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Sobre las Matrices de Pascal Hugo Alejandro Villanueva D´ ıaz Universidad Distrital Francisco Jos´ e de Caldas Facultad de Ciencias y Educaci´ on Bogot´ a, Colombia 2015
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Sobre las Matrices de Pascal
Hugo Alejandro Villanueva Dıaz
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad de Ciencias y Educacion
Bogota, Colombia
2015
Sobre las Matrices de Pascal
Hugo Alejandro Villanueva Dıaz
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al tıtulo de: Matematico
Directora:
MSc Veronica Cifuentes Vargas
Semillero de Investigacion:
ITENU
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad de Ciencias y Eduacion
Bogota, Colombia
2015
Bogota D.C, Octubre de 2015
Nota de aceptacion:
Firma del Director
Firma del Jurado
A mi novia amada Mircia, tu companıa es un
regalo bendito del Eterno, con el cual he po-
dido conocer la maravillosa gracia de amar.
Agradecimientos
Agradezco primero que todo a mi Padre Eterno; en su infinito amor y gracia, siempre dispone
lo mejor para mi vida y me ayuda crecer en todo aspecto personal, a El sea la gloria siempre.
A mi madre por su continuo sacrificio y animo durante todo este tiempo, a mi padre por
su incondicionalidad y apoyo abnegado durante el proceso. A mi novia que con su carino y
companıa me ha demostrado su gran valor. A mi amigo y casi hermano Pedro Fernandez
por el tiempo compartido y su confianza; a mis amigos Edwin Castillo y Juan Pablo Mojica,
personas con las cuales compartı excelentes momentos durante la carrera. Dirijo mi gratitud
en especial, a la profesora Veronica Cifuentes, por su direccion, consejo y paciencia en el
emprendimiento este proyecto.
xi
Introduccion
El artıculo Pascal Matrices muestra cuatro demostraciones interesantes con distintos en-
foques para determinar la representacion del triangulo de Pascal como matrices simetricas,
triangulares inferiores y triangulares superiores, (la primera como producto de las dos ulti-
mas). Cada demostracion se trabajara en un capitulo distinto. La primera de ellas se puede
apreciar esta representacion como un producto de matrices con coeficientes binomiales en
sus entradas. La segunda ofrece una deduccion de este tipo de matrices, mediante el estudio
de un grafo encolado, contando sus caminos. La tercera muestra una recursion utilizando la
eliminacion de Gauss para obtener las tres matrices. La ultima, sin duda, la mas especial de
las cuatro; mediante matrices infinitas y criterios de convergencia demuestra la igualdad del
producto. Este trabajo manejara los preliminares en cada capıtulo, ya que cada demostracion
abarca ramas distintas de las matematicas.
xii
Planteamiento del problema
El triangulo de Pascal es sin duda una de las construcciones de la matematica que de for-
ma sutil, desarrolla complejos y estructurados resultados en las matematicas. Dentro de
sus fascinantes propiedades internas y sus interesantes aplicaciones se hace necesario mirar
esta representacion de coeficientes binomiales,vista de una forma matricial para observar
que ventajas se puede obtener en el entorno de este enfoque. De acuerdo con el trabajo de
(Edelman y Strang, 2004) existen ciertas formas que permiten llegar a la representacion ma-
tricial del triangulo de Pascal y del mismo modo partiendo de una de ellas, fundamentar una
aproximacion a la teorıa de representaciones del grupo de Mobius, aprovechando la forma y
recursos matematicos que ofrecen las construcciones de este tipo de matrices. Teniendo en
cuenta este trabajo y la elaboracion de las construcciones de dichas formas para llegar a la
representacion del triangulo de Pascal de manera matricial, surge un interrogante propicio
para el desarrollo del trabajo presente:
¿Cuales son los conceptos de la teorıa matematica que son necesarios para llevar a cabo la
reconstruccion argumentativa del trabajo de Edelman y Strang sobre la representacion del
triangulo de Pascal en forma matricial?
xiii
Justificacion
El triangulo de Pascal se presenta como una forma especial de organizar y representar los
coeficientes binomiales en diferentes situaciones, entre ellas, al expandir un binomio a cual-
quier potencia entera positiva n, al realizar estudios de probabilidad mediante la distribucion
binomial, al desarrollar la derivada de un producto de dos o mas funciones, entre otros. Esta
organizacion de dichos coeficientes se torna mas interesante cuando se ve como una matriz.
Observar el triangulo de Pascal en un contexto matricial, puede ser de ayuda, para optimizar
el uso de las propiedades ya conocidas del famoso triangulo y a su vez descubrir propiedades
ocultas en este. Dentro de los estudios de (Edelman y Strang, 2004) en el cual se basa este
trabajo, se aprecia una prueba efectiva de la anterior afirmacion; en las cuatro demostracio-
nes para la obtencion de esta clase de matrices, la cuarta muestra una interesante conexion
entre la representacion de los grupos de Mobius y las matrices en las cuales este trabajo
centra su atencion: al mirar un binomio con potencia entera positiva (x + y)n a manera de
funcional, las matrices asociadas a estos son de tipo Pascal.
Al reflexionar sobre esto, inmediatamente se piensa en el hecho de un desarrollo sorpresivo de
la teorıa matematica donde el triangulo de Pascal es aplicado utilizando dicho enfoque ma-
tricial. Adicionalmente se concibe la emocionante posibilidad de conectar otras ramas de las
matematicas insospechadas con este interesante artilugio matricial de coeficientes binomiales.
xiv
Objetivos
Objetivo General Describir de manera detallada la generacion de las matrices de Pas-
cal mediante cuatro metodos: multiplicacion matricial utilizando coeficientes binomiales, el
conteo de caminos de un grafo dirigido, la recursion de Pascal y la observacion de los coefi-
cientes de (x+ y)n con un significado funcional.
Objetivos Especıficos
Presentar los argumentos inmersos en el artıculo [6] de las cuatro demostraciones de la
obtencion de la matrices de Pascal.
Explicar los elementos del algebra lineal y la teorıa de grafos que se utilizaron en la
construccion de las matrices de pascal.
Ilustrar la teorıa con variados ejemplos.
Contenido
Introduccion XI
Planteamiento del problema XII
Justificacion XIII
Objetivos XIV
1. Matrices de Pascal mediante multiplicacion de matrices 2
1.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Multiplicacion de matrices de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Contando caminos de un grafo dirigido 9
2.1. Grafos dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. El conteo de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La recursion de Pascal 19
3.1. Eliminacion gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Matrices de eliminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Matrices de Pascal, como producto de matrices bloque. . . . . . . . . . . . . 25
4. Igualdad de Funciones 27
4.1. Serie geometrica y matrices infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. El producto de las matrices infinitas de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5. Conclusiones 37
A. Triangulo de Pascal 38
A.1. Una breve historia del triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.2. Aplicaciones del triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bibliografıa 46
1. Matrices de Pascal mediante
multiplicacion de matrices
Al realizar el producto de una matriz triangular inferior con coeficientes binomiales como
entradas ubicadas apropiadamente, con su transpuesta (que es una matriz triangular supe-
rior); se obtiene una matriz simetrica que de igual forma a las anteriores, contiene coeficientes
binomiales como entradas. Para exponer este resultado, a continuacion se considerara de ma-
nera previa ciertos conceptos teoricos que son necesarios para obtener los resultados de este
capıtulo. En primera instancia se consideraran los conceptos binomiales y su arreglo como
triangulo de Pascal, posteriormente se tomara en cuenta la definicion de matriz y la forma de
organizar los coeficientes binomiales en estas. Por ultimo aplicando el producto de matrices
y utilizando el teorema del binomio se procedera a realizar la demostracion de esta primera
parte.
1.1. Conceptos previos
En [12] se define
Definicion 1.1 (Coeficientes Binomiales). Sean n y r enteros no negativos. El coeficiente
binomial(nr
)es definido por
(nr
)= n!
r!(n−r)!si n ≤ r, y es 0 de otra manera.
Definicion 1.2 (Triangulo de Pascal). Los distintos coeficientes(nr
), donde 0 ≤ r ≤ n
pueden arreglarse en forma de un triangulo, llamado triangulo de Pascal como sigue:(00
)(10
) (11
)(20
) (21
) (22
)(30
) (31
) (32
) (33
)(40
) (41
) (42
) (43
) (44
)Triangulo de Pascal
Aplicando la definicion 1.1 al desarrollar los coeficientes binomiales en componentes del
triangulo, se genera:
1.1 Conceptos previos 3
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Desarrollo por coeficientes binomiales
Teorema 1.1 (Teorema del Binomio). Sean x, y cualesquiera numeros reales y n cual-
quier entero negativo. Entonces
(x+ y)n =n∑
r=0
(n
r
)xn−ryr
Una interesante demostracion de este teorema se puede encontrar en [12], en la pagina 37.
Definicion 1.3 (Termino constante). En un binomio de la forma (1+x)n, se llama termino
constante, al coeficiente binomial que acompana a la expresion x0
Ahora los postulados del algebra lineal, en referencia a [9]
Definicion 1.4. Una matriz (m+ 1)× (n+ 1) es un arreglo rectangular de numeros
a00 a01 · · · a0(n+1)
a10 a11 · · · a1(n+1)
......
...
a(m+1)0 a(m+1)1 · · · a(m+1)(n+1)
Las ”lıneas”horizontales se llaman filas y las ”lıneas”verticales se llaman columnas. Una ma-
triz m× n tiene m+ 1 filas y n+ 1 columnas. La i−esima fila de la matriz dadas es[ai0 ai1 · · · ai(n+1)
]y la j−esima columna es
a0ja1j...
a(m+1)j
Los numeros aij se llaman componentes o entradas de la matriz.
4 1 Matrices de Pascal mediante multiplicacion de matrices
Teniendo en cuenta el concepto de matriz, hay ciertos aspectos que se deben considerar
para el desarrollo del trabajo presente: cuando la matriz tiene igual numero de filas y de
columnas es decir m = n, la matriz se denomina cuadrada. En las matrices cuadradas, las
entradas de la forma aii se les conoce como diagonal principal. Conociendo que es una
matriz cuadrada, a continuacion se definiran tres casos particulares de estas matrices.
Definicion 1.5. Una matriz cuadrada en la cual todas las componentes que estan por encima
de la diagonal principal son ceros, se llama matriz triangular inferior.a00 0
a10 a11...
.... . .
an0 an1 · · · a(n+1)(n+1)
Una matriz cuadrada en la cual todas las componentes que estan por debajo de la diagonal
principal son ceros, se llama matriz triangular superior.a00 a01 · · · a0(n+1)
a11 · · · a1(n+1)
. . ....
0 a(n+1)(n+1)
Definicion 1.6. La transpuesta de una matriz (m+ 1× n+ 1) A = aij es la matriz AT ,
AT = bij con orden (n+1×m+1) donde bij = aji. Una matriz cuadrada A, tal que A = AT ,
se dice que es simetrica.
Definicion 1.7. [Matrices de Pascal] Son matrices1 simetricas, triangulares inferiores o
triangulares superiores que contienen los coeficientes del triangulo de Pascal en una forma
1Como las componentes de las matrices aquı trabajadas son coeficientes binomiales, en las matrices triangu-
lares inferiores las posiciones de sus entradas, tambien determinaran su expresion como numero combinado
es decir:(ij
)= aij
1.1 Conceptos previos 5
conveniente. Estas truncaciones producen matrices n× n Sn, Ln y Un como sigue:
Sn =
(00
) (10
)· · ·
(j0
)· · ·
(n−10
)(11
) (21
)· · ·
(1+j1
)· · ·
(n1
)...
.... . .
......
...(ii
) (i+1i
)· · ·
(i+ji
)· · ·
(i+n−1
i
)...
......
.... . .
...(n−1n−1
) (n
n−1
)· · ·
(n−1+jn−1
)· · ·
(2(n−1)n−1
)
Ln =
(00
)0(
10
) (11
)(20
) (21
) (22
)...
......
. . .(i0
) (i1
) (i2
)· · ·
(ij
)...
......
......
. . .(n−10
) (n−11
) (n−12
)· · ·
(n−1j
)· · ·
(n−1n−1
)
Un =
(00
) (10
) (20
)· · ·
(j0
)· · ·
(n−10
)(11
) (21
)· · ·
(j1
)· · ·
(n−11
)(22
)· · ·
(j2
)· · ·
(n−12
). . .
......
...(jj
)· · ·
(n−1j
). . .
...
0(n−1n−1
)
Definicion 1.8. Sea A = aij una matriz (m + 1) × (n + 1) y sea B = bij una matriz
(n + 1)× (r + 1). El producto AB se define como la matriz (m + 1)× (r + 1), AB = cij,
donde el elemento cij de la matriz AB se define como cij = ai0b0j+ai1b1j+ ...+ai(n−1)b(n−1)j
para i = 0, 1, ...,m y j = 0, 1, ..., r. Este producto esta definido si y solo si el numero de
columnas de la matriz A es igual al numero de de filas de la matriz B.
a00 a01 · · · a0(n−1)
a10 a11 · · · a1(n−1)
......
...
ai0 ai1 · · · ai(n−1)
......
...
a(m−1)1 a(m−1)1 · · · a(m−1)(n−1)
b00 b01 · · · b0j · · · b1(r−1)
b10 b11 · · · b1j · · · b2(r−1)
......
......
b(n−1)0 b(n−1)1 · · · b(n−1)j · · · b(n−1)(r−1)
=
6 1 Matrices de Pascal mediante multiplicacion de matrices
c00 c01 · · · c0j · · · c0(r−1)
c10 c11 · · · c1j · · · c1(r−1)
......
......
ci0 ci1 · · · cij · · · ci(r−1)
......
......
c(m−1)1 c(m−1)2 · · · c(m−1)j · · · c(m−1)(r−1)
1.2. Multiplicacion de matrices de Pascal
Si se observa las definiciones 1.7 y 1.1, en el caso particular cuando n = 4 se generan las
siguientes matrices.
S4 =
(00
) (10
) (20
) (30
)(11
) (21
) (31
) (41
)(22
) (32
) (42
) (52
)(33
) (43
) (53
) (63
) L4 =
(00
)0 0 0(
10
) (11
)0 0(
20
) (21
) (22
)0(
30
) (31
) (32
) (33
) U4 =
(00
) (10
) (20
) (30
)0
(11
) (21
) (31
)0 0
(22
) (32
)0 0 0
(33
)
S4 =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
L4 =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 2 1 0
1 3 3 1
U4 =
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
Es notable en este ejemplo, que la matriz U4 es la transpuesta de L4 y S4 = L4U4, lo que
permite generalizar este resultado para cualquier n por medio del siguiente teorema:
Teorema 1.2 (Multiplicacion de matrices de Pascal). Sea Ln una matriz de Pascal y sea
Un = LTn , entonces:
LnUn = Sn
Demostracion. Sin perdida de generalidad, tomando la i−esima fila de la matriz Ln y la
j−esima columna de la matriz Un, como lo especifica la definicion 1.7 y aplicando la multi-
plicacion de matrices, se llega a la equivalencia:
[(i0
) (i1
) (i2
)· · ·
(ij
)]
(j0
)(j1
)(j2
)...(jj
)
=n−1∑k=0
(i
k
)(j
k
)(1-1)
Se mostrara que la igualdad 1-1 se puede apreciar como entrada de 1.7, ya que es la entrada
de la matriz Sn respecto a su posicion en la fila i y columna j y tiene como coeficiente
1.2 Multiplicacion de matrices de Pascal 7
binomial(i+ji
).
Realizando la expansion de la suma en 1-1:
n−1∑k=0
(i
k
)(j
k
)=
(i
0
)(j
0
)+
(i
1
)(j
1
)+
(i
2
)(j
2
)+ · · ·+
(i
j
)(j
j
)+ · · ·+
(i
n− 1
)(j
n− 1
)Puesto que para k > j y k > i, los coeficientes binomiales son 0, la igualdad 1-1 queda
reducida a la siguiente expresion:
mın(i,j)∑k=0
(i
k
)(j
k
)=
(i+ j
i
)(1-2)
Por lo tanto el teorema se demostrara, probando 1-2.
Para tal efecto se partira de la siguiente identidad polinomial:
(1 + x−1)i(1 + x)j = (1 + 1x)i(1 + x)j
= (x+1x)i(1 + x)j
= ( 1x(1 + x))i(1 + x)j
= ( 1x)i(1 + x)i(1 + x)j
= x−i(1 + x)i(1 + x)j
= x−i(1 + x)i+j
Luego
(1 + x−1)i(1 + x)j = x−i(1 + x)i+j (1-3)
Empleando el teorema del binomio en el lado izquierdo de 1-3, se obtiene:
(1 + x−1)i(1 + x)j =(∑i
k=0
(ik
)1i−kx−k
)(∑jl=0
(jl
)1i−lxl
)=
(∑ik=0
(ik
)x−k)(∑j
l=0
(jl
)xl)
=∑i
k=0
∑jl=0
(ik
)x−k(jl
)xl
=∑i
k=0
∑jl=0
(ik
)(jl
)xl−k
El termino constante del lado izquierdo de la identidad se da cuando l−k = 0, esto es cuando
k = l por ende el coeficiente binomial serıa
i∑k=0
(i
k
)(j
k
)xk−k =
mın(i,j)∑k=0
(i
k
)(j
k
)(1-4)
Analogamente expandiendo la parte derecha de 1-3:
x−i(1 + x)i+j = x−i∑i+j
r=0
(i+jr
)1i+j−rxr
=∑i+j
r=0
(i+jr
)xrx−i
=∑i+j
r=0
(i+jr
)xr−i
8 1 Matrices de Pascal mediante multiplicacion de matrices
El termino constante de la expansion del binomio anterior, se tiene si r− i = 0 lo que implica
que r = i, en consecuencia el termino constante del lado derecho de 1-3 es:(i+ j
i
)xi−i =
(i+ j
i
)(1-5)
Al igualar 1-4 con 1-5, se ha demostrado con exito 1-2. En conclusion
LnUn = Sn
2. Contando caminos de un grafo
dirigido
La siguiente demostracion es un ejemplo interesante donde se puede apreciar una elegante
aplicacion del triangulo de Pascal en la teorıa de grafos. Dicho ejemplo en forma especıfica
mostrara el conteo de caminos de un grafo dirigido para deducir la expresion S = LU . EL
fundamento de ello sera la famosa identidad de Pascal, la cual entablara la asociacion entre
las matrices de Pascal y este grafo.
2.1. Grafos dirigidos
En la teorıa acorde en [11], se encuentra:
Definicion 2.1. Un grafo G = (V,E) se trata de un conjunto V de vertices y un conjunto
E de aristas de tal forma que cada arista e ∈ E esta relacionada con un par ordenado de
vertices. Si existe una arista unica e que se relaciona con el par ordenado (u,w) de vertices,
se denota como la arista que va de v a w, como e = (u,w).
En el caso que una arista e en un grafo que se relaciona con el par de vertices v y w se dice
que es incidente sobre v y w, y cuando v y w son incidentes sobre e se dice que son vertices
adyacentes.
10 2 Contando caminos de un grafo dirigido
Figura 2-1.: Grafo dirigido
Definicion 2.2. Sean v0 y vn vertices en una grafica. Una trayectoria o camino de longitud
n es una sucesion alternante de n + 1 vertices y n aristas que comienza en el vertice v0 y
termina en el vertice vn,
v0, e1, v1, e2, v2 . . . , vn−1, en, vn,
de tal modo que la arista ei es incidente sobre los vertices vi−1 y vi para i = 1, . . . , n.
Definicion 2.3 (Principio de la multiplicacion). Si una actividad se puede ejecutar en t
pasos sucesivos y el paso 1 se puede realizar de n1 maneras, el paso 2 se puede realizar de n2
maneras, . . ., y el paso t de nt formas, entonces el numero de actividades posibles diferentes
es de n1 · n2 · · ·nt.
Definicion 2.4 (Permutacion). Una permutacion de n elementos diferentes x1, . . . , xn es un
ordenamiento de los n elementos x1, . . . , xn.
Teorema 2.1. Existen n! permutaciones de n elementos.
Demostracion. Haciendo uso del principio de la multiplicacion. Una permutacion de n ele-
mentos se construye en n pasos sucesivos; se elige el primer elemento; se el segundo elemento,
ası en lo sucesivo hasta el ultimo elemento. El primer elemento se puede seleccionar de n
maneras. Una vez elegido, el segundo elemento se puede seleccionar n− 1 maneras. Una vez
elegido, el tercer elemento se puede selecciona den− 2 maneras, y ası sucesivamente. Por el
principio de la multiplicacion, existen
n(n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1 = n!
permutaciones de n elementos.
2.1 Grafos dirigidos 11
Definicion 2.5. Una permutacion r de n elementos distintos x1, . . . , xn es un ordenamiento
de r elementos de [x1, . . . , xn] . El numero de permutaciones r de un conjunto de n elementos
diferentes se denota P (n, r).
Teorema 2.2. El numero de permutaciones r de un conjunto de n objetos diferentes es
P (n, r) = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1), r ≤ n
Demostracion. Se debe contar el numero de maneras de ordenar r elementos seleccionados
de un conjunto de n elementos. El primer elemento se puede elegir de n maneras. Ya elegido
el primer elemento, el segundo elemento se puede seleccionar de (n−1) formas. Al continuar
con la eleccion de elementos hasta haber elegido el elemento r− 1, se pasa al elemento r que
se puede seleccionar de n − r + 1 formas. Por el principio de multiplicacion, el numero de
permutaciones r de un conjunto de n objetos distintos es
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)
Corolario 2.1. El numero de permutaciones P (n, r) se puede expresar de la forma
n!
(n− r)!
Demostracion. Por el teorema anterior
P (n, r) = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)
lo que serıa igual a
P (n, r) =n(n− 1) · · · (n− r + 1)(n− r) · · · 2 · 1
(n− r) · · · 2 · 1=
n!
(n− r)!
Definicion 2.6. Dado un conjunto X = {x1, . . . , xn}
Una combinacion r de X es una seleccion no ordenada de r elementos de X, dicho de
otro modo, un subconjunto de X con r elementos.
El numero de combinaciones r de un conjunto de n elementos distintos se denota por
C(n, r) o(nr
).
Teorema 2.3. El numero de combinaciones de r de un conjunto de n objetos distintos es
C(n, r) =
(n
r
)=
P (n, r)
r!=
n!
(n− r)!r!r ≤ n.
12 2 Contando caminos de un grafo dirigido
Demostracion. Contando el numero de permutaciones r de un conjunto de n elementos de dos
maneras. La primera usa la formula P (n, r). La segunda cuenta el numero de permutaciones
de un conjunto de n elementos implica C(n, r). Al construir r permutaciones de un conjunto
X de n elementos en dos pasos sucesivos: primero, se elige una combinacion r deX es decir, un
subconjunto no ordenado de r elementos; segundo, se ordena. EL principio de multiplicacion
dice que el numero de permutaciones r es el producto del numero de combinaciones r por el
numero de ordenamientos de r elementos; es decir,
P (n, r) = C(n, r)r!.
Por lo tanto,
C(n, r) =P (n, r)
r!=
n!
(n− r)!r!
El extremo derecho de la igualdad anterior se justifica mediante el corolario 2.1.
Teorema 2.4. [Identidad de Pascal] Sea n y r enteros positivos, donde r ≤ n. Entonces(n
r
)=
(n− 1
r − 1
)+
(n− 1
r
).
Demostracion. Se comprobara que el lado derecho de la ecuacion es igual al lado izquierdo
de esta: (n−1r−1
)+(n−1r
)= (n−1)!
(r−1)!(n−r)!+ (n−1)!
r!(n−r−1)!
= r(n−1)!r(r−1)!(n−r)!
+ (n−r)(n−1)!r!(n−r)(n−r−1)!
= r(n−1)!r!(n−r)!
+ (n−r)(n−1)!r!(n−r)!
= (n−1)![r+(n−r)]r!(n−r)!
= (n−1)!nr!(n−r)!
= n!r!(n−r)!
=(nr
).
Lema 2.1. Sea n y r enteros positivos, donde r ≤ n. Entonces:(n
r
)=
(n
n− r
).
Demostracion. En efecto dado que:(n
n−r
)= n!
(n−r)!(n−(n−r))!
= n!(n−r)!r!
= n!r!(n−r)!
=(nr
).
Por lo que queda demostrado el lema.
2.2 El conteo de caminos 13
a0 a1 a2 a3b0
b1
b2
b3
Figura 2-2.: Grafo dirigido
2.2. El conteo de caminos
La figura 2-2 muestra un grafo dirigido que tiene como proposito contar el numero de rutas
posibles, entre un punto ai con i ≥ 0 del costado inferior del grafo hasta un punto bj con
j ≥ 0 en el costado izquierdo de este. Como el grafo es dirigido solo es permitido escoger
trayectorias donde sus aristas se dirigen hacia la izquierda o hacia arriba.
a0 a1 a2 a3b0
b1
b2
b3
Figura 2-3.: Seccion del grafo.
La figura 2-3 permite deducir que la longitud de cualquiera de los caminos en el grafo entre
vertices ai y bj estara dada por la expresion i+ j por las condiciones de direccion del grafo,
mientras se avanza en este, solo existe la posibilidad de tomar i aristas hacia la izquierda y j
aristas hacia arriba. La diferencia entre cada camino consiste en el orden de decision acerca
del tipo de arista que se tome.
Igualmente la figura indica que el numero de trayectorias posibles entre ai y bj sera establecido
14 2 Contando caminos de un grafo dirigido
al considerar los dos casos que existen al comienzo de cada camino en el punto ai; es decir
las rutas que empiezan con la arista incidente al vertice ai hacia la izquierda y las rutas
generadas por la arista incidente en el mismo vertice hacia arriba. Por consiguiente el total
de caminos posibles entre los vertices ai y bj sera la suma de todos los caminos establecidos
por estos dos casos.
El numero de trayectorias hacia bj, que empiezan por la arista ai, es igual al numero de
trayectos existentes entre ai−1 y bj. De manera analoga las rutas que inician hacia arriba de
ai, son el total de caminos que hay desde ai a bj−1; todo esto por iniciar el conteo en un nivel
menos hacia la izquierda de ai y un nivel mas hacia arriba de ai respectivamente.
En el caso del numero de trayectorias que empiezan por la izquierda de ai, si se nota con l
a las aristas que van hacia la izquierda y con u las que van hacia arriba. Un trayecto entre
ai−1 y bj serıa:
lll . . . l︸ ︷︷ ︸i−1
uuu . . . u︸ ︷︷ ︸j
.
Lo que indica que la longitud de los caminos de este caso es i − 1 + j, luego el numero de
todos los recorridos de la situacion presente, es la cantidad de posibilidades de escoger las
i− 1 aristas hacia la izquierda durante el recorrido. Por esta razon el total de estos trayectos
es: (i− 1 + j
i− 1
)(2-1)
De forma similar para el numero de trayectorias entre ai y bj−1:
uuu . . . u︸ ︷︷ ︸j−1
lll . . . l︸ ︷︷ ︸i
.
El total de caminos sera: (i+ j − 1
i
)(2-2)
Es evidente que solo existe un camino entre cualquier punto ai y b0. Igualmente para la
trayectoria entre a0 y bj. Por otra parte contando los caminos entre ai y aj, considerando
los trayectos hacia la izquierda y hacia arriba como lo indica 2-1 y 2-2
a0b1 = 1
a1b1 =(10
)+(11
)a2b1 =
(21
)+(22
)a3b1 =
(32
)+(33
)...
2.2 El conteo de caminos 15
a0b2 = 1
a1b2 =(20
)+(21
)a2b2 =
(31
)+(32
)a3b2 =
(42
)+(43
)...
a0b3 = 1
a1b3 =(30
)+(31
)a2b3 =
(41
)+(42
)a3b3 =
(52
)+(53
)...
a0bj = 1
a1bj =(j0
)+(1+j−1
1
)a2bj =
(1+j1
)+(2+j−1
2
)a3bj =
(2+j2
)+(3+j−1
3
)...
Siguiendo la recursion se puede concluir que:
aibj =
(i− 1 + j
i− 1
)+
(i+ j − 1
i
)Ahora por la identidad de Pascal el resultado anterior se reduce a:
aibj =
(i+ j
i
)Lo que muestra que el numero de caminos desde ai y bj, expresa las entradas de la matriz S
de la definicion 1.7
aibj = Sij
aibj = Si−1,j + Si,j−1.
Por consiguiente esta es la manera en la cual, las matrices de Pascal estan asociadas al grafo
estudiado en el apartado presente.
Adicionalmente, si se corta el grafo con una linea de 45◦ de inclinacion como lo indica la
figura 2-4, esta implanta unos nuevos vertices (k, k) en la diagonal del grafo. El proposito
ahora sera contar los caminos que hay entre ai a (k, k), del mismo modo los trayectos desde
(k, k) a bj.
De manera similar al caso anterior de la figura 2-2, el numero de caminos que hay desde ai a
(k, k), sera determinado por los caminos que inician con la arista incidente hacia la izquierda
de ai y los caminos que comiencen de su arista hacia arriba. Por lo tanto se tendra que contar
los caminos que existen de ai−1 a (k, k) y los trayectos de ai a (k− 1, k− 1) respectivamente.
16 2 Contando caminos de un grafo dirigido
a0 a1 a2 a3b0
b1
b2
b3
Figura 2-4.: Grafo cortado
Para los caminos que existentes entre ai−1 y (k, k), tenemos que sus longitudes estara deter-
minada por (i−1)−k hacia la izquierda y k hacia arriba, por lo tanto la longitud cualquiera
de sus trayectos es de:
k + ((i− 1)− k) = i− 1.
Consecuentemente el total de caminos de la situacion presente, sera el numero de formas de
escoger las (i − 1) − k aristas hacia la izquierda en un trayecto de longitud i − 1, lo que es
igual a: (i− 1
(i− 1)− k
)Pero por lema 2.1, la expresion anterior se simplificarıa a:(
i− 1
k
)(2-3)
Igualmente para los caminos que hay de ai a (k − 1, k − 1):(i
i− (k − 1)
)(
i
k − 1
)(2-4)
Es facil ver que existe solo un camino de ai a (0, 0) y solo un camino desde ai a (i, i), si se
usa un planteamiento similar al anterior el total del los caminos entre ai a bj sera igual a la
suma de 2-3 y 2-4:
ai(k, k) =
(i− 1
k
)+
(i
k − 1
)
2.2 El conteo de caminos 17
De nuevo por identidad de pascal la igualdad anterior se simplifica a:
ai(k, k) =
(i
k
).
Por lo tanto el numero de recorridos que hay entre los vertices corresponden a las entradas
de la matriz L de la definicion 1.7 del capitulo previo, dicho de otro modo:
ai(k, k) = Lik
ai(k, k) = Li−1,k + Li,k−1.
En el conteo de trayectorias desde (k, k) a bj se tiene la particularidad que hay k aristas
hacia la izquierda y j − k hacia arriba, por lo tanto, debido a la simetrıa con el problema
anterior, se puede inferir que la longitud de los caminos es dada por j, luego los trayectos que
empiezan a izquierda y hacia arriba de (k, k) se plantean respectivamente por las expresiones:(j
k − 1
)(2-5)
(j − 1
k
)(2-6)
Luego el total de trayectos serıa:
(k, k)bj =(
jk−1
)+(j−1k
)(k, k)bj =
(jk
)Esta expresion implica que el numero caminos entre ambos vertices, representan las entradas
de la matriz U de la definicion 1.7
(k, k)bj = Ukj
(k, k)bj = Uk−1,j + Uk,j−1.
Finalmente, se debe tomar en cuenta que para cada camino de ai a (k, k), existen Ukj
posibilidades para terminar la trayectoria en bj. En otras palabras la expresion LikUkj, cuenta
el numero de caminos que hay desde ai a bj a traves del vertice (k, k). Luego la suma sobre
k cuenta todas los trayectorias entre los vertices del grafo 2-2, en otras palabras:
Sij =∑mın(i,j)
k=0 LikUkj
=∑mın(i,j)
k=0
(ik
)(jk
)Lo cual proporciona otra demostracion para el teorema 1.2.
Ejemplo 2.1. Contar el numero de caminos que hay desde el vertice a2 hasta el vertice b2De acuerdo con el conteo de caminos, esta situacion estarıa representada por la expresion
18 2 Contando caminos de un grafo dirigido
S2,2 =(20
)(20
)+(21
)(21
)+(22
)(22
)= 1 · 1 + 2 · 2 + 1 · 1= 1 + 4 + 1
= 6
Por tanto hay 6 caminos entre ambos vertices, lo que corresponde a la entrada de la matriz
de Pascal S2,2 =(42
)= 6.
3. La recursion de Pascal
El siguiente metodo de demostracion esta basado en la reconstruccion de las matrices Pascal
mediante la eliminacion gaussiana, generando matrices bloque. De manera similar el producto
de estas nuevas matrices, tambien cumpliran el postulado de S = LU en sus respectivos
bloques.
3.1. Eliminacion gaussiana
Como parte del trabajo es necesario definir las condiciones para aplicar el metodo de elimi-
nacion gaussiana. Si se tiene un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
a00x0 + a01x1 + · · · + a0(n−1)xm−1 = t0a10x0 + s11x1 + · · · + s1(n−1)xm−1 = t1...
......
...
a(n−1)0x0 + a(n−1)1x1 + · · · + a(n−1)x(m−1) = tn−1
Al considerar el caso cuando el sistema es homogeneo es decir ti = 0 para i = 0, 1, 2, . . . , n−1,
entonces la representacion matricial del sistema o matriz aumentada sera:
A =
a00 a01 · · · a0(n−1)
a10 a11 · · · a1(n−1)
......
...
an0 an1 · · · a(n−1)(n−1)
De este modo, trabajando con la matriz aumentada se facilitara las operaciones necesarias
para el metodo de eliminacion gaussiana 1. Esta reduccion se ejecuta por medio de las
operaciones elementales de filas, las cuales son:
1. Multiplicacion de una fila de A por un escalar c no nulo.
2. Remplazo de la r− esima fila de A por la fila i mas c veces la fila ju, donde c es
cualquier escalar y r = s.
3. Intercambio de dos filas de A
1En lo comun el metodo es una herramienta para hallar las soluciones de los sistemas de ecuaciones linea-
les.En lo menester del trabajo solo se utilizara para obtener las matrices de Pascal en bloque.
20 3 La recursion de Pascal
Ası una operacion elemental de filas es un tipo de funcion que relaciona a una matriz m×n,
A, a una matriz m× n, e(A). Se puede notar las operaciones elementales e de forma precisa
en los tres casos del siguiente modo:
1. e(A)ij = Aij si i = r, e(A)rj = cArj.
2. e(A)ij = Aij si i = r, e(A)rj = Arj + cAsj.
3. e(A)ij = Aij si i = r y i = s, e(A)rj = Asj, e(A)sj = Arj.
Grossman resume el metodo eliminacion:
Se reduce por renglon la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglo-
nes, se despeja el valor de la ultima incognita y despues se usa sustitucion hacia
atras para las demas incognitas. [9]
Continuando, se debe enunciar dos teoremas que afianzaran los resultados de la demostracion
mediante matrices de Pascal en bloques, las pruebas de estos teoremas pueden ser revisadas
en [10] en las paginas 7 y 8. Estos teoremas son necesarios ya que permiten crear una nocion
de relacion en equivalencia entre matrices y aplicar la teorıa en estos casos de bloque a un
nivel particular.
Teorema 3.1. A cada operacion elemental de filas e corresponde una operacion elemental
de filas e1, del mismo tipo de e, tal que e1(e(A)) = e(e1(A)) = A para todo A. Es decir,
existe la operacion inversa de una operacion elemental de filas y es una peracion elemental
de las filas del mismo tipo.
Definicion 3.1. Si A y B son matrices m× n, se dice que B es equivalente por filas a A si
B se obtiene por una sucesion finita de operaciones fundamentales de filas.
Teorema 3.2. Si A y B son matrices equivalentes por filas, los sistemas homogeneos de
ecuaciones lineales correspondientes tienen exactamente las mismas soluciones,
Definicion 3.2. Una matriz m× n, R, se llama reducida por filas si:
1. El primer elemento no nulo de cada fila no nula de R es igual a 1.
2. Cada columna de R que tiene el primer elemento no nulo de 0
En la demostracion no se utilizara el metodo de eliminacion gaussiana de forma completa,
las operaciones fundamentales seran realizadas en las matrices de Pascal hasta cuando sea 1
la primera entrada de de la primera fila y de la primera columna y los demas elementos de
ellas sean 0.
Teorema 3.3. Si A es una matriz (n+ 1× n+ 1) y B una matriz (n+ 1× n+ 1) entonces
(AB)T = BTAT
3.2 Matrices de eliminacion 21
Demostracion. Se define las entradas de AT = cij BT = dij, donde cij = aji y dij = bji.
Entonces la componente (i, j) de BTAT es∑n+1
k=0 dikckj. Sean las entradas de AB = eij y de
(AB)T = fij, donde fij = eji. Por tanto,
f(ij) = eij =n+1∑k=0
aikbkj =n+1∑k=0
ckjcik =n+1∑k=0
dikckj.
Esta ultima expresion es la componente (i, j) de BTAT , luego (AB)T = BTAT .
3.2. Matrices de eliminacion
De acuerdo con [2] se define la matrices de eliminacion. Estas matrices son fundamentales
para el desarrollo de la tercera demostracion.
Definicion 3.3. Se definen las matrices (n+ 1× n+ 1) Gn y En mediante:
Gn(i, j) :=
{1 si j ≤ i
0 si j > i
En(i, i) = 1 para i = 0, 1, . . . , n
En(i+ 1, i) = −1 para i = 0, 1, . . . , n− 1
En(i, j) = 0 si j > i o j < i− 1
Ejemplo 3.1. Un ejemplo especıfico para las matrices de la definicion 3.3, serıa G3 y E3:
G4 =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
E4 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
La relacion entre las matrices de la definicion 3.3 puede ser contemplada en el siguiente lema:
Lema 3.1. La matriz En es la inversa de Gn.
Demostracion. Para realizar esta demostracion se comprobara que GnEn = I, por tal motivo
se considerara los siguientes casos al ejecutar el producto de matrices:
i > j.
i < j.
i = j
22 3 La recursion de Pascal
Es facil ver que las filas de la matriz Gn tienen valor 1 hasta la entrada (i, i) y en las demas
entradas cero, es decir:[G00 G01 . . . Gii Gi(i+1) . . . Gn
]=[1 1 . . . 1 0 . . . 0
]Para las columnas de la matriz En todas sus entradas son cero, con excepcion de (j, j) y
(j + 1, j) que son entradas con valor 1 y −1 respectivamente:
E0j
E1j
...
Ejj
E(j+1)j
...
Enj
=
0
0...
1
−1...
0
Ası, cuando i > j y al aplicar el producto de matrices se obtiene:
GnEn(i, j) =[1 1 . . . 1 0 . . . 0
]
0
0...
1
−1...
0
= 1 ·0+1 ·0+ . . .+1 ·1+1 ·−1+ . . .+0 ·0 = 0.
Luego:
GnEn(i, j) = 0, si i > j (3-1)
Por otro lado si i < j
GnEn(i, j) =[1 1 . . . 1 0 . . . 0
]
0
0...
1
−1...
0
= 1 ·0+1 ·0+ . . .+0 ·1+0 ·−1+ . . .+0 ·0 = 0.
Entonces:
GnEn(i, j) = 0, si i < j (3-2)
3.2 Matrices de eliminacion 23
Con respecto al caso i = j se da que:
GnEn(i, j) =[1 1 . . . 1 0 . . . 0
]
0
0...
1
−1...
0
= 1 ·0+1 ·0+ . . .+1 ·1+0 ·−1+ . . .+0 ·0 = 1.
Por lo tanto:
GnEn(i, j) = 1, si i = j (3-3)
Las igualdades 3-1,3-2 y 3-3, muestran que GnEn = I, lo que confirma que Gn = E−1n .
Definicion 3.4. Las matriz (n+ 1)× (n+ 1) de Pascal en bloque se define como:
Ln :=
[1 0
0 Ln−1
]Ejemplo 3.2. Un caso particular para estas matrices en bloque serıa L4:
L4 =
[1 0
0 L3
]=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 2 1
El siguiente lema, dara a conocer la correspondencia de las matrices en bloque, con las
anteriores que se han definido en el capıtulo presente:
Lema 3.2. Para las matrices Gn y Ln se cumple:
GnLn = Ln para n ≥ 1.
Demostracion. Para n = 1 se tiene que Ln = In, por lo tanto Gn = Ln. Si n > 1, con la
definicion de producto entre matrices y las entradas de la matriz Ln, se tendrıa que llegar a
la expresion:
GnLn(i, j) =i∑
k=1
(k − 1
j − 1
)=
i−1∑k=j−1
(k
j − 1
)=
(i
j
)= Ln(i, j), (3-4)
24 3 La recursion de Pascal
De la ecuacion 3-4 se encuentra la expresion:
i−1∑k=j−1
(k
j − 1
)=
(i
j
)(3-5)
La cual sera demostrada por induccion matematica sobre i.
Para k = j − 1 se observa que:
j−1∑k=j−1
(j − 1
j − 1
)= 1 =
(j
j
)Si se supone que la igualdad 3-5 se cumple para cierto i = l:
l−1∑k=j−1
(k
j − 1
)=
(l
j
)Debido a la hipotesis de induccion y por teorema 2.4 se deduce que:(
l
j
)+
(l
j − 1
)=
(l + 1
j
).
Lo cual demuestra 3-5 Para j = 0 se obtiene que GnLn(i, j) = 1 = Ln, luego GnLn =
Ln(i, j).
Teorema 3.4. Para las matrices Ln y En se cumple el siguiente resultado:
EnLn = Ln
Demostracion. En efecto, por el lema 3.2 se tiene:
GnLn = Ln.
Multiplicando ambos extremos de la igualdad por En y haciendo uso del lema 3.3, se llega a
la igualdad deseada.
Ejemplo 3.3. Para las matrices E4 y L4, usando el teorema 3.4 su producto da como resul-
tado:
E4L4 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
1 2 1 0
1 3 3 1
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 2 1
= L4
Las entradas de la matriz Ln(i, j) = Lik − Li−1,k, son el resultado de aplicar la eliminacion
Gaussiana hasta el n − 1 paso, restando la fila i − 1 a la fila i. Produciendo ası la matriz
bloque Ln−1.
3.3 Matrices de Pascal, como producto de matrices bloque. 25
Lema 3.3. Las entradas del producto de matrices En y Sn, son asignadas mediante la iden-
tidad de pascal:
EnSn(i, j) = Sij − Si−1j
Demostracion. Usando la definicion de producto de matrices:
EnSn(i, j) =[0, 0, · · · ,−1, 1, · · · , 0
]
(j0
)(1+j1
)...(
i−1+ji−1
)(i+ji
)...(
n−1+jn−1
)
= −
(i−1+ji−1
)+(i+ji
)=
(i+ji
)−(i−1+ji−1
)= Sij − Si−1,j
Finalmente las condiciones estan dispuestas para proceder con la tercera demostracion.
3.3. Matrices de Pascal, como producto de matrices
bloque.
Para mostrar que Sn = LnUn de acuerdo a los preceptos de este capıtulo, se dara uso de la
induccion matematica. Para tal efecto se considera el caso cuando n = 1. De este modo, por
la definicion 3.4 y por teorema 3.4 se tiene que:
(E1L1)(U1ET1 ) =
[1 0
0 L0
] [1 0
0 U0
]=
[1 0
−1 1
] [1 0
0 1
] [1 −1
0 1
]=
[1 0
0 1
]= E1S1E
T1
Por lo tanto la expresion para k = 1, es verdadera.
Asumiendo que la igualdad es valida para k = k− 1, en concordancia Lk−1Uk−1 = Sk−1. Por
este motivo se puede afirmar lo siguiente:
26 3 La recursion de Pascal
(EkLk)(UkETk ) =
[1 0
0 Lk−1
] [1 0
0 Uk−1
]=
[1 0
0 Sk−1
](3-6)
Se espera que el ultimo termino de la igualdad 3-6, coincida con EkSkETk , para concluir que
LkUn = Sk, por ello, al emplear el lema 3.3 y un razonamiento similar al de este teorema, es
posible examinar las entradas de la matriz EkSkETk .
EkSk(i, j) = Sij − Si−1,j
EkSkETn = (Sij − Si−1,j)− (Si,j−1 − Si−1,j−1)
Por tanto, al hacer uso de los teoremas 2.4 y 3.3:
EkSkETk (i, j) = (Sij − Si−1,j)− (Si,j−1 − Si−1,j−1)
= Sij − Si−1,j − Si,j−1 + Si−1,j−1
= Si,j − Sij + Si−1,j−1
= Si−1,j−1
Por el analisis previo se deduce que:
EkSkETk =
[1 0
0 Sk−1
]Por esta razon, se puede inferir que (EkLk)(UkE
Tk ) = EkSkE
Tk , luego por principio de induc-
cion matematica se demuestra que LnUn = Sn, suministrando una nueva demostracion para
el teorema 1.2.
Ejemplo 3.4. Multiplicar las matrices de Pascal en bloque L4 y U4
L4 U4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 2 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 1
=
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 2 3
0 1 3 6
4. Igualdad de Funciones
Sin duda, la mas fascinante demostracion del teorema 1.2 hasta aquı mostrada. Esta demos-
tracion combina elementos como la serie geometrica, para mostrar que el principal teorema se
cumple para matrices de orden infinito. Como ha sido costumbre en el trabajo, se empezara
por definir las herramientas que son necesarias para desarrollar esta ultima demostracion.
Para la prueba se trabajara las entradas del producto de matrices, con un andamiaje de
series convergentes que son derivables en cualquier orden.
4.1. Serie geometrica y matrices infinitas
Sea (fn) una sucesion de funciones, donde fn : A ⊆ R → R, se define como la serie de∑
n fncomo la sucesion de sumas parciales:
∞∑n=0
fn = (f1, f1 + f2, f1 + f2 + f3, . . .)
En primera instancia se nombran los conceptos fundamentales para dar desarrollo a la de-
mostracion, en lo referido al tema en [3] y [14], se dispone:
Definicion 4.1 (Serie uniformemente convergente). Si se toma una serie de funciones∑∞n=0 fn, como una sucesion de sumas parciales Sn =
∑∞n=0 xn, en un conjunto A ⊆ R
Se dice que Sn, converge uniformemente en A, hacia la funcion f, si y solo si:
∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |Sn − f(x)| < ε, ∀x ∈ A.
Definicion 4.2. Una sucesion de funciones (fn) con fn : A ⊆ R → R, se dice que (fn) es
uniformemente de Cauchy 1 si.
∀ε > 0 ∃N ∈ N tal que, si n,m > N entonces |fn − fm| < ε (∀x ∈ A.)
Teorema 4.1. Si fn es diferenciable en [a, b] para todo n ∈ N. Si la sucesion de funciones
derivadas converge uniformemente en A ⊆ R a una funcion g, y existe un valor c ∈ [a, b] en
el cual fn(c) es convergente, entonces la sucesion fn converge uniformemente a una funcion
f derivable, ademas f ′ = g.
1Al igual que ocurre con las sucesiones de numeros reales, una sucesion es uniformemente de Cauchy si y
solo si es uniformemente convergente.
28 4 Igualdad de Funciones
Demostracion. El objetivo de la prueba se centra en comprobar que (fn) es uniformemente
de Cauchy. Sea ε > 0. Por definicion 4.2 e hipotesis se establece la siguiente desigualdad.
|fn(x)− fm(x)| ≤ |(fn − fm)(x)− (fn − fm)(c)|+ |(fn − fm)(c)| .
Debido al teorema del valor medio del calculo diferencial, existe un valor z ∈ A que satisface
|(fn − fm)(x)− (fn − fm)(c)| = |(fn − fm)′(z)| |x− c| ≤ |(fn − fm)
′(z)| |b− a| .
Por hipotesis la sucesion (f ′n) es uniformemente de Cauchy, por lo tanto existe N1 ∈ N tal
que
|(fn − fm)′(y)| ≤ ε
2(b− a)
para n,m > N1.
Asimismo (fn(c)) es convergente, por tanto es de Cauchy luego existe N2 ∈ N de manera que
|(fn − fm)(c)| ≤ε
2
para n,m > N2.
En su totalidad, si n,m > max {N1, N2} entonces
|fn(x)− fm(x)| ≤ |(fn − fm)(x)− (fn − fm)(c)|+ |(fn − fm)(c)| ≤ε
2+
ε
2= ε.
Es ası que fn es uniformemente de Cauchy y ası existe el lımite uniforme que es f. Ahora se
probara que f es diferenciable y f ′ = g. Se considera la siguiente desigualdad, sea x, y ∈ A:∣∣∣fm(y)−fm(x)y−x
− g(x)∣∣∣ ≤
∣∣∣fm(y)−fm(x)y−x
− fn(y)−fn(x)y−x
∣∣∣+∣∣∣fn(y)−fn(x)
y−x− f ′
n(x)∣∣∣+ |f ′
n(x)− g(x)|(4-1)
Sea ε > 0, una vez mas por el teorema del valor medio del calculo diferencial, existe un valor
z ∈ A, para el cual se cumple∣∣∣∣fm(y)− fm(x)
y − x− fn(y)− fn(x)
y − x
∣∣∣∣ ≤ |f ′m(z)− f ′
n(z)| −→ 0n,m→∞
de este modo, por la convergencia de (fn)∣∣∣∣f(y)− fm(x)
y − x− fn(y)− fn(x)
y − x
∣∣∣∣ −→ 0n→∞
de donde ∣∣∣∣f(y)− fm(x)
y − x− fn(y)− fn(x)
y − x
∣∣∣∣ < ε
3
para algun n suficientemente grande.
4.1 Serie geometrica y matrices infinitas 29
Por hipotesis la sucesion (f ′n) converge uniformemente a g, luego para un n suficientemente
grande
|f ′n(x)− g(x)| < ε
3.
Ahora es necesario elegir el n suficientemente grande para que se cumplan las dos conside-
raciones anteriores. Por hipotesis, fn es diferenciable y ası, existe δ > 0 tal que∣∣∣∣fn(y)− fn(x)
y − x− f ′
n(x)
∣∣∣∣si |x− y| < δ.
Por tanto, reemplazando las 3 estimaciones anteriores en la desigualdad 4-1 se concluye∣∣∣∣fn(y)− fn(x)
y − x− g(x)
∣∣∣∣ < ε
3+
ε
3+
ε
3= ε
para |x− y| < δ. Ası f es diferenciable y f ′ = g.
Teorema 4.2. Sea fn diferenciable [a, b] para todo n ∈ N. Si la serie∑
n f′n es uniformemente
convergente a g, y si existe c ∈ [a, b] tal que∑
n fn(c) es convergente, entonces∑
n fn es
convergente, su convergencia f es derivable y ademas f ′ = g, es decir(∑n
fn
)′
=∑n
f ′n.
Demostracion. Debido a que fn es diferenciable, entonces tambien lo son las funciones f1 +
. . .+ fn que conforman la sucesion de sumas parciales. Por hipotesis, la sucesion (f1 + . . .+
fn)′ = f ′
1 + . . . + f ′n converge uniformemente a g y existe c para el cual, la sucesion f1(c) +
. . .+ fn(c) es convergente. Por teorema 4.1, la sucesion f1+ . . .+ fn converge uniformemente
a una funcion derivable f , cuya derivada es f ′ = g.
Definicion 4.3 (Serie de potencias). Sea a ∈ R, se denomina serie de potencias centrada
en a, a toda serie de la forma
∞∑n=0
cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n + · · · .
Donde cn ∈ R.
30 4 Igualdad de Funciones
Definicion 4.4 (Serie absolutamente convergente). Una serie∑∞
n=0 fn se dice absolutamente
convergente si:∞∑n=0
|fn| < ∞
Definicion 4.5 (Criterio de la raız en series de potencias). Para todo x la serie∑
n cn(x−a)n
verifica:
Si lım supn→∞
n√
|cn(x− a)n| < 1 entonces la serie es absolutamente convergente.
Si lım supn→∞
n√
|cn(x− a)n| > 1 entonces la serie no es convergente.
Si lım supn→∞
n√
|cn(x− a)n| = 1 entonces la serie puede ser convergente o no y hay que
estudiar el caso por separado.
Debido a que
lım supn→∞
n√
|cn(x− a)n| = |x− a| lım supn→∞
n√
|cn|
se puede definir
r =
(lım supn→∞
n√|cn|)−1
(r = 0 si el lım sup = +∞ y r = +∞ si lım sup = 0), ası l anterior se puede expresar como
si |x− a| < r entonces la serie n√|cn(x− a)n| es absolutamente convergente.
si |x− a| > r entonces la serie n√|cn(x− a)n| no es convergente.
si |x− a| = r, lo que es igual para x = a ± r, entonces la serie puede ser convergente
o no y se estudia el caso por aparte.
El valor r se llama radio de convergencia de la serie. Este determina el intervalo
(a− r, a + r) en el cual la serie esta definida. Si x pertenece a este intervalo, la serie
es absolutamente convergente.
Definicion 4.6 (Serie geometrica). Si x es un numero real, se define como serie geometrica2,
a la serie de potencias a la expresion:
∞∑n=0
xn = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + · · · = 1
1− xsi |x| < 1.
La cual es convergente si |x| < 1.
2Para mayor informacion de series y convergencia, remitirse a [1], pag 469.
4.1 Serie geometrica y matrices infinitas 31
Teorema 4.3 (Criterio M de Weiertrass). Si |fn(x)| ≤ cn, para todo n y para todo x ∈ A,
adicionalmente∑
cn es convergente, entonces∑
fn es absoluta y uniformemente convergente
en A.
Demostracion. La serie∑
cn es absolutamente convergente, luego todos sus terminos son
positivos y de esta manera se cumple la condicion de Cauchy: dado ε > 0 existe N ∈ N tal
que∑m
k=n |Ck| < ε para n,m > ε. En consecuencia∑m
k=n |Ck| < ε para todo x ∈ A
Corolario 4.1. Si∑
n cn(x− a)n es una serie con radio de convergencia r > 0, entonces la
serie es absoluta y uniformemente convergente en [a− s, a+ s]
Demostracion. Por el criterio M se puede establecer la convergencia uniforme de la serie.
Dada una serie∑
n cn(x − a)n con radio de convergencia r > 0, si 0 < s < r, para cada
x ∈ [a− s, a+ s], se da que |cn(x− a)n| ≤ |cn| sn. Por el criterio M anterior y haciendo uso
del criterio de la raız, la serie∑
n |cn| sn es convergente, entonces∑
n cn(x− a)n es absoluta
y uniformemente convergente en [a− s, a+ s] .
Lema 4.1. Si∑
n cn(x − a)n converge a una funcion f(x) con x ∈ (a − r, a + r), entonces
f es indefinidamente diferenciable en este intervalo.
Demostracion. Sea g(x) =∑∞
n=1 ncn(x−a)n−1 la serie que resulta al derivar la serie∑
n cn(x−a)n termino a termino por teorema 4.2. Ambas series tienen el mismo radio de convergencia,
teniendo en cuenta que
r−1g = lım sup
n
n√
n |cn| = lım supn
n√|cn| = r−1.
Luego g es lımite uniforme de la sucesion de sumas parciales derivadas. Haciendo uso del
teorema 4.1, se tiene que f es derivable y f ′ = g. El mismo argumento sirve para comprobar
que f ′′(x) =∑∞
n=2 n(n− 1)cn(x− a)n−2, y en lo sucesivo.
Definicion 4.7 (Funciones analıticas). Se dice que f : A ⊂ R → R es analıtica en a ∈ A si
f es suma de una serie de potencias en un entorno a.
En correspondencia con la teorıa hallada en [5] se permite definir:
Definicion 4.8 (Matrices Infinitas). Una matriz infinita es un arreglo rectangular A =
(aij) (i, j = 0, 1, 2, . . . ,∞) de numeros reales o complejos, con adicion y multiplicacion
definida por:
A+B = (aij + bij), λA = (λaij), AB =∑∞
k=0 aikbkj,
Donde λ es numero escalar.
32 4 Igualdad de Funciones
Definicion 4.9 (Matrices de Pascal infinitas). De forma similar a la definicion 1.7 y em-
pleando la definicion 4.8, se determina:
S :=
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
L :=
1 0 0 0 ·1 1 0 0 ·1 2 1 0 ·1 3 3 1 ·· · · · ·
U :=
1 1 1 1 ·0 1 2 3 ·0 0 1 3 ·0 0 0 1 ·· · · · ·
4.2. El producto de las matrices infinitas de Pascal
Esta ultima demostracion, parte de la consideracion del vector infinito v = (1, x, x2, x3...).
Al ejecutar el producto de este vector con la matriz infinita S, se obtiene:
Sv =
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
1
x
x2
x3
·
=
1 + x+ x2 + x3 + · · ·1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · ·1 + 3x+ 6x2 + 10x3 + · · ·1 + 4x+ 10x2 + 20x3 + · · ··
La primera fila del vector Sv produce la serie geometrica, la cual, por teorema 4.2 se puede
derivar termino a termino generando una nueva serie convergente y en consecuencia del lema
4.1 esta se puede derivar indefinidamente. Bajo estos postulados, derivando indefinidamente
en ambos lados la serie geometrica
1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1/(1− x)
1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · = 1/(1− x)2
2 + 6x+ 122 + 20x3 + · · · = 2/(1− x)3
6 + 24x+ 60x2 + 120x3 + · · · = 6/(1− x)4
...
lo cual es igual a
1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1/(1− x)
1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · = 1/(1− x)2
2(1 + 3x+ 62 + 10x3 + · · · ) = 2(1/(1− x)3)
6(1 + 4x+ 10x2 + 20x3 + · · · ) = 6(1/(1− x)4)...
(4-2)
ası
4.2 El producto de las matrices infinitas de Pascal 33
1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1/(1− x)
1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · = 1/(1− x)2
1 + 3x+ 62 + 10x3 + · · · = 1/(1− x)3
1 + 4x+ 10x2 + 20x3 + · · · = 1/(1− x)4
...
De esta manera se obtiene la convergencia de cada una de las fila de Sv, luego
Sv =
1/(1− x)
1/(1− x)2
1/(1− x)3
1/(1− x)4
·
Ahora el proposito sera comprobar que LUv = Sv. Para tal efecto se ejecuta el producto de
la matriz infinita U con el vector v
Uv =
1 1 1 1 ·0 1 2 3 ·0 0 1 3 ·0 0 0 1 ·· · · · ·
1
x
x2
x3
·
=
1 + x+ x2 + x3 + · · ·x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · ·x2 + 3x3 + 6x4 + 10x5 + · · ·x3 + 4x4 + 10x5 + 20x6 + · · ··
tomando las igualdades 4-2 como referencia, se puede afirmar que
1 + x+ x2 + x3 + · · · = 1/(1− x)
x+ 2x2 + 3x3 + 4x4 + · · · = x/(1− x)2
x2 + 3x3 + 6x5 + 10x6 + · · · = x2/(1− x)3
x3 + 4x4 + 10x5 + 20x6 + · · · = x3/(1− x)4
...
por lo tanto
Uv =
1/(1− x)
x/(1− x)2
x2/(1− x)3
x3/(1− x)4
·
Al factorizar 1
1−xy haciendo a = x
1−x, entonces las componentes de Uv corresponderan a las
potencias de a, luego el vector Uv se expresarıa de la forma
34 4 Igualdad de Funciones
Uv =1
1− x
1
a
a2
a3
·
Ahora al multiplicar por izquierda, la matriz L infinita al vector Uv, se da
L(Uv) = 11−x
1 0 0 0 ·1 1 0 0 ·1 2 1 0 ·1 3 3 1 ·· · · · ·
1
a
a2
a3
·
= 11−x
1
1 + a
1 + 2a+ a2
1 + 3a+ 3a2 + a3
.
Dado que en la multiplicacion con L no produce sumas infinitas, la convergencia no presenta
problema. Ejecutando esta multiplicacion es claro que la matriz L produce el teorema del
binomio en las componentes del vector resultante del reciente producto, luego
L(Uv) = 11−x
(1 + a)0
(1 + a)1
(1 + a)2
(1 + a)3
·
La n−esima fila de L multiplicado por Uv esta dada por
1
1− x(1 + a)n =
1
1− x
(1 +
x
1− x
)n
=1
1− x
(1
1− x
)n
=1
(1− x)n+1
por lo tanto
L(Uv) =
1/(1− x)
1/(1− x)2
1/(1− x)3
1/(1− x)4
·
Consecuentemente Sv = LUv. Se utilizara este hecho, para comprobar que en las matrices
infinitas de pascal se satisface S = LU. Dado que la serie geometrica es convergente para
los |x| < 1, para x = 0 la serie converge ya que 0 pertenece al radio de convergencia de
esta. Es ası que haciendo x = 0 en el vector infinito v = (1, x, x2, x3, . . .) se obtiene el vector
coordenado v0
v0 = (1, 0, 0, 0, . . .)
4.2 El producto de las matrices infinitas de Pascal 35
Si se efectua el producto Sv0 es claro que es igual a LUv0, el resultado proporciona la
columna fila tanto de la matriz infinita S y el producto de matrices del mismo orden UL,
como se aprecia a continuacion; dado que Sv = LUv entonces
Sv0 =
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
1
0
0
0
·
=
1 0 0 0 ·1 1 0 0 ·1 2 1 0 ·1 3 3 1 ·· · · · ·
1 1 1 1 ·0 1 2 3 ·0 0 1 3 ·0 0 0 1 ·· · · · ·
1
0
0
0
·
= LUv0 =
1
1
1
1
·
Si se puede construir los otros vectores coordenados a partir del vector v, se podra concluir
que todas las columnas de S y LU coinciden. La manera para llegar al vector coordenado
v1 = (0, 1, 0, 0, . . .), es diferenciar v en x = 0 utilizando de nuevo la convergencia de la serie
geometrica en valores cercanos a 0. Introduciendo v∆ = (1,∆,∆2,∆3, . . .) y formando una
combinacion lineal entre v∆ y v0, se establece
S
(v∆ − v0
∆
)= LU
(v∆ − v0
∆
)Analizando
(v∆−v0
∆
), en forma general, este vector es:
(v∆ − v0
∆
)=
(1,∆,∆2,∆3, . . .)− (1, 0, 0, 0, . . .)
∆=
(0,∆,∆2∆3, . . .)
∆= (0, 1,∆,∆2, . . .)
S
(v∆ − v0
∆
)=
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
0
1
∆
∆2
·
=
1 + ∆+∆2 + · · ·2 + 3∆ + 4∆2 + · · ·3 + 6∆ + 10∆2 + · · ·4 + 10∆ + 20∆2 + · · ·
= LU
(v∆ − v0
∆
)
Si ∆ → 0, entonces
S
(v∆ − v0
∆
)=
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
0
1
0
0
·
=
1
2
3
4
= LU
(v∆ − v0
∆
)
El producto de v1 con S y LU, produce respectivamente, sus segundas columnas.Puesto
que el vector resultante de la combinacion lineal (0, 1,∆,∆2, . . .), al multiplicarse con las
matrices de Pascal infinitas, genera series de potencias, por corolario 4.1, cada serie converge
36 4 Igualdad de Funciones
uniformemente y adicionalmente son analıticas. Partiendo de esto se puede decir que cada
serie se puede derivar indefinidamente, verificandose las condiciones del lema 4.1. De este
modo cada derivada es legıtima. Las derivadas de orden superior del vector (0, 1,∆,∆2, . . .),
proporcionan los otros vectores coordenados, es decir, derivando(v∆−v0
∆
)
S
(v∆ − v0
∆
)′
=
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
0
0
1
2∆
·
=
1 + 2∆ + · · ·3 + 8∆ + · · ·6 + 20∆ + · · ·10 + 40∆ + · · ·
= LU
(v∆ − v0
∆
)′
de manera que, si ∆ → 0 se tiene
S
(v∆ − v0
∆
)′
=
1 1 1 1 ·1 2 3 4 ·1 3 6 10 ·1 4 10 20 ·· · · · ·
0
0
1
0
·
=
1
3
6
10
= LU
(v∆ − v0
∆
)′
De dicho modo, se llega v2 y se comprueba la igualdad de la tercera fila para S y LU.
Derivando indefinidamente se llegarıa los vectores v3,v4, . . .vn, . . . y haciendo uso de la
convergencia uniforme se concluye que las columnas de S y LU son identicas. Al trabajar
con matrices infinitas, S = LU es confirmado para todos los ordenes n al mismo tiempo. Ası
se otorgarıa la ultima demostracion al teorema 1.2.
5. Conclusiones
De acuerdo con el estudio anterior, el producto de dos matrices tiene distintas pers-
pectivas que inducen a tomar distintos rumbos para llegar a una meta en comun.
Esta claro que aunque el concepto de multiplicacion de matrices triangulares es al-
go propio del algebra lineal, sin embargo las interpretaciones que otras ramas de las
matematicas le dan a algo de apariencia simple, motivan a generar conceptos mas
trascendentales.
La factorizacion de la matriz de Pascal simetrica, mas alla de apreciarla como la suma-
toria de una multiplicacion componente a componente, si se observa detenidamente, se
llega a descripciones de fenomenos matematicos interesantes.
A. Triangulo de Pascal
A.1. Una breve historia del triangulo
Comunmente se denomina al matematico frances Blaise Pascal (1623-1662), como el padre
intelectual del afamado triangulo. Sin embargo este se conocıa hace mucho tiempo.
Los orıgenes del trıangulo aritmetico pueden considerarse desde los griegos con su trabajo
en numero poligonales, en el siglo VI antes de Cristo. Se llaman de este modo, porque son
numeros enteros y pueden representarse mediante figuras geometricas planas o espaciales;
estableciendo puntos en los vertices en la figura poligonal representada. Un ejemplo de esto,
son los numeros triangulares 1, 3, 6, 10, 15, ...,, que se representan mediante puntos en el plano
que forman triangulos.
Hay documentos del ano 1261 en los que se muestran que la organizacion del triangulo
aritmetico era usado por los chinos con seis lineas en desarrollo. En 1303, se encontro otro
documento con ocho lineas de profundidad y con la misma disposicion que utilizarıa Pascal
mas tarde; se cree que los chinos utilizaban estas representaciones de coeficientes binomiales,
para el calculo de raıces cuadradas y cubicas.
Figura A-1.: Triangulo aritmetico de Zhu Shijiei, 1303
A.1 Una breve historia del triangulo 39
En una edicion de 1407 de la Arithmetica de Jordano, se encuentra un triangulo similar.
Jordanus de Nemore, fue un matematico aleman que tuvo ciertos conocimientos de los coe-
ficientes badinomiales; de acuerdo a la obra citada se presentaba los siguientes resultados:
∑r
(n
r
)= 2n,
∑r
(n
r
)2r = 3r.
Ademas su desarrollo del triangulo aritmetico:
Figura A-2.: Triangulo de Jordanus, 1407
Un matematico aleman protestante llamado Miguel Stifel, (1486-1567), quien se cree fue el
que introdujo los sımbolos + y − ası como las letras para dentar las cantidades desconocidas
tambien hizo su aporte al triangulo aritmetico. En 1544 en su publicacion de Nuremberg y su
trabajo Arithmetica integra, adicionalmente a su idea de los logaritmos, tambien se observa
un triangulo con numeros figurados el cual servıa para el calculo de raıces.
40 A Triangulo de Pascal
Figura A-3.: Triangulo de Stifel, 1544
Poco despues el sabio, filosofo y matematico Jeronimo Cardano, utilizaba el triangulo para
determinar el numero total de maneras de tomar dos o mas objetos de un conjunto de n
elementos, dicho de otro modo es la primera vez en la historia que se utiliza el triangulo con
objeto del calculo combinatorio.
Figura A-4.: Triangulo de Cardano, 1570
A mitad del siglo XVI el algebrista aleman Johannes Scheubel, hacia referencia del triangulo
aritmetico con el proposito del calculo de raıces en su obra De numeris, se puede apreciar
en la grafica su version.
A.1 Una breve historia del triangulo 41
Figura A-5.: Triangulo de Scheubel,1545
Nicolo fontana (1499-1557), matematico nacido en Italia, mas conocido por Tartaglia, recono-
ce un triangulo en forma de tanla en su tratado, General trattato di numero e misure,tiempo
despues habla de un segundo triangulo utilizado para el calculo binomial, en el caso especıfico
de calcular el numero total de formas que podıan caer n dados en un tablero.
Figura A-6.: Triangulo de Tartaglia para toma de medidas, 1523
Figura A-7.: Triangulo de Tartaglia para toma de medidas, 1523
Finalmente ya llegando a Pascal se dice que este se pudo inspirar, en un triangulo usado
por el flamenco Stevin,1548-1620, que, como Stifel, lo usaba para el calculo de raıces. Es
42 A Triangulo de Pascal
posible que Pascal tambien le era familia la tabla que se en encuentra dentro del tratado
sobre el algebra de Herigone, Cursus mathematicus, el cual era destinado para la deduccion
de coeficientes binomiales en el desarrollo de potencias del binomio (a+ b)n.
Es probable que Pascal tambien tomara como fundamento la Table des varietes d’un chant
de 12 notes prises en 36 que Mersenne introduce en su Harmonicorum Libri XII, en el ano
de 1636.
Figura A-8.: Tabla de Marin Mersenne, 1636
Pascal comienza con la investigacion del triangulo en el ano de 1654. En toda la historia, fue
el primero en estudiarlo sistematicamente de tal modo que imprimio una memoria completa
de este, llamada Tratado del triangulo aritmetico.
Esta obra presentaba tratados que mostraban las aplicaciones del triangulo, los numeros
figurados u ordenes numericos, las combinaciones, problemas sobre sumas de potencias y
productos de numeros consecutivos.
En realidad lo que hace que a Pascal se le adjudique el credito de autor intelectual de
la construccion y el contenido del triangulo, es su investigacion a profundidad que no fue
concebida por sus predecesores; Pascal utiliza el razonamiento por recurrencia y emplea la
disposicion del trıangulo para distintas aplicaciones de la aritmetica como los que incluıa su
tratado. Adicionalmente hace uso de el trıangulo para el estudio de problemas de una rama
matematica de su invencion, la probabilidad, investigando sobre el problema de los repartos.
A.2 Aplicaciones del triangulo 43
Figura A-9.: Triangulo aritmetico original de Pascal
A.2. Aplicaciones del triangulo
Pascal en el trabajo Diversos usos del triangulo aritmetico cuyo generador es la unidad,
muestra cuatro aplicaciones: los ordenes numericos, las combinaciones, determinacion de los
repartos y la potencia de los binomios (a + b) o (a − b). La forma que utilizo Pascal para
desarrollar su triangulo le sirve tambien para representar los ordenes numericos. De este modo
la primera fila estara formada por la unidad; los elementos de la segunda fila, se obtienen
sumando los que le preceden en la misma fila hasta el mismo, de manera consecutiva,
1 1 1 1 1 1...
1 2 3 4 5 6...
Deduciendo ası la sucesion natural o de numeros de segundo orden aritmetico. Con un proceso
similar, se obtiene la tercera fila del triangulo que es la sucesion de tercer orden o los numeros
triangulares.
1 3 6 10 15 21...
En esta fila cada elemento se reconoce pomo el n−esimo elemento de la serie:
Tn =n∑
i=1
i =n(n+ 1)
2
De igual forma, a partir de los numeros anteriores, se forma el cuarto orden o de los numeros
piramidales, los cuales estan ubicados en la cuarta fila del triangulo de Pascal:
44 A Triangulo de Pascal
1 4 10 20 35 56 84...
Por lo tanto un numero piramidal Tn se generaliza en la expresion combinatoria,
Tn =
(n
3
), n = 3, 4, 5...
Siguiendo con la construccion anteriormente planteada hasta el infinito tanto en el numero de
linea como en el desarrollo de sus elementos, se obtienen los numeros figurados que trabajaron
los pitagoricos.
Las combinaciones no eran desconocidas en la epoca de Pascal. El sacerdote Mersenne, las
utilizaba para la teorıa de variaciones, permutaciones y combinaciones para las disposiciones
posibles de las notas musicales. Pascal por otro lado unicamente considera las combinaciones
sin repeticion.
Pascal se vale de su triangulo para resolver con facilidad el total de combinaciones, es decir
dados dos numeros, calcular cuantas veces uno se combina con el otro; en lenguaje matema-
tico actual serıa Cm,n =(mn
)lo que presentarıa las definiciones de la monografıa.
El triangulo de Pascal que es la misma tabla de combinaciones, permite demostrar numerosas
proposiciones relativas al calculo combinatorio.
Respecto al problema de los repartos se hablara de forma breve. Este es uno de los primeros
problemas que tuvo la reciente rama de las matematicas formalizada y creada por Pascal,
de acuerdo a (bibliografia) se enuncia el problema.
Sea el ejemplo siguiente. Considerese un juego entre dos jugadores, A y B, en el
que el primero le quedan 2 partidas para ganar, mientras que al segundo le faltan
4. Para determinar los repartimientos que le corresponden a cada uno, basta
con leer en el triangulo aritmetico el contenido de la base que contiene tantas
casillas como partidas le quedan a los dos jugadores juntos, es decir, de la base,
2 + 4 = 6, y jugadores juntos, es decir, de la base, 1 + 5 + 10 + 20 + 5 + 1 = 32.
Para determinar ahora lo que corresponde a uno de los jugadores, por ejemplo
al A se calcula, en primer lugar, la suma de los contenidos de tantas casillas, 4,
como jugadas de la base, es decir, 10 + 10 + 5 + 1 = 36. Entonces, al jugador A,
le correspondera una fraccion igual a 2632. De igual manera se calculara la fraccion
que le corresponde al jugador B: (1+5)32
= 632.Tambien es posible conocer la ventaja
de cada jugador respecto del otro: es igual a la relacion entre las dos fracciones
anteriores,2632632
= 266.
En cuanto al desarrollo de la potencia de un binomio, si se quiere encontrar una potencia
cualquiera como la de cuarto grado, de un binomio el cual esta conformado por un natural
A y la unidad, es decir el cuadrado del cuadrado de la expresion A + 1, es necesario tomar
la quinta fila del triangulo de pascal dispuesta en la definicion (llamar). los elementos de
A.2 Aplicaciones del triangulo 45
esta fila son 1, 4, 4, 4, 1 y es preciso tomar el primer numero 1 para coeficiente de A al grado
propuesto es decir, A4; seguidamente, tomar el segundo numero de la fila que es 4 para
coeficiente de A al grado propuesto menos una unidad, es decir 4A3 y de forma sucesiva se
obtiene, 1A4 + 4A3 + 6A2 + 4A + 1. Todo el desarrollo anterior fue el aportado por Pascal
para el topico.
Sin embargo el credito de la potencia de un binomio se le adjudica a Newton, ya que el
fue quien generalizo la potencia para terminos de cualquier tipo, enteros fraccionarios e
inconmensurables. Pascal solo se limito a realizarlo en terminos de numeros naturales.
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