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ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN

Un ejemplo de este tipo de elemento es un sensor

elstico de fuerza tal como se muestra en la gura:

asaMasam

F

kx

Amortiguadorx

x=

0

Resorte

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El sensor convierte una entrada de fuerza F en una salida dedesplazamientox.

El sistema est inicialmente en estado de reposo al tiempot=0- es decir velocidad inicial ! la aceleraci"ninicial #

$a fuerza de entrada inicial F(0-) se e%uili&ra por la fuerzadel resorte en el desplazamiento inicialx(0-), es decir:

#

'i la fuerza de entrada se incrementa repentinamente altiempo t= 0 entonces el elemento !a no se encuentra enestado esta&le ! su comportamiento dinmico lo descri&e lasegunda le! de (e)ton:

fuerza resultante = masa x aceleracin

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'i se dene:

$a ecuaci"n diferencial se puede e*presar en la formaestndar:

Aplicando la transformada de $aplace a la ecuaci"n setiene:

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+omo:

As,

onde: 1/k = sensibilidad K en estado

estableFuncin transferencia para un elemento ese!uno oren

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"DENT"F"#$#"%N DE L$ D"N&M"#$ DE UNELEMENTO

+on o&jeto de identicar la funci"n de transferencia ./s de un

elemento de&en utilizarse se1ales estndar de entrada# $as dos se1ales estndar de uso com2n son la onda escalonada

! la onda sinoidal#

Respuesta escalonaa e elementos eprimer oren'i un elemento de primer orden esta sujeto a una se1al deentrada de escal"n unitario /(t) = 1) la transformaci"n de$aplace de la se1al de salida es:

E*presando la ecuaci"n en fracciones parciales:

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Al utilizar la ta&la de la transformada de $aplace en sentidocontrario se tiene:

Respuesta del elemento deprimer orden a un escal"nunitario

fo(t)

t/

Para t=, fo(t) = 0.63

Para t=2, fo(t) = 0.87

3 4

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Ejemplo: considere un sensor de temperatura al inicio latemperatura del sensor es igual a la del 5uido o sea T(0-) =TF(0-) = 25

0C# 'i de repente TF se eleva a 300 0+ entoncesesto representa un cam&io escalonado TF cu!a altura es de67 0+#

El cam&io correspondiente en la temperatura del sensor es:

As, al tiempo t = , T = 25 + 75x0.63 = 72.3 0+ . Y midiendo el

tiemo !"e tarda T en #"$ir a 72.30

+ puede o&tenerse la constantede tiempo del elemento#

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Respuesta escalonaa e elementos ese!uno oren

'i un elemento de segundo orden est sujeto a una se1al de

entrada de escal"n unitario entonces la transformada de $aplacede la se1al de salida del elemento es:

Al e*presar la ecuaci"n en fracciones parciales se tiene:

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E*isten tres casos por considerar:

'( $morti!uamiento excesi)o o so*reamorti!uao +

, '-

%nt

fo(t)

Resulta aparente %ue la forma de la respuesta se asemeja a una deprimer orden pero con un cierto retardo#

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.( $morti!uamiento cr/tico + = '-

Al utilizar la transformada inversa de $aplace se tiene:

Respuesta del elementode segundo orden a unamortiguamiento cr,ticode escal"n unitario

cu!a representaci"n grca es prcticamente id8ntica a la

indicada en la grca anterior para prcticamente 3#

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0( $morti!uamiento insu1ciente o su*amorti!uao + 2

'-

%nt

fo(t)

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En la grfica se observa el comportamiento general, segn

cambia el coeficiente de amortiguamiento ().

Las respuestas subamortiguadas son ms rpidas, en su

arranque a tiempo = 0, que todas las otras formas de

respuesta de segundo orden.

n cuando la respuesta parte rpido ! llega pronto a su

valor final, luego sigue creciendo ! oscila con una amplitud

que decrece en el tiempo.

El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como

peque"o sea el coeficiente de amortiguamiento.

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E3emplo4 +onsid8rese la respuesta escalonada de un sensor de

fuerza con rigidez = 30;(m-3 masa m= 0#3 g ! constante de

amortiguamiento = 10 Nsm-1

. La sensibilidad de estado estable K=1/k= 10-3

mN-

1, la fre!enia nat!ral "n= #(k/m) = 100 rad/s $ el oefiiente de amorti%!amiento

= /((km)) = 0.'. niialmente, al tiemo t = 0-, !na f!er*a onstante +(0-) = 10 N

a!sa !n desla*amiento sostenido de 10 mm.

!n%ase !e al tiemo t = 0 la f!er*a se inrementa reentinamente de 10 a 1& N, osea a$ !n ambio esalonado + de & N. l ambio res!ltante 2(t) en el

desla*amiento se determina !tili*ando

x(t) = #en#i$ilidad en e#tado e#ta$le x alt"ra del e#&al'n x re#"e#ta fo(t) de e#&al'n "nitario

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Respuesta a un escal"n unitario para un = 0#7

3 4 ; < %nt

fo(t)

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Al nal conforme t se agranda x tiende a 4aler & mm, esto es , 2 se

oloa en !n n!e4o 4alor estable de 1& mm. La fi%!ra anterior m!estra !e ara

= 05 fo(t)tiene un valor m*imo en la cresta dela primera oscilaci"n as, x(t) tiene !n 4alor m52imo de &.36 mm. La

resta de la rimera osilain o!rre al tiemo t7, donde %ntP= .88 es deir, tP

= 36 m#.

E>+EE(?E M@>MB:+on esta

ecuaci"n se

puede Callar

D luego se puede Callar %n a artir de la mediin de tP, on la si%!iente

e!ain