como

utt(x, t) −1

c2∆u(x, t) = 0. (6.2)

Es práctica común en matemática tratar de eliminar todas las constantes posibles. Eneste caso, mediante el cambio de variables y = cx se obtiene la ecuación de onda usualutt(y, t) − ∆u(y, t) = 0.

En lo que sigue veremos distintas maneras de resolver la ecuación de onda, con distintascondiciones de contorno. Una particularidad a tener en cuenta para esta ecuación es queel comportamiento de sus soluciones depende fuertemente de la dimensión n del espacio,como discutiremos más adelante.

Se sugiere al lector consultar el comienzo del Capítulo 1 del libro de Weinberger [5]para ver como aparece la ecuación de onda como modelo de diferentes fenómenos físicos.

2. Ecuación de onda en n = 1

La ecuación de onda es, en este caso, utt(x, t) − uxx(x, t) = 0. Vamos a buscar susolución en R× (0,+∞). Mediante el cambio de variables ξ = x+ t y η = x− t la ecuaciónse convierte en uξη = 0, donde u(ξ, η) = u(1

2(ξ + η), 1

2(ξ − η)). Esta ecuación se resuelve

directamente integrando en una de las variables y luego en la otra, (en una región conexa):

u(ξ, η) = α(ξ) + β(η)

con α y β funciones arbitrarias. Volviendo a las coordenadas (x, t) tenemos

u(x, t) = u(x+ t, x− t) = α(x+ t) + β(x− t). (6.3)

Notemos que la dependencia funcional x + t significa que α es constante sobre las rectasx + t = constante (¿quienes son estas rectas?). Lo mismo ocurre para β en x − t =constante.

55

56 6. ECUACIÓN DE ONDA

Apliquemos esto a resolver el problema de Cauchy

utt(x, t) − uxx(x, t) = 0 en R× (0,+∞)

u(x, 0) = g(x)

ut(x, 0) = h(x).

(6.4)

Evaluando (6.3) y su derivada respecto de t en t = 0 se obtienen

u(x, 0) = α(x) + β(x) = g(x) y ut(x, 0) = α′(x) − β ′(x) = h(x)

y, derivando la primera respecto de x,

α′(x) + β ′(x) = g′(x)

con lo que tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para α′ y β ′. Susolución es

α′(x) =g′(x) + h(x)

2y β ′(x) =

g′(x) − h(x)

2.

Integrando entre 0 y x se obtiene

α(x) = α(0) +1

2

∫ x

0

(g′(s) + h(s))ds = α(0) +1

2(g(x) − g(0)) +

1

2

∫ x

0

h(s)ds

β(x) = β(0) +1

2

∫ x

0

(g′(s) − h(s))ds = β(0) +1

2(g(x) − g(0)) − 1

2

∫ x

0

h(s)ds.

Con esto volvemos a (6.3) para obtener la fórmula conocida como fórmula de D’Alembert

u(x, t) =g(x+ t) + g(x− t)

2+

1

2

∫ x+t

x−t

h(s)ds (6.5)

donde usamos que α(0) + β(0) − g(0) = 0.

Nota 6.1. La lógica de nuestro razonamiento hasta aquí fue así: si hay una solución ucon suficiente regularidad (es decir, suficientemente derivable), entonces u tiene que estardada por (6.5). Sin embargo, esto no demuestra que la ecuación tenga solución.

En todo caso, la fórmula (6.5) nos da un candidato a solución. Es decir, dadas g y h,definimos u(x, t) por (6.5). El siguiente resultado muestra que esta idea es acertada.

Proposición 6.2. Sean g ∈ C2(R) y h ∈ C1(R). Definiendo u mediante (6.5) severifica que

u(x, t) ∈ C2(R× (0,+∞)).utt − uxx = 0 en R× (0,+∞).u se aproxima a los valores de contorno con continuidad, es decir lımt→0+ u(x, t) =g(x) y lımt→0+ ut(x, t) = h(x).

Demostración. Primero observemos que u está bien definida en la medida que laintegral de h se pueda calcular, cosa que ocurre ya que h es continua. El cálculo delas derivadas segundas en x y t es directo y vale siempre que, al menos, g tenga dosderivadas y h una, cosa que vale por hipótesis y las fórmulas explícitas muestran que u esC2(R× (0,+∞)). Las fórmulas explícitas permiten verificar directamente que la ecuaciónse satisface, así como que los límites tienen los valores del enunciado. �

Nota 6.3. Una aplicación directa de la fórmula de D’Alembert (6.5) nos permiteentender como se propagan los datos iniciales en el espacio y tiempo: para (x, t) fijo, elvalor de u(x, t) depende sólo de los valores de g(x − t), g(x + t) y de los de h sobre elsegmento que une a x − t con x + t. Cualquier cambio de las funciones g y h fuera deeste segmento no afecta el valor de la solución en (x, t). Todo cambio fuera de esta región

2. ECUACIÓN DE ONDA EN n = 1 57

afectará, si, el valor de la solución en x, pero a un tiempo mayor. Por ejemplo, si el datoinicial es h = 0 y g es un pulso concentrado en x = 0 (por ejemplo, g(x) := exp(−100x2)),se ve que el pulso recién es detectado en x > 0 cuando t ∼ x. Es decir que la perturbacióninicial, concentrada en el origen, se propaga en dirección positiva y negativa con velocidad1. Si hubiésemos partido de (6.2) en vez de (6.1), hubiésemos obtenido propagación convelocidad c. En todo caso, la ecuación de onda presenta propagación del dato inicial convelocidad finita.

Estas observaciones motivan la noción de dominio de dependencia de (x, t), la regiónde la curva inicial que puede afectar el valor de u(x, t), y de dominio de influencia de(x0, 0), que es el cono infinito con vértice en (x0, 0) formado por los puntos (x, t) quepueden ser influenciados por el valor del dato inicial en (x0, 0). Ver Figura 6.1.

t

(x, t)

x− t x+ t x

(a) dominio de dependencia

t

x(x0, 0)

(b) dominio de influencia

Figura 6.1. Dominios de dependencia e influencia

Los siguientes ejemplos muestran como en muchos casos es posible usar la solución deD’alembert con otros tipos de dominios.

Ejemplo 6.4. Queremos resolver el siguiente problema en el primer cuadrante:

utt − uxx = 0 en R>0 × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) para x > 0

u(0, t) = 0 para t > 0

(6.6)

La idea es pasar del problema dado, en la semirrecta a otro problema con dominio entodo R, para así poder usar (6.5) para solucionarlo. El primer paso es buscar solucionesa la ecuación de onda sobre R × (0,+∞). El problema con esto es que hay que hallarcondiciones de contorno adecuadas. Para esto podemos extender g(x) y h(x) a toda larecta. Sin embargo, esto hay que hacerlo cuidadosamente ya que la solución tiene quesatisfacer la condición u(0, t) = 0. Para conseguir esto vamos a extender ambas funcionesde manera impar, es decir, definimos

g(x) =

{g(x) si x ≥ 0

−g(−x) si x ≤ 0y h(x) =

{h(x) si x ≥ 0

−h(−x) si x ≤ 0

Ahora buscamos soluciones del problema{utt − uxx = 0 en R× (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) para x ∈ R


Cabe notar que g y h tienen las mismas derivadas que g y h salvo, eventualmente en x = 0.Esto puede llevar a alguna falta de regularidad en la solución hallada por D’Alembert.Más allá de esta observación, la fórmula (6.5) provee un candidato a solución:

u(x, t) =g(x+ t) + g(x− t)

2+

1

2

∫ x+t

x−t

h(s)ds, (6.7)

que podemos reescribir para (x, t) ∈ R>0 × (0,+∞) como

u(x, t) =

{g(x+t)+g(x−t)

2+ 1

2

∫ x+t

x−th(s)ds si x ≥ t ≥ 0

g(x+t)−g(t−x)2

+ 12

∫ x+t

−x+th(s)ds si t ≥ x ≥ 0

(6.8)

Notemos que de (6.7) sale que u(0, t) = g(t)+g(−t)2

+ 12

∫ t

−th(s)ds = 0 debido a la paridad

de g y h. Es fácil ver que (6.8) provee una solución del problema (6.6).

y

x

1

10

0.5

05

-0.5

-1

0-5-10

(a) t = 1

y

x

1

10

0.5

05

-0.5

-1

0-5-10

(b) t = 2.9

y

x

1

10

0.5

05

-0.5

-1

0-5-10

(c) t = 3.1

y

x

1

10

0.5

05

-0.5

-1

0-5-10

(d) t = 4

Figura 6.2. Propagación de una onda en una semirrecta (interpretaciónsobre toda la recta)

y

6

0.8

4

0.4

02

-0.4

0

x

108

(a) t = 1

y

6

0.8

4

0.4

02

-0.4

0

x

108

(b) t = 2.9

y

6

0.8

4

0.4

02

-0.4

0

x

108

(c) t = 3.1

y

6

0.8

4

0.4

02

-0.4

0

x

108

(d) t = 4

Figura 6.3. Propagación de una onda en una semirrecta (interpretaciónsobre la semirrecta)

Nota 6.5. En el problema (6.6), si h(x) = 0 para todo x, la Figura 6.2 muestrala evolución del dato inicial impar, g para distintos valores de t. La restricción de estaevolución a la semirrecta x > 0 se ve en la Figura 6.3, que se puede interpretar del modosiguiente. En principio g se divide en dos partes iguales, “ondas”, cada una de las cualesviaja a derecha o izquierda con velocidad 1. La parte que viaja a la derecha continuaviajando sin cambios. La onda que viaja a la izquierda, sin embargo, al llegar al extremo(x = 0) presenta una inversión y cambia su dirección. En resumen, se comporta como sise reflejase contra el extremo fijo x = 0.


Ejercicio 6.6. Sea f : R → R una función 2L-periódica y tal que f(−x) = −f(x)para todo x ∈ [−L,L]. Probar que f es una función impar.

Ejemplo 6.7. Queremos resolver la ecuación de onda sobre un intervalo finito

utt − uxx = 0 para (x, t) ∈ (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) si x ∈ (0, L)

u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t > 0.

(6.9)

Al igual que antes, vamos a convertir este problema en un problema sobre toda la rectapara poder aplicar la solución de D’Alembert. Al igual que en el Ejemplo 6.4, conviene ex-tender usando prolongaciones impares a fin de asegurar las condiciones nulas de contorno.Sin embargo, esta vez es necesario, también, extender de manera impar con respecto alextremo derecho del intervalo, x = L. Para conseguir ambas cosas vamos a prolongarprimero g y h al intervalo [−L,L] de manera impar, luego definimos g y h como la exten-sión 2L periódica de esas funciones a todo R. Para estos datos de contorno se resuelve elproblema {

utt − uxx = 0 en R× (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) para x ∈ Ry la restricción del resultado a (0, L) es la solución buscada. Verifiquemos que valen lasdos condiciones verticales de contorno. Por construcción y el Ejercicio 6.6, g y h sonimpares y la fórmula (6.5) muestra que u(0, t) = 0. Por otro lado, g(L+ x) = −g(L− x)

y h(L+ x) = −h(L− x) 1 con lo que, de igual modo, u(L, t) = 0 para todo t.En particular, si h(x) = 0 y g(x) = sin(k π

Lx) para algún k ∈ N, se tiene g(x) =

sin(k πLx) con lo que u(x, t) = 1

2(sin(k π

L(x− t))+sin(k π

L(x+ t))). Más en general, para una

g arbitraria esto mismo se puede repetir usando series de Fourier. Notar que en este caso,la técnica de las series de Fourier de senos sirve para construir las extensiones impares yperiódicas buscadas.

Ejemplo 6.8. Queremos resolver nuevamente la ecuación de onda sobre un intervalofinito

utt − uxx = 0 para (x, t) ∈ (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) si x ∈ (0, L)

u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t > 0.

(6.10)

Esta vez usaremos la técnica de separación de variables. Describiremos esta solución bre-vemente puesto que ideas muy similares ya fueron discutidas en el Capítulo 1.

Se buscan soluciones de la forma u(x, t) = X(x)T (t). La sustitución de esta forma enla ecuación arroja las condiciones

X ′′ − λX = 0 y T ′′ − λT = 0

para alguna constante λ ∈ R y con las condiciones

X(0) = X(L) = 0.

De la ecuación para X y las condiciones de contorno sale que λ = −(kπL

)2 con k ∈ N yX(x) = Ck sin(k π

Lx). De modo análogo, T (t) = Ak cos(k π

Lt) +Bk sin(k π

Lt). Todo junto:

u(x, t) = sin(kπ

Lx)(Ak cos(k

π

Lt) +Bk sin(k

π

Lt))

1La verificación para, por ejemplo, g se puede hacer así: por ser g impar, vale que g(L + x) =−g(−L − x) y, por ser g 2L-periódica vale que g(−L − x) = g(L − x). En total, g(L + x) = −g(L − x)


Para poder satisfacer las condiciones de contorno se toman combinaciones lineales de laforma

u(x, t) =

∞∑

k=1

sin(kπ

Lx)(Ak cos(k

π

Lt) +Bk sin(k

π

Lt)).

Las condiciones de contorno arrojan

u(x, 0) =

∞∑

k=1

sin(kπ

Lx)Ak = g(x)

y

ut(x, 0) =∞∑

k=1

sin(kπ

Lx)k

π

LBk = h(x)

con lo que si

g(x) =

∞∑

k=1

gk sin(kπ

Lx) y h(x) =

∞∑

k=1

hk sin(kπ

Lx)

entonces valen

Ak = gk y Bk =L

kπhk.

Todo junto, la solución propuesta es

u(x, t) =∞∑

k=1

sin(kπ

Lx)(gk cos(k

π

Lt) +

L

kπhk sin(k

π

Lt)).

Resta verificar que es posible derivar esta serie dos veces término a término para que seasolución del problema dado, cosa que se deja como ejercicio para el lector.

Hemos visto como la solución de D’Alembert para el problema (6.4) puede usarsepara resolver problemas con condiciones iniciales en subconjuntos de R (una semirrecta,un segmento) mediante la elección adecuada de extensiones de los datos iniciales a todala recta. El Ejercicio siguiente es una muestra más de estas ideas.

Ejercicio 6.9. Sea el problema de frontera libre:

utt − uxx = 0 en (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) para 0 ≤ x ≤ L

ut(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ L

u(L, t) = 0 para t ≥ 0

ux(0, t) = 0 para t ≥ 0

1. Para el caso en que g(x) esta concentrada en un entorno de x0, hallar u(x, t) parat pequeño.

2. ¿Para qué valor de t se produce reflexión en x = 0? ¿Cómo es la onda reflejada?

Ahora vamos a considerar la ecuación de ondas no homogénea

utt(x, t) − uxx(x, t) = f(x, t) (6.11)

en una región U ⊂ R2. Comenzamos por recordar un resultado de cálculo vectorial:

Teorema 6.10 (Teorema de Green). Sea D ⊂ R2 una región acotada que es uniónde regiones simples, cada una de las cuales tiene por borde una curva suave a trozos. SiF1, F2 ∈ C1(D) y γ := ∂D con su orientación positiva, entonces

∫

D

(∂F2

∂x1− ∂F1

∂x2

)dx1dx2 =

∫

γ

F1dx1 + F2dx2.


Si u es una solución de (6.11) y D es una región como la descripta en la Figura 6.4,donde γ1 y γ2 son características (x± t = constante) y γ3 es una curva suave a trozos que

γ1D

(x, t)

γ3

(x1, t1)(x2, t2)

γ2

Figura 6.4. Región de integración para la ecuación de onda no homogénea

une los extremos de γ1 y γ2, tenemos:∫

γ

(−uxdt− utdx) =

∫

D

(−uxx + utt)dxdt =

∫

D

f(x, t)dxdt. (6.12)

Por otro lado, sobre γ1 y γ2 vale dt = ±dx con lo que∫

γ1

(−uxdt− utdx) =

∫

γ1

(uxdx+ utdt) =

∫

γ1

du = u(x, t) − u(x1, t1)

∫

γ2

(−uxdt− utdx) =

∫

γ2

(−uxdx− utdt) = −∫

γ2

du = u(x, t) − u(x2, t2)

Con esto (6.12) se convierte en

2u(x, t) − u(x1, t1) − u(x2, t2) −∫

γ3

(uxdt+ utdx) =

∫

D

f(x, t)dxdt,

o sea que

u(x, t) =u(x1, t1) + u(x2, t2)

2+

1

2

∫

γ3

(uxdt+ utdx) +1

2

∫

D

f(x, t)dxdt. (6.13)

La utilidad de (6.13) viene de que si se conoce u y sus derivadas sobre γ3 entonces esposible calcular u(x, t). Como aplicación de estas ideas podemos resolver el problema

{utt(x, t) − uxx(x, t) = f(x, t) con (x, t) ∈ R× (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x).(6.14)

Una aplicación directa de (6.13) al caso en que γ3 ⊂ R× {0} da

u(x, t) =g(x+ t) + g(x− t)

2+

1

2

∫ x+t

x−t

h(s)ds+1

2

∫

D

f(x, t)dxdt, (6.15)

donde D es el triángulo de vértices (x, t), (x− t, 0) y (x+ t, 0). En particular, para el casof = 0, se recupera la solución de D’Alembert (6.5).

Nota 6.11. Al igual que para la fórmula de D’Alembert (6.5), la fórmula (6.15) so-lamente da una caracterización de la solución en caso que esta exista. Sin embargo, esfácil ver que tomando (6.15) como definición, la función obtenida es realmente soluciónde (6.14).

El siguiente Ejemplo muestra como aplicar la solución dada por (6.15) a una ecuaciónde ondas en una semirrecta.


Ejemplo 6.12. El problema

utt(x, t) − uxx(x, t) = f(t) en 0 < x <∞, t > 0

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 en 0 < x <∞u(0, t) = 0 para t > 0

f(t) = cos(ωt)

intentamos transformarlo en un problema para todo x ∈ R eligiendo las extensiones delos datos de manera que el resultado satisfaga la condición de contorno en x = 0 automá-ticamente, como en el Ejemplo 6.4.

La solución del problema (6.14) con dato inicial g(x) = h(x) = 0 para todo x ∈ R seobtiene de (6.15):

u(x, t) =1

2

∫

D

f(t)dxdt (6.16)

donde D es el triángulo de vértices (x, t), (x− t, 0) y (x+ t, 0). Cuando x = 0, el triánguloes simétrico respecto del eje t, con lo que alcanza que f sea una función impar de x paraque la integral se anule y valga u(0, t) = 0 para todo t > 0 como demanda el problema.Por esto extendemos f de manera impar (en x) a todo x ∈ R. Denotando con f a estaextensión se puede escribir f(x, t) := σ(x)f(t), donde

σ(x) :=

1 si x > 0

−1 si x < 0

0 si x = 0

es la función signo de x. Con esto, podemos evaluar (6.16):

u(x, t) =1

2

∫ t

0

(

∫ x+t−τ

x−t+τ

f(τ)dy)dτ =1

2

∫ t

0

f(τ)(

∫ x+t−τ

x−t+τ

σ(y)dy)dτ (6.17)

Si x > t, se tiene que x− t+ τ ≥ 0 con lo que σ(y) = 1 y se obtiene

u(x, t) =

∫ t

0

f(τ)(t− τ)dτ. (6.18)

Si x < t entonces σ no es constante para τ < t − x por lo que conviene evaluar (6.17)como sigue:

u(x, t) =1

2(

∫ t−x

0

f(τ)(

∫ x+t−τ

x−t+τ

σ(y)dy)dτ +

∫ t

t−x

f(τ)(

∫ x+t−τ

x−t+τ

σ(y)dy)dτ)

=1

2(

∫ t−x

0

f(τ)(

∫ −(x−t+τ)

x−t+τ

σ(y)dy

︸︷︷︸=0 por ser σ impar

+

∫ x+t−τ

−(x−t+τ)

σ(y)︸︷︷︸=1

dy)dτ +

∫ t

t−x

f(τ)(

∫ x+t−τ

x−t+τ

σ(y)︸︷︷︸=1

dy)dτ)

=1

2(

∫ t−x

0

f(τ)2xdτ +

∫ t

t−x

f(τ)2(t− τ)dτ)

=

∫ t−x

0

f(τ)xdτ +

∫ t

t−x

f(τ)(t− τ)dτ.

(6.19)

Reescribiendo (6.19) como

u(x, t) =

∫ t

0

f(τ)(t− τ)dτ −∫ t−x

0

f(τ)(t− τ − x)dτ


se puede dar una escritura unificada a la solución, para todo x y t:

u(x, t) =

∫ t

0

f(τ)(t− τ)dτ −H(t− x)

∫ t−x

0

f(τ)(t− τ − x)dτ (6.20)

donde H denota la función de Heaviside

H(x) :=

{1 si x ≥ 0

0 si x < 0.

Por último, se puede evaluar (6.20) para la f dada en el enunciado. El resultado es

u(x, t) :=1

ω2(1 − cos(ωt) −H(t− x)(cos(ω(t− x)) − 1).

Volvamos a considerar la ecuación de onda homogénea: utt − uxx = 0. El siguienteresultado da una caracterización de sus soluciones en términos del comportamiento de usobre las características.

Proposición 6.13. Sea el dominio U ⊂ R2 y sea u : U → R. Si u(x, t) es solución dela ecuación de ondas utt−uxx = 0 en U entonces para cualquier cuadrilátero Q ⊂ U cuyoslados son características y sus vértices consecutivos son A, B, C y D vale la relación.

u(A) + u(C) = u(B) + u(D). (6.21)

Al revés, si u ∈ C2(U) satisface (6.21), entonces u es una solución de la ecuación de ondaen U .

x

t B

x+ t = c2

D

CA

x− t = c3

x− t = c1

x+ t = c4

Figura 6.5. Cuadrilátero con aristas características

Demostración. Supongamos que u es solución. Como ya hemos visto, vale u(x, t) =α(x+ t)+β(x−t). Mirando la Figura 6.5 y notando que α(x+ t) y β(x−t) son constantessobre las características correspondientes, se ve que valen las relaciones:

α(A) = α(D) y α(B) = α(C)

β(A) = β(B) y β(D) = β(C)

con lo que

u(A) + u(C) = α(A) + β(A) + α(C) + β(C) = α(D) + β(B) + α(B) + β(D)

= u(B) + u(D).


Al revés, si u ∈ C2(U) se tiene

u(x, t+ k) = u(x, t) + ut(x, t)k +1

2utt(x, t)k

2 + ǫk

u(x+ k, t) = u(x, t) + ux(x, t)k +1

2uxx(x, t)k

2 + ηk

donde lımk→01k2 ǫk = lımk→0

1k2 ηk = 0. En particular, aplicando estas igualdades para ±k,

valen:u(x, t− k) + u(x, t+ k) = 2u(x, t) + utt(x, t)k

2 + ǫk + ǫ′k

u(x− k, t) + u(x+ k, t) = 2u(x, t) + uxx(x, t)k2 + ηk + η′k

donde 1k2 ǫk, 1

k2 ǫ′k,

1k2ηk y 1

k2η′k tienden a 0 con k.

Si u, además, satisface (6.21) entonces se tiene

u(x, t− k) + u(x, t+ k) = u(x− k, t) + u(x+ k, t)

para todo k suficientemente chico. Por lo tanto,

utt(x, t)k2 + ǫk + ǫ′k = uxx(x, t)k

2 + ηk + η′k

para todo k suficientemente chico. Dividiendo ambos términos por k2 y tomando el límitek → 0 se obtiene

utt(x, t) = uxx(x, t).

En otras palabras, u satisface la ecuación de onda en U . �

Una aplicación interesante de la Proposición 6.13 permite construir una solución delsiguiente problema:

utt(x, t) − uxx(x, t) = 0 en (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x)

u(0, t) = α(t), u(L, t) = β(t)

(6.22)

Comenzamos por construir una solución en la región (cerrada) I de la Figura 6.6. Esto esposible usando la fórmula de D’Alembert ya que el dominio de dependencia de cualquierpunto en esta región está contenido en (0, L) × {0} y, por lo tanto, el valor de u en laregión queda unívocamente determinado por los valores iniciales dados allí.

t

L

I

III

x

II

A

D

C

B

IV

Figura 6.6. Regiones para la solución de (6.22)


Para definir la solución en la región (cerrada) II, notamos que su valor está deter-minado en el borde izquierdo y el lado que linda con la región I. Como la solución debesatisfacer la relación (6.21), el valor para cualquier punto B en la región II queda de-terminado mediante esta relación, usando un cuadrilátero como el de la Figura 6.6, conlos vértices A, C y D con valores de u conocidos. Del mismo modo se puede continuarcalculando la solución en las regiones III, IV , etc.

Este razonamiento tiene un inconveniente: si las condiciones de contorno no son, dealgún modo, compatibles, el resultado no tiene por que ser una función derivable.

Ejercicio 6.14. Estudie condiciones de compatibilidad en las condiciones de contornoα, β, g y h que aseguren que la solución propuesta es una solución clásica del problema.

En lo que vimos hasta este momento, las propiedades de las soluciones de la ecuaciónde onda se demostraron usando el conocimiento explícito de su forma, por ejemplo, usandola fórmula de d’Alembert. El siguiente resultado usa un enfoque totalmente diferente queno requiere el conocimiento explícito de las soluciones.

Teorema 6.15. Dadas f , g, h, α y β, el problema

utt(x, t) − uxx(x, t) = f(x, t) en (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x)

u(0, t) = α(t), u(L, t) = β(t)

tiene, a lo más, una única solución clásica.

Demostración. Supongamos que hay dos soluciones u1 y u2 del problema. Entoncesw = u1 − u2 es solución del problema

utt(x, t) − uxx(x, t) = 0 en (0, L) × (0,+∞)

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0

u(0, t) = u(L, t) = 0.

Ahora, para t ∈ [0,+∞) definimos

E(t) :=1

2

∫

[0,l]

(wx(x, t)2 + wt(x, t)

2)dx.

Notamos que E(t) está bien definida ya que las derivadas primeras de w son continuas en[0, L], que es un intervalo finito. Entonces calculamos:

dEdt

=

∫

[0,L]

(wxwxt + wtwtt)dx =

∫

[0,L]

wx∂wt

∂xdx+

∫

[0,L]

wtwttdx

= wxwt|x=Lx=0 −

∫

[0,L]

wxxwtdx+

∫

[0,L]

wtwttdx = 0 +

∫

[0,L]

wt(wtt − wxx)dx = 0,

ya que, primero, w se anula en x = 0, L, y por lo tanto lo mismo ocurre con wt, tambiénse usó que wtt −wxx = 0. En conclusión, E es constante y, como E(0) = 1

2

∫[0,l]

(wx(x, 0)2 +

wt(x, 0)2)dx = 0, tenemos que E(t) = 0 para todo t.Hasta el momento hemos visto que

∫[0,l]

(wx(x, t)2 + wt(x, t)

2)dx = 0. Como el inte-grando es una función continua y ≥ 0, concluimos que tiene que anularse en todo punto,o sea que ∇w se anula en (0, L) × (0,+∞), que es una región conexa, y por tanto w esconstante. Finalmente, como w se anula cuando t = 0, vemos que w es idénticamentenula, con lo que u1 = u2 en la región considerada y la solución del problema original esúnica. �


Nota 6.16. El Teorema 6.15 nada dice sobre la existencia de soluciones del problemadado (para la cuál, por ejemplo, hay que imponer condiciones de compatibilidad entre losdatos de contorno).

Nota 6.17. El resultado del Teorema 6.15 puede extenderse a la ecuación de ondasobre R, si se supone que el dato inicial tiene soporte compacto (es decir que se anula fuerade un intervalo [−M,M ]). En este caso, la demostración es prácticamente la misma, sóloque hay que proveer un argumento para demostrar que E es finita para todo t: en principioes obvio ya que el dato inicial se anula fuera de un intervalo y este dato se propaga convelocidad finita (es decir que para cada t fijo la solución también se anula fuera de unintervalo). El problema es, sin embargo, que la propagación finita es una consecuencia dela fórmula de d’Alembert. Es posible dar un argumento independiente de que cualquiersolución de la ecuación de onda propaga el dato inicial con velocidad finita.

3. Ecuación de onda en n > 1

Para analizar la ecuación de onda en varias dimensiones espaciales se usa la técnicaconocida como de los promedios esféricos.

Definición 6.18. Si u(x, t) es una función de n variables espaciales x y una variabletemporal t, sus promedios esféricos en x se definen como

U(r, t) :=1

rn−1ωn

∫

|y−x|2=r2

u(y, t)dSy (6.23)

donde ωn es el área de la cáscara de la esfera de radio 1 en Rn y dSy es el diferencial de(hiper)superficie sobre la (hiper)superficie de integración, parametrizada con la variabley. En otras palabras, el promedio esférico es el promedio de los valores de la función utomados sobre la cáscara de una bola de radio r, con t fijo.

Mediante un cambio de variables y = x+ rξ con |ξ| = 1 (6.23) se convierte en

U(r, t) =1

ωn

∫

|ξ|=1

u(x+ rξ, t)dSξ.

Notemos que podemos recuperar la función u mediante:

u(x, t) = lımr→0+

U(r, t).

Ahora supongamos que u es solución del problema

utt(x, t) − ∆u(x, t) = 0 en Rn × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en Rn

ut(x, 0) = h(x) en Rn.

(6.24)

En este caso, además de los promedios esféricos de u vamos a considerar los de g y h, quedenotamos con G y H , de modo que

U(r, 0) =1

ωn

∫

|ξ|=1

u(x+ rξ, 0)dSξ =1

ωn

∫

|ξ|=1

g(x+ rξ)dSξ = G(r)

Ut(r, 0) =1

ωn

∫

|ξ|=1

ut(x+ rξ, 0)dSξ =1

ωn

∫

|ξ|=1

h(x+ rξ)dSξ = H(r).

Se puede ver que los promedios esféricos de u satisfacen la ecuación de Darboux:{Utt − Urr − (n−1)

rUr = 0 en (0,+∞) × (0,+∞)

U(r, 0) = G(r), Ut(r, 0) = H(r) en (0,+∞).

3. ECUACIÓN DE ONDA EN n > 1 67

Para n impar es posible transformar la ecuación de Darboux en una ecuación de ondaen una dimensión espacial y, usando la fórmula de d’Alembert, hallar su solución. Estoes bastante trabajoso y nos concentraremos en el caso n = 3. En este caso, usando lasnuevas funciones

U(r, t) := rU(r, t), G(r) := rG(r), H(r) := rH(r)

la ecuación de Darboux se convierte en

Utt − Urr = 0 en (0,+∞) × (0,+∞)

U(r, 0) = G(r), Ut(r, 0) = H(r) en (0,+∞)

U(0, t) = 0 en (0,+∞).

(6.25)

Ahora bien, el problema (6.25) ya fue resuelto en el Ejemplo 6.4 y de (6.8), cuando0 ≤ r < t, resulta

U(r, t) =G(r + t) − G(t− r)

2+

1

2

∫ r+t

r−t

H(s)ds,

con lo que

u(x, t) = lımr→0+

U(r, t)

r= lım

r→0+

(G(r + t) − G(t− r)

2r+

1

2r

∫ t+r

t−r

H(s)ds

)

= G′(t) + H(t).

Explícitamente, usando que ω3 = 4π,

u(x, t) =∂

∂t

(1

4πt

∫

|y−x|2=t2g(y)dSy

)+

1

4πt

∫

|y−x|2=t2h(y)dSy. (6.26)

Esto se puede reescribir como

u(x, t) =1

4πt2

∫

|y−x|2=t2

(th(y) + g(y) + ∇g(y) · (y − x)

)dSy (6.27)

con x ∈ R3 y t > 0. La fórmula (6.27) es conocida como fórmula de Kirchoff y da lasolución para el problema de valores iniciales (6.24) cuando n = 3.

Nota 6.19. De la fórmula de Kirchoff (6.27) podemos obtener los dominios de depen-dencia e influencia para la ecuación de onda en n = 3. Como el cálculo de u(x, t) sólodepende de los datos iniciales en la superficie esférica |y − x|2 = t2, vemos que este es eldominio de dependencia. Al revés, una perturbación en (x0, 0) afecta sólo aquellos valores(x, t) para los que |x−x0|2 = t2 (ya que, si no, la integral correspondiente no pasa por x0).Es decir, el dominio de influencia de (x0, 0) es el cono {(x, t) ∈ R4 : |x − x0|2 = t2} (verFigura 6.7). Gráficamente podemos pensar en un pulso concentrado en x0 = 0 a t = 0; untiempo t más tarde, la perturbación es observable sólo en la esfera {x ∈ R3 : |x−0|2 = t2}.De aquí observamos que la propagación ocurre en todas las direcciones espaciales con ve-locidad 1. También podemos notar que una vez que la perturbación pasó por un lugar,este lugar no es afectado más por la perturbación.

Ahora vamos a resolver el problema (6.24) con n = 2, usando los resultados del cason = 3. La clave es que el problema en el plano se puede pensar como un problema en elespacio que es independiente de la tercera variable. De este modo, si u ∈ C2(R2 × [0,∞))es solución de (6.24) con n = 2,

u(x1, x2, x3, t) := u(x1, x2, t)


(x, t)

t

x ∈ R3


t

x ∈ R3

(x0, 0)

(b) dominio de influencia (es sólo la superficielateral del cono)

Figura 6.7. Dominios de dependencia e influencia para la ecuación deonda en n = 3 (en los gráficos, el plano horizontal representa al espacio R3)

es solución de

utt(x, t) − ∆u(x, t) = 0 en R3 × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en R3

ut(x, 0) = h(x) en R3.

donde g(x1, x2, x3) = g(x1, x2) y h(x1, x2, x3) = h(x1, x2). Por lo tanto, por (6.26) vale

u(x1, x2, t) = u(x, t) =∂

∂t

(1

4πt

∫

|y−x|2=t2g(y)dSy

)+

1

4πt

∫

|y−x|2=t2h(y)dSy

donde las barras denotan a vectores en R3 y la medida de integración sobre la cásca-ra de la esfera en R3. Ahora parametrizamos la superficie |y − x|2 = t2 en R3 comodos gráficos sobre el disco (y1 − x1)

2 + (y2 − x2)2 ≤ t2 en R2, usando las funciones

(y1, y2) 7→ ±√t2 − ((y1 − x1)2 + (y2 − x2)2). De este modo y tomando en cuenta que

todas las funciones son independientes de la variable x3 sale que

u(x1, x2, t) =1

2π

∂

∂t

∫

(y1−x1)2+(y2−x2)2≤t2

g(y1, y2)√t2 − ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2)

dy1dy2

+1

2π

∫

(y1−x1)2+(y2−x2)2≤t2

h(y1, y2)√t2 − ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2)

dy1dy2.

(6.28)

Un poco más de trabajo nos lleva a la fórmula

u(x, t) =1

2π

∫

|y−x|2≤t2

tg(y) + t2h(y) + t∇g(y) · (y − x)√t2 − |y − x|2

dy, (6.29)

donde x e y son vectores en R2. La fórmula (6.29), conocida como fórmula de Poisson, dala solución del problema (6.24) cuando n = 2.

Nota 6.20. Igual que vimos en la Nota 6.19, podemos usar la expresión explícita de lasolución de (6.24) cuando n = 2 dada por la fórmula de Poisson (6.29) para determinar losdominios de dependencia e influencia del problema. A diferencia de la situación en el cason = 3, el valor de u(x, t) ahora toma en cuenta todos los valores de los datos iniciales en el

3. ECUACIÓN DE ONDA EN n > 1 69

disco {y ∈ R2 : |y−x|2 ≤ t2} (y no sólo los de su borde). Este disco es, entonces, el dominiode dependencia de (x, t). Esta diferencia con el caso n = 3 también se refleja en que eldominio de influencia de (x0, 0) es el cono sólido {(x, t) ∈ R2 × (0,+∞) : |x− x0|2 ≤ t2}(ver Figura 6.8). Esto quiere decir que, por ejemplo, si el dato inicial consiste de un pulso

(x, t)

t

x ∈ R2


t

(x0, 0)

x ∈ R2

(b) dominio de influencia (es el cono sólido)

Figura 6.8. Dominios de dependencia e influencia para la ecuación deonda en n = 2

centrado en el origen, el pulso producirá una perturbación que, a tiempo t, afectará losvalores de u en el disco {x ∈ R2 : |x − 0|2 ≤ t2}, con lo que una vez que la perturbaciónllegó a influenciar el valor de u en un punto, continuará afectándolo en el futuro.

Capítulo 7

La ecuación de Laplace

1. Generalidades

En esta sección estudiaremos la ecuación

− ∆u = −n∑

j=1

∂2u(x)

∂x2j

= 0 en U (7.1)

para algún abierto U ⊂ Rn, que es llamada la Ecuación de Laplace1. Esta ecuación esel prototipo de las ecuaciones elípticas, como vimos en el Capítulo 5. El caso n = 2ya es conocido del estudio de funciones de variable compleja, donde las soluciones de∆u = 0, llamadas funciones armónicas, son exactamente las partes reales e imaginariasde funciones holomorfas en U , si U es simplemente conexo. En general, las solucionesde (7.1) también son llamadas funciones armónicas.

La versión no homogénea de la ecuación de Laplace

− ∆u = f(x) en U (7.2)

es conocida como ecuación de Poisson.La ecuación de Laplace aparece en muchos lugares, por lo común asociada al estudio

de magnitudes que se hallan en un estado de equilibrio dinámico. Digamos que F es unatal magnitud vectorial. Si no hay fuentes ni sumideros para F en U ⊂ Rn, en cualquierregión abierta V ⊂ U , el flujo de F sobre ∂V debe anularse, es decir,

∫

∂V

F · νdS = 0 (7.3)

donde ν es el campo normal a la hipersuperficie ∂V ⊂ Rn. Usando el Teorema de laDivergencia (Teorema 7.6), (7.3) se convierte en

∫

V

∇ · FdV = 0.

En muchas circunstancias la magnitud F es proporcional al gradiente de un potencial u:F = a∇u, con lo que tenemos

∫

V

∇ · (a∇u)dV = a

∫

V

∆udV = 0.

Como esta última relación vale para cualquier V ⊂ U , concluimos que el integrando sedebe anular en U , vale decir, que vale (7.1).

En lo que sigue estudiaremos algunas soluciones de (7.1) y (7.2) para algunos dominiosU simples, así como también propiedades generales de las soluciones que no dependen deposeer una fórmula explícita para la solución.

1El signo introducido delante del operador ∆ en (7.1) cumple un rol análogo al de los signos dela teoría de Sturm-Liouville. Igual que allí, este signo va a hacer que los autovalores del operador −∆resulten todos positivos.

71

72 7. LA ECUACIÓN DE LAPLACE

Nota 7.1. En el caso n = 1, (7.2) se resuelve completamente ya que −uxx(x) = f(x)lleva a que u(x) = −

∫ x

x0(∫ s1

x0f(s2)ds2)ds1 + Ax + B, para algunas constantes A y B.

Debido a esto, en lo que sigue nos concentraremos en el caso n ≥ 2.

2. Nociones Básicas

Del estudio de la acción del cambio lineal de coordenadas en el espacio en la matrizde un operador de segundo orden (ver (5.2)), es claro que el operador −∆, cuya matrizes escalar, es invariante frente a cambios de coordenadas dados por matrices ortogonales.Esto lleva a buscar soluciones de la ecuación de Laplace que presenten simetría de rotación(y por tanto también son invariantes frente a este tipo de cambios de coordenadas). Estose consigue buscando soluciones de la forma

u(x) := v(r) con r := |x| =

√√√√n∑

j=1

x2j .

para v : R→ R. Tomando en cuenta que ∂r∂xj

=xj

r, (7.1) se convierte en

v′′(r) +n− 1

rv′(r) = 0.

Esta ecuación se puede integrar separando variables y se obtiene

v(r) =

{a2 ln(r) + a3 si n = 2a2

2−n1

rn−2 + a3 si n > 2.(7.4)

Definición 7.2. La solución fundamental de la ecuación de Laplace (7.1) es la función

Φ(x) =

{−12π

ln(|x|) si n = 21

n(n−2)αn

1|x|n−2 si n > 2.

(7.5)

obtenida de (7.4) cuando se toma a3 = 0 y a2 = 12π

cuando n = 2 y a2 = −1nαn

si n > 2 (αn

es el volumen de la bola de radio 1 en Rn).

Nota 7.3. La solución fundamental de la ecuación de Laplace es una función armónicaen Rn − {0}.

Nota 7.4. Para todo n ≥ 2 se tiene

∇Φ(x) =−x

nαn|x|nsi x ∈ Rn − {0},

Se tiene que nαn = ωn, donde ωn es el área de Sn := ∂B1(0), el borde de la bola unitariade radio 1 en Rn. Esto es así ya que

αn =

∫

B1(0)

dVy =

∫ 1

0

(

∫

∂Bρ(0)

dSy)dρ =

∫ 1

0

(

∫

∂B1(0)

ρn−1dSy)dρ =

∫ 1

0

ωnρn−1dρ =

ωn

n

Notemos que la ecuación de Laplace tiene muchas soluciones “triviales”: todas lasfunciones lineales y las cuadráticas que no tengan cuadrados (es decir, solo términos cru-zados). Es claro entonces que para que el problema quede bien planteado es necesario darcondiciones adicionales. A diferencia de lo que ocurre en la ecuación de onda, estas con-diciones adicionales no suelen ser “posiciones” y “velocidades”. Esto suele sobredeterminarla solución de la ecuación de Laplace. Este fenómeno es conocido de la variable compleja,donde conocer una función sobre, digamos, |z| = 1 la determina sobre todo |z| ≤ 1, noquedando libertad para, por ejemplo, fijar una derivada sobre |z| = 1.

2. NOCIONES BÁSICAS 73

Los problemas de contorno típicos son los siguientes:{−∆u(x) = 0 en U ⊂ Rn

u(x) = g(x) en ∂U,(7.6)

llamado el problema de Dirichlet y el problema de Neumann:{−∆u(x) = 0 en U ⊂ Rn

∂u(x)∂ν

= h(x) en ∂U,(7.7)

donde ν es el campo normal interior a ∂U . Esto no agota las posibilidades de datosiniciales. Por ejemplo, también se estudian los casos mixtos.

Cuando el dominio U es simple, es posible resolver la ecuación de Laplace usandoseparación de variables, como muestra el ejemplo siguiente.

Ejemplo 7.5. Queremos resolver el problema{−∆u = 0 en U := (0, a) × (0, b)

u = g en ∂U,(7.8)

suponiendo que u es continua en el borde.Antes de embarcarnos en la separación de variables misma vamos a hacer un par de

reducciones muy útiles. Primero vamos a ver que podemos suponer que g se anula enlos vértices de U . Para esto, notemos que la función α(x, y) := a0 + a1x + a2y + a3xyes armónica en R2. Por otro lado, pedir que α en cada vértice valga lo mismo que g enese vértice determina 4 condiciones lineales sobre los 4 coeficientes a0, . . . , a3. Es posible,entonces, hallar coeficientes de modo que α y g tengan los mismos valores en los vértices.Fijamos los coeficientes de α en estos valores.

Busquemos ahora una solución de (7.8) de la forma u = v + α. Se ve que v tiene quesatisfacer {

−∆v = 0 en U := (0, a) × (0, b)

v = g − α en ∂U,(7.9)

con lo que, en particular, v se anula en los vértices de ∂U ya que g y α toman el mismovalor allí.

El paso siguiente es descomponer el problema en 4 problemas con condición de con-torno más simple. Para ello definimos g1 con los mismos valores de g − α en (0, a) × {0}y 0 en el resto de ∂U , y, análogamente g2, g3 y g4 sobre los otros segmentos del borde,de modo que g − α = g1 + g2 + g3 + g4. Notar que para que esta descomposición resulteen funciones continuas es necesario que g − α se anule en los vértices (como conseguimoshacer).

Ahora buscamos las soluciones de los problemas{−∆vj = 0 en U := (0, a) × (0, b)

vj = gj en ∂U,(7.10)

para j = 1, . . . , 4. Suponiendo que sabemos resolver estos problemas, v = v1 + v2 + v3 + v4

resulta ser solución de (7.9), con lo que u = v1 + v2 + v3 + v4 +α es solución del problemaoriginal (7.8).

Resta resolver (7.10) para cada j. Nos concentramos en el caso j = 1 ya que losotros son análogos. Este problema, en particular, es idéntico salvo por las dimensiones(variables) del dominio al ejemplo discutido en la Sección 1 del Capítulo 1.


Planteando v1(x, y) = X(x)Y (y) se obtienen las ecuaciones

X ′′(x) − λX(x) = 0 y Y ′′(y) + λY (y) = 0

para alguna constante λ ∈ R a determinar. Las condiciones de contorno imponen, además,que

X(0) = X(a) = Y (b) = 0.

Es fácil ver que la única posibilidad para X es que λ < 0 y

X(x) = A cos(√−λx) +B sin(

√−λx).

Las condiciones de contorno determinan entonces que A = 0 y que√−λa = kπ con k ∈ N,

esto último ya que λ 6= 0 y, por convención√· es la raíz cuadrada positiva. Por lo tanto

λ = −(kπa

)2 y X(x) = B sin(k πax) para k ∈ N.

De la ecuación para Y obtenemos

Y (y) = Ae√−λy +Be−

√−λy.

La condición inicial lleva entonces a que B = −Ae2√−λb, de donde sale que

Y (y) = 2Ae√−λb sinh(

√−λ(y − b)) = A sinh(

√−λ(y − b)).

En resumen, tenemos

v1(x, y) = Ak sin(kπ

ax) sinh(

kπ

a(y − b)) con k ∈ N.

Para poder ajustar la condición inicial no nula tomamos combinaciones lineales:

v1(x, y) =∞∑

k=1

Ak sin(kπ

ax) sinh(

kπ

a(y − b))

y pedimos que g1(x, 0) = v1(x, 0) =∑∞

k=1Ak sin(kπax) sinh(−kπ

ab), con lo que las cons-

tantes Ak se pueden determinar en base a los coeficientes de Fourier de (la expansión ensenos de) g1(x, 0) = g(x, 0) − α(x, 0). En concreto, si

bk =2

a

∫ a

0

(g(x, 0) − α(x, 0)) sin(kπ

ax)dx,

entonces

Ak =bk

sinh(−kπab)

y la solución resulta

v1(x, y) =∞∑

k=1

bksinh(kπ

a(y − b))

sinh(−kπab)

sin(kπ

ax). (7.11)

Finalmente, un razonamiento análogo a los ya hechos al final de la Sección 2 delCapítulo 1 lleva a demostrar que si g1 es suficientemente suave en ∂U , entonces es posiblederivar (7.11) término a término, para concluir que es solución de (7.10) para j = 1. Losdetalles se dejan a cargo del lector.

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ARMÓNICAS 75

3. Propiedades de las Funciones Armónicas

Del Teorema de la Divergencia se deducen algunas fórmulas de suma utilidad en elestudio de las funciones armónicas. Supongamos que U ⊂ Rn es un abierto acotado conborde C1 (esto quiere decir que cerca del borde, U se puede describir localmente como los(x1, . . . , xn) con xn < γ(x1, . . . , xn−1) para alguna función γ de tipo C1).

Teorema 7.6 (Teorema de la Divergencia). Sea U ⊂ Rn un abierto acotado con bordeC1 y ν el campo normal unitario exterior a ∂U . Si F : U → Rn es C1(U) entonces vale

∫

∂U

(F (y) · ν(y))dSy =

∫

U

(∇ · F (y))dVy.

Teorema 7.7 (Identidades de Green). Sea U ⊂ Rn un abierto acotado con borde C1

y ν el campo normal unitario exterior a ∂U . Si u, v ∈ C2(U), entonces valen∫

∂U

v∂u

∂νdS =

∫

U

(∇v · ∇u+ v∆u)dV (7.12a)∫

∂U

(v∂u

∂ν− u

∂v

∂ν)dS =

∫

U

(v∆u− u∆v)dV (7.12b)∫

∂U

uνidS =

∫

U

uxidV (7.12c)

Demostración. Aplicando el Teorema de la divergencia a v∇u, sale (7.12a). Toman-do la diferencia entre (7.12a) y ella misma con los roles de u y v invertidos, sale (7.12b).Finalmente, aplicando (7.12a) al caso v(x) = u(x) y u(x) = xi, sale (7.12c). �

Corolario 7.8. Sea U ⊂ Rn un abierto acotado con borde C1 y ν el campo normalunitario exterior a ∂U . Si u ∈ C2(U) una solución del problema de Neumann (7.7) en U ,entonces el dato de contorno h satisface

∫∂UhdS = 0.

Demostración. Si u es como el enunciado, tomar v = 1 y aplicar (7.12a). �

Corolario 7.9. Sea U ⊂ Rn un abierto acotado con borde C1 y ν el campo normalunitario exterior a ∂U . El problema de Dirichlet (7.6) tiene, a lo sumo, una soluciónu ∈ C2(U). Si U es conexo, dos soluciones C2(U) del problema de Neumann (7.7) difierenen una constante aditiva.

Demostración. Aplicando (7.12a) al caso v = u, con u armónica se obtiene∫

∂U

u∂u

∂νdS =

∫

U

|∇u|2dV. (7.13)

Si u = u1 − u2 es la diferencia entre dos soluciones de un mismo problema de Dirichlet,entonces u = u1 − u2 = g − g = 0 en ∂U . Por lo tanto (7.13) se convierte en

0 =

∫

U

|∇u|2dV,

de donde, siendo el integrando positivo y continuo, concluimos que ∇u = 0 en U , es decirque u es constante en cada componente conexa de U . Pero como u = 0 en ∂U , u = 0en todo U . Entonces, u1 = u2 en U para cualesquiera dos soluciones del problema deDirichlet.

El caso del problema de Neumann es análogo al de Dirichlet, excepto que al no tenerinformación sobre u en ∂U , sólo se puede concluir que u es constante en U (que se suponeconexo), con lo que la diferencia entre dos soluciones del problema de Neumann difierenen una constante. De hecho, si u1 es solución de (7.7), entonces u1 +C también lo es paracualquier constante C. �


Los resultados anteriores dan propiedades muy importantes de las funciones armónicas.Sin embargo, su demostración requiere que la función en cuestión sea de tipo C2(U). Estacondición parece no ser la natural para el tipo de problema tratado, donde parece másapropiado pedir soluciones en C2(U) ∩ C0(U). A continuación introduciremos otro tipode técnicas que permiten estudiar propiedades de las funciones armónicas con condicionesmenos exigentes.

Teorema 7.10. Sea u ∈ C2(U) armónica e y ∈ U . Si r > 0 es tal que Br(y) ⊂ U ,entonces

u(y) =1

ωn

∫

|ξ|=1

u(y + rξ)dSξ =1

V ol(∂Br(0))

∫

∂Br(0)

u(y + z)dSz, (7.14)

donde ωn es el volumen2 de ∂B1(0) ⊂ Rn.

Demostración. Sea

φ(r) =1

ωn

∫

|ξ|=1

u(y + rξ)dSξ.

Entonces

φ′(r) =1

ωn

∫

|ξ|=1

∇u(y + rξ) · ξdSξ =1

rn−1ωn

∫

∂Br(y)

∇u(x) · x− y

rdSx

=1

rn−1ωn

∫

∂Br(y)

∂u

∂ν(x)dSx =

1

rn−1ωn

∫

Br(y)

∆u(x)dVx = 0

(7.15)

donde hemos usado que x−yr

es el campo normal unitario a ∂Br(y), y también la identidadde Green (7.12a) con v = 1. Por lo tanto, φ(r) es constante. Como además

lımr→0+

φ(r) =1

ωn

∫

|ξ|=1

lımr→0+

u(y + rξ)dSξ = u(y), (7.16)

concluimos que φ(r) = u(y) para todo r > 0. La segunda igualdad del enunciado seobtiene simplemente mediante el cambio de variables x = rξ. �

Nota 7.11. También vale el recíproco del Teorema 7.10. Es decir, si u ∈ C2(U)satisface (7.14) para todo r > 0 suficientemente chico, entonces u es armónica en U . Estoes muy simple ya que si ∆u(y) 6= 0 para algún y ∈ U podemos suponer que ∆u(y) > 0,con lo que ∆u(z) > 0 en Br(y) para algún r > 0. Por tanto, en (7.15) se tiene

0 = φ′(r) =1

rn−1ωn

∫

Br(y)

∆u(z)dVz > 0,

y de la contradicción concluimos que ∆u(y) = 0.Más aún, veremos en el Teorema 7.35 que toda función continua en U y que satisface

la propiedad del valor medio es C∞, con lo que la condición de u ∈ C2(U) en esta Notano es necesaria ya que alcanza con C0(U).

Ejercicio 7.12. En el primer paso de (7.15), en la demostración del Teorema 7.10,se intercambia una derivada con una integral. En la misma demostración, en (7.16), seintercambia un límite con una integral. Justificar cuidadosamente esos pasos.

2En estas notas vamos a hablar de volumen tanto de una hipersuperficie (es decir, dimensión n − 1)como de conjuntos de dimensión n. En ambos casos se entiende que el volumen al que nos referimoses el que corresponde a la dimensión del objeto considerado. De otro modo, si calculamos el volumenn-dimensional de una hipersuperficie, siempre obtenemos 0

3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ARMÓNICAS 77

Corolario 7.13. Con las mismas condiciones del Teorema 7.10, para todo r > 0 valeque

u(y) =n

ωn

∫

|ξ|≤1

u(y + rξ)dVξ =1

V ol(Br(0))

∫

Br(0)

u(y + x)dVx.

Demostración.∫

|ξ|≤1

u(y + rξ)dVξ =

∫ 1

0

(

∫

|ξ|=ρ

u(y + rξ)dSξ)dρ =

∫ 1

0

ρn−1(

∫

|χ|=1

u(y + rρχ)dSχ)dρ

=

∫ 1

0

ρn−1ωnu(y)dρ =ωn

nu(y),

de donde sale la primera igualdad del enunciado. La segunda es automática por un cambiode variables. �

Nota 7.14. Para u ∈ C2(U), si en vez de pedir ∆u = 0 se pide ∆u ≥ 0, las mismasdemostraciones del Teorema 7.10 y el Corolario 7.13 muestran que

u(y) ≤ 1

ωn

∫

|ξ|=1

u(y + rξ)dSξ y u(y) ≤ n

ωn

∫

|ξ|≤1

u(y + rξ)dVξ.

Para el enunciado del próximo resultado necesitamos revisar la noción de supremo deun subconjunto de R. Si A ⊂ R, se dice que s ∈ R es una cota superior de A si a ≤ spara todo a ∈ A. El supremo de A, denotado por supA, es la menor de todas las cotassuperiores de A. Si A es acotado superiormente, se deduce de la completitud de R quesupA existe y es finito. Si A no es acotado superiormente se dice que supA = ∞. Notarque supA puede pertenecer a A o no. De modo análogo se introduce el ínfimo de A comola mayor de sus cotas inferiores.

Teorema 7.15 (Principio del Máximo). Si U ⊂ Rn es un abierto conexo y u ∈ C2(U)satisface ∆u ≥ 0 en U entonces, o bien u es constante en U , o vale

u(y) < supx∈U

u(x) para todo y ∈ U.

Demostración. Sea S = supx∈U u(x). Podemos suponer que S <∞ ya que en casocontrario el resultado es trivial. Definimos B := {x ∈ U : u(x) = S} = u−1(S).

Siendo u continua y {S} un conjunto cerrado, tenemos que B = u−1(S) es cerrado enU .

Por otro lado, para y ∈ B, es decir que u(y) = S, si hubiese algún valor de u(x) para xen alguna bola centrada en y con u(x) < u(y) = S, por la continuidad de u, y siendo queS es el valor máximo posible para u, por la Nota 7.14, sería u(y) < S, que no es posible.Luego alguna bola abierta contenida en U y centrada en y esta contenida en B, es decirque B es abierto en U .

Pero entonces, B es abierto y cerrado en U , conexo, con lo que B = ∅ o B = U , quees exactamente la tesis del enunciado. �

Corolario 7.16. Si U es compacto y u ∈ C2(U) ∩ C0(U) satisface ∆u ≥ 0 en U ,entonces

maxx∈U

u(x) = maxx∈∂U

u(x).

Nota 7.17. Es claro que para funciones u ∈ C2(U) ∩ C0(U) con ∆u ≤ 0 en Uvalen resultados análogos al Teorema 7.15 y su Corolario 7.16, reemplazando máximos ysupremos por mínimos e ínfimos. Estos son, a veces, conocidos como principio del mínimo.


Corolario 7.18. Sea U ⊂ Rn un dominio acotado y u1, u2 ∈ C2(U)∩C0(U) solucio-nes de la ecuación de Poisson −∆u = f en U . Dado ǫ > 0, si |u1(x) − u2(x)| < ǫ paratodo x ∈ ∂U , entonces vale |u1(x) − u2(x)| < ǫ para todo x ∈ U .

Demostración. En las condiciones del enunciado, u = u1 − u2 es armónica en U ,con |u| < ǫ en ∂U . Por el Corolario 7.16 resulta u < ǫ en U y por su análogo para ∆u ≤ 0,u > −ǫ en U , con lo que |u| < ǫ en U , de donde se sigue el enunciado. �

Aplicando el Corolario al caso en que u1 = u2 en ∂U sale el siguiente resultado deunicidad, análogo al Corolario 7.9, pero que no supone que la solución es C2(U).

Corolario 7.19. El problema de Dirichlet{−∆u = f en U

u = g en ∂U

tiene, a lo más, una única solución u ∈ C2(U) ∩ C0(U).

Nota 7.20. Los Corolarios 7.18 y 7.19, dicen que suponiendo que el problema deDirichlet tiene solución, entonces está bien planteado, ya que la solución es única y dependecontinuamente del dato de contorno (pequeño dato de contorno lleva a soluciones pequeñasen el interior del dominio).

La propiedad del valor medio para funciones armónicas u permite hallar cotas paraestimar el comportamiento de u y sus derivadas.

Teorema 7.21. Sea u armónica en U ⊂ Rn. Entonces, si r > 0 es tal que Br(x) ⊂ U ,vale que

|u(x)| ≤ C1

rn|u|L1(Br(x))

y

|uxj(x)| ≤ C0

rn+1|u|L1(Br(x))

para algunas constantes C0, C1 ∈ R. La norma |u|L1(Br(x)) es

|u|L1(Br(x)) =

∫

Br(x)

|u(y)|dVy.

Demostración. Por el Corolario 7.13,

|u(x)| = | n

rnωn

∫

Br(x)

u(y)dVy| ≤n

rnωn

∫

Br(x)

|u(y)|dVy

de donde, tomando C0 = nωn

se tiene la primera desigualdad.Como u es armónica en U , uxj

también lo es. Por lo tanto, por la primera desigualdad

|uxj(x)| ≤ | 2nn

rnωn

∫

B r2(x)

uxj(y)dVy| = | 2nn

rnωn

∫

∂B r2(x)

u(y)νj(y)dSy|

≤ 2nn

rnωn

∫

∂B r2(x)

|u(y)|dSy ≤2nn

rnωn( maxy∈∂B r

2(x)

|u(y)|)(r2)n−1ωn

=2n

rmax

y∈∂B r2(x)

|u(y)|.

4. REGULARIZACIÓN DE FUNCIONES 79

Para y ∈ ∂B r2(x), vale B r

2(y) ⊂ Br(x) ⊂ U y, por la primera desigualdad

|u(y)| ≤ 2nn

rnωn

∫

B r2(y)

|u(z)|dVz ≤2nn

rnωn

∫

Br(x)

|u(z)|dVz =2nn

rnωn|u|L1(Br(x)).

Juntando las últimas estimaciones

|uxj(x)| ≤ 2n

rmax

y∈∂B r2(x)

|u(y)| ≤ 2n

r

2nn

rnωn|u|L1(Br(x)) =

2n+1n2

rn+1ωn|u|L1(Br(x))

con lo que, definiendo C1 = 2n+1n2

ωn, se tiene la segunda desigualdad del enunciado. �

Corolario 7.22 (Teorema de Liouville). Sea u : Rn → R armónica y acotada. En-tonces u es constante.

Demostración. Sea M = supx∈Rn |u(x)| <∞. Fijando x ∈ Rn, para cada r > 0, porla segunda desigualdad del Teorema 7.21 vale

|uxj(x)| ≤ C1

rn+1|u|L1(Br(x)) =

C1

rn+1

∫

Br(x)

|u(y)|dVy ≤C1

rn+1Mωnr

n

n=MC1ωn

nr

que tiende a 0 cuando r → +∞. Por tanto, uxj(x) = 0, para todo x ∈ Rn y para cualquier

j. En conclusión, ∇u se anula en Rn y, por tanto, u es constante. �

Nota 7.23. Es posible dar una demostración más directa del Teorema de Liouvilleque no usa el Teorema 7.21. Notemos que si u es armónica en U , entonces uxj

también loes. Por tanto, usando el Corolario 7.13 y (7.12c), vale que

uxj(x) =

1

V ol(Br(x))

∫

Br(x)

uxj(y)dVy =

n

rnωn

∫

Br(x)

uxj(y)dVy

=n

rnωn

∫

∂Br(x)

u(y)νj(y)dSy

donde νj es la j-ésima componente del campo normal unitario a ∂Br(x). En consecuencia,

|uxj(x)| ≤ n

rnωn

∫

∂Br(x)

|u(y)νj(y)|dSy =n

rnωn

∫

∂Br(x)

|u(y)|dSy

≤ n

rnωnsup

y∈∂Br(x)

|u(y)|rn−1ωn =n

rsup

y∈∂Br(x)

|u(y)|.

Entonces, cuando u es acotada se tiene supy∈∂Br(x) |u(y)| ≤ M para todo x y r > 0, conlo que

|uxj(x)| ≤ n

rM para todo r > 0

de donde sale que ∇u = 0 en Rn y, finalmente, u es constante en Rn.

4. Regularización de funciones

En muchas situaciones es importante poder aproximar una función dada mediantefunciones con mayor suavidad (regularidad). En esta sección describiremos brevementeun mecanismo que permite aproximar funciones mediante funciones C∞. Antes de pasara estudiar la regularización propiamente dicha introduciremos un nuevo “producto” entrefunciones, llamado producto de convolución que aparecerá varias veces en lo que resta deestas notas.


4.1. Producto de Convolución.

Definición 7.24. Si f, g : Rn → R se define su convolución f ∗ g : Rn → R mediante

(f ∗ g)(x) :=

∫Rn

f(x− y)g(y)dVy

siempre que la integral este definida.

Proposición 7.25. Siempre que las integrales en cuestión estén definidas vale que elproducto de convolución es:

conmutativo: f ∗ g = g ∗ f .asociativo: f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h.lineal en cada variable: (a1f1 + a2f2) ∗ g = a1(f1 ∗ g) + a2(f2 ∗ g) para a1, a2 ∈ R.

Proposición 7.26. Si f, g ∈ L1(Rn) entonces f ∗ g ∈ L1(Rn) y |f ∗ g|L1(Rn) ≤|f |L1(Rn)|g|L1(Rn).

Demostración. Usando convenientemente el Teorema de Fubini tenemos

|f ∗ g|L1(Rn) =

∫Rn

|(f ∗ g)(x)|dVx =

∫Rn

|∫Rn

f(x− y)g(y)dVy|dVx

≤∫Rn

(

∫Rn

|f(x− y)g(y)|dVy)dVx =

∫Rn

(

∫Rn

|f(x− y)||g(y)|dVx)dVy

=

∫Rn

(

∫Rn

|f(x− y)|dVx)|g(y)|dVy =

∫Rn

(

∫Rn

|f(z)|dVz)|g(y)|dVy

=

∫Rn

(

∫Rn

|f(z)|dVz)|g(y)|dVy =

∫Rn

|f(z)|dVz

∫Rn

|g(y)|dVy

= |f |L1(Rn)|g|L1(Rn).

�

Nota 7.27. Como muestra la Proposición 7.25, el producto de convolución compartevarias propiedades con el producto usual de funciones. Sin embargo, en algunos aspectoses bien diferente. Por ejemplo, el producto usual de funciones tiene un elemento neutro,la función constantemente 1. En cambio, (1 ∗ f)(x) =

∫Rn f(y)dVy, que, salvo que f seanula no es f . En general, no hay una función que sea el elemento neutro (o unidad) de ∗.Dicho esto, notamos que, extendiendo la noción de convolución adecuadamente para queactúe sobre distribuciones (ver Sección 6), la distribución δ0 es el elemento neutro de ∗,ya que (f ∗ δ0)(x) “ = ”

∫Rn f(x− y)δ0(y)dVy “ = ” f(x− 0) = f(x).

4.2. Regularización.

Definición 7.28. Sea η : R→ R definida por

η(x) :=

{e

1x2−1 si |x| < 1

0 si |x| ≥ 1.

La función η : Rn → R definida por

η(x) := cnη(|x|)con cn = (

∫B1(0)

e1

|x|2−1dVx)−1 es llamada función regularizante. Para ǫ > 0 se definen

también

ηǫ(x) :=1

ǫnη(x

ǫ).

La Figura 7.1 muestra la gráficos de ηǫ.


4

3

x

2

20

1

-1 0-2 1

Figura 7.1. Gráficos de las funciones aproximantes ηǫ en n = 1 para ǫ = 1,0.5 y 0.2

Proposición 7.29. Para todo ǫ > 0,

1. supp(ηǫ) = Bǫ(0).2. ηǫ ∈ C∞

c (Rn).3.

∫Rn ηǫ(x)dVx = 1.

Definición 7.30. Si U ⊂ Rn y f : U → R es localmente integrable3, se define suregularización como f ǫ := ηǫ ∗ f en Uǫ := {x ∈ U : dist(x, ∂U) > ǫ}. Explícitamente, parax ∈ Uǫ,

f ǫ(x) =

∫

U

ηǫ(x− y)f(y)dVy =

∫

U

ηǫ(y)f(x− y)dVy =

∫

Bǫ(0)

ηǫ(y)f(x− y)dVy.

Ejemplo 7.31. En n = 1, si

f(x) :=

{1 si x ∈ [−1, 1]

0 si no .

Entonces

f ǫ(x) =

∫

Bǫ(0)

ηǫ(y)f(x− y)dVy =

0 si |x| > 1 + ǫ∫[−1,x+ǫ]

ηǫ(y)dVy si |x+ 1| < ǫ∫Bǫ(x)

ηǫ(y)dVy = 1 si |x| < 1 − ǫ∫[x−ǫ,1]

ηǫ(y)dVy si |x− 1| < ǫ

La Figura 7.2 muestra las regularizaciones f ǫ para distintos valores de ǫ.

4.3. Propiedades de la regularización. Antes de estudiar la convergencia de lasregularizaciones f ǫ a f , el siguiente Lema discute la convergencia de cocientes incremen-tales.

3Una función f se dice localmente integrable en U –denotado como f ∈ L1loc(U)– si

∫K|f(x)|dVx < ∞

para todo conjunto compacto K ⊂ U . Por ejemplo, si f es continua a trozos en U , entonces es localmenteintegrable en U .


x

21

0.8

0.6

-20

-1 3

1

0.2

-3 0

0.4

Figura 7.2. Regularizaciones de f , Ejemplo 7.31 para ǫ = 1, 0.5 y 0.2

Lema 7.32. Si f ∈ C2c (Rn),

lımh→0

f(x+ hej) − f(x)

h=

∂f

∂xj

(x),

uniformemente en x.

Demostración. Como f(x+hej)−f(x)

h= 1

h

∫ h

0∂f∂xj

(x+t)dt, entonces, usando el Teoremadel Valor Medio

|f(x+ hej) − f(x)

h− ∂f

∂xj

(x)| = |1h

∫ h

0

(∂f

∂xj

(x+ t) − ∂f

∂xj

(x))dt|

= |1h

∫ h

0

∂2f

∂x2j

(x+ t)tdt| ≤ 1

|h|

∫ |h|

0

|∂2f

∂x2j

(x+ t)||t|dt

≤ 1

|h|

∫ |h|

0

maxy∈Rn

|∂2f

∂x2j

(y)||t|dt =1

|h||h|22

maxy∈Rn

|∂2f

∂x2j

(y)|

=|h|2

maxy∈Rn

|∂2f

∂x2j

(y)|

que tiende a 0 cuando h → 0. En particular, como la cota resulta independiente de x, laconvergencia del cociente incremental a la derivada resulta uniforme en x. �

Nota 7.33. Del Lema 7.32 se sigue que, por ejemplo, si u(x) =∫Rn Φ(y)f(x − y)dy,

con f ∈ C2c (Rn) y Φ localmente integrable,

u(x+ hej) − u(x)

h=

∫Rn

Φ(y)f(x+ hej − y) − f(x− y)

hdy →

∫Rn

Φ(y)∂f

∂xj(x− y)dy

cuando h→ 0, ya que la convergencia es uniforme en x y el soporte de f es compacto.

Teorema 7.34. Si U ⊂ Rn y f es localmente integrable en U entonces

1. f ǫ ∈ C∞(Uǫ) para todo ǫ > 0.2. lımǫ→0+ f ǫ(x) = f(x) para casi todo x ∈ U .3. Si f ∈ C0(U) entonces f ǫ → f uniformemente en subconjuntos compactos de U .4. Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ Lp

loc(U), entonces f ǫ → f en Lploc(U).


Demostración. Veamos el primer punto. Fijado x ∈ Uǫ, j ∈ {1, . . . , n} y h de modoque x+ tej ∈ Uǫ para t entre 0 y h. Entonces

f ǫ(x+ hej) − f ǫ(x)

h=

1

ǫn

∫

U

η(x+hej−y

ǫ) − η(x−y

ǫ)

hf(y)dVy

Tomando en cuenta el soporte de η y la elección de h se ve que hay un abierto V con

x

Uǫ

U

V

x+ hej

Figura 7.3. Región de integración para f ǫ

V ⊂ V ⊂ U (ver Figura 7.3) con V compacto y de modo que∫

U

η(x+hej−y

ǫ) − η(x−y

ǫ)

hf(y)dVy =

∫

V

η(x+hej−y

ǫ) − η(x−y

ǫ)

hf(y)dVy.

Usando un par de veces el Teorema del Valor Medio:∣∣∣∣f ǫ(x+ hej) − f ǫ(x)

h−

∫

U

(ηǫ)xj(x− y)f(y)dVy

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣1

ǫn

∫

V

(η(

x−y+hej

ǫ) − η(x−y

ǫ)

h− 1

ǫηxj

(x− y

ǫ))f(y)dVy

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣1

ǫn

∫

V

(1

ǫηxj

(x− y + h1ej

ǫ) − 1

ǫηxj

(x− y

ǫ))f(y)dVy

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣1

ǫn+2

∫

V

ηxjxj(x− y + h2ej

ǫ)h1f(y)dVy

∣∣∣∣

≤ 1

ǫn+2supz∈Rn

|ηxjxj(z)||h1|

∫

V

|f(y)|dVy

para 0 < |h2| < |h1| < |h|. Observamos además que como η ∈ C∞c (Rn) el supremo de

la última desigualdad es finito y la integral de |f | también lo es por ser f localmenteintegrable. Tomando límite h→ 0 que

∂f ǫ

∂xj(x) =

∫

U

(ηǫ)xj(x− y)f(y)dVy.


Repitiendo el mismo proceso se ve que

∂α1+···+αnf ǫ

∂xα11 · · ·∂xαn

n

(x) = (∂α1+···+αnηǫ

∂xα11 · · ·∂xαn

n

∗ f)(x)

de donde sale que f ǫ ∈ C∞(Uǫ).El resto de la demostración del Teorema puede verse en el Apéndice C.4 de [4]. �

Teorema 7.35. Si U ⊂ Rn y u ∈ C0(U) satisface la propiedad del valor medio

u(x) =1

ωn

∫

|ξ|=1

u(x+ rξ)dSξ

para todo x ∈ U y r > 0 de modo que Br(x) ⊂ U , entonces u ∈ C∞(U).

Demostración. Como antes, para ǫ > 0 se define Uǫ := {x ∈ U : dist(x, ∂U) > ǫ} yuǫ = ηǫ ∗ u. Por el Teorema 7.34 sabemos que uǫ ∈ C∞(Uǫ).

Para x ∈ U fijo, sea ǫ tal que x ∈ Uǫ. Entonces

uǫ(x) =

∫

U

ηǫ(x− y)u(y)dVy =1

ǫn

∫

Bǫ(x)

η(x− y

ǫ)u(y)dVy

=1

ǫn

∫ ǫ

0

(

∫

∂Br(x)

u(z)dSz)

︸︷︷︸=ωnrn−1u(x)

η(r

ǫ)dr =

u(x)ωn

ǫn

∫ ǫ

0

η(r

ǫ)rn−1dr

=u(x)

ǫn

∫ ǫ

0

η(r

ǫ)(

∫

∂Br(0)

dSz)dr =u(x)

ǫn

∫

Bǫ(0)

η(y

ǫ)dVy

= u(x)

∫

Bǫ(0)

ηǫ(y

ǫ)dVy = u(x).

Es decir que u y uǫ coinciden en Uǫ. Como la diferenciabilidad es una propiedad local(es decir que alcanza con verificarla en cada punto para que valga en todo U),concluimosque u ∈ C∞(Uǫ), es decir que u es C∞ en un entorno de x. Como x ∈ U es arbitrario,concluimos que u ∈ C∞(U). �

Nota 7.36. En las condiciones del Teorema 7.35, nada se puede concluir sobre elcomportamiento de u en U .

5. Un Teorema de Existencia

Teorema 7.37. Sea u(x) =∫Rn Φ(y)f(x− y)dy, con Φ la solución fundamental de la

ecuación de Laplace (7.5) y f ∈ C4c (Rn). Entonces, u ∈ C2(Rn) y −∆u = f en Rn.

Demostración. Como se observó en la Nota 7.33, bajo las hipótesis del Teoremavale que

∂2u

∂xj∂xk(x) =

∫Rn

Φ(y)∂2f

∂xj∂xk(x− y)dy

de donde sale que, siendo ∂2f∂xj∂xk

continua, u ∈ C2(Rn).Ahora calcularemos ∆u(x). Por lo recién visto:

∆u(x) =

∫Rn

Φ(y)∆xf(x− y)dy =

∫Rn

Φ(y)∆yf(x− y)dy

=

∫

Bǫ(0)

Φ(y)∆yf(x− y)dy +

∫

Bǫ(0)c

Φ(y)∆yf(x− y)dy = Iǫ + Jǫ

para cualquier ǫ > 0.

5. UN TEOREMA DE EXISTENCIA 85

Analicemos cada integral por separado.

|Iǫ| ≤∫

Bǫ(0)

Φ(y)|∆yf(x− y)|dy ≤ maxy∈Rn

|∆yf(y)|∫

Bǫ(0)

Φ(y)dy

Ahora bien,∫

Bǫ(0)Φ(y)dy es una integral impropia ya que Φ no está acotada en el origen.

Entonces,∫

Bǫ(0)

Φ(y)dy = lımδ→0+

∫

Bǫ(0)−Bδ(0)


∫ ǫ

δ

(

∫

∂Bρ(0)

Φ(y)dSy)dρ

= lımδ→0+

∫ ǫ

δ

ρn−1(

∫

∂B1(0)

Φ(ρy)dSy)dρ = lımδ→0+

∫ ǫ

δ

ρn−1Φ(ρ)ωndρ,

donde hemos denotado por Φ(ρ) a Φ evaluada en cualquier y con |y| = ρ, ya que Φ sólodepende del módulo de su argumento, siendo por lo tanto constante en ∂Bρ(0). Si n = 2se tiene ∫ ǫ

δ

ρn−1Φ(ρ)ωndρ =

∫ ǫ

δ

ρ ln(ρ)dρ =1

4ρ2(2 ln(ρ) − 1)|ǫδ

con lo que ∫

Bǫ(0)


1

4ρ2(2 ln(ρ) − 1)|ǫδ =

1

4ǫ2(2 ln(ǫ) − 1).

Si n ≥ 3, se tiene∫ ǫ

δ

ρn−1Φ(ρ)ωndρ =

∫ ǫ

δ

ρn−1 1

(n− 2)ρn−2dρ =

1

(n− 2)

∫ ǫ

δ

ρdρ =1

2(n− 2)(ǫ2 − δ2)

con lo que∫

Bǫ(0)


1

2(n− 2)(ǫ2 − δ2) =

ǫ2

2(n− 2).

En conclusión, en todos los casos, lımǫ→0+ Iǫ = 0.Ahora consideramos

Jǫ =

∫

Bǫ(0)c

Φ(y)∆yf(x− y)dVy

= −∫

Bǫ(0)c

∇Φ(y) · ∇yf(x− y)dVy +

∫

∂Bǫ(0)c

Φ(y)∂f

∂ν(x− y)dSy

= Kǫ + Lǫ

donde ν es la normal unitaria interior a Bǫ(0) (que es exterior a Bǫ(0)c).Ahora

|Lǫ| ≤∫

∂Bǫ(0)c

Φ(y)|∂f∂ν

(x− y)|dVy ≤∫

∂Bǫ(0)c

Φ(y)|∇f(x− y)|dSy

≤ maxy∈Rn

|∇f(y)|∫

∂Bǫ(0)c

Φ(y)dSy ≤ maxy∈Rn

|∇f(y)|Φ(ǫ)ǫn−1ωn

≤ maxy∈Rn

|∇f(y)|ǫn−1

{ln(ǫ) si n = 2

1(n−2)ǫn−2 si n ≥ 3

con lo que, en todo caso, lımǫ→0+ Lǫ = 0.


Ahora calculamos Kǫ:

Kǫ = −∫

Bǫ(0)c

∇Φ(y) · ∇yf(x− y)dVy

=

∫

Bǫ(0)c

=0︷︸︸︷∆Φ(y) f(x− y)dVy −

∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)∂Φ

∂ν(y)dSy

= −∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)∂Φ

∂ν(y)dSy.

Como en todos los casos vale ∇Φ(y) = −1ωn

y|y|n y ν(y) = − y

|y| en ∂Bǫ(0)c, tenemos

Kǫ = −∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)∂Φ

∂ν(y)dSy = −

∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)(−1

ωn

y

|y|n ) · (− y

|y|)dSy

=−1

ωn

∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)1

|y|n−1dSy =

−1

ωnǫn−1

∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)dSy

=−1

V ol(∂Bǫ(0)c)

∫

∂Bǫ(0)c

f(x− y)dSy

con lo que lımǫ→0+ Kǫ = −f(x), que demuestra la segunda parte de la tesis. �

Vimos que ∆Φ = 0 en Rn − {0}. Nos interesa entender que clase de objeto es ∆Φ.En principio, si es una función razonable, los siguientes cálculos, basados en las fórmulasde Green debieran ser correctos. Trabajamos en el caso n ≥ 3 aunque el caso n = 2 esanálogo. Para φ ∈ C∞

c (Rn) y ǫ > 0,∫Rn

∆Φ(y)φ(y)dVy =

∫

Bǫ(0)

φ∆ΦdVy =

∫

∂Bǫ(0)

φ∂Φ

∂ν(y)dSy −

∫

Bǫ(0)

∇φ(y) · ∇Φ(y)dVy,

(7.17)donde las integrales en regiones que contienen el origen se entienden como integralesimpropias ya que Φ y sus derivadas no están definidas allí. Usando que φ y sus derivadasestán uniformemente acotadas en Rn tenemos

|∫

∂Bǫ(0)

Φ(y)∂φ

∂ν(y)dSy| ≤

∫

∂Bǫ(0)

Φ(y)|∂φ∂ν

(y)|dSy ≤M1

∫

∂Bǫ(0)

Φ(y)dSy

= M11

(n− 2)ωnǫn−2

∫

∂Bǫ(0)

dSy =M1

(n− 2)ǫ

que tiende a 0 cuando ǫ→ 0+. Por otro lado,

|∫

Bǫ(0)

Φ(y)∆φ(y)dVy| ≤∫

Bǫ(0)

Φ(y)|∆φ(y)|dVy ≤ M2

∫

Bǫ(0)

Φ(y)dVy

que ya vimos (mirar el cálculo de Iǫ en la demostración del Teorema 7.37) tiende a 0cuando ǫ→ 0+. Juntando los dos resultados anteriores vemos que

lımǫ→0+

∫

Bǫ(0)

∇φ(y) · ∇Φ(y)dVy = lımǫ→0+

(

∫

∂Bǫ(0)

Φ(y)∂φ

∂ν(y)dSy −

∫

Bǫ(0)

Φ(y)∆φ(y)dVy) = 0

Por otro lado, tomando en cuenta que la normal exterior es ν(y) = y|y| , tenemos que

∫

∂Bǫ(0)

φ(y)∂Φ

∂ν(y)dSy =

∫

∂Bǫ(0)

φ(y)−1

ωn

y

|y|n · y|y|dSy =−1

ωnǫn−1

∫

∂Bǫ(0)

φ(y)dSy,

6. DISTRIBUCIONES 87

con lo que

lımǫ→0+

∫

∂Bǫ(0)

φ(y)∂Φ

∂ν(y)dSy = −φ(0).

Juntando estos cálculos y volviendo a (7.17) vemos que∫Rn

∆Φ(y)φ(y)dVy = −φ(0). (7.18)

La expresión (7.18) muestra que, si bien ∆Φ = 0 en Rn − {0}, no es cierto que sepueda considerar ∆Φ = 0 en Rn. Más aún, si ∆Φ fuese una función “honesta” para lacual se pueden aplicar las integraciones por partes que usamos en nuestro razonamiento,la integral (7.18) debiera anularse ya que, después de todo, ∆Φ se anula en todos ladossalvo en un punto. La conclusión es que ∆Φ no es una función en el sentido usual. Paraentender que clase de objeto es ∆Φ vamos a estudiar un tipo de objeto que generaliza lanoción de función Rn → R.

6. Distribuciones

Como se vio en la Sección 5, el estudio de la solución fundamental de la ecuación deLaplace lleva a estudiar objetos como ∆Φ que no se comportan como funciones “honestas”.Para tratar estas y otras cuestiones se introdujo la noción de función generalizada odistribución. Esta idea resulta muy importante en toda la teoría de ecuaciones diferencialeslineales. El tema es, de por si, muy vasto y en estas notas solo mencionaremos algunasdefiniciones y ejemplos.

Definición 7.38. Sea U ⊂ Rn un abierto. Se define C∞c (U) como el R-espacio vecto-

rial de funciones infinitamente derivables a soporte compacto en U , usualmente llamadoespacio de las funciones de prueba. Una distribución en U es una transformación linealT : C∞

c (U) → R que es continua, es decir, que si φn ∈ C∞c (U) satisfacen φn → 0 ∈ C∞

c (U),entonces vale que T (φn) → 0 ∈ R.

Nota 7.39. La continuidad de una transformación lineal sobre un R-espacio vectorialde dimensión finita es automática y por eso en el álgebra lineal básica no se mencionala continuidad como requisito adicional. Sin embargo, cuando el espacio de partida es dedimensión infinita una función puede ser lineal y no ser continua.

Nota 7.40. La Definición 7.38 no es completa ya que al hablar del espacio de funcionesde prueba no se especificó el sentido en el cual las sucesiones de funciones de prueba debentender a 0. En pocas palabras, una tal sucesión tiende a 0 (la función nula), cuando tantolas funciones de prueba como sus derivadas convergen uniformemente a 0 en cada conjuntoK ⊂ Rn compacto. Esta definición es un poco más general que la noción de distancia,pero resulta ser la definición correcta para la teoría de distribuciones.

Nota 7.41. En la Definición 7.38 pareciera hablarse solo de la continuidad de la dis-tribución T en el origen (la función nula). Sin embargo, dado que T es una transformaciónlineal, alcanza con saber que es continua en un punto para saber que lo es para cualquierotro punto.

Nota 7.42. El conjunto de las distribuciones es un R-espacio vectorial, subespaciodel R-espacio vectorial hom(C∞

c (Rn),R) de todas las transformaciones lineales. Es posibledotar al espacio de las distribuciones de estructura adicional, como ser una topología. Eneste sentido, se dice que una sucesión de distribuciones Tk converge como distribución ala distribución T , si Tk(φ) → T (φ) para toda función de prueba φ.


Ejemplo 7.43. Dada f ∈ C0(Rn) se define Tf : C∞c (Rn) → R mediante

Tf (φ) :=

∫Rn

f(x)φ(x)dx. (7.19)

Notar que la integral siempre es finita ya que el integrando es continuo y la integral secalcula sobre una región acotada ya que φ tiene soporte compacto. Se puede demostrarque cuando φn → 0, Tf(φn) → 0, con lo que Tf define una distribución.

Usando funciones de prueba φ concentradas en el entorno de un punto x0 ∈ Rn sepueden “explorar” los valores de f(x) cercanos a f(x0) evaluando Tf(φ).

El Ejemplo 7.43 muestra como toda función continua4 puede ser vista como distri-bución. Más aún, si f 6= g son dos funciones continuas, es fácil ver que Tf 6= Tg, o seaque f 7→ Tf es una aplicación inyectiva, con lo que las distribuciones son una auténticaextención de las funciones continuas. El siguiente Ejemplo muestra que, sin embargo, haydistribuciones que no son Tf para ninguna función.

Ejemplo 7.44. Se define δ0 : C∞c (Rn) → R mediante

δ0(φ) := φ(0). (7.20)

Es inmediato que δ0 es una distribución. Es posible demostrar que δ0 6= Tf para ningunafunción f . La distribución δ0 es llamada delta de Dirac. Comparando con el resultado dela Sección 5, vemos que −∆Φ(x) = δ0(x).

Si f ∈ C1(Rn) podemos calcular, para j = 1, . . . , n,

Tfxj(φ) =

∫Rn

fxj(x)φ(x)dx =

∫Rn−1

(

∫R fxj(x)φ(x)dxj)dx1 · · · ˆdxj · · · dxn

=

∫Rn−1

(f(x)φ(x)|∞−∞ −∫R f(x)φxj

(x)dxj)dx1 · · · ˆdxj · · · dxn

=

∫Rn−1

(0 −∫R f(x)φxj

(x)dxj)dx1 · · · ˆdxj · · · dxn

= −∫Rn

f(x)φ(x)xjdx = −Tf (φxj

),

(7.21)

donde usamos integración por partes y el hecho de que φ tiene soporte compacto, porlo que sus valores en infinito se anulan. Lo interesante del resultado final de (7.21) esque el cálculo de Tfxj

(φ) se reduce a evaluar la distribución Tf , que no involucra las

derivadas de f . Esto lleva a pensar en definir Tfxj, aún cuando f no es derivable, mediante

Tfxj(φ) := −Tf (φxj

). Más en general se tiene

Definición 7.45. Si T : C∞c (Rn) → R es una distribución, se define su derivada

parcial respecto de xj , ∂T∂xj

, mediante

∂T

∂xj(φ) := −T (φxj

)

para cualquier φ ∈ C∞c (Rn).

Nota 7.46. De acuerdo con la Definición 7.45, toda distribución admite una derivadaque resulta ser, ella misma, una distribución.

4La construcción de Tf dada en el Ejemplo 7.43 puede ser extendida a funciones no necesariamentecontinuas a soporte compacto (ver Ejemplo 7.47). Esencialmente lo que hace falta es que la función encuestión sea medible de modo que (7.19) tenga sentido.

7. FUNCIÓN DE GREEN (I) 89

Ejemplo 7.47. Sea H : R→ R la función de Heaviside definida por

H(x) :=

{1 si x ≥ 0

0 si x < 0.(7.22)

Es claro que H no es derivable en x = 0 ya que ni siquiera es continua allí. A pesar deque H /∈ C0(R), como notáramos con anterioridad, podemos definir TH como

TH(φ) :=

∫RH(x)φ(x)dx =

∫ ∞

0

φ(x)dx.

Calculamos entoncesdTH

dx(φ) = −TH(φ′) = −

∫ ∞

0

φ′(x)dx = −φ(x)|∞0 = φ(0).

Vemos entonces que T ′H = δ0. Esto tiene, intuitivamente, sentido, ya que la derivada de

H es nula en donde existe, es decir, en R − {0}, que coincide con la interpretación de δ0como función que se anula en esa misma región.

Se dice que la derivada distribucional de H es δ0.

Ejemplo 7.48. Podemos calcular∂δ0∂xj

(φ) := −δ0(φxj) = −φxj

(0).

Nota 7.49. De modo obvio se definen las derivadas distribucionales de orden superiora 1.

Ejercicio 7.50. Probar que si f ∈ C1(R) vale que T ′fH = f(0)δ0 + Tf ′H . Usar esta

fórmula para ver que si u(x) := sin(x)H(x) entonces u′′ + u = δ0, donde se entiende quelas derivadas son tomadas en sentido distribucional.

7. Función de Green (I)

Vamos a considerar ahora el problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en undominio U ⊂ Rn acotado: {

−∆u = f en U

u = g en ∂U.

Supongamos que u ∈ C2(U). Para x ∈ U fijo y ǫ > 0 de modo que Bǫ(x) ⊂ U definimosVǫ := U − Bǫ(x), entonces, usando la fórmula de Green (7.12b) vale∫

Vǫ

(u(y)∆yΦ(y − x) − Φ(x− y)∆u(y))dVy =

∫

∂Vǫ

(u(y)∂Φ

∂ν(y − x) − Φ(y − x)

∂u

∂ν(y))dSy.

(7.23)Estudiemos en detalle el comportamiento de la integral sobre ∂Bǫ(x). Como

|∫

∂Bǫ(x)

Φ(y − x)∂u

∂ν(y))dSy| ≤

∫

∂Bǫ(x)

Φ(y − x)|∂u∂ν

(y))|dSy

≤ maxy∈∂Bǫ(x)

|∂u∂ν

(y))|Φ(ǫ)

∫

∂Bǫ(x)

dSy

≤ maxy∈U

|∇u(y)|Φ(ǫ)ωnǫn−1,

tomando en cuenta (7.5), concluimos que

lımǫ→0+

∫

∂Bǫ(x)

Φ(y − x)∂u

∂ν(y)dSy = 0.


Calculemos ahora∫

∂Bǫ(x)

u(y)∂Φ

∂νy(x− y))dSy =

∫

∂Bǫ(x)

u(y)∇yΦ(x− y) · ν(y)dSy

=

∫

∂Bǫ(x)

u(y)1

ωn

(x− y)

|x− y|n · x− y

|x− y|dSy

=

∫

∂Bǫ(x)

u(y)1

ωn

1

|x− y|n−1dSy

=1

ωnǫn−1

∫

∂Bǫ(x)

u(y)dSy

=1

V ol(∂Bǫ(x))

∫

∂Bǫ(x)

u(y)dSy

de donde concluimos que

lımǫ→0+

∫

∂Bǫ(x)

u(y)∂Φ

∂ν(x− y))dSy = u(x).

Por último, notando que ∆yΦ(x− y) = 0 en Vǫ, tomamos ǫ→ 0+ en (7.23) para obtener

−∫

U

Φ(x− y)∆u(y))dVy =

∫

∂U

(u(y)∂Φ

∂ν(y − x) − Φ(y − x)

∂u

∂ν(y))dSy + u(x),

de donde

u(x) =

∫

∂U

(Φ(y − x)∂u

∂ν(y) − u(y)

∂Φ

∂νy(y − x))dSy −

∫

U

Φ(x− y)∆u(y))dVy (7.24)

En resumen

Lema 7.51. Si U ⊂ Rn es abierto y acotado, con ∂U de tipo C1, para toda u ∈ C2(U)y x ∈ U vale (7.24).

En principio, el Lema 7.51 permite describir la solución de la ecuación de Poisson enU si se conocen los valores de u y ∂u

∂νen ∂U . El problema con esto es que la información

requerida es excesiva y no es aplicable ni a las condiciones de Dirichlet ni Neumann. Laidea para conseguir resolver estos problemas es modificar la solución fundamental usandoalguna función armónica que se “adapte” al abierto U en cuestión. Esta función modificadaes la función de Green. Más precisamente

Definición 7.52. Se define la función de Green del abierto U ⊂ Rn como G(x, y) :=Φ(y − x) − φx(y) para x, y ∈ U con x 6= y. Para cada x ∈ U fijo la función φx es soluciónde {

−∆yφx(y) = 0 en U

φx(y) = Φ(y − x) para y ∈ ∂U.

Dada la función de Green de U , de la fórmula de Green (7.12b) se tiene

−∫

U

φx(y)∆u(y)dVy =

∫

∂U

(u(y)∂φx

∂νy

(y) − φx(y)∂u

∂ν(y))dSy

=

∫

∂U

(u(y)∂φx

∂νy(y) − Φ(y − x)

∂u

∂ν(y))dSy

que, sumada a (7.24), da

u(x) =

∫

∂U

u(y)(∂φx

∂νy(y) − ∂Φ

∂νy(y − x))dSy +

∫

U

(φx(y) − Φ(y − x))∆u(y)dVy

7. FUNCIÓN DE GREEN (I) 91

es decir que

u(x) = −∫

∂U

u(y)∂G

∂νy

(x, y)dSy −∫

U

G(x, y)∆u(y)dVy. (7.25)

Todo junto hemos demostrado que

Teorema 7.53. Si U ⊂ Rn es abierto y acotado, con ∂U de tipo C1, si u ∈ C2(U) essolución de {

−∆u = f en U

u = g en ∂U,

entonces

u(x) = −∫

∂U

g(y)∂G

∂νy(x, y)dSy +

∫

U

G(x, y)f(y)dVy, (7.26)

para todo x ∈ U .

La expresión ∂G∂νy

(x, y) que aparece en (7.26) es llamada el núcleo de Poisson para U .

Nota 7.54. Se puede ver que, formalmente, para x ∈ U fijo,{

∆yG(x, y) = −δx(y) en U

G(x, y) = 0 para y ∈ ∂U.

También se puede demostrar que

G(x, y) = G(y, x) para todo x, y ∈ U con x 6= y.

El problema es, claro, como construir funciones de Green para un abierto U dado.

7.1. Función de Green para un semiespacio. Queremos hallar la función deGreen para el abierto Rn

+ := {x ∈ Rn : xn > 0}. Para esto buscaremos la motivación en laelectrostática, es decir que trabajaremos en n = 3.

Una simple comparación de la solución fundamental del laplaciano (7.5) con el po-tencial del campo electrostático generado por una carga puntual colocada en el origenmuestra que, salvo por la normalización, ambas funciones coinciden. Desde este punto devista, se puede pensar que el problema de hallar la función de Green consiste en hallar unadistribución de cargas de modo que el potencial conjunto de éstas y la carga ubicada enx ∈ U sea una función armónica en U−{x} (automático si las cargas adicionales no estánen U ya que el potencial del campo satisface la ecuación de Laplace fuera de las cargas)y de modo que ∂U sea una superficie de potencial nulo para la distribución elegida.

Especialmente simple es el caso de R3+ ya que si se coloca una carga en x = (x1, x2, x3) ∈R3

+ y otra de la misma magnitud y signo contrario en x := (x1, x2,−x3), el campo totalen cualquier punto que equidiste de x y x es nulo. El punto x fue elegido, precisamente,de modo que los puntos equidistantes a ambas cargas sean ∂R3

+. Por tanto la función deGreen (el potencial generado por ambas cargas) es

G(x, y) = Φ(y − x) − Φ(y − x).

Motivados por el resultado anterior en el caso n = 3 es fácil ver que

G(x, y) = Φ(y − x) − Φ(y − x) con x, y ∈ Rn+ (7.27)

donde x = (x1, . . . , xn)∼ := (x1, . . . , xn−1,−xn), es la función de Green de Rn+.

Si el resultado del Teorema 7.53 vale en Rn+ (el Teorema no se aplica ya que Rn

+ no esacotado) entonces la solución de

{−∆u = f en Rn

+

u = g en ∂Rn+


se puede escribir como

u(x) = −∫

∂Rn+

g(y)∂G

∂νy(x, y)dSy +

∫Rn

G(x, y)f(y)dVy.

Como ∂∂νy

= − ∂∂yn

en ∂Rn+ se tiene

∂G(x, y)

∂νy= −∂G(x, y)

∂yn= −∂Φ(y − x)

∂yn+∂Φ(y − x)

∂yn

=1

ωn(n− 2)

∂

∂yn

(|y − x|2−n − |y − x|2−n

)

=1

ωn

(1

|y − x|n−1

yn − xn

|y − x| − 1

|y − x|n−1

yn + xn

|y − x|

)

=1

ωn

(yn − xn

|y − x|n − yn + xn

|y − x|n)

Como para y ∈ ∂Rn+ vale |y − x| = |y − x| e yn = 0, queda

∂G(x, y)

∂νy=

1

ωn

−2xn

|y − x|n

Entonces se tiene

u(x) =

∫

∂Rn+

g(y)1

ωn

2xn

|y − x|ndSy +1

(n− 2)ωn

∫Rn+

(1

|y − x|n−2− 1

|y − x|n−2

)f(y)dVy.

(7.28)En particular, para el problema

{−∆u = 0 en Rn

+

u = g en ∂Rn+

se obtiene la fórmula

u(x) =2xn

ωn

∫

∂Rn+

g(y)

|y − x|ndSy, (7.29)

conocida como fórmula de Poisson, que, dependiendo de las propiedades de g, resulta seruna solución.

7.2. Función de Green para una esfera. El método “electrostático” usado en laSección 7.1, conocido como método de imágenes, puede ser aplicado en otras circunstan-cias. Aquí mencionaremos su uso para hallar la función de Green de una esfera de radioR, es decir, U = BR(0).

La electrostática sugiere definir x = R2x|x|2 y

G(x, y) = Φ(y − x) − Φ

( |x|R

(y − x)

)para x, y ∈ BR(0).

Cabe notar que, en este caso y en comparación con la función de Green del semiespacio,se coloca una partícula en x, pero su carga no es la misma que la de la partícula colocadaen x sino que está modificada por la constante |x|

Rque aparece dentro de la solución

8. FUNCIÓN DE GREEN (II) ♦ 93

fundamental. Para esta función de Green,

∇yG(x, y) = ∇yΦ(y − x) −∇yΦ

( |x|R

(y − x)

)= − y − x

ωn|y − x|n +( |x|

R)2(y − x)

ωn| |x|R(y − x)|n

=1

ωn

(( |x|R

)2−ny − x

|y − x|n − y − x

|y − x|n).

Por otro lado, si |y| = R,

|y − x|2|y − x|2 =

|y|2 − 2yx+ x2

|y|2 − 2yx+ |x|2 =R2 − 2yR2x

|x|2 + (R2

|x| )2

R2 − 2yx+ |x|2 =R2

|x|2|x|2 − 2yx+R2

R2 − 2yx+ |x|2 =R2

|x|2 ,

con lo que

∇yG(x, y) =1

ωn

(( |x|R

)2y − x

|y − x|n − y − x

|y − x|n)

=1

ωn|y − x|n(( |x|

R

)2

(y − x) − (y − x)

)

=1

ωn|y − x|n(( |x|

R

)2

(y − R2x

|x|2)− (y − x)) =

1

ωn|y − x|n(( |x|

R

)2

− 1

)y.

Entonces, para |y| = R,

∂G(x, y)

∂νy=

1

ωn|y − x|n(( |x|

R

)2

− 1

)y · y|y| =

1

ωn|y − x|n|x|2 − R2

R,

con lo que, finalmente, la fórmula (7.26) para la esfera de radio R se convierte en

u(x) = −∫

∂BR(0)

g(y)1

ωn|y − x|n|x|2 −R2

RdSy+

∫

BR(0)

(Φ(y−x)−Φ

( |x|R

(y−x)))

f(y)dVy.

En particular, la solución de la ecuación de Laplace en la bola de radio R es

u(x) =R2 − |x|2Rωn

∫

∂BR(0)

g(y)

|y − x|ndSy.

8. Función de Green (II) ♦

Las ideas desarrolladas en la Sección 7 pueden ser extendidas a un contexto más generalcuando se consideran ecuaciones diferenciales distribucionales, es decir, que actúan sobredistribuciones en vez de estar limitadas a funciones clásicas.

Definición 7.55. Sea L un operador diferencial lineal que actúa entre espacios de dis-tribuciones definidas sobre un abierto U ⊂ Rn. Se dice que Φ es una solución fundamentalde L si

L(Φ) = δ0,

donde δ0 es la distribución delta de Dirac definida en el Ejemplo 7.44.

Nota 7.56. Cuando el operador L tiene núcleo, hay infinitas soluciones fundamentales.Sin embargo, es muy común usar simetrías del problema o algún otro factor, para obteneresencialmente una única solución fundamental de L.

Ejemplo 7.57. La solución fundamental de la ecuación de Laplace introducida en laDefinición 7.2 tiene la propiedad de ser ∆Φ = −δ0, según el cálculo hecho al final de laSección 5, es decir que Φ es una solución fundamental del operador L := −∆ en U := Rn

en el sentido de la Definición 7.55.


Ejemplo 7.58. Dado el operador L(u) := u′′ + u, el resultado del Ejercicio 7.50muestra que Ψ(x) := sin(x)H(x) (con H definida por (7.22)) es una solución fundamentalde L.

La noción de solución fundamental apunta a hallar soluciones de una ecuación inho-mogénea, para una inhomogeneidad muy simple y concentrada en x = 0. La siguientedefinición permite que la inhomogeneidad se concentre en otros puntos.

Definición 7.59. Sea L un operador diferencial lineal que actúa entre espacios dedistribuciones definidas sobre un abierto U ⊂ Rn. Se dice que G es una función de Greende L (sin condición de contorno) si para cada x ∈ U fijo Ly(G(x, y)) = δ0(y − x), paratodo y ∈ U .

Si Φ es una solución fundamental de L en U se tiene

Ly(Φ(y − x︸︷︷︸=z

)) = Lz(Φ(z)) = δ0(z) = δ0(y − x),

con lo que G(x, y) := Φ(y − x) es una función de Green (sin condición de contorno).Si G es una función de Green de L y f : U → R es una función, entonces u(y) :=∫Rn G(x, y)f(x)dVx es solución del problema inhomogéneo L(u) = f . Esto es así ya que,

por la linealidad de L,

L(u)(y) =

∫Rn

LyG(x, y)f(x)dVx =

∫Rn

δ0(y − x)f(x)dVx = f(y).

Para tratar problemas con valores de contorno se refina la Definición 7.59 como sigue.

Definición 7.60. Sea L un operador diferencial lineal que actúa entre espacios dedistribuciones definidas sobre un abierto U ⊂ Rn. Se dice que G es una función de Greende L si para cada x ∈ U fijo Ly(G(x, y)) = δ0(y− x), para todo y ∈ U y, además, cuandoy ∈ ∂U , G(x, y) = 0 para todo x ∈ U .

Nota 7.61. Si Gsc es una función de Green sin condición de contorno para L, y G esuna función de Green del mismo operador, entonces φx(y) := Gsc(x, y)−G(x, y) satisface,para x ∈ U fijo, Ly(φ

x(y)) = Ly(Gsc) − Ly(G) = 0. Además, φx(y) = Gsc(x, y) para todoy ∈ ∂U . En otras palabras, φx(y) es solución de

{Ly(φ

x) = 0 para y ∈ U

φx(y) = Gsc(x, y) para y ∈ ∂U.

Al revés, si φx(y) es solución del último problema, G(x, y) := Gsc(x, y) − φx(y) es unafunción de Green de L en U . Este es, precisamente, el camino seguido en la Definición 7.52para definir la función de Green en el caso de L := −∆.

Ejemplo 7.62. En el Ejemplo 7.58 se vio que una solución fundamental del operadorL(u) := u′′+u en R es Ψ(x) := sin(x)H(x), con lo que una función de Green del problema(sin condición de contorno) resulta Gsc(x, y) := sin(y−x)H(y−x). Para hallar la funciónde Green del problema sobre U := (0, a), para a > 0 se busca, para x ∈ U fijo, la soluciónde

d2

dy2φx(y) + φx(y) = 0 en U

φx(0) = 0

φx(a) = sin(a− x).

9. AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES DEL LAPLACIANO 95

Es fácil ver que la solución de este problema es φx(y) = sin(a−x)sin(a)

sin(y), con lo que lafunción de Green de L en U es

G(x, y) := sin(y − x)H(y − x) − sin(a− x)

sin(a)sin(y).

Por lo tanto, la solución del problema{u′′(y) + u(y) = g(y) para y ∈ U

u(0) = u(a) = 0

es

u(y) : =

∫ a

0

(sin(y − x)H(y − x) − sin(a− x)

sin(a)sin(y))g(x)dx

=

∫ y

0

sin(y − x)g(x)dx− sin(y)

sin(a)

∫ a

0

sin(a− x)g(x)dx.

Ejercicio 7.63. Usar funciones de Green para resolver el problema

u′′(y) + ω2u(y) = g(y) para y ∈ (0, a)

u(0) = α

u(a) = β,

donde ω, α y β son constantes con ω > 0.

9. Autovalores y autofunciones del laplaciano

Si consideramos −∆ como un operador entre espacios vectoriales apropiados, pode-mos estudiar sus autovalores y autovectores. La teoría se puede desarrollar si se trabajasobre un dominio acotado y con datos de contorno adecuados. Nos concentraremos enlos autovalores del problema de Dirichlet en el abierto U ⊂ Rn, vale decir, buscamos losvalores λ ∈ R para los cuales

{−∆u = λu en U

u = 0 en ∂U(7.30)

tiene solución u no nula. Toda solución no nula es una autofunción de autovalor λ delproblema.

Ejemplo 7.64. En n = 2 tomamos U := (0, a) × (0, b). Entonces, el método deseparación de variables aplicado a la ecuación (7.30) lleva a la ecuación

X ′′(x)Y (y) +X(x)Y ′′(y) + λX(x)Y (y) = 0

de donde se desprende que

Y ′′ + α1Y = 0 y X ′′ + (λ− α1)X = 0

con las condiciones de contorno

X(0) = X(a) = Y (0) = Y (b) = 0.

De Y ′′ + α1Y = 0 con Y (0) = Y (b) = 0 se deduce que

α1 =(n1π

b

)2y Y (y) = A sin(

n1π

by) para n1 ∈ N.

Definiendo α2 = λ−α1, las condiciones para X quedan X ′′+α2X = 0 y X(0) = X(a) = 0,de donde sale que

α2 =(n2π

a

)2y X(x) = A sin(

n2π

ax) para n2 ∈ N.


Todo junto resulta

λ = α1 + α2 =(n1π

b

)2+

(n2π

a

)2para n1, n2 ∈ N (7.31)

y

u(x, y)n1n2 = Cn1n2 sin(n2π

ax) sin(

n1π

by). (7.32)

Es decir que los autovalores del problema son los valores λ de la forma (7.31) para algunosn1, n2 ∈ N. La solución un1n2 dada por (7.32) es una autofunción para ese λ. Cabe notarque un λ dado puede aparecer como dado por más de una combinación de n1 y n2. Eneste caso, el espacio de autofunciones de autovalor λ tiene dimensión dada por las posibleselecciones de n1 y n2.

Podemos observar varias características de los autovalores y autofunciones del Ejem-plo 7.64:

1. Todos los autovalores λ son positivos y forman un subconjunto de R discreto yque se acumula en +∞.

2. Todos los autoespacios de autovalor λ fijo tienen dimensión finita. Más aún, parael menor de los autovalores λ =

(πb

)2+

(πa

)2el autoespacio tiene dimensión 1.

3. Las autofunciones un1,n2 ∈ C∞(U).4. Es fácil ver que

∫

U

un1n2(x, y)um1m2(x, y)dxdy =ab

4δn1m1δn2m2

con lo que las autofunciones resultan ortogonales para el producto interno 〈f, g〉 :=∫Uf(x, y)g(x, y)dxdy.

5. Por la teoría de las series de Fourier se sabe que f : U → R “razonable” puededesarrollarse como serie de autofunciones, con los coeficientes de Fourier comocoeficientes, y con convergencia en, por ejemplo, media cuadrática.

En el caso más general, n arbitrario y U ⊂ Rn abierto y acotado se puede demostrarque existe una sucesión (λn)n∈N de autovalores del problema (7.30) de modo que lasrespectivas autofunciones (φn)n∈N satisfacen las 5 propiedades anteriores (por supuesto,el valor mínimo de los autovalores va a cambiar de caso en caso). Más aún, si ∂U es suave,se puede probar que φn ∈ C∞(U). Para un tratamiento similar para el caso de operadoreselípticos simétricos más generales, consultar la sección 6.5.1. de [4].

Veamos como usar los autovalores y autofunciones en un par de ejemplos.

Ejemplo 7.65. Queremos resolver{−∆u = f en U

u = 0 en ∂U.

en el dominio acotado U . Si λn y φn son los autovalores y autofunciones ortonormales de−∆ para el problema dado, comenzamos por desarrollar f =

∑n∈N cnφn (en general, la

serie va a converger en media cuadrática a f).Ahora proponemos una solución de la forma u =

∑n∈N anφn con an ∈ R constantes.

Reemplazando en la ecuación se tiene

−∆u =∑

n∈N an(−∆)φn =∑

n∈N anλnφn =∑

n∈N cnφn

9. AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES DEL LAPLACIANO 97

con lo que, por la ortogonalidad de los φn resulta que an = cn

λn, con lo que queda

u(x) =∑

n∈N cnλnφn(x).

Como siempre, esta es sólo una propuesta de solución. Se puede ver que si f es suficiente-mente regular, entonces la serie que define a u puede ser derivada término a término paraprobar que u es la solución del problema.

Ejemplo 7.66. Si U ⊂ Rn es un dominio acotado y φn son las autofunciones ortonor-malizadas de autovalor λn de −∆ con condición de Dirichlet en U , vale que

{−∆φn = λnφn en U

φn = 0 en ∂U.

Aplicando la ecuación (7.25) se tiene que, para x ∈ U ,

φn(x) = −∫

∂U

=0︷︸︸︷φn(y)

∂G

∂νy(x, y)dSy +

∫

U

G(x, y)λnφn(y)dVy = λn

∫

U

G(x, y)φn(y)dVy,

donde G es la función de Green de U . Esto dice que los coeficientes de Fourier de G(x, y)(con x fijo) en la base de autofunciones φn(y) son

∫UG(x, y)φn(y)dVy = λ−1

n φn(x). Conesto podemos escribir

G(x, y) ∼∑

n∈N λ−1n φn(x)φn(y)

con la serie convergiendo en norma cuadrática a la función de Green en U .

Concluiremos esta Sección dando una idea acerca de la demostración de la existenciade autofunciones de −∆ con dato de contorno nulo en U ⊂ Rn. Procedemos en dos etapas:

1. Más fácil que buscar directamente soluciones de la ecuación −∆u = λu es buscar“soluciones débiles”, es decir, funciones u tales que, para cualquier v ∈ C∞

c (U),satisfacen ∫

U

∇u(y) · ∇v(y)dVy = λ

∫

U

u(y)v(y)dVy. (7.33)

Verifiquemos que si u es autofunción, entonces es solución débil:

∆u+ λu = 0 ⇒ v∆u+ λvu = 0 ⇒ 0 =

∫

U

(v(y)∆u(y) + λv(y)u(y))dVy

con lo que, usando la fórmula de Green (7.12a) obtenemos

0 =

∫

∂U

=0︷︸︸︷v(y)

∂u

∂ν(y)dSy −

∫

U

∇u(y) · ∇v(y)dVy + λ

∫

U

v(y)u(y)dVy

con lo que u resulta una solución débil.Si ∂U es suave, se puede demostrar que las soluciones débiles son, en realidad,

“soluciones fuertes”.2. Aún resta demostrar la existencia de las soluciones débiles del problema. DefinimosF (u) :=

∫U|∇u(y)|2dVy y buscamos un mínimo de F sobre todas las funciones u

en la “bola de radio 1”, es decir, el conjunto de todas las funciones u que satisfacen∫Uu2(y)dVy = 1. La existencia de este mínimo es el punto crucial y es importante

elegir el dominio de F adecuadamente (esta parte es muy técnica y será omitida).Una vez que se prueba que existe el mínimo u se usan multiplicadores de Lagrange(claro que en un espacio de dimensión infinita):

F ′(u) = λG′(u) (7.34)


para algún λ ∈ R, donde G(v) =∫

Uu2(y)dVy − 1 es el vínculo del problema. Las

derivadas en el espacio de funciones se calculan como sigue. La derivada de F enel punto u y la dirección de la función v es

F ′(u)[v] = lımh→0

F (u+ hv) − F (u)

h= lım

h→0

∫

U

|∇(u+ hv)|2(y) − |∇u|2(y)h

dVy

= lımh→0

∫

U

(2∇u(y) · ∇v(y) + h|∇v|2(y))dVy = 2

∫

U

∇u(y) · ∇v(y)dVy

y, análogamente,

G′(u)[v] = lımh→0

G(u+ hv) −G(u)

h= lım

h→0

∫

U

(u+ hv)2(y) − u2(y)

hdVy

= lımh→0

∫

U

(u(y)v(y) + hv2(y))dVy = 2

∫

U

u(y)v(y)dVy,

con lo que, para v ∈ C∞c (U) la condición de Lagrange (7.34) da la condición de

que u es una solución débil del problema (7.33).

Capítulo 8

Ecuación del Calor

1. Generalidades

La ecuación del calor en un abierto U ⊂ Rn es

ut(x, t) = k∆xu(x, t) en U × (0,+∞) (8.1)

donde k es una constante positiva. Mediante un cambio de variable en x podemos suponerque k = 1, cosa que haremos en lo que sigue.

La ecuación del calor aparece habitualmente asociada a procesos físicos donde haydifusión. En este sentido, u mide una concentración en U y la ecuación regula su difusiónen U como función del tiempo. Es común que se fije un dato inicial u(x, 0) = g(x) asícomo también en ∂U × (0,+∞). En este último caso, las condiciones pueden ser tantotipo Dirichlet, como tipo Neumann o mixtas.

Una primera observación es que las soluciones estacionarias de la ecuación del calor,es decir aquellas soluciones independientes de t, son funciones armónicas en U . En generalse puede decir que hay mucha relación entre funciones armónicas en U y las soluciones dela ecuación del calor en U × (0,+∞). Muchas propiedades de las funciones armónicas sonválidas para las soluciones de (8.1), aunque sus demostraciones suelen ser más sofisticadas.

Vamos a estudiar la existencia de soluciones de

ut(x, t) = ∆u(x, t) en U × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en U

u(x, t) = 0 en ∂U × (0,+∞).

(8.2)

Si U ⊂ Rn es acotado y su borde es suave entonces podemos usar las autofunciones de−∆ en U . A tal efecto, si λn son los autovalores y φn las autofunciones ortonormales,suponiendo que g ∈ C2(U) y que g = 0 en ∂U podemos desarrollar

g(x) ∼∑

n∈N

gnφn con gn =

∫

U

g(y)φn(y)dVy. (8.3)

De hecho, con las condiciones impuestas a g se puede ver que la serie converge a g uniformey absolutamente en U .

Considerando t como un parámetro, proponemos una solución de la forma

u(x, t) =∑

n∈N un(t)φn(x)

con lo que la ecuación ut = ∆u(x, t) impone que∑

n∈N u′n(t)φn(x) =∑

n∈N un(t)(−λn)φn(x)

de donde, usando la ortogonalidad de las autofunciones resulta que

u′n(t) = −λnun(t)

que tiene por soluciónun(t) = ane

−λnt,

99

100 8. ECUACIÓN DEL CALOR

con lo que

u(x, t) =∑

n∈N ane−λntφn(x).

Los coeficientes an se determinan del dato inicial u(x, 0) = g(x), una vez más, usando laortogonalidad de las autofunciones:

∑

n∈N anφn(x) =∑

n∈N

gnφn(x) ⇒ an = gn.

En resumen, la solución propuesta es

u(x, t) =∑

n∈N gne−λntφn(x). (8.4)

Tomando en cuenta la regularidad de la g se puede ver que es posible derivar la expresiónpara u término a término para verificar que u resuelve el problema (8.2).

Nota 8.1. Reemplazando el dato inicial (8.3) en la solución (8.4) se obtiene

u(x, t) =∑

n∈N gne−λntφn(x) =

∑

n∈N ∫

U

g(y)φn(y)dVye−λntφn(x)

=

∫

U

(∑

n∈N e−λntφn(x)φn(y))g(y)dVy =

∫

U

K(x, y, t)g(y)dVy,

donde

K(x, y, t) :=∑

n∈N e−λntφn(x)φn(y)

es llamado el núcleo del calor.

Ejercicio 8.2. Aplicar el mismo enfoque de autovalores y autofunciones para resolverel problema inhomogéneo:

ut(x, t) = ∆u(x, t) + f(x, t) en U × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en U

u(x, t) = 0 en ∂U × (0,+∞).

2. Principio del Máximo

Dado U ⊂ Rn, para T > 0 definimos UT := U × (0, T ). Una función armónica enUT alcanzaría su máximo en ∂UT . Para una solución de la ecuación del calor en UT lasituación es aún mas restringida, como veremos más abajo. Primero un par de definiciones.Se define el borde parabólico de UT como

ΓT := {(x, t) ∈ UT : x ∈ ∂U ó t = 0} = (∂U × [0, T ]) ∪ (U × {0}),(ver Figura 8.1). También se define

C2;1(U) = {u : UT → R : u(·, t) ∈ C2(U × {t}) y u(x, ·) ∈ C1({x} × (0, T ))}.Teorema 8.3 (Principio débil del máximo). Para U ⊂ Rn acotado, si u ∈ C2;1(UT )∩

C0(UT ) satisface ∆u ≥ ut en UT , entonces

max(x,t)∈UT

u(x, t) = max(x,t)∈ΓT

u(x, t).

2. PRINCIPIO DEL MÁXIMO 101

UT

x

T

t

U

(a) Región UT

x

T

t

U

ΓT

(b) Borde parabólico ΓT

Figura 8.1. Dominio y borde parabólicos

Demostración. 1. Supongamos que ∆u > ut en UT . Tomamos τ ∈ (0, T ) fijoy consideramos Uτ y Γτ . Si el máximo de u ocurre en (x, t) ∈ Uτ con t = τ yx /∈ ∂U entonces ut(x, t) ≥ 0 (pues la función u(x, t), con x, fijo ha de ser crecientepara t ∈ (τ − ǫ, τ ], para algún ǫ > 0) y, por otro lado, ∆u(x, t) ≤ 0 (pues en cadadirección en x a t fijo las derivadas segundas son negativas) y, por la suposición∆u > ut llegamos a un absurdo. Se procede de un modo similar si el máximo deu está en Uτ . De este modo concluimos que, si ∆u > ut en UT , entonces

max(x,t)∈Uτ

u(x, t) = max(x,t)∈Γτ

u(x, t).

Como esto vale para todo τ , concluimos que el resultado vale reemplazando τ porT .

2. En general, vale ∆u ≥ ut en UT . Para k > 0 definimos v := u − kt, con lo quev ≤ u en UT y ∆v − vt = ∆u − ut + k > 0 en UT . Por tanto podemos aplicar elresultado del punto anterior a v, con lo que

max(x,t)∈UT

u(x, t) = max(x,t)∈UT

(v(x, t) + kt) ≤ max(x,t)∈UT

v(x, t) + kT

≤ max(x,t)∈ΓT

v(x, t) + kT ≤ max(x,t)∈ΓT

u(x, t) + kT

para todo k, de donde se concluye que max(x,t)∈UTu(x, t) ≤ max(x,t)∈ΓT

u(x, t).

Como la desigualdad opuesta es obvia por ser ΓT ⊂ UT , queda demostrada latesis.

�

Corolario 8.4. Para U ⊂ Rn acotado, si u ∈ C2;1(UT ) ∩ C0(UT ) satisface ∆u ≤ ut

en UT , entonces

mın(x,t)∈UT

u(x, t) = mın(x,t)∈ΓT

u(x, t).

Demostración. Aplicar el Teorema 8.3 a −u. �

Corolario 8.5. Para U ⊂ Rn acotado, si u ∈ C2;1(UT ) ∩ C0(UT ) satisface ∆u = ut

en UT , entonces

max(x,t)∈UT

|u(x, t)| = max(x,t)∈ΓT

|u(x, t)|.


Corolario 8.6 (Unicidad de la solución de la Ecuación del Calor). Para U ⊂ Rn

acotado, si u, v ∈ C2;1(UT ) ∩ C0(UT ) son soluciones del problema

ut(x, t) = ∆u(x, t) + f(x, t) en UT

u(x, 0) = g(x) en U

u(x, t) = h(x, t) en ∂U × (0, T )

(8.5)

entonces u = v en UT . Más aún, la solución de (8.5), supuesto que existe, depende conti-nuamente de los datos iniciales.

Demostración. Si w = u − v, aplicando el Corolario 8.5 a w y tomando en cuentaque w = 0 en ΓT , se concluye que u = v en UT . La misma idea muestra que si u y vdifieren en, a lo más ǫ en ΓT , entonces u y v difieren como mucho en ǫ en UT . �

Nota 8.7. La solución del problema (8.5) existe sin condiciones de regularidad sobref , g y h, con lo cual el problema es un problema bien planteado.

Nota 8.8. El problema de Neumann análogo al de Dirichlet (8.5) también tiene uni-cidad, pero la demostración de este hecho es distinta.

A continuación mencionamos otra manera de ver que (8.5) tiene solución única quetiene condiciones un poco más fuertes que las del Corolario 8.6.

Proposición 8.9. El problema (8.5) tiene solución única en C2;1(UT ) si ∂U es detipo C1.

Demostración. Si u y v son soluciones de (8.5), entonces w = u− v es solución de{wt = ∆w en UT

w = 0 en ΓT .

Definimos la energía

E(t) :=1

2

∫

U

w2(x, t)dVx para t ∈ [0, T ].

Entonces, usando la identidad de Green (7.12a),

E ′(t) =

∫

U

w(x, t)wt(x, t)dVx =

∫

U

w(x, t)∆w(x, t)dVx

=

∫

∂U

=0︷︸︸︷w(x, t)

∂w

∂ν(x, t)dSx −

∫

U

|∇w|2(x, t)dVx ≤ 0,

con lo que E es positiva y decreciente. Por tanto, como se anula en t = 0, concluimos quees constantemente nula para t ∈ [0, T ]. Siendo w continua en UT , resulta que w(x, t) = 0,con lo que u = v en UT . �

3. Solución Fundamental de la Ecuación del Calor

Ahora nos vamos a concentrar en hallar soluciones de ut = ∆u en Rn × (0,+∞)con ciertas simetrías. En particular, comenzaremos buscando soluciones que presenten lasiguiente homogeneidad

u(λβx, λt) = λ−αu(x, y) para todo λ > 0 x ∈ Rn t > 0.

En particular, fijando t = λ−1, se tiene

u(x, t) =1

tαu(x

tβ, 1) =

1

tαv(y)

3. SOLUCIÓN FUNDAMENTAL DE LA ECUACIÓN DEL CALOR 103

llamando y = xtβ

, y v(y) = u(y, 1). Reemplazando en la ecuación se obtiene

−αt−α−1v(y)−βt−α−1∇v(y) ·y−t−α−2β∆v = 0 ⇒ −αv(y)−β∇v(y) ·y−t1−2β∆v = 0

que se vuelve independiente de t si tomamos β = 12:

−αv(y) − 1

2∇v(y) · y − ∆v = 0

que aún es demasiado complicada. Para simplificar aún más el problema propondremosuna solución con simetría de rotación (ya que ∆ tiene esta simetría): v(y) = w(|y|). Laecuación se convierte entonces en

αw(r) +r

2w′(r) + w′′(r) +

n− 1

rw′(r) = 0

donde usamos r = |y| y ′ = ddr

. Ahora, tomando α = n2

se ve que la ecuación se escribecomo

(rn−1w′)′ +1

2(rnw)′ = 0

por lo que

rn−1w′ +1

2rnw = a

para alguna constante a. Si se supone que tanto w(r) → 0 como w′ → 0 cuando r → +∞se ve que a = 0 y por lo tanto

w′(r) =r

2w(r)

que, separando variables da

w(r) = be−r2

4 ,

para alguna constante b. Volviendo a las variables originales obtenemos

u(x, t) =1

tn2

v(x√t) =

1

tn2

w(|x|√t) =

b

tn2

e−|x|24t

La solución particular con b = 14π

n2 tiene un nombre propio:

Definición 8.10. La solución fundamental de la ecuación del calor es la funciónΦ : Rn × R→ R definida por

Φ(x, t) :=

1

(4πt)n2e−

|x|24t si t > 0

0 si t ≤ 0.

Nota 8.11. Se ve que Φ es singular en (0, 0) y resulta C∞(Rn × R − {(0, 0)}). Uncálculo simple muestra que para t > 0,

∫Rn Φ(x, t)dVx = 1, lo que justifica la elección delcoeficiente b.

Nota 8.12. La función Φ es, además, una solución fundamental del operador L :=∂t − ∆ en el sentido de la Definición 7.55, es decir que L(Φ) = δ0,0.

Algunas de las propiedades de la solución fundamental Φ son las siguientes.

En algún sentido (que puede ser precisado) Φ(x, t) aproxima, cuando t → 0 aδ0(x).Φ resuelve ∂t−∆ en Rn×R −{(0, 0)}. Por tanto, para cada y ∈ Rn fijo, Φ(x−y, t)resuelve la ecuación del calor en Rn × R − {(y, 0)}.


Se puede ver que

u(x, t) :=

∫Rn

Φ(x− y, t)g(y)dVy (8.6)

resuelve el problema{ut(x, y) = ∆u(x, t) en Rn × (0,+∞)


si g ∈ C0(Rn) es acotada. Más aún,

lım(x,t)→(y,0)

u(x, t) = g(y)

para todo y ∈ Rn.De la expresión (8.6) se ve que, si g ≥ 0, entonces u ≥ 0 en Rn×(0,+∞). Más aún,si g(y) > 0 para algún y ∈ Rn, entonces u(x, t) > 0 para todo (x, t) ∈ Rn×(0,+∞).Esto claramente muestra que las soluciones de la ecuación del calor presentanvelocidad infinita de propagación ya que una perturbación en el dato inicial (pienseen un pulso centrado en y ∈ Rn) es detectado instantáneamente en todo el espaciopara cualquier t > 0.Hay una “fórmula de valor medio” para soluciones de la ecuación del calor.El problema de Cauchy

{ut(x, t) = ∆u(x, t) + f(x, t) en Rn × (0,+∞)


puede tener más de una solución. Se obtiene unicidad si se controla el crecimientode la solución para |x| → +∞. Por ejemplo, para g ∈ C0(Rn) y f ∈ C0(Rn

T ), sise pide u(x, t) ≤ Aea|x|2 para A y a constantes positivas y todo x ∈ Rn y t > 0entonces hay solución única u ∈ C2;1(Rn × (0, T ]) ∩ C0(Rn × [0, T ]).Si u ∈ C2;1(UT ) es solución de la ecuación del calor en UT , entonces u ∈ C∞(UT ),aún si u no es suave en ΓT .

Capítulo 9

Transformaciones Integrales

En un comienzo la idea de función se hallaba restringida a operar sobre números. Luegose pasó a considerar operaciones sobre distintos tipos de objetos, más complicados quenúmeros. En particular, se cambió la perspectiva y las funciones en su conjunto pasarona ser elementos (“puntos”) de distintos espacios. Por ejemplo, si se considera el conjuntoC0(R) de la totalidad de las funciones continuas sobre R y se define T : C0(R) → C0(R)mediante T (f)(x) := f(2x), T es una función entre dos espacios de funciones. Así comoel uso de funciones “numéricas” es esencial para el análisis básico, el uso de funciones defunciones (a veces llamadas transformaciones) es esencial para el estudio de los espaciosde funciones. En Capítulos anteriores hemos estudiado, por ejemplo, distintos problemasde autovalores y autofunciones para transformaciones. En este Capítulo veremos muybrevemente dos ejemplos de este tipo de funciones: las transformadas de Fourier y Laplace.

1. Transformada de Fourier

1.1. Motivación. Si f : R → R es una función suave a trozos (no necesariamenteperiódica), para T > 0 podemos estudiar su comportamiento en [−T, T ] mediante el usode series de Fourier, asociándole a f una función f que es 2T -periódica y que coincide conf en [−T, T ]. En lo que sigue, para no hacer pesada la notación, vamos a denotar ambasfunciones por f .

Como vimos en el Capítulo 1, siendo f suave a trozos, usando la forma exponencialde la serie de Fourier podemos escribir

f ∼∑

k∈Z ckeik πT

x con ck :=1

2T

∫ T

−T

f(x)e−ik πT

xdx.

En particular, si f es continua en x:

f(x) =∑

k∈Z( 1

2T

∫ T

−T

f(x)e−ik πT

xdx)eik πT

x =1

2π

∑

k∈Z gT (πk

T)eik π

Tx π

T(9.1)

con gT (w) :=∫ T

−Tf(y)e−iwydy. Como ya dijimos, estas fórmulas permiten estudiar f en

[−T, T ]. Sin embargo, para capturar el comportamiento no necesariamente periódico de laf original conviene tomar valores de T → +∞. Lo notable es que, en este caso, la últimaigualdad de (9.1) se asemeja a una suma de Riemann de la integral 1

2π

∫ ∞−∞ g∞(w)eiwxdx

para g∞(w) :=∫ ∞−∞ f(y)e−iwydy. Estas fórmulas, excepto por la elección de la normali-

zación, motivan la definición de la transformada de Fourier f y la antitransformada deFourier f ,

f(w) =1√2π

∫ ∞

−∞f(y)e−iwydy y f(x) =

1√2π

∫ ∞

−∞f(w)eiwxdw, (9.2)

así como también la “fórmula de inversión”:

f(x) =ˇf(x) (9.3)

105

106 9. TRANSFORMACIONES INTEGRALES

Todo lo anterior es, por supuesto, sólo motivación y no demostraciones, para las cualesserá necesario entender para que tipo de funciones estos argumentos pueden darse conrigor.

1.2. Definición y Ejemplos. Notemos que, dado que para valores reales de x yw vale |eiwx| = 1, las integrales que aparecen en (9.2), son absolutamente convergentes sif ∈ L1(R), es decir, si

∫R |f(x)|dx < ∞. Extendiendo las ideas anteriores a Rn damos lasiguiente definición básica.

Definición 9.1. Si f ∈ L1(Rn) se define su transformada de Fourier f y su antitrans-formada f mediante

f(w) :=1

(2π)n2

∫Rn

f(y)e−iw·ydVy y f(w) :=1

(2π)n2

∫Rn

f(y)eiw·ydVy (9.4)

para w ∈ Rn.

Nota 9.2. Otra notación usada para la transformada y antitransformada de Fourieres F(f) := f y F−1(f) := f .

Nota 9.3. Hay varias definiciones de transformada y antitransformada de Fourier enla literatura. Todas difieren en la normalización elegida. Por este motivo hay que ser muycuidadoso con qué definición usa cada autor.

Nota 9.4. Para f ∈ L1(Rn), se tiene

supw∈Rn

|f(w)| = supw∈Rn

∣∣∣∣1

(2π)n2

∫Rn

f(y)e−iw·ydVy

∣∣∣∣ ≤ supw∈Rn

1

(2π)n2

∫Rn

|f(y)|dVy

=1

(2π)n2

|f |L1(Rn)

con lo que f resulta estar acotada en Rn. Sin embargo, esta condición no es suficiente paraasegurar que f ∈ L1(Rn) de modo que se la pueda antitransformar como es necesario parala validez de (9.3).

Ejemplo 9.5. Sea f(x) = χ[−1,1](x) =

{1 si |x| ≤ 1

0 si no. Entonces

f(w) =1√2π

∫R χ[−1,1](y)e−iwydy =

1√2π

∫ 1

−1

e−iwydy =1√2π

e−iwy

−iw |1−1

=1√2π

eiw − e−iw

iw=

√2

π

sin(w)

w.

Ejemplo 9.6. Si f(x) = 11+x2 , vamos a usar integración compleja para calcular f(w) =

1√2π

∫R e−iwy

1+y2 dy. Antes de embarcarnos en el cálculo explícito, notemos que como e−iwy

1+y2 esintegrable (por diferencia de potencias en numerador y denominador), entonces vale que∫R e−iwy

1+y2 dy = V P∫R e−iwy

1+y2 dy.Supongamos que w > 0. Sea CR el semicírculo de radio R que va de R a −R con orien-

tación negativa y ΓR := CR + [−R,R]. Entonces, tomando en cuenta que la orientaciónde ΓR es negativa, tenemos∫

ΓR

e−iwz

1 + z2dz = −2πiRes

(e−iwz

1 + z2, z = −i

)= −2πi

(e−iwz

z − i

)∣∣∣∣z=−i

= −2πi

(e−w

−2i

)= πe−w.

1. TRANSFORMADA DE FOURIER 107

Por otro lado, usando la parametrización z = Re−it con t ∈ [0, π].∣∣∣∣

∫

CR

e−iwz

1 + z2dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣

∫ π

0

e−iwRe−it

1 + (Re−it)2(−Ri)e−itdt

∣∣∣∣ ≤∫ π

0

R

R2 − 1e−Rw sin(t)dt

≤∫ π

0

R

R2 − 1dt =

Rπ

R2 − 1

con lo que lımR→+∞ |∫

CR

e−iwz

1+z2 dz| = 0.Juntando lo anterior tenemos,

∫ R

−R

e−iwx

1 + x2dx =

∫

[−R,R]

e−iwz

1 + z2dz =

∫

ΓR

e−iwz

1 + z2dz −

∫

CR

e−iwz

1 + z2dz

y ∫ ∞

−∞

e−iwx

1 + x2dx = lım

R→+∞

∫ R

−R

e−iwx

1 + x2dx = πe−w

Finalmente

f(w) =πe−w

√2π

=

√π

2e−w (si w > 0).

De un modo análogo se ve que para w < 0, f(w) =√

π2ew. De modo unificado

f(w) =

√π

2e−|w|.

Como vemos, el cálculo de las transformadas de Fourier puede ser simple o bastantetrabajoso (hay casos Mucho Peores que los de estos Ejemplos). Un resultado obvio decomparar las fórmulas que definen la transformada y la antitransformada es el siguiente

Lema 9.7. Si f ∈ L1(Rn), entonces f(w) = f(−w).

Por tanto, toda vez que se calcula una transformada de Fourier, se está calculandotambién una antitransformada.

Nota 9.8. Es importante notar que, si bien la Definición 9.1 define la transformada deFourier para funciones en L1(Rn), la definición se puede extender a muchos otros contextos.En particular, es muy útil su extensión a funciones en L2(Rn) y a distribuciones1.

El caso de L2(Rn) es muy importante ya que resulta que si f ∈ L2(Rn), entoncesf ∈ L2(Rn). Más aún, si se considera el producto interno usual en L2(Rn) (es decir 〈f, g〉 =∫Rn f(x)g(x)dx), entonces el Teorema de Parseval dice que f 7→ f es una isometría, es decirque para f, g ∈ L2(Rn), vale 〈f, g〉 = 〈f , g〉, con lo que, en particular, |f |L2(Rn) = |f |L2(Rn).La idea para definir la transformada de Fourier de f ∈ L2(Rn) es muy simple: aproximara f con una sucesión fk ∈ L2 ∩ L1, de modo que |f − fk|L2 → 0. Entonces se definef = lımk→+∞ fk. El Ejemplo 9.9 muestra este procedimiento en un caso particular.

Ejemplo 9.9. Consideremos la función f(x) = x1+x2 . Claramente (usando las diferen-

cias de potencias entre el numerador y el denominador) f ∈ L2(R) − L1(R), por lo tantono se puede calcular f de forma directa usando la Definición 9.1 (la integral en cuestiónno existe). Sin embargo, es posible hallar f como se describe en la Nota 9.8. Para esto elprimer paso es aproximar a f por medio de una sucesión fk ∈ L2(R)∩L1(R) (se pide que

1Por ejemplo se suele motivar la definición de la transformada de Fourier de δ0 mediante el “cálculo”,

δ0(w) = 1

(2π)n

2

∫Rnδ0(y)e−iw·ydVy = 1

(2π)n

2

e0 = 1

(2π)n

2


estén en L1 a fin de poder calcular fk de la manera usual). Vamos a tomar fk como unaversión truncada de f : fk := χ[−k,k]f . Explícitamente

fk(x) =

{f(x) si |x| ≤ k

0 si |x| > k.

Veamos que las fk aproximan a f en L2(R), es decir, que |f − fk|L2(R) → 0:

|f − fk|2L2(R) =

∫R |f − fk(x)|2dx =

∫

|x|>k

(x

1 + x2

)2

dx ≤∫

|x|>k

(1

x

)2

dx = −21

x

∣∣∣∣+∞

k

=2

k

que tiende a 0 cuando k → +∞. Por lo tanto, será f = lımk→+∞ fk.Ahora calculemos fk(w) =

∫R fk(y)e−iwydy =

∫ k

−kfk(y)e

−iwydy. Con esto, f(w) =

lımk→+∞∫ k

−kfk(y)e

−iwydy = V P∫ ∞−∞ fk(y)e

−iwydy. Esta última integral será calculadausando integración compleja. Para esto, comenzamos por suponer w > 0 y definimosCk como el semicírculo de radio k que va de k a −k con orientación negativa y Γk :=Ck + [−k, k]. Entonces, tomando en cuenta que la orientación de Γk es negativa, tenemos(si k > 1)

∫

Γk

f(z)e−iwzdz =

∫

Γk

ze−iwz

1 + z2dz = −2πiRes

(ze−iwz

1 + z2, z = −i

)

= −2πi

(ze−iwz

z − i

)∣∣∣∣z=−i

= −2πi−ie−w

−2i= −πie−w.

Por otro lado, usando la parametrización z = ke−it con t ∈ [0, π]∣∣∣∣∫

Ck

f(z)e−iwzdz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ π

0

ke−ite−iwke−it

1 + (ke−it)2(−ik)e−itdt

∣∣∣∣ ≤∫ π

0

ke−kw sin(t)

1 − k2kdt

=k2

1 − k2

∫ π

0

e−kw sin(t)dt =2k2

1 − k2

∫ π2

0

e−kw sin(t)dt

≤ 2k2

1 − k2

∫ π2

0

e−kw 2π

tdt =2k2

1 − k2

e−kw 2π

t

−kw 2π

∣∣∣∣

π2

0

=k

1 − k2

π

w(1 − e−wk),

con lo que lımk→+∞∫

Ckf(z)e−iwzdz = 0.

Todo junto:

V P

∫ ∞

−∞fk(y)e

−iwydy = lımk→+∞

∫ ∞

−∞f(y)e−iwydy

= lımk→+∞

( ∫

Γk

f(y)e−iwydy −∫

Ck

f(y)e−iwydy

)= −πie−w,

con lo que, si w > 0, f(w) = −πie−w√2π

= −√

π2ie−w.

De un modo análogo se ve que para w < 0, f(w) =√

π2iew. En una única fórmula

f(w) = − Signo(w)

√π

2ie−|w|,

donde

Signo(w) :=

{w|w| si w 6= 0

0 si w = 0.


Nota 9.10. El Ejemplo 9.9 muestra la utilidad del valor principal de una integral:aún cuando el límite de la integral original (tomando límites independientes en ambosextremos de integración) no existe, al haber pasado a la sucesión aproximante fk el valorlímite de la transformada resulta ser un valor principal. Una visión simplista podría definirf cuando f ∈ L2 como el valor principal de la integral (9.4).

1.3. Propiedades.

Teorema 9.11. 1. La transformada de Fourier es lineal: (a1f1 +a2f2)∧ = a1f1 +

a2f2.2. Si u ∈ C∞

c (Rn), entonces para cualquier multi índice α = (α1, . . . , αn) vale

(∂αu

∂xα11 · · ·∂xαn

n

)∧(w) = (iw1)

α1 · · · (iwn)αn u(w). (9.5)

Más aún, este resultado se extiende al caso u ∈ L2(Rn).3. Si u, v ∈ L2(Rn) ∩ L1(Rn) entonces

(u ∗ v)∧ = (2π)n2 uv. (9.6)

4. Si u ∈ L2(Rn) entonces

u = (u)∨ = (u)∧,

como elementos de L2. Si además u es C1 en un entorno de x, entonces

u(x) = (u)∨(x) = (u)∧(x).

Más aún, para n = 1, si u(x+), u(x−), u′(x+), u′(x−) existen, entonces

u(x+) + u(x−)

2= (u)∨(x) = (u)∧(x)

Demostración. 1. Es claro de la definición.2. Si u ∈ C∞

c (Rn), usando integración por partes repetidas veces y tomando en cuentaque no hay términos de borde ya que u tiene soporte compacto se tiene que:

(∂αu

∂xα11 · · ·∂xαn

n

)∧(w) =

1

(2π)n2

∫Rn

∂αu

∂xα11 · · ·∂xαn

n

(x)e−iwxdVx

=(−1)α1+···+αn

(2π)n2

∫Rn

u(x)∂αe−iwx

∂xα11 · · ·∂xαn

n

dVx

=(−1)α1+···+αn

(2π)n2

∫Rn

u(x)(−iw1)α1 · · · (−iwn)αne−iwxdVx

=1

(2π)n2

(iw1)α1 · · · (iwn)αn

∫Rn

u(x)e−iwxdVx

= (iw1)α1 · · · (iwn)αn f(w)

Para el caso en que u ∈ L2(Rn), se lo aproxima por una sucesión un ∈ L2∩C∞c (Rn)

a la que se aplica el resultado previo y luego se toma límite.


3.

(u ∗ v)∧(y) =1

(2π)n2

∫Rn

(u ∗ v)(z)e−izydVz

=1

(2π)n2

∫Rn

(

∫Rn

u(w)v(z − w)dVw)e−izydVz

=1

(2π)n2

∫Rn

(

∫Rn

e−iwyu(w)e−i(z−w)yv(z − w)dVw)dVz

=1

(2π)n2

∫Rn

(

∫Rn

e−iwyu(w)e−i(z−w)yv(z − w)dVz)dVw

=1

(2π)n2

∫Rn

e−iwyu(w)(

∫Rn

e−i(z−w)yv(z − w)dVz)dVw

=1

(2π)n2

∫Rn

e−iwyu(w) (

∫Rn

e−ityv(t)dVt)

︸︷︷︸=(2π)

n2 v(y)

dVw = (2π)n2 v(y)u(y)

4. Se deja que el lector consulte la bibliografía.�

Nota 9.12. Una de las propiedades más importantes de la transformada de Fourier esla dada por (9.5) ya que permite convertir derivadas en el dominio original en productosen el dominio transformado. Por ejemplo, podemos ver en que se convierte el laplacianode una función, al pasar al dominio “de las frecuencias”:

(∆u)∧(w) =

( n∑

j=1

∂2u

∂x2j

)∧(w) =

n∑

j=1

(∂2u

∂x2j

)∧(w)

=n∑

j=1

(iwj)2u(w) = −

( n∑

j=1

w2j

)u(w) = −|w|2u(w).

(9.7)

1.4. Aplicaciones. La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones. Entreellas está el estudio del espectro de frecuencias de una señal no periódica, ya que latransformada permite escribir a la señal dada como suma (continua) de exponencialesde distintas frecuencias. Sin embargo, nuestro interés es aplicar la transformada a laresolución de ecuaciones diferenciales, técnica que ilustraremos con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 9.13. Buscamos soluciones de

−∆u + u = f en Rn,

con f ∈ L2(Rn). Suponiendo que existe tal solución, aplicamos la transformada de Fouriera ambos lados de la ecuación, con lo que, tomando en cuenta (9.7) obtenemos

f(w) = (−∆u+ u)∧(w) = −(∆u)∧(w) + u(w) = |w|2u(w) + u(w) = (|w|2 + 1)u(w)

con lo que podemos resolver explícitamente en u:

u(w) =f(w)

|w|2 + 1.

Para hallar u aplicamos la antitransformada:

u(x) = (u)∨(x) = (f(w)

|w|2 + 1)∨(x) =

1

(2π)n2

(f ∗ (1

1 + |w|2 )∨)(x)


Ahora, para simplificar el cálculo, vamos a suponer que n = 1 en cuyo caso, aplicandoantitransformada al Ejemplo 9.5, se obtiene

(1

1 + |w|2 )∨(x) =

√π

2e−|x|,

con lo que

u(x) =1

(2π)12

(f ∗ (1

1 + |w|2 )∨)(x) =1

(2π)n2

(f ∗√π

2e−|x|)(x) =

1

2

∫R f(y)e−|x−y|dy.

Como siempre, no hemos demostrado que

u(x) =1

2

∫R f(y)e−|x−y|dy (9.8)

sea la solución del problema, tan solo hemos visto que si la solución existe y las manipu-laciones anteriores son válidas, u ha de tener esta forma. Sin embargo, igual que antes, esposible tomar (9.8) como definición y demostrar que, bajo condiciones adecuadas para f ,resuelve el problema dado.

Ejemplo 9.14. Queremos resolver el problema{ut(x, t) = ∆u(x, t) en Rn × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en Rn.

Una vez más, la idea es suponer que la solución existe y satisface todas las condiciones ne-cesarias para que las manipulaciones siguientes sean válidas. Una vez hallada la “solución”se puede verificar que, efectivamente resuelve el problema dado.

Comenzamos por considerar a t como un parámetro fijo y las transformadas de Fourierlas realizaremos únicamente con respecto a la variable espacial x.

ut(w) =1

(2π)n2

∫Rn

ut(y)e−iwydVy =

∂

∂t

1

(2π)n2

∫Rn

u(y)e−iwydVy = (u)t(w),

es decir que ut = (u)t.Ahora transformamos Fourier ambos lados de la ecuación diferencial:

ut(w) = (∆u)∧(w) ⇒ (u)t(w) = −|w|2u(w).

Si en esta última expresión fijamos w y consideramos t como variable, entonces obtenemosuna ecuación ordinaria de primer orden en t, que podemos resolver separando variables eintegrando:

(u)t(w) = −|w|2u(w) ⇒ (u)t(w)

u(w)= −|w|2 ⇒ u(w)(t) = A(w)e−|w|2t.

Evaluando en t = 0 sale que A(w) = u(w)(0) = g(w), con lo que

u(w, t) = g(w)e−|w|2t.

Para hallar u aplicamos la antitransformada

u(x, t) = (g(w, t)e−|w|2t)∨(x, t) =1

(2π)n2

(g ∗ (e−|w|2t)∨)(x, t)

Por otro lado,

(e−|w|2t)∨(x) =1

(2π)n2

∫Rn

e−|w|2teiwxdw =1

(2π)n2

∫Rn

e−|w|2t+iwxdw =1

(2t)n2

e−|x|24t


siendo, el último paso, una cuenta estándar. Juntando este resultado con el cálculo anteriorse obtiene finalmente

u(x, t) =1

(2π)n2

(g ∗ (1

(2t)n2

e−|x|24t ))(x, t) =

1

(4πt)n2

∫Rn

e−|x−y|2

4t g(y)dVy (9.9)

Nota 9.15. La solución (9.9) al problema de Cauchy de la ecuación del calor en Rn

es la solución (8.6) propuesta en el Capítulo 8 usando la solución fundamental.

Nota 9.16. La solución (9.9) no está definida para t < 0. Esto no es un defecto delmétodo empleado para hallarla sino que refleja el fenómeno de que la ecuación del calorno admite propagación hacia atrás en el tiempo.

Ejemplo 9.17. El sistema{iut(x, t) + ∆u(x, t) = 0 en Rn × (0,+∞)

u(x, 0) = g(x) en Rn(9.10)

es el problema de valores iniciales para la ecuación de Schrödinger. Notamos que, medianteel cambio de variables τ = it, con lo que d

dt= i d

dτ, la ecuación de Schrödinger se convierte

en

− d

dτu(x, τ) + ∆u(x, τ) = 0,

o sea que, en las variables (x, τ), el problema es el tratado en el Ejemplo 9.14. De estemodo, usando (9.9) el problema de Schrödinger tiene la solución

u(x, τ) :=1

(4πτ)n2

∫Rn

e−|x−y|2

4τ g(y)dVy

o, en las coordenadas originales,

u(x, t) :=1

(4πit)n2

∫Rn

ei|x−y|2

4t g(y)dVy. (9.11)

Esta función está bien definida aún para t < 0 (ver Nota 9.16), con tal que g ∈ L1(Rn),

ya que |ei |x−y|24t | = 1. Más en general, se puede ver que si |y|2g(y) ∈ L1(Rn), (9.11) da la

solución al problema (9.10).También se puede ver que |u(·, t)|L2 = |g(·)|L2, lo cual tiene interpretación en términos

de probabilidades en mecánica cuántica.

2. Transformada de Laplace

2.1. Definición y Ejemplos.

Definición 9.18. Sea f : [0,+∞) → R. Se define la transformada de Laplace de f ,L[f ] mediante

L[f ](s) :=

∫ +∞

0

f(t)e−tsdt. (9.12)

Para que L[f ] esté bien definida es necesario que la integral que aparece en (9.12)converja. Esto ocurre bajo distintas circunstancias. La siguiente definición provee unafamilia de funciones cuyas transformadas están bien definidas.

Definición 9.19. Se dice que f : [0,+∞) → R tiene crecimiento exponencial siexisten constantes M, a, t0 ∈ R>0 tales que

|f(t)| ≤Meat para todo t ≥ t0. (9.13)

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 113

Proposición 9.20. Sea f : [0,+∞) → R una función continua a trozos y con cre-cimiento exponencial. Entonces L[f ](s) está bien definida para s suficientemente grande(s > a con a dado por (9.13)).

Demostración. Si t1, . . . , tk son los únicos puntos de discontinuidad de f en [0, t0]y |f(t)| ≤ Meat para todo t ≥ t0. Es claro que por ser f continua a trozos vale queK := maxt∈[0,t0] |f(t)| <∞.

Si T > t0 se tiene,∫ T

0

|f(t)e−st|dt ≤∫ t0

0

|f(t)|︸︷︷︸≤K

e−stdt+

∫ T

t0

|f(t)|︸︷︷︸≤Meat

e−stdt ≤ K

∫ t0

0

e−stdt+M

∫ T

t0

e(a−s)tdt

=K

s(1 − e−st0) +

M

a− s(e(a−s)T − e(a−s)t0)

de donde, para s > a,∫ ∞

0

|f(t)e−st|dt = lımT→∞

∫ T

0

|f(t)e−st|dt

= lımT→∞

(K

s(1 − e−st0) +

M

a− s(e(a−s)T − e(a−s)t0)

)

=K

s(1 − e−st0) +

M

s− ae(a−s)t0

(9.14)

que es finito y por lo tanto |L[f ](s)| = |∫ ∞0f(t)e−stdt| ≤

∫ ∞0

|f(t)e−st|dt <∞. �

Corolario 9.21. Si f : [0,+∞) → R es una función continua a trozos y con cre-cimiento exponencial, entonces lıms→∞L[f ](s) = 0. Además, si a tiene el significadode (9.13), |L[f ](s)| está acotada para s ∈ [a + 1,∞).

Demostración. Se tiene |L[f ](s)| ≤∫ ∞0

|f(t)e−st|dt y el resultado se deduce de (9.14).La segunda parte del enunciado también se deduce de (9.14). �

Nota 9.22. La Proposición 9.20 demuestra que la transformada de Laplace de funcio-nes continuas a trozos y con crecimiento exponencial está bien definida en una semirrectadel eje real. Sin embargo, hay funciones para las que la transformada está definida pa-ra todo el eje real, así como también hay funciones que no son suaves a trozos y cuyastransformadas están bien definidas (ver Ejercicio 9.27).

Nota 9.23. Dado que la integración en (9.12) ocurre en [0,+∞), solo importan losvalores de f en esta región. Es práctica común por esto que se interprete que f(x) = 0 six < 0. Esto permite escribir, por ejemplo

∫ +∞0

f(t)e−tsdt =∫ +∞−∞ f(t)e−tsdt. Se recomienda

mucho cuidado con el uso de esta convención.

Ejemplo 9.24.

L[1](s) =

∫ +∞

0

e−tsdt =e−ts

−s

∣∣∣∣∞

t=0

=1

s.

Ejemplo 9.25.

L[t](s) =

∫ +∞

0

te−tsdt =

∫ +∞

0

(d

dt

(te−ts

−s)− e−ts

−s

)dt =

1

s

∫ +∞

0

e−tsdt =1

s2.

Ejemplo 9.26. Para a ∈ R,

L[eat](s) =

∫ +∞

0

eate−tsdt =

∫ +∞

0

e(a−s)tdt =e(a−s)t

a− s

∣∣∣∣+∞

t=0

=1

s− a,


donde, en la última igualdad, hemos supuesto s > a ya que de no ser así, la integral encuestión es divergente.

Ejercicio 9.27. Hallar las transformadas de Laplace de f(x) := 1√x

y g(x) := e−x2.

Nota 9.28. Notemos que si se consideran funciones f : R→ R en vez de f : [0,+∞) →R la transformada de Laplace no es inyectiva: por ejemplo, si H(x) es la función deHeaviside (que vale 1 si x ≥ 0 y 0 si no), L[H ](s) = L[1](s) = 1

s, como se ve en el

Ejemplo 9.24. La falta de inyectividad se verifica aún para funciones continuas: si

f(x) :=

0 si x < −1

x+ 1 si − 1 ≤ x ≤ 0

1 si x > 0

entonces vale L[f ](s) = L[1](s) = 1s. Esta es una de las razones por las que la convención

de que las funciones a transformar Laplace se consideran nulas sobre x < 0.

El siguiente resultado, cuya demostración omitiremos, asegura la inyectividad de latransformada de Laplace en muchos casos útiles.

Teorema 9.29. Sean f, g : [0,∞) → R continuas a trozos, con crecimiento expo-nencial y de modo que sus transformadas de Laplace están definidas y coinciden en R>0.Entonces f(t) = g(t) para todo t en el que ambas funciones son continuas.

En el contexto de transformadas de Laplace y usando la convención mencionada en laNota 9.23 por la que se supone que todas las funciones son nulas para x < 0 se tiene quela convolución de dos tales funciones es

(f ∗ g)(x) =

∫R f(x− y)g(y)dy =

∫ ∞

0

f(x− y)g(y)dy

︸︷︷︸g(y)=0 si y<0

=

∫ x

0

f(x− y)g(y)dy

︸︷︷︸f(x−y)=0 si y>x

(9.15)

2.2. Propiedades.

Proposición 9.30. Si f y g son continuas a trozos y con crecimiento exponencial,entonces valen las siguientes afirmaciones. La constante a es la que existe por (9.13).

1. L es lineal, es decir que L[a1f1 + a2f2] = a1L[f1] + a2L[f2]

2. Si f(x) =

{f(x) si x ≥ 0

0 si x < 0, entonces

L[f ](s) =√

2πˆf(−is)

donde ∧ denota la transformada de Fourier.3. Si f ∈ C1([0,∞)),

L[f ′](s) = sL[f ](s) − f(0).

Más en general, si f ∈ Ck([0,∞))

L[f (k)](s) = skL[f ](s) − sk−1f(0) − sk−2f ′(0) − · · · − f (k−1)(0).

4. Para α > 0,L[f(t− α)H(t− α)](s) = e−αsL[f ](s),

donde H es la función de Heaviside.5. Para α ∈ R y s > a+ α,

L[eαtf(t)](s) = L[f ](s− α).


6. Para n ∈ N,

L[tnf(t)](s) = (−1)n dn

dsnL[f ](s).

7. Para α ∈ R>0 y s > aα,

L[f(αt)](s) =1

αL[f ](

s

α).

8.L[f ∗ g](s) = L[f ](s)L[g](s)

Demostración. 1. Obvio a partir de la definición.2.

L[f ](s) =

∫ +∞

0

f(t)e−tsdt =

∫R f(t)e−it(−is)dt =√

2πˆf(−is)

3.

L[f ′](s) =

∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt =

∫ ∞

0

(d

dt(f(t)e−st) + sf(t)e−st)dt

= (f(t)e−st)|∞t=0 + sL[f ](s) = sL[f ](s) − f(0).

El caso más general sale integrando por partes repetidamente.4.

L[f(t− α)H(t− α)](s) =

∫ ∞

0

f(t− α)H(t− α)e−stdt =

∫ ∞

α

f(t− α)e−stdt

︸︷︷︸z=t−α

=

∫ ∞

0

f(z)e−s(z+α)dz = e−sα

∫ ∞

0

f(z)e−szdz

= e−sαL[f ](s)

donde la segunda igualdad vale pues α > 0 y f(x) = 0 si x < 0.5. Ejercicio.6. Ejercicio.7. Ejercicio.8. Usando la convención de que f(x) = g(x) = 0 para x < 0,

L[f ∗ g](s) =√

2π(f ∗ g)∧(−is) = (√

2π)2f(−is)g(−is) = L[f ](s)L[g](s).

�

Nota 9.31. L[f ](s) tiene sentido aún para s ∈ C, dando origen a la llamada “pro-longación analítica” de L[f ]. Usando esta extensión se puede ver que, cuando está biendefinida, vale la fórmula de inversión

f(x) =1

i√

2πlım

M→+∞

∫ iM+s1

−iM+s1

L[f ](s)esxds (9.16)

para s1 suficientemente grande. Una motivación formal para esta fórmula viene de larelación de la transformada de Laplace con la de Fourier:

f(x) = (f)∨(x) =1√2π

∫R f(w)eiwxdw =1√2π

lımM→+∞

∫ M

−M

f(w)eiwxdw

︸︷︷︸w=−is

=1√2π

lımM→+∞

∫ iM

−iM

f(−is)esx(−i)ds =1

i√

2πlım

M→+∞

∫ iM

−iM

L[f ](s)esxds.


La diferencia entre ambas expresiones, el corrimiento en la línea de integración, aparececomo herramienta para asegurar que la integración ocurre en una región donde L[f ] estádefinida. Esto es así ya que si e−s1xf(x) ∈ L1([0,+∞)), entonces se puede probar queL[f ](s) es analítica en s > s1.

Ejemplo 9.32.

L[sin′′](s) = s2L[sin](s) − s sin(0) − sin′(0) = s2L[sin](s) − 1.

Por otro lado,

L[sin′′](s) = L[− sin](s) = −L[sin](s),

de donde sale que

L[sin](s) =1

1 + s2.

Ejemplo 9.33. Para n ∈ N, queremos hallar L[tn](s). Por la parte 6 de la Proposi-ción 9.30 se tiene

L[tn](s) = L[tn · 1](s) = (−1)n dn

dsnL[1](s) = (−1)n d

n

dsn

1

s=

n!

sn+1.

Finalmente vamos a aplicar las propiedades de la transformada de Laplace para resol-ver una ecuación diferencial.

Ejemplo 9.34. Queremos resolver la ecuación de ondas

utt(x, t) − a2uxx(x, t) = 0 en x > 0, t > 0

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 en x > 0

u(0, t) = f(t) en t > 0

lımx→+∞ u(x, t) = 0 para todo t ≥ 0.

Considerando a x como parámetro tenemos

L[uxx](x, s) =

∫ +∞

0

uxx(x, t)e−stdt =

∂2

∂x2

∫ +∞

0

u(x, t)e−stdt = (L[u])xx(x, s).

Entonces, transformando Laplace ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene

0 = L[utt − a2uxx](x, s) = L[utt](x, s) − a2L[uxx](x, s)

= s2L[u](x, s) − s u(x, 0)︸︷︷︸=0

−ut(x, 0)︸︷︷︸=0

−a2(L[u])xx(x, s)

con lo que L[u] satisface la ecuación diferencial ordinaria en x a coeficientes constantes(ahora s es un parámetro)

s2L[u](x, s) = a2(L[u])xx(x, s)

que tiene por solución

L[u](x, s) = A(s)esax +B(s)e−

sax.

Si A(s) 6= 0, entonces para cada x, L[u](x, s) no estaría acotado (en s) y, por el Coro-lario 9.21 no podría ser la transformada de una u(x, t) que crezca a lo sumo exponen-cialmente en t, que no parece razonable para el problema físico. Otra manera un pocoimprecisa de llegar a la misma conclusión es que


Como para t fijo lımx→+∞ u(x, t) = 0, introduciendo el límite en la integral2

lımx→+∞

L[u](x, s) = lımx→+∞

∫ +∞

0

u(x, t)e−stdt

=

∫ +∞

0

lımx→+∞

u(x, t)e−stdt =

∫ +∞

0

0e−stdt = 0

(9.17)

resultado que sólo es compatible con A(s) = 0 para todo s, por lo que

L[u](x, s) = B(s)e−sax

y, evaluando en x = 0,

B(s) = L[u](0, s) =

∫ +∞

0

u(0, t)e−stdt =

∫ +∞

0

f(t)e−stdt = L[f ](s).

En resumen, usando la Proposición 9.30 se obtiene

L[u](x, s) = L[f ](s)e−sax = L[f(t− x

a)](s),

de donde

u(x, t) = f(t− x

a),

que, como era de esperar, representa una onda que se propaga hacia las x crecientes convelocidad a.

Ejemplo 9.35. Queremos hallar f de modo que

L[f ](s) =s2 + 2s− 5

(s2 + 1)(s− 3),

En otras palabras, queremos hallar la antitransformada de s2+2s−5(s2+1)(s−3)

. Una manera seríausar la fórmula (9.16), pero es más simple en este caso reescribir la función para reconocerlacomo la transformada de alguien. Usando fracciones simples tenemos

s2 + 2s− 5

(s2 + 1)(s− 3)=

A

s2 + 1+

B

s− 3=A(s− 3) +B(s2 + 1)

(s2 + 1)(s− 3)

de donde B = 1 y A = 2. Entonces

L[f ](s) =2

s2 + 1+

1

s− 3= 2L[sin(t)](s) + L[e3t](s) = L[2 sin(t) + e3t](s),

de donde concluimos que

f(t) = 2 sin(t) + e3t.

Concluimos esta Sección con otro ejemplo de resolución de una ecuación en derivadasparciales con la transformada de Laplace.

2Es importante notar que la justificación de este paso requeriría conocer propiedades de la solución u

que no son conocidas en esta etapa, por lo que el valor de esta cuenta es sólo heurístico. En verdad, comoya se ha explicado con anterioridad, todo el razonamiento de esta construcción es heurístico y apunta ahallar una fórmula explícita para la solución. La construcción se completa con la demostración de que lafórmula hallada es solución del problema así como también un estudio de la unicidad de dicha solución.


Ejemplo 9.36. Se busca resolver el siguiente problema, usando transformada de La-place

utt(x, t) − uxx(x, t) = f(t) en 0 < x <∞, t > 0

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 en 0 < x <∞u(0, t) = 0 para t > 0

ux(x, t) → 0 para x→ +∞f(t) = cos(ωt)

El primer paso es aplicar transformada de Laplace a la ecuación diferencial en lavariable t, tomando a x como un parámetro:

s2L[u](x, s) − s u(x, 0) − ut(x, 0) −L[u]xx(x, s) = L[f ](s).

Usando los datos iniciales se obtiene

s2L[u](x, s) − L[u]xx(x, s) = L[f ](s). (9.18)

Interpretando (9.18) como una ecuación diferencial ordinaria en x con s como parámetrose obtiene

L[u](x, s) = A(s)esx +B(s)e−sx +1

s2L[f ](s).

Evaluando L[u]x(x, s) = L[ux](x, s) se obtiene:

sA(s)esx − sB(s)e−sx = L[ux](x, s) =

∫ ∞

0

ux(x, t)e−stdt. (9.19)

Ahora bien, si ux(x, t) → 0 para x → +∞ con suficiente suavidad como para que laintegral en (9.19) tienda a 0 cuando x→ +∞ (cosa que supondremos), entonces vale que

0 = lımx→+∞

sA(s)esx − sB(s)e−sx,

que sólo es posible si A(s) = 0. Por lo tanto,

L[u](x, s) = B(s)e−sx +1

s2L[f ](s).

Evaluando L[u](x, s) en x = 0 se obtiene:

B(s) +1

s2L[f ](s) = L[u](0, s) =

∫ ∞

0

u(0, t)e−stdt = 0,

por lo que B(s) = − 1s2L[f ](s).

En resumen,

L[u](x, s) =1 − e−sx

s2L[f ](s). (9.20)

A continuación hay que invertir la transformada para hallar u. Para hacer esto esconveniente escribir a 1−e−sx

s2 como la transformada de Laplace de alguna función, comoen el Ejemplo 9.35. Comenzamos por notar que

1

s2= L[t](s)

Usando la propiedad 4 de la Proposición 9.30 se tiene:

e−sx

s2= e−sxL[t](s) = L[(t− x)H(t− x)](s)

En conclusión,1 − e−sx

s2= L[t− (t− x)H(t− x)](s).


Volviendo a (9.20) se tiene

L[u](x, s) = L[t− (t− x)H(t− x)](s)L[f(t)](s). (9.21)

El paso siguiente es aplicar propiedades de la convolución a esta fórmula. Sin embargo,para evitar confusiones vamos a insistir en que todas las funciones involucradas son nulascuando x < 0, de modo que la fórmula de la convolución es (9.15). Para esto introducimosfunciones de Heaviside transformando (9.21) en

L[u](x, s) = L[tH(t) − (t− x)H(t− x)](s)L[f(t)H(t)](s).

Aplicando la propiedad 8 de la Proposición 9.30 se obtiene

L[u](x, s) = L[(tH(t) − (t− x)H(t− x)) ∗t f(t)](s),

con lo que

u(x, t) = (tH(t) − (t− x)H(t− x)) ∗t f(t)H(t)

=

∫R((t− y)H(t− y) − (t− y − x)H(t− y − x))f(y)H(y)dy

=

∫ ∞

0

((t− y)H(t− y) − (t− y − x)H(t− y − x))f(y)dy

=

∫ t

0

(t− y)f(y)dy−H(t− x)

∫ t−x

0

(t− y − x)f(y)dy.

Cabe notar que, para t fijo, cuando x > t vale u(x, t) =∫ t

0(t − y)f(y)dy. Por lo tanto

ux(x, t) = 0 si x > t, por lo que se satisface la condición de contorno lımx→+∞ ux(x, t) = 0.En particular, usando la expresión de f se obtiene

u(x, t) =1 − cos(ωt) +H(t− x)(cos(ω(t− x)) − 1)

ω2.

Cabe destacar que el problema que hemos resuelto ya había sido resuelto en el Ejem-plo 6.12 usando la fórmula de D’Alembert.

Bibliografía

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