Investigación de Operaciones

Enero 2013

I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

I.1. Introducción.

El principal objetivo de esta área de conocimientosconsiste en formular y resolver diversos problemasorientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puedeser determinística, como en los Modelos deProgramación Matemática, donde la teoría deprobabilidades no es necesaria, o bien deproblemas donde la presencia de incertidumbretiene un rol preponderante, como en los ModelosProbabilísticos.

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran

cantidad de problemas reales cada más complejos

y especializados, que necesariamente requieren

del uso de metodologías para la formulación

matemática de estos problemas y, conjuntamente,

de métodos y herramientas de resolución, como los

que provee la Investigación de Operaciones.

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

I.2 Elementos de un modelo de optimización.

Supongamos que se dispone de determinadaspiezas para la elaboración de dos productos finales.Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezasgrandes”, que son utilizadas para elaborar sillas(usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) ymesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar demodo de obtener la máxima utilidad, dado unbeneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20por cada mesa fabricada.

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es

soluciones que respetan las restricciones del

número de piezas disponibles, son por ejemplo,

fabricar:

• 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60

• 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55

• 3 mesas, utilidad de U$60

• 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65

• 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70

• etc.

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

Un modelo matemático para hallar la mejor

solución factible a este problema tiene tres

componentes básicas:

i) Las variables de decisión, que consiste en

definir cuáles son las decisiones que se debe

tomar. En el ejemplo,

x: número de sillas elaboradas.

y: número de mesas elaboradas.Invest

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

ii) La función objetivo del problema, que permita

tener un criterio para decidir entre todas las

soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la

utilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

iii) Restricciones del problema, que consiste endefinir un conjunto de ecuaciones e inecuacionesque restringen los valores de las variables dedecisión a aquellos considerados como factibles.En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezaspara la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2x + 2y 8

Piezas grandes : x + 2y 6

También se impone restricciones de no –negatividad:

x,y 0

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I. Introducción a la Investigación de

Operaciones

En resumen: Max 15x + 20y

sa: 2x + 2y 8

x + 2y 6

x,y 0

El ejemplo corresponde a un modelo deProgramación Lineal. Si además restringimos losvalores de x e y a números enteros, tendríamos unmodelo de Programación Entera. Por otra parte, sihubiese retornos crecientes a escala, deberíamosemplear una función objetivo no lineal como f(x,y) =cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo deProgramación No Lineal.

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Práctica 1 En cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, debe trasladar la

información del sistema a un modelo que lo represente, es decir, Formule y Construya el Modelo Lineal respectivo.

EJEMPLO

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Q700, cada unidad; B, Q3.500; C, Q7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Formular y construir el modelo:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente.

X1: unidades a producir de producto A

X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables

X3: unidades a producir de producto C

b)Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de venta

Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Quetzales.

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales. Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.

1 X1 + 2 X2 + 3 X3 <= 100 horas de trabajo

Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:

2X1 + 3 X2 + 1 X3 <= 200 horas de acabado

Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:

3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 <= 600 Unidades de Materia prima

De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación.

Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad

de las variables de decisión, se resume así el modelo:

Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Sujeto a:

1X1 + 2 X2 + 3 X3 <= 100

2X1 + 3 X2 + 1 X3 <= 200

3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 <= 600

X1, X2, X3 >= 0

Práctica 2 La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos,

seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuación.

Restricciones Televisión Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100.000 18.000 40.000

Costo por unidad de publicidad $ 2.000 $ 300 $ 600

Uso máximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500.

Utilizando el mismo proceso teórico anterior, se tiene lo siguiente:

Variables de decisión:

X1: unidades de publicidad a contratar en televisión.

X2: unidades de publicidad a contratar en radio.

X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo:

Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad

MAX 100.00 X1 + 18.000 X2 + 40.000 X3

Restricción 1:

Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:

2.000 $ X1+ 300 X2 + 600 X3 <= 18.500 $

Restricciones 2, 3 y 4:

Uso máximo de medios para la publicidad:

X1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) <= 10 unidades de publicidad a contratar en t.v

X2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) <= 20 unidades de publicidad a contratar en radio

X3 ( unidades de publicidad a contratar en prensa) <= 10 unidades de publicidad a contratar en prensa

Restricción 5:

Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total de unidades a contratar:

X2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) <= 0.5 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así: - 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 <= 0

Restricción 6:

La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado

X1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) >= 0.10 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 >= 0

Práctica 3 WYNDOR GLASS CO. Produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y

puertas de vidrio. Tiene 3 plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos. Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía. Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos que tiene ventas potenciales grandes:

Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4’ x 6’

El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción de las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha concluido que la compañía puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competirían por la misma capacidad de producción en la planta 3, no está claro qué mezcla de productos sería la más rentable. Por lo tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.

El grupo comenzó por realizar juntas con la alta administración para identificar los objetivos del estudio y desarrollaron la siguiente definición:

Determinar qué tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas. (cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades, de manera que la tasa de producción está definida como el número de lotes que se producen a la semana). Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del otro.

El equipo de IO identificó lo siguiente:

Número de horas de producción disponibles por semana en cada planta para estos nuevos productos.

Número de horas de fabricación que emplea cada lote producido de cada artículo nuevo en cada una de las plantas.

La ganancia por lote de cada producto nuevo.

Formulación como un problema de programación lineal

X1 = número de lotes del producto 1 fabricados por semana

X2 = número de lotes del producto 2 fabricados por semana

Z = ganancia semanal total (en miles de $) al elaborar estos dos productos

Tabla de datos:

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Planta Tiempo de producción por

lote, horas.

Tiempo de

producción

disponible a

la semana,

horas.

Producto

1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Ganancia por lote $3,000 $5,000