0 reglas diferenciacion
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1
Reglas de Diferenciación
del texto de Alpha C. Chiang
Métodos Fundamentales de Economía Matemática
Función de una variable-de forma
!
y = f x( ) donde f significa cualquier función. En
economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente
diferenciables. k es un constante.
1. Regla de la función constante
!
y = f x( ) = k
!
dy
dx=dk
dx= 0
2. Regla de la función potencial
!
y = f x( ) = kxn
!
dy
dx= f " x( ) = knxn#1
• Ejemplo 1
!
y = 7x 3 "dy
dx= 7 # 3( )x 3$1 = 21x 2
• Ejemplo 2
!
y = 7x
1
4 "dy
dx= 7 #
1
4
$
% &
'
( ) x
1
4*1
=7
4x*3
4
3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’).
!
y = ln x"dy
dx=1
x
La versión general
!
y = ln f x( )"dy
dx=f # x( )f x( )
4. Regla de la función exponencial
!
y = ex"
dy
dx= e
x
La versión general
!
y = ef x( ) "
dy
dx= f # x( )e f x( )
Dos o más funciones de la misma variable-
!
f x( ),g x( ),h x( ) son funciones.
1. Regla de la suma
!
y = f x( ) ± g x( )
!
d f x( ) ± g x( )[ ]dx
=df x( )dx
±dg x( )dx
= f " x( ) ± g" x( )
• Ejemplo 1
!
y = 7x4
+ 2x3" 3x + 37#
dy
dx= 28x
3+ 6x
2" 3
• Ejemplo 2
!
y = ax2
+ bx + c"dy
dx= 2ax + b
• Ejemplo 3
!
y = ax"
+ bx#
+ c$dy
dx="ax"%1 + #bx # %1
2. Regla del producto
!
y = f x( )g x( )
!
d f x( )g x( )[ ]dx
= f x( )dg x( )dx
+ g x( )df x( )dx
= f x( )g" x( ) + g x( ) f " x( )
• Ejemplo 1
!
y = 2x + 3( ) 3x 2( )"dy
dx= 2x + 3( ) 6x( ) + 2( ) 3x 2( ) =18x 2 +18x o, en
este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada.
!
y = 2x + 3( ) 3x 2( ) = 6x 3 + 9x 2 "dy
dx=18x 2 +18x . Pero, en algunos casos no se
puede.
2
• La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si
!
y = f x( )g x( )h x( )
!
d f x( )g x( )h x( )[ ]dx
= f x( )h x( )dg x( )dx
+ g x( )h x( )df x( )dx
+ g x( ) f x( )dh x( )dx
=
f x( )h x( )g" x( ) + g x( )h x( ) f " x( ) + g x( ) f x( )h" x( )
3. Regla de cociente
!
y =f x( )g x( )
"dy
dx=g x( ) f # x( ) $ f x( )g# x( )
g x( )[ ]2
• Ejemplo 1
!
y =2x " 3( )x +1( )
#dy
dx=
x +1( )2 " 2x " 3( )1
x +1( )2
=5
x +1( )2
• Ejemplo 2
!
y =ax
2 + b( )cx
"dy
dx=cx2ax # ax
2 + b( )ccx( )
2=c ax
2# b( )
c2x2
=ax
2# b
cx2
Funciones de variables diferentes-
!
x,y,w,z son variables y
!
f y( ),g x( ),h w( ) son
funciones.
1. Regla de la cadena
!
z = f y( ) y = g x( )"dz
dx=dz
dy
dy
dx= f # y( )g# x( ) También
podemos obtener este resultado con la sustitución de
!
g x( ) en la función
!
z = f y( ) = f g x( )[ ]"dz
dx= f # g x( )[ ]g# x( ) = f # y( )g# x( )
• Ejemplo 1
!
z = 3y 2 y = 2x + 5"dz
dx= 6y( ) 2( ) =12y =12 2x + 5( ) = 24x + 60
• Ejemplo 2
!
z = x2 + 3x " 2( )
17
Sea que
!
y = x2 + 3x " 2( )# z = y
17 Entonces
!
dz
dy=17y
16 dy
dx= 2x + 3
!
dz
dx=dz
dy
dy
dx= 17y
16( ) 2x + 3( ) =17 x 2 + 3x " 2( )16
2x + 3( )
Usos en economía (funciones de una variable).
• Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el
trabajo.
!
y = f l( )"dy
dl= f # l( ) la derivada es el producto marginal de trabajo
• Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es
una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se
denomina consumo autónomo.
!
C = C + c Y( )"dC
dY= c# Y( ) La derivada es la
propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de
macro, la función
!
c Y( ) es lineal (c es constante) tanto que
!
c Y( ) = cY "dC
dY= c .
3
• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma
!
Qd =Q P( ), P es el precio del producto.
!
dQd
dP=Q" P( ) La elasticidad de
demanda respecto el precio (del mismo bien) es
!
"d =dQ
d
dP
P
Qd
• Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos
!
y = f t( )"dy
dt= f # t( ) La tasa de cambio (o crecimiento) de y es
!
dydt
y=f " t( )f t( )
.
Obsérvense que podemos escribir la función
!
y = f t( ) en logaritmos
!
ln y = ln f t( ) y usamos la regla de logaritmos para obtener la tasa de
crecimiento.
!
d ln y
dt=f " t( )f t( )
=
dydt
y
Funciones de más de una variable-Derivadas Parciales
Las reglas por arriba aplican con cambios de la notación. Es importante señalar que la
derivada parcial muestra el efecto de un cambio incremental de una de las variables
explicativas tiene en el valor de la función, manteniendo todas las otras variables
constantes.
Concepto: Consideremos una función
!
y = f x1,x
2x3,K,xn( ) donde las variables
xi, i = 1, 2, … n, son todas independientes entre sí. Supongamos que una de las
variables xi, digamos x2, cambia y mientras todas las otras permanecen constantes. La
nueva función es
!
y + "y = f x1,x
2+ "x
2,x
3,K,xn( ) . El cociente incremental es
!
"y
"x2
=f x
1,x
2+ "x
2,x
3,K,xn( ) # f x
1,x
2,x
3,K,xn( )
"x2
y
!
lim"x
2#0
"y
"x2
$%y
%x2
= f2 es la derivada
parcial de y con respecto a x2.
• Ejemplo 1
!
y = f x1,x
2( ) = 3x1
2 + x1x2
+ 4x2
2
!
"y
"x1
# f1x1,x
2( ) # f1
= 6x1+ x
2
!
"y
"x2
# f2x1,x
2( ) # f2
= x1+ 8x
2
• Ejemplo 2
!
y = f x1,x
2( ) = x1
+ 4( ) 3x1 + 2x2( )
!
"y
"x1
# f1
=1 3x1+ 2x
2( ) + x1+ 4( )3 = 3x
1+ 2x
2( ) + 3x1+12( ) = 6x
1+ 2x
2+12 o
podemos multiplicar antes
!
y = x1+ 4( ) 3x1 + 2x
2( ) = 3x1
2 +12x1+ 2x
1x2
+ 8x2 y
después, tomamos la derivada parcial. De modo parecido, la segunda derivada
parcial es
!
"y
"x2
# f2
= 0 3x1+ 2x
2( ) + x1+ 4( )2 = 3x
1+12( ) = 2x
1+ 8
• Ejemplo 3
!
y =x1+ 4( )
3x1+ 2x
2( )
!
"y
"x1
=3x
1+ 2x
2( )1# x1+ 4( )3
3x1+ 2x
2( )2
=2x
2#12
3x1+ 2x
2( )2
4
Varios ejemplos del uso de derivadas parciales en economía.
• Función de producción de dos o más factores de producción.
!
y = f l,k( )"#y
#l= f l ,
#y
#k= fk la primera derivada parcial (en este caso) es el
producto marginal de trabajo y la segunda es el producto marginal de capital.
• Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma
!
Qd =Q P,Y( ) , P es el precio del producto y Y es ingreso.
!
"Qd
"P=QP
La
elasticidad de demanda respecto el precio (del mismo bien) es
!
"d =#Qd
#P
P
Qd
Diferencial total-una derivada, total o parcial, es el cociente de dos cambios. A veces,
queremos ver el cambio de la variable dependiente cuando hay uno o más cambios
infinitesimales de las variables explicativas.
En el caso de la función de una variable explicativa
!
y = f x( ) la diferencial total es
!
dy = f " x( )dx Los símbolos dy y dx se llaman las diferenciales de y y x,
respectivamente.
• Ejemplo-función de consumo (versión lineal) en el modelo keynesiano
!
C = C + cY " dC = cdY En esta forma, podemos decir que un cambio
específico (pequeño) de Y por la propensión marginal de consumo (constante en
este caso, modelo lineal) produce un cambio de C
En el caso de la función de más que una variable explicativa como
!
y = f x1,x
2( ) la
diferencial total es
!
dy = f1x1,x
2( )dx1 + f2x1,x
2( )dx2 ="y
"x1
dx1+"y
"x2
dx2
• Ejemplo-función de producción de Cobb-Douglas.
!
y = l"k1#" $ dy ="l"#1k1#"dl + 1#"( )l"k#"dk Obsérvense que los términos
antes de dl y dk son los productos marginales de trabajo y capital,
respectivamente.
• Modelo Keynesiano tradicional (cruz keynesiana lineal)
!
Y = C + c Y "T( ) + G + I + N X # Y =1
1" cC + G + I + N X ( ) "
c
1" cT
Escribimos la diferencial total
!
dY =1
1" cdC + dG + dI + dN X ( ) "
c
1" cdT . Los
términos
!
1
1" c
"c
1" c son los multiplicadores de gastos autónomos y impuestos
(de cuota fija)
Derivada total-Consideremos una función
!
y = f x1,x
2,z( ) donde las variables xi, i = 1, 2
son funciones de la otra variable z. Así, las variables explicativas no son independientes
entre sí.
!
x1
= g z( ) x2
= h z( ). Queremos determinar
!
dy
dz.
1.
!
dy ="y
"x1
dx1+"y
"x2
dx2
+"y
"zdz
5
2. Dividimos por dz
!
dy
dz="y
"x1
dx1
dz+"y
"x2
dx2
dz+"y
"z En palabras, la expresión
muestra que hay tres formas que la variable z afecta la variable y. Dos
indirectos, pos sus efectos en las otras variables x2 y x2 y el efecto
directo.
3. Obsérvense:
!
dx1
= g"dz#dx
1
dz= g" dx
2= h"dz#
dx2
dz= h"