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Director de tesis: Luis L. BonillaDepartamento de Matemáticas,
Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid
Estudio numérico y asintótico del Estudio numérico y asintótico del efecto Gunn en varias dimensiones efecto Gunn en varias dimensiones
descrito por el modelo dedescrito por el modelo deKroemer de convección-difusiónKroemer de convección-difusión
Lectura de Tesis Doctoral
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Diodos Gunn
SHF Microwave Parts Co.
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Diodos Gunn - Aplicaciones
• medidores de frecuencias
• transmisores y receptores
• interruptores
• radares
• detectores de movimiento
• faros ...
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Interés Matemático
• Oscilaciones autosostenidas
• Duplicación del periodo
• Bloqueos de la frecuencia
• Estructuras caóticas
• Modelos de EDP’s no lineales
rutas al caos, lenguas de Arnold ...
con ecuaciones integrales acopladas, condiciones de contorno complicadas, dominios no triviales, soluciones que desarrollan ondas de choque ...
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Herramientas
• Análisis Asintótico
• Métodos Numéricos
• Estudio de Sistemas Dinámicos
• Problemas de Frontera Libre
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I. El efecto Gunn
II. El modelo
III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
VI. Conclusiones
Teoría y experimentos
1. Ecuaciones2. Geometrías
1. Simulaciones numéricas2. Estados estacionarios3. Análisis asintótico 1. Conclusiones
2. Problemas abiertos
Esquema
Nuevos patrones
1. Planteamiento2. Resolución 1D, 1½D
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I. El efecto GunnE(x,t)
X=0 X=L I(t)VX
Experimentos deJ. B. Gunn
(1963)
V
I
t
A
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El Mecanismo de transferencia entre valles
Diagrama de bandas del n-GaAs
Banda de conducción
Banda de valencia
mayor masa efectiva:
Mayor masa efectiva
Menor movilidad
Menor velocidad media
Mayor campo eléctrico
no lineal
(Ridley-Watkins 1961, Hilsum 1962)
I. El efecto Gunn
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Curva de velocidad de los electrones debida a un campo eléctrico
(Kroemer 1964)
I. El efecto Gunn
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Esquema del circuito eléctrico
Zona de acumulación
Reorganización de los electrones en una muestra den-GaAs sometida a una diferencia de potencial constante:
Zona vacía
V
Zona normal
Zona normal
I. El efecto Gunn
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La onda del campo eléctrico
Ecuación de Poisson:
luego:
I. El efecto Gunn
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Experimentos Patrón 1D
B. Willing, J. C. Maan (1994)
• muestra rectangular de GaAs SI• contactos planos situados en los bordes
(imágenes: tesis de Willing)
Geometría:
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Oscilaciones periódicas de la corriente
Velocidad de la onda: constante
Experimentos - Patrón 1D
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Experimentos
Patrón 1½D
cátodocátodo ánodoánodoB. Willing, J. C. Maan (1994)
(imágenes: tesis de Willing)
• muestra rectangular de GaAs SI• contactos circulares situados en el interior
Geometría:
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Experimentos – Patrón 1½DResultado:
evolucióntemporal:
1, 2, 3, 4.
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Patrón radial:- la onda es un anillo - desaparece en el interior
Oscilaciones periódicas de la corriente
La onda acelera
Experimentos – Patrón 1½D
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II. El modelo de Kroemer para el efecto Gunnen muestras multidimensionales de n-GaAs
(x,t): Potencial eléctrico
n(x,t): Concentración de electrones• Variables:
alternativamente: E(x,t): Campo eléctrico irrotacional:
• Parámetros:
L: separación entre contactos : voltaje aplicado
rc: radio típico de los contactos vs: velocidad de saturación
: coeficiente de difusión: resistividad de los contactos
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II. El modelo multidimensional
1. Ecuación de la continuidad de la carga:
2. Ecuación de Poisson:
En unidades adimensionales
• Ecuaciones:
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II. El modelo multidimensional
3. Ecuación de Ampère
En unidades adimensionales
• Alternativamente:
Ecuación de Ampère:
j = la corriente total sólo depende de t
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• Condiciones de contorno:
• En los contactos c (cátodos) y a (ánodos):
• En el borde de la muestra:
ley de Ohm:
Neumannhomogéneas:
voltaje constante:
donde N es la normal a .
II. El modelo multidimensional
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Difusión: <
• Estudios analíticos 1½D: =0
• Simulaciones numéricas 1½D y 2D: =0.013
Bonilla, Higuera, Phys. D 52 (1991) Higuera, Bonilla, Phys. D 57 (1992)
Para suavizar las ondas de choque.
Los efectos de la difusión están confinados en la capa límite del ánodo, caso idéntico al 1D.
II. El modelo multidimensional
<1, luego:
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Resultados de existencia, unicidad y regularidad:
- en n-GaAs:
- en p-Ge: Bonilla, Hernando, Herrero,Kindelan, VelázquezPhys. D 108 (1997)
J. Liang,SIAM J. Math. Anal. Vol. 25, No. 5 (1994)
• En 1D:
• En 1½D y 2D:Problema abierto
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Estudios previos:
Hasta los años 90: -- de dos tipos --
- Kroemer (1964-68)- McCumber, Chynoweth (66)
1. Simulaciones numéricas:
II. El modelo multidimensional
- Knight, Peterson (66-67)- Butcher (65-67)
2. Teoría, con J=cte y L=:
• Shaw, Grubin, Solomon (79)
El análisis asintótico es de los años 90:
- Bonilla e HigueraPhys. D 52 (1991), 57 (1992)
-- TODO EN 1D --
- Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan, Velázquez
Phys. D 108 (1997)
- Bonilla, Cantalapiedra, Gomila, Rubí
Phys. Rev. E 56 (1997)
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El modelo en 1D - Geometría
E
x L0
L
el modelo
II. El modelo en 1D
E(x,t)
X=0 X=LI
X A
el circuito
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Variables: E(x,t): campo eléctricoJ(t) : densidad de corriente
Condiciones de contorno
Condición inicial
Condición del bias
El modelo en 1D - Ecuaciones
Ecuación de Ampère
II. El modelo en 1D
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t
0 50
E
El modelo en 1D - Simulación
7
x
J(t)
0.
10.
x
0
50
5000
Magnitudes constantes:
- la altura de la onda y su velocidad
- la corriente durante el viaje de la onda
II. El modelo en 1D
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Estudiar el caso 2D:
Objetivo de la tesis
Descripción numérica
Estados estacionarios
Análisis asintótico
1er paso:
2do paso:Soluciones 2D
Soluciones radiales (1½D)
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III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
Resultados
- Descripción numérica ----------------- Cap. 7
- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
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Discos de Corbino
L
ra
rc
E
r rarc
L= ra- rc
rc: cátodo ra: ánodo
El caso 1½D - Geometría
Problema en 1D
III. El caso 1½D
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Enunciado del caso 1½DE(x,t): campo eléctricoJ(t): densidad de corriente
Condiciones de contorno
Condición inicial
Condición del bias
Ecuación de Ampère
Variables:
III. El caso 1½D
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Formulación matricial:dos sistemas tridiagonales con la misma matriz T:
T . y = s T . z = v
más dos operaciones.
Algoritmo
[A. Carpio, P. J. Hernando, M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)]
III. El caso 1½D
• Diferencias finitas
• Semi-implícito
• Orden 1 en el tiempo
• Orden 2 en el espacio
• Formulación matricial:
Simulaciones numéricas:
![Page 33: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/33.jpg)
Simulaciones numéricas
Característica corriente-voltaje
Umbral de las oscilaciones
= 2, = 0.013, rc=10, ra=90.
Régimen I:
Régimen II:
Régimen III:
Sols. estacionarias para bajo <
Sols. oscilatorias para <<
Sols. estacionarias para alto > si vs
= 0 si vs > 0
III. El caso 1½D
vs = 0
![Page 34: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/34.jpg)
Simulaciones numéricas
III. El caso 1½D
Umbral de las oscilaciones
Riqueza de comportamientos:
Oscilaciones periódicas
Oscilaciones complicadas
(entre otros)
Característica corriente-voltaje
vs = 0
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Intervalo de oscilaciones periódicas de gran amplitud
J
t
Jc2= 5.39de izda a dcha:
0.36
0.38
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
Valores de :
III. El caso 1½D
![Page 36: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/36.jpg)
señal que parecía periódica hasta t=900
señal periódica
señal aparentemente no periódica
(Jc= 5.77)
Intervalo de oscilaciones complicadas (para vs= 0.1)
III. El caso 1½D
=0.41
=0.411
=0.42
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t
10 50
E
1½D
r
• Durante el viaje:
• Durante el relevo:
- la onda decrece- la corriente crece
- el campo exterior crece- la corriente decrece
J(t)
0.
10.
r
10
50
5000
A. Si es suf. grande, la onda llega hasta ra:
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t
10 50
E
1½D
7
r
J(t)
0.
10.
r
10
50
5000
• Radio máximo:
• Máximo de la corriente:
rmax
Jc2
indep. de
rmax
B. Si es pequeño, la onda no llega hasta ra:
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1. Existe un intervalo (,) de soluciones oscilatorias
2. Existe un valor crítico de la corriente Jc2
3. La corriente varía de manera opuesta a la altura de la onda
4. Existe un radio máximo para el avance de la onda
5. Existen intervalos de patrones complicados de E(r,t) y J(t).
Conclusiones de las simulaciones numéricas
III. El caso 1½D
Resultados:
- Hemos resuelto las ecuaciones para valores fijos de , y rc en
muestras grandes, y para vs = 0 y vs = 0.1, moviendo en (0,1).
- Hemos descrito en detalle la evolución de la onda del campo eléctrico relacionándola con la curva de la corriente.
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III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
- Descripción numérica ----------------- Cap. 7
- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
Resultados
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El problema estacionario
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
Fijamos = 2, rc = 10:
Obtenemos:
- la corriente crítica Jc2
- el umbral de oscilaciones
- la solución exterior
III. El caso 1½D
= 0
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El plano de fase - Nuliclina
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
E
r
vs >0
Nuliclina:
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Aproximación exterior
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
E
r
rc
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Los estados estacionarios
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
Valor crítico:
JC2
(1) J < Jc2
(2) J Jc2
(3) J > Jc2
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
(1)
(2)
(3)
vs >0
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La característica J-
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.Umbral de las oscilaciones :
Numéric.J
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
Cond. del bias en J=Jc2:-
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El plano de fase general
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
A. Para muestras largas
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
![Page 47: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/47.jpg)
El plano de fase general
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
B. Para muestras cortas
III. El caso 1½D
Fijamos = 2, rc = 10:
Lmin
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El plano de fase general
1. Para cada valor de J resolvemos (1)-(2) y construimos el estado estacionario E(r) sobre el plano de fase (r,E).
3. Después variamos L y vs, y obtenemos el plano de fase general.
2. A la vez calculamos con (3) y construimos la
curva característica J-.
vs = 0.1
III. El caso 1½D
Num
Fijamos = 2, rc = 10:
Stat
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Conclusiones del estudio de los estados estacionarios
III. El caso 1½D
- Hemos descrito los estados estacionarios asintóticamente mediante su aproximación exterior y la evolución de una capa límite interior.
- La posición de la capa límite es muy sensible cuando J Jc2, valor crítico de la corriente que hemos caracterizado.
- Hemos aproximado los umbrales y .
(asintótica y numéricamente, respectivamente)
- Hemos construido la curva característica J-, y el plano de
estabilidad general, viendo que existe un tamaño mínimo Lmin
por debajo del cual no hay oscilaciones para ningún valor de .Todo ello, para vs = 0 y vs > 0.
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III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
- Descripción numérica ----------------- Cap. 7
- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
Resultados
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Objetivo del análisis:
Interpretar las simulaciones numéricas
- Expresiones explícitas para las variables del problema
- Estimaciones de las magnitudes principales
III. El caso 1½D
• El viaje de la onda:
• La nucleación y desaparición de la onda- similar al caso 1D [BH91,HB92]
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Condiciones generales del análisis:
L = ra - rc = 1/Є
• Muestra muy larga:
• Rango del bias:• Difusión nula:
III. El caso 1½D
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El pulso lejos de los contactos:
r
E
Rb , Rl , rw ,E- , E+ y J.
Consta de tres partes:
III. El caso 1½D
J/r J/r
1. El choque2. El frente3. El campo
exterior
delimitadas por:
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1. El choque:
Regla de las áreas iguales
con vs=0:
v(E)
E
V
E- E+
.
III. El caso 1½D
E+
Rbrw
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= 0,
2. El frente delantero:
n=0 es una solución exacta.
Integrando
.se obtiene
E+
Rbrw
Insertando esto y n=0 en la ecuación de Ampère:
≈
III. El caso 1½D
(la zona vacía de electrones)
.
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3. El campo exterior:
despreciando las derivadas respecto de r y t en la ecuación de Ampère:
luego ,
,
y .
E+
Rb
J/r
III. El caso 1½D
J/r
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4. Condición del Bias:
El bias se descompone en
dentro de la onda,con
y fuera de la onda.
,
Despejando E+:
Є
Є
III. El caso 1½D
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Sistema de dos ecuaciones para J(t) y rw (t):
donde .
III. El caso 1½D
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Plano de fase - Nuliclina
J
rw
Nuliclina:
III. El caso 1½D
Punto de giro T:
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Reducción del sistema - Argumento
Cuando E+ >> 1,
(1)
(2)
El tiempo característico de evolución de J es mucho más pequeño que el de rw, luego
J(t) alcanza un estado pseudo-estacionario en el que el miembro derecho de (2) es igual a cero;
las trayectorias van pegadas a la nuliclina.
III. El caso 1½D
drw/dt >> dJ/dt :
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Reducción del sistema - Solución
Queda una sola ecuación, sobre J(t),
que se resuelve con condición inicial J(0)=Jmin:
,
donde
III. El caso 1½D
![Page 62: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/62.jpg)
Reducción del sistema - Comparación
asintóticonumérico
III. El caso 1½D
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Estimación del radio máximo rw :III. El caso 1½D
Entonces:
J
rw
• Sobre la nuliclina, las coordenadas de T (rw, JT) son cotas superiores de J y rw.
• Además, J Jc2 luego
rw rw , conJc2
T
max
max
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9. El análisis asintótico se completa con:
• Expresiones explícitas para las demás variables
• Descripción de los rangos de Є, rc y
• Estimación de la duración del periodo• Estimación de la amplitud de las oscilaciones
• La fase de relevo• La coexistencia de dos ondas
• El caso rw,max > ra
• El caso Є rc • El caso vs > 0
III. El caso 1½D
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Conclusiones del caso 1½D
1. Simulación numérica de las ecuaciones
2. Caracterización de los estados estacionarios
3. Interpretación de los resultados numéricos mediante un análisis asintótico detallado
III. El caso 1½D
- curva característica J-- plano de fase de la estabilidad
- riqueza en comportamientos- descripción detallada viaje + relevo
- expresiones explícitas- estimaciones de magnitudes importantes
![Page 66: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/66.jpg)
III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
- Nuevos patrones -----------------Cap. 7
- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
Resultados
![Page 67: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/67.jpg)
Método numérico del caso 2DIV. El caso 2D
Diferencias finitas.
1. Iteración temporal:
2. Ecuación de Poisson:
a. Método iterativo: método de los espacios de Krylov (GMRES), con preacondicionamiento con LU incompleta.
b. Método directo: descomposición LU con un método multifrontal (UMFPACK)
Método semi-implícito de orden 1(evitando el fenómeno de reducción de orden de los R-K.)
![Page 68: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/68.jpg)
(a) sin iterar sobre k
Algoritmo del caso 2D
(b) iterando sobre k
IV. El caso 2D
(nk, k) (nk+1, k+1)
![Page 69: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/69.jpg)
El caso 2D: Simulaciones numéricas
Muestras rectangulares con
contactos puntuales,
1. El patrón unidimensional
2. El patrón radial
3. Nuevos patrones:3.1 Colisión entre dos ondas3.2 Reducción de patrones3.3 Ondas espirales
variando el número y la posición de los contactos.
![Page 70: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/70.jpg)
2D
Representación:
n(x,t): concentración de electrones
![Page 71: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/71.jpg)
2D
2D
+ _
+ _cátodos ánodos
Patrón 1D Patrón 1½D
_
+
_
_ _
![Page 72: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/72.jpg)
Geometría deldispositivo
+_
_+
¿Periódico?
SíPatrón en “8”
Corriente:
![Page 73: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/73.jpg)
Geometría deldispositivo
+_
_+
¿Periódico?
...
Los bordes físicos del semiconductor afectan ala formación y evolución
de las ondas.
Patrón en “8” bis
![Page 74: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/74.jpg)
_
Geometría deldispositivo
++
¿Periódico?
Sí
Los dos cátodos actúancomo un único cátodo colocado entre los dos
Reducción de patrones
![Page 75: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/75.jpg)
Geometría deldispositivo
+
+ _
_
¿Periódico?
Estacionrio
Cada par de contactos actúa como uno sólo
colocado entre los dos.
Reducción de patrones
![Page 76: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/76.jpg)
Geometría deldispositivo
+_
+
¿Periódico?
SíNuevos patrones
![Page 77: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/77.jpg)
Geometría deldispositivo
+_
+
++
+
_
¿Periódico?
SíDisposición pentagonal
![Page 78: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/78.jpg)
Geometría deldispositivo
+_
+
++
+
_
¿Periódico?
Sí
Ondas espirales?
Perturbación de la disposición pentagonal
![Page 79: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/79.jpg)
Conclusiones del caso 2D:
1. Riqueza de nuevos patrones propios
de la geometría bidimensional
2. Necesidad de tener un buen método
numérico para estudiar estos patrones
3. Para hacer una descripción asintótica,
es necesaria una nueva formulación:
Parte V: El problema de frontera libre
IV. El caso 2D
![Page 80: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/80.jpg)
III. El caso 1½D
IV. El caso 2D
V. El problema de frontera libre
Resultados
- Descripción numérica ----------------- Cap. 7
- Enunciado y solución 1D, 1½D ------- Cap. 8
- Descripción numérica ----------------- Cap. 4- Estados estacionarios ----------------- Cap. 5- Análisis asintótico --------------------- Cap. 6
![Page 81: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/81.jpg)
Análisis asintótico de las simulaciones del caso 2D en muestras muy grandes.
El Problema de Frontera Libre
Objetivo:
Método:
Validación:
Resolución de los casos 1D y 1½D.
Formulación de un problema de frontera libre para describir el avance de las ondas.
![Page 82: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/82.jpg)
Idea: en muestras muy grandes, se identifica la
línea blanca de la onda con una frontera libre .
El Problema de Frontera Libre
![Page 83: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/83.jpg)
1. Fuera de la onda, la ecuación de Ampère es
j =(1+2)v + Et v(E) E, luego E = 0;
1ª observación
La curva es una superficie dada por:
entonces:
en A y B
Ecuación de Laplace
![Page 84: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/84.jpg)
2. La onda tiene cierto voltaje (es un pulso), luego
el potencial eléctrico experimenta un salto []
a través de la frontera libre : W(x,y,t)=0.
2ª observación
en A y B
.
entonces:
La curva es una superficie dada por:
![Page 85: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/85.jpg)
3. La velocidad de es igual a la velocidad de la onda, dada por la regla de las áreas iguales.
3ª observación
en A y B .
La curva es una superficie dada por:
entonces:
para vs=0.
![Page 86: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/86.jpg)
4. La derivada total de W es cero, la velocidad
viene dada por V=(x(t),y(t))N, y N=W/|W|.
4ª observación
en A y B .
en
La curva es una superficie dada por:
entonces:
..
![Page 87: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/87.jpg)
5. V = (v(E) N)A = (v(E) N)B,
y fuera de la onda: v(E) E =
5ª observación
en A y B .
La curva es una superficie dada por:
entonces:
![Page 88: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/88.jpg)
El problema de frontera
libre AB
A BDos
problemas de Laplace
acoplados mediante
una ecuación de Hamilton-
Jacobi
en
![Page 89: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/89.jpg)
La ecuación de Hamilton-Jacobi
La ecuación que define es de la forma:
donde H es el Hamiltoniano dado por:
.
luego:
.
( p1,p2) (q1,q2)
V. El problema de frontera libre
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El sistema equivalente
Resolviendo sobre las curvas características:
se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones para cada
punto (x,y) de , equivalente a la ecuación de H-J:
y
V. El problema de frontera libre
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• El modelo de convección-difusión
• El problema de frontera libre:
Solución del caso 1D
E
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salto
Solución del caso 1D - detalle
t1 t2 t3
Solución del modelo de convección-difusiónSolución del problema de frontera libre
V. El problema de frontera libre
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• El modelo de convección-difusión
• El problema de frontera libre:
Solución del caso 1½D
E
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dos ondas,dos saltos
Solución 1½D – detalle
t1 t2
modelo convección-difusiónproblema de frontera libre
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Queremos reproducir:
El caso 2D
Pensamos utilizar:
Conjuntosde nivel
(level sets method)
El método demarcha rápida
(fast marching method)
y
Osher y Sethian, 1988 Sethian, 90’s
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1. Hemos planteado un problema de frontera libre para describir los nuevos patrones 2D
2. Hemos validado el enunciado en los casos 1D y 1½D, dejando el caso 2D como problema abierto de gran interés.
Conclusión
V. El problema de frontera libre
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1. Hemos descrito el efecto Gunn en muestras con simetría radial
2. Hemos presentado las primeras simulaciones de patrones bidimensionales
3. Hemos planteado un problema de frontera libre para describir los nuevos patrones
VI. Conclusión General
Principal problema abierto:
• El problema de frontera libre en 2D
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1. L. L. Bonilla, R. Escobedo”Two-dimensional oscillatory patterns in semiconductors with point contacts”
Phys. Rev. E 64 036203 (2001)
2. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera”Axisymmetric pulse recycling and motion in bulk semiconductors”
Phys. Rev. E 64 (aparecerá dic. 2001)
3. R. Escobedo, L. L. Bonilla”Wave dynamics in two-dimensional samples of n-GaAs with point contacts”Procs. IC Applied non-linear dynamics, Aristotle Univ. of Thessaloniki 2001.
J. of Chaos, Solitons and Fractals, Ed. Elsevier (2001)
4. L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera”Axisymmetric Gunn effect”
Procs. 25th ICPS – Osaka 2000 (Japan) pp 134-135.Eds. N. Miura, T. Ando – Springer (2001)
Publicaciones
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modelo de convección-difusión:
con conjuntos de nivel:
El caso 2D
con el fast marching method:
problema abierto
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Fin
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Fin
![Page 103: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/103.jpg)
Fin
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Fin
![Page 105: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/105.jpg)
Fin
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• J. B. Gunn (1963 - 1969) Experiments
• Ridley-Hilsum (1962) theoretical prediction
• H. Kroemer (1964, 66, 68) model, boundary conditions, numerics, N-L criterion, monopole and dipole waves
• Knight-Peterson (1966, 67)
• Butcher (1965-67)
• Bonch-Bruevich (1966, 1974 book)
• Shaw, Grubin and Solomon (1973-79) numerics, book
Fechas - I
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• Westervelt and collaborators (1983-1992) experiments: nonlinear dynamics, chaos
• Maan and collaborators (1995 - ...)experiments in semiinsulating n-GaAs
. . . .
• Bonilla and Higuera (1992) asymptotics
• Bonilla and Higuera (1995) Onset of instability
• Bonilla, Hernando, Herrero, Kindelan and Velázquez (1997) Complete theory for p-Ge, domains with flat tops
• P. J. Hernando (2001) Ph. D Thesis
Fechas - II
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Unidades: Valores típicos para la adimensionalización
Long.=єER/(en0):
L1 = 0.28 μm є: permitividad
e: carga del electrón
Potencial eléctrico =ERL1: = 0.011 V
Campo eléctrico en VR:
ER= 4 kV/cmVR: máximo de v(E)
Densidad deelectrones:
n0 = 1015 cm-3
Tiempo=L1/(μ0ER):
t = 1.02 ps μ0: movilidad a campo nulo
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HeuristicargumentPoisson and charge continuity eqs:
i.e.
with .
(ignoring diffusion)
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Instability at x=0
gives
increases
V(E)
E
Jc
E1
E(0)
E/ρ
E1
E(0)
E
x
E1
E(0)
E
x
t
![Page 111: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/111.jpg)
Numerical simulations - IINumerical simulations - II
r
E
J
(a) Large amplitude current self-oscillations(b) Electric field profile at instants marked in (a)
(a)
(b)
Jc
1 2
2
1 0.465
J
4.2
5.7
0.505
Poincaré diagramRegion of aperiodic oscillations
Maximum radiusattainable by the wave
Typical periodic self-oscillations
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Simulaciones numéricas
Corriente Campo eléctrico
=0.18
=0.22
Oscilaciones de pequeña
amplitud
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[1] J. B. Gunn, Solid State Comm. 1, 1 (1963)[2] H. Kroemer, IEEE Trans. Elec. Dev. ED-13 (1966)[3] F.–J. Niedernostheide, editor, Nonlinear Dynamics and Pattern Formation in Semiconductors and Devices, Vol. 79 of Springer Proceedings in Physics, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg (1995)
[4] F. J. Higuera, L. L. Bonilla, Phys. D 57 (1992)[5] A. Carpio, P. J. Hernando and M. Kindelan, SIAM J. Numer. Anal. 39, 168 (2001)[6] B. Willing, J. C. Maan, Phys. Rev. B 49 (1994)[7] B. Willing, Ph. D Thesis, Univ. Of Nijmegen (1994)[8] L. L. Bonilla, R. Escobedo, Phys. Rev. E (ap. 2001)[9] L. L. Bonilla, R. Escobedo, F. J. Higuera, Procs. 25th ICPS, Osaka. Ed. Springer, 2001.
References
We have described the repeated generation and motion of axisymmetricwaves in a two-dimensional n-GaAs sample with a Corbino geometry:
• The waves decrease as they advance. Simultaneously, the current increasesuntil a critical value is reached and a new pulse is triggered at the cathode.
• The current signal presents different patterns depending on the applied voltage:- Just above the onset for self-oscillations, their amplitude
is small and the pulse dies off shortly after it is generated;- For larger voltages, the amplitude is larger and pulses may or may not
reach the outer sample boundary, depending on the size thereof and bias;
- Regions of aperiodic oscillations due to multi-pulse dynamics are interspersed with regular periodic oscillations.
• For sufficiently large samples, the pulse radius cannot surpass a maximum value.
ConclusionsConclusions
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La EDP de la ecuación de la Continuidad se plantea como un sistema de ODE’s de evolución temporal,
formado por tantas ecuaciones como nodos haya en la discretización del dominio, en las que los coeficientes
dependen del potencial eléctrico y se renuevan cada cierto número de iteraciones con la ecuación de Poisson.
El problema resultante es un problema rígido (stiff).
• Iteración temporal: Iteración temporal: método de Euler explícito con iteraciones para el cálculo de los coeficientes;
(evita el fenómeno de reducción de orden de los Runge-kutta)
• Discretización espacialDiscretización espacial: diferencias finitas de 2º orden, incluidas las condiciones de contorno.
2D El método numérico
![Page 115: ... Director de tesis: Luis L. Bonilla Departamento de Matemáticas, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid Estudio numérico y.](https://reader035.fdocuments.co/reader035/viewer/2022062519/5665b4351a28abb57c8ffaeb/html5/thumbnails/115.jpg)
2D discretización
i=1,...,Nx
j=1,...,Ny
Ecuación de la Continuidad:
Condicionesde contorno
Ecuación de Poisson:
Condicionesde contorno