01.- El radio trazado en el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L.
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01.- El radio trazado en el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR LR
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02.- El radio o diámetro si es perpendicular a una cuerda, entonces la biseca (la divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R MQ PM PQ R
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03.- Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si mBDmAC CD // AB :Si
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04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si mCD mAB CD AB:Si
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
R
d = Cero ; d : distancia d = Cero ; d : distancia
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Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + rd > R + r
R r
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d = R + r d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es el de tangencia.
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
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d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es el de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
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05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
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06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
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06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros
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1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se pueden trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
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2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
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3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
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TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
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TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito