· ESCUELA MATEMATICA DE AM ERICA LATINA Y EL CARIBE EMALCA-COLOMBIA 2014 La Escuela Matem atica...

ESCUELA MATEMATICA DE AMERICA LATINA Y EL CARIBEEMALCA-COLOMBIA 2014

METODOS ALGEBRAICOS ENSISTEMAS DINAMICOS

Primitivo B. Acosta-Humanez

BARRANQUILLA, COLOMBIA, 06 Al 17 de OCTUBRE DE 2014


METODOS ALGEBRAICOS ENSISTEMAS DINAMICOS

Primitivo B. Acosta-HumanezUniversidad del Atlantico

email: [email protected]

BARRANQUILLA, COLOMBIA, 06 AL 17 de OCTUBRE DE 2014


La Escuela Matematica de Ameerica Latina y el Caribe. EMALCA-Colombia 2014 forma parte de un programa de Escuelas creado porla Union Matematica de America Latina y el Caribe (UMALCA) quecuenta con la colaboracion del Centre International de MathematiquesPures et Appliquees (CIMPA), y se realiza bajo el auspicio de la Univer-sidad del Atlantico, la Corporacion Escuela de Matematica del CaribeColombiano, la Universidad Simon Bolıvar (Barranquilla), la SociedadColombiana de Matematicas y la Asociacion Matematica Venezolana,Instituto Nacional de Ciencia e Tecnologia de Matematica-INCTMat(Brasil).

La ESCUELA MATEMATICA DE AMERICA LATINA Y EL CARIBE.EMALCA-COLOMBIA 2014 recibio financiamiento del Centre Interna-tional de Mathematiques Pures et Appliquees (CIMPA), la CorporacionEscuela de Matematica del Caribe Colombiano, el Fondo Nacional deCiencia, y el Rectorado de la Universidad del Atlantico.

2010 Mathematics Subject Classification: Primary (Secondary). 12H05,34M15

c©Ediciones Universidad del Atlantico

Metodos Algebraicos en Sistemas Dinamicos

Primitivo B. Acosta-Humanez

Diseno y edicion: Ediciones Universidad del Atlantico

Preprensa e impresion: Ediciones Universidad del Atlantico

Deposito legal

ISBN 978-958-8742-59-5

Barranquilla, Colombia

2014

... porque yo honrare a quienes me honran ...

1 Samuel 2, 30.

A mis amores terrenales:

Greisy Paola Morillo,Angie Marcela Acosta Maldonado,Sergio Gabriel Acosta Maldonado,Victoria Acosta-Humanez Morillo.

A la memoria de mis maestros:

Jairo Antonio Charris C. (1939 – 2003),Jesus Hernando Perez A. (1944 - 2014).

AGRADECIMIENTOS

• A Dios porque todo lo que soy se lo debo el;

• a mi esposa Greisy y a mis hijos Angie, Sergio y Victoria por elamor que me dan cada dıa;

• y a la memoria de Jesus Hernando Perez (Pelusa), maestro y amigoquien me motivo hacia el estudio de la Teorıa de Galois Diferencial.

v

CONTENIDO

INTRODUCCION ix

1 TEORIA DE GALOIS CLASICA 11.1 Sistemas, dominios y cuerpos numericos . . . . . . . . . . 21.2 Generalidades de los grupos y subgrupos . . . . . . . . . . 101.3 Teorıa de Galois sobre cuerpos numericos . . . . . . . . . 181.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 TEORIA DE PICARD-VESSIOT 292.1 Teorıa de Galois diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Transformaciones en ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 382.3 El algoritmo de Kovacic y la ecuacion de Riemann . . . . 602.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 SISTEMAS DINAMICOS 773.1 Campos vectoriales polinomiales . . . . . . . . . . . . . . 783.2 Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3 Ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4 EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS 153

BIBLIOGRAFIA 157

vii

viii CONTENIDO

ix

INTRODUCCION

El estudio algebraico de los sistemas dinamicos ha sido un tema de in-teres desde hace varias decadas, sin embargo el uso de tecnicas numericasha desplazado el interes por resolver de forma global ecuaciones diferen-ciales y ecuaciones en diferencias. En la actualidad, el obtener solucionesexplıcitas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias se haconvertido en un tema de interes para distintas areas y disciplinas.

Lo anterior es la motivacion que me ha llevado a dar un curso en laEMALCA 2014 de Barranquilla, tambien a escribir este material, es-perando que se cumplan los siguientes propositos:

• Presentar a estudiantes no graduados temas complementarios a uncurso comun de ecuaciones diferenciales de nivel basico.

• Establecer un paralelo entre el algebra de polinomios y el algebrapresente en ecuaciones diferenciales.

• Motivar a los estudiantes hacia el inicio en la investigacion en laTeorıa de Galois Diferencial y en sus aplicaciones a la integrabili-dad de sistemas dinamicos.

En este material, motivado por el curso presentado en la EMALCA2014 en Barranquilla, haremos una introduccion a la Teorıa de Galois

x

Diferencial y algunas aplicaciones en sistemas dinamicos a nivel de es-tudiantes de cuarto ano del pregrado en Matematicas (licenciatura enalgunos paises).

Partiendo del caso clasico, el cual se debe a E. Galois, se estudia la res-olubidad de la ecuacion polinomica mediante operaciones aritmeticas yradicales, estableciendo que un polinomio es resoluble (se pueden obtenerlas raices mediante esas operaciones) si el grupo de Galois de ese poli-nomio es un grupo resoluble. Analogo al caso clasico para polinomiosE. Picard y E. Vessiot consideraron ecuaciones diferenciales lineales, demanera que la teorıa de Galois para ecuaciones diferenciales lineales esconocida tambien como teorıa de Picard-Vessiot. Se parte del hecho quedada una ecuacion diferencial de la forma

Y ′ = AY, Y ∈ Kn, aij ∈ K = K(x),

existe una matriz fundamental de soluciones U , por lo tanto al igualque en el caso clasico (como se observa por ejemplo en los polinomiosde segundo y tercer grado) tendremos una ecuacion que relaciona loscoeficientes con las soluciones de la ecuacion, es decir

U ′ = AU, detU 6= 0.

En este libro, el cual es el primer libro en castellano sobre este tema,se presentan algoritmos efectivos para resolver ecuaciones de segundoorden: Algebrizacion Hamiltoniana, Algoritmo de Kovacic, transforma-ciones entre sistemas, ecuaciones lineales y ecuaciones de Riccati. Fi-nalmente se aplicaran estos elementos galoisianos para estudiar proble-mas en sistemas dinamicos (campos polinomiales en el plano) y fısicamatematica (integrabilidad en mecanica clasica via sistemas hamiltoni-anos y en mecanica cuantica via ecuacion de Schrodinger). El lectorencontrara en este libro muchos ejemplos y ejercicios que el debe pre-sentar para lograr una mayor comprension del tema. Como se trata deun libro introductorio, en donde no se requiere conocimientos previosde teorıa de Galois, solamente se requiere un curso basico de Algebraabstracta (que incluya anillos y cuerpos con caracterıstica cero) y unprimer curso de ecuaciones diferenciales ordinarias, aun cuando en casosespeciales consideraremos ecuaciones diferenciales parciales elementales.

xi

Para comenzar se establecen las siguientes notaciones, las cuales seranutiles a lo largo del libro.

• El conjunto Z+, Z−, Z∗+ y Z∗− son definidos como

Z+ = {n ∈ Z : n ≥ 0}, Z− = {n ∈ Z : n ≤ 0},

Z∗+ = Z+, Z∗− = Z−.

• El cardinal del conjunto A se denotara por Card(A).

• El determinante de la matriz A se denotara por detA.

• El conjunto de matrices n × n con entradas en C y determinanteno nulo: el grupo general lineal sobre C, el cual sera denotado porGL(n,C).

• En algunos casos la derivacion d/dξ sera denotada por ∂ξ. Porejemplo, las derivaciones ′ = d/dx y ˙= d/dt pueden ser denotadaspor ∂x y ∂t respectivamente.

Me disculpo con los lectores que esperan que este material tenga la cal-idad de un libro de investigacion, puesto que aun cuando aquı estenconsignados resultados que he obtenido durante mi carrera cientıfica,solo es la ampliacion de las lecturas que hice en la EMALCA 2014 (talcomo he mencionado antes). Es mi aspiracion que estas notas sean elgermen de un buen libro de investigacion en un futuro no muy lejano,pero mientras esto sucede, este sera mi texto guia para los seminarios,cursos y conferencias que imparta en diferentes instituciones y eventosalrededor de los temas tratados aquı. Espero que mis colegas, estu-diantes y personas interesadas en los metodos algebraicos en sistemasdinamicos puedan encontrar en estas notas un material de partida queles sea util en futuras investigaciones.

Para finalizar, hemos agregado a la bibliografıa las referencias [19, 20,21, 22, 23, 24, 25, 26], las cuales fueron la base de las referencias queevidencian mis resultados de investigacion en colaboracion con otroscolegas (mas bien amigos) y son de lectura obligatoria para quienesquieren profundizar en los temas presentados en este material.

CAPITULO 1

TEORIA DE GALOIS CLASICA

En este capıtulo haremos una breve introduccion a la teorıa de Ga-lois para polinomios. Para iniciar podemos recordar que Karl FriedrichGauss (1777 - 1855) demostro en 1829 que toda ecuacion polinomicairreducible de grado n con coeficientes racionales tiene n raices. Ahorabien, Evariste Galois (1811 - 1832) demostro que estas raıces puedencalcularse a partir de los coeficientes de la ecuacion polinomica y a par-tir de numeros racionales, utilizando las cuatro operaciones con estos ylas raıces de cualquier ındice a condicion de que la ecuacion polinomicaadmita un grupo llamado grupo resoluble. Cuando Galois discutıa sobrelas raıces de una ecuacion, el estaba pensando en los numeros comple-jos. Mas tarde algunos algebristas consideraron a C como cuerpo y porende estudiaron subcuerpos de C. Naturalmente se vieron conducidos aconsiderar a C como cuerpo algebraicamente cerrado, vease [15].

En la primera parte de este capıtulo se presentara un resumen de sis-temas numericos, dominios numericos y cuerpos numericos, lo cual norequiere conocimiento previo de algebra abstracta. La segunda partecorresponde a un repaso de teorıa de grupos y la tercera parte es la pre-sentacion de la teorıa de Galois sobre cuerpos numericos. Este capıtuloesta basado en [18].

1

2 P. B. Acosta-Humanez

1.1 Sistemas, dominios y cuerpos numericos

La teorıa de los polinomios sobre los dominios y cuerpos numericos es elcorazon del algebra clasica. Pensamos que considerar estos casos espe-ciales, particularmente ricos, puede ser una excelente motivacion para elestudio de sus contrapartes abstractas. Las analogıas entre ambos casospueden ser, ademas, de gran ayuda para la comprension de estas ultimas.

Iniciamos considerando algunas estructuras que se generan naturalmentedentro de los numeros complejos: sistemas, dominios y cuerpos numericos.

Si S ⊆ C es tal que

i. 0, 1 ∈ S,

ii. Dados a, b ∈ S, tambien a+ b y ab ∈ S,

se dice que (S,+, ·) es un sistema numerico. Por ejemplo, (N,+, ·) esun sistema numerico. Por otra parte, si (S,+, ·) es un sistema numericoentonces 0, 1 ∈ S, y si n ∈ N es tal que n ∈ S, (ii) implica que tambienn+ 1 ∈ S. Luego S es inductivo, ası que N ⊆ S; es decir, todo sistemanumerico contiene los numeros naturales. Otros sistemas numericos son(R+,+, ·) y (Q+,+, ·) , donde Q+ = Q ∩ R+.

Si (S,+, ·) es un sistema numerico tal que

iii. −S = {−a : a ∈ S} ⊆ S,

ası que−S = S, se dice que (S,+, ·) es un sistema aditivamente simetrico,o un dominio numerico, o, simplemente, que es un dominio. Un dominioes entonces un sistema numerico que contiene los inversos aditivos desus elementos. Es claro, por ejemplo que (Z,+, ·) es un dominio, y quesi (S,+, ·) es un dominio entonces Z ⊆ S (pues, como N ⊆ S, tambien(−N) ⊆ S) ası que todo dominio contiene los enteros. Un dominio in-teresante es, como veremos mas adelante, Z [i] = {a+ bi : a, b ∈ Z, i2 =−1}, denominado el dominio de los enteros de Gauss, el cual no estaexento de importancia.

CAPITULO 1 3

Si (K,+, ·) es un dominio y K∗ = K r {0} es tal que

(K∗)−1 = {a−1 : a ∈ K∗} ⊆ K∗,

o sea, que (K∗)−1 = K∗, se dice que (K,+, ·) es un dominio multiplica-tivamente simetrico , que es un cuerpo numerico o, simplemente, que esun cuerpo. Por ejemplo (Q,+, ·) , (R,+, ·) , (C,+, ·) son cuerpos, y si(K,+, ·) es un cuerpo, entonces Q ⊆ K. En efecto, Z∗ = Zr {0} ⊆ K∗,ası que si a, b ∈ Z, b 6= 0, entonces b−1 ∈ K, y, en virtud de (ii) , tambiena/b = ab−1 ∈ K. Un cuerpo es entonces un dominio que contiene, juntocon sus elementos no nulos, los inversos multiplicativos de estos. Comoes claro, el dominio (Z,+, ·) , no es un cuerpo.

Si K,L son cuerpos numericos y K ⊆ L, se dice que K es un subcuerpode L o que L es una extension de K. En vista de lo anterior, todo cuerpoes un subcuerpo de C y una extension de Q. Es claro, por ejemplo, que

Q[√

2]

:= {a+ b√

2 : a, b ∈ Q} (1.1)

es un cuerpo numerico, el cual es un subcuerpo de R, mientras que

Q [i] := {a+ bi : a, b ∈ Q, i2 = −1} (1.2)

es tambien un cuerpo que extiende propiamente a Q pero no es unsubcuerpo de R (basta observar que i ∈ Q [i]). Por el contrario, elconjunto

Q := {a+ b3√

2 : a, b ∈ Q} (1.3)

no es un cuerpo, pues el producto no es cerrado, mientras que

Q[

3√

2]

:= {a+ b3√

2 + c3√

4 : a, b, c ∈ Q} (1.4)

sı lo es. Notese que

C = R [i] := {a+ bi : a, b ∈ R, i2 = −1} (1.5)

Teorema 1.1. Si (S,+, ·) es un dominio, existe un cuerpo(S,+, ·

)tal que

1. S ⊆ S,


2. Si K es un cuerpo y S ⊆ K, entonces S ⊆ K.

Demostracion. Como se verifica inmediatamente, si S∗ = S r {0},entonces

S := {a/b : a ∈ S, b ∈ S∗} (1.6)

es un cuerpo que satisface (1) y (2) . �

Definicion 1.1. Si (S,+, ·) es un dominio, se dice que(S,+, ·

)es el

cuerpo de cocientes de (S,+, ·) .

Nota 1.1. Si (S,+, ·) es un sistema numerico, siempre existe un

dominio numerico(S,+, ·

)tal que

1. S ⊆ S,

2. Si (S′,+, ·) es un dominio numerico y S ⊆ S′, entonces S ⊆ S′.

Basta, en efecto, tomar S = S∪ (−S) . Se dice que S es el dominio desaldos o el dominio de activos y pasivos de S (este lenguaje proviene dela contabilidad, oficio en el cual se origino el concepto). Notese que N= Zy que Z= Q. Si S es ya un dominio, es claro que S = S. Y si S es uncuerpo, entonces S = S.

Sean (S,+, ·) un dominio numerico y x /∈ C un objeto fijo. El conjuntode las sumas “formales”

f (x) =∞∑k=0

akxk (1.7)

tales que ak ∈ S y para algun m ≥ 0, ak = 0 para todo k ≥ m, asıque la suma en (1.7) es realmente finita), se denomina el sistema de lospolinomios sobre S en la indeterminada x y se denota con S [x] . Seentiende que

∞∑k=0

akxk =

∞∑k=0

bkxk

si y solo si ak = bk para todo k ≥ 0.

CAPITULO 1 5

A pesar de la notacion funcional utilizada, f (x) ∈ S [x] no es, en princi-pio, una funcion (notese que x es un objeto fijo, no una variable). Sinembargo, f (x) define de manera natural una funcion f : S −→ S, por

f (s) =∞∑k=0

aksk. (1.8)

Notese que la suma de la derecha en (1.8) es finita y define efectiva-mente un elemento de S. Aunque en el caso de los sistemas numericosno es muy importante distinguir entre el polinomio f (x) y la funcion f,es mejor hacerlo, ası sea por las razones siguientes: en primer lugar, si(K,+, ·) es otro dominio tal que S ⊆ K, tambien S [x] ⊆ K [x] , ası quef (x) ∈ K [x] , y por lo tanto, f (x) define tambien, de manera natural,una aplicacion de K en sı mismo, por medio de (1.8), la cual se denotarıaaun con f. Ası la funcion f definida por f (x) no esta unıvocamente de-terminada. Por otra parte, no se puede excluir, a priori, que existaotro polinomio g (x) ∈ S [x] , g (x) 6= f (x) , tal que g (s) = f (s) paratodo s ∈ S (esto no se da en el caso de los polinomios sobre los sistemasnumericos, pero puede darse en el de los polinomios sobre dominios fini-tos, a los cuales extenderemos, en el futuro, la nocion de polinomio).

Si f (x) es como en (1.7) y ak = 0 para k > m, es usual escribir

f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ amx

m. (1.9)

Notese que esto sugiere que x0 = 1 y x1 = x, lo cual aceptaremos en loque sigue, y no excluye que ak = 0 para k ≤ m. Definimos

0 (x) =∞∑k=0

akxk, ak = 0 para todo k, (1.10)

y

1 (x) :=∞∑k=0

bkxk, b0 = 1, bk = 0 para todo k > 0, (1.11)

ası que, segun (1.9),

0 (x) = 0, 1 (x) = 1 (1.12)


lo cual identifica los polinomios 0 (x) y 1 (x) , respectivamente, con losnumeros 0 y 1. De hecho, S puede considerarse como un subconjuntode S [x] , identificando a ∈ S con el polinomio a+0x+0x2 + · · · (a0 = a,ak = 0 para todo k > 0). Para f (x) como en (1.9), definimos

−f(x) = (−f) (x) :=∞∑k=0

(−ak)xk. (1.13)

Es claro que (−f) (x) ∈ S [x] .

Si f (x) =∞∑k=0

akxk y g (x) =

∞∑k=0

bkxk estan en S [x] , definimos

tambien

f (x) + g (x) :=∞∑k=0

(ak + bk)xk. (1.14)

Observese quef (x) + g (x) ∈ S [x] , (1.15)

pues si ak = 0 para k > m y bk = 0 para k > n, entonces

ak + bk = 0, k > max {m,n} . (1.16)

Notese tambien que

f (x) + 0 (x) = f (x) + 0 = f (x) = 0 + f (x) = 0 (x) + f (x) . (1.17)

Por otra parte,

f (x) + (−f) (x) = (−f) (x) + f (x) = 0 (x) . (1.18)

Tambien es obvio que

(f (x) + g (x)) + h (x) = f (x) + (g (x) + h (x)) (1.19)

y quef (x) + g (x) = g (x) + f (x) . (1.20)

Definamos ahora

f (x) · g (x) = f (x) g (x) :=∞∑k=0

ckxk, (1.21)

CAPITULO 1 7

donde

ck =k∑i=0

aibk−i =k∑i=0

ak−ibi =∑i+j=k

aibj . (1.22)

Notese que si i+ j = k > m+ n entonces i > m o j > n, ası que

ck = 0, k > m+ n; cm+n = ambn. (1.23)

La segunda relacion en (1.23) resulta de observar que si i + j = m + ne i < m entonces j > n, y si j < n entonces i > m. Ademas, i = m si ysolo si j = n. Entonces

f (x) · g (x) ∈ S [x] , (1.24)

y, como es obvio,

f (x) · 1 (x) = f (x) · 1 = f (x) = 1 · f (x) = 1 (x) · f (x) . (1.25)

Veamos que

(f (x) g (x))h (x) = f (x) (g (x)h (x)) . (1.26)

Escribamos f (x) =∞∑k=0

akxk, g (x) =

∞∑k=0

bkxk, h (x) =

∞∑k=0

ckxk, y

supongamos que f (x) (g (x)h (x)) =∞∑k=0

dkxk y (f (x) g (x))h (x) =

∞∑k=0

lkxk. Entonces

dm =m∑i=0

am−i

i∑j=0

bi−jcj

=m∑

(i,j)∈T

am−ibi−jcj

=

m∑j=0

m∑i=j

am−ibi−jcj =

m∑j=0

(m−j∑k=0

am−j−kbk

)cj,

donde T = {(i, j) : 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ i} = {(i, j) : 0 ≤ j ≤ m,j ≤ i ≤ m}y k = i − j, j fijo. Entonces, dm = lm, m ≥ 0. Esto demuestra laafirmacion.


Graficamente, la region de sumacion es el triangulo de vertices 0, m,(m,m) . (Para cada 0 ≤ i ≤ m, la suma es sobre el segmento vertical.Para cada 0 ≤ j ≤ m, fijo, sobre el segmento horizontal).

Es tambien claro que

f (x) · 0 (x) = f (x) · 0 = 0 = 0 · f (x) = 0 (x) · f (x) . (1.27)

y que

f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x)h (x) ,(g (x) + h (x)) f (x) = g (x) f (x) + h (x) f (x) .

(1.28)

De (1.22) se deduce finalmente que

f (x) g (x) = g (x) f (x) . (1.29)

Sean (S,+, ·) un dominio numerico, y f (x) =∞∑k=0

akxk ∈ S [x] . En-

tonces, existe m ≥ 0 tal que ak = 0 para todo k > m. Si am 6= 0, estoes si f(x) 6= 0(x) se dice que f (x) tiene grado m, o que es un polinomiode grado m. Se dice tambien que m es el grado de f (x) y escribimos

grad(f (x)) := m,

o tambiengrad(f (x)) := max{k : ak 6= 0} ≥ 0. (1.30)

Convendremos en que

grad(0 (x)) := −∞. (1.31)

Esta convencion es util teniendo en cuenta que, como se acepta usual-mente, −∞ < a y −∞+ a = a+ (−∞) = −∞, para todo a ∈ R

Teorema 1.2. Si (S,+, ·) es un dominio y f (x) , g (x) ∈ S [x] , en-tonces

grad(f (x) + g (x)) ≤ max (grad(f (x)), grad(g (x))) (1.32)

ygrad(f (x) g (x)) = grad(f (x)) + grad(g (x)). (1.33)

CAPITULO 1 9

De (1.33) se deduce tambien que

grad(f (x)) ≤ grad(f (x) g (x)) (1.34)

cualquiera que sea g (x) ∈ S [x] , g (x) 6= 0. Es claro ademas quegrad(f (x)) = 0 si y solo si f (x) = a ∈ S, a 6= 0.

Definicion 1.2. Sean f (x) , g (x) ∈ S [x] . Se dice que f (x) divide ag (x) en S [x] , que f (x) es un divisor de g (x) en S [x] , o que f (x) esun factor de g (x) en S [x] , si f (x) 6= 0, y existe h (x) ∈ S [x] tal queg (x) = f (x)h (x) . Se escribe f (x) | g (x) en S [x] . Si f (x) = 0, o sif (x) no es un divisor de g (x) , escribiremos f (x) - g (x) .

Notese que el escribir f (x) | g (x) asegura entonces que f (x) 6= 0.

Sean (S,+, ·) un dominio y f (x) , g (x) , h (x) ∈ S [x] . Si f (x) 6= 0entonces f (x) | 0, y si f (x) | g (x) y g (x) 6= 0 se tiene que grad(f (x)) ≤grad(g (x)). Tambien

f (x) | f (x) , f (x) 6= 0 (1.35)

ySi f (x) | g (x) y g (x) | h (x) , entonces f (x) | h (x) . (1.36)

Ademas,

Si f (x) | g (x) y g (x) | f (x) , entonces f (x) = ag (x) , (1.37)

donde a ∈ S es tal que a−1 ∈ S.

Si (S,+, ·) un dominio y a ∈ S es tal que a−1 ∈ S, se dice que a es mul-tiplicativamente invertible en S o que a es una unidad de S. El elementounidad 1 de S es una unidad de S. Sin embargo, no toda unidad de S esun elemento unidad de S. Por ejemplo, si S = Z, 1,−1 son (las unicas)unidades de S, y −1 no es un elemento unidad de S. Si (S,+, ·) es uncuerpo, todo elemento no nulo de S es de hecho una unidad. Si S = Z [i]es el dominio de los enteros de Gauss, las unicas unidades de S son ±1y ±i. Esto se deduce de observar que si a + bi ∈ Z [i] y a + bi 6= 0, elinverso de a+bi en C es (a− bi) /

(a2 + b2

), y como a/a2 +b2 y b/a2 +b2

deben ser enteros, si queremos que (a+ bi)−1 ∈ Z [i] , esto solo es posible


cuando a = ±1 y b = 0 o a = 0 y b = ±1.

Definicion 1.3. Se dice que un cuerpo numerico K es algebraicamentecerrado, o, simplemente, que es cerrado, si todo polinomio f (x) ∈ K [x]con grad(f (x)) ≥ 1, tiene al menos una raız a ∈ K.

Ni Q ni R son cerrados, pues x2 + 1 ∈ Q [x] ⊆ R [x] , pero ninguna desus raıces, i,−i, esta en Q o R.

Teorema 1.3. Un cuerpo numerico K es algebraicamente cerrado si ysolo si todo polinomio f (x) ∈ K [x] , con grad(f (x)) = n ≥ 1, se escribeen la forma

f (x) = a (x− a1) · · · (x− an) , (1.38)

donde a 6= 0 y los ak, k = 1, ..., n, estan en K.

Corolario 1.1. Si K es algebraicamente cerrado y f (x) ∈ K [x] tienegrado n ≥ 1, existen a′1, ..., a

′m ∈ K, 1 ≤ m ≤ n, a′k 6= a′j si k 6= j, y

αk ∈ Z, 1 ≤ αk ≤ n, k = 1, ...,m, tales que

f (x) = a(x− a′1

)α1 · · ·(x− a′m

)αm , (1.39)

donde a ∈ K y a 6= 0. Ademas,

α1 + · · ·+ αm = n. (1.40)

1.2 Generalidades de los grupos y subgrupos

Dado un conjunto G, una aplicacion

(·) : G×G −→ G(a, b) 7−→ a · b

se denomina una ley de composicion interna sobre G. Interna se refiereal hecho de que dados a, b ∈ G , a·b es tambien un elemento de G. Otrasnotaciones usadas frecuentemente para (·) son: (◦) , (∗) , (+). Se escribeentonces, respectivamente, a◦b, a∗b, a+b, en lugar de a·b. La notacion (·)se conoce como la notacion multiplicativa. A su vez, (+) es la notacionaditiva. La notacion multiplicativa (·) es la preferida para el desarrollo

CAPITULO 1 11

de la teorıa general, aunque (◦) y (∗) son tambien comunes. La notacionaditiva (+) se reserva generalmente para casos especiales. Cuando seusa la notacion multiplicativa, es corriente escribir simplemente ab enlugar de a · b.

Definicion 1.4. Un grupo (G, ·) es un sistema formado por un conjuntoG y una ley de composicion interna (·) sobre G tal que

(i) (ab) c = a (bc) , cualesquiera que sean a, b, c en G.

(ii) Existe e ∈ G tal que ae = ea = a para todo a ∈ G.

(iii) Para todo a ∈ G existe a′ ∈ G tal que aa′ = a′a = e.

Si (G, ·) es un grupo entonces G 6= ∅, pues e ∈ G. La propiedad(i) de la definicion anterior se conoce como la propiedad asociativa o laasociatividad de (·) . La (ii) , como la propiedad modulativa de (·) , yla (iii) , como la propiedad invertiva de (·) con respecto a e. Como esclaro, un grupo (G, ·) tiene la siguiente propiedad:

(iv) Cualesquiera que sean a, b ∈ G, tambien ab ∈ G.

La propiedad (iv) se conoce como la propiedad clausurativa de (·) .Si un grupo (G, ·) satisface la propiedad

(v) Cualesquiera que sean a, b ∈ G, ab = ba,

se dice que (G, ·) es un grupo conmutativo o un grupo abeliano. Lapropiedad (v) se conoce como la propiedad conmutativa o la conmuta-tividad de (·) .

Teorema 1.4. En un grupo (G, ·) existe un unico e ∈ G que satisfacela propiedad (ii) de la definicion 1.4.

Definicion 1.5. Se dice que e es el elemento neutro de (G, ·) .

Teorema 1.5. Si (G, ·) es un grupo y a, b ∈ G son tales que ac = bcpara algun c ∈ G, entonces a = b.

Analogamente se tiene que:


Si a, b ∈ G y existe c ∈ G tal que ca = cb, entonces a = b.

Corolario 1.2. Si (G, ·) es un grupo y e′ ∈ G es tal que e′a = a paraalgun a ∈ G, entonces e′ = e, el elemento neutro de G.

De manera analoga, si ae′ = a para algun a ∈ G, necesariamentee′ = e.

Corolario 1.3. Si (G, ·) es un grupo y a ∈ G, existe un y solo una′ ∈ G tal que aa′ = e.

Analogamente, existe un unico a′ ∈ G, tal que a′a = e. En total,existe un y solo un a′ en G tal que aa′ = a′a = e.

Definicion 1.6. Si (G, ·) es un grupo y a ∈ G, el unico a′ ∈ G tal quea′a = aa′ = e se denomina el inverso de a y se denota con a−1.

Corolario 1.4. Si a ∈ G, para que a′ = a−1 es necesario y suficienteque aa′ = e o que a′a = e.

Teorema 1.6. Si (G, ·) es un grupo y a, b ∈ G, la ecuacion ax = btiene la unica solucion x = a−1b.

De igual manera, x = ba−1 es la unica solucion de xa = b.

Corolario 1.5. Sean (G, ·) un grupo, e su elemento neutro, a, b ∈ G.Entonces:

1. e−1 = e

2.(a−1)−1

= a

3. (ab)−1 = b−1a−1.

Es tambien corriente, en este caso, considerar como ley de composicionen F0 (X) la ley

f · g := g ◦ f (1.41)

CAPITULO 1 13

en lugar de la g ◦ f. Como es natural, escribiremos fg = f · g. Elproducto (·) hace mas comodo el calculo de g ◦ f (k) , como lo muestrael siguiente diagrama:

fg =

1 ... k ... n↓

f (1) ... f (k) ... f (n)

1 ... f (k) ... n↓

g (1) ... g (f (k)) ... g (n)

Ası, 1 2 3

↓3 1 2

1 2 3↓3 2 1

=

1 2 3↓3

.

Es usual escribir Sn = F0 ({1, 2, ..., n}) y denominar a (Sn, ·) el gruposimetrico de n objetos.

Definicion 1.6. Si G = {a1, a2, ..., an} y (·) es una ley de composicioninterna sobre G (ası que, dados 1 ≤ i, j ≤ n, existe 1 ≤ k ≤ n tal queai · aj = aiaj = ak), la matriz [aij ]n×n , donde aij = aiaj , se denominala tabla de multiplicacion de (G, ·) .

Si G = {a1, a2, ..., an} es un grupo y convenimos en que a1 = ees el elemento neutro, entonces a1j = a1aj = aj y ai1 = aia1 = ai,i, j = 1, 2, ..., n; es decir, tanto la primera fila como la primera columnade [aij ]n×n es (a1, a2,..., an) . De hecho, cualquier fila de [aij ]n×n con-tiene todos los elementos a1, a2,..., an en algun orden. Esto es con-secuencia del hecho de que para cada i, fijo, la ecuacion aix = aj ,j = 1, 2, ..., n, siempre tiene solucion. Como lo mismo es cierto de laecuacion xaj = ai, toda columna de [aij ]n×n contiene tambien todos loselementos a1, a2,..., an en algun orden. Es decir, si [aij ]n×n es la tabla demultiplicacion de un grupo finito, toda fila y toda columna de [aij ]n×ncontiene todos los elementos de G, y es facil ver que si una tabla demultiplicacion asociativa satisface tal propiedad, esta es necesariamentela tabla de multiplicacion de un grupo. Las tablas de multiplicacionde grupos con n elementos deben entonces buscarse entre las, matrices[aij ]n×n que contienen exactamente los mismos elementos a1, a2,..., anen cada fila y cada columna (en algun orden). La asociatividad, sinembargo, no se puede deducir facilmente de la tabla.


Ası, para un conjunto con un unico elemento e, la unica tabla posiblees [e] , que es la tabla de un grupo. Para uno con dos elementos,G = {e, a} , la unica tabla posible es

A =

[e aa e

], (1.42)

y es la tabla de un grupo (pues es obviamente asociativa). Para unconjunto con tres elementos, G = {e, a, b} , es tambien claro que unasola tabla es posible:

A =

e a ba b eb e a

, (1.43)

la cual es efectivamente la tabla de un grupo. Notese que la alternativa

A′ =

e a ba eb

, (1.44)

es inconducente: necesariamente serıa a23 = b, que es absurdo.

Definicion 1.7. Sea (G, ·) un grupo cuyo elemento neutro es e. Sedice que un subconjunto H de G es un subgrupo de G si H tiene las trespropiedades siguientes:

(i) e ∈ H.

(ii) Si a, b ∈ H entonces ab ∈ H.

(iii) Si a ∈ H entonces a−1 ∈ H.

Definicion 1.8. Se dice que un grupo (G, ·) es cıclico si G = [a] paraalgun a ∈ G. Es decir, si G coincide con el subgrupo cıclico generadopor alguno de sus elementos.

Teorema 1.7. Todo grupo cıclico es abeliano.

Definicion 1.9. Sean (G, ·) un grupo, a ∈ G. Se dice que a tieneorden finito, o que a es de orden finito, si existe m ∈ Z, m 6= 0, tal queam = e. En tal caso

◦ (a) := mın{m > 0 : am = e} (1.45)

CAPITULO 1 15

se denomina el orden de a.

Teorema 1.8. Un elemento a de un grupo (G, ·) tiene orden finito si ysolo si

[a] = {an : n ∈ N}. (1.46)

Si ademas m = ◦ (a), entonces

[a] = {an : 0 ≤ n < m}, (1.47)

y para todo n ∈ Z,an = ar(n,m) (1.48)

donde r (n,m) es el resto de dividir n por m.

Definicion 1.10. Si G es un grupo finito, el orden ◦ (G) de G es elnumero de sus elementos. Si H es un subgrupo finito de G, ◦ (H) , elorden de H, es tambien el numero de sus elementos.

Si (G, ·) es un grupo, H es un subgrupo de G y a ∈ G, escribiremos

aH = {ax : x ∈ H} (1.49)

yHa = {xa : x ∈ H}. (1.50)

Se dice que aH es una clase lateral izquierda de H, una coclase aizquierda de H, o un cogrupo a izquierda de H. Respectivamente, Haes una clase lateral, una coclase o un cogrupo a derecha de H. Noteseque eH = He = H y que a ∈ aH ∩Ha.

En general aH no es un subgrupo de G. De hecho, aH es un subgrupode G si y solo si a ∈ H, en cuyo caso aH = H. Esto es un corolario delsiguiente teorema.

Teorema 1.9. Si H es un subgrupo de G y a, b ∈ G, aH = bH si ysolo si aH ∩ bH 6= ∅.

Observese ahora que ϕ : aH 7→ G dada por ϕ (x) =(ba−1

)x es una

aplicacion inyectiva tal que ϕ (aH) = bH. En efecto, ϕ es claramente


inyectiva, y si c ∈ aH, ası que c = ah, h ∈ H, entonces ϕ (c) = ba−1ah =bh ∈ bH, lo cual demuestra que ϕ (aH) ⊆ bH. Finalmente, si d = bh′ ∈bH entonces

(ab−1

)d = ah′ ∈ aH y ϕ

((ab−1

)d)

= d, lo cual estableceque ϕ (aH) = bH. Se deduce que aH y bH tienen, cualesquiera quesean a, b ∈ G, el mismo numero de elementos. En particular, aH y Htienen el mismo numero de elementos:

# (aH) = ◦ (H) (1.51)

para todo a ∈ G. Aquı #(aH) es el numero de elementos de aH, con#(aH) =∞ si H es infinito.

Supongase entonces que G es un grupo y que H es un subgrupo de G.El conjunto

G/H = {aH : a ∈ G} (1.52)

de las clases laterales izquierdas de H es una particion de G, es decir,aH 6= ∅ para todo a ∈ G, aH ∩ bH = ∅ si aH 6= bH, y

G =⋃a∈G

aH. (1.53)

Ademas, todos los conjuntos aH tienen el mismo numero de elementos.Esto y la relacion (1.53) implican que si G es finito y C es un subcon-junto de G que tiene con cada coclase aH un unico elemento en comun,entonces

◦ (G) =∑a∈C

# (aH) = # (C) · ◦ (H). (1.54)

Como es claro, #(C) =#(G/H), ası que

# (G/H) = ◦ (G)/ ◦ (H). (1.55)

Como #(G/H), ◦ (H) y ◦ (G) son enteros positivos, se tiene entonces elsiguiente teorema, uno de los mas importantes de la teorıa de los grupos.

Teorema 1.10 (Lagrange). Si G es un grupo finito y H es un subgrupode G, entonces ◦ (H) divide ◦ (G).

Corolario 1.7 (Lagrange). Si G es un grupo finito y a ∈ G, entonces◦ (a) es finito y divide ◦ (G).

CAPITULO 1 17

Teorema 1.11. Si un grupo G no tiene subgrupos propios, entonces Ges un grupo cıclico finito; y si ◦ (G) = p > 1, entonces p es un numeroprimo.

Teorema 1.12. Si G es un grupo cıclico, todo subgrupo H de Gtambien lo es.

Definicion 1.10. Se dice que un subgrupo H de (G, ·) es un subgruponormal de G si aH = Ha para todo a ∈ G.

Es decir, H es normal si y solo si toda clase lateral izquierda de Hes igual a la correspondiente clase lateral derecha. Evidentemente G esun subgrupo normal de sı mismo. Tambien H = {e} es un subgruponormal de G. Existen grupos G cuyos unicos subgrupos normales son{e} y G.

Si (G, ·) es abeliano, todo subgrupo H de G es normal. Si n ≥ 2,el subgrupo GLn(R) de GLn(C) no es normal. Tampoco GLn(Q) esun subgrupo normal de GLn(R). Si G = S3 es el grupo simetrico de 3objetos, H = {e, d, f} es un subgrupo normal de G, pero H1 = {e, a},H2 = {e, b} y H3 = {e, c} no lo son.

Definimos

aHa−1 := {aha−1∣∣h ∈ H}.

Teorema 1.13. Sean (G, ·) un grupo, H un subgrupo de G. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:

1. H es un subgrupo normal de G.

2. aH ⊆ Ha cualquiera que sea a ∈ G.

3. aHa−1 ⊆ H para todo a ∈ G.

4. H ⊆ aHa−1 cualquiera que sea a ∈ G.

5. Ha ⊆ aH para todo a ∈ G.


Definicion 1.11. Si (G, ·) es un grupo y H es un subgrupo de G,denotaremos con [G : H], y lo denominaremos el ındice de H en G, elnumero de clases laterales izquierdas de H en G:

[G : H] := # (G/H) .

[G : H]=∞ si G/H es infinito.

Si G es un grupo y A,B ⊆ G, definimos

AB = A ·B := {ab : a ∈ A, b ∈ B}

Teorema 1.14. Si H es un subgrupo normal de (G, ·), la ley decomposicion (aH)(bH) = {ahbh′ : h, h′ ∈ H}, es una ley de composicioninterna en G/H que hace de este conjunto un grupo, en el cual H = eHes el elemento neutro y a−1H es el inverso de aH. Mas aun,

(aH) (bH) = (ab)H.

Definicion 1.12. El conjunto G/H de las clases laterales izquierdasde un subgrupo normal H de G con la ley de composicion interna

(aH) (bH) = (ab)H

se denomina el grupo cociente de G por H.

Teorema 1.15 (Cauchy) . Si G es un grupo abeliano finito y p es unprimo que divide ◦ (G), existe a ∈ G tal que ◦ (a) = p, y G tendra asıun subgrupo de orden p.

1.3 Teorıa de Galois sobre cuerpos numericos

Sea L una extension simple del cuerpo numerico K, ası que existe α ∈ Ltal que L = K[α] y sea pK,α(x) el polinomio mınimo con coeficientesen K que tenga a α como raız. En general, L = K[β] para infinitosβ ∈ L. De hecho, L = K[aα] para todo a ∈ K, a 6= 0. Sin embargo,de K ⊆ K[β] ⊆ K[α] se deduce que grad(pK,β(x)) |grad(pK,α(x)) y de

CAPITULO 1 19

K ⊆ K[α] ⊆ K[β] que grad(pK,β(x)) =grad(pK,α(x)). Por lo tanto, si Les una extension simple de K, podemos definir sin ambiguedad

[L;K] := grad(pK,α(x)), (1.56)

donde α ∈ L es tal que L = K[α]. Se dice que [L;K] es el grado de Lsobre K.

Esta observacion implica que si L es una extension finita de K y M esuna extension finita de L entonces M es una extension finita de K y

[M ;K] = [M ;L][L;K]; (1.57)

y, tambien, que si M es una extension finita de K y K ⊆ L ⊆ M esuna extension intermedia, entonces L es una extension finita de K, Mes una extension finita de L, [L;K] | [M ;K] y [M ;L] | [M ;K]. Si existeα ∈ L el cual no es algebraico sobreK entonces [L;K] no puede ser finito.Escribiremos [L;K] = ∞. Como es claro si K(α) denota el cuerpo decocientes de K[α], α es trascendente sobre K si y solo si [K(α);K] =∞.

Si K y K ′ son cuerpos numericos, denotaremos con Hom(K,K ′) al con-junto de las aplicaciones de K en K ′tales que

1. σ(a+ b) = σ(a) + σ(b) (1.58)

2. σ(ab) = σ(a)σ(b). (1.59)

Se dice que σ es un homomorfismo del cuerpo K en el cuerpo K ′. SiK = K ′, se dice que Hom(K,K ′) es el sistema de los endomorfismosde K. Como se verifica inmediatamente si σ ∈ Hom(K,K ′) entoncesσ(0) = 0, σ(−a) = −σ(a), σ(1) = 1 y σ(a−1) = σ−1(a). Esto ultimo im-plica que σ es inyectiva, aunque no necesariamente sobreyectiva. Cuandoσ es biyectiva, se dice que σ es un isomorfismo de K sobre K ′.

Sea K un subcuerpo de los cuerpos L y L′. Diremos tambien que Ly L′ son extensiones de K y escribiremos L/K y L′/K. En tal casoHom(L/K,L′/K) denotara el conjunto de los homomorfismos de L enL′ tales que σ(a) = a para todo a ∈ K. A su vez, denotaremos con


G(L/K) el subconjunto de Hom(L/K,L/K) de los endomorfismos biyec-tivos de L/K sobre L/K. Es facil ver que Hom(L/K,L/K) = G(L/K)si [L;K] <∞, pero esto puede no ser cierto si [L;K] =∞.

Lema 1.1. Sean K y K ′ campos numericos, σ : K → K ′ un iso-morfismo de campos f(x) = anx

n + · · · + a0 ∈ K[x] un polinomio ir-reducible, σ(f)(x) = σ(an)xn + · · · + σ(a0) ∈ K ′[x]. Sean α una raızde f(x) en alguna extension de K, β una raız de σ(f)(x) en una deK ′. Entonces σ(f)(x) es irreducible sobre K ′ y existe un isomorfismoσ ∈ Hom(K[α],K ′[β]) tal que σ |K= σ y que σ(α) = β.

Teorema 1.16. Sean K y K ′ cuerpos numericos, σ : K → K ′ un iso-morfismo de cuerpos. Sean f(x) = anx

n + · · ·+ a0 ∈ K[x] un polinomioirreducible,{α1, . . . , αn} un conjunto completo de raıces de f(x) en al-guna extension de K. Sea σ(f)(x) = σ(an)xn + · · · + σ(a0) ∈ K ′[x].Entonces σ(f)(x) es irreducible sobre K ′, y si {β1, . . . , βn} es un con-junto completo de raıces de σ(f)(x) en una extension de K ′, para todo1 ≤ m ≤ n existe un isomorfismo σ : K[α1, . . . , αm] → K ′[β1, . . . , βm]con σ(αi) = βi, i = 1, 2, . . . ,m.

Corolario 1.8. Sean f(x) ∈ K[x], irreducible, L el cuerpo de descom-posicion de f(x) sobre K. Sean α, β raıces de f(x), σ : K[α] → K[β]el isomorfismo tal que σ |K es la identidad de K y σ(α) = β. Entoncesσ se prolonga en un automorfismo σ de L tal que σ |K[α]= σ.

Definicion 1.13. Sean K, L cuerpos numericos y supongase que L/K.El grupo G(L/K) de los automorfismos de L tales que σ |K es la identi-dad iK de K se denomina el grupo de Galois de L/K. Si f(x) ∈ K[x] yL es el cuerpo de descomposicion de f(x), es usual escribir G{f(x)/K}en lugar de G(L/K) y denominarlo el grupo de Galois de f(x) sobre K.

Teorema 1.17. Sean K un cuerpo numerico, f(x) ∈ K[x], irreducible,L el campo de descomposicion de f(x) sobre K. Si α y β son raices def(x) en L, existe σ ∈ G(L/K) tal que σ(α) = β.

Teorema 1.18. Sean L, K campos numericos tales que [L;K] < ∞.

CAPITULO 1 21

Entonces

|G(L/K)| ≤ [L;K] (1.60)

Sean M/L y L/K extensiones. Es claro que

G(M/L) ⊆ G(M/K). (1.61)

Teorema 1.19. Considerense las extensiones M/L, L/K y M/K. Larelacion de equivalencia R sobre G(M/K) definida por

R = {(σ, ρ) : ϕ(σ) = ϕ(ρ)}, (1.62)

donde ϕ : G(M/K) →Hom(L/K,M/K) es la aplicacion ϕ(σ) = σ |L,es la relacion de equivalencia a izquierda sobre G(M/K) definida porG(M/L). En particular,

G(M/K)/R = G(M/K)/G(M/L) (1.63)

es la clase de los cogrupos a izquierda de G(M/L) en G(M/K), y laaplicacion

ϕ : G(M/K)/G(M/L)→ Hom(L/K,M/K), (1.64)

obtenida de ϕ por paso al cociente es inyectiva.

Teorema 1.20. Sean M/L y L/K extensiones con [M ;K] < ∞,[L;K] <∞. Entonces

[G(M/K);G(M/L)] ≤ |Hom(L/K,M/K)| ≤ [L;K]. (1.65)

Definicion 1.14. Diremos que una extension de cuerpos numericosL/K es una extension de Galois, si:

1. [L;K] <∞ (1.66)

2. |G(L/K)| = [L;K]. (1.67)

Toda extension de Galois es entonces finita y, por lo tanto, algebraica.

Teorema 1.21. Sea L/K de grado finito. Las afirmaciones siguientesson equivalentes:


1. L/K es de Galois.

2. L es el cuerpo de descomposicion de un polinomio f(x) ∈ K[x].

3. L es el cuerpo de descomposicion de un polinomio irreducible p(x) ∈K[x].

Definicion 1.15. Sean L/K una extension, H un subgrupo de G(L/K).El conjunto F (H) de los elementos a ∈ L que quedan fijos bajo la accionde todo elemento de H, es decir, tales que σ(a) = a para todo σ ∈ H,se denomina el campo fijo de H.

Definicion 1.16. Sean L/K una extension, H ⊆ G(L/K)), L/M , M/Kextensiones intermedias. Si

H = G(L/F (H)), (1.68)

se dice que H es un subgrupo cerrado de G(L/K). Si

M = F (G(L/M)), (1.69)

se dice que M es una extension cerrada de K en L.

Si K ′ = F (G(L/K)), entonces

G(L/K) = G(L/K ′). (1.70)

Definicion 1.17. Sea L/K una extension. Si K mismo es una extensioncerrada de K en L, es decir, si

K = F (G(L/K)), (1.71)

se dice que L/K es una extension normal, o que L es una extensionnormal de K.

Lema 1.2. Sean L una extension algebraica de K y H un subgrupofinito de G(L/K). Entonces

[L;F (H)] ≤ |H| . (1.72)

CAPITULO 1 23

Corolario 1.9. Si L es una extension finita de K y K ′ es el campo fijode G(L/K), entonces L/K ′ es de Galois. Mas aun ,

|G(L/K)| =∣∣G(L/K ′)

∣∣ = [L;K ′] (1.73)

Corolario 1.10. Si L/K es de grado finito y H es un subgrupo finitode G(L/H), H es cerrado. Si G(L/H) es finito, todos sus subgrupos soncerrados.

Teorema 1.22. Sea L/K una extension de grado finito. Las afirma-ciones siguientes son equivalentes:


2. L/K es normal.

En lo que sigue, si f(x) ∈ K[x], K{f(x)} denotara su cuerpo de de-scomposicion sobre K.

Definicion 1.18. Sean L/K una extension, M , con K ⊆ M ⊆ L, uncuerpo intermedio. Se dice que M es estable relativamente a L/K, siσ(M) ⊆M para todo σ ∈ G(L/K).

Teorema 1.23. Sean L/K una extension de Galois, M , con K ⊆M ⊆L, un cuerpo intermedio. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. M es estable relativamente a L/K.

2. G(L/M) / G(L/K)

3. M/K es de Galois.

En tales circunstancias, el grupo cociente G(L/K)/G(L/M) es isomorfoa G(M/K).

Corolario 1.11. Si L/K es de Galois y M , con K ⊆ M ⊆ L, esun cuerpo intermedio, M/K es de Galois si y solo si G(L/M) es unsubgrupo normal de G(L/K), en cuyo caso

G(L/K)/G(L/M) ≈ G(M/K). (1.74)

Teorema 1.24. Sean K ⊆ M ⊆ L y supongase que L/M y M/K sonde Galois. Entonces, las afirmaciones siguientes son equivalentes:



2. Si σ ∈ G(M/K), existe σ ∈ G(L/K) tal que σ |M= σ.

Sea L/K una extension, I(L/K) el conjunto de los cuerpos interme-dios K ⊆ M ⊆ L, E(L/K) el subconjunto de I(L/K) de los cuerposestables bajo G(L/K), G(L/K) el conjunto de todos los subgrupos Hde G(L/K), N (L/K) el subconjunto de G(L/K) de aquellos que sonnormales.

Teorema 1.25. (Galois). Si L/K es de Galois, las aplicaciones

G : I(L/K)→ G(L/K), F : G(L/K)→ I(L/K)

M → G(L/M) H → F (H)(1.75)

son biyectivas e inversa una de la otra. Ademas

F(E(L/K)) = N (L/K), G(N (L/K)) = E(L/K), (1.76)

ası que F aplica biyectivamente cuerpos estables en subgrupos normales.

Sean N/K de grado finito, K ⊆ L ⊆ N un cuerpo intermedio. Larelacion (1.72) asegura que

|Hom(L/K,N/K)| ≤ [L;K]. (1.77)

Puede ser interesante anotar que la validez de esta relacion puede es-tablecerse sin recurrir a la simplicidad de L. En efecto, si a ∈ L rK,podemos suponer por induccion que

|Hom(L/K(a), N/K(a)| ≤ [L;K(a)]; (1.78)

y si ψ : Hom(L/K,N/K) → Hom(K(a)/K,N/K) es la aplicacion derestriccion, es facil ver que siendo R la relacion de equivalencia asociadaa ψ, σ ≡ ρ(R) si y solo si σ−1ρ ∈ Hom(L/K(a), N/K(a)). Esto implicaque

|Hom(L/K,N/K)| ≤ |Hom(K(a)/K,N/K)| |Hom(L/K(a), N/K(a))|≤ [K(a);K][L;K(a)] = [L;K].

CAPITULO 1 25

Teorema 1.26. Sean N/K de grado finito, K ⊂ L ⊂ M ⊂ N cuerposintermedios. Entonces

[G(N/L);G(N/M)] ≤ [M ;L]. (1.79)

Si ademas N/K es de Galois, al anterior relacion es una igualdad.

Teorema 1.27. Si L/K es de grado finito, H ⊆ J ⊆ G(L/K), subgru-pos de G(L/K) entonces

[F (H);F (J)] = [J ;H]. (1.80)

Si n ≥ 1 es un entero, el polinomio

ϕn(x) =∏ω∈Pn

(x− ξ), (1.81)

donde Pn es el conjunto de las raıces primitivas n-esimas de la unidad,se denomina el n-esimo polinomio ciclotomico.

Si ξ = e2πi/n, entonces

ϕn(x) =∏

1≤k≤nmcd(k,n)=1

(x− ξk). (1.82)

Esto implica que grad(ϕn(x)) = φ(n), donde

φ(n) = #{1 ≤ k ≤ n : mcd(k, n) = 1}, n ≥ 1, (1.83)

es la funcion de Euler. Si ϕn(x) ∈ K[x], el cuerpo de descomposicion so-bre K del polinomio ϕn(x) se denomina la n-esima extension ciclotomicade K. Evidentemente

K{ϕn(x)} = K[ξk1 , ξk2 , . . . , ξkm ], ξ = e2πi/n,mcd(ki, n) = 1,m = φ(n).(1.84)

Naturalmente ξ puede sustituirse por cualquier otra raız primitiva n-esima de la unidad. Es claro que

K{ϕn(x)} = K[ξ] = K{xn − 1}. (1.85)


Sea ahora

F = Q[ξ] = Q{xn − 1} (1.86)

el cuerpo de descomposicion de xn−1 sobre Q, ası que F/Q es de Galois,de lo cual F (G(F/Q)) = Q. Por otra parte

ϕn(x) = bmxm + · · ·+ b0, m = φ(n), (1.87)

donde

bm−k = (−1)k∑

i1<···<ik

ξi1 · · · ξik , 1 ≤ ik ≤ φ(n), m = φ(n), (1.88)

y si σ ∈ G(F/Q), σ(ξ) es una raız primitiva i-esima de la unidad si ysolo si ξ lo es. Esto implica que σ(bm−k) = bm−k, ası que siendo F/Qde Galois, necesariamente bm−k ∈ Q. Entonces , ϕn(x) ∈ Q[x].

Observese que entonces ϕn(x) ∈ K[x] para todo cuerpo numerico Ky todo n ≥ 1.

Teorema 1.28. Si L = K{ϕn(x)} = K{xn − 1} entonces [L;K] | φ(n)y G(L/K) es isomorfo a un subgrupo del grupo U(Zn) de las unidadesde Zn siendo entonces abeliano.

En general [L;K] < φ(n). Tomese, por ejemplo, n = 5 y K = R.Entonces L = C y [L;K] = 2, mientras que φ(5) = 4.

Se observa que ϕn(x) es irreducible sobre Q, de lo cual se deduce que

ϕn(x) = pQ,ξ(x)

cualquiera que sea la raız primitiva n-esima ξ de la unidad.

Si F es el cuerpo de descomposicion sobre Q del polinomio xn − 1entonces [F ;Q] = φ(n). Es claro que F = Q{ϕn(x)} y que G(F/Q) =U(Zn). Si ademas n es primo, G(F/Q) = Z∗n = Zn−1, es ası cıclico de or-den n−1. Notese que en este ultimo caso, si n es primo y L = K{xn−1},tambien G(L/K) es cıclico.

CAPITULO 1 27

Sea K un cuerpo numerico, a ∈ K, a 6= 0, n ≥ 1 un entero. Supong-amos primero que K es n-primitivo, o sea, que K = K[ξ], donde ξ esuna raız primitiva n-esima de la unidad. Si u, v son raıces de xn − a enL = K{xn − a}, uv−1 es raız de xn − 1, y esta por lo tanto en K, delo cual L = K[u], y si σ ∈ G(L/K) entonces σ(u) = ξku, 1 ≤ k ≤ n,mcd(k, n) = 1. Por lo tanto, si tambien ρ ∈ G(L/K), ρ(u) = ξju,1 ≤ j ≤ n, mcd(j, n) = 1, de lo cual σρ(u) = ξkξju = ξjξku = ρσ(u) yG(L/K) es abeliano. En total:

Teorema 1.29. Sea K un campo numerico a ∈ K, a 6= 0, n ≥ 1 unentero. Supongase que K es n-primitivo y sea L = K{xn − a}. Si ues cualquier raız de xn − a en L, G(L/K) es abeliano. Si n es primo yxn − a es irreducible sobre K, G(L/K) es cıclico de orden n.

Si K no es n-primitivo, los resultados anteriores son aun aplicables aK[ξ] y a L = K[ξ]{xn − a}, donde ξ es cualquier raiz primitiva n-esimade la unidad.

Sean m,n > 0, primos relativos. Entonces g(x) = ϕm(x)ϕn(x) yf(x) = ϕmn(x) tienen, el mismo cuerpo de descomposicion sobre Q. (Sin ≥ 1, ϕn(x) es el n-esimo polinomio ciclotomico). Ademas G{ϕm(x)}y G{ϕn(x)} son ambos subgrupos de G{f(x)}. Ademas, G{f(x)} ≈G{ϕm(x)} × G{ϕn(x)}. En efecto, si a es raız de ϕmn(x) (una raızprimitiva mn-esima de la unidad), las ank, 1 ≤ k ≤ m y las amj ,1 ≤ j ≤ n, son, respectivamente, raices distintas de xm − 1 y xn − 1,ası que Q{ϕm(x)} y Q{ϕn(x)} son ambos subcuerpos de Q{f(x)}, ylo mismo sera cierto de Q{g(x)}. Por otra parte, si b es raız de f(x),bm ∈ Q{ϕn(x)} y bn ∈ Q{ϕm(x)}, de lo cual bm, bn ∈ Q{g(x)}. Siα, β ∈ Z son tales que αm + βn = 1, b = (bm)α(bn)β esta tambien enQ{g(x)}, ası que Q{f(x)} = Q{g(x)}.

Recuerdese ahora que [Q{ϕN (x)};Q] = φ(N) y que si mcd(m,n) = 1entonces φ(mn) = φ(m)φ(n). Esto implica que [Q{g(x)};Q{ϕn(x)}] =φ(m), ası que ϕm(x) es irreducible sobre Q{ϕn(x)} y de orden φ(m). Dela misma manera, [Q{g(x)};Q{ϕm(x)}] = φ(n), y ϕn(x) sera irreduciblesobre Q{ϕm(x)} y de orden φ(n). Existe entonces un automorfismoσ ∈ G{g(x)/Q{ϕn(x)}}, el cual es la identidad sobre Q{ϕn(x)} y cuyo


orden es φ(m). De la misma manera, existira ρ ∈ G{g(x)/Q{ϕm(x)}}el cual es la identidad sobre Q{ϕm(x)} y cuyo orden es φ(n). Es claroque

G{g(x)/Q{ϕm(x)}} ≈ [ρ]

y que G{g(x)/Q{ϕn(x)}} ≈ [σ]. Segun lo dicho mas arriba, se deduceentonces que G{f(x)} ≈ [σ]× [ρ], ası que G{f(x)} es el producto directointerno de [σ] y [ρ].

1.4 Ejercicios

1. Demuestre los teoremas, lemas y corolarios enunciados en este capıtulo.

2. Sean K un cuerpo numerico, f(x) ∈ K[x] un polinomio de grado alo sumo 3. Demuestre que f(x) es irreducible sobre K si y solosi ninguna raız de f(x) esta en K. ¿Es x2 − 4x + 2 irreduciblesobre Q? ¿Es este polinomio irreducible sobre R? ¿Es x3 + x+ 1irreducible sobre Q?

3. Sea ω = e2πi/5. Demuestre que [Q[ω];Q] = 4, verificando que pQ,ω(x) =(x5 − 1)/(x− 1).

4. Sea a trascendente sobre K, K(a) el cuerpo de cocientes de K[a].Sea σ : K(a) → K(a) definida por σ(f(a)) = f(a2) para cadafuncion racional f(x) = p(x)/q(x), p(x), q(x) ∈ K[x]. Verifiqueque σ ∈ Hom(K(a)/K,K(a)/K), que [K(a);K] = ∞ y que σ noes sobreyectiva.

5. Sea M/K. Demuestre que si H es un subcuerpo normal de G(M/K),entonces F (H) es un subcuerpo estable de G.

6. Sean N/K, G = G(N/K), J ⊆ H ⊆ G subgrupos de G con [H; J ] =n <∞. Demuestre que [F (J);F (H)] ≤ n.

7. Supongase que L/K y M/L son extensiones normales. Supongaseademas que si σ ∈ G(L/K) existe σ ∈ G(M/K) tal que σ |L= σ.Demuestre que M/K es normal.

CAPITULO 2

TEORIA DE PICARD-VESSIOT

Basicamente, la Teorıa de Galois Diferencial es la Teorıa de Galois paralas ecuaciones diferenciales. Esta teorıa tuvo su origen en los trabajos delos matematicos franceses Charles Emile Picard (1856 - 1941) y ErnestVessiot (1865 - 1952). Las contribuciones basicas de Picard a esta teorıafueron:

• Sur les Groupes de Transformation des Equations DifferentiellesLineaires (Sobre los Grupos de Transformaciones de las Ecua-ciones Diferenciales Lineales), publicado en 1883 por la Academiade Ciencias de Parıs.

• Sur Equations Differentielles et les Groupes Algebriques des Trans-formations (Sobre las Ecuaciones Diferenciales Lineales y los Gru-pos Algebraicos de Transformaciones), publicado en 1887 por laUniversidad de Toulouse.

• Traite d’Analyse, Tome III (Tratado de Analisis, Tomo III), pub-licado por Gauthiers - Villars en 1928.

Vessiot, por su parte, publico muchos artıculos, pero su mas grande con-tribucion fue su tesis doctoral titulada Sur l’Integration des Equations

29


Differentielles Lineaires (Sobre la Integracion de las Ecuaciones Diferen-ciales Lineales), publicada en 1892 por parte de la Facultad de Cienciasde la Universidad de Toulouse.

Este capıtulo esta basado en las referencias [1, 2, 3, 4, 8, 12].

2.1 Teorıa de Galois diferencial

De forma analoga al caso clasico, considerando a Q como cuerpo de co-eficientes, ahora se considera el cuerpo C(x) de funciones racionales enuna variable compleja x. Este es un cuerpo diferencial con derivacion′ = d

dx = ∂x (es de por si un cuerpo cuyos elementos satisfacen la reglade Leibniz y sus derivadas siguen estando en el cuerpo).

Sea η una solucion de la ecuacion diferencial

z′′ + az′ + bz = 0, a, b ∈ C(x),

en alguna extension diferencial de C(x). La solucion de la ecuaciondiferencial lineal anterior puede involucrar exponenciales, integrales in-definidas y raıces de polinomios. Las funciones trigonometricas puedenser escritas en terminos de exponenciales.

Definicion 2.1. Sea η una solucion de la ecuacion diferencial

z′′ + az′ + bz = 0, a, b ∈ C(x).

Se dice que:

1. η es algebraica sobre C(x) si η satisface una ecuacion polinomicacon coeficientes en C(x), es decir, η es una funcion algebraica deuna variable (raız).

2. η es una primitiva sobre C(x) si η′ ∈ C(x), es decir, η =∫fdx

para algun f ∈ C(x) (integral).

3. η es una exponencial sobre C(x) si η′

η ∈ C(x), es decir, η = e∫fdx

para algun f ∈ C(x) (exponencial de una integral).

CAPITULO 2 31

Definicion 2.2. Una solucion η de una ecuacion diferencial lineal sedenomina liouvilliana, o resoluble por cuadraturas o que tiene solucionen forma cerrada, si existe una cadena de cuerpos diferenciales

C(x) = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ Km = K,

con η ∈ K y tal que para cada i = 1, 2, ...,m, Ki = Ki−1 (ηi), donde ηies algebraica, primitiva o exponencial sobre Ki−1.

Tales soluciones liouvillianas son construidas usando funciones algebraicas,integrales y exponenciales. De esta forma se pueden obtener solucionescomo logaritmos y funciones trigonometricas, pero no soluciones enterminos de funciones de Bessel. El termino liouvilliano es un pocomas generoso que el de funciones elementales (algebraicas, logaritmos yexponenciales solamente), debido a que permite la integracion indefinidaarbitraria, es decir, se puede dejar la integral en forma implıcita, comopor ejemplo ∫

e−x2dx,

∫ex

1− xdx,

∫sinx

xdx.

Teorema 2.1. Si z′′ + az′ + bz = 0, a, b ∈ C(x) tiene una solucionliouvilliana, entonces toda solucion es liouvilliana.

Demostracion. La segunda solucion se construye con la exponencial dela cuadratura de la primera solucion que es liouvilliana. Por la Definicion2.2, la segunda solucion tambien es liouvilliana. 2

Despues de estas herramientas basicas sobre ecuaciones diferenciales, re-tomamos la Teorıa de Galois de ecuaciones diferenciales lineales, tambienconocida como Teorıa de Picard - Vessiot y como Teorıa de GaloisDiferencial Lineal. Supongase que y1, y2 es un sistema fundamentalde soluciones de la ecuacion diferencial reducida (EDLR) y′′ = r(x)y,donde r ∈ C(x). Esto significa que y1, y2 son linealmente independi-entes sobre C y toda solucion es una combinacion lineal de y1 y y2. SeaK = C(x)〈y1, y2〉, el menor cuerpo diferencial que contiene a C(x) y a{y1, y2, y

′1, y′2, . . .}.

Definicion 2.3. El grupo de todos los automorfismos diferenciales de Ken K que dejan fijos (o invariantes) los elementos de C(x) se denomina


el Grupo de Galois de K sobre C(x) y es denotado como en el capıtuloanterior, por G(K�C(x)).

Si σ ∈ G(K�C(x)), entonces σy1 y σy2 son tambien soluciones, o lo quees igual, es otro sistema fundamental de soluciones de la EDLR. Por talrazon, existe una matriz

Aσ =

(a bc d

)∈ GL(2,C),

GL(2,C) denotando el grupo lineal de matrices cuadradas no singularesde tamano 2× 2 con elementos complejos, tal que

σ

(y1

y2

)=

(σy1

σy2

)=(y1 y2

)Aσ.

Esto define una funcion inyectiva

ϕ : G(K�C(x)) −→ GL(2,C)

que solo depende de la eleccion de y1, y2. En otras palabras, Aσ es lamatriz asociada al endomorfismo σ, el cual es automorfismo.

Definicion 2.4. Un grupo algebraico de matrices 2× 2 es un subgrupoG ⊂ GL(2,C), definido por ecuaciones algebraicas en los elementos dematriz. Es decir, existe un conjunto de polinomios {Pi(x11, x12, x21, x22)}i∈I ,de tal manera que,(

x11 x12

x21 x22

)∈ G ⇔ ∀i ∈ I, Pi(x11, x12, x21, x22) = 0.

En tal caso G es una variedad algebraica provista de una estructura degrupo. En adelante se entiende que todo grupo mencionado es un grupoalgebraico de matrices. Un primer ejemplo es el grupo especial linealSL(2,C), pues,(

x11 x12

x21 x22

)∈ SL(2,C) ⇔ x11x22 − x21x12 − 1 = 0.

Uno de los resultados fundamentales de la Teorıa de Picard - Vessiot esel siguiente teorema:

CAPITULO 2 33

Teorema 2.3. La imagen por ϕ de G(K�C(x)),

ϕ (G(K�C(x))) ⊂ GL(2,C),

es un grupo algebraico de matrices.

Teorema 2.4. Para la EDLR, ϕ (G(K�C(x))) ⊂ SL(2,C). Es decir,la imagen de G(K�C(x)) esta en SL(2,C).

Demostracion. Sean y1, y2 un sistema fundamental de soluciones de laEDLR, lo cual indica que y′′1 = ry1, y′′2 = ry2. El wronskiano esta dadopor

W = |U | = y1y′2 − y′1y2, U =

(y1 y2

y′1 y′2

).

Ahora, derivando W se tiene

W ′ = y′1y′2 + y1y

′′2 − y′′1y2 − y′1y′2 = ry2y1 − ry1y2 = 0.

Esto indica que W ∈ C y de esta manera

W = σW = σ(|U |) = |σU | = |UAσ| = W |Aσ|,

por lo tanto

|Aσ| =∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = 1

y ası se concluye que (a bc d

)= Aσ ∈ SL(2,C),

que es el resultado deseado. 2

Se enuncia ahora el teorema de Lie - Kolchin. Es de notar que un grupoalgebraico G tiene un unico subgrupo conexo G0, el cual contiene laidentidad y es un subgrupo normal de G de ındice finito. Esto indicaque G0, componente identidad de G, es el subgrupo algebraico conexomas grande de G que contiene la identidad. De aquı se deduce que siG = G0, entonces G es conexo.

Teorema 2.5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:


1. Toda solucion de la EDLR es liouvilliana.

2. G0 es resoluble, es decir, existe una cadena de subgrupos normales

e = G0 / G1 / . . . / Gn = G0

tal que el cociente Gi/Gj es abeliano para todo n ≥ i ≥ j ≥ 0.

3. G0 es triangularizable, es decir, existe una base en C2 tal que

G0 ⊆{(

c d0 c−1

): c, d ∈ C, c 6= 0

}.

Definicion 2.5. Sea y1, y2 un sistema fundamental de soluciones de laEDLR en K. Sea f(x1, x2) un polinomio homogeneo con coeficientes enC(x). Diremos que f es un invariante si para todo σ ∈ G(K�C(x)),σf(y1, y2) = f(y1, y2). En este caso, f(y1, y2) ∈ C(x). Ahora, f es semi-invariante si para todo σ ∈ G(K�C(x)), σf(y1, y2) = cf(y1, y2), c ∈ C.

Se observa que θ = f(y1,y2)′

f(y1,y2) ∈ C(x).

Se dice que un grupo G es el conjugado de un grupo G′ si existe unamatriz J tal que GJ = JG′. En este caso, G y G′ tienen la mismaestructura algebraica.

Teorema 2.6. Sea G un subgrupo algebraico de SL(2,C). Entoncesexclusivamente uno de los siguientes cuatro casos puede ocurrir:

1. G es triangularizable.

2. G es el conjugado de un subgrupo de{(c 00 c−1

): c ∈ C, c 6= 0

}∪{(

0 c−c−1 0

): c ∈ C, c 6= 0

}y el caso 1 no se da.

3. G es finito y los casos 1 y 2 no se dan.

4. G = SL(2,C).

Teorema 2.7. De acuerdo con el Teorema 2.5, excepto por conjugacion,hay tres grupos en el caso 3:

CAPITULO 2 35

1. El grupo tetraedro. Este grupo es de orden 24 y esta generado por(ekπi3 0

0 e−kπi3

),

1

3

(2e

kπi3 − 1

)(1 12 −1

).

2. El grupo octaedro. Este grupo es de orden 48 y esta generado por(ekπi4 0

0 e−kπi4

),

1

2ekπi4

(ekπi2 + 1

)(1 11 −1

).

3. El grupo icosaedro. Este grupo es de orden 120 y esta generadopor (

ekπi5 0

0 e−kπi5

),

(φ ψψ −φ

),

siendo φ y psi definidas como

φ =1

5

(e

3kπi5 − e

2kπi5 + 4e

kπi5 − 2

), ψ =

1

5

(e

3kπi5 + 3e

2kπi5 − 2e

kπi5 + 1

)donde en los casos anteriores 0 ≤ k ≤ 5.

La componente conexa de la identidad G0 de los casos del Teorema2.6 es resoluble excepto para el caso 4. Para los demas casos es abelianaexcepto para el grupo dado por

G = G0 =

{(λ µ0 λ−1

): λ ∈ C∗, µ ∈ C

}≈ C∗ ∝ C.

Los casos abelianos de la componente conexa de la identidad son lossiguientes

Grupo trivial G0 = e =

{(1 00 1

)}.

Grupo diagonal o multiplicativo G0 =

{(λ 00 λ−1

): λ ∈ C∗

}≈ C∗.

Grupo aditivo G = G0 =

{(1 µ0 1

): µ ∈ C

}≈ C.

Teorema 2.8. Sea y1, y2 un sistema fundamental de soluciones de laEDLR, de tal manera que en la base {y1, y2}, el grupo G(K�C(x)) seescribe en una de las formas canonicas del Teorema 2.6. Entonces, paratodo σ ∈ G(K�C(x)), uno de los siguientes casos puede ocurrir:


1. σy1 = cy1, c ∈ C. Es decir, y1 es un semi-invariante.

2. σy1 = cy1 y σy2 = c−1y2, o σy1 = cy2 y σy2 = −c−1y1. Ademas,y1y2 es un semi-invariante y (y1y2)2 es un invariante.

3. El grupo tetraedro:(y4

1 + 8y1y32

)3es un invariante. El grupo octae-

dro:(y5

1y2 − y1y52

)2es un invariante. El grupo icosaedro: y11

1 y2 −11y6

1y62 − y1y

112 es un invariante.

4 No hay semi-invariantes no triviales.

Demostracion. Se procedera tal como en el enunciado del teorema.

1. Por el Teorema 2.6, G es triangularizable, es decir,

G =

{(c d0 c−1

): c, d ∈ C, c 6= 0

},

de tal manera que se tiene

σ

(y1

y2

)=

(c d0 c−1

)(y1

0

),

es decir, σy1 = cy1, por lo tanto y1 es un semi-invariante.

2. Por el Teorema 2.6, G es el conjugado de un subgrupo de{(c 00 c−1

): c ∈ C, c 6= 0

}∪{(

0 c−c−1 0

): c ∈ C, c 6= 0

},

de tal manera que

σ

(y1

y2

)=

(c 00 c−1

)(y1

y2

),

o tambien

σ

(y1

y2

)=

(0 c−c−1 0

)(y1

y2

),

de lo cual se concluye que σy1 = cy1 y σy2 = c−1y2, o σy1 = cy2

y σy2 = −c−1y1, por lo tanto y1y2 es un semi-invariante y (y1y2)2

es un invariante.

CAPITULO 2 37

Los casos 3 y 4 se consideran de la misma forma. 2

Ejemplos. Consideremos las siguientes ecuaciones diferenciales:

• y′′ = 0, una base de soluciones esta dada por y1 = 1, y2 = x.Si establecemos K = C(x) como cuerpo diferencial, vemos queσ(1) = 1, σ(x) = x, entonces la extension de Picard-Vessiot esL = K y por lo tanto

G(L/K) = e ∼={(

1 00 1

)}.

Ahora bien, si establecemos K = C, entonces L = K〈x〉, x′ ∈ C,(σ(x))′ = σ(x′) = σ(1) = 1 = x′, por tanto σ(x) = x+ d, d ∈ C, locual conlleva a

G(L/K) ∼= Ga =

{(1 d0 1

), d ∈ C

}.

• y′′ = κy, κ ∈ C∗, la base de soluciones esta dada por y1 = e√κx,

y2 = e−√κx, con κ 6= 0. Si establecemos como cuerpo diferencial

K = C(x), podemos ver que la extension de Picard-Vessiot es

L = K〈e√kx〉,

σ

(y′1y1

)=

(σ(y1))′

σ(y1)=y′1y1, σ

(y′2y2

)=

(σ(y2))′

σ(y2)=y′2y2,

σ(y1y2) = σ(y1)σ(y2) = y1y2 = 1, σ(y1) = cy1, σ(y2) = dy2,c, d ∈ C, pero cd = 1 y por lo tanto

G(L/K) ∼= Gm =

{(c 00 c−1

), c ∈ C∗

}.

Ahora bien, si establecemosK = C, obtenemos el mismo resultado.

• y′′ + n2−14n2x2 y = 0, n ∈ Z, una base de soluciones esta dada por

〈y1, y2〉, donde

y1 = xn+12n , y2 = x

n−12n .


Si establecemos como cuerpo diferencial a K = C(x) y n par,

entonces la extension de Picard-Vessiot es L = K⟨x

12n

⟩,

σ(y1) = cy1, σ2n(y1) = c2ny2n1 = σ(y2n

1 ) = y2n1 , c2n = 1,

σ(y2) = dy2, σ2n(y2) = d2ny2n2 = σ(y2n

2 ) = y2n2 , d2n = 1,

σ(y1y2) = y1y2 = σ(y1)σ(y2) = cdy1y2 ası que cd = 1 y por lotanto

G(L/K) ∼= G[2n] =

{(c 00 c−1

), c2n = 1

}.

Ahora bien, si consideramos n impar, entonces L = K⟨x

1n

⟩, y

por lo tanto G(L/K) ∼= G[n].

• Ecuacion reducida de Cauchy-Euler

y′′ =m(m+ 1)

x2y, m ∈ C,

Una base de soluciones esta dada por y1 = xm+1, y2 = x−m.Estableciendo como cuerpo diferencial a K = C(x), tendremos:

– m ∈ Z, L = K, G(L/K) = e,

– m ∈ Q \ Z, L = K〈xm〉, G(L/K) ∼= G[d], m = nd , m 6= −1

2 ,

– m ∈ C \Q, L = K〈xm〉, G(L/K) ∼= Gm.

2.2 Transformaciones en ecuaciones diferenciales

En este apartado consideraremos algunas transformaciones de diferen-ciales que involucren ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.En caso que ambas ecuaciones sean lineales de segundo orden, estudiare-mos si se preserva el grupo de Galois de la ecuacion de partida. Entrelas transformaciones a considerar aquı estan las transformaciones parallegar de ecuaciones de Riccati y de sistemas diferenciales lineales de dosecuaciones de primer orden a ecuaciones diferenciales lineales de segundoorden. Tambien se presentaran la transformacion que nos permite elim-inar el termino de la primera derivada en la ecuacion de segundo orden,la algebrizacion y la transformacion de Darboux, las cuales en algunos

CAPITULO 2 39

casos son transformaciones iso-Galosianas.

El siguiente teorema permite eliminar el coeficiente de z(n−1) en unaecuacion diferencial lineal de orden n.

Teorema 2.9. La ecuacion diferencial

z(n) + an−1z(n−1) + ...+ a1z

′ + a0z = 0, ai ∈ C(x),

se puede transformar en la ecuacion diferencial

y(n) + bn−2y(n−2) + ...+ b1y

′ + b0y = 0, bi ∈ C(x),

mediante el cambio z = yf , donde f = e−1n

∫p, p = an−1. En particular,

si n = 2, la ecuacion diferencial z′′ + az′ + bz = 0 se transforma en laecuacion diferencial y′′ = ry, donde r = 1

4a2 + 1

2a′ − b.

Demostracion. Usando la formula de Abel w′ + pw = 0, w = Cfn, C ∈C∗, se tiene que ncfn−1f ′ + pCfn = 0, ahora, al dividir por w se sigueque f = e−

1n

∫p, donde p = an−1. Finalmente, un sencillo argumento

inductivo ver que al reemplazar por yf en la ecuacion diferencial inicial,el coeficiente de z(n−1) se anula. Realizando los calculos se tiene quepara n = 2, z′′ + az′ + bz = 0, se transforma en

y′′ =

(1

4a2 +

1

2a′ − b

)y. 2

Teorema 2.10. La ecuacion diferencial z′′+az′+ bz = 0 se transformaen la ecuacion de Riccati v′ = r − v2, donde r = 1

4a2 + 1

2a′ − b.

Demostracion. Por el Teorema 2.9, y′′ = ry, donde r = 14a

2 + 12a′ − b.

Ahora, al hacer la sustitucion v = y′

y se tiene

(y′

y

)′=y′′y − (y′)2

y2=y′′

y−(y′

y

)2

,

y por lo tanto

v′ =1

4a2 +

1

2a′ − b− v2,


que es el resultado deseado. 2

Definicion 2.6. Consideremos las ecuaciones diferenciales lineales Ly L, definidas sobre los cuerpos diferenciales K y K respectivamente.Sean L y L sus respectivas extensiones de Picard-Vessiot. Sea ϕ latransformacion tal que L 7→ L, K 7→ K y L 7→ L, decimos que:

1. ϕ es una transformacion iso-Galoisiana siempre que

G(L/K) = G(L/K).

En caso que L = L y K = K, decimos que ϕ es una transformacionfuertemente iso-Galoisiana.

2. ϕ es una transformacion virtualmente iso-Galoisiana siempre que

(G(L/K))0 = (G(L/K))0.

Teorema 2.11. Consideremos las siguientes ecuaciones diferenciales

L := y′′ + ay′ + by = 0, L := ζ ′′ = rζ, a, b, r ∈ K.

Sean κ ∈ Q, f ∈ K, a = 2κ(ln f)′ y la transformacion ϕ tal que L 7→ L.Se tienen entonces las siguientes afirmaciones:

1. La transformacion ϕ es iso-Galoisiana siempre que κ ∈ Z.

2. La transformacion ϕ es virtualmente fuertemente iso-Galoisianasiempre que κ ∈ Q \ Z.

Demostracion. Sean B = {y1, y2} una base de soluciones y L la extensionde Picard-Vessiot de la ecuacion diferencial L. De igual manera, seanB′ = {ζ1, ζ2} una base de soluciones y L la extension de Picard-Vessiotde la ecuacion diferencial L. En virtud del Teorema 2.10, con el cambiode variable dependiente y = ζe−

12

∫adx obtenemos r = a2

4 + a′

2 − b y

por lo tanto K = K. De esta manera, la relacion entre L y L dependesolamente de a:

1. Si κ = n ∈ Z, entonces B′ = {fny1, fny2}, lo cual significa que

L = L y por lo tanto ϕ es una transformacion fuertemente iso-Galoisiana.

CAPITULO 2 41

2. Si κ = nm , con mcd(n,m) = 1, n

m /∈ Z, entonces B′ = {fnm y1, f

nm y2},

lo cual significa que para L solo uno de los siguientes casos puedeocurrir:

• L es una extension algebraica de grado a lo sumo m de L ypor lo tanto la transformacion ϕ es virtualmente fuertementeiso-Galoisiana, o

• L = L siempre que fnm ∈ K, lo cual significa que ϕ es una

transformacion fuertemente iso-Galoisiana.

Teniendo el resultado deseado. 2

Se puede observar que la transformacion ϕ presentada en el Teorema2.11 no es inyectiva debido a que hay una gran cantidad de ecuacionesdiferenciales de la forma L que pueden ser transformadas a la mismaecuacion diferencial L. A manera de ejemplo se puede ver que fijandor podemos obtener diferentes valores de a y b, es decir, a traves de laecuacion de Riccati en a.

Como una consecuencia del Teorema 2.11 se tiene el siguiente corolario.

Corolario 2.1. (Sturm-Liouville) Consideremos la ecuacion diferen-cial

L :=(ay′)′

= (λb− µ)y, a, b ∈ K, λ, µ ∈ C

donde L, L, L y ϕ estan dadas como en el Teorema 2.11. Entonces:

• L es una extension cuadratica de L, lo cual significa que ϕ esvirtualmente fuertemente iso-Galoisiana, o

• L = L siempre que a12 ∈ K, lo cual significa que ϕ es fuertemente

iso-Galoisiana.

Tal como vimos en los ejemplos anteriores, es usual que el cuerpo difer-encial sea el de las funciones racionales. Sin embargo, es posible que laecuacion diferencial tenga coeficientes que no son funciones racionales,tales como funciones exponenciales, trigonometricas, etc. En este caso,es muy util transformar la ecuacion a una que tenga coeficientes fun-ciones racionales, procedimiento que hemos llamado Algebrizacion, elcual se detallara mas adelante.


Teorema 2.12. (Cambio de variable independiente) Considere-mos la siguiente ecuacion diferencial con coeficientes en C(z):

Lz := ∂2zy + a(z)∂zy + b(z)y = 0, ∂z :=

d

dz(2.1)

y C(z) ↪→ L la correspondiente extension de Picard-Vessiot. Sea (K, δ)un cuerpo diferencial con C como cuerpo de constantes. Sea θ ∈ K unelemento no constante. Entonces, por el cambio de variable z = θ(x), laecuacion (2.1) se transforma en

Lx := ∂2xr +

(a(θ)∂xθ −

∂2xθ

∂xθ

)∂xr + b(θ)(∂xθ)

2r = 0, (2.2)

∂x = δ, r = y ◦ θ. Sea K0 ⊂ K el cuerpo diferencial mas pequeno quecontiene θ y C. Entonces la ecuacion (2.2) es una ecuacion diferencialcon coeficientes en K0. Sea K0 ↪→ L0 la correspondiente extension dePicard-Vessiot. Asumamos que

C(z)→ K0, z 7→ θ

es una extension algebraica, entonces

(G(L0/K0))0 = (G(L/C(z)))0.

Demostracion. Se aplica la regla de la cadena para obtener la ecuacion(2.2) a traves de la ecuacion (2.1). Las componentes conexas se preser-van por ser K0 una extension algebraica de C(z) . 2

Teorema 2.13. Consideremos las ecuaciones diferenciales Lx y Lzcomo en el Teorema 2.12. Sea ϕ la transformacion dada por

ϕ :

z 7→ θ(x)

∂z 7→ 1∂xθ

δ.

Entonces G(L0/K0) ' G(L/K0 ∩ L) ⊂ G(L/C(z)). Ademas, si K0 ∩ Les algebraica sobre C(z), entonces (G(L0/K0))0 ' (G(L/C(x)))0.

Demostracion. Por el Teorema 2.12, la transformacion ϕ nos conduce a

C(z) ' ϕ(C(z)) ↪→ K0,

CAPITULO 2 43

es decir, podemos identificar C(z) con ϕ(C(z)), y por lo tanto podemosver a C(z) como subcuerpo de K0. Esto nos conlleva a tener

DGal(L0/K0) ' DGal(L/K0 ∩ L) ⊂ DGal(L/C(z))

y si K0 ∩ L es algebraica sobre C(z), entonces

(G(L0/K0))0 ' (G(L/C(z)))0,

obteniendo el resultado deseado. 2

Para el resto de esta seccion utilizaremos z = z(x) en lugar de θ y lasnotaciones de derivadas parciales: ∂x, ∂z, etc.

La transformacion que nos permite llegar de la ecuacion (2.2) a laecuacion (2.1) es un proceso de Algebrizacion. Esto indica que podemosalgebrizar ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes fun-ciones que no son racionales si podemos llevarla a la forma de la ecuacion(2.2). Para hacer este procedimiento, denominado Algebrizacion forzosa,usaremos los siguientes pasos.

Paso 1. Buscar (∂xz)2 en el coeficiente de y para obtener ∂xz y z.

Paso 2. Dividir por (∂xz)2 al coeficiente de y para obtener b(z) y veri-

ficar si b ∈ C(z).

Paso 3. Sumar (∂2xz)/∂xz y dividir por ∂xz al coeficiente de ∂xy para

obtener a(z). Verificar si a ∈ C(z).

Para ilustrar el procedimiento de la Algebrizacion forzosa se presentanlos siguientes ejemplos.

Ejemplo. Consideremos la siguiente ecuacion diferencial

∂2xr −

1

x(lnx+ 1)∂xr − (lnx+ 1)2r = 0.

Para algebrizar esta ecuacion diferencial hacemos (∂xz)2 = (lnx + 1)2,

lo cual conlleva a ∂xz = lnx+ 1 y por lo tanto

z =

∫(lnx+ 1)dx = x lnx, b(z) = −1.


Ahora encontramos a(z) en la expresion

a(z)(lnx+ 1)− 1

x(lnx+ 1)= − 1

x(lnx+ 1),

obteniendo a(z) = 0. Ası que la nueva ecuacion diferencial esta dadapor ∂2

zy − y = 0, en la cual y(z(x)) = r(x) y una base de soluciones deesta ecuacion diferencial esta dada por 〈ez, e−z〉. Por lo tanto, la respec-tiva base de soluciones de la primera ecuacion diferencial esta dada por〈ex lnx, e−x lnx〉.

En general este metodo no es claro porque la busqueda de z = z(x)en b(z)(∂xz)

2 puede ser demasiado aleatorio, casi como una loterıa, osimplemente no existe z tal que a(z), b(z) ∈ C(z). Por ejemplo, lassiguientes ecuaciones

∂2xr +

∓2x ln2 x∓ 2x lnx− 1

x lnx+ x∂xr +

−2x ln2 x− 3x lnx− x∓ 1

x lnx+ xr = 0,

∂2xr +

4x lnx+ 2x

4x2 lnx∂xr −

1

4x2 lnxr = 0,

(x2 ln2 x)∂2xr + (x ln2 x− 3x lnx)∂xr + 3r = 0,

no pueden ser algebrizadas con este metodo, aunque cuando estas seantransformables a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Existe un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales sobre C(x, e∫fdx)

sin usar esta algebrizacion. Como una aplicacion del Teorema 2.12 setiene el siguiente teorema.

Teorema 2.14. (Ecuaciones diferenciales lineales sobre C(x, e∫f ))

Sea f ∈ C(x) una funcion racional. Entonces, la ecuacion diferencial

∂2xr −

(f +

∂xf

f− fe

∫fa(e∫f))

∂xr +(f(e∫f))2

b(e∫f)r = 0,

es algebrizable mediante el cambio de variable z = e∫f y su forma alge-

braica esta dada por

∂2zy + a(z)∂zy + b(z)y = 0, r(x) = y(z(x)).

CAPITULO 2 45

Demostracion. Asumiendo que r(x) = y(z(x)) y z = z(x) = e∫fdx,

podemos ver que ∂xz = fz, ∂zy = ∂xrfz , por lo tanto se tiene

∂2zy =

1

fz∂x

(∂xr

fz

)=

1(fe∫f)2

(∂2xr − f +

(∂xf

f

))∂xr.

Al reemplazar las anteriores expresiones en la ecuacion diferencial

∂2zy + a(z)∂zy + b(z)y = 0,

obtenemos el resultado deseado. 2

Para ilustrar el resultado anterior, se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

∂2xr −

(x+

1

x− 2xex

2

)∂xr + λx2ex

2r = 0,

es algebrizable mediante el cambio de variable z = ex2

2 y su forma alge-braica esta dada por

∂2zy + 2z∂zy + λy = 0.

De acuerdo al Teorema 2.14 se tienen los siguientes casos posibles.

1. f = n∂xhh , para una funcion racional h, n ∈ Z+, se tiene el casotrivial, ambas ecuaciones tienen coeficientes funciones racionales,por lo tanto no necesita ser algebrizada.

2. f = 1n∂xhh , para una funcion racional h, n ∈ Z+, la ecuacion difer-

encial esta definida sobre una extension algebraica de C(x) y porlo tanto esta ecuacion no tiene coeficientes funciones racionales.

3. f 6= q ∂xhh , para cualquier funcion racional h, q ∈ Q, la ecuaciondiferencial esta definida sobre una extension trascendente de C(x)y por lo tanto no tiene coeficientes funciones racionales.

Algebrizar ecuaciones de segundo orden es mas facil cuando el termino∂xr esta ausente, es decir, ecuaciones de la formay′ = r(x)y y el cambiode variable es Hamiltoniano.


Definicion 2.7. (Cambio de variable Hamiltoniano) Un cambio devariable z = z(x) se denomina Hamiltoniano siempre que (z(x), ∂xz(x))es una curva solucion del sistema Hamiltoniano clasico autonomo de dosgrados de libertad

∂xz = ∂wH∂xw = −∂zH

with H = H(z, w) =w2

2+ V (z),

para algun V ∈ K.

Asumamos que podemos algebrizar la ecuacion diferencial (2.2) a travesdel cambio de variable Hamiltoniano z = z(x), es decir, V ∈ C(z).Entonces, K0 = C(z, ∂xz, . . .), pero, tenemos la relacion algebraica

(∂xz)2 = 2h− 2V (z), h = H(z, ∂xz) ∈ C,

por lo tanto K0 = C(z, ∂xz) es una extension algebraica de C(z). Porel Teorema 2.12, la componente conexa de la identidad del grupo deGalois diferencial es preservado. Por otra parte, podemos identificarun cambio de variable Hamiltoniano z = z(x) si existe α ∈ K tal que(∂xz)

2 = α(z). Es por lo tanto que introducimos de manera natural elconcepto Algebrizacion Hamiltoniana, la cual corresponde el proceso dealgebrizacion realizado a traves de un cambio de variable Hamiltoniano.

El siguiente resultado es un ejemplo de Algebrizacion Hamiltoniana ycorresponde al caso de las ecuaciones diferenciales lineales de segundoorden reducida.Teorema 2.15. (Algebrizacion Hamiltoniana) La ecuacion difer-encial

∂2xr = q(x)r

es algebrizable mediante el cambio de variable z = z(x) si y solo siexisten f, α tales que

∂zα

α,

f

α∈ C(z), where f(z(x)) = q(x), α(z) = 2(H−V (z)) = (∂xz)

2.

Ademas, la forma algebraica de la ecuacion ∂2xr = q(x)r es

∂2zy +

1

2

∂zα

α∂zy −

f

αy = 0, r(x) = y(z(x)). (2.3)

CAPITULO 2 47

A continuacion se presenta un procedimiento sistematico para algebrizarecuaciones diferenciales de la forma ∂2

xr = q(x)r, por lo tanto se propo-nen los siguientes pasos.

Paso 1. Encontrar un cambio de variable Hamiltoniano z = z(x) y dosfunciones f y α tales que q(x) = f(z(x)) y (∂xz(x))2 = α(z(x)).

Paso 2. Verificar si se cumple que f(z)/α(z) ∈ C(z) y ∂zα(z)/α(z) ∈C(z) para ver si la ecuacion ∂2

xr = q(x)r es algebrizable.

Paso 3. Si la ecuacion ∂2xr = q(x)r es algebrizable, su algebrizacion

esta dada por

∂2zy +

1

2

∂zα

α∂zy −

f

αy = 0, y(z(x)) = r(x).

Cuando hayamos algebrizado la ecuacion diferencial ∂2xr = q(x)r, estu-

diamos su integrabilidad y grupos de Galois diferencial.

Para ilustrar este procedimiento se presentan los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

• Dada la ecuacion diferencial ∂2xr = f(tanx)r con f ∈ C(tanx),

podemos escoger el cambio de variable z = z(x) = tanx paraobtener α(z) = (1 + z2)2, por lo tanto z = z(x) es un cambiode variable Hamiltoniano. Podemos ver que ∂zα

α , fα ∈ C(z) y laforma algebraica de la ecuacion diferencial ∂2

xr = f(tanx)r coneste cambio de variable Hamiltoniano es

∂2zy +

2z

1 + z2∂zy −

f(z)

(1 + z2)2y = 0, y(tanx) = r(x).

• Dada la ecuacion diferencial

∂2xr =

√1 + x2 + x2

1 + x2r,

podemos escoger z = z(x) =√

1 + x2 para obtener

f(z) =z2 + z − 1

z2, α(z) =

z2 − 1

z2,


por lo tanto z = z(x) es un cambio de variable Hamiltoniano.Podemos ver que ∂zα

α , fα ∈ C(z) y la forma algebraica para estecaso es

∂2zy +

1

z(z2 − 1)∂zy −

z2 + z − 1

z2 − 1y = 0, y(

√1 + x2) = r(x).

Se puede notar que en general el metodo de Algebrizacion Hamiltoni-ana no es un algoritmo, porque el problema no trivial que se presentaes obtener un Hamiltoniano H adecuado que satisfaga la definicion 2.7.Ahora presentamos un caso particular de Algebrizacion Hamiltoniana,la cual se puede considerar como un algoritmo.

Teorema 2.16. (Algoritmo de Algebrizacion Hamiltoniana)Consideremos q(x) = g(z1, · · · , zn), donde zi = eλix, λi ∈ C∗. Laecuacion ∂2

xr = q(x)r es algebrizable si y solo si

λiλj∈ Q∗, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, g ∈ C(z).

Ademas, λi = ciλ, donde λ ∈ C∗ y ci ∈ Q∗ y por el cambio de variableHamiltoniano

z = eλxq , donde ci =

piqi, pi, qi ∈ Z∗, mcd(pi, qi) = 1 y

q = MCM(q1, · · · , qn), la algebrizacion de la ecuacion diferencial

∂2xr = q(x)r

es la ecuacion diferencial

∂2zy +

1

z∂zy − q2 g(zm1 , . . . , zmn)

λ2z2y = 0, mi =

qpiqi, y(z(x)) = r(x).

Demostracion. Asumiendo λi/λj = cij ∈ Q∗ podemos ver que existeλ ∈ C∗ y ci ∈ Q∗ tal que λi = λci, ası que

eλix = eciλx = epiqiλx

=(eλqx) qpiqi , pi, qi ∈ Z∗, mcd(pi, qi) = 1,

CAPITULO 2 49

MCM(q1, . . . , qn) = q. Ahora bien, estableciendo z = z(x) = eλqx

pode-mos ver que

f(z) = g(zm1 , . . . , zmn), mi =qpiqi, α =

λ2z2

q2.

Debido a que q|qi, tenemos que mi ∈ Z, por lo tanto

∂zα

α,

f

α∈ C(z)

y la forma algebraica esta dada por

∂2zy +

1

z∂zy − q2 g(zm1 , . . . , zmn)

λ2z2y = 0, y(z(x)) = r(x).

Los teoremas 2.15 y 2.16 permiten algebrizar un gran numero de ecua-ciones diferenciales de segundo orden. En particular, bajo los supuestosdel teorema 2.16, podemos algebrizar automaticamente ecuaciones difer-enciales con coeficientes trigonometricos o hiperbolicos.

Consideremos ahora los siguientes ejemplos.


∂2xr =

e12x + 3e−

23x − 2e

54x

ex + e−32x

r, λ1 =1

2, λ2 = −2

3, λ3 =

5

4, λ4 = 1, λ5 = −3

2,

podemos ver que λi/λj ∈ Q, λ = 1, q = lcm(1, 2, 3, 4) = 12 y el

cambio de variable Hamiltoniano para este caso es z = z(x) = e112x.

Podemos ver que

α(z) =1

144z2, f(z) =

z6 + 3z−8 − 2z15

z12 + z−18,

∂zα

α,f

α∈ C(z)

y la forma algebraica esta dada por

∂2zy +

1

z∂zy − 144

z6 + 3z−8 − 2z15

z14 + z−16y = 0, y(e

112x) = r(x).


∂2xr = (e2

√2x + e−

√2x − e3x)r, λ1 = 2

√2, λ2 = −

√2, λ3 = 3,

podemos ver que λ1/λ2 ∈ Q, pero λ1/λ3 /∈ Q, por lo tanto estaecuacion diferencial no puede ser algebrizada.


Tambien se puede notar que es posible usar el metodo de la algebrizacionpara transformar ecuaciones diferenciales, aun cuando los coeficientes dela ecuacion diferencial de partida sean funciones racionales o los coefi-cientes de la ecuacion diferencial de llegada no sean funciones racionales.

Como ilustracion de la afirmacion anterior se presentan los siguientesejemplos.

• Consideremos la siguiente ecuacion diferencial

∂2xr =

x4 + 3x2 − 5

x2 + 1r = 0,

podemos escoger z = z(x) = x2, ası que α = 4z y la nueva ecuaciondiferencial es

∂2zy +

1

2z∂zy −

z2 + 2z − 5

4z(z + 1)y = 0, y(x2) = r(x).

• Consideremos la ecuacion diferencial de Mathieu ∂2xr = (a+b cos(x))r,

podemos escoger z(x) = ln(cos(x)), ası que α = e−2z−1 y la nuevaecuacion diferencial es

∂2zy −

1

1− e2z∂zy −

ae2z + be3z

1− e2zy = 0, y(ln(cos(x))) = r(x).

La Algebrizacion Hamiltoniana, teoremas 2.15 y 2.16, ha sido utilizadacon exito en diferentes campos de aplicacion de las ecuaciones diferen-ciales, en particular mecanica Hamiltoniana y mecanica cuantica. Sinembargo una generalizacion del Teorema 2.14 para ecuaciones diferen-ciales de orden superior no es trivial y requiere de elaboracion. Pero, esposible obtener generalizaciones de los teoremas 2.15 y 2.16 utilizandolos cambios de variable Hamiltonianos. Recordemos que el cambio devariable z = z(x) es Hamiltoniano si existe α tal que (∂xz)

2 = α(z).Mas especıficamente, si z = z(x) es un cambio de variable Hamiltoni-ano, podemos escribir ∂xz =

√α, lo cual nos conduce a la siguiente

notacion: ∂z =√α∂z.

Podemos ver que ∂z es una derivacion porque satisface

∂z(f + g) = ∂zf + ∂zg

CAPITULO 2 51

y las reglas de Leibnitz

∂z(f · g) = ∂zf · g + f · ∂zg, ∂z

(f

g

)=∂zf · g − f · ∂zg

g2.

Podemos notar que la regla de la cadena esta dada por ∂z(f ◦ g) =∂gf ◦ g∂z(g) 6= ∂gf ◦ g∂z(g). La iteracion de ∂z esta dada por

∂0z = 1, ∂z =

√α∂z, ∂nz =

√α∂z∂

n−1z =

√α∂z

(. . .(√α∂z

))︸︷︷︸n veces

√α∂z

.

Decimos que un cambio de variable es racional cuando el potencialV ∈ C(x) y por lo tanto α ∈ C(x). A partir de ahora, para el restode esta monografıa, se entendera ∂z =

√α∂z donde z = z(x) es un cam-

bio de variable Hamiltoniano y ∂xz =√α. En particular, ∂z = ∂z = ∂x

si y solo si√α = 1, es decir, z = x.

Teorema 2.17. Consideremos los siguientes sistemas de ecuacionesdiferenciales [A] y [A] dados respectivamente por

∂xY = −AY, ∂zY = −AY, A = [aij ], A = [aij ], Y = [yi1], Y = [yi1],

donde aij ∈ K = C(z(x), ∂x(z(x))), aij ∈ C(z) ⊆ K = C(z,√α),

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, aij(x) = aij(z(x)) y yi1(x) = yi1(z(x)). Supong-

amos que L y L son las extensiones de Picard-Vessiot de [A] y [A] re-spectivamente. Si la transformacion ϕ esta dada por

ϕ :

x 7→ zaij 7→ aijyi1(x) 7→ yi1(z(x))

∂x 7→ ∂z

,

entonces las siguientes afirmaciones se mantienen.

• K ' K, (K, ∂x) ' (K, ∂z).

• G(L/K) ' DGal(L/K) ⊂ G(L/C(z)).

• (G(L/K))0 ' (G(L/C(z))0.

• E(A) ' E(A).


Demostracion. Debido a que z = z(x)es un cambio de variable Hamil-toniano racional, la transformacion ϕ nos conduce a

C(z) ' ϕ(C(z)) ↪→ K, K ' K, C(z) ↪→ K, (K, ∂x) ' (K, ∂z)

esto es, podemos identificar C(z) con ϕ(C(z)), y por lo tanto podemosver a C(z) como un subcuerpo de K y entonces, por el diagrama deKaplansky se observa que

LG(L/K)

L

G(L/K)

K

K

C(z)

en consecuencia tenemos

G(L/K) ' G(L/K) ⊂ G(L/C(z)) (G(L/K))0 ' (G(L/C(z)))0.

Cabe notar que la transformacion ϕ, dada en el Teorema 2.17, es virtual-mente fuertemente iso-Galoisiana cuando

√α /∈ C(z) y para

√α ∈ C(z),

ϕ es fuertemente iso-Galoisiana. Ademas, por el metodo del vectorcıclico, podemos escribir los sistemas [A] y [A] en terminos de las ecua-ciones diferenciales L y L. De esta manera, L proviene de una trans-formacion que solo involucra un cambio de variable independiente en laecuacion diferencial L y por lo tanto E(L) ' E(L).

Ejemplo. Consideremos el sistema

[A] :=

∂xγ1 = − 2√

2ex+e−xγ3,

∂xγ2 = ex−e−xex+e−xγ3,

∂xγ3 = 2√

2ex+e−xγ1 − ex−e−x

ex+e−xγ2,

el cual mediante el cambio de variable Hamiltoniano z = ex, y por lotanto

√α = z, es transformado en el sistema

CAPITULO 2 53

[A] :=

∂zγ1 = − 2√

2z2+1

γ3,

∂zγ2 = z2−1z(z2+1)

γ3,

∂zγ3 = 2√

2z2+1

γ1 − z2−1x(x2+1)

γ2.

Una solucion de este sistema [A] esta dado por

1

z2 + 1

√

22 (1− z2)

z−z

,

y por lo tanto,

1

e2x + 1

√

22 (1− e2x)

ex

−ex

es la correspondiente solucion para el sistema [A].

Se puede observar que la algebrizacion dada en el teorema 2.15 es unaejemplo de como el introducir la nueva derivacion ∂z simplifica las de-mostraciones y calculos. El mencionado teorema se extiende de maneranatural para la ecuacion diferencial

∂2xy + a∂xy + by = 0,

usando ϕ para obtener ∂2z y + a∂z y + by = 0, lo cual es equivalente a

α∂2z y +

(∂xα

2+√αa

)∂z y + by = 0, (2.4)

donde y(x) = y(z(x)), a(z(x)) = a(x) y b(z(x)) = b(x).

En general, para y(x) = y(z(x)), la ecuacion diferencial

F (∂nxy, . . . , y, x) = 0

con coeficientes dados por aik(x) es transformada en la ecuacion

F (∂nz y, . . . , y, z) = 0


con coeficientes dados por aik(z), donde aik(x) = aik(z(x)). En partic-ular, para

√α, aik ∈ C(z), la ecuacion diferencial

F (∂nz y, . . . , y, z) = 0

es la Algebrizacion Hamiltoniana de

F (∂nxy, . . . , y, x) = 0.

Ahora bien, si cada derivacion ∂x tiene orden par, entonces α y aikpueden ser funciones racionales para algebrizar la ecuacion diferencial

F (∂nxy, . . . , y, x) = 0, aik ∈ C(z(x), ∂xz(x)).

Esta situacion se presenta, por ejemplo, para ecuaciones diferencialeslineales dadas por

∂2nx y + an−1(x)∂2n−2

x y + . . .+ a2(x)∂4xy + a1(x)∂2

xy + a0(x)y = 0.

Finalmente, el algoritmo de la algebrizacion dado en el teorema 2.16puede ser extendido de manera natural a cualquier ecuacion diferencialde la forma

F (∂nxy, ∂n−1x y, . . . , ∂xy, y, e

µt) = 0,

lo cual sucede a traves del cambio de variable Hamiltoniano racionalz = eµx y por lo tanto es transformada en la ecuacion diferencial

F (∂nz y, ∂n−1z y, . . . , ∂z y, y, z) = 0.

De forma particular, consideraremos la algebrizacion de la Ecuacion deRiccati, sistemas y ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Acontinuacion presentamos algunos ejemplos para ilustrar estos hechos.

Ejemplo.

1. La ecuacion diferencial

L := ∂2xy + (−2ex − 1)∂xy + e2xy = 0

con el cambio de variable Hamiltoniano z = ex,√α = z, a =

−2z − 1 y b = z2 se transforma en la ecuacion diferencial

L := ∂2z y − 2∂z y + y = 0,

CAPITULO 2 55

la cual se puede resolver de una manera sencilla por tener coefi-cientes constantes. Una base de soluciones para L y L estan dadaspor 〈ez, zez〉 y 〈eex , exeex〉 respectivamente. Ademas, K = C(ex),K = C(z), L y L son las extensiones de Picard-Vessiot de L y Lrespectivamente. De esta forma, G(L/K) = G(L/K).

2. La ecuacion diferencial

L := ∂2xy +

−24ex − 25

4ex + 5∂xy +

20ex

4ex + 5y = 0

con el cambio de variable Hamiltoniano z = ex,√α = z,

a =−24z − 25

4z + 5and b =

20z

4z + 5

es transformada en la ecuacion diferencial

L := ∂2z y +

−20(z + 1)

x(4z + 5)∂z y +

20

z(4z + 5)y = 0,

la cual puede ser resuelta usando el algoritmo de Kovacic. Unabase de soluciones para L es 〈z + 1, z5〉, por lo tanto una base desoluciones de la ecuacion diferencial L es 〈ex + 1, e5x〉. Ademas,K = C(ex), K = C(z), L y L son las extensiones de Picard-Vessiot de las ecuaciones diferenciales L y L respectivamente. Enconsecuencia, G(L/K) = G(L/K) = e.

Teorema 2.18. (Algebrizacion de la Ecuacion de Riccati) LaEcuacion de Riccati

∂xv = a(x) + b(x)v + c(x)v2 (2.5)

a traves del cambio de variable Hamiltoniano z = z(x), se transformaen la Ecuacion de Riccati

∂z v =1√α

(a(z) + b(z)v + c(z)v2), (2.6)

donde v(x) = v(z(x)), a(z(x)) = a(x), b(z(x)) = b(x), c(z(x)) = c(x) y√α(z(x)) = ∂xz(x). Ademas, si

√α, a, b, c ∈ C(x), la ecuacion (2.6)


es la algebrizacion de la ecuacion (2.5).

Demostracion. Se aplica directamente la definicion de ∂z. 2

Ejemplo. Consideremos la ecuacion de Riccati

L := ∂xv =

(tanhx− 1

tanhx

)v +

(3 tanhx− 3 tanh3 x

)v2,

la cual a traves del cambio de variable Hamiltoniano z = tanhx, queconduce a

√α = 1− z2, es transformada en la ecuacion de Riccati

L := ∂zv = −1

zv + 3zv2.

Una solucion para la ecuacion L es

− 1

z(3z − c), siendo c una constante,

ası que la correspondiente solucion para la ecuacion L es

− 1

tanhx(3 tanhx− c).

El siguiente resultado es la version algebrizada de la relacion entre losanillos diferenciales propios de sistemas y operadores diferenciales.

Teorema 2.19. Consideremos los cuerpos diferenciales K, K y lossistemas [A] y [A] dados por

∂xX = −AX, ∂zX = −AX, ∂z =√α∂z, A = [aij ], A = [aij ],

aij ∈ K, aij ∈ K, donde z = z(x), X(x) = X(z(x)), aij(z(x)) = aij(x),

entonces E(A) ' E(A). En particular, si consideramos las ecuacionesdiferenciales lineales

L := ∂nxy +

n−1∑k=0

ak∂kxy = 0 y L := ∂nz y +

n−1∑k=0

ak∂kz y = 0,

CAPITULO 2 57

donde z = z(x), y(x) = z((x)), ak(z(x)) = ak(x), ak ∈ K, ak ∈ K,entonces E(L) ' E(L), donde L := Ly = 0 y L := Ly = 0. Ademas,asumiendo

P =

p11 . . . p1n...pn1 . . . pnn

, A =

0 1 . . . 0...−a0 −a1 . . . −an−1

,

entonces

E(L) =

{n∑k=1

p1k∂k−1x : ∂xP = PA−AP, pik ∈ K

},

si y solo si

E(L) =

{n∑k=1

p1k∂k−1z : ∂zP = P A− AP , pik ∈ K

}.

Demostracion. En virtud del teorema 2.17 se tiene que

K ' K, E(A) ' E(A) y E(L) ' E(L).

Usando la derivacion ∂z y por induccion sobre el teorema 2.15 comple-tamos la demostracion. 2

Ejemplo. Consideramos dos ejemplos diferentes para para ilustrar elteorema 2.19.

• Consideremos la ecuacion diferencial

L1 := ∂2xy − (1 + cosx− cos2 x)y = 0.

Mediante el cambio de variable Hamiltoniano z = z(x) = cosx,con√α = −

√1− z2, la ecuacion diferencial L1 se transforma en

la ecuacion diferencial

L1 := ∂2z y −

z

1− z2∂z y −

1 + z − z2

1− z2y = 0.

Ahora, calculando el anillo diferencial propio de L1 tenemos queE(L1) = Vect(1), por lo tanto el anillo diferencial propio de L1 esdado por E(L1) = Vect(1).


• Consideremos ahora la ecuacion diferencial

L2 := ∂2xy =

(e2x +

9

4

)y.

Mediante el cambio de variable Hamiltoniano z = ex, con√α = x,

la ecuacion diferencial L2 se transforma en la ecuacion diferencial

L2 := ∂2z y +

1

z∂z y −

(1 +

9

4x2

)y = 0.

Ahora bien, calculando el anillo diferencial propio del operadordiferencial L2 tenemos que

E(L2) = Vect

(1,−2

(z2 − 1

z2

)∂z −

z2 − 3

z3

)

= Vect

(1,−2

(z2 − 1

z3

)∂z −

z2 − 3

z3

),

por lo tanto el anillo diferencial propio del operador L2 esta dadopor

E(L2) = Vect

(1,−2

(e2x − 1

e3x

)∂x −

e2x − 3

e3x

).

El mismo resultado se obtiene a traves del formalismo matricial,donde

A =

(0 1

e2x + 94 0

), A =

(0 1

z2 + 94 0

),

∂xP = PA−AP, ∂zP = P A− AP ,

con P ∈Mat(2,C(ex)) y P ∈Mat(2,C(z)). 2

Darboux en la pagina 210 de su libro Teorıa de superficies plantea latransformacion que a continuacion se enuncia como teorema

Teorema 2.20. (Darboux) Supongamos que la ecuacion diferencial

d2u

dx2= (φ(x) + h)u (2.7)

CAPITULO 2 59

tiene por solucion particular a f(x) para h = h1, entonces la soluciongeneral de la ecuacion

d2y

dx2=

(f

(1

f

)′′+ h− h1

)y (2.8)

es y = u′ − uf′

f para h 6= h1.

Ejemplo.


d2u

dx2= hy.

En este caso φ(x) = 0. Si h1 = 0, h2 = −1 entonces f(x) = xes una solucion para h = h1 y u(x) = sinx es una solucion parah = h2 entonces la solucion general de

d2y

dx2=

(x

(1

x

)′′− 1

)y

es

y = cosx− 1

xsinx


d2u

dx2= (x2 + h)y.

En este caso φ(x) = x2. Si h1 = 1, h2 = 3 entonces f(x) = exp(x2

2 )

es una solucion para h = h1 y u(x) = x exp(x2

2 ) es una solucionpara h = h2 entonces la solucion general de

d2y

dx2=

(exp

(x2

2

)(exp

(−x

2

2

))′′+ 2

)y

es

y = exp

(x2

2

)


De ahora en adelante, por facilidad, utilizaremos la ecuacion

dy2

dx2=

(2

(f ′

f

)2

− f ′′

f+ h2 − h1

)y (2.9)

en lugar de la ecuacion (2.8).

Para finalizar esta seccion presentaremos el siguiente resultado.

Teorema 2.21. Todo sistema de la forma

d

dt

(ξ1

ξ2

)=

(a(t) b(t)c(t) d(t)

)(ξ1

ξ2

),

con coeficientes en un cuerpo diferencial K es equivalente a la ecuaciondiferencial lineal de segundo orden

ξ−

(a(t) + d(t) +

b(t)

b(t)

)ξ−

(a(t) + b(t)c(t)− a(t)d(t)− a(t)b(t)

b(t)

)ξ = 0,

donde ξ := ξ1 y ξ2 = (ξ − a(t)ξ)/b(t).

2.3 El algoritmo de Kovacic y la ecuacion deRiemann

En 1986 Jerald Kovacic presenta un algoritmo para resolver ecuacionesdiferenciales lineales de segundo orden con coeficientes funciones racionalessobre los complejos. El algoritmo de Kovacic se basa en los invariantesy semi-invariantes del Teorema 2.8.

La idea del algoritmo es ver que la EDLR caiga en el caso 1, si no es ası,se busca que caiga en el caso 2, si tampoco es ası, se busca que caigaen el caso 3. Si definitivamente la EDLR no cae en los casos 1 , 2 o 3,entonces obligatoriamente cae en el caso 4.

Por el orden de r en infinito, ◦ (r∞) , se entendera el orden de infinitocomo un cero de r. Esto indica que si r = s

t , s, t ∈ C[x], entonces◦ (r∞) = grad(t) − grad(s). Se denotara por Γ′ al conjunto finito de

CAPITULO 2 61

polos de r, Γ′ = {c ∈ C : t(c) = 0}, de tal forma que Γ = Γ′ ∪ {∞}.Se denotara por ◦ (rc) el orden del polo c ∈ Γ′. Para aplicar el caso1 del algoritmo se requiere que todo polo de r (en caso de existir) seade orden par o de orden 1, mientras que obligatoriamente ◦ (r∞) ∈{2n : n ∈ Z−}∪{n ≥ 2 : n ∈ Z}, si en este caso existe una solucion parala EDLR, esta es de la forma y = Pe

∫ω, donde P y ω se construyen con

los pasos del algoritmo. Para aplicar el caso 2, se requiere que existaal menos un polo c ∈ Γ′ tal que ◦ (rc) ∈ {2n+ 1 : n ∈ Z+} ∪ {2}. Paraaplicar el caso 3, es necesario que para todo polo c ∈ Γ′, ◦ (rc) ∈ {1, 2} ,y ◦ (r∞) ∈ {n ≥ 2, n ∈ Z}. Si al aplicar el caso 2 o el caso 3 existe unasolucion para la EDLR, esta es de la forma y = e

∫ω, donde ω se con-

struye con los pasos del algoritmo. El caso 4 se da cuando no se dan loscasos 1, 2 o 3, indicando que la EDLR no tiene soluciones liouvillianas.Se puede afirmar que al escoger aleatoriamente una EDLR, la probabili-dad de que esta sea soluble por cuadraturas es muy pequena. Los pocoscasos en donde se dan este tipo de soluciones, se obtienen mediante elalgoritmo de Kovacic.

Caso 1. Este caso, como ya se menciono, corresponde a la solubili-dad por cuadraturas de la ecuacion de Riccatti. Por tal razon, la seriede Laurent de

√r en cada polo c, [

√r]c, y en el infinito, [

√r]∞, for-

man parte esencial en el desarrollo del algoritmo para este caso y sonfunciones racionales. Para hacer mas divulgativo este artıculo se uti-lizaran fracciones parciales y cuadrados de polinomios en lugar de seriesde Laurent, aunque en esencia es lo mismo. Adicionalmente se definenα+c , α

−c , α

+∞, α

−∞ ∈ C, de acuerdo a la situacion presentada. Ahora, si

p ∈ Γ, entonces ε (p) ∈ {+,−}.

Paso 1. Buscar para cada polo c ∈ Γ′ y para ∞ la situacion correspon-diente a cada una de las que siguen:

(c1) Si ◦ (rc) = 1, entonces[√r]c

= 0, α±c = 1.

(c2) Si ◦ (rc) = 2, r = · · ·+ b(x− c)−2 + · · · , entonces

[√r]c

= 0, α±c =1±√

1 + 4b

2.


(c3) Si ◦ (rc) = 2v ≥ 4,

r = (a (x− c)−v + ...+ d (x− c)−2)2 + b(x− c)−(v+1) + · · · ,

entonces[√r]c

= a (x− c)−v + ...+ d (x− c)−2 , α±c =1

2

(± ba

+ v

).

(∞1) Si ◦ (r∞) > 2, entonces[√r]∞ = 0, α+

∞ = 0, α−∞ = 1

(∞2) Si ◦ (r∞) = 2, r = · · ·+ b(x)2 + · · · , entonces

[√r]∞ = 0, α±∞ =

1±√

1 + 4b

2

(∞3) Si ◦ (r∞) = −2v ≤ 0, r = (axv + ...+ d)2 + b(x)v−1 + · · · , en-tonces [

√r]∞ = axv + ...+ d y α±∞ = 1

2

(± ba − v

).

Paso 2. Encontrar D 6= ∅ definido como

D =

{d ∈ Z+ : d = αε(∞)

∞ −∑c∈Γ′

αε(c)c ,∀ (ε (p))p∈Γ

}.

Si D = ∅, entonces el caso 1 del algoritmo de Kovacic no se tiene y debepasarse inmediatamente al caso 2. Ahora, si #D > 0, entonces paracada d ∈ D se construye ω ∈ C(x) tal que

ω = ε (∞)[√r]∞ +

∑c∈Γ′

(ε (c)

[√r]c

+ αε(c)c (x− c)−1).

Paso 3. Buscar un polinomio monico P de grado d, para cada d ∈ D,tal que

P ′′ + 2ωP ′ + (ω′ + ω2 − r)P = 0.

Si P no existe, entonces el caso 1 del algoritmo de Kovacic no se tiene ydebe intentarse inmediatamente el caso 2. Ahora, si P existe, entoncesuna solucion de la EDLR esta dada por

y = Pe∫ω,

CAPITULO 2 63

donde ω se construye en el paso 2 mediante d ∈ D.

Si a una EDLR solo se le puede aplicar el caso 1 del algoritmo de Kovacicentonces su grupo de Galois es conexo y esta dado por:

1. SL(2,C) si el algoritmo no provee ninguna solucion,

2. C∗ ∝ C si el algoritmo solo provee una solucion que no sea unaextension cuadratica en C(x),

3. C∗ si el algoritmo provee las dos soluciones que no sean funcionesracionales y ninguna sea el logaritmo de una funcion racional.

4. C si el algoritmo provee las dos soluciones: una funcion racional yel logaritmo de una funcion racional.

5. e si el algoritmo provee las dos soluciones y ambas sean funcionesracionales.

A continuacion, a manera ilustrativa, se presentan los siguientes ejemp-los.

Ejemplo.

• Este es el ejemplo trivial puesto que

z′′ + (λ1 + λ2)z′ + λ1λ2z = 0

se transforma en la EDLR

y =

((λ1 + λ2)2

4− λ1λ2

)y.

Esta ecuacion no tiene polos, ası que cae en el caso 1. El ordendel coeficiente de y en el infinito es 0, ası que cae en (∞3) y por lotanto b = v = 0, de lo cual se concluye que α± = 0. Esto indicaque D = {0} 6= ∅, P = 1 y claramente una solucion liouvilliana dela EDLR esta dada por y = egx, donde g depende de λ1 y λ2. Eneste caso, el grupo de Galois de la EDLR es isomorfo (C∗, ·).


• La ecuacion diferencial

z′′ +α

xz′ +

β

x2z = 0,

donde α y β son constantes, se conoce como la ecuacion equidi-mensional de Cauchy-Euler o simplemente ecuacion de Euler. Laecuacion de Euler se transforma en la EDLR

y′′ =

(α2 − 2α− 4β

4x2

)y.

Trivialmente se tiene que para

β =α2 − 2α

4,

la EDLR queda reducida a y′′ = 0. La cual es inmediatamente in-tegrable por cuadraturas y sus soluciones liouvillianas estan dadaspor y1 = 1, y2 = x. Ası que el grupo de Galois de la EDLR es laidentidad y las soluciones de la ecuacion de Euler estan dadas por

z1 = x−α2 , z2 = x

−α+22 .

En el otro caso,

β 6= α2 − 2α

4,

se tiene un polo de orden 2 en x = 0 y en x = ∞. Esto indicaque la solucion de la ecuacion de Euler puede caer en cualquierade los tres primeros casos, siendo siempre integrable para valoresarbitrarios de α y β. Un caso particular que corresponde al caso1 esta dado por

m(m+ 1) =α2 − 2α− 4β

46= 0, m ∈ Z.

La EDLR queda

y′′ =

(m(m+ 1)

x2

)y,

por lo tanto α+∞ = 1, α−∞ = 0, α+

0 = m+1, α−0 = −m. Los posibleselementos del conjunto D estan dados por:

α+∞ − α−0 = m+ 1 α−∞ − α−0 = m

α+∞ − α+

0 = −m α−∞ − α+0 = −m,

CAPITULO 2 65

de lo cual se tiene que para m > 0, D = {m,m+ 1}, mientras quepara m < 0, D = {−m,−m−1}. Tomando d = m+ 1 y aplicandoel paso 3 se obtiene la solucion

y = Pe∫ω = xm+1.

La otra solucion esta dada por

y = x−m.

Claramente se observa que el grupo de Galois de la EDLR es elgrupo identidad.

• La ecuacion diferencial xy′′−xy′−y = 0 se transforma en la EDLR

y′′ = ry, r =1

4+

1

x=x+ 4

4x.

Por lo tanto ◦r0 = 1, ◦r∞ = 0 que corresponde a (c1,∞3), ası que

[√r]0

= 0, α+0 = α−0 = 1,

[√r]∞ =

1

2, α+

∞ = −α−∞ = 1.

Ahora bien, el unico elemento deD esta dado por d = α+∞−α+

0 = 0,ası que el polinomio monico es P = 1,

ω =1

x+

1

2, ω′ = − 1

x2, ω2 =

1

x2+

1

x+

1

4.

por tanto se tiene

M = ω′ + ω2 − r = 0.

El polinomio P = 1 satisface P ′′ + 2ωP ′ +MP = 0 y por lo tantouna solucion de la EDLR es

y1 = xex2 .

La segunda solucion de la EDLR es

y2 = xex2

∫dx

x2ex.


Como el algoritmo solo dio una solucion, el grupo de Galois de laEDLR es G = G0 ≈ C∗ ∝ C, el cual no es un grupo conmutativo.

Caso 2. Tal como se menciono anteriormente, al descartar el caso1, debe buscarse que r tenga al menos un polo de orden 2 o deorden impar mayor que la unidad (1).

Paso 1. Buscar Ec 6= ∅ y E∞ 6= ∅. Para cada c ∈ Γ′ se defineEc ⊂ Z como sigue:

(c1) Si ◦ (rc) = 1, entonces Ec = {4}(c2) Si ◦ (rc) = 2, r = · · ·+ b(x− c)−2 + · · · , entonces

Ec ={

2 + k√

1 + 4b : k = 0,±2}.

(c3) Si ◦ (rc) = v > 2, entonces Ec = {v}Para ∞ se define E∞ ⊂ Z como sigue:

(∞1) Si ◦ (r∞) > 2, entonces E∞ = {0, 2, 4}(∞2) Si ◦ (r∞) = 2, r = · · ·+ b(x)2 + · · · , entonces

E∞ ={

2 + k√

1 + 4b : k = 0,±2}.

(∞3) Si ◦ (r∞) = v < 2, entonces E∞ = {v}

Paso 2. Encontrar D 6= ∅ definido como

D =

{d ∈ Z+ : d =

1

2

(e∞ −

∑c∈Γ′

ec

), ∀ep ∈ Ep, p ∈ Γ

}.

Si D = ∅, entonces el caso 2 del algoritmo de Kovacic no se tieney debe pasarse inmediatamente al caso 3. Ahora, si #D > 0,entonces para cada d ∈ D se construye una funcion racional θdefinida como

θ =1

2

∑c∈Γ′

ecx− c

.

CAPITULO 2 67

Paso 3. Buscar un polinomio monico P de grado d, para cadad ∈ D, tal que

P ′′′+3θP ′′+(3θ′+3θ2−4r)P ′+(θ′′ + 3θθ′ + θ3 − 4rθ − 2r′

)P = 0.

Si P no existe, entonces el caso 2 del algoritmo de Kovacic no setiene y debe intentarse inmediatamente el caso 3. Ahora, si Pexiste, se establece

φ = θ +P ′

Py se busca ω tal que

ω2 − φω +

(1

2φ′ +

1

2φ2 − r

)= 0,

entonces una solucion de la EDLR esta dada por

y = e∫ω,

donde ω es solucion del polinomio anterior.


y′′ = ry, r =1

x− 3

16x2=

16x− 3

16x2.

Se observa que ◦r0 = 2 y ◦r∞ = 1, por tal razon esta EDLR nocae en el caso 1. Ahora bien, por el paso 1 del caso 2 se tiene queesta EDLR cae en (c2,∞3), luego

b = − 3

16, E0 =

{2 + k

√1− 4

(3

16

)}= {1, 2, 3}, v = 1, E = {1},

por lo tanto los candidatos a elementos del conjunto D son

1

2(1− 1) = 0 ∈ Z+,

1

2(1− 2) = −1

2/∈ Z+,

1

2(1− 3) = −1 /∈ Z+,

y de esta forma D = {0}. El unico candidato a polinomio monicode grado 0 es P = 1 y la funcion racional θ esta dada por θ = 1

2x .Ahora bien, P ′ = P ′′ = P ′′′ = 0, luego

θ′′+3θθ′+θ3−4rθ−2r′ =1

x3− 3

4x3+

1

8x3− 2

x2+

3

8x3+

2

x2− 3

4x3= 0.


Ası que que efectivamente P = 1 es el polinomio buscado. El pasosiguiente es buscar φ tal que

φ = θ +P ′

P=

1

2x,

luego se busca ω que satisfaga la siguiente ecuacion cuadratica

ω2 − φω +

(1

2φ′ +

1

2φ2 − r

)= ω2 − 1

2xω +

1

16x2− 1

x= 0,

las soluciones de ω estan dadas por

ω =

12 ±

√1

4x2 − 14x2 + 4

x

2=

1

4x± 1√

x.

Por tanto, hay dos soluciones para la EDLR dadas por

y1 = e∫

14x

+ 1√x = x

14 e2√x, y2 = e

∫14x− 1√

x = x14 e−2

√x.

Finalmente, el grupo de Galois de la EDLR es el grupo multiplica-tivo y por lo tanto su componente conexa es abeliana.

Caso 3. Tal como se menciono anteriormente, al descartar el caso 2,debe buscarse que todo polo de r tenga a lo mas orden 2 y el orden der en ∞ debe ser al menos 2. Este es el caso mas complicado debido aque se requieren muchos calculos.

Paso 1. Buscar Ec 6= ∅ y E∞ 6= ∅. Para cada c ∈ Γ′ se define Ec ⊂ Zcomo sigue:

(c1) Si ◦ (rc) = 1, entonces Ec = {12}(c2) Si ◦ (rc) = 2, r = · · ·+ b(x− c)−2 + · · · , entonces

Ec ={

6 + k√

1 + 4b : k = 0,±1,±2,±3,±4,±5,±6}.

Para ∞ se define E∞ ⊂ Z como sigue:(∞) Si ◦ (r∞) = v ≥ 2, r = · · ·+ b(x)2 + · · · , entonces

E∞ =

{6 +

12k

n

√1 + 4b : k = 0,±1,±2,±3,±4,±5,±6

}, n ∈ {4, 6, 12}.

CAPITULO 2 69

Paso 2. Encontrar D 6= ∅ definido por

D =

{d ∈ Z+ : d =

n

12

(e∞ −

∑c∈Γ′

ec

),∀ep ∈ Ep, p ∈ Γ

}.

Primero debe utilizarse n = 4 hasta que el algoritmo proporcione larespuesta o falle, luego n = 6 y n = 12. Si D = ∅, entonces el caso 3 delalgoritmo de Kovacic no se tiene y debe pasarse inmediatamente al caso4. Ahora, si #D > 0, entonces para cada d ∈ D con su respectivo n, seconstruye una funcion racional

θ =n

12

∑c∈Γ′

ecx− c

y un polinomio S definido como

S =∏c∈Γ′

(x− c).

Paso 3. Buscar un polinomio monico P de grado d, para cada d ∈ D,tal que sus coeficientes esten determinados por la recurrencia

P−1 = 0, Pn = −P,

Pi−1 = −SP ′i −((n− i)S′ − Sθ

)Pi − (n− i) (i+ 1)S2rPi+1,

donde i ∈ {0, 1 . . . , n − 1, n}. Si P no existe, entonces el caso 3 delalgoritmo de Kovacic no se tiene y debe pasarse inmediatamente el caso4. Ahora, si P existe, se busca ω tal que

n∑i=0

SiP

(n− i)!ωi = 0,

entonces una solucion de la EDLR esta dada por

y = e∫ω,

donde ω es solucion del polinomio anterior, el cual es de grado n. Si selogra determinar ω con n = 4, entonces el grupo de Galois de la EDLRes el grupo tetraedro, si se determina con n = 6 es el grupo octaedro y


con n = 12 es el grupo icosaedro.

El tercer caso es el mas complicado, puesto que al final se deben re-solver ecuaciones polinomicas de grado 4, 6 o 12. Estos calculos son muygrandes y se requiere la ayuda del computador.

Caso 4. Si no se obtienen soluciones liouvillianas por cualquiera de loscasos anteriores, entonces el algoritmo de Kovacic no puede determinarlas soluciones de la EDLR. Es decir, el grupo de Galois de la EDLR esexactamente SL(2,C).

Ejemplo. Dada la ecuacion diferencial

d2η

dx2= rη, r =

5− 72x

16x2(x− 1)2= − 67

16(x− 1)2+

31

8(x− 1)+

5

16x2− 31

8x.

Por el paso 1 se tiene que Γ = {0, 1,∞}, ◦(r0) = ◦(r1) = 2, ◦(r∞) = 3.Esto indica que la EDLR puede caer en cualquiera de los tres primeroscasos (c2,∞1).

Primero se analiza el caso 1: s = 5 − 72x, t = 16x2(x − 1)2, por lotanto se tiene que r = s

t = − 6716(x−1)2 + 31

8(x−1) + 516x2 − 31

8x , Γ = {0, 1,∞},◦ (r0) = ◦ (r1) = 2, y ◦ (r∞) = deg t−deg s = 3. Es claro que esta EDLRcae dentro del caso 1, (c2,∞1), por (∞1) se tiene que α+

∞ = 0 y α−∞ = 1.Ahora, por (c2) se tiene que para el polo x = 1, b = −67

16 , mientras quepara x = 0, b = 5

16 y esto implica que [√r]1,0 = 0 y α±1,0 /∈ R, por lo

tanto D = ∅. De la misma se hace para los otros 2 casos y se concluyeque D = ∅ y por lo tanto la EDLR cae en el caso 4, indicando que notiene soluciones liouvillianas.

Definicion 2.8. La Ecuacion de Riemann es una ecuacion diferenciallineal homogenea de segundo orden sobre la esfera de Riemann, la cualtiene a lo sumo tres singularidades regulares. Asumiendo a, b y c comopuntos singulares regulares, la Ecuacion de Riemann puede ser escrita

CAPITULO 2 71

en la forma

∂2xy + p(x)∂xy + q(x)y = 0,

p(x) =1− ρ− ρ′

x− a+

1− σ − σ′

x− b+

1− τ − τ ′

x− c,

q(x) =ρρ′(a− b)(a− c)

(x− a)2(x− b)(x− c)+

σσ′(b− a)(b− c)(x− b)2(x− a)(x− c)

+

ττ ′(c− a)(c− b)(x− c)2(x− a)(x− b)

, (2.10)

donde (ρ, ρ′), (σ, σ′) y (τ, τ ′) son los exponentes asociados a los puntossingulares regulares a, b, c respectivamente y deben satisfacer la relacionde Fuchs ρ + ρ′ + σ + σ′ + τ + τ ′ = 1. Las cantidades ρ′ − ρ, σ′ − σ yτ ′−τ son llamados diferencia de exponentes de la Ecuacion de Riemann(2.10) en a, b y c respectivamente; y seran denotados por λ, µ y ν talcomo sigue:

λ = ρ′ − ρ, µ = σ′ − σ, ν = τ ′ − τ.

El conjunto completo de soluciones de la Ecuacion de Riemann (2.10)es denotado por el sımbolo

y = P

a b cρ σ τ xρ′ σ′ τ ′

y se nombra como Funcion P de Riemann.

Ahora se describe brevemente el Teorema de Kimura, el cual nos da lascondiciones suficientes y necesarias para la integrabilidad de la ecuaciondiferencial de Riemann.

Teorema 2.22. (Kimura) La ecuacion diferencial de Riemann (2.10)es integrable si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes condi-ciones:

(i) Al menos uno de los cuatro numeros λ+µ+ν, −λ+µ+ν, λ−µ+ν,λ+ µ− ν es un entero par.

(ii) Los numeros λ (o −λ), µ (o −µ) y ν (o −ν) pertenecen (en ordenarbitrario) a algunas de las siguientes quince familias.


1 1/2 + l 1/2 +m numero complejo arbirtrario

2 1/2 + l 1/3 +m 1/3 + q

3 2/3 + l 1/3 +m 1/3 + q l +m+ q par

4 1/2 + l 1/3 +m 1/4 + q

5 2/3 + l 1/4 +m 1/4 + q l +m+ q par

6 1/2 + l 1/3 +m 1/5 + q

7 2/5 + l 1/3 +m 1/3 + q l +m+ q par

8 2/3 + l 1/5 +m 1/5 + q l +m+ q par

9 1/2 + l 2/5 +m 1/5 + q l +m+ q par

10 3/5 + l 1/3 +m 1/5 + q l +m+ q par

11 2/5 + l 2/5 +m 2/5 + q l +m+ q par

12 2/3 + l 1/3 +m 1/5 + q l +m+ q par

13 4/5 + l 1/5 +m 1/5 + q l +m+ q par

14 1/2 + l 2/5 +m 1/3 + q l +m+ q par

15 3/5 + l 2/5 +m 1/3 + q l +m+ q par

Donde l,m, q son numeros enteros.

Usando la transformacion de Moebius, tambien conocida como susti-tucion homografica, en la ecuacion de Riemann (2.10), podemos trasladarlos puntos x = a, b, c a los puntos x′ = a′, b′, c′, respectivamente:

x′ =px+ q

rx+ s.

En particular, podemos ubicar las singularidades x = a, b, c en en x =0, 1,∞ para obtener la siguiente Ecuacion de Riemann:

∂2xy +

(1− ρ− ρ′

x+

1− σ − σ′

x− 1

)∂xy (2.11)

+

(ρρ′

x2+

σσ′

(x− 1)2+ττ ′ − ρρ′σσ′

x(x− 1)

)y = 0,

donde el conjunto de soluiciones esta dado por la funcion P de Riemman

y = P

0 1 ∞ρ σ τ xρ′ σ′ τ ′

.

Algunas veces es muy util trasladar los puntos x = 0, 1,∞ a los puntos

CAPITULO 2 73

x′ = −1, 1,∞ en la ecuacion de Riemann’s (2.11), por ejemplo, estable-ciendo ρ = 0, podemos tener la siguiente relacion:

P

0 1 ∞0 σ τ x12 σ′ τ ′

= P

−1 1 ∞σ σ 2τ

√x

σ′ σ′ 2τ ′

.

Podemos transformar la ecuacion diferencial (2.11) a la Ecuacion Hiper-geometrica de Gauss tal como sigue:

P

0 1 ∞ρ σ τ xρ′ σ′ τ ′

= xρ(x− 1)σP

0 1 ∞0 0 κ x

1− γ γ − κ− β β

,

donde κ = ρ+ σ + τ , β = ρ+ σ + τ ′ y γ = 1 + ρ− ρ′. Entonces

y = P

0 1 ∞0 0 κ x

1− γ γ − κ− β β

,

es el conjunto de soluciones de la Ecuacion Hipergeometrica de Gauss

∂2xy +

(γ − (κ+ β + 1)x)

x(1− x)∂xy −

κβ

x(1− x)y = 0, (2.12)

donde la relacion de Fuchs se satisface trivialmente y las diferencias deexponentes estan dados por

λ = 1− γ, µ = 1− γ − β, ν = β − κ.

Tal como podemos ver, la estructura Galoisiana de la Ecuacion de Rie-mann no cambia con la Transformacion de Moebius.

La Ecuacion Hipergeometrica confluente es una forma degenerada dela Ecuacion Hipergeometrica donde dos de los tres puntos singularesregulares se unen para transformarse en un punto singular irregular.Por ejemplo, llevando el punto 1 al punto ∞ en una forma adecuada, laEcuacion Hipergeometrica (2.12) tiene las dos formas clasicas conocidas

• La forma de Kummer

∂2xy +

c− xx

∂xy −a

xy = 0 (2.13)


• La forma de Whittaker

∂2xy =

(1

4− κ

x+

4µ2 − 1

4x2

)y (2.14)

donde los parametros de las dos ecuaciones estan relacionados comosigue: κ = c

2 −a y µ = c2 −

12 . Ademas, usando el teorema 2.9 con n = 2,

podemos ver que la Ecuacion de Whittaker esta en la forma reducida dela Ecuacion de Kummer. La estructura Galoisiana de estas ecuacioneses bien conocida debido a los trabajos de Martinet & Ramis y Duval &Loday-Richaud.

Teorema 2.23. (Martinet & Ramis) La ecuacion diferencial deWhittaker (2.14) es integrable si y solo si solo una de las siguientescondiciones se satisfacen:

• κ+ µ ∈ 12 + N,

• κ− µ ∈ 12 + N,

• −κ+ µ ∈ 12 + N, o

• −κ− µ ∈ 12 + N.

La Ecuacion de Bessel es un caso particular de la ecuacion Hiper-geometrica confluente y esta dada por

∂2xy +

1

x∂xy +

x2 − n2

x2y = 0. (2.15)

Usando la transformacion del teorema 2.9 para n = 2, la forma re-ducida de la ecuacion de Bessel es un caso particular de la ecuacion deWhittaker. Por lo tanto llegamos al siguiente resultado, el cual es bienconocido.

Corolario 2.2. La ecuacion diferencial de Bessel (2.15) es integrablesi y solo si n ∈ 1

2 + Z.

La integrabilidad de la Ecuacion de Bessel, cuando el parametro es unsemi-entero, es un resultado muy conocido y se debe a Daniel Bernoulli.

CAPITULO 2 75

La siguiente ecuacion diferencial se conoce como Ecuacion de Airy :

∂2xy′ = xy, (2.16)

la cual solo tiene una singularidad, que es de tipo irregular, en x =∞.La ecuacion de Airy (2.16) se transforma en la Ecuacion de Bessel conparametro n = 1/3 /∈ Z + 1

2 , el cual claramente no es un semi-entero,lo cual significa que de esta ecuacion de Bessel no es integrable y por lotanto concluimos que la Ecuacion de Airy (2.16) no es integrable.

Al hacer doble confluencia en la Ecuacion Hipergeometrica (2.12),llevando los puntos “0 y 1 a ∞ en una forma adecuada, se tiene laEcuacion del cilindro parabolico (tambien conocida como la Ecuacionde Weber):

∂2xy =

(1

4x2 − 1

2− n

)y, (2.17)

la cual es integrable si y solo si n ∈ Z. Si hacemos n = b2−c2a −

12 y el

cambio de variable x 7→√

2a(ax + b), tenemos la forma de Rehm de la

Ecuacion de Weber:

∂2xy =

(ax2 + 2bx+ c

)y, a 6= 0, (2.18)

ası que b2−ca es un entero par.

La Ecuacion Hipergeometrica, incluyendo confluencias, es caso particu-lar de la ecuacion diferencial

∂2xy+

L

Q∂xy+

λ

Qy, λ ∈ C, L = a0+a1x, Q = b0+b1x+b2x

2. (2.19)

Los polinomos ortogonales clasicos y los polinomios de Bessel son solu-ciones de la ecuacion diferencial (2.19).

2.4 Ejercicios

1. Sea L/K siendo K = C y y′′ = 0. Demuestre que G(L/K) ≈ (C,+).

2. Sea L/K siendoK = C(x) y y′′ = (x4−2x)y. Demuestre queG(L/K)es triangularizable, conexo y no abeliano, y que no existe solucionalgebraica para dicha ecuacion diferencial.


3. Sean L/K y M/F tales que K = C(x) y F = C(ex). Demuestre queG(L/K) ≈ G(M/F ).

4. Demuestre que si r(x) ∈ C[x] y es de grado impar, entoncesG(L/C(x)) =SL(2,C).

5. Sea L/K siendo K = C y y′′ + y = 0. Demuestre que G(L/K) ≈(C∗, ∗). ¿El resultado se mantiene para K = C(x)? Justifique surespuesta.

6. Demuestre en detalle la transformacion de z′′+az′+bz = 0 a y′′ = ryy el corolario 2.1.

7. Aplique el Algoritmo de Kovacic a la ecuacion y′′ =(x2 + 6

x2 − 5).

8. Aplique la Algebrizacion a la ecuacion y′′ =(

sinhx1+coshx

)y

9. Aplique la transformacion de Darboux a y′′ = −k2y para k = 1, 2, 3.

10. Encuentre un sistema lineal X ′ = AX, donde A ∈ M2(C(x)) yTrA 6= −2x, que sea equivalente a y′′ + 2xy′ + 5y = 0.

CAPITULO 3

SISTEMAS DINAMICOS

En este capıtulo se aplicaran los conceptos y resultados de los capıtulosanteriores. Este capıtulo esta dividido en tres secciones: Campos Vecto-riales Polinomiales, Sistemas Hamiltonianos y Ecuacion de Schrodinger.

Para la primera seccion empezaremos mencionando que Darboux en 1878con su trabajo estudio la posible relacion entre las curvas algebraicasy las integrales primeras para sistemas diferenciales polinomiales en elplano. En particular, el probo que si un sistema admite un numero su-ficiente de curvas entonces se puede construir una funcion tipo Darbouxusando tales curvas. La funcion en mencion juega el papel de factorintegrante del sistema y su existencia es muy importante en el problemade centro–foco. Un resultado importante sobre la teoria de Darboux esdebido a Michael Singer, experto tambien en Teorıa de Galois Difer-encial. Singer probo que el metode de Darboux permite calcular lasintegrales primeras Liouvillianas de sistemas diferenciales polinomiales.Esta seccion se basa en las referencias [11, 13], en donde hacemos enfasisen los campos vectoriales polinomiales transformables a ecuaciones deRiccati para luego estudiarlos a traves de la Teorıa de Galois Diferencial.

Para la segunda seccion consideraremos la teorıa de Galois en el contexto

77


de los sistemas dinamicos, conocida como teorıa de Morales-Ramis. Enla tesis doctoral de Juan J. Morales-Ruiz Tecnicas algebraicas para la nointegrabilidad de Sistemas Hamiltonianos (1989), supervisada por CarlesSimo, se aplico por primera vez la Teorıa de Galois diferencial en la no in-tegrabilidad de un sistema hamiltoniano, sin embargo simultaneamente,Churchill y Rod obtuvieron resultados parecidos. Mas tarde, graciasa una estancia postdoctoral de Morales-Ruiz en Francia y trabajandocon Jean Pierre Ramis se gesta lo que hoy se conoce como teorıa deMorales-Ramis (1998). Sin embargo, la teorıa de Morales-Ramis tuvocomo antecedentes los trabajos de Poincare, Kovalewskaya, Painleve yZiglin. En 1982 Ziglin utiliza la estructura de la ecuacion en variacionesde Poincare (sobre una curva integral particular) como una herramientafundamental para detectar la no integrabilidad de un sistema Hamilto-niano. Esta seccion se basa en las referencias [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9].

La tercera seccion corresponde a las aplicaciones de la teorıa de Galoisdiferencial en mecanica cuantica. En particular se presenta la integrabil-idad de las ecuaciones de Schrodinger con potenciales que son invariantesbajo la transformacion de Darboux, conocidos como Potenciales invari-antes de forma. Los resultados presentados aquı corresponden a mi tesisde doctorado y artıculos derivados de esta, en donde se estudia la in-tegrabilidad en sentido Galoisiano de la ecuacion de estacionaria y norelativista de Schrodinger, ver [1, 2, 12]. Recientemente hemos obtenidosresultados Galoisianos en integrabilidad de ecuaciones diferenciales par-ciales, los cuales no fueron presentados en el curso de la EMALCA 2014y tampoco se presentaran en estas notas, pero el lector interesado puedeconsultar las referencias [10, 16, 17].

3.1 Campos vectoriales polinomiales

La teorıa de integrabilidad Darboux funciona para ecuaciones diferen-ciales ordinarias polinomiales complejas (y por supuesto en particularpara las reales). Consideramos el sistema diferencial polinomial en C2

definido por

dx

dt= x = P (x, y),

dy

dt= y = Q(x, y), (3.1)

con P,Q ∈ C[x, y] y la variable independiente t puede ser real o compleja.

CAPITULO 3 79

En lo siguiente denotamos por δA el grado del polinomio A. Definimosm = max{δP, δQ} el grado del sistema (3.1).

Asociamos al sistema diferencial polinomial (3.1) en C2 el campo vecto-rial polinomial

X = P (x, y)∂

∂x+Q(x, y)

∂

∂y, (3.2)

y algunas veces escribimos X = (P,Q).

Recordemos que una variedad algebraica es un polinomio en varias vari-ables y las curvas algebraicas, punto de partida de la teorıa de inte-grabilidad Darboux, son los ceros de las variedades algebraica. Porejemplo P (x, y) = x2 + y2 − 1 es una variedad algebraica y la curvaalgebraica corresponde a los puntos sobre la circunferencia unidad, esdecir P (x, y) = 0.

Definicion 3.1. Una curva algebraica irreducible f(x, y) = 0 en C2 conf ∈ C[x, y] es una curva algebraica invariante del sistema polinomial(3.1) si

f |f=0 = 0 o Xf =∂f

∂xP +

∂f

∂yQ = Kf, (3.3)

para algun polinomio K ∈ C[x, y] denominado el cofactor de la curvaf = 0.

En la definicion 3.1 notamos que debido a que el campo vectorial poli-nomial tiene grado m, entonces cualquier cofactor tiene como maximogrado a m − 1 (y es independiente del grado de la curva f = 0). Estoreduce el problema de calcular curvas invariantes de un sistema dado deun problema de algebra lineal al espacio de los cofactores.

Observamos que para los puntos de la curva f = 0 el lado derecho de(3.3) es cero. Esto significa que el gradiente (∂f/∂x, ∂f/∂y) es ortog-onal al campo vectorial (P,Q) en esos puntos. Sin embargo el campovectorial (P,Q) es tangente a la curva f = 0. De aquı se tiene quela curva f = 0 es formada por trayectorias del campo vectorial (P,Q).Esto explica el por que la curva algebraica f = 0 es invariante bajo el


flujo del campo vectorial (P,Q).

Los sistemas polinomiales reales son muy especiales porque cuando ten-gan una curva algebraica invariante compleja, tambien tendran comoinvariante la conjugada.

Definicion 3.2. Una integral primera del campo vectorial asociadoal sistema (3.1) sobre un subconjunto abierto U de C2 es una funcionanalıtica no constante H : U → C la cual es constante sobre toda curvasolucion (x(t), y(t)) de (3.1) sobre U .

Lo que la definicion 3.2 afirma es que H (x(t), y(t)) = c donde c ∈ Cpara todo tiempo t para el cual la solucion (x(t), y(t)) esta definida so-bre U . De (3.2) tenemos que H es una integral primera en U si y solosi XH ≡ 0 sobre U . Decimos que el campo vectorial polinomial (3.1) esintegrable sobre U si existe una integral primera sobre U .

Definicion 3.3. Un invariante del campo vectorial polinomial real aso-ciado a (3.1) definido en el subconjunto abierto U de C2 es una funcionanalıtica no constante I en las variables x, y y t tales que I(x(t), y(t), t)es constante sobre toda curva solucion (x(t), y(t)) del sistema (3.1) con-tenida en U .

Para un campo vectorial polinomial la existencia de una integral primeraH(x, y) implica que trazando las curvas H(x, y) = c podemos describircompletamente el retrato de fases de tal sistema. Mientras, la existenciade un invariante nos dara informacion sobre el α–lımite o el ω–lımite delas orbitas del sistema, donde el tiempo t es real.

Definicion 3.4. Una funcion analıtica R : U → C la cual no esidenticamente cero sobre U se denomina un factor integrante del sis-tema (3.1) si satisface

XR = −div(X)R,

en U .

De la definicion 3.4 se tiene que, como es usual, la divergencia del campovectorial X esta definida por div(X) = div(P,Q) = ∂P

∂x + ∂Q∂y . Supong-

CAPITULO 3 81

amos que U es simplemente conexo, entonces la integral primera asoci-ada al factor integrante R es dada por

H(x, y) =

∫R(x, y)P (x, y)dy + f(x), (3.4)

satisfaciendo la condicion ∂H∂x = −RQ.

A partir de la definicion 3.4, tenemos que X(R) = −div(P,Q)R. Estoimplica que R = 0 es una curva invariante (en general no algebraica) deX teniendo como cofactor el polinomio −div(P,Q). En general, es masfacil buscar una expresion para el factor integrante inverso

V =1

R: W → C con W = U \ {R = 0},

que una expresion para el factor integrante de la integral primera.

Otra nocion util en la teorıa de integrabilidad Darboux es la nocion defactor exponencial, la cual se debe a Colin Christopher.

Ejemplo. El sistema polinomial

x = x,y = (1 + ε)y + x,

(3.5)

para ε 6= 0 tiene dos curvas invariantes: f1 = x = 0 con cofactor K1 = 1y f2 = x+ εy = 0 con cofactor K2 = 1+ ε. Notese que ε→ 0 implica quelas dos curvas se colapsan en una. En este caso decimos que la curvaf1 = 0 tiene multiplicidad 2.

Definicion 3.5. Sean h, g ∈ C[x, y] primos relativos en el anillo C[x, y].La funcion exp (g/h) se denomina un factor exponencial del sistema poli-nomial (3.1) si para algun polinomioK ∈ C[x, y] de grado a lo sumom−1satisface la ecuacion

X(

exp(gh

))= K exp

(gh

). (3.6)

Decimos que K es el cofactor del factor exponencial exp (g/h).


Teorema 3.1. Si exp (g/h) es un factor exponencial con cofactor Kpara el sistema polinomial (3.1) y si h no es una constante, entoncesh = 0 es una curva algebraica invariante con cofactor Kh, y g satisfacela ecuacion Xg = gKh + hK.

Debemos notar que los factores exponenciales de la forma exp(g/h)(res-pectivamente exp(g)) aparecen cuando la curva algebraica invari-ante h = 0 (respectivamente la recta invariante en el infinito cuandoproyectivizamos el campo vectorial X) tiene multiplicidad geometricamas grande que 1.

En el ejemplo anterior notamos que cuando las curvas f1 = 0 y f2 = 0se colapsan (ε = 0) aparece el factor exponencial exp (y/x) con cofactorK = 1.

La existencia de puntos singulares mejora la version original del Teo-rema de Darboux (Teorema 3.2), el cual se vera mas adelante.

Denotamos por Cm−1[x, y] el espacio de todos los polinomios complejosde grado m− 1 y tambien notamos que dimCCm−1[x, y] = m(m+ 1)/2.Sea

K(x, y) =

m−1∑i+j=0

aijxiyj ∈ Cm−1[x, y].

Consideramos el isomorfismo

K −→ (a00, a10, a01, . . . , am−1,0, am−2,1, . . . , a0,m−1),

es decir, identificamos el espacio vectorial lineal Cm−1[x, y] con Cm(m+1)/2.

Definicion 3.6. Decimos que r puntos singulares (xk, yk) ∈ C2, parak = 1, . . . , r, del sistema polinomial real (3.1), son puntos singulares in-dependientes con respecto a Cm−1[x, y] si la interseccion de los r hiper-planos

m−1∑i+j=0

aijxikyjk = 0, k = 1, . . . , r,

en Cm(m+1)/2, es un subespacio lineal de dimension [m(m+ 1)/2]− r.

CAPITULO 3 83

Definicion 3.7. Un punto singular (x0, y0) del sistema polinomial (3.1)es debil si cumple la condicion div(P,Q)(x0, y0) = 0.

La presentacion de la teorıa de integrabilidad Darboux puede ser resum-ida en el Teorema 3.2 y hasta lo que sabemos, es la version mas reciente.Esta version es original sobre los invariantes generalizados. Las otrasafirmaciones son bien conocidas.

El siguiente teorema sera mencionado como el Metodo de Darboux.

Teorema 3.2. (Metodo de Darboux) Supongamos que el sistemapolinomial (3.1) de grado m admite p curvas algebraicas invariantes ir-reducibles fi = 0 con cofactores Ki para i = 1, . . . , p; q factores exponen-ciales Fj = exp(gj/hj) con cofactores Lj para j = 1, . . . , q; y r puntossingulares independientes (xk, yk) ∈ C2 tales que fi(xk, yk) 6= 0 parai = 1, . . . , p y k = 1, . . . r. Por supuesto, toda hj factoriza en productode factores f1, · · · , fq, excepto si es igual a 1. Entonces las siguientesafirmaciones se mantienen.

(a) Existen λi, µi ∈ C no todas cero tales que

p∑i=1

λiKi +

q∑i=1

µjLj = 0, (Dfi)

si y solo si la funcion (multivaluada)

H(x, y) = fλ11 . . . f

λpp Fµ1

1 . . . Fµqq , (3.7)

es una integral primera del sistema (3.1). Mas aun, para sistemasreales la funcion (3.7) es real.

(b) Si p + q + r = [m(m + 1)/2] + 1, entonces existen λi, µj ∈ C notodas cero satisfaciendo la condicion (Dfi).

(c) Si p + q + r ≥ [m(m + 1)/2] + 2, entonces el sistema (3.1) tieneuna integral primera racional, y en consecuencia todas las orbitasdel sistema estan contenidas en curvas algebraicas invariantes.


(d) Existen λi, µj ∈ C no todas cero tales que

p∑i=1

λiKi +

q∑j=1

µjLj + div(P,Q) = 0, (Dif ),

si y solo si la funcion (3.7) es un factor integrante del sistema(3.1). Mas aun, para sistemas reales la funcion (3.7) es real.

(e) Si p+q+r = m(m+1)/2 y los r puntos singulares independientesson debiles, entonces existen λi, µj ∈ C no todas cero satisfaciendoal menos una de las condiciones (Dfi) o (Dif ).

(f) Existen λi, µi ∈ C no todas cero tales que

p∑i=1

λiKi +

q∑j=1

µjLj + s = 0, (Din)

con s ∈ C \ {0}, si y solo si la funcion (multivaluada)

I(x, y, t) = fλ11 · · · f

λpp Fµ1

1 · · ·Fµqq exp(st) (3.8)

es un invariante del sistema (3.1). Mas aun, para sistemas realesesta funcion es real.

Sea V un factor integrante inverso C1 definido sobre un subconjuntoabierto W de C2.

(g) Existen λi, µi ∈ C no todas cero tales que

p∑i=1

λiKi +

q∑j=1

µjLj + ρdiv(P,Q) + s = 0, (Dgin)

con s ∈ C \ {0} y ρ ∈ C si y solo si la funcion (multivaluada)

G(x, y, t) = V ρfλ11 · · · f

λpp Fµ1

1 · · ·Fµqq exp(st), (3.9)

es un invariante del sistema (3.1) y se denominara invariante gen-eralizado. Mas aun, para sistemas reales esta funcion es real.

CAPITULO 3 85

(h) Si p+ q = [m(m+ 1)/2]− 1, entonces existen λi, µi ∈ C no todoscero satisfaciendo al menos una de las condiciones (Dfi), (Dif ),(Din) o (Dgin).

Definicion 3.8. Una funcion de la forma

fλ11 · · · f

λpp exp

(g1

h1

)µ1

· · · exp

(gqhq

)µq, (3.10)

se denomina una funcion de Darboux. Si el sistema (3.1) tiene unaintegral primera o un factor integrante de la forma (3.10) entonces elsistema (3.1) se denomina Darboux integrable.

Denotemos porK0 las integrables polinomiales, K1 las integrales racionales,K2 las integrales de Darboux (factor integrante R = U

V , N = 1), K3

las integrales elementales (R =(UV

)N), K4 las integrales Liouvillianas

(R =∏fλii exp(gi/hi)), y por K5 otros tipos de integrales. De esta

forma se tiene la siguiente relacion

K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ K4 ⊂ K5.

Los siguientes son algunos resultados conocidos en la teorıa de integra-bilidad Darboux.

• Prelle y Singer (1983). Si H es una integral primera elemental,entonces su factor integrante es

R =

(U

W

)1/N

, U, V ∈ C[x, y], N ∈ Z+.

Es decir, integrales primeras elementales se pueden calcular a par-tir de funciones Darbouxianas.

• Singer (1992). Si H es Liouvilliana, entonces R es Darbouxiana.Es decir, integrales Liouvillianas son integrales de funciones Dar-bouxianas.


• Llibre y Pantazi en 2004. Si H es Darbouxiana, entonces

R ∈{

1∏pi=1 fif

nii

,U(x, y)∏pi=1 fif

nii

}.

Uno de los problemas mas difıciles relacionados con la existencia de lascurvas invariantes y la integrabilidad de un sistema se debe a Poincare:

• Poincare (1891). Dar un algoritmo efectivo para calcular elgrado maximo de las curvas invariantes algebraicas de un campofijado.

• Jouanolou (1979). Para un campo dado, el maximo grado delas fi (irreducibles) es acotado. El campo tiene o bien un numerofinito de curvas o tiene una integral primera racional (todas lasorbitas del sistema estan contenidas sobre curvas algebraicas.

• Chavarriga y Llibre en (2001). Si la curva f = 0 es no singu-lar, entonces δf ≤ δX − 1.

• Carnicer & Campillo, Cerveau & Lins Neto. Otras cotassobre el grado de la curva.

Se pensaba que cuando los sistemas de grado δX tuviesen una curva degrado arbitrario, tendrıan tambien una integral primera racional, comoindica el ejemplo siguiente.

Ejemplo. (Integral primera racional) El sistema

x = νx, y = µy, ν, µ ∈ Z+

tiene la curva invariante xµ − αyν = 0, α ∈ C, y la integral primeraH = yν

xµ , lo cual indica que H es una integral racional.

En esta direccion hay el siguiente problema abierto:

CAPITULO 3 87

Problema. No se sabe si existe una cota uniforme del grado de lascurvas algebraicas de todos los campos polinomiales que no son Darbouxintegrable.

Para los Darboux integrables se sabe que no existe esta cota: Olagnier(2001), Christopher & Llibre (2002), Chavarriga & Grau (2003).

Giacomini, Llibre & Viano (1996), han relacionado la existencia del fac-tor integrante con la presencia de los ciclos lımites:

Teorema 3.3. Sea X ∈ C1 definido en un abierto U ⊂ R2, V : U → R,donde V es el inverso del factor integrante. Si γ es un ciclo lımite deX contenido en U , entonces

γ ⊂ Σ = {(x, y) ∈ U : V (x, y) = 0}.

El siguiente resultado es debido a Ecalle (1992) e Ilyanshenko (1991).

Teorema 3.4. Cualquier campo polinomial tiene un numero finito deciclos lımites.

Llibre y Rodrıguez (2000) obtuvieron el siguiente resultado, el cual cor-responde a una de las preguntas abiertas de Hilbert.

Teorema 3.5. Toda configuracion finita de ciclos lımites se puede re-alizar con campos polinomiales.

En virtud del Teorema 3.5 y resultados de los problemas inversos, Llibrey Pantazi demostraron que la siguiente conjetura, planteada por Winkel,es falsa.

Conjetura. Para una curva dada (algebraica) f = 0 de grado δf >= 4no existen campos polinomiales X de grado δX ≤ 2δf − 1 tales quetengan f = 0 invariante y que tengan exactamente los ovalos de f = 0como ciclos lımites.

Considerando la curva

f = f(x, y) =1

4+ x− x2 + px3 + xy + x2y2 = 0 , (3.11)


de grado δf = 4 (0 < p < 1/4) que tiene tres componentes: un ovalo ydos componentes homeomorfas a rectas. Ademas la curva f = 0 es nosingular.

En el Teorema 3.6 se demuestra que el ovalo de la curva (3.11) es el unicociclo lımite para una familia 13–parametrica de campos polinomiales. Seobserva que 2δX − 1 = 7 > 5 y esto demuestra que la conjetura no escierta.

Teorema 3.6. (Familia 6–parametrica) Sean a, b, c, d, e y pnumeros reales arbitrarios. Entonces, la curva algebraica f = 0 definidapor (3.11) es invariante por la familia 6–parametrica de los campos vec-toriales polinomicos de grado 5 dados por

P = (be− cd) + [c+ 4(be− cd)− 2a(d2 + e2)]x− by +

4[c+ (a+ c)d− be]x2 − 4[b+ cd− (a+ b)e]xy −2[a+ 2c+ 2p(cd− be)]x3 + 4[b+ c− a(d2 + e2)]x2y −2(a+ 2b)xy2 + 4cp x4 + 4(2ad− bp)x3y −4(cd− 2ae− be)x2y2 − 4ax4y + 4cx3y2 − 4(a+ b)x2y3,

Q = 2a(d2 + e2)− bd− ce+ [b− 4((a+ b+ ad)d+ (c+ ae)e)]x+

[c+ 2a(d2 − 2e+ e2)]y − 4(−c+ ad+ bd− 2ae+ ce)xy +

2[a+ 2b+ 2d(2a+ b) + 2ce+ 3ap(d2 + e2)]x2 + 2a(1− 2e)y2 −4(a+ b+ 3adp+ bdp+ cep)x3 + 2(a+ 2b− 2c− 6aep)x2y +

4(−a+ c+ ad2 + ae2)xy2 + 2ay3 +

2(3a+ 2b)p x4 + 4cp x3y − 2(4ad+ 2bd+ 2ce− 3ap)x2y2 −8aexy3 + 4(a+ b)x3y2 + 4cx2y3 + 4axy4.

Adicionalmente, si ac 6= 0, 0 < p < 1/4 y el punto (d, e) esta al interiorde la region acotada limitada por el ovalo de la f = 0, entonces el unicociclo lımite de este campo es el algebraico definido por el ovalo de lacurva f = 0.

Ahora nos ocuparemos del estudio de los campos vectoriales polinomi-ales asociados a ecuaciones de Riccati.

CAPITULO 3 89

Consideremos el campo polinomial

v =dv

dt= S0(x) + S1(x)v + S2(x)v2,

x =dx

dt= S3(x),

con S0, S1, S2, S3 ∈ C[x]. La foliacion asociada a este campo es unaecuacion de Riccati, como las consideradas en el capıtulo 2. En partic-ular, podemos considerar S3(x) = N(x), S2(x) = −N(x), S1(x) = 0 yS0(x) = T (x), lo cual nos conduce al campo vectorial polinomial

dv

dt= T (x)−N(x)v2,

dx

dt= N(x),

(3.12)

de grado m = max{δT (x), δN(x)+2}. Notamos que la foliacion asociadaal sistema (3.12) esta dada por

v′ =dv

dx=T (x)

N(x)− v2. (3.13)

Del capıtulo anterior sabemos que la ecuacion de Riccati (3.13) se trans-forma en la ecuacion diferencial lineal reducida

y′′ =T (x)

N(x)y,

mediante el cambio de variable

v = (ln y)′ =y′

y.

Consideremos ahora los campos vectoriales polinomiales

X := (T −Nv2)∂

∂v+N

∂

∂x, (3.14)

y

Xr :=

(T

N− v2

)∂

∂v+

∂

∂x. (3.15)


Los campos vectoriales polinomiales (3.14) y (3.15) son algebraicamenteequivalentes, ambos estan asociados al sistema (3.12) y a la ecuacion deRiccati (3.13), compartiendo los mismos elementos de la integrabilidadDarbouxiana (integrales primeras, cofactores, curvas invariantes, etc..).Sin embargo, son dinamicamente distintos, un campo es polinomial y elotro es racional.

En el siguiente teorema se presentan los elementos de la integrabilidadDarbouxiana para los campos vectoriales polinomiales (3.14) y (3.15).

Teorema 3.7. Sean y1(x) una solucion de la ecuacion diferencial

Ny′′ − Ty = 0, T,N ∈ C[x]

y v1(x) la derivada logarıtmica de y1(x). Entonces se tienen las sigu-ientes afirmaciones

• Un curva invariante para los campos vectoriales X y Xr esta dadapor

f(v, x) = −v + v1(x)

con cofactorK(v, x) = −v − v1(x).

• Un factor exponencial para los campos vectoriales X y Xr estadado por

F (v, x) = e∫v1(x)dx = cy1(x), c ∈ C,

con cofactorL(v, x) = v1(x).

• Un factor integrante de Darboux generalizado para los campos vec-toriales X y Xr esta dado por

R(v, x) =e−2

∫v1(x)

(−v + v1(x))2 .

Demostracion. Notemos que v1(x) es una solucion de la ecuacion deRiccati (3.13). Probaremos cada afirmacion de acuerdo a cada item.

CAPITULO 3 91

• Mediante calculos directos, usando la definicion 3.1, se prueba quelos campos vectoriales polinomiales (3.14) y (3.15) tienen la curvainvariante

f(v, x) = −v + v1(x)

con cofactor

K(v, x) = −v − v1(x).

Notemos que la curva f is polinomial en la variable v, pero nonecesariamente es polinomial en la variable x.

• Mediante calculos directos, usando la definicion 3.5, se prueba quelos campos vectoriales polinomiales (3.14) y (3.15) admiten el fac-tor exponencial

F (v, x) = e∫v1(x)dx = cy1(x), c ∈ C(x)

con cofactor

L(v, x) = v1(x).

• Notemos que tanto el campo vectorial polinomial (3.14) como elcampo vectorial polinomial (3.15), tienen divergencia

div(X) = div(Xr) = −2v.

Por lo tanto se tiene que

−2K−2L+div(X) = −2K−2L+div(Xr) = −2K−2L−2v = 0.

Similarmente, por el item (b) del teorema 3.2 se concluye que

1

R= f2F 2,

por lo tanto

R =1

f2F 2,

es un factor integrante de los campos vectoriales polinomiales (3.14)y (3.15). 2


Un hecho importante es que la teorıa de Picard-Vessiot, en particular,el algoritmo de Kovacic, provee informacion sobre la naturaleza de lasintegrales primeras y factores integrantes de campos vectoriales asocia-dos a la ecuacion v′ = r(x)− v2 desde el conocimiento de sus solucionesv1, v2, v3. Mas precisamente, a partir de los tres casos integrables del al-goritmo de Kovacic obtenemos los siguientes tipos de integrales primeras.

Teorema 3.8. Consideremos la ecuacion de Riccati v′ = r(x) − v2 yv1(x) una solucion algebraica. El factor integrante se obtiene como

R1 =e−2

∫v1(x)dx

(−v + v1(x))2=

1

y21(x)(−v + v1(x))2

, v1 =y′1y1. (3.16)

Ademas, de acuerdo al algoritmo de Kovacic se tienen los siguientescasos para integrales primeras:

C. 1: Se tienen dos posibilidades:

- Si solamente v1 ∈ C(x) entonces la integral primera H(v, x)es del tipo Darboux–Schwarz–Christoffel.

- Si ambas soluciones v1, v2 ∈ C(x) entonces la integral primeraH(ø, x) es del tipo Darboux. En particular, a partir del teo-rema 3.7 se construyen dos factores integrantes R1 y R2 ypor lo tanto H2 = R1/R2 es una integral primera de X. Asıtendremos que

H(v, x) =(−v + v2(x))

(−v + v1(x))e∫

[(v2(x)−v1(x))dx].

C. 2: Si v1 es una solucion de un polinomio cuadratico en v, entoncesuna integral primera H(v, x) es de tipo hiperelıptico.

C. 3: Si todas las soluciones v1, v2, v3 son algebraicas sobre C(x), en-tonces X admite una integral primera racional.

Para ilustrar los teoremas anteriores se presentan los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Consideremos el campo vectorial polinomial

X = −v2 ∂

∂v+

∂

∂x.

CAPITULO 3 93

Este campo proviene del sistema

v = −v2

x = 1

y una foliacion asociada a este campo es la ecuacion de Riccati v′ = −v2,la cual se transforma en la ecuacion diferencial de segundo orden y′′ = 0,mediante el cambio de variable v = (ln y)′. De esta forma tenemos comosoluciones de ambas ecuaciones a

y = c1 + c2x, v =c2

c1 + c2x.

Esto nos conlleva a tener los siguientes elementos de la integrabilidadDarbouxiana del campo vectorial polinomial X.

• Curva invariante

f(v, x) = −v +c2

c1 + c2x

con cofactorK(v, x) = −v − c2

c1 + c2x.

• Factor exponencialF (v, x) = c1 + c2x

con cofactorL(v, x) =

c2

c1x+ c2x.

• Factor integrante de Darboux generalizado

R(v, x) = 1

(c1+c2x)2(−v+

c2c1+c2x

) .• Integral primera

H(v, x) =vx− 1

v.

Ejemplo. Consideremos el campo vectorial polinomial

X =(2 + x2(1− v2)

) ∂∂v

+ x2 ∂

∂x.


Este campo proviene del sistema polinomial

v = 2 + (1− v2)x2

x = x2

y una foliacion asociada a este campo es la ecuacion de Riccati

v′ = 1 +2

x2− v2

la cual se transforma en la ecuacion diferencial de segundo orden

y′′ =

(1 +

2

x2

)y, v = (ln y)′.

De esta forma tenemos como soluciones de ambas ecuaciones a

y = c1(x− 1) ex

x− c2

(x+ 1)e−x

x, v =

y′

y.

Esto nos conlleva a tener los siguientes elementos de la integrabilidadDarbouxiana del campo vectorial polinomial X, siendo

w(x) =c1e

x − c2e−x

c1ex + c2e−x.


f(v, x) = −v + w(x) +w′(x) + 1

x2

w(x)− 1x

,

con cofactor

K(v, x) = −v − w(x)−w′(x) + 1

x2

w(x)− 1x

.

• Factor exponencial

F (v, x) =(c1e

x + c2e−x)(w(x)− 1

x

).

con cofactor

L(v, x) = w(x) +w′(x) + 1

x2

w(x)− 1x

.

CAPITULO 3 95


R(v, x) =(c1ex+c2e−x)

−2

(w(x)− 1x)

2

(−v+w(x)+

w′(x)+ 1x2

w(x)− 1x

)2 .

• Integral primera

H(v, x) =x(x+ 1)(v + 1) + 1

x(x− 1)(v − 1)− 1e−2x.

Ejemplo. Consideremos el siguiente campo vectorial polinomial

X =(x2 − 1− v2

) ∂∂v

+∂

∂x.


v = x2 − 1− v2

x = 1


v′ = x2 − 1− v2


y′′ =(x2 − 1

)y, v = (ln y)′.

Ası tenemos como soluciones particulares de ambas ecuaciones a

y = e−x2

2 , v = −x.



f(v, x) = −v − x,

con cofactor

K(v, x) = −v + x.



F (v, x) = e−x2

2 .

con cofactorL(v, x) = −x.


R(v, x) =ex

2

(v + x)2 .

• La integral primera no tiene una expresion agradable puesto queinvolucra a la funcion Error. Ademas, la ecuacion de Riccati solotiene una solucion racional y la ecuacion de segundo orden asociadaa esta cae en el primer caso del algoritmo de Kovacic.


X =(x4 − 5x2 + 2− x2v2

) ∂∂v

+ x2 ∂

∂x.


v = x4 − 5x2 + 2− x2v2

x = x2


v′ = x2 − 5 +2

x2− v2


y′′ =

(x2 − 5 +

2

x2

)y, v = (ln y)′.


y = x2e−x2

2 , v =2

x− x.


CAPITULO 3 97


f(v, x) = −v +2

x− x,

con cofactor

K(v, x) = −v − 2

x+ x.


F (v, x) = x2e−x2

2 .

con cofactor

L(v, x) =2

x− x.


R(v, x) =ex

2

x4(v − 2

x + x)2 .



X =((1− v2)x2 − 6x+ 6

) ∂∂v

+ x2 ∂

∂x.


v = (1− v2)x2 − 6x+ 6x = x2


v′ =6

x2− 6

x+ 1− v2


y′′ =

(6

x2− 6

x+ 1

)y, v = (ln y)′.



y = x3e−x, v =3

x− 1.



f(v, x) = −v +3

x− 1,

con cofactor

K(v, x) = −v − 3

x+ 1.

• Factor exponencialF (v, x) = x3e−x.

con cofactor

L(v, x) =3

x− 1.


R(v, x) =e2x

x6(v − 3

x + 1)2 .


Como hemos mencionado, el estudio algebraico de campos vectorialespolinomiales no es una tarea facil. Los ejemplos anteriores son casosconocidos en donde directamente la foliacion del sistema cae en unaecuacion de Riccati. Sin embargo, pueden haber otros campos polino-miales que despues de varias transformaciones podamos llegar a unaecuacion de Riccati de manera no trivial. Una pregunta, que aun sigueabierta, es el determinar las condiciones de los coeficientes del sistema

x′ = a00 + a10x+ a01y + a20x2 + a11xy + a02y

2,y′ = b00 + b10x+ b01y + b20x

2 + b11xy + b02y2,

CAPITULO 3 99

donde aij , bij ∈ C, para que el campo vectorial polinomial sea integrable.Este es un problema muy difıcil. Podemos dar condiciones sobre algunoscoeficientes para ilustrar casos sencillos. En particular, el sistema quetiene una de las dos componentes sin parte cuadratica, el cual fue de-nominado por Llibre y Valls como sistema lineal-cuadratico. Este tipode sistemas se puede reducir a las siguientes dos familias de sistemas: laprimera es denota por (S1),

x′ = x,y′ = εx+ λy + b20x

2 + b11xy + b02y2,

(S1)

y la segunda es denotada por (S2),

x′ = y,y′ = εx+ λy + b20x

2 + b11xy + b02y2.

(S2)

Los sistemas de tipo lineal-cuadratico admiten integrales primeras analıticasglobalmente, en particular esto se tiene para:

(a1) b02 = λ = 0.

(b1) b02 = 0 y λ = −p/q ∈ Q−,

en el caso de los sistemas del tipo (S1) y

(a2) b20 = b02 = λ = 0 y εb11 6= 0.

(b2) b20 = b11 = λ = 0 y εb02 6= 0.

(c2) b11 = λ = 0 y b20 6= 0,

para los sistemas del tipo (S2).

En un trabajo reciente, en colaboracion con J.T. Lazaro, Ch. Pantazi yJ. J. Morales Ruiz, los resultados anteriores son obtenidos utilizando lateorıa de Galois Diferencial. Comenzaremos con el caso (S1). De estamanera, consideramos la foliacion asociada al sistema (S1):

dy

dx= (ε+ b20x) +

(λ+ b11x

x

)y +

b02

xy2, (3.17)


Como hemos visto en el capıtulo 2, la ecuacion de Riccati (3.17) se puedetransformar en la ecuacion de Riccati w′ = r(x)− w2, con

r(x) =1

4− κ

x+

4µ2 − 1

4x2, κ =

b02ε+ b112 (1− λ)√

b211 − 4b20b02

, µ =λ

2, (3.18)

siempre que b211 − 4b20b02 6= 0. Notemos que la ecuacion diferencialξ′′ = r(x)ξ con r como en (3.18) es una ecuacion de Whittaker, pre-sentada en el capıtulo 2, y por lo tanto podemos aplicar el teorema deMartinet-Ramis para establecer cuando nuestra ecuacion de Whittakeres integrable. Es decir, una de las siguientes condiciones se debe satis-facer para que sea integrable:

±κ± µ ∈ 1

2+ N,

o, equivalentemente (y mas adecuada para la expresion derivada de κ yµ),

2 (κ± µ) ∈ 2Z+ 1.

En nuestro caso estas conduciones significan

2 (κ± µ) =2b20ε+ b11(1− λ)√

b211 − 4b20b02

± λ.

Notemos que el caso (a1) en las ecuaciones del tipo (S1) corresponden a2(κ± µ) = 1 ∈ 2Z+ 1 y el caso (b1) a

2(κ+ µ) =

(1 +

p

q

)+

(−pq

)= 1 ∈ 2Z+ 1.

Consideremos ahora el caso de los sistemas del tipo (S2),

x′ = y,y′ = εx+ λy + b20x

2 + b11xy + b02y2,

su foliacion asociada esta dada por

dy

dx= (λ+ b11x) +

(εx+ b20x

2) 1

y+ b02y. (3.19)

De esta manera, la ecuacion (3.19) cae en una de las siguientes situa-ciones:

CAPITULO 3 101

(i) Si λ = b11 = 0, tenemos que

dy

dx=(εx+ b20x

2) 1

y+ b02y,

la cual es una ecuacion de Bernoulli. Esta situacion correspondeesencialmente a los casos (b2) y (c2) para sistemas del tipo (S2).

(ii) Si ε = b20 = 0 obtenemos la ecuacion diferencial lineal

dy

dx= (λ+ b11x) + b02y.

(iii) El caso (a2) nos conduce a la ecuacion diferencial

dy

dx= b11x+ εx

1

y,

la cual es una ecuacion diferencial separable.

(iv) Si b02 = 0 obtenemos un caso particular de una foliacion asociadaa la Ecuacion de Lienard.

ydy

dx= (λ+ b11x) y +

(εx+ b20x

2).

3.2 Sistemas Hamiltonianos

En esta seccion, acorde a la introduccion, se presenta un breve re-sumen de lo que es un sistema hamiltoniano. Se inicia recordando queen la mecanica clasica, la energıa (H) de un sistema esta dado por lasuma de la energıa cinetica (T ) y la energıa potencial (V ). La energıase expresa en funcion de posiciones (qi) y momentos (pi), en lugar deposiciones y velocidades. De esta forma, la expresion de la energıa quedadada por

H = T + V, T =1

2

n∑i=1

p2i

mi,

en donde la energıa potencial (o simplemente el potencial) depende delas posiciones y los momentos. Si la energıa se conserva, entonces Hes una constante de movimiento (integral primera). Si el sistema es


disipativo, entonces la energıa (H) depende del tiempo. En adelante, lasmasas seran normalizadas a la unidad y solo se consideraran sistemasconservativos en donde el potencial solo dependa de las posiciones.

El matematico frances J. Liouville en 1840 enuncio el teorema que hoy endıa lleva su nombre, teorema de Liouville y que fue formulado geometricamentepor V. Arnold, razon por la cual tambien se conoce como el teorema deLiouville-Arnold.

Definicion 3.9. Sea H : U ⊂ K2n → K, donde K ∈ {R,C}. Si(q, p) ∈ U , donde q = (q1, . . . , qn), p = (p1, . . . , pn) entonces

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi

se conocen como ecuaciones de Hamilton, y al escribirlas como un sis-tema de 2n ecuaciones diferenciales se denomina sistema hamiltonianocon n grados de libertad.

En adelante denotaremos por XH al campo vectorial hamiltoniano aso-ciado a las ecuaciones del movimiento (3.2). Es decir,

XH =

∂H∂pi

−∂H∂qi

.

Definicion 3.10. Sean f, g : U → K, el parentesis de Poisson de f y gse define como

{f, g} =

n∑i=1

(∂f

∂qi

∂g

∂pi− ∂f

∂pi

∂g

∂qi

).

Si {f, g} = 0, se dice que f y g estan en involucion.

El teorema de Liouville-Arnold, traduce el problema de la integrabilidadde un sistema hamiltoniano de n grados de libertad a la existencia de nintegrales primeras, tambien conocidas como constantes del movimiento,independientes y en involucion.

CAPITULO 3 103

Definicion 3.11. Un hamiltoniano H de n grados de libertad se dicecompletamente integrable si existen n constantes del movimiento (inte-grales primeras de XH), independientes y en involucion.

Se observa que la condicion de involutividad de las fi implica que estasson funcionalmente independientes, es decir sus diferenciales son lineal-mente independientes sobre un abierto denso.

En particular, para un grado de libertad se tiene que la constante demovimiento o integral primera es la energıa H, ası que todos los sistemasHamiltonianos de un grado de libertad son integrables. En dos gradosde libertad, el siguiente caso del potencial de Henon-Heiles es integrable.

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− q2

2q1 − 2q31.

Como ejemplos de sistemas hamiltonianos de un grado de libertad setienen los siguientes:

• Oscilador armonicop2

2+ k

q2

2

• Pendulo simplep2

2+ k cos q

• Campo centralp2

2+k

q

Un sistema hamiltoniano de n grados de libertad dado por

H =n∑k=1

Hk, Hk =p2k

2+ Vk(qk),

es integrable porque las 2n ecuaciones diferenciales son desacopladaspuesto que cada hamiltoniano es de un grado de libertad. La solucionde cada sistema esta dada por

t =

∫dqk√

2Hk + 2Vk(qk).


Si el sistema hamiltoniano es de dos grados de libertad y se quiere buscaruna solucion particular q1 haciendo q2 = p2 = h = 0, se procede igual yse obtiene

t =

∫dq1√

2V (q1, 0).

Una aplicacion de los sistemas hamiltonianos es que permiten resolverecuaciones diferenciales. En el caso de un grado de libertad, la ecuaciony′′ = f(y) puede resolverse como sigue,

t =

∫dy√

2h− 2∫f(y)dy

.

Para dos o mas grados de libertad hay que usar tecnicas mas avanzadas.

Un ejemplo de sistema no integrable, mediante integrales primeras racionaleses el sistema de Henon-Heiles con parametros nulos, tal como se vera enlos ejemplos.

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− q2

2q1.

Durante anos se han buscado criterios para determinar la integrabilidado no integrabilidad de un sistema Hamiltoniano basada en el compor-tamiento de las soluciones en el dominio complejo.

Definicion 3.12. Consideremos H un Hamiltoniano holomorfo definidosobre U ⊂ C2n y Υ la superficie de Riemann correspondiente a una curvaintegral z = z(t) (la variedad riemanniana z(t) puede ser un punto deequilibrio) del campo vectorial XH . La ecuacion variacional a lo largode Υ se escribe como

η = X ′H (z(t)) η.

Como es natural, las componentes de z(t) son complejas.

Usando la parte lineal de la integral primera dH(z(t)) de la ecuacionvariacional, es posible reducir esta ecuacion variacional (es decir, laregla de eliminacion de un grado de libertad) para obtener la conocidaecuacion variacional normal, propia de los sistemas hamiltonianoslineales no autonomos,

CAPITULO 3 105

ξ = Jn−1S(t)ξ, Jn =

(0 In−In 0

)donde S(t) es una matriz simetrica, Jn es la matriz simplectica, In es lamatriz identica de tamano n× n. El sistema de ecuaciones diferencialesque corresponde a la ecuacion variacional normal es una ecuacion varia-cional de un sistema hamiltoniano lineal. Ademas, XH se puede escribiren funcion del gradiente de H por medio de la matriz simplectica, esdecir,

XH = Jn∇H.

Historicamente, Poincare dio un criterio de no integrabilidad basadoen la matriz de monodromıa (prolongaciones analıticas) de la ecuacionvariacional a lo largo de una curva integral real periodica. En 1888S. Kowalevski obtuvo un nuevo caso de integrabilidad del sistema decuerpo rıgido con un punto fijo, imponiendo la condicion adicional deque la solucion general es una funcion meromorfa de tiempo complejo.Lyapunov generalizo los resultados de Kowalevski y probo que exceptopara algunas soluciones particulares, la solucion general es univaluada.Su metodo esta basado en el analisis de la ecuacion variacional a lo largode una solucion conocida.

Definicion 3.13. Se dice que una transformacion lineal g es resonantesi existen enteros r1, . . . , rn tales que λr11 . . . λrnn = 1, donde λi son losvalores propios de g.

Uno de los resultados influyentes en la Teorıa de Morales-Ramis se debea Ziglin, quien en 1982 obtiene el siguiente resultado.

Teorema 3.9. (Ziglin) Supongase que un sistema Hamiltoniano ad-mite n − k integrales primeras meromorfas sobre Υ y que el grupo demonodromıa de la ecuacion variacional normal contiene una transfor-macion no resonante g. Entonces cualquier otro elemento del grupo demonodromıa de la ecuacion variacional normal conserva las direccionespropias de g.

En 1997, durante su estancia postdoctoral en Estrasburgo, Juan MoralesRuiz obtiene conjuntamente con Jean Pierre Ramis el siguiente resul-


tado, el cual es considerado como la herramienta mas potente para de-terminar si un sistema Hamiltoniano es no integrable.

Teorema 3.10. (Morales-Ramis) Si el campo Hamiltoniano inicialXH es completamente integrable, entonces la componente identidad, G0

del grupo de Galois de la ecuacion variacional normal es abeliana.

El teorema de Morales-Ramis es un poderoso criterio de no integra-bilidad de un sistema Hamiltoniano: si la componente identidad, G0

del grupo de Galois de la ecuacion variacional normal no es abeliana,entonces el campo Hamiltoniano inicial XH no es completamente in-tegrable. En general el recıproco del teorema de Morales-Ramis no escierto, pues la integrabilidad de la ecuacion variacional normal no im-plica la integrabilidad completa del sistema Hamiltoniano.

Si la ecuacion variacional normal es del tipo fuchsiana, es decir, todassus singularidades son regulares (incluyendo el infinito), y la compo-nente conexa de G que contiene la identidad G0 no es abeliana, entoncesel sistema Hamiltoniano es no integrable mediante integrales primerasmeromorfas. En caso de que la ecuacion variacional normal tenga almenos una singularidad irregular (aun cuando sea el infinito) y G0 nosea abeliana, entonces el sistema Hamiltoniano es no integrable medi-ante integrales primeras racionales.

Se observa que la teorıa es general, pero en particular se consideraransistemas Hamiltonianos de 2 grados de libertad que tengan el planoinvariante q2 = p2 = 0 y la solucion particular se buscara en dichoplano invariante. De esta forma la solucion particular se obtiene comola solucion de un sistema Hamiltoniano de un grado de libertad.

Sistematicamente debe aplicarse el teorema de Morales-Ramis a un sis-tema Hamiltoniano de dos grados de libertad que tenga un plano invari-ante en los siguientes pasos:

1. Seleccionar una curva integral particular Υ, haciendo q2 = p2 = 0y resolviendo el hamiltoniano de un grado de libertad.

2. Derivar el campo Hamiltoniano XH y escribir la ecuacion varia-

CAPITULO 3 107

cional.

3. Obtener la ecuacion variacional normal.

4. Transformar la ecuacion variacional normal en una ecuacion difer-encial de segundo orden (Teorema 2.21).

5. Chequear los coeficientes de la ecuacion diferencial. Si no sonfunciones racionales hay que ver si cumple las condiciones paraaplicar la Algebrizacion Hamiltoniana y en caso afirmativo obtenerla ecuacion diferencial con coeficientes funciones racionales.

6. Verificar si todas las singularidades de la ecuacion diferencial concoeficientes racionales son regulares, en caso afirmativo aplicar elteorema de Kimura (Teorema 2.22).

7. Si uno de las singularidades de la ecuacion diferencial es irregular,se debe reducir la ecuacion eliminando el termino de la primeraderivada y aplicar el algoritmo de Kovacic.

8. Hallar la componente identidad, G0 del grupo de Galois diferencialde la ecuacion diferencial reducida y ver si es abeliana.

Para ilustrar el esquema anterior y como motivacion al teorema deMorales-Ramis se presentan los siguientes ejemplos.

El Problema de Sitnikov. El sistema de Sitnikov es una restriccion alproblema de los tres cuerpos dada por una configuracion muy simetrica:los primarios con masas iguales m se mueven en elipses de excentrici-dad e en el plano XY alrededor de sus centros de masa O, mientras eltercer cuerpo infinitesimal se mueve a lo largo del eje OZ perpendicularal plano donde los primarios se mueven. Tomamos, de manera usual, lanormalizacion de unidades, de tal forma que m = 1, el periodo de losprimarios es 2π y la constante gravitacional es igual a 1.

El Hamiltoniano correspondiente al movimiento de la partıcula infinites-imal a lo largo del eje OZ de este problema es

H(z, pz) =p2z

2− 1

(z2 + r2(t))12


y la ecuacion de movimiento esta dada por

d2z

dt2+

z

(z2 + r2(t))32

= 0,

siendo r(t) la distancia de una de los primarios al centro de masas O.Escogemos como nuevo tiempo la anomalıa excentrica τ . La transfor-macion es dada por la ecuacion de Kepler

t = τ − e sin τ, dt = (1− e cos τ)dτ

entonces la ecuacion anterior se transforma en

dz

dτ= (1− e cos τ)v,

dv

dτ= − (1− e cos τ)z

(z2 + r2(τ))32

, r(τ) =1− e cos τ

2.

Se estudian ahora dos casos del problema de los tres cuerpos de Sitnikov.

El problema del triangulo isosceles. Considerese el caso en que laorbita de los primarios es circular y la distancia de cada primario alcentro de masas O es 1.

El Hamiltoniano correspondiente a este problema, del cual se sabe quees completamente integrable porque es de un grado de libertad, es

H(z, pz) =p2z

2− 1

(z2 + 1)12

y la ecuacion de movimiento del tercer cuerpo esta dada por

d2z

dt2+

z

(z2 + 1)32

= 0,

entonces la ecuacion anterior se transforma en

dz

dt= v,

dv

dt= − z

(z2 + 1)32

.

Ahora se aplican los pasos del teorema de Morales-Ramis

1. Como curva integral particular Υ se toma z = v = 0.

CAPITULO 3 109

2. La ecuacion variacional normal a lo largo de Υ esta dada por(dzdtdvdt

)=

(0 1−1 0

)(zv

).

3. Se observa que

(0 1−1 0

)es una matriz con coeficientes constantes

y por lo tanto la ecuacion diferencial lineal reducida tiene coefi-cientes constantes. Como vimos en el capıtulo 2, los unicos casosposibles para el grupo de Galois diferencial de las ecuaciones difer-enciales de la forma y′′ = k2y, siendo k una constante, son isomor-fos all grupo identidad, al grupo aditivo y al grupo multiplicativo,por lo tanto la componente identidad siempre sera abeliana paraestos casos.

Orbita de colision triple. Considerese el caso en que e = 1 y ladistancia de una de los primarios al centro de masas O es r(τ) = 1−cos τ

2 .

El Hamiltoniano y la ecuacion de movimiento del tercer cuerpo corre-spondiente a este problema, del cual nada se sabe, son los mismos delcaso anterior. Esta ecuacion se transforma en

dz

dτ= (1− cos τ)v,

dv

dτ= − (1− cos τ)z

(z2 + r2(τ))32

, r(τ) =1− cos τ

2.

Se aplican los pasos del teorema de Morales-Ramis

1. Como curva integral particular Υ tomamos la orbita de la colisiontriple con e = 1, r(τ) = 1−cos τ

2 , z = v = 0.

2. La ecuacion variacional normal a lo largo de Υ esta dada por(dzdtdvdt

)=

(0 1− cos τ

− 8(1−cos τ)2 0

)(zv

).

Por el teorema 2.21 del capıtulo anterior, el sistema dado por(dzdtdvdt

)=

(0 1− cos τ

− 8(1−cos τ)2 0

)(zv

).


se transforma en

d2ξ

dτ2− sin τ

1− cos τ

dξ

dτ+

8

1− cos τξ = 0.

Debido a que esta ecuacion diferencial tiene coeficientes que no sonfunciones racionales, aplicamos la Algebrizacion Hamiltoniana. Enparticular usamos el cambio de variable Hamiltoniano x = cos τ

2 +1.Ası obtenemos

d2ξ

dx2+

(1/2

x− 1/2

x− 1

)dξ

dx+ 4

(1

(x− 1)2− 1

x− 1+

1

x

)ξ = 0.

Se observa que los tres puntos singulares de esta ecuacion diferen-cial son de tipo regular.

3. Usando el teorema 2.9 con n = 2, la ecuacion anterior se trans-forma en la ecuacion diferencial reducida

d2η

dx2= rη, r =

5− 72x

16x2(x− 1)2= − 67

16(x− 1)2+

31

8(x− 1)+

5

16x2−31

8x.

4. Ahora procedemos a aplicar el Algoritmo de Kovacic. Por el paso1 se tiene que Γ = {0, 1,∞}, ◦(r0) = ◦(r1) = 2, ◦(r∞) = 3. Estoindica que la ecuacion diferencial reducida puede caer en cualquierade los tres primeros casos (c2,∞1). Primero se analiza el caso 1:s = 5− 72x, t = 16x2(x− 1)2, por lo tanto se tiene que

r =s

t= − 67

16(x− 1)2+

31

8(x− 1)+

5

16x2− 31

8x,

Γ = {0, 1,∞}, ◦ (r0) = ◦ (r1) = 2, y ◦ (r∞) = deg t− deg s = 3. Esclaro que esta ecuacion diferencial reducida cae dentro del caso 1,(c2,∞1), por (∞1) se tiene que α+

∞ = 0 y α−∞ = 1. Ahora, por (c2)se tiene que para el polo x = 1, b = −67

16 , mientras que para x = 0,b = 5

16 y esto implica que [√r]1,0 = 0 y α±1,0 /∈ R, por lo tanto

D = ∅. De la misma se hace para los otros 2 casos y se concluyeque D = ∅ y por lo tanto la ecuacion diferencial lineal reducidacae en el caso 4, indicando que no tiene soluciones liouvillianas.

CAPITULO 3 111

5. Con lo anterior se concluye que su grupo de Galois es conexo yno resoluble (SL(2,C)), por lo tanto como G0 se preserva bajolas transformaciones de sistema a ecuacion diferencial y de alge-brizacion, la componente conexa de la identidad del grupo de Ga-lois diferencial de la ecuacion variacional no es un grupo abeliano.Es decir, que el campo hamiltoniano inicial XH correspondienteal problema de los tres cuerpos de Sitnikov con orbita de col-ision triple no es completamente integrable con integrales primerasmeromorfas

Problema de Kepler con coordenadas giratorias. El Hamiltonianocorrespondiente al problema de los tres cuerpos restringido al plano, conparametro µ = 0 esta dado por

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22) + (q2p1 − q1p2)− 1√

q21 + q2

2

.

Se sabe que este hamiltoniano es completamente integrable por ser elproblema de dos cuerpos en coordenadas giratorias. La ecuacion demovimiento esta dada por

q1 = q2+p1, q2 = −q1+p2, p1 = − q1

(q21 + q2

2)32

+p2, p2 = − q2

(q21 + q2

2)32

−p1.


1. Como curva integral particular Υ se toma q1 = p2 = 1, q2 = p1 = 0.

2. La ecuacion variacional a lo largo de Υ esta dada pordq1dtdq2dtdp1

dtdp2

dt

=

0 1 1 0−1 0 0 1−1 0 0 10 −1 −1 0

q1

q2

p1

p2

.

3. Se observa que la matriz de la ecuacion variacional tiene dos blo-ques iguales: el primero y el tercero, ademas el segundo y el cuartobloque son I2 y −I2, de tal forma que la ecuacion variacional nor-mal (utilizando el primer bloque) a lo largo de Υ esta dada por(dq1

dtdq2dt

)=

(0 1−1 0

)(q1

q2

).


4. Se observa que

(0 1−1 0

)es una matriz con coeficientes constantes

y por lo tanto la componente identidad es abeliana.

El sistema de Henon-Heiles. El Hamiltoniano de este sistema estadado por

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− q2

2(A+ q1)− λ

3q3

1.

Se consideraran dos ejemplos, el primero es un caso integrable y el se-gundo es no integrable.

Un caso integrable. Consideremos el Hamiltoniano de Henon-Heiles

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− q2

2q1 − 2q31.

El sistema Hamiltoniano esta dado por

q1 = p1,q2 = p2,p1 = q2

2 + 6q31,

p2 = 2q2q1.


1. Como solucion particular se toma

Υ : (q1)2 = 4q31, q1 =

1

t2, p1 = − 2

t3, q2 = p2 = 0.

2. La ecuacion variacional normal a lo largo de Υ esta dada por

η′ = X ′H(q1(t))η, X ′H(q1(t)) =

(0 1

12q1 0

)=

(0 112t2

0

).

Por el teorema 2.21, este sistema se transforma en

d2ξ

dt2=

12

t2ξ.

CAPITULO 3 113

3. La ecuacion diferencial anterior corresponde a una ecuacion deCauchy - Euler, con m = 3 y tal como se estudio en el capıtulo2 se tiene que el grupo de Galois de esta ecuacion es el grupoidentidad, el cual es un grupo conexo y abeliano.

Un caso no integrable. El Hamiltoniano de Henon-Heiles que ahorase considera es

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− q1q

22.

El sistema de Henon-Heiles es

q1 = p1,q2 = p2,p1 = q2

2,p2 = 2q1q2.


1. Como solucion particular se toma

Υ : q1 =t

2, p1 = 1, q2 = p2 = 0.

2. La ecuacion variacional normal a lo largo de Υ esta dada por

η′ = X ′H(q1(t))η, X ′H(q1(t)) =

(0 1

2q1 0

)=

(0 1t 0

).

Por el teorema 2.21 este sistema se transforma en

d2ξ

dt2= tξ.

Como esta ecuacion esta en la forma reducida, se procede a aplicarel algoritmo de Kovacic. Se tiene entonces que el grupo de Galoisde esta ecuacion diferencial es SL(2,C) que es un grupo conexopero no es resoluble y por lo tanto no es abeliano. Ademas, laecuacion de Airy presenta una singularidad irregular en el infinitoy por lo tanto este sistema de Henon-Heiles no es completamenteintegrable mediante integrales primeras racionales.


Utilizando el resto de los ejemplos de la seccion 2, se pueden construirsistemas hamiltonianos tales que el grupo de Galois de su ecuacion varia-cional normal no sea abeliana. Se puede considerar el Hamiltoniano

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p2

1 + p22)− V (q1, q2),

luego se buscan las ecuaciones de Hamilton y se deriva el campo Hamil-toniano para construir la ecuacion variacional, de tal forma que estaquede

η′ = X ′H(q1(t))η, X ′H(q1(t)) =

(0 1

f(q1) 0

)=

(0 1r(t) 0

).

Este sistema se transforma en

d2ξ

dt2= r(t)ξ.

Ahora bien, si r(t) hace parte del listado de las no integrables men-cionadas en el capıtulo 2 o si es la correspondiente a otros ejemplos deecuaciones no integrables del capıtulo 2, entonces el sistema hamiltoni-ano inicial no es integrable mediante integrales primeras (meromorfas oracionales).

En general, construir ejemplos de aplicacion del algoritmo de Kovacic ala teorıa de Morales-Ramis no es una tarea facil. Hay muy pocos ejemp-los del algoritmo de Kovacic, sobre todo del caso 3. No menos laboriosoes construir un sistema hamiltoniano a partir de una solucion particular.Sin embargo, hay mas ejemplos de aplicacion del teorema de Kimura enla teorıa de Morales-Ramis, sobre todo aquellos que se relacionan conlos puntos de Darboux, tambien conocidos como los puntos de la orbitahomotetica.

En [8] se planteo un metodo para construir campos Hamiltonianos nointegrables a partir de la ecuacion variacional, el cual se expone a con-tinuacion.

Consideremos un Hamitoniano clasico en dos grados de libertad,

H =y2

1 + y22

2+ V (x1, x2).

CAPITULO 3 115

Si se verifica que el plano Π de ecuaciones {x2 = y2 = 0}, es invariantepor el flujo, entonces que debe ser

∂V

∂x2

∣∣∣∣Π

= 0.

Considerando el desarrollo en serie de potencias con respecto a x2, ten-emos:

V = φ(x1) + α(x1)x2

2

2+ β(x1, x2)x3

2. (3.20)

Para ciertos φ, α y β, con

limx2→0

β(x1, x2) <∞.

La ecuacion variacional normal para cada curva solucion contenida enΠ y parametrizada por t, es de la forma:

ξ = a(t)ξ, con a(t) = α(x1(t)). (3.21)

Consideremos entonces

Q

(a,da

dt,d2a

dt2, . . .

)un polinomio diferencial en a con coeficientes constantes. Queremos en-tonces calcular los potenciales (3.20) tales que para toda curva solucioncontenida en Π, la ecuacion variacional normal (3.21) verifica Q = 0.

Exposicion del metodo general. El flujo en el plano invariante Π,viene dado por el Hamiltoniano restringido

h =y2

1

2+ φ(x1),

que produce el campo Hamiltoniano,

Xh = y1∂

∂x1− dφ

dx1

∂

∂y1.

dado que a lo largo de cada curva solucion, a(t) = α(x1(t)), se tiene que

dka

dtk(t) = (Xk

hα)(x1(t)).


La ecuacion

Q(a,da

dt,d2a

dt2, . . .) = 0,

puede entonces sustituirse por,

Q(α,Xhα,X2hα, . . .) = 0.

Puede observarse que la expresion

Q(α,Xhα,X2hα, . . .)

es un polinomio en y1, cuyos coeficientes son polinomios diferenciales enα, dφdt con coeficientes constantes; ya que todos los coeficientes han deanularse, hemos reducido el problema a un numero finito de ecuacionesdiferenciales ordinarias en α y φ.

En primer lugar hemos de calcular las expresiones para las derivadassucesivas.

da

dt= y1

dα

dx1(3.22)

d2a

dt2= y2

1

d2α

dx21

− dφ

dx1

dα

dx1(3.23)

d3a

dt3= y3

1

d3α

dx31

− y1

(d

dx1

(dφ

dx1

dα

dx1

)+ 2

dφ

dx1

d2α

dx21

)(3.24)

d4a

dt4= y4

1

d4α

dx41

−y21

(d

dx1

(d

dx1

(dφ

dx1

dα

dx1

)+ 2

dφ

dx1

d2α

dx21

)+ 3

d3α

dx31

dφ

dx1

)+

+

(d

dx1

(dφ

dx1

dα

dx1

)+ 2

dφ

dx1

d2α

dx21

)dφ

dx1(3.25)

En general:dna

dxn1=∑

n≥k≥0

En,kyk1 ,

donde los coeficientes En,k, son polinomios diferenciales en α, φ, que secalculan mediante la ley de recurrencia:

En+1,k =dEn,k−1

dx1− (k + 1)En,k+1

dφ

dx1(3.26)

CAPITULO 3 117

con condiciones iniciales:

E1,1 =dα

dx1, E1,k = 0 ∀k 6= 1.

Observacion. Los polinomios diferenciales En,k, definidos por (3.26)verifican:

• En,n = dnαdxn1

.

• Si n− k es impar, k < 0, o k > n entonces En,k = 0.

Para ilustrar este metodo, a manera de ejemplos calcularemos los poten-ciales de campos Hamiltonianios cuyas ecuaciones variacionales normalesdan lugar a ecuaciones de Airy, a potenciales cuadraticos, potencialespolinomiales de grado estrictamente impar y a la ecuacion de Mathieu.

Ejemplo. Consideremos la ecuacion diferencial con coeficientes con-stantes

ξ = c0ξ.

La ecuacion es Q = dadt = 0. Observando (3.22) se tiene que dα

dx1= 0,

por tanto α es una constante, y φ es libre. Los Hamiltonianos consider-ados que dan lugar a ecuaciones variacionales normales transformablesa nuestra ecuacion diferencial con coeficientes constantes son entoncesde la forma:

H =y2

1 + y22

2+ φ(x1) + λx2

2 + β(x1, x2)x32

Ejemplo. Consideremos las ecuaciones tipo Airy

ξ = (c0 + c1t)ξ.

La ecuacion es Q = d2adt2

= 0. De (3.23) se tienen las ecuaciones:

d2α

dx21

= 0,dφ

dx1

dα

dx1= 0.

Que se desacoplan en dos sistemas independientes,

dα

dx1= 0,

{d2αdx2

1= 0

dφdx1

= 0


Las soluciones del primer sistema caen en el caso anterior y dan lu-gar a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes en la ecuacionvariacional normal. Las soluciones del segundo sistema son:

φ constante , α = 2λ+ 2µx1.

Tenemos que los Hamiltonianos considerados que dan lugar a ecuacionesde Airy en la ecuacion variacional normal son:

H =y2

1 + y22

2+ λx2

2 + µx1x22 + β(x1, x2)x3

2.

La relacion entre los coeficientes c0, c1 y el Hamiltoniano, se obtieneintegrando el flujo Hamiltoniano en el plano invariante Π.

x1 =√

2h(t− t0), a(t, h) = α(x1(t))

Ejemplo. Calculemos ahora los Hamiltonianos cuyas ecuaciones varia-cionales normales son transformables a ecuaciones de la forma de laforma:

ξ = (c0 + c1t+ c2t2)ξ.

La ecuacion diferencial satisfecha por a es

Q =d3a

dt3= 0.

De (3.24) se tienen las ecuaciones:

d3α

dx31

= 0,d

dx1

(dφ

dx1

dα

dx1

)+ 2

dφ

dx1

d2α

dx21

= 0.

La solucion general de la primera ecuacion es,

α =λ

2+µ

2x1 +

γ

2x2

1,

sustituyendo en la segunda ecuacion se obtiene:

d2φ

dx21

+ 32γ

µ+ 2γx1

dφ

dx1= 0,

CAPITULO 3 119

ecuacion que se integra mediante dos cuadraturas, obteniendose:

φ =δ

(µ+ 2γx1)2+ cte.

Los Hamiltonianos que dan las ecuaciones variacionales normales re-queridas, son entonces:

H =y2

1 + y22

2+

δ

(µ+ 2γx1)2+ λx2

2 + µx1x22 + γx2

1x22 + β(x1, x2)x3

2.

Es importante observar que, cuando δ 6= 0, el flujo a lo largo del planoinvariante Π no es lineal. Mediante funciones hiperbolicas, se obtiene:

t− t0 =

√z2 − 2δ

4γh, con z =

√2h(µ+ 2γx1).

de otro modo,

8γ2h2(t− t0)2 = h(µ+ 2γx1)2 − δ.

Teorema 3.11. Consideremos la ecuacion diferencial

ξ = P2n+1(t)ξ, Pk ∈ C[t], grad(Pk) = k ∈ {1, 3, . . . 2n+ 1}.

Sea Rn el sistema de ecuaciones diferenciales en φ, α,

{En,0 = 0, En,1 = 0, . . . , En,n = 0}.

Si (φ, α) es una solucion de R2m y dφdx16= 0, entonces (φ, α) es solucion

de R2m−1.

Demostracion. De la primera ecuacion,

E2m,0 =dE2m−1,−1

dx1− dφ

dx1E2m−1,1 = 0,

aplicando que E2m−1,−1 = 0, se obtiene

E2m−1,1 = 0.

Se la segunda,

E2m,2 =dE2m−1,1

dx1− 3

dφ

dx1E2m−1,3 = 0,


aplicando lo anterior se obtiene

E2m−1,3 = 0,

y ası sucesivamente. 2

Teorema 3.12. Sea H un hamiltoniano clasico

H =y2

1 + y22

2+ V (x1, x2),

que deja Π invariante, y tal que su ecuacion variacional normal a lo largode cualquier curva solucion contenida en Π es una ecuacion diferencial,

ξ = R(H, t)ξ,

con R polinomio en t de grado 2n+ 1. Entonces, modulo una constanteφ,

H =y2

1 + y22

2+ P2n+1(x1)x2

2 + β(x1, x2)x32

para cierto P2n+1(x1) ∈ C[x1], polinomio de grado 2n+ 1.

Uno de los resultados principales utilizando este metodo es el siguienteteorema.

Teorema 3.13. las familias de Hamiltonianos,

y21 + y2

2

2+

λ4

(λ2 + 2λ3x1)2+ λ0 − λ1x

22 − λ2x1x

22 − λ3x

21x

22 + β(x1, x2)x3

2,

donde λi ∈ C, λ3 6= 0, y β(x1, x2) es una funcion analıtica definidasobre una vecindad de {x2 = 0}; tiene ecuacioin variacional normalde la forma ξ = P (t)ξ, siendo P un polinomio no constante a lo largode curva integral generica en Γ = {x2 = y2 = 0}, y por lo tanto loscampos Hamiltonianos no son integrables mediante integrales primerasracionales.

Recordemos que f : R2 → R es una funcion homogenea con grado dehomogeneidad k si f(λx, λy) = λkf(x, y). El siguiente resultado puedeencontrarse en [6].

CAPITULO 3 121

No-Integrabilidad de Potenciales Homogeneos de grado −1.Consideremos el sistema Hamiltoniano de dos grados de libertad conpotencial homogeneo de grado −1 y cuyo Hamiltoniano es dado por

H =1

2(p2x + p2

y)− U(x, y),

Supongamos que U(x, y) esta definida y es positiva para todo (x, y) ∈ R2,excepto en el origen.

Haciendo el cambio a coordenadas polares el Hamiltoniano anteriorse transforma en

H =1

2

(p2r +

p2θ

r2

)− 1

rU(θ).

Usando el metodo de explosion de McGehee, dado que se satisfacenlas condiciones para utilizarlo, se toman las coordenadas v = r−1/2pr,u = r−1/2pθ y reescalando el tiempo tenemos dt = r3/2dτ .

Las ecuaciones de movimiento toman la forma

r′ = rv,

v′ =1

2v2 + u2 − U(θ), (3.27)

θ′ = u,

u′ = −1

2vu+ U ′(θ).

donde la prima en el lado izquierdo denota la derivada con respecto aτ y U ′(θ) denota la derivada con respecto a su argumento, el cual nopuede causar confusion. El sistema de McGehee (3.27) deja invariantela superficie de energıa

Eh = {(r, θ, u, v) | r > 0,1

2(u2 + v2) = U(θ) + rh}, (3.28)

la cual puede ser extendida de forma invariante hasta su frontera y lavariedad de colision sera entonces

Λ = {(r, θ, u, v) | r = 0,1

2(u2 + v2) = U(θ)}. (3.29)


Debido a que U(θ) es periodica, por el teorema del valor medio, existeθc tal que U ′(θc) = 0. Sea vc = 2U(θc). Entonces para h < 0 existe unaorbita homotetica de expulsion-colision dada explıcitamente por θ = θc,u = 0 y

rh(τ) = − v2c

2hsech2(vcτ/2),

vh(τ) = −vc tanh(vcτ/2).

Las ecuaciones variacionales a lo largo de la orbita homotetica son

δr′ = vhδr + rhδv,

δv′ = vhδv,

δθ′ = δu,

δu′ = −1

2vhδu+ U ′′(θc)δθ

Las dos ultimas ecuaciones se desacoplan y constituyen las ecuacionesvariacionales normales. Ellas pueden ser expresadas con respecto altiempo re-escalado s = vcτ/2, lo cual seguira siendo denotado medianteprimas,

δθ′′(s)− tanh(s)δθ′(s)− ω2θ(s) = 0 (3.30)

donde

ω2 =2U ′′(θc)

U(θc).

(ω puede ser imaginario).

Observemos que las ecuaciones de McGehee (3.27) son hamiltonianas conrespecto a la forma simplectica α = 2dv∧ dr1/2 + d(r1/2u)∧ dθ obtenidopor el retorno o regreso de la forma canonica dpx ∧ dx + dpy ∧ dy bajola transformacion de McGehee. Por lo tanto se puede aplicar la Teorıade Morales–Ramis a este caso.

Teorema 3.14. Consideremos el Hamiltoniano de un sistema dado por

H =1

2(p2x + p2

y)− U(x, y)

CAPITULO 3 123

con U(x, y) > 0 homogeneo de grado de homegeneidad −1, definido paratodo (x, y) 6= (0, 0). Sea U ′(θc) = 0 y sea

ω2 =2U ′′(θc)

U(θc),

entonces siω2 6= n(n+ 1) n ∈ Z, (3.31)

entonces sobre un nivel negativo de energıa el sistema no tiene una in-tegral primera meromorfa adicional en una vecindad de la solucion ho-motetica definida por θ = θc.

Demostracion. Consideremos la ecuacion variacional (3.30)

d2z

dt2− tanh(t)

dz

dt− ω2z = 0,

la cual mediante el cambio de variable dependiente z(t) = y(t)√

cosh(t)es transformada en la ecuacion diferencial reducida

d2y(t)

dt2= φ(t)y(t), φ(t) =

cosh2(t) + 4ω2 cosh2(t)− 3

4 cosh2(t). (3.32)

Ahora aplicamos la Algebrizacion Hamiltoniana debido a que la ecuacion(3.32) cumple con las condiciones y esta lista para ser algebrizada.El cambio de variable Hamiltoniano que consideramos es τ = τ(t) =cosh(t), donde τ = sinh(t), (τ)2 = sinh2(t) = −1 + cosh2(t) so that

α = −1 + τ2 and f =τ − 1 + 4κj

4(1− τ).

La ecuacion algebrizada es

d2y(τ)

dτ2− τ

1− τ2

dy(τ)

dτ− (1 + 4ω2)τ2 − 3

4τ2(τ2 − 1)y(τ) = 0, (3.33)

y los puntos 0, 1, −1 e ∞ son singularidades regulares. Esto significaque tenemos dos opciones, aplicamos el teorema de Kimura o aplicamosel algoritmo de Kovacic. Transformamos la ecuacion (3.33) en su formareducida, es decir,

d2η

dτ2= r(τ)η, r(τ) =

4ω2τ4 − (6 + 4ω2)τ2 + 3

4τ2(τ − 1)2(τ + 1)2, y(τ) =

η4√

1− τ2(3.34)


siendo ω 6= 0, porque con ω = 0 la ecuacion diferencial se puede resolverfacilmente debido a que la ecuacion variacional serıa una ecuacion desegundo orden transformable a una ecuacion de primer orden. Pode-mos ver que Υ = {0,−1, 1,∞} y que la ecuacion (3.34) pueden caer encualquiera de los cuatro casos del algoritmo de Kovacic. Ahora bien,expandiendo r(τ) en fracciones parciales tenemos que

r(τ) = − 3

16(τ − 1)2+

8ω2 − 3

16(τ − 1)− 3

16(τ + 1)2+

3− 8ω2

16(τ + 1)+

3

4τ2.

Comenzaremos analizando el primer caso. La ecuacion (3.34) satisfacelas condiciones {c2,∞2} porque ◦r1 = ◦r−1 = 1 = ◦r0 = ◦r∞ = 2. De-bido a la condicion∞2, necesitamos la serie de Laurent de r(τ) alrededorde ∞, lo cual corresponde a

r(τ) = ω2τ2 +

(−3

2+ ω2

)τ4 +

(ω2 − 9

4

)τ6 +O(τ8)

obteniendo las expresiones

[√r]0 = [

√r]−1 = [

√r]1 = [

√r]∞ = 0,

α+1 = α+

−1 = 34 , α−1 = α−−1 = 1

4 , α±∞ = 1±√

1+4ω2

2 .

Por el paso 2, D = Z+ y ω2 tiene las siguientes posibilidades:

ω2 = (n+ 2)(n+ 3), ω2 = (2n+3)(2n+5)4 , ω2 = (n+ 1)(n+ 2),

ω2 = n(n+ 1), ω2 = (2n+1)(2n−1)4 , ω2 = n(n− 1),

descartando ω2 /∈ Z porque la ecuacion diferencial no tiene solucionesLiouvillianas (el polinomio monico Pn no existe), tomamos el resto delos valores para ω2, los cuales son equivalentes a ω2 = n(n + 1). Paracada n podemos construir ω y por el paso 3 existe un polinomio monicode grado n en el cual cada solucion de la ecuacion diferencial (3.34) esdada para todo n ∈ Z+.

Continuando con el caso 2, esperariamos encontrar valores distintos deω2 que los obtenidos por el caso 1. Por lo tanto, la ecuacion (3.34)

CAPITULO 3 125

satisface las condiciones {c2,∞2}, porque ◦r0 = ◦r1 = ◦r−1 = ◦r∞ = 2,obteniendo las expresiones

E0 = {−2, 2, 6}, E1 = E−1 = {1, 2, 3}

y

E∞ ={

2, 2−√

1 + 4ω2, 2 +√

1 + 4ω2}.

Por el paso 2, D = Z+ y obtenemos nuevamente que ω2 = n(n+ 1), porlo tanto descartamos el caso 2.

Finalmente, continuando con el caso 3, esperarıamos obtener valoresdistintos de ω2 que los presentados en los casos anteriores, pero nue-vamente aparece la expresion

√1 + 4ω2, la cual reemplazada en Ec y

E∞ nos da nuevamente ω2 = n(n + 1). Esto significa que la ecuaciondiferencial (3.34) tiene como grupo de Galois diferencial a un subgrupodel grupo de Borel cuando ω2 = n(n + 1). En caso contrario, cuandoω2 6= n(n + 1), el grupo de Galois diferencial es SL(2,C), el cual esconexo y no resoluble. En conclusion, el grupo de Galois de la ecuaciondiferencial (3.34) es virtualmente abeliano (su componente conexa quecontiene a la identidad es abeliana) para ω2 = n(n + 1) y no resolublepara ω2 6= n(n+ 1). 2

3.3 Ecuacion de Schrodinger

En seccion estudiaremos algunos aspectos de la mecanica cuantica norelativista desde el punto de vista de la teorıa de Galois diferencial. Elobjeto principal de nuestro estudio Galoisiano es entonces la ecuacionestacionaria y unidimensional de Schrodinger, asumiendo todas sus con-stantes iguales a la unidad, la cual escribimos como

Lλ := HΨ = λΨ, H = −∂2x + V (x), V ∈ K, (3.35)

donde K es un cuerpo diferencial (con C como cuerpo de constantes.Estamos interesados en la integrabilidad de la ecuacion (3.35) en conso-nancia con la definicion 2.2.

Introducimos las siguientes notaciones para conectar estos dos mundos:el cuantico y el Galoisiano.


• Denotemos por Λ ⊆ C al conjunto de autovalores λ tales que laecuacion (3.35) es integrable de acuerdo con la definicion 2.2.

• Denotemos por Λ+ al conjunto {λ ∈ Λ ∩ R : λ ≥ 0} y por Λ− alconjunto {λ ∈ Λ ∩ R : λ ≤ 0}.

• Denotemos por Lλ la extension de Picard-Vessiot de Lλ. Porlo tanto, el grupo de Galois diferencial de Lλ es denotado porG(Lλ/K).

El conjunto Λ se denomina espectro algebraico (o de forma alternativa elconjunto espectral Liouvilliano) de H. Es importante notar que Λ puedeser ∅, i.e.,

G(Lλ/K) = SL(2,C), ∀λ ∈ C.

Por otra parte, por el teorema de Lie-Kolchin tenemos lo siguiente. Siλ0 ∈ Λ entonces

(G(Lλ0/K))0 ⊆ B.

Definicion 3.14. Decimos que el potencial V (x) ∈ K es:

• un potencial algebraicamente resoluble cuando Λ es un conjuntoinfinito,

• un potencial algebraicamente casi-resoluble cuando Λ es un con-junto finito no vaciıo, o

• un potencial algebraicamente no resoluble cuando Λ = ∅.

Cuando Card(Λ) = 1, decimos que V (x) ∈ K es un potencial algebraica-mente casi-resoluble trivial.

Ejemplos. Consideremos K = C(x).

1. Si V (x) = x, entonces Λ = ∅, V (x) es algebraicamente no resolu-ble, ver [1, 2, 8, 12, 21] para mayores detalles.

2. Si V (x) = 0, entonces Λ = C, es decir, V (x) es algebraicamenteresoluble. Ademas,

G(L0/K) = e, G(Lλ/K) = Gm, λ 6= 0.

CAPITULO 3 127

3. Si V (x) = x2

4 + 12 , entonces Λ = {n : n ∈ Z}, V (x) es algebraica-

mente resoluble. Este ejemplo corresponde a la ecuacion de Weber,la cual fue mencionada en el capıtulo 2.

4. Si V (x) = x4 − 2x, entonces Λ = {0}, V (x) es trivialmente alge-braicamente casi-resoluble.

Notemos que podemos obtener potenciales algebraicamente resolubles yalgebraicamente casi-resolubles de las siguientes formas.

• Dado el potencial V , tratamos de resolver la ecuacion diferencial

∂2xΨ0 = VΨ0

para obtener el superpotencial

W = ∂x ln(Ψ0).

Si el superpotencial existe en la clase de las funciones Liouvillianas(la ecuacion diferencial es integrable), entonces buscamos el espec-tro algebraico Λ en la ecuacion de Schrodinger

HΨ = λΨ.

Utilizando este metodo, lo mas probable es que el espectro alge-braico sea vacıo.

• Dando el superpotencial W , construimos el potencial

V = ∂xW +W 2.

Acto seguido buscamos el espectro algebraico Λ en

HΨ = λΨ.

Con este metodo al menos garantizamos que el potencial V estrivialmente algebraicamente casi-resoluble puesto que 0 ∈ Λ.

• Utilizando ecuaciones diferenciales parametricas que sean inte-grables para un conjunto de valores del parametro, las cuales puedenser transformadas en ecuaciones de Schrodinger. En este caso, ellos valores del parametro de la ecuacion diferencial que hacen que


esta sea integrable, debe coincidir con los autovalores del operadorH. Con este metodo conocemos previamente el espectro algebraicoΛ, por lo tanto podemos obtener potenciales algebraicamente res-olubles o algebraicamente casi-resolubles, lo cual dependera solode la cardinalidad de Λ.

Para estudiar mecanica cuantica, es necesario conocer algunos elementosde analisis funcional. Es por esto que estamos interesados en obtenerexplıcitamente el espectro del operador de Schrodinger (espectro dis-creto o puntual, espectro continuo, etc.). En particular nos interesa elespectro del operador de Schrodinger con potenciales que no sean alge-braicamente no resolubles, es decir, que sean algebraicamente resolubleso algebraicamente casi-resolubles. Nuestro objetivo ahora es claro y cor-responde a encontrar autovalores del operador de Schrodinger que a suvez sean elementos del espectro algebraico, es decir

spec(H) ∩ Λ 6= ∅.

Por ejemplo, el potencial V (x) = |x| tiene espectro puntual aun cuandoV (x) es algebraicamente resoluble. De esta manera, cuando spec(H)∩Λes un conjunto infinito, en la terminologıa usual de la fısica matematica,esos potenciales son denominados potenciales resolubles o exactamenteresolubles, los cuales fueron introducidos por Natanzon. De una maneraanaloga, cuando

spec(H) ∩ Λ

es un conjunto finito, la definicion usual en fısica matematica de esospotenciales es potenciales casi-resolubles o casi-exactamente resolubles,los cuales fueron introducidos por Turbiner.

Actualmente el estudio de potenciales exactamente resolubles y casi-exactamente resolubles ha despertado el interes de muchos investigadoresen fısica matematica. Un ejemplo de esta clase de investigaciones co-rresponde al estudio de la integrabilidad de la ecuacion de Schrodinger,estacionaria y unidimensional, con potencial polionomial, es decir, cuandoen la ecuacion (3.35) V ∈ C[x].

Por simplicidad y sin perdida de generalidad podemos considerar poli-nomios monicos puesto que la ecuaciones diferenciales de la forma

∂2xξ = (cnx

n + . . .+ c1x+ c0) ξ, ci ∈ C,

CAPITULO 3 129

utilizando la tecnica de la Algebrizacion Hamiltoniana, pueden ser trans-formadas en las ecuaciones diferenciales

∂2τ ξ = (τn + . . .+ q1τ + q0) ξ, x = n+2

√cnτ.

Cuando el potencial V es un polinomio de grado impar, es bien conocidoque el grupo de Galois diferencial de la ecuacion de Schrodinger (3.35)es isomorfo a SL(2,C), para detalles adicionales consultar [1, 2, 8, 12, 21].

De la misma manera en que se completaba cuadrados en trinomios queno fuesen cuadrados perfectos, se hace una generalizacion de este hechoen polinomios de grado par, lo cual corresponde al siguiente lema.

Lema 3. 1. (Completacion de Cuadrados) Todo polinomio monicode grado par puede ser escrito en una sola forma utilizando completacionde cuadrados, es decir

Q2n(x) = x2n +2n−1∑k=0

qkxk =

(xn +

n−1∑k=0

akxk

)2

+n−1∑k=0

bkxk, (3.36)

donde

an−1 =q2n−1

2, an−2 =

q2n−2 − a2n−1

2, an−3 =

q2n−3 − 2an−1an−2

2, · · · ,

a0 =qn − 2a1an−1 − 2a2an−2 − · · ·

2, b0 = q0−a2

0, b1 = q1−2a0a1, · · · ,

bn−1 = qn−1 − 2a0an−1 − 2a1an−2 − · · · .Demostracion. Basta tomar la igualdad de los dos polinomios y obtenerlos coeficientes que satisfacen esas igualdad. 2

Tal como se observa, si el potencial V (x) tiene la forma de la ecuacion(3.36), entonces puede ser escrito en terminos del superpotencial W (x),es decir,

V (x) = W 2(x)− ∂xW (x),

lo cual indica que

W (x) = xn +

n−1∑k=0

akxk


y por lo tanto

nxn−1 +n−1∑k=1

kakxk−1 = −

n−1∑k=0

bkxk.

Con ayuda de este lema se puede demostrar el siguiente teorema, el cuales uno de los resultados principales de esta seccion.

Teorema 3.15. (Potenciales Polinomiales y Grupos de Galois)Consideremos la ecuacion de Schrodinger (3.35), siendo V (x) ∈ C[x]un polinomio de grado k > 0, K = C(x) y Lλ su extension de Picard-Vessiot. Entonces, el grupo de Galois diferencial G(Lλ/K) cae en sola-mente uno de los siguientes casos:

1. G(Lλ/K) = SL(2,C),

2. G(Lλ/K) = B,

y el autoanillo diferencial de H − λ es trivial, es decir,

E(H − λ) = Vect(1).

Ademas G(Lλ/K) = B si y solo si las siguientes condiciones se cumplen:

1. V (x)− λ es un polinomio de grado k = 2n escrito en la forma dela ecuacion (3.36).

2. bn−1 − n o −bn−1 − n es un entero positivo par 2m, m ∈ Z+.

3. Existe un polinomio monico Pm de grado m, que satisface la relacionalgebraica

∂2xPm + 2

(xn +

n−1∑k=0

akxk

)∂xPm +

+

(nxn−1 +

n−2∑k=0

(k + 1)ak+1xk −

n−1∑k=0

bkxk

)Pm = 0,

o la relacion algebraica

∂2xPm − 2

(xn +

n−1∑k=0

akxk

)∂xPm +

+

(−nxn−1 −

n−2∑k=0

(k + 1)ak+1xk −

n−1∑k=0

bkxk

)Pm = 0.

CAPITULO 3 131

En tales casos, las unicas posibilidades para las funciones propias o auto-funciones con superpotencial racional (mas aun polinomial) estan dadaspor

Ψλ = Pmef(x), o Ψλ = Pme

−f(x),

donde

f(x) =xn+1

n+ 1+n−1∑k=0

akxk+1

k + 1.

El siguiente resultado caracteriza a los potenciales polinomiales algebra-camente resolubles y algebraicamene casi-resolubles.

Teorema 3.16. Supongamos que V (x) es un potencial polinomial alge-braicamente resoluble. Entonces V (x) es un polinomio de grado 2.

Demostracion. Escribiendo V (x) − λ en la forma de la ecuacion (3.36)podemos ver que bn−1 − n = 2m o −bn−1 − n = 2m, donde m ∈ Z+.Es por lo tanto que la integrabilidad de la ecuacion de Schrodinger conCard(Λ) > 1 es obtenida cuando bn−1 es constante, por lo tanto n = 1.

Debemos recordar que no solamente hay obtener los resultados alge-braicos, tambien se deben cumplir las condiciones analıticas. De estamanera, dado el potencial polinomial V (x) que satisface

specp(H) ∩ Λ 6= ∅,

podemos obtener estados ligados y funciones de onda normalizadas siem-pre que el potencial polinomial V (x) sea de grado 4n+ 2. Ademas, unacondicion de integrabilidad de HΨ = λΨ para λ ∈ Λ es que b2n sea unentero impar. En particular, si el potencial

V (x) = x4n+2n + µx2n, n > 0

es algebraicamente casi-resoluble, entonces µ es un entero impar. Paraesta clase de potenciales, obtenemos estado base solamente cuando µ esun entero negativo impar.

Por otra parte, el polinomio no constante V (x) de grado 4n es asociadoa operadores Hamiltonianos no hermitianos y a lo se conoce como in-variancia PT , la cual no se considera en este material. Por otra parte,


una condicion de integrabilidad de HΨ = λΨ para λ ∈ Λ es que b2n−1

debe ser un entero par. En particular, si la ecuacion de Schrodinger

HΨ = λΨ, V (x) = x4n + µx2n−1, λ ∈ Λ

es integrable, entonces µ es un entero par.

Para ilustrar los teoremas anteriores, ası como la observacion anterior,se presentan los siguientes ejemplos.

Ejemplo. La ecuacion de Weber y el oscilador armonico. Laecuacion de Schrodinger con potencial V (x) = x2 +q1x+q0 correspondea la forma de Rehm de la ecuacion de Weber (2.18), la cual fue estudiadaen el capıtulo 2. Por el Lema 3.1 se tiene que

V (x)− λ = (x+ a0)2 + b0, a0 = q1/2, b0 = q0 − q21/4− λ.

por lo tanto obtenemos ±b0−1 = 2m, donde m ∈ Z+. Si b0 es un enteroimpar, entonces

G(Lλ/K) = B, E(H − λ) = Vect(1),

λ ∈ Λ = {±(2m+ 1) + q0 − q21/4 : m ∈ Z+}

y el conjunto de autofunciones es

Ψλ = Pme12

(x2+q1x), o, Ψλ = Pme− 1

2(x2+q1x).

En el segundo caso tenemos funciones de onda con estados ligados y

specp(H) ∩ Λ = specp(H) = {Em = 2m+ 1 + q0 − q21/4 : m ∈ Z+},

el cual es infinito. Los polinomios Pm estan relacionados con los poli-nomios de Hermite Hm.

En particular tenemos el potencial del oscilador armonico V (x) = x2−1.Es decir, q1 = 0 y q0 = −1. En esta forma obtenemos el espectroalgebraico Λ = {±(2m+1)−1 : m ∈ Z+} y el conjunto de autofuncioneses

Ψλ = Pme12x2, o, Ψλ = Pme

− 12x2,

CAPITULO 3 133

donde como se menciono anteriormente,

G(Lλ/K) = B, E(H − λ) = {1}

para cada valor de λ ∈ Λ. En el segundo caso tenemos la funcion deonda correspondiente al estado base,

specp(H) ∩ Λ = specp(H) = Λ+ = {2m : m ∈ Z+}

y Pm = Hm. Las funciones de onda para HΨ = EΨ, la cual es laecuacion de Schrodinger con todos sus parametros, estan dadas por

Ψm = Hm

(√2

ωx

)Ψ0, Ψ0 = e−

ω4x2, E = Em = mω.

Ejemplo. Osciladores Anarmonicos: Cuartico y Sextico. Laecuacion de Schrodinger con potencial

V (x) = x4 + q3x3 + q2x

2 + q1x+ q0

puede ser obtenido mediante transformaciones de la ecuacion confluentede Heun, lo cual no consideramos en este material. Por el Lema 3.1 setiene que

V (x)− λ = (x2 + a1x+ a0)2 + b1x+ b0,

donde a1 = q3/2, a0 = q2/2−a21/2, b1 = q1−2a0a1 y b0 = q0−a2

0−λ. Porlo tanto obtenemos ±b1 − 2 = 2m, donde m ∈ Z+. Si Λ 6= ∅, entoncesb1 es un entero par, el polinomio Pm satisface la relacion algebraica deltercer paso del algoritmo de Kovacic para el caso 1 y

G(Lλ/K) = B

para todo λ ∈ Λ. El conjunto de autofunciones es

Ψλ = Pmex3

3+a1x

2

2+a0x, o, Ψλ = Pme

−(x3

3+a1x

2

2+a0x

),

donde λ y m estan relacionados, lo cual significa que Λ es finito, es de-cir, el potencial es algebraicamente casi-resoluble. En particular paraq3 = 2ıl, q2 = l2 − 2k, q1 = 2ı(lk− J) y q0 = 0, tenemos el potencial deloscilador anarmonico cuartico.


Ahora bien, si consideramos los potenciales parametricos

V (x, µ) = x4 + 4x3 + 2x2 − µx,

nuevamente por el Lema 3.1 tenemos que

V (x, µ)− λ = (x2 + 2x− 1)2 + (4− µ)x− 1− λ,

por lo tanto ±(4−µ)−2 = 2n, donde n ∈ Z+ y en consecuencia µ ∈ 2Z.Tal µ puede ser uno de los siguientes: µ = 2 − 2n o µ = 2n + 6, donden ∈ Z+. Por el Teorema 3.15 existe un polinomio monico Pn el cualsatisface respectivamente la relacion algebraica

∂2xPn + (2x2 + 4x− 2)∂xPn + ((µ− 2)x+ 3 + λ)Pn = 0, µ = 2− 2n,

o la relacion algebraica

∂2xPn − (2x2 + 4x− 2)∂xPn + ((µ− 6)x− 1 + λ)Pn = 0, µ = 2n+ 6

para Λ 6= ∅. Estas relaciones algebraicas entre los coeficientes de Pn, µy λ nos dan el espectro algebraico Λ en la siguiente forma:

1. EscribimosPn = xn + cn−1x

n−1 + . . .+ c0,

donde los valores de ci son desconocidos.

2. Tomamos µ y reemplazamos Pn en la relacion algebraica paraobtener un polinomio de grado n con n+1 coeficientes indetermina-dos que involucran a c0, . . . cn−1 y λ. Cada uno de tales coeficientesdebe ser cero.

3. El termino n + 1 es lineal en λ y cn−1, de esta forma podemosescribir a cn−1 en terminos de λ. Despues de la eliminacion deltermino n + 1, reemplazamos cn−1 en el termino n-esimo paraobtener un polinomio cuadratico en λ. De manera sucesiva, repeti-mos el procedimiento hasta llegar al termino constante, el cual esun polinomio de grado n+ 1 en λ, que denotaremos por Qn+1(λ).De esta manera, el espectro algebraico esta dado por Λ = {λ :Qn+1(λ) = 0} y c0, . . . , cn−1 son determinados para cada valor deλ.

CAPITULO 3 135

Para µ = 2n+ 6, tenemos:

n = 0, V (x, 6), P0 = 1, Λ = {1}n = 1, V (x, 8), P1 = x+ 1∓

√2, Λ = {3± 2

√2}

...

y el conjunto de autofunciones es

Ψλ,µ = Pne− 1

3x3−x2+x.

De la misma manera, podemos obtener Λ, Pn y Ψλ,µ para µ = 2 − 2n.Sin embargo la solucion no nos es util en nuestro contexto cuantico yaque no tenemos estados ligados, es decir

specp(H) ∩ Λ = ∅,

aun cuando

G(Lλ/K) = B, E(H − λ) = Vect(1)

para todo λ ∈ Λ.

Despues del artıculo seminal de Turbiner, y posteriormente con los tra-bajos de Bender y Dunne, uno de los osciladores anarmonicos mas cono-cidos es el oscilador anarmonico sextico

x6 + q5x5 + · · ·+ q1x+ q0,

el cual puede ser tratado en una forma similar como en el caso delcuartico. Con este enfoque se recuperan los resultados clasicos de Bender-Dunne, obteniendo las funciones de onda con estados ligados y los poli-nomios ortogonales de Bender-Dunne, cuyos ceros forman el espectroalgebraico de este operador de Schrodinger . Tambien se tiene que laecuacion de Schrodinger con este potencial, usando transformacionesadecuadas, tambien cae en una ecuacion confluente de Heun.

Ahora consideraremos la ecuacion de Schrodinger con potenciales racionales,es decir, el potencial es una funcion racional (V (x) ∈ C(x)). La her-ramienta fundamental en este apartado es el Algoritmo de Kovacic.


Ejemplo. Oscilador Armonico Tridimensional. Este potencial esun ejemplo de lo que se conoce como potencial efectivo, el cual es dadopor

V (r) =1

4ω2r2 +

`(`+ 1)

r2−(`+

3

2

)ω, ` ∈ Z,

podemos que la ecuacion de Schrodinger para este caso puede ser escritacomo

∂2rΨ =

((1

2ωr

)2

+`(`+ 1)

r2−(`+

3

2

)ω − E

)Ψ.

Por el cambio de variable

r 7→

(√2

ω

)r

obtenemos la ecuacion de Schrodinger

∂2rΨ =

(r2 +

`(`+ 1)

r2− (2`+ 3)− λ

)Ψ, λ =

2

ωE

y para aplicar el Algoritmo de Kovacic establecemos:

R = r2 +`(`+ 1)

r2− (2`+ 3)− λ.

Tal como podemos observar, esta ecuacion puede caer en el caso 1, caso2 o caso 4 del algoritmo de Kovacic. Comenzaremos por descartar elcaso 2 del algoritmo de Kovacic porque por el paso 1 debemos tener lascondiciones c2 e ∞3, de esta manera se tiene

Ec = {2, 4 + 4`,−4`}, E∞ = {−2},

y por el paso 2, se tiene que n = −4 /∈ Z+, por lo tanto D = ∅. Es decir,esta ecuacion de Schrodinger nunca cae en el caso 2.

Ahora bien, trabajando unicamente en el caso 1, por el paso 1, las condi-ciones c2 e ∞3 son satisfechas, por lo tanto[√

R]c

= 0, α±c =1± (2`+ 1)

2,[√

R]∞

= r, α±∞ =∓(λ+ 2`+ 3)− 1

2.

CAPITULO 3 137

Por el paso 2 tenemos las siguientes posibilidades para n ∈ Z+ y paraλ ∈ Λ:

Λ++) n = α+∞ − α+

0 = −12 (4`+ 6 + λ) , λ = −2n− 4`− 6,

Λ+−) n = α+∞ − α−0 = −1

2 (4 + λ) , λ = −2n− 4,

Λ−+) n = α−∞ − α+0 = λ

2 , λ = 2n,

Λ−−) n = α−∞ − α−0 = 12 (4`+ 2 + λ) , λ = 2n− 4`− 2,

donde Λ++∪Λ+−∪Λ−+∪Λ−− = Λ, lo cual significa que λ = 2m, m ∈ Z.Ahora, para λ ∈ Λ, la funcion racional ω en el Algoritmo de Kovacic esdada por:

Λ++) ω = r + `+1r , Rn = r2 + `(`+1)

r2 + (2`+ 3) + 2n,

Λ+−) ω = r − `r , Rn = r2 + `(`+1)

r2 − (2`− 1) + 2n,

Λ−+) ω = −r + `+1r , Rn = r2 + `(`+1)

r2 − (2`+ 3)− 2n,

Λ−−) ω = −r − `r , Rn = r2 + `(`+1)

r2 + (2`− 1)− 2n,

donde Rn es el coeficiente de la ecuacion diferencial Ln := ∂2rΨ = RnΨ,

la cual es integrable para todo n y para todo λ ∈ Λ. Por tanto, podemosver que

G(Ln/K) = G(Lλ/K),

donde Lλ := HΨ = λΨ y λ ∈ Λ.

Por el paso 3, existe un polinomio monico de grado n el cual satisface larelacion algebraica:

Λ++) ∂2rPn + 2

(r + `+1

r

)∂rPn − 2nPn = 0, λ ∈ Λ−,

Λ+−) ∂2rPn + 2

(r − `

r

)∂rPn − 2nPn = 0, λ ∈ Λ−,

Λ−+) ∂2rPn + 2

(−r + `+1

r

)∂rPn + 2nPn = 0, λ ∈ Λ+,

Λ−−) ∂2rPn + 2

(−r − `

r

)∂rPn + 2nPn = 0, λ ∈ Λ.


Estos polinomios existen para todo λ ∈ Λ cuando sus grados son n ∈ 2Z,mientras que para n ∈ 2Z+1, ellos existen solamente para los casos Λ−+)y Λ−−) con condiciones especiales. De esta manera, hemos obtenido elespectro algebraico Λ = 2Z, donde

Λ++ = 4Z−, Λ+− = 2Z−, Λ−+ = 4Z+, Λ−− = 2Z.

Las posibilidades para las funciones propias, o autofunciones, considerandosolamente λ ∈ 4Z, estan dadas por

Λ++) Ψn(r) = r`+1P2n(r)er2

2 , λ ∈ Λ−,

Λ+−) Ψn(r) = r−`P2n(r)er2

2 , λ ∈ Λ−,

Λ−+) Ψn(r) = r`+1P2n(r)e−r2

2 , λ ∈ Λ+,

Λ−−) Ψn(r) = r−`P2n(r)e−r2

2 , λ ∈ Λ.

Para obtener el espectro puntual, verificamos en las funciones Ψn a aque-llas que satisfacen las condiciones de estados ligados. De esta forma ob-servamos que solo hay estados ligados para λ ∈ Λ−+. Con el cambio devariable r 7→

√ω2 r, el espectro puntual y el estado base de la ecuacion

de Schrodinger con potencial oscilador armonico tridimensional son re-spectivamente

specp(H) = {En : n ∈ Z+}, En = 2nω,

donde ω es la velocidad angular y

Ψ0 =

(√ω

2r

)`+1

e−ω4r2.

El estado base de la funcion de onda se obtiene como Ψn = P2nΨ0.Ahora, podemos ver que

G(L0/K) = B, E(H) = Vect(1).

Debido a que Ψn = P2nΨ0, para todo λ ∈ Λ tenemos que

G(Lλ/K) = B, E(H − λ) = Vect(1).

CAPITULO 3 139

En particular,

G(Lλ/K) = B, E(H − λ) = Vect(1), ∀λ ∈ specp(H), λ =2

ωE.

Se recalca que la ecuacion de Schrodinger con potencial oscilador armonicotridimensional, mediante los cambios de variable

r 7→ 1

2ωr2, Ψ 7→

√rΨ,

cae en una ecuacion diferencial de Whittaker (ecuacion (2.14)) en dondelos parametros estan dados por

κ =(2`+ 3)ω + 2E

4ω, µ =

1

2`+

1

4.

Aplicando el Teorema de Martinet-Ramis, podemos ver que la integrabil-idad de la ecuacion diferencial se tiene cuando ±κ±µ sea un semi-entero.Estas condiciones coinciden con nuestros cuatro conjuntos Λ±±.

Ejemplo. Potencial de Coulomb. El potencial de Coulomb queconsideramos aquı esta dado por

V (r) = −e2

r+`(`+ 1)

r2+

e4

4(`+ 1)2, ` ∈ Z.

Podemos ver que la ecuacion de Schrodinger en este caso puede serescrita como

∂2rΨ =

(`(`+ 1)

r2− e2

r+

e4

4(`+ 1)2− E

)Ψ.

Mediante el cambio de variable r 7→ 2(`+1)e2 r podemos obtener la ecuacion

de Schrodinger

∂2rΨ =

(`(`+ 1)

r2− 2(`+ 1)

r+ 1− λ

)Ψ, λ =

4(`+ 1)2

e4E.

De esta manera y para aplicar el Algoritmo de Kovacic, denotamos

R =`(`+ 1)

r2− 2(`+ 1)

r+ 1− λ.


Comenzaremos analizando el caso para λ = 1: podemos ver que estaecuacion solamente puede caer en el caso 2 o puede caer en el caso 4 delAlgoritmo de Kovacic. Comenzaremos descartando el caso 2 porque porel paso 1 se tienen las condiciones c2 e ∞3. De esta manera tenemos

Ec = {2, 4 + 4`,−4`}, E∞ = {1}

y por el paso 2, tenemos que n /∈ Z. Por lo tanto, n /∈ Z+ y D = ∅,es decir, el grupo de Galois diferencial de esta ecuacion de Schrodingerpara λ = 1 es isomorfo a SL(2,C).

Ahora analizaremos el caso para λ 6= 1: podemos ver que esta ecuacionpuede caer en el caso 1, caso 2 o en el caso 4. Comenzaremos descartandoel caso 2 porque por el paso 1 tenemos las condiciones c2 e ∞3, por lotanto tenemos

Ec = {2, 4 + 4`,−4`}, E∞ = {0}.

Por el paso 2, debemos tener que n = 2` ∈ Z+, por lo tanto D = {2`} yla funcion racional θ es dada por

θ =−2`

x,

pero descartamos este caso porque solo puede existir un polinomio degrado 2` para un valor de ` fijo, por lo tanto solo habrıa una funcionpropia para la ecuacion de Schrodinger.

Ahora, solamente trabajaremos con el caso 1. Por el paso 1 las condi-ciones c2 e ∞3 son satisfechas. Ası,

[√R]c

= 0, α±c =1± (2`+ 1)

2,[√

R]∞

=√

1− λ, α±∞ = ∓ `+ 1√1− λ

.

Por el paso 2 tenemos las siguientes posibilidades para n ∈ Z+ y para

CAPITULO 3 141

λ ∈ Λ:

Λ++) n = α+∞ − α+

0 = −(`+ 1)(

1 + 1√1−λ

), λ = 1−

(`+1

`+1+n

)2,

Λ+−) n = α+∞ − α−0 = − `+1√

1−λ + `, λ = 1−(`+1`−n

)2,

Λ−+) n = α−∞ − α+0 = (`+ 1)

(1√1−λ − 1

), λ = 1−

(`+1

`+1+n

)2,

Λ−−) n = α−∞ − α−0 = `+1√1−λ + `, λ = 1−

(`+1`−n

)2.

Podemos ver que λ ∈ Λ− cuando λ ≤ 0, mientras que λ ∈ Λ+ cuando0 ≤ λ < 1. Ademas:

Λ++) ` ≤ −1, λ ∈

{ Λ−, ` ≤ −n−22

Λ+,−n−2

2 ≤ ` ≤ −1

Λ+−) ` > 0, λ ∈

{ Λ−, ` ≥ n−12

Λ+, 0 ≤ ` ≤ n−12

Λ−+) ` ∈ Z, λ ∈

{ Λ−, ` ≤ −n−22

Λ+, ` ≥ −1

Λ−−) ` > 0, λ ∈

{ Λ−, ` ≥ n−12

Λ+, 0 ≤ ` ≤ n−12

De esta manera, el espectro algebraico posible puede ser

Λ = Λ++ ∪ Λ+− ∪ Λ−+ ∪ Λ−−,

es decir que el espectro algebraico Λ estarıa dado por{1−

(`+ 1

`+ 1 + n

)2

: n ∈ Z+

}∪

{1−

(`+ 1

`− n

)2

: n ∈ Z+

}, (3.37)


Ahora bien, para λ ∈ Λ, la funcon racional ω esta dada por given by:

Λ++) ω = `+1`+1+n + `+1

r , λ ∈ Λ++, Rn = `(`+1)r2 − 2(`+1)

r +(

`+1`+1+n

)2,

Λ+−) ω = `+1`−n −

`r , λ ∈ Λ+−, Rn = `(`+1)

r2 − 2(`+1)r +

(`+1`−n

)2,

Λ−+) ω = − `+1`+1+n + `+1

r , λ ∈ Λ−+, Rn = `(`+1)r2 − 2(`+1)

r +(

`+1`+1+n

)2,

Λ−−) ω = − `+1`−n −

`r , λ ∈ Λ−−, Rn = `(`+1)

r2 − 2(`+1)r +

(`+1`−n

)2,

donde Rn es el coeficiente de la ecuacion diferencial ∂2rΨ = RnΨ, la

cual es integrable para todo valor de n ∈ Z+.

Por el paso 3, existe un polinomio de grado n que satisface la relacionalgebraica

Λ++) ∂2rPn + 2

(`+1

`+1+n + `+1r

)∂rPn + 2(`+1)

r

(1 + `+1

`+1+n

)Pn = 0,

Λ+−) ∂2rPn + 2

(`+1`−n −

`r

)∂rPn + 2(`+1)

r

(1− `+1

`−n

)Pn = 0,

Λ−+) ∂2rPn + 2

(− `+1`+1+n + `+1

r

)∂rPn + 2(`+1)

r

(1− `+1

`+1+n

)Pn = 0,

Λ−−) ∂2rPn + 2

(− `+1`−n −

`r

)∂rPn + 2(`+1)

r

(1 + `+1

`−n

)Pn = 0.

Estos polinomios existen para todo λ ∈ Λ cuando n ∈ Z, pero P0 = 1 sesatisface solamente para λ ∈ Λ−+. De esta manera, hemos confirmadoque el espectro algebraico Λ de esta ecuacion de Schrodinger esta dadopor la relacion (3.37).

CAPITULO 3 143

Las posibilidades para las funciones propias son entonces

Λ++) Ψn(r) = r`+1Pn(r)fn(r)er, fn(r) = e−nr

`+1+n , λ ∈{ Λ−, ` ≤ −n−2

2

Λ+,−n−2

2≤ ` ≤ −1

Λ+−) Ψn(r) = r−`Pn(r)fn(r)er, fn(r) = en+1`−n

r, λ ∈

{ Λ−, ` ≥ n−12

Λ+, 0 ≤ ` ≤ n−12

Λ−+) Ψn(r) = r`+1Pn(r)fn(r)e−r, fn(r) = enr

`+1+n , λ ∈{

Λ−, ` ≤ −n−22

Λ+, ` ≥ −1

Λ−−) Ψn(r) = r−`Pn(r)fn(r)e−r, fn(r) = en+1n−`

r, λ ∈

{ Λ−, ` ≥ n−12

Λ+, 0 ≤ ` ≤ n−12

pero Ψn debe satisfacer las condiciones de estados ligados, las cualesson verdaderas solamente para λ ∈ Λ−+ ∩ Λ+, ası que podemos escogerΛ−+ ∩ Λ+ = specp(H), esto es

specp(H) =

{1−

(`+ 1

`+ n+ 1

)2

: n ∈ Z+, ` ≥ −1

}.

Por el cambio de variable r 7→ e2

2(`+1)r, el espectro puntual y estado basede la ecuacion de Schrodinger con potencial de Coulomb son respectiva-mente

specp(H) = {En : n ∈ Z+}, En =e4

4

(1

(`+ 1)2− 1

(`+ 1 + n)2

)y

Ψ0 =

(e2

2(`+ 1)r

)`+1

e− e2

2(`+1)r.

Los estados propios estan dados por Ψn = PnfnΨ0, donde

fn(r) = ene2r

2(`+1+n)(`+1) .

Ahora, podemos ver que G(L0/K) = B y E(H) = Vect(1). Debido aque Ψn = P2nfnΨ0, para todo λ ∈ Λ tenemos que G(Lλ/K) = B yE(H − λ) = Vect(1). En particular,

G(LE/K) = B, E(H − λ) = Vect(1), ∀E ∈ specp(H),

donde E = e4

4(`+1)2λ.


Observamos que al igual que en el caso del oscilador armonico tridimen-sional, la ecuacion de Schrodinger con potencial de Coulomb, a travesdel cambio de variable

r 7→

√−4 (`+ 1)2E + e4

`+ 1r,

cae en una ecuacion diferencial de Whittaker (ecuacion (2.14)) en dondelos parametros estan dados por

κ =e2 (`+ 1)√

−4 (`+ 1)2E + e4

, µ = `+1

2.

Aplicando el teorema de Martinet-Ramis se impone que ±κ± µ sea unsemi-entero y por lo tanto obtenemos nuestros cuatro conjuntos Λ±±.

Se puede observar que hay una especie de equivalencia algebraica entreel potencial de Coulomb y el potencial del oscilador armonico tridimen-sional, puesto que se puede encontrar una transformacion adecuada quelleve una ecuacion de Schrodinger a otra. Por otra parte, los gruposde Galois diferencial de la ecuacion de Schrodinger con potencial deCoulomb fueron analizados por Jean-Pierre Ramis, en la decada de los80’s del siglo pasado, usando su teorıa de sumabilidad.

Por aplicacion directa del algoritmo de Kovacic tenemos:

• La ecuacion de Schrodinger (3.35) con potencial

V (x) = ax2 +b

x2

es integrable para λ ∈ Λ cuando

– a = 0, b = µ(µ+ 1), µ ∈ C, Λ = C,– a = 1, b = 0, λ ∈ Λ = 2Z+ 1,

– a = 1, b = `(`+ 1), ` ∈ Z∗,Λ = 2Z+ 1.

• Los unicos potenciales racionales (salvo transformaciones) en elcual los elementos del espectro algebraico esta equi-espaciados, es

CAPITULO 3 145

decir que dos elementos consecutivos estan a la misma distancia,pertenecen a la familia de potenciales dados por

V (x) =2∑

k=−∞akx

k, a2 6= 0.

En particular, los elementos del espectro algebraico Λ para el os-cilador armonico (a = 1, b = 0) y para oscilador armonico tridi-mensional (a = 1, b = `(`+ 1)) satisfacen esto.

Los siguientes dos teoremas, los cuales pueden consultarse en [1, 2, 12],descartan la posibilidad de que la Ecuacion de Schrodinger que caigaen el caso 3 del algoritmo de Kovacic tenga potenciales algebraicamenteresolubles o algebraicamente casi-resolubles no triviales.

Teorema 3.17. Sea Lλ la ecuacion de Schrodinger (3.35) con cuerpodiferencial K = C(x) y extension de Picard-Vessiot Lλ. Si G(L0/K) esfinito y primitivo, entonces G(Lλ/K) no es finito y primitivo para todoλ ∈ Λ \ {0}.

Demostracion Seleccionemos V ∈ C(x) tal que L0 cae en el caso 3 delalgoritmo de Kovacic, entonces ◦u∞ ≥ 2. Asumamos que t, s ∈ C[x] sontales que V = s

t , entonces

grad(t) ≥ grad(s) + 2 y V − λ =s− λtt

.

Ahora bien, para λ 6= 0 tenemos que deg(s−λt) = deg(t) y por lo tanto◦(V − λ)∞ = 0. Por lo tanto λ 6= 0, la ecuacion Lλ no cae en el caso3 del algoritmo de Kovacic, lo cual nos conduce a que G(Lλ/K) no esprimitivo finito. 2

Teorema 3.18. Sea Lλ la ecuacion de Schrodinger (3.35) con K =C(x) y extension de Picard-Vessiot Lλ. Si Card(Λ) > 1, entonces puedesuceder que cero o un valor de λ hacen que G(Lλ/K) sea un grupo finitoprimitivo.

Demostracion. Asumanos que Card(Λ) > 1. Por lo tanto, por el Teo-rema 3.17, la ecuacion de Schrodinger no cae en el caso 3 del Algoritmo


de Kovacic. 2

Hasta el momento hemos estudiado la integrabilidad de la ecuacion deSchrodinger con potenciales racionales. La situacion se complica bas-tante cuando los potenciales no son funciones racionales tales como lospotenciales de Morse, Rosen-Morse, Poschl-Teller, entre otros. Para re-solver este problema usamos la Algebrizacion Hamiltoniana. Es decir,utilizaremos la derivacion sombrero ∂z en la ecuacion de Schrodinger

HΨ = λΨ, H = −∂2x + V (x), V ∈ K.

Supongamos que z = z(x) es un cambio de variable Hamiltoniano racionalpara HΨ = λΨ, entonces

K = C(z(x), ∂xz(x)).

Por lo tanto, la ecuacion algebrizada de Schrodinger es escrita como

HΨ = λΨ, H = −∂2z + V (z), ∂2

z = α∂2z +

1

2∂zα∂z, (3.38)

siendoK = C(z,

√α).

La ecuacion algebrizada de Schrodinger reducida, esta dada por

HΦ = λΦ, H = α(z)(−∂2

z + V(z)),

V(z) = V + V (z)α ,

V = ∂zW +W2,

W = 14∂zα(z)α(z) .

(3.39)

Las funciones propias Ψ, Ψ y Φ correspondiente a los operadores H, Hy H estan respectivamente relacionadas como

Φ(z(x)) = 4√αΨ(z(x)) = 4

√αΨ(x).

Para poder aplicar el algoritmo de Kovacic, consideraremos solamente eloperador algebrizado H, mientras que los autoanillos diferenciales serancalculados sobre H. Tambien es posible aplicar la mejora del algoritmo

CAPITULO 3 147

de Kovacic propuesta por Ulmer - Weil sobre el operador algebrizado H.

Los siguientes resultados, ver [1, 2, 12], fueron obtenidos mediante apli-cacion directa del Algoritmo de Kovacic a la ecuacion algebrizada deSchrodinger reducida (ecuacion (3.39)) HΦ = λΦ.

Teorema 3.19. Sea Lλ la extension de Picard-Vessiot de la ecuacionalgebrizada y reducida de Schrodinger HΦ = λΦ con α, V ∈ C[z]. Sidegα < 2 + deg V , entonces DGal(L/K) no es un grupo finito primitivopara todo λ ∈ Λ.

Demostracion. Supongamos que degα = n y deg V = m. La ecuacionalgebrizada de Schrodinger reducida HΦ = λΦ puede ser escrita en laforma

∂2zΦ = rΦ, r =

4α∂2zα− 3(∂zα)2 + 16α(V − λ)

16α2.

Debido a que m > n − 2 tenemos que ◦(r∞) = n −m < 2, el cual nosatisface la condicion (∞) del caso 3 del algoritmo de Kovacic, sin em-bargo G(L/K) no es un grupo primitivo finito para todo λ ∈ Λ. 2

Teorema 3.20. Sea Lλ la extension de Picard-Vessiot de la ecuacionalgebrizada reducida de Schrodinger HΦ = λΦ, siendo α ∈ C[z] yV ∈ C(z). Si ◦(V )∞ < 2 − degα, entonces G(Lλ/K) no es un grupoprimitivo finito para todo λ ∈ Λ.

Demostracion. Supongamos que V = s/t, siendo s y t polinomios co-primos en C(z). Asumamos que gradα = n, grads = m and gradt = p.La ecuacion algebrizada reducida de Schrodinger HΦ = λΦ puede serescrita en la forma

∂2zΦ = rΦ, r =

4tα∂2zα− 3t(∂zα)2 + 16α(s− λt)

16tα2.

Debido a que m > n + p − 2 tenemos que ◦(r∞) = p + n −m < 2, locual no satisface la condicion (∞) del caso 3 del algoritmo de Kovacic.Por lo tanto G(L/K) no es un grupo primitivo finito para todo λ ∈ Λ.

Ahora para ilustrar la potencia del Algoritmo de Kovacic con la derivacionsombrero ∂z, estudiamos la ecuacion de Schrodinger con un caso particu-


lar del potencial de Morse. El caso general tambien puede ser estudiadoutilizando la maquinaria del Algoritmo de Kovacic y la AlgebrizacionHamiltoniana.

Ejemplo. Potencial de Morse. El potencial de Morse que consider-amos aquı esta dado por

V (x) = e−2x − e−x.

La ecuacion de Schrodinger HΨ = λΨ es

∂2xΨ =

(e−2x − e−x − λ

)Ψ.

Por el cambio de variable Hamiltoniano z = z(x) = e−x, obtenemos

α(z) = z2, V (z) = z2 − z, V(z) =z2 − z − 1

4

z2.

Por lo tanto, K = C(z) y K = C(ex). De esta manera, la ecuacionalgebrizada de Schrodinger HΨ = λΨ esta dada por

z2∂2z Ψ + z∂zΨ− (z2 − z − λ)Ψ = 0

y la ecuacion algebrizada reducida de Schrodinger HΦ = λΦ esta dadapor

∂2zΦ = rΦ, r =

z2 − z − 14 − λ

z2.

Esta ecuacion solamente puede caer en los casos 1, 2 o 4 del Algoritmode Kovacic. Empezaremos analizando el caso 1: por las condiciones c2

e ∞3 tenemos que[√r]0

= 0, α±0 =1± 2

√−λ

2,[√r]∞ = 1, and α±∞ = ∓1

2.

Por el paso 2 tenemos las siguientes posibilidades para n ∈ Z+ y paraλ ∈ Λ:

Λ++) n = α+∞ − α+

0 = −1−√−λ, λ = − (n+ 1)2 ,

Λ+−) n = α+∞ − α−0 = −1 +

√−λ, λ = − (n+ 1)2 ,

Λ−+) n = α−∞ − α+0 = −

√−λ, λ = −n2,

Λ−−) n = α−∞ − α−0 =√−λ, λ = −n2.

CAPITULO 3 149

Podemos ver que λ ∈ Λ− = {−n2 : n ∈ Z+}. Ahora bien, para λ ∈ Λ,la funcion racional ω esta dada por:

Λ++) ω = 1 + 3+2n2z , λ ∈ Λ++, rn = 4n2+8n+3

4z2 + 2n+3z + 1,

Λ+−) ω = 1− 1+2n2z , λ ∈ Λ+−, rn = 4n2+8n+3

4z2 − 2n+1z + 1,

Λ−+) ω = −1 + 1+2n2z , λ ∈ Λ−+, rn = 4n2−1

4z2 − 2n+1z + 1,

Λ−−) ω = −1 + 1−2n2z , λ ∈ Λ−−, rn = 4n2−1

4z2 + 2n−1z + 1,

donde rn es el coeficiente de la ecuacion diferencial ∂2zΦ = rnΦ.

Por el paso 3, debiera existir un polinomio monico de grado n, el cualdebe satisfacer la relacion algebraica

Λ++) ∂2z Pn + 2

(1 + 3+2n

2z

)∂zPn + 2(n+2)

z Pn = 0,

Λ+−) ∂2z Pn + 2

(1− 1+2n

2z

)∂zPn + 2(−n)

z Pn = 0,

Λ−+) ∂2z Pn + 2

(−1 + 1+2n

2z

)∂zPn + 2(−n)

z Pn = 0,

Λ−−) ∂2z Pn + 2

(−1 + 1−2n

2z

)∂zPn + 2n

z Pn = 0.

Estos polinomios existen solamente para n = λ = 0, con λ ∈ Λ−+∪Λ−−.Por lo tanto las soluciones de HΨ = 0, HΨ = 0 y HΦ = 0 estan dadaspor

Φ0 =√ze−z, Ψ0 = e−z, Ψ = e−e

−x.

La funcion de onda Ψ0 satisface las condiciones para ser estado base ypor lo tanto 0 ∈ specp(H). Ademas se tiene que

G(L0/K) = G(L0/K) = G(L0/C(z)) = B,

E(H) = E(H) = E(H) = Vect(1).

Continuamos ahora con el caso 2. Por el paso 1 las condiciones c2 e ∞3

se satisfacen, de esta manera tenemos que

Ec ={

2, 2 + 4√−λ, 2− 4

√−λ}

y E∞ = {0},


y por el paso 2 tenemos que 2±√−λ = m ∈ Z+, ası que

λ = −(m+ 1

2

)2

y la funcion racional θ tiene las siguientes posibilidades

θ+ =2 +m

z, θ− = −m

z.

Por el paso 3, debe existir un polinomio monico de grado m, el cualsatisface la relacion algebraica

θ+) ∂3z Pm + 3m+6

z ∂2z Pm − 4z2−4z−2m2−7m−6

z2 ∂zPm − 4mz+8z−4m−6z2 Pm = 0,

θ−) ∂3z Pm − 3m

z ∂2z Pm − 4z2−4z−2m2−m

z2 ∂zPm + 4mz−4m−2z2 Pm = 0.

Podemos ver que para m = 1 el polinomio existe solo para el caso θ−,siendo P1 = z − 1/2. En general, estos polinomios podrıan existir sola-mente para el caso θ− con m = 2n− 1, n ≥ 1, es decir

λ ∈ {−n2 : n ≥ 1}.

Por lo tanto, por casos 1 y 2 del algoritmo de Kovacic, obtenemos que

Λ = {−n2 : n ≥ 0} = specp(H).

Ahora bien, la funcion racional φ y la expresion cuadratica para ω son

φ = −2n− 1

z+∂zP2n−1

P2n−1

, ω2+Mω+N = 0, ω =−M ±

√M2 − 4N

2,

donde los coeficientes M y N estan dados por

M =2n− 1

z− ∂zP2n−1

P2n−1

y por

N =n2 − n+ 1

4

z2−

(2n− 1)∂zP2n−1

P2n−1− 2

z+∂2z P2n−1

P2n−1

− 2.

CAPITULO 3 151

De esta manera, 4 = M2 − 4N 6= 0, lo cual significa que HΦ = −n2Φcon n ∈ Z+ tiene dos soluciones dadas por el algoritmo de Kovacic:

Φ1,n =

√zPne

−z

zn, Φ2,n =

√zPn−1e

z

zn.

Las soluciones de HΨ = −n2Ψ estan dadas por

Ψ1,n =Pne

−z

zn, Ψ2,n =

Pn−1ez

zn,

y por lo tanto las soluciones de la ecuacion de Schrodinger HΨ = −n2Ψson

Ψ1,n = Pne−e−xenx, Ψ2,n = Pn−1e

e−xenx, Pn = Pn ◦ z.

Las funciones de onda Ψ1,n = Ψn satisfacen las condiciones de estadosligados, y para n = 0, esta solucion coincide con el estado base presen-tado antes. Por lo tanto tenemos que

Φn = Φ0fnPn, Ψn = Ψ0fnPn, fn(z) =1

zn.

De esta manera, las funciones de onda de estados ligados son obtenidascomo

Ψn = Ψ0fnPn, fn(x) = fn(e−x) = enx.

Los autoanillos diferenciales y los grupos de Galois diferenciales paran > 0 satisfacen

G(Ln/K) = G(Ln/K) = G(Ln/C(z)) = Gm,

dimC E(H + n2) = dimC E(H + n2) = dimC E(H + n2) = 2.

Debemos dejar claro que la ecuacion de Schrodinger con potencial deMorse, bajo cambios adecuados de variables, cae en una ecuacion difer-encial de Bessel. Ası que podemos obtener su integrabilidad como fueestudiada en el capıtulo 2. Ademas, de lo anterior, es bien conocidoque la integrabilidad de esta ecuacion diferencial fue estudiada tambienen el libro clasico de Mecanica Cuantica de Landau-Lifshitz, en dondeellos tambien algebrizan la ecuacion, obtienen la ecuacion de Bessel y laresuelven.


3.4 Ejercicios

1. Estudiar la integrabilidad de los campos vectoriales polinomiales delplano formado por polinomios homogeneos del mismo grado.

2. Retomar el problema de Sitnikov en el caso de la orbita de colisiontriple y verificar que las singularidades de la ecuacion diferencialcon coeficientes funciones racionales, que proviene de la ecuacionvariacional normal son de tipo regular. Luego aplique el Teoremade Kimura y demuestre la no integrabilidad de este sistema Hamil-toniano .

2. Estudiar la integrabilidad de la ecuacion de Schrodinger con potencialde Morse

V (x) = e−4x − 2e−2x.

CAPITULO 4

EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS

1. Sea K = Q y p(x) = x2 + 2. Determine el grupo de Galois de estepolinomio (G(L/K)).

2. Demuestre que las funciones racionales, con la suma y producto usual,forman un cuerpo. Demuestre que este cuerpo es diferencial conla derivacion usual.

3. Dada la ecuacion diferencial

y′′′ + a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0,

encuentre un cambio de variable para transformarla en una ecuacionde la forma

z′′′ + b1(x)z′ + b0(x)z = 0.

Encuentre explıcitamente las funciones b0 y b1.

4. Resuelva la ecuacion de Riccati

v′ = 1− v2.

5. Resuelva la ecuacion diferencial

y′′ = (x10 − 5x5)y

153


y determine el grupo de Galois diferencial.

6. Resuelva la ecuacion diferencial

y′′ = (1− sinx− sin2 x)y

y determine el grupo de Galois diferencial.

7. Dada la ecuacion diferencial

d2η

dτ2= r(τ)η, r(τ) =

4ωτ4 − (6 + 4ω)τ2 + 3

4τ2(τ − 1)2(τ + 1)2,

determine, mediante el teorema de Kimura, los valores de ω paraque esta ecuacion diferencial sea integrable.

8. Considere el siguiente sistema polinomial de ecuaciones diferenciales

x = xy

y = 2xy − xy3

Determine el campo polinomial, curvas algebraicas invariantes,factor integrante, factor exponencial, cofactores, invariantes e in-tegrales primeras del campo.

9. Calcule al autoanillo diferencial de la ecuacion diferencial

y′′ + 4y′ + 4y = 0.

10. Demuestre que el cambio de variable z = 1/x es Hamiltoniano yescriba la ecuacion diferencial

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

en terminos de la variable z.

11. Verifique que la ecuacion diferencial de Chebyshev

(1− x2)y′′ − xy′ + n2y = 0

satisface las condiciones del teorema de Kimura y determine losvalores del parametro que hacen que esta ecuacion diferencial seaintegrable. Resuelva la ecuacion mediante el algoritmo de Kovacicy compare los resultados.

CAPITULO 3 155

12. Resuelva la ecuacion de Schrodinger

Ψ′′ =

(1

x− λ

)Ψ

mediante el algoritmo de Kovacic. Determine el espectro alge-braico y el grupo de Galois diferencial de esta ecuacion.

13. Dado el siguiente sistema

x = ax+ by

y = cx+ dy

Demuestre que W ′ + (a+ d)W = 0, donde W es el wronskiano delas soluciones del sistema.

14. Considere el siguiente Hamiltoniano

H =p2

1 + p2

4+q3

1q22

4.

Aplique la teorıa de Morales-Ramis y demuestre que el campoHamiltoniano no es integrable mediante integrales primeras racionales.


H =p2

1 + p2

2+

1

q1 + q2.

Aplique la teorıa de Morales-Ramis y demuestre que el campoHamiltoniano no es integrable mediante integrales primeras mero-morfas.


Ψ′′ =

(x2

4− λ

)Ψ




H =p2

1 + p2

4+q4

1q22

4.

Aplique la teorıa de Morales-Ramis y demuestre que el campoHamiltoniano no es integrable mediante integrales primeras racionales.


Ψ′′ =

(x2 +

12

x2− λ

)Ψ


19. Considere el siguiente sistema polinomial de ecuaciones diferenciales

x = 1

y = x2 − 3− y2

Determine el campo polinomial, curvas algebraicas invariantes,factor integrante, factor exponencial, cofactores, invariantes e in-tegrales primeras del campo.

BIBLIOGRAFIA

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