SEPARATA III

INTEGRACIN NUMERICA

LA REGLA DE SIMPSON

La regla de Simpson se utiliza para la integracin de funciones, determinando el rea bajo la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales provenientes de laboratorio, gabinete o unidad de produccin.

y1

yo

y2

La ecuacin fundamental de Simpson

Para 5 puntos

Luego

Para 7 puntos

Para n puntos (ecuacin general)

CASO I. INTEGRACIN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIN BASE DE SIMPSON

Integrar la siguiente funcin. Empleando la ecuacin base

Calculo del valor de incremento

Construccin de la tabla para la integracin

x

221,1

4,553,1

797,6

Aplicar la regla de Simpson

= 275,9166

Comprobando analticamente

=275,197

Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximacin del valor de la integral

Por ejemplo integrar para 11 puntos la funcin del ejemplo anterior, 10 bandas.

Tabla de la funcin a integrar

x

221,1

2,526,5

332,4

3,538,8

445,7

4,553,1

561

5,569,4

678,3

6,587,7

797,6

Aplicando la ecuacin general se obtiene

= 275,197

CASO II. INTEGRACIN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES

Por ejemplo considerando la funcin anterior integrar entre los siguientes limites:

Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuacin por anlisis de regresin, de la forma siguiente:

Usando para un

x

221,1

2,526,5

332,426,583333326,5833333

3,538,8

445,738,883333365,4666667

4,553,1

56153,1833333118,65

5,569,4

678,369,4833333188,133333

6,587,7

797,687,7833333275,916667

Organizar la tabla x , , de la forma siguiente:

x

326,5833333

465,4666667

5118,65

6188,133333

7275,916667

Grafica de la curva integral

CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIN, TENIENDO SOLO DATOS EXPERIMENTALES

Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al siguiente registro se pide determinar el volumen vertido por da

Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/h

425

632

815

1029

1232

1414

1618

1816

2018

2226

2442

Aplicar la regla de Simpson

Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/h

425

632

815112112

1029

1232108,666667220,666667

1414

161870,6666667291,333333

1816

201866,6666667358

2226

2442109,333333467,333333

El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m3

La grfica de la curva integral

Tiempo (t)h

3112,0

5220,666667

7291,333333

9358,0

11467,333333

La concentracin del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo (t)hCaudal vertido(Q)m3/hConcentracin ( C )mg/l

42512350

63215000

81514890

10299875

123210298

141414555

161812880

181613587

201815280

222616800

244212798

Determinar la masa que se envia al desague y la concentracin promedio ()

Solucin:t(h)Q m3/hQl/hCmg/lmkg/hAi

42525000123530,88

63232000150048,00

81515000148922,34163,473333163,473333

102929000987,528,64

1232320001029,832,95113,225733276,699067

1414140001455,520,38

161818000128823,1891,7637333368,4628

1816160001358,721,74

201818000152827,5091,7632460,226

222626000168043,68

2442420001279,853,75170,6504630,8764

La masa que se enva al desage es 630,87 kg

La concentracin promedio del efluente vertido :1,35 kg /m3

Problemas propuestos

1. Integrar y determinar la curva integral para 15 puntos2. Integrar y determinar la curva integral para 14 bandas3. Integrar y determinar la curva integral para 11 puntos4. Integrar y determinar la curva integral para 13 puntos5. Integrar y determinar la curva integral para 12 bandas6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft3/lb y la presin (p) psia de acuerdo a la siguiente expresin:

La Informacin se encuentra en la siguiente tabla:

Vp

268,7

431,3

619,7

814,3

1011,3

Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.

7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada cierto periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y determine la curva integral la informacin tabulada es la siguiente

TiempoVelocidad

11,0064

31,00343

41,00435

61,00331

81,00233

101,00149

121,00078

8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:

TiempoConsumo devapor

2325

4560

6450

8468

10275

12825

14320

16316

18345

Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.

9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petrleo (M, gal/min), indica el flujo msico que se consume de petrleo. Estos valores han sido registrados en la siguiente tabla:

Tiempo (h)Flujo msico gal/h

145,3

222,2

355,1

435,4

540,2

662,3

755,4

849,1

947,2

1055,0

1145,9

Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva integral y cual ser la cantidad de petrleo consumido entre las 6,5 horas y 9 horas.

CASO III: Cuando suceden reacciones qumicas

Entradatiempo (t)t+

Flujo msico (M/T)meme +

SalidaTiempo (t)t+

Flujo msico (M/T)msms+

Acumulacintiempo (t)t+

Masa (M)MM+

Entradas Salidas = Acumulacin

Ejemplo:

La planta de produccin de lcteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce su carga orgnica antes de ser vertido al desage de acuerdo a los siguientes reportes:

Tiempo (t) hEntradaconcentracin g/minSalidaconcentracing/min

135,219,13

242,508,25

333,127,12

431,316,97

541,128,45

630,138,93

733,456,41

845,126,21

940,137,13

1029,927,98

1138,546,45

Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor

a. Determine la masa que ingrese al bioreactorb. Determine la masa que sale del bioreactorc. Determine la masa que ha sido reducidad. Determine el porcentaje de bioconversin

SalidaEntrada

Clculo de la masa que ingresa al bioreactorTiempo (t)horaEntradag/minEntradag/hAi

135,212112,6

242,52550

333,121987,24766,64766,6

431,311878,6

541,122467,23989,68756,2

630,131807,8

733,4520073901,812658

845,122707,2

940,132407,85081,217739,2

1029,921795,2

1138,542312,4396721706,2

Calculo de masa que sale del bioreactor

Tiempo(t)horaEntradag/minEntradag/hAi

19,13547,8

28,25495

37,12427,2985985

46,97418,2

58,455078691854

68,93535,8

76,41384,61011,62865,6

86,21372,6

97,13427,8767,63633,2

107,98478,8

116,453879104543,2

a. Masa al ingreso: 21 706,2 gb. Masa a la salida: 4 543,2 gc. Masa reducida: 21 706,2 4 543,2 = 17 163 gd. Bioconversin (%B)

% B = 79,06

Problemas propuestos

1. En una operacin de biodegradacin de un efluente orgnico se contabilizo el caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgnica inicial fue de 6001 mg /l.Tiempo horaCaudal (Q)litro/hConcentracinmg/l

14500500

36500561

54350450

75321325

94698585

115331625

134610351

Determinar el volumen (V) en m3, vertido al desage, la masa y concentracin del agente orgnico que se vierte al desage y l % de bioconversin

2. Un efluente orgnico conteniendo residuales de azcar es tratado en un bioreactor, contabilizando los siguientes datos:Tiempo (h)Caudalm3/sConcentracinentradag/lConcentracinsalidag/l

10,210185

20,230153,5

30,240124,2

40,200152,1

50,198174,1

60,177196,2

70,236153,4

80,224328,1

90,180168,9

a. Determinar el volumen del efluente tratadob. Cantidad de azcar que ingresa y sale del bioreactorc. Material que s biodegradod. % de bioconversine. Concentracin promedio del efluente que se vierte al desagef. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversin

3. Se tiene la siguiente informacin de salida de un efluente de una planta procesadora de alimentos, hacia un desage publico. La medida del caudal se efecta cada hora, determinando el contenido de slidos solubles orgnico mediante sensores.

TiempohoraCaudal (Q)m3/minConcentracinmg/l

10,04200

20,25220

30,36150

40,4175

50,31270

60,21221

70,3979

80,7585

90,310,31

100,320,32

110,250,25

Determine el volumen del efluente que vierte al desage, la carga orgnica, y la concentracin promedio del mismo.

4. En un bioreactor se trata un efluente determinndose el flujo msico del agente contaminante, obtenindose los siguientes resultados:

TiempohoraFlujo msicoentradakg/hFlujo msicosalidakg/h

145,618,3

232,510,9

355,312,3

453,88,25

545,99,13

662,48,53

744,87,23

846,810,90

949,611,3

Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgnica se biodegrada

Determinar la cantidad de material de entrada y salidaLa cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado.

Mg Victor Terry Calderon Pgina 15