01 Aritmetica 3-22

El Proyecto Editorial de los Colegios de la Corporación Pamer se evidencia en los textos que apoyan el aprendizaje de nuestros estudiantes.

El texto que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo de los trabajadores de la Editorial y de los docentes de los Colegios Pamer; tienen como función principal despertar el interés por aprender en nuestros estudiantes. Asimismo, buscan articular el trabajo pedagógico en el salón de clases y motivar nuevos aprendizajes fuera de él.

Los Textos Pamer son el resultado de más de 25 años de trabajo en equipo de nuestra Corporación que, a través de su Editorial y el trabajo de los profesores de los diferentes colegios, ofrece un servicio educativo de alta exigencia académica, con la cual se busca la formación de personas con una sólida personalidad y con un comportamiento ético. Plantean, asimismo, una propuesta integral y personalizada, de tal modo que a través de múltiples experiencias académicas, formativas, deportivas, culturales y sociales, nuestros estudiantes se descubran a sí mismos, se valoren, se relacionen con los demás y asuman los valores universales para insertarse de manera activa en la sociedad y sean capaces de mejorarla. Por ello, si podemos propiciar la curiosidad y el interés por aprender en nuestros estudiantes, habremos logrado nuestro objetivo: formar mejores estudiantes, mejores personas.

Juan Carlos DianderasGerente de Colegios de la Corporación Educativa Pamer

Presentación

Aritmetica.indb 3 20/09/2014 10:48:31 a.m.

2.° AñoÍNDICE

ARITMÉTICA ........................................................5 Magnitudes proporcionales ..................................... 7 Estadística I ................................................................ 9 Estadística II ............................................................ 11 Teoría de conjuntos I .............................................. 13 Teoría de conjuntos II............................................. 15 Lógica proposicional I ............................................ 17 Lógica proposicional II .......................................... 19 Repaso ...................................................................... 21

ÁLGEBRA ............................................................23 Relaciones ................................................................ 25 Funciones I............................................................... 27 Función lineal .......................................................... 30 Logaritmos I ............................................................ 32 Logaritmos II – Propiedades ................................. 34 Logaritmos III ......................................................... 36 Logaritmos IV ......................................................... 38 Repaso ...................................................................... 40

GEOMETRÍA .......................................................43 Rectas y planos ........................................................ 45 Poliedro regular ....................................................... 49 Prisma y cilindro ..................................................... 53 Pirámide y cono ...................................................... 56 Sistema rectangular de coordenadas .................... 59 Simetría .................................................................... 62 Conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal ........................................ 65

Repaso ...................................................................... 68

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ..................71 Problemas sobre fracciones ................................... 73 Porcentajes ............................................................... 76 Análisis combinatorio I .......................................... 78 Análisis combinatorio II ........................................ 80 Probabilidades ......................................................... 82 Gráfico de barras y líneas ....................................... 84 Gráficos circulares .................................................. 86 Repaso ...................................................................... 88

FISICA ..................................................................91 Energía Mecánica I ................................................. 93 Energía Mecánica II ................................................ 95 Energía Mecánica III .............................................. 98 Temperatura y medición de la temperatura ......100 Calor .......................................................................102 La electricidad .......................................................104 Teorías del origen del universo ...........................106 Repaso ....................................................................108

QUÍMICA ...........................................................111 Reacciones químicas .............................................113 Balanceo de ecuaciones químicas por el método del tanteo .................................................116

Química orgánica – Propiedades del carbono ..118 Hidrocarburos – Alcanos .....................................121 Alquenos ................................................................124 Alquinos .................................................................126 Contaminación ambiental ...................................128 Repaso ....................................................................131

BIOLOGÍA .........................................................133 Sistema urinario humano ....................................135 Sistema reproductor masculino humano ..........140 Sistema reproductor femenino humano ............145 Sistema endocrino humano .................................150 Sistema nervioso humano I .................................155 Sistema nervioso humano II ................................160 Salud y enfermedad ..............................................165 Repaso ....................................................................170


Aritmética


1


1

7 12.° AÑO ARITMÉTICA

Magnitudes proporcionalesDos magnitudes son proporcionaes si al variar una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud varía en la misma proporción.

I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)Si A es DP a B, entonces:

= K AB

K: Constante de proporcionalidad

Gráficamente:

Bb4b4

b3

b2

b1A

a1 a2 a3 a4

a1

b1

=a2

b2

=a3

b3

=a4

b4

= K

Si A aumenta B también aumenta en la misma proporción.

Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes DP.

A 24 14 38 82B 36 21 57 123

Se cumple: 2436 =

1421 =

3857 =

82123= K

donde: K = 23

(constante de proporción)

II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP)Si C y D son IP entonces:

C x D = K K: Constante de proporcionalidad

Gráficamente:

d1

C

d2

d3

D

c1 c2 c3

c1 x d1 = c2 x d2 = c3 x d3

Si C aumenta D disminuye en la misma proporción

Ejemplo: La tabla muestra los valores de dos magnitudes IP.

C 2 3 4 6D 30 20 15 10

Se cumple:

2 x 30 = 3 x 20 = 4 x 15 = 6 x 10 = K

donde K = 60 (constante de proporción)


MAGNITUDES PROPORCIONALES

2.° AÑO8ARITMÉTICA1

Trabajando en clase

Integral

1. Si A es DP a B2 cuando A es 16 y B = 2, calcula A cuando B = 8.

2. Si A es IP a B cuando A = 24 y B = 8, ¿cuál será el valor de A cuando B = 16?

3. Si A es D.P. a B3, cuando A = 48 y B = 2, calcular A cuando B = 3.

Católica

4. Si A es DP a B cuando A = 6 y B = 4, calcula A cuando B = 9.Resolución:Como A DP B , entonces: A

B= K

64

= A9

∴ A = 9

Rpta.: 9

5. Si A es DP a B , cuando A = 15 y B = 36, ¿cuánto valdrá B cuando A = 5?

6. Si A es IP a C2 cuando A = 18 y C = 5, calcula A cuando C = 3.

7. Si A es DP a B2, calcula m + n.

A 4 n m + 6B m m + 5 2m

UNMSM

8. Del gráfi co, calcula a + c.y

12

a

2

x3 12 c

Resolución:Según el gráfico x DP y:

32 =

12a =

c12 ∴ a = 8 y c = 18

entonces a + c = 26Rpta.: 26

9. Del gráfi co, calcula a + b.

y

24

a

4

x5 15 b

10. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranan y es-tán girando, si la primera rueda da 200 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la segunda?

11. Calcula (a + b)2.

20

x

52

y

a b 20

UNI

12. El precio de un diamante es proporcional al cua-drado de su peso. Si un diamante de 4 gramos vale S/. 1280. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale S/. 3920?Resolución:(Precio) DP (peso)2, entonces:

PrecioPeso2

= K

128042 = 3920

x2x = 7 gramos

Rpta.: 7

13. El precio de un diamante es directamente propor-cional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta $ 4000, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 gramos?

14. Si A es IP a B y DP a C. Si cuando A = 5, B = 10 y C = 4. ¿Cuánto vale A si B = 15 y C = 10?


2


Estadística I

ESTADÍSTICAEs la ciencia que se ocupa de recolectar, procesar, presentar, interpretar y analizar los datos, que sirven para la toma de decisiones en una investigación.

PoblaciónEs un conjunto de elementos que tienen uno o más características en común. Ejemplos:

Todos los alumnos matriculados en Pamer. Todos los peruanos que tienen 18 años o más. Todos los animales que están en el zoológico.

MuestraEs una parte o subconjunto de la población, seleccionada de acuerdo a un plan o regla, con el fi n de establecer información acerca de la población de la cual proviene. Ejemplos:

200 alumnos de Pamer elegidos al azar. 150 mil peruanos mayores de edad. 40 animales de un zoológico elegidos al azar.

Representaciones gráfi casGráfi ca de barrasA continuación se muestra la cantidad de alumnos que tienen las mascotas indicadas.

perromascota

012345678

hamster gatopajaro

Gráfi ca lineal

A continuación se presenta el número de horas de trabajo de una persona en sus días de labor.

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2468

101214 Ejemplo: Horas de trabajo

Hor

as d

e tr

abaj

o

Días

Horas

Gráfi co circular (sector circular)

A continuación se presentan los deportes practicados por los alumnos del segundo año.

fútbol 50%

voleybol15%

natación10%

basquetb

ol

25%

El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superfi cie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media solo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos

de las propiedades de la iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.


ESTADÍSTICA I


Trabajando en clase

Integral

Se encuestó a un grupo de personas sobre su entretenimiento preferido y cada una escogió una sola opción. El resultado fue el siguiente:

Radio Televisión Cine TeatroNúmero

de personas

45 50 35 20

1. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?2. ¿Qué tipo de entretenimiento prefi ere la mayoría?3. ¿Cuántas personas prefi eren radio o teatro?

Católica

El siguiente gráfi co nos muestra la producción de papa del departamento de Huancayo en los últimos cuatro años.

2011

50

2013 20142012

80

40

90

Año

Toneladas de papa

4. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en dicho departamento en el periodo 2011 – 2013?Resolución:2011 → 50 toneladas2012 → 80 toneladas2013 → 40 toneladasEn el periodo 2011 – 2013: 50 + 80 + 40 = 170 toneladasRpta.: 170 toneladas

5. ¿Cuántas toneladas de papa se produjeron en di-cho departamento en el periodo 2012 – 2014?

6. ¿En cuántas toneladas disminuyó la producción de 2012 a 2013?

7. Si en 2015 se desea que la producción aumente en un 20% respecto a 2014, ¿cuántas toneladas se deben producir?

UNMSM

El siguiente diagrama es el gráfi co de barras de una encuesta sobre chocolates en la ciudad de Lima.

A

3 000

C DBChocolates

Cantidad de habitantes

E

5 0007 000

10 000

8. ¿Cuál es el chocolate preferido en la ciudad de Lima?Resolución:El preferido es el chocolate C.Rpta.: C

9. ¿Cuál es el chocolate menos consumido en la ciudad de Lima?

10. ¿Cuántos habitantes prefi eren el chocolate B?11. ¿Cuántos habitantes prefi eren el chocolate A o E?

UNI

Según el siguiente gráfi co circular:

Si la familia Porras tiene un ingreso mensual de S/. 2400, contesta las siguientes preguntas:

12. ¿Cuánto gastan en comida?Resolución:Comida → 20% de S/. 2400 = S/. 480 Rpta.: S/. 480

13. ¿Cuánto gastan en casa?14. ¿Cuánto más gastan en carro que en luz/agua?

Comida20%

Otros5%

Casa40%

Carro25%

Luz/agua10%

Distribución del presupuesto de la familia Porras


3


Estadística II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon los valores que habitualmente se ubican en la parte central de una distribución.

Media aritmética o media (x)Es el cociente de la suma de todos los datos entre el número de datos (numéricos).

Ejemplo: Sean los datos: 12; 13; 13; 16; 17; 17; 17

12 + 13 + 13 + 16 + 17 + 17 + 177

x = = 15

Mediana (Me)Se considera el valor central de los datos ordenados.

Ejemplo 1: Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición central.

4; 12; 17; 23; 43Me

Ejemplo 2: Si el número de datos es par, la mediana es el promedio aritmético de los datos que ocupan las posiciones centrales.

4; 5;Me =

8; 12 ; 13; 178 + 12

2 = 10

Moda (Mo)Es el dato que tiene mayor frecuencia (el que más se repite)Ejemplos:1; 2; 2; 2; 7: 4 → Mo = 25; 3; 4; 5; 7; 2; 4 → Hay dos modas, Mo(1) = 4 y Mo(2) = 52; 3; 7; 8; 10 → No hay moda (Ningún dato se repite)

Se debe tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas, por lo que las medidas de posición o medidas de tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando. En este caso se observan variables cuantitativas.

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fi n, suele situarse hacia el centro de la

distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Nunca consideres el estudio como una obligación,

sino como una oportunidad para penetrar en el bello

y maravilloso mundo del saber.


ESTADÍSTICA II


Trabajando en clase

Integral

1. Dada las siguientes califi caciones:12; 14; 13; 17; 10; 11; 12; 15

Calcula la media aritmética.

2. Según los siguientes datos, calcula su x.8; 12; 15; 13; 15; 21; 24; 36

3. Según los siguientes datos, calcula su x.12; 21; 22; 42; 13; 24; 20

Católica

4. Hallar A + B, si:«A» es la media de 3; 4; 5; 6; 8“B” es la moda de 2; 2; 3; 3; 4; 2Resolución:A = 3 + 4 + 5 + 6 + 8

5= 5,2

B = 2(el que más se repite) Por lo tanto A + B = 7,2

5. Calcula la media de A y B, sabiendo que: A es la media de 20; 22; 15; 12; 11B es la moda de 10; 12; 14; 12; 11

6. De los siguientes datos: 8; 12; 15; 15; 13; 21; 24 y 36. Calcula su media.

7. En la práctica califi cada de Aritmética se obtuvie-ron las siguientes notas de cinco alumnos: 08; 12; 14; 06 y 20. Calcula la mediana respectiva.

UNMSM

8. De los siguientes datos: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4 y 6, calcula su moda.

Resolución:La moda es 6 (el dato con mayor frecuencia)

9. Según los siguientes datos, calcula la moda: 6; 8; 4; 6; 6; 8; 4; 12; 13; 4; 6

10. El médico Rosales durante todos los días de la se-mana recibió pacientes que en número eran: 10; 8; 7; 5; 6; 3 y 6 por cada día respectivamente. Cal-cula la mediana, moda y media.

11. Las edades de diez alumnos de segundo año son las siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14 y 14. Calcula la media, mediana y moda. Da como respuesta la suma de ellos.

UNI

12. Calcula la mediana de los siguientes datos:14; 16; 25; 36; 18; 12; 11; 16; 14

Resolución: Primero se deben ordenar los datos de menor a

mayor.11; 12; 14; 14; 16; 16; 18; 25; 36

Me

La mediana es 16.

13. Indica la mediana de los siguientes datos: 12: 14; 16; 17; 14; 14; 14; 14; 16; 13; 11; 11

14. Tenemos el siguiente grupo de notas de trece alumnos: 16; 15; 13; 12; 13; 13; 12; 11; 16; 08; 07; 11; 08. ¿Cuántos aprobarán si se aprueba con nota mayor a la mediana?


4


Teoría de conjuntos I

1. IDEA DE CONJUNTO El concepto conjunto, es una noción primitiva in-

tuitiva y por consiguiente, no se puede defi nir. En la vida diaria usamos palabras tales como colec-ción, grupo, conjunto:

Una colección de libros Un conjunto de sillas Un grupo de muchachos

2. NOTACIÓN Es convenio denotar los conjuntos con letras ma-

yúsculas y sus elementos con letras minúsculas u otros símbolos. Para representar simbólicamente, se escriben sus elementos entre llaves y separados por comas o por un punto y coma.

Ejemplos: A = enero, febrero, marzo B = a, e, i, o, u C = Ω, £, µ, ∞

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈) (Elemento ∈ conjunto) Si a es un elemento del conjunto A, se denota a ∈

A y se lee: el elemento a pertenece al conjunto A. La negación de a ∈ A es a ∉ A y se lee: el elemento a no pertenece al conjunto A.

Ejemplo: Dado el conjunto R = 1; a; c; Ω; α, entonces:

a ∈ R b ∉ R Ω ∈ R β ∉ R

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Por extensión (forma tabular o enumerativa)

Por comprensión (método implícito o

descriptivo)

Se determina nombrando todos sus elementos.

A = 0; 2; 4; 6; 8; 10

Se determina enunciando una característica común a todos sus elementos. A = 2x/x ∈ Z; 0 ≤ x ≤ 5

5. CARDINAL DE UN CONJUNTO En términos prácticos, se llama cardinal de un

conjunto A, al número de elementos no repetidos de A y se denota por n(A).

6. CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto vacío Es aquel conjunto que carece de elementos. Se

denota por φ o .

Conjunto unitario o Singleton Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Conjunto universal Es aquel conjunto de todos los elementos que

habrá de analizarse en un problema propuesto.

La teoría de conjuntos es una división de las Matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. La teoría de

conjuntos fue creada por Georg Cantor, aunque George Boole dio los primeros pasos en su libro Investigations of the Laws of thought. El concepto de infi nito fue tratado por Zenón de Elea y sus célebres paradojas como la de Aquiles y la tortuga.


TEORÍA DE CONJUNTOS I


Trabajando en clase

Integral

1. Sea A = 7; 9; 13. ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

7 ∈ A ( ) 7 ∈ A ( )9 ∈ A ( ) A ∈ 13 ( )11 ∈ A ( ) ∅ ∈ A ( )

2. Dados los conjuntos A = 2; 2; 3 y B = 2; 3; 4 determina la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afi rmaciones.

2 ∈ B ( ) 2 A ( )2; 3 ∈ A ( ) 4 e A ( )

3. El conjunto que determina por comprensión al conjunto R = 1; 3; 5; 7; 9 es:

Católica

4. Se conoce que: A = 2; 3; 4; 5; 6; 7; B = 4; 5; 5; 6;

7; 7 y C = 6; 6; 6; 8. Calcula: n(A) + n(B)n(C)Resolución:

n(A) = 6n(B) = 4 6 + 4

2= 5

n(C) = 2

5. Se conoce que R = r, o, n, a, l, d; C = c, y, n, t, h, i, a y M = a, r, i, t, m, e, t, i, c, a. Calcula:

n(R) + n(C) + n(M)

6. Indica el n(A) si: A = x2 + 1 / x ∈ Z, –1 ≤ x ≤ 3

7. Indica el n(B) si: B = x + 5 / x ∈ N, –6 ≤ x ≤ 1

UNMSM

8. Si el conjunto R es unitario, calcula (a)(b) B = a + 2b; 3b – a + 2; 11

Resolución: Al ser B un conjunto unitario, entonces solo

posee un elemento. Por lo tanto:

a + 2b = 11 b = 4 y a = 3 3b – a + 2 = 11 Por lo tanto (a)(b) = (3)(4) = 12

9. Si el conjunto C es unitario, calcula el producto de a y b.

C = 2a + b; 3a – b; 15

10. Determina por comprensión el siguiente conjunto: A = 5; 8; 11; 14; 17

11. Dados los conjuntos unitarios M y N, calcula el valor de a.

M = a + b, 12 y N = a – b; 6

UNI

12. Determina la suma de elementos de: M = 3x – 2 ∈ N/5 < 2x + 1 < 9

Resolución: 5 < 2x + 1 < 9 2 < x < 4 4 < 2x < 8 6 < 3x < 12 2 < x < 4 4 < 3x – 2 < 10

Por lo tanto M = 5; 6; 7; 8; 9 Nos piden 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

13. Calcula la suma de elementos de: C = 2x + 1 ∈ N / 11 < 3x – 1 < 23

14. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es Singleton? A = x/x ∈ Z; x < 1 B = x/x ∈ N; x2 – 2x – 3 = 0 C = x/x ∈ Z; 7 < 3x < 11


5


Teoría de conjuntos II

1. RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂) Un conjunto está incluido, contenido o es subcon-

junto de otro, si todos los elementos del primero son elementos del segundo. Se denota por ⊂ que se lee está incluido. En caso contrario por ⊄.

La inclusión es una relación que se da solo ENTRE CONJUNTOS.

Ejemplo: A = 1; 2 y B = 1; 2; 3; 4 entonces A ⊂ B Y se lee A está incluido en B, A está contenido en

B o A es subconjunto de B.

OJO:El conjunto vacío o nulo está incluido en todo conjunto.

2. IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen

los mismos elementos. Ejemplo: Dados los conjuntos A = a; m; o; r y

B = r; o; m; a Por lo tanto A = B.

3. CONJUNTO POTENCIA (P(A)) Dado un conjunto A, llamaremos potencia del

conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto A. Se representa P(A).

OJO: Número de subconjuntos de A = 2n(A)

Número de subconjuntos propios = 2n(A) – 1

Hay indicios de que George Cantor, considerado como el Padre de la teoría de conjuntos, sufría una psicosis maniaco depresiva. Tuvo una vida triste. Su muerte

se produjo cuando estaba hospitalizado por una enfermedad mental, en 1918. Pero sin duda hay que recordarlo por su valor al explorar la naturaleza de lo infi nito de un modo absolutamente original, abriendo nuevos e inesperados panoramas.Se consideraba asimismo como aquel que registraba con exactitud, comunicaba y transmitía la teoría recién revelada de los números transfi nitos.

4. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSUnión o reunión (∪) Intersección (∩) Diferencia (–)

Ejemplo: A = 1; 2; 3; 4; 5 y B = 5; 6; 7, entonces:

A ∪ B = 1; 2; 3; 4; 5; 6

Ejemplo: A = 1; 2; 3; 4; 5 y B = 4; 5; 6; 7, entonces:

A ∩ B = 4; 5

Ejemplo: A = 1; 2; 3; 4; 5 y B = 4; 5; 6; 7, entonces:A – B = 1; 2; 3 y B – A = 6; 7

Diferencia simétrica (∆) Intersección (∩)A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)Ejemplo: A = 1; 2; 3; 4; 5 y B = 4; 5; 6; 7, entonces:

A ∆ B = 1; 2; 3; 6; 7

Ejemplo: U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 y B = 2; 4; 6; 8, entonces:

B’ = 1; 3; 5; 7; 9

5. DIAGRAMA DE CONJUNTOS

B

A o B

Solo A

Solo B

A y B

UNi A ni B

A

Bailan No bailanHOMBRESMUJERES


TEORÍA DE CONJUNTOS II


Trabajando en clase

Integral

1. Dados los conjuntos A = 1; 2; 3; 4, B = 1; 2; 3 y C = 1; 2; 3; 4, marca V o F según corresponda:

a. 1 ⊂ A ( ) b. 1; 2 ⊂ B ( )c. 1 ⊂ B ( ) d. 2 ⊂ A ( )

2. Dados los conjuntos A = 1; 2; 3 y B = 4; 3; 2; 1 determina la veracidad (V) o falsedad (F) de:

a. A ⊂ B ( ) b. 4 ⊂ B ( )c. B ⊂ A ( ) d. 2; 4 ⊂ A ( )

3. Si A = 1; 2; 3; 4; 5 y B = 1; 3; 5, ¿cuántas de las siguientes afi rmaciones son verdaderas?

B ⊂ A 2; 3; 4 ⊂ B3; 5 ⊂ A 5 ⊄ A 1; 3 ⊄ B 2; 5 ⊂ B

Católica

4. Si los conjuntos A y B son iguales, determina x + y: A = 3x + 2; 5y, B = 30; 29 (x e y son enteros)Resolución:

Como A = B, entonces: 3x + 2 = 29, entonces x = 9 5y = 30, entonces y = 6

Por lo tanto: x + y = 9 + 6 = 15

5. Si los conjuntos P y Q son iguales, además a y b son enteros. Determina a + b: P = 2a + 1; 4b y Q = 19; 32

6. Un conjunto A tiene 16 subconjuntos. Si n(A) x n(C) = 24, ¿cuántos subconjuntos tiene C?

7. Si para dos conjuntos A y B se cumple: n(A) – n(B) = 2 y además 2n(A) – 2n(B) = 768;

calcula n(A) – 1

UNMSM

8. En un avión hay 150 personas, de las cuales 60 fuman y 90 beben. ¿Cuántas personas hay que fu-man y beben si se sabe que hay 10 personas que solamente fuman?

Resolución:

10 x

F = 60 B = 90

150 x = 50

9. En un avión hay 180 personas, de las cuales 80 fuman y 100 beben. ¿Cuántas personas hay que fuman y beben si se sabe que hay 50 personas que solamente beben?

10. De 500 integrantes de un club deportivo, 200 se inscribieron en karate y 340 en boxeo. Si 50 no se inscribieron en ninguna de las dos disciplinas, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

11. De los deportistas de la plana de aritmética se supo que 9 practican fútbol y natación, 5 no practican estos deportes, 20 practican solamente natación y 13 practican fútbol. ¿Cuántos depor-tistas hay en dicha plana?

UNI

12. Nancy desayuna panetón o galleta cada mañana del mes de Octubre. Si come panetón 19 mañanas y ga-lletas 27 mañanas, ¿cuál es la suma de los dígitos del número de mañanas que comió galletas y panetón?Resolución:

4 x

P = 19 G = 27

31

12

x = 15 ∴ 1 + 5 = 6

13. Cynthia desayuna jamón o queso cada mañana del mes de noviembre. Si come jamón 15 mañanas y queso 22 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y jamón?

14. En la fi esta de cachimbos de la UNI había 97 per-sonas entre hombres y mujeres. En determinado momento 15 hombres y 6 mujeres no bailaban. ¿Cuántos hombres asistieron a la fi esta?


6


Lógica proposicional I

I. DEFINICIÓN Parte de la Matemática que estudia las propo-

siciones y las relaciones que hay entre ellas, así como las funciones que cumplen.

II. ENUNCIADO Se llama enunciado a toda frase u oración que se

utiliza en el lenguaje común.• ¡Ayuda!• ¿Qué hora es?• La capital del Perú es Lima.

III. PROPOSICIÓN LÓGICA Es un enunciado u oración aseverativa que tiene

la característica de ser verdadero o falso.

IV. CLASES DE PROPOSICIÓN 1. Simples

Denominada también atómicas o nomádicas.

Son oraciones que expresan una sola idea. Ejemplos:

La Tierra es redonda. Juan es abogado. Pedro y Juan son hermanos.

2. Compuestas

También denominadas moleculares. Constitui-das por dos o más proposiciones simples; y tam-bién cuando presentan adverbio de negación.

Ronald es profesor y Humberto ingeniero. Si estudias entonces aprobarás. Perú no clasifi có al mundial.

V. NOTACIÓN Las proposiciones pueden ser analizadas en tablas

de verdad, y se representan con letras minúsculas, que pueden ser: p, q, r, s, t, …

La lógica aristotélica es la lógica basada en los trabajos del fi lósofo griego Aristóteles, quien es ampliamente reconocido

como el padre fundador de la lógica. Sus trabajos principales sobre la materia tradicionalmente se agrupan bajo el nombre Órganon «herramienta», y constituyen la primera investigación sistemática acerca de los principios del razonamiento válido o correcto. Para Aristóteles, la lógica era una herramienta necesaria para adentrarse en el mundo de la fi losofía y la ciencia. Sus propuestas ejercieron una infl uencia sin par durante más de dos milenios.

Trabajando en claseIntegral

1. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son propo-siciones lógicas?I. ¿Qué hora es?II. 5 + 2 = 8III. ¡Alto!IV. Lima es la capital de PerúV. Hola

2. De los siguientes enunciados, ¿cuáles no son proposiciones lógicas?I. 10 – 4 = 14II. 6 < 3III. ¡Qué hermoso día!IV. Messi es peruanoV. ¿Cuál es tu nombre?VI. Silencio


LÓGICA PROPOSICIONAL I


3. De los siguientes enunciados, ¿cuáles son propo-siciones lógicas?I. ¿Qué día es?II. ¡Ayúdame!III. La capital de Perú es Quito.IV. Juan es doctor.V. 2x = 10

Católica

4. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son propo-siciones lógicas?I. 5 es número par.II. El auto es nuevo.III. X + 3 = 5IV. El gato es un mamífero.V. ¿Qué hora es?Resolución:

Las proposiciones lógicas son: I, II y IV

5. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son propo-siciones lógicas?I. X + 2 < 5 II. El perro ladraIII. ¿Te sientes bien?IV. Mañana es jueves

6. Determina cuántas son proposiciones lógicas.I. Desearía ir a la playa.II. ¡Aprobé aritmética!III. Si 2 = 2, entonces 5 = 6.IV. Pedro es doctor.V. 3x > 19

7. Determina cuántos no son proposiciones lógicas.I. ¡Arriba Perú!II. ( 9 + 5 = 7) o (2 = 2)III. Tengo hambreIV. Oswaldo es delgado.V. No es cierto que Michel estudia.VI. Colombia es un país Europeo.

UNMSM

8. ¿Cuántas proposiciones son simples? Maradona es peruano. 23 < 24 ¡Buenos días! Si hoy es e lunes entonces mañana es miércoles. Nancy y Ronald son hermanos.

Resolución: Maradona es peruano → P. simple 23 < 24 → P. simple ¡Buenos días! → No es proposición. Si hoy es lunes entonces mañana es miércoles

→ P. compuesta Nancy y Ronald son hermanos → P. simple

Son 3 proposiciones simples

9. ¿Cuántas proposiciones son simples? Claudio Pizarro no es peruano. Perú es un país europeo. Federer es futbolista o tenista. Farfán y Vargas son futbolistas. Gastón Acurio es chef.

10. ¿Cuántas proposiciones son simples? Selena es cantante y Cristiano Ronaldo es

futbolista. Lady Gaga y Madonna son cantantes. Perú y Chile están en América. Nadine y Ollanta son esposos. Pedro y Juan son hermanos.

11. ¿Cuántas proposiciones son compuestas? Gustavo es estadístico. Ronald es karateca y nadador. Si Humberto es ingeniero entonces es profesional. No es cierto que Venezuela es un país europeo. 5 no es un número par.

UNI

12. ¿Cuántas proposiciones son atómicas? Juan y Miguel son cuñados. 12 < 12 No es cierto que Alejandro estudie. ¡Me fallaste! Pedro y Ana son esposos.

Resolución: Juan y Miguel son cuñados → Atómica 12 < 12 → Atómica No es cierto que Alejandro estudie → Molecular ¡Me fallaste! → No es proposición Pedro y Ana son esposos → Atómica

Son 3 atómicas.

13. ¿Cuántas proposiciones son moleculares? Quisiera vivir en Madrid. Perú no es un país asiático. La capital de Venezuela es Caracas. Humberto y Oswaldo son ingenieros. Si Patty estudia entonces aprobará el examen.

14. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones:

América y África son continentes. Manuel es médico o abogado. Flor no es profesora. Si Cynthia estudia entonces aprobará el examen.


7


Lógica proposicional II

I. CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS

A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como y; o; si... entonces... si y solo si..., etc. A estas expresiones de enlace, las llamaremos conectivas u operadores lógicos.

a) La negación (∼)

p ∼pV FF V

Se lee: No «p» No es cierto que «p». No es el caso que «p»

b) La conjunción (∧)

p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Se lee: «p» y «q» «p» además «q» «p» pero «q»

c) La disyunción inclusiva (∨)

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Se lee: «p» o «q»

d) La condicional (→)

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Se lee: Si «p» entonces «q»

e) La bicondicional (↔)p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Se lee: «p» si y solo si «q»

II. TABLA DE VERDAD A la repesentación de proposiciones compuestas

mediante conectivos lógicos y signos de colección se le llama fórmula proposicional.

Para determinar todas las combinaciones de los valores de verdad de los componentes de una fór-mula, se utiliza la tabla de verdad.

p q p ∧ [(∼p → q) ∨ ∼q]V V V V FV V V V FV

V F V V FV V F V VF

F V F F VF V V V FV

F F F F VF F F V VF

4 1 2 3 1

Los números indican el orden en que se han de-sarrollado los conectivos, siendo el resultado fi nal de la evaluación la columna debajo del numero 4.

De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos:

Tautología, si la matriz principal resulta ver-dadera para cualquier caso.

Contradicción, si la matriz principal resulta falsa para cualquier caso.

Contingencia, si no es tautología ni contradicción.

Observación:El número de posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones componentes es 2n.


LÓGICA PROPOSICIONAL II


Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el valor de verdad de: p → q, si p = F y q = V

2. Calcula el valor de verdad de: p ∧ ∼q, si p = V y q = F

3. Calcula el valor de verdad del siguiente molecu-lar, si P = V, q = V y r = F (p ↔ q) ∧ ∼r.

Católica

4. Si ∼(p ∨ q) es verdadero, determina el valor de p y q.Resolución:

∼(p ∨ q) p ∨ q p = F

V F q = F

5. Si (p ∧ q) → r es falso, determina el valor de p, q y r.

6. Si p = F, q = V, r = F y s = F, calcula el valor de verdad del siguiente esquema molecular:

(r ∧ s) → (p ↔ q)

7. Si (p ↔ r) ∧ r ≡ V, determina los valores de p y r.

UNMSM

8. Si: p = 2 + 2 ≠ 4 q : 3 ≥ 2 r : 2 – 1 = 0 determina el valor de (p → q) ∧ r

Resolución:p : F (p → q) ∧ r

q : V ≡ (F → V) ∧ F r : F ≡ V ∧ F ≡ F

9. Si: p : 3 + 5 ≠ 6 q : 7 > –8 r : 16 – 15 = 0 determina el valor de (p ∧ q) ∧ ∼r.

10. ¿Cuántas combinaciones posibles de los valores de verdad existen para los componentes p, q, r y s?

11. Según la matriz principal, la siguiente proposición es:

(p ∧ q) → p

UNI

12. Según la matriz principal, la siguiente proposición es:

(p → q) ∨ pResolución:Para determinar el tipo de proposición evalua-mos mediante la tabla de verdad.

p q (p → q) ∨ pV V V V V V V

V F V F F V V

F V F V V V F

F F F V V V F

1 2

Matriz principal

Como todos los valores en la matriz principal son verdaderos, la proposición es una TAUTOLOGÍA.

13. Según la matriz principal la siguiente proposición es:

(p → q) ∧ (p ∧ ∼p)

14. La siguiente proposición es:∼(∼p ∧ q) → (p ∨ ∼q)


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Repaso

1. Si las magnitudes de A y B son directamente proporcionales, cuando A vale 2, B es 9, ¿qué va-lor toma A cuando B vale 36?a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

2. A es proporcional con la media aritmética y con la media armónica de dos números. Si A = 15, la media geométrica de los números es 9. Calcula A cuando el producto de los números es 54.a) 8 d) 11b) 9 e) 12c) 10

3. De los siguientes datos no agrupados, calcula x: 26; 34; 24; 16; 14; 12; 16; 18

a) 18 d) 21b) 19 e) 22c) 20

4. Dado el siguiente diagrama, señala qué porcentaje corresponde al sector D.a) 20% b) 30% c) 10%

700400

B

C

A

D 300600d) 40%

e) 70%

5. El precio de un diamante es proporcional al cuadra-do de su peso. Si un diamante de 4 gr vale S/. 1280. ¿Cuál será su peso si su precio es de S/. 3920?a) 4 g d) 7 gb) 14 g e) 6 gc) 3 g

6. Según el siguiente grupo de datos: 20; 18; 6; 15; 15; 27; 5; 10; 6; 6, calcula x, Mo, Me. Da como respuesta la suma de ellos.a) 12,5 d) 31,3b) 12,8 e) 28,4 c) 6

7. Señala el número de subconjuntos propios que tiene el conjunto.

R = x2/x ∈ Z; 0 < x < 5a) 4 d) 15b) 8 e) 7c) 16

8. En una encuesta hecha a 80 personas, 58 leen el semanario A y 38 el semanario B, ¿cuantos leen ambos semanarios si solo 12 no leen nada?a) 25 d) 30b) 26 e) 10c) 28

9. De 72 alumnos de cierta entidad educativa, 36 es-tudian en la mañana, 35 en la tarde y 25 en la no-che. ¿Cuántos estudian en solo dos turnos si solo uno estudia en los 3 turnos?a) 32 d) 27b) 26 e) 35c) 22

10. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son atómicos y cuántos moleculares? Da como respuesta la di-ferencia de dichos resultadosI. Ojalá regrese.II. 2x = 32III. Juan es doctor y Pedro jugador.


REPASO


1. C2. C3. C4. A

5. D6. D7. D8. C

9. C10. A11. A12. C

Claves

IV. Ronald y Nancy son hermanos.V. Cynthia no es profesora.a) 1 d) 0 b) 2 e) F.D.c) 3

11. Calcula el valor de verdad de:(r ∧ 5) → (p ↔ q)

si p = F, q = V, r = F y s = Fa) V c) V o F e) V y Fb) F d) F.D.

12. La siguiente proposición es:∼(p → q) ∨ (p ∧ q)

a) Tautología c) Contingencia e) Equivalenteb) Contradicción d) Válida

Bibliografía

1. RUBIÑOS MORENOS, LUIS ALBERTO, Aritmética: Lima. Perú 20102. Exámenes de admisión desarrollados UNI, UNMSM: Lima. Editorial: SAN MARCOS, 20133. AUCALLANCHIV FELIX, Aritmética: Lima. Editorial: RACSO, 2010


01 Aritmetica 3-22

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