0. INTRODUCCIÓN - · PDF fileEso lo expresamos como (x ... tendremos que hacer dos...

BLOQUE 1: ANÁLISIS DE FUNCIONES

Tema 2: Limite y continuidad Apuntes

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0. INTRODUCCIÓN

Las gráficas de algunas funciones presentan características especiales que, para su estudio,

requieren del uso del cálculo. Por ahora, con nuestras herramientas podremos ver ciertas

características que nos aportan información acerca del comportamiento de las funciones a

estudiar.

Una función f(x) es una regla que asocia a cada valor posible de la variable independiente un valor,

y solo uno, de los números reales

1. CONCEPTOS BÁSICOS

Dominio: Conjunto de valores de la variable independiente para los que existe f(x)

Recorrido: Conjunto de valores que toma la variable dependiente

Los valores de x de esta función son los

comprendidos entre 2 y 11, ambos incluidos

Los valores de la variable y son los comprendidos

entre y 6, ambos incluidos

]11,2[Domf =

]6,1[fIm =

BLOQUE 1: ANÁLISIS DE FUNCIONES Tema 2: Límite y Continuidad Apuntes ______________________________________________________________________________________

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1)2(f 1 −=−

5)4(f 1 =−

Imagen de x0: al valor que se obtiene en f (x0)

Antiimagen de y0 : Conjunto de valores del dominio que se transforman en y0

La imagen del 6 es f(6), que si miramos en la gráfica:

f(6) = 3

La antiimagen de 3 son varios valores

Cortes con los ejes

Con el eje X, aquellos valores de ordenada nula. Los

obtenemos resolviendo la ecuación f (x) = 0

El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0)

Ejemplo: Sea la función 6x2)x(f += cuya gráfica se indica. Calcula el dominio, los cortes con los

ejes y las antiimágenes de 2 y 4.

Corte eje X (-3,0)

Corte Eje y (0, 6 )

{ }9,6,3)3(f 1 =−

],3[Domf ∞−=



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¿Cómo lo haríamos si no conocemos la gráfica de la función?

6x2)x(f +=

DOMINIO: La raíz cuadrada sólo tiene sentido si el radicando (lo que está dentro) es positivo o

cero, es decir: 06x2 ≥+ . Bastará resolver la inecuación

CORTES CON LOS EJES

Con el eje Y, hacemos f(0); es decir, 660·2)0(f =+= . El punto es (0, 6 )

Con el eje X, resolvemos la ecuación 0)x(f =

06x2 =+

06x2 =+

6x2 −=

3x −=

El punto es (-3,0)

ANTI-IMÁGENES

)2(f 1− . Se trata de resolver la ecuación 26x2 =+

2x2 −=

1x −=

)4(f 1− . Se trata de resolver la ecuación 46x2 =+

166x2 =+

10x2 =

5x =

6x2 −≥

3x −≥

],3[Domf ∞−=

46x2 =+


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Monotonía de una función

Al observar una gráfica vemos que la curva en ocasiones sube (crece), en otras baja

(decrece) y en otras ocasiones ni sube ni baja (constante). Estas subidas o bajadas de la función es

la idea intuitiva del concepto de crecimiento o decrecimiento y es lo que denominamos variación

de la función o intervalos de monotonía.

Función creciente: Si a < b, entonces f(a) < f(b)

Función Decreciente: Si a < b, entonces f(a) > f(b)

Máximos y Mínimos relativos, son aquellos puntos donde la función cambia de creciente a

decreciente o al revés

Máximo relativo Mínimo relativo



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2. CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Vamos a analizar una función describiendo cómo la vemos intentando utilizar el vocabulario

aprendido en el apartado anterior

DOMINIO:

RECORRIDO: ℜ=)x(fIm

CRECIENTE:

DECRECIENTE:

MÁXIMO RELATIVO: (1,2)

MÍNIMO RELATIVO: (-1,-1)

Ahora bien, la situación en los puntos x = -2 y x = 0, son “especiales”. Además, para valores de x

muy grandes o muy pequeños, también deberíamos decir qué es lo que ocurre porque, aunque no

podamos dibujar la gráfica completa, si tenemos que decir cuál es su tendencia; es decir, su límite.

En RESUMEN ¿Qué es lo que falta para describir la función? Explica qué ocurre en los valores que

están señalados en el dominio ( ∞−∞− 02 )

( ) ( ) ( )∞−−∞−= ,00,22,Domf UU

( ) ( ) ( )1,00,12, UU −−∞−

( ) ( )∞−− ,11,2 U

( ) ( ) ( )∞−−∞−= ,00,22,Domf UU


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Para ello necesitaremos un concepto nuevo; LÍMITE

Vamos a ir parte por parte; en primer lugar qué ocurre en ∞ , es decir, qué ocurre para valores

muy muy grandes de la variable x. Fijémonos en el dibujo otra vez

Los valores de la gráfica tienden a estabilizarse en cerca del valor 1

Esto lo escribimos así: 1)x(flimx

=∞→

y decimos que: El límite de f cuando x tiende a infinito es 1

La gráfica se va pareciendo a la recta y = 1, es por lo que dicha recta se llama asíntota horizontal

Si nos fijáramos ahora en los valores de x cada vez más negativos, los valores de la función

continúan decreciendo sin acercarse a ningún valor. Eso lo expresamos como

( )∞→x

−∞=−∞→

)x(flimx

( )−∞→x



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Vamos a analizar qué ocurre para los valores de x cercanos al valor -2

Para valores cercanos a x = -2 (tanto a la derecha como a la izquierda del valor -2

La variable x puede acercarse al valor -2, por la derecha o por la izquierda tanto como queramos,

pero sin llegar a ser -2) los valores de la gráfica de la función son cada vez más grandes, decimos

entonces que tienden a infinito y lo expresamos ∞=−→

)x(flim2x

La gráfica tiende a parecerse a la recta vertical x = -2, que se llama asíntota vertical.

Del mismo modo, si nos fijamos qué le ocurre a la gráfica para valores cercanos a x = 0

Ahora depende si los valores son mayores que cero (por la derecha) o menores (por la izquierda)

Lo expresamos de la forma escrita a continuación y la recta x = 0 también se llama asíntota

vertical

( )2x −→

−∞=+→

)x(flim0x

+∞=−→

)x(flim0x


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EN RESUMEN:

La idea de límite es una forma de escribir el comportamiento de la gráfica de una función,

habitualmente se usa en los puntos especiales (roturas de la gráfica de una función, puntos que

están fuera del dominio,......) y para valores muy grandes ( ∞→x ) o valores cada vez más

negativos ( −∞→x )

Las asíntotas, son rectas imaginarias hacia las cuales la gráfica de una función se va aproximando y

podemos distinguir los siguientes tipos:

3. ¿Y SI NO SABEMOS LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN?

En general, no sabemos cómo es la gráfica de una función, es por lo que surgen métodos para

poder determinar cómo es su comportamiento, es decir, sus límites

Vamos a analizar los casos más sencillos de x tendiendo a infinito, x tendiendo a un número y

también qué hacer cuando es una función a trozos.



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Caso 1: ∞→x

Lo más sencillo es intentar esbozar la gráfica de la función (sobre todo si es una recta o una

parábola), pero si no sabemos cómo, tendremos en cuenta que: “El comportamiento en el infinito

es igual que el del monomio de mayor grado”.

Ejemplo 1:

( )5x27x3xlim 24

x−+−

∞→4

xxlim

∞→=

Ahora si imaginamos valores muy grandes de x, se obtienen valores cada vez más grandes de la

función y es por lo que, su límite es ∞ .

En resumen: ( )5x27x3xlim 24

x−+−

∞→∞==

∞→4

xxlim

Ejemplo 2:

2x3

5xlim

x −+

∞→ 3

1

3

1lim

x3

xlim

xx===

∞→∞→

Así el límite vale 1/3 y la función tiene una asíntota horizontal en y = 1/3.

Ejemplo 3:

6x3xx

5xx2lim

23

2

x +++−+

∞→ x

2lim

x

x2lim

x3

2

x ∞→∞→==

Ahora si imaginamos valores muy grandes de x, se obtienen valores cada vez más pequeños de la

función (cercamos a cero) y es por lo que su límite es 0

En resumen: 6x3xx

5xx2lim

23

2

x +++−+

∞→0

x

2lim

x

x2lim

x3

2

x===

∞→∞→

La recta y = 0 es una asíntota horizontal

Ejemplo 4:

2

5

x2

35

x x2

x4lim

5x2

6x3x7x4lim

∞→∞→=

++−− ∞==

∞→3

xx2lim


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Caso 2: ax →

Lo que haremos será sustituir el valor de la variable x por el número a.

Ejemplo:

6222xlim 33

2x=−=−

→

Puede ocurrir que nos salgan algunas situaciones anómalas (llamadas indeterminaciones)

Ejemplo 1:

0

3

2x

1xlim

2x=

−+

→ Esta división no se puede hacer, pero si tomamos valores cercanos (pero no

iguales) a 2, el resultado va a ser muy grande o muy pequeño.

Veámoslo: 300010001.0

0001.3

20001.2

10001.2 ==−+

299990001.0

9999.2

29999.1

19999.1 −=−

=−+

Escribiremos entonces que: ±∞==−+

→ 0

3

2x

1xlim

2x

Ejemplo 2:

0

0

xx

1xlim

2

2

1x=

−−

→ Tampoco podemos hacer esta división, tenemos que intentar simplificar la

fracción. Aunque hay muchos métodos el más cómodo de todos es haciendo la división por el

método de Ruffini. Para ello vamos a dividir tanto en numerados como el denominador por (x – 1)

El límite se puede expresar entonces como

21

2

x

1xlim

x)1x(

)1x()1x(lim

x·)1x(

)1x(·)1x(lim

xx

1xlim

1x1x1x2

2

1x==+

−+−

=−

+−=

−−

→→→→

1 0 -1

1 1 1

1 1 0

1 -1 0

1 1 0

1 0 0



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Caso 3: Funciones a trozos

Vamos a centrarnos solamente en los puntos frontera de los trozos, porque en otro caso, sería

igual que los casos 1 o 2.

Pues solamente hay que tener en cuenta que como hay a cada lado una expresión diferente,

tendremos que hacer dos límites, uno por la derecha y otro por la izquierda.

Ejemplo 1:

Supongamos la función

>

≤−=

2x2

2x1x)x(f

x

3

¿Cómo calculamos )x(flim2x→

?

422lim)x(flim

71xlim)x(flim

2x

2x2x

3

2x2x

===

=−=

→→

→→

+

−

Como los límites son diferentes, diremos que NO EXISTE el límite.

Ejemplo 2:

≥−+

<+=

3x5x2x2

3x1x6)x(f

2

1956185x2x2lim)x(flim

191x6lim)x(flim

2

3x3x

3x3x

=−+=−+=

=+=

→→

→→

+

−

Como son iguales diremos que 19)x(flim3x

=→

DISCUSIÓN EN GRUPO: el profesor planteará una pregunta a resolver en grupo. Redacta aquí las

conclusiones


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4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La idea intuitiva de continuidad es que la función pueda ser representada en un solo trazo,

es decir que se pueda dibujar sin levantar el lápiz del papel. Una función continua en un punto es

aquella que no “da saltos” en ese punto.

Observa las siguientes gráficas:

• La gráfica de )x(f1 puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, así que diremos que es

una función continua.

• Pero las demás, no pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, ya que presentan algún

tipo de “salto”. Diremos que son funciones discontinuas, en este caso en x=3. Observa

que a pesar de que las tres funciones son discontinuas, presentan una discontinuidad

diferente cada una.

Continuidad en un punto

Las funciones que hemos estudiado hasta ahora son continuas en su dominio, es decir, en los

puntos en los que están definidas.

Una función es continua en x=a si se verifica la siguiente condición: )a(f)x(flimax

=→

Para ello, deben cumplirse estas tres premisas:

� El límite de la función existe y es finito (no vale infinito).

� La función está definida en a, o lo que es lo mismo, existe imagen para x = a.

� El límite de la función cuando x tiende al punto es igual a la función definida en a.



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Tipos de discontinuidad

Existen distintos tipos de discontinuidad, dependiendo de la condición que falle.

Discontinuidades de salto

• Los límites laterales existen, son finitos pero de valor diferente: )x(flim)x(flim

axax +− →→≠ Este tipo de discontinuidad se

conoce también como salto finito.

• Los límites laterales existen, pero alguno de ellos es infinito. Este tipo de discontinuidad se le conoce también como salto infinito.

Discontinuidades evitables

Se denomina discontinuidad evitable cuando existe el límite de la función y es finito, pero la

función en ese punto no está definida o no coincide con el valor del límite. De ese modo, pueden

presentarse estos dos casos:

• Cuando )x(flimax→

existe, pero la función no está definida

en a.(a no está en el dominio)

• Cuando )x(flimax→

existe, la función está definida en a,

pero no coinciden:

Se llama discontinuidad evitable porque se puede redefinir la función en dicho punto para

transformarla en una función continua.

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