02 reglas de simpson

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 6: INTEGRACIÓN

NUMÉRICA.

REGLAS DE SIMPSON.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 6. Integración Numérica. Reglas de Simpson.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 36

6.4.- REGLAS DE SIMPSON.

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra forma

de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado

superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre )(af y )(bf ,

los tres puntos se pueden unir con una parábola (Figura 6.15). Si hay dos puntos igualmente

espaciados entre )(af y )(bf , los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de

tercer grado (Figura 6.18). Las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos

polinomios se conocen como reglas de Simpson.

Figura 6.15. Descripción gráfica de la regla de Simpson 1/3, que consiste en tomar el área bajo una parábola

que une tres puntos.

Regla de Simpson 1/3.

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se

sustituye en la ecuación (6.1):

b

a

b

axdxPxdxfI )()( 2 (6.1)

Si se designan a y b como 0x y 2x , y )(2 xP se representa por un polinomio de Lagrange de

segundo grado [(véase la ecuación (3.17)], la integral se transforma en



2

0

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

21x

x

b

axdxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxdxf

Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente

fórmula:

)]()(4)([3

)( 210 xfxfxfh

xdxfb

a (6.10)

donde, en este caso 2

abh

. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la

segunda fórmula de integración cerrada de Newton - Cotes. La especificación “1/3” se

origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación (6.10). La regla de Simpson

1/3 también se puede expresar como

promedio Altura

210

Ancho6

)()(4)()()(

xfxfxfabxdxf

b

a

(6.11)

donde 0xa , 2xb y 1x = el punto a la mitad entre a y b, que está dado por 2

1

bax

.

Observe que, de acuerdo con la ecuación (6.11), el punto medio está ponderado por dos

tercios; y los dos puntos extremos por un sexto.

Error de la regla de Simpson 1/3.

Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3

tiene un error de truncamiento de

))(()4(5

901 xfhEt

o, como 2

abh

,

))((2880

)( )4(5

xfab

Et

(6.12)

donde )(x está en algún lugar en el intervalo de a a b. Así, la regla de Simpson 1/3 es más

exacta que la regla del trapecio. No obstante, una comparación con la ecuación (6.3) indica

que es más exacta de lo esperado. En lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el

error es proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, el término del coeficiente de



tercer grado se hace cero durante la integración de la interpolación polinomial. En

consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisión de tercer orden aun cuando se

base en sólo tres puntos. En otras palabras, ¡da resultados exactos para polinomios cúbicos

aun cuando se obtenga de una parábola!.

Ejemplo 6.8.

[WM] Use la regla de Simpson 1/3 para aproximar

3

1

2 )( xdex x . Compare la

aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.

Solución.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(

Aplicando la ecuación 6.10.

)]()(4)([3

)( 210 xfxfxfh

xdxfb

a (6.10)

10 ax

32 bx

22

31

21

bax

12

13

2

abh

6321206.01)1()1()( 1)1(2

0 eefxf

8646647.34)2()2()( 2)2(2

1 eefxf

9502129.89)3()3()( 3)3(2

2 eefxf

La gráfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.16.



Figura 6.16. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 para

aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

Valor aproximado de la integral.

)9502129.88646647.346321206.0(3

1)(

3

1

2 xdex x

3469974.8

Error absoluto de aproximación.

aproximadoValor exactoValor t

3469974.83485742.8

3105768.1

Cota de error.

))((2880

)( )4(5

xfab

Et

(6.12)

La cuarta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()4( . Al evaluar en 1x y

en 3x tenemos:

3678794.0)1( 1)4( ef

0497871.0)3( 3)4( ef



)3678794.0(2880

)13( 5tE

3100875.4

Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.

Ejemplo 6.9.

[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximación a 5.1

1.1xde x aplicando la regla

de Simpson 1/3.

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817

Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es

posible.

Solución.

5.1

1.1xde x

1.1a

5.1b

xexf )(


)]()(4)([3

)( 210 xfxfxfh

xdxfb

a (6.10)

1.10 ax

5.12 bx

3.12

5.11.1

21

bax

2.02

1.15.1

2

abh

0042.3)1.1()( 0 fxf

6693.3)3.1()( 1 fxf

4817.4)5.1()( 2 fxf




Figura 6.17. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 para

aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .


)4817.46693.340042.3(3

2.05.1

1.1 xde x

47754.1



47754.147752.1

5102

Cota de error.

))((2880

)( )4(5

xfab

Et

(6.12)

La cuarta derivada de la función xexf )( es xexf )()4( . Al evaluar en 1.1x y en

5.1x tenemos:

0042.3)1.1( 1.1)4( ef

4817.4)5.1( 5.1)4( ef



4817.42880

)1.15.1( 5

tE

5105935.1

Ejercicios adicionales.

16. [CC] Aproxime las integrales h), i), j), k) y l) del problema 1 con una sola aplicación de

la regla de Simpson 1/3. Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota

del error en cada caso, si esto es posible.

La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

Así como la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de

integración en varios segmentos de un mismo tamaño (Figura 6.18).

Figura 6.18. Representación gráfica de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método

se puede emplear sólo si el número de segmentos es par.

n

abh

(6.13)

La integral total se puede representar como

n

n

x

x

x

x

x

x

b

axdxfxdxfxdxfxdxf

2

4

2

2

0

)()()()(

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene



6

)()(4)(2

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2)(

12

432210

nnn

b

a

xfxfxfh

xfxfxfh

xfxfxfhxdxf

o, combinando términos y usando la ecuación (6.13),

promedio Altura

2

6,4,2

1

5,3,1

0

Ancho3

)()(2)(4)(

)()(n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a

(6.14)

Observe que, como se ilustra en la figura 6.18, se debe utilizar un número par de segmentos

para implementar el método. Además, los coeficientes “4” y “2” en la ecuación (6.12) a

primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla de

Simpson 1/3. Los puntos impares representan el término medio en cada aplicación y, por lo

tanto, llevan el peso de 4 de la ecuación (6.9). Los puntos pares son comunes a aplicaciones

adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces.

Algoritmo de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

Para aproximar b

axdxfI )( :

ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo 2/nm .

SALIDA: aproximación XI de I.

Paso 1 Tomar n

abh

Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI

).)( de Suma(;01 12 ixfXI

).)( de Suma(;02 2 ixfXI

Paso 3 Para 12,,1 mi seguir los pasos 4 y 5.

Paso 4 Tomar hiax

Paso 5 Si i es par entonces tomar )(22 XfXIXI

sino )(11 XfXIXI



Paso 6 Tomar 3/)14220( XIXIXIhXI

Paso 7 SALIDA ( XI )

PARAR.

Error de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

Un error estimado en la regla de Simpson de aplicación múltiple se obtiene de la

misma forma que en la regla del trapecio: sumando los errores individuales de los

segmentos y sacando el promedio de la derivada para llegar a

)4(

4

5

180

)(f

n

abEa

(6.15)

donde )4(f es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.

Ejemplo 6.10.

[WM] Use la regla de Simpson 1/3 compuesta con 8n para aproximar

3

1

2 )( xdex x.

Compare la aproximación con el resultado exacto.

Solución.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(


n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a 3

)()(2)(4)(

)()(

2

6,4,2

1

5,3,1

0

(6.14)

10 ax

3 bxn

25.08

13

n

abh



Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados

se muestran en la tabla siguiente:

i x xexxf 2)(

0 1.00 0.6321206

1 1.25 1.2759952

2 1.50 2.0268698

3 1.75 2.8887261

4 2.00 3.8646647

5 2.25 4.9571008

6 2.50 6.1679150

7 2.75 7.4985721

8 3.00 8.9502129


Figura 6.19. Representación gráfica del empleo de la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple con n = 8

para aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la

función en los i pares y el cuádruple del valor de la función en los i impares:

i x xexxf 2)( )(2 xf )(4 xf

0 1.00 0.6321206

1 1.25 1.2759952 5.1039808

2 1.50 2.0268698 4.0537397

3 1.75 2.8887261 11.5549042

4 2.00 3.8646647 7.7293294



5 2.25 4.9571008 19.8284031

6 2.50 6.1679150 12.3358300

7 2.75 7.4985721 29.9942886

8 3.00 8.9502129

Total 24.1188991 66.4815767


)8(3

9502129.81188991.244815767.666321206.0)13()(

3

1

2

xdex x

24

1828093.1002

3485674.8



3485674.83485742.8

6108.6

El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 1/3 en un solo

intervalo y menor que cuando se utiliza la regla del trapecio múltiple con el mismo número

de segmentos.

El ejemplo anterior demuestra que la versión de la regla de Simpson 1/3 de

aplicación múltiple da resultados muy precisos. Por esta razón, se considera mejor que la

regla del trapecio en la mayoría de las aplicaciones. Sin embargo, como se indicó antes,

está limitada a los casos donde los valores están equidistantes. Además, está limitada a

situaciones en las que hay un número par de segmentos y un número impar de puntos. En

consecuencia, como se analizará en la siguiente sección, una fórmula de segmentos impares

y puntos pares, conocida como regla de Simpson 3/8, se usa junto con la regla 1/3 para

permitir la evaluación de números de segmentos tanto pares como impares.

Ejemplo 6.11.

[BF, WM] Dada la función f en los valores tabulados abajo:

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675



Aproxime 6.2

8.1)( xdxf usando la regla de Simpson 1/3 compuesta.

Solución.

6.2

8.1)( xdxf

8.1a

6.2b

Puesto que los extremos (1.8 – 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de

cinco puntos. La subdivisión es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .

Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia

constante entre dos x consecutivos.


n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a 3

)()(2)(4)(

)()(

2

6,4,2

1

5,3,1

0

(6.14)

Se debe evaluar la función desde 8.1x hasta 6.2x con un paso de 2.0h . Los

resultados están mostrados en la tabla proporcionada.


Utilizando los datos:

)4(3

46675.10)04241.6(2)03014.842569.4(412014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

12

75.495038.0

0330020.5

Para resolver este ejemplo 6.11, se pudieron tomar también 2 intervalos con 4.0h y los

puntos que se indican a continuación:

x 1.8 2.2 2.6

)(xf 3.12014 6.04241 10.46675

En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuación 6.11 es:



)2(3

46675.10)04241.6(412014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

6

75653.378.0

034204.5

No existe otra posibilidad en cuanto al número de segmentos para determinar el valor de la

integral 6.2

8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la función y estamos limitados a los datos

proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En cualquiera de los

casos, para aplicar la regla de Simpson 1/3, el número de segmentos debe ser par.

Ejemplo 6.12.

[WM] Determine los valores de n y h necesarios para aproximar 4/

0tan

xdx con 10–8

de

precisión usando la regla de Simpson 1/3 compuesta.

Solución.

El error estimado en la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple está dado por la

ecuación 6.15.

)4(

4

5

180

)(f

n

abEa

(6.15)

4)4(

5

180

)(f

E

abn

a

Siendo xxf tan)( , entonces:

xxf 2sec)( , xxxf tansec2)( 2 , xxxxf 422 sec2tansec4)( y

xxxxxf tansec16tansec8)( 432)4(

Valor promedio de la cuarta derivada.

ab

xdxff

b

a

)(

0

)tansec16tansec8(

4

4/

0

432

xdxxxx



7853981634.0

14

2617.8253536

48

5

4 )2617.8253536(10180

)0(

n

48.41n

Se requieren 42 segmentos como mínimo.

Observación: En caso de haber obtenido como resultado un número impar de segmentos,

dado que se aplicaría la regla de Simpson 1/3, el valor del número de segmentos a reportar

como solución del problema debe ser el número par inmediatamente superior.

70186999562.042

04

n

abh

En cuanto al número de segmentos, si comparamos el resultado de este ejemplo con el

resultado obtenido aplicando el método del trapecio para aproximar la integral 4/

0tan

xdx

con 10–8

de precisión (Ejemplo 6.7), el método del trapecio requiere 2268 segmentos como

mínimo, mientras que el método de Simpson 1/3 requiere sólo 42 segmentos.


17. [CC] Aproxime las integrales h), i), e j) del problema 1 con la regla de Simpson 1/3 de

aplicación múltiple, usando 4n y 6n .

18. [BF] Repetir el ejercicio 5 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.

19. [CC] Evalúe la integral del problema 6, pero ahora utilice la regla de Simpson 1/3 de

aplicación múltiple.

20. [CC] Integre la siguiente función 5

3

3)54( xdx , en forma analítica y usando la regla

de Simpson 1/3, con 4n . Analice sus resultados.

21. [WM] Repetir el ejercicio 8 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.


23. [WM] Repetir el ejercicio 12 usando la regla compuesta de Simpson 1/3.






De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar

un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro puntos (Figura 6.20) e integrarlo:

b

a

b

axdxPxdxfI )()( 3 (6.16)

para obtener

)]()(3)(3)([8

3)( 3210 xfxfxfxf

hxdxf

b

a (6.17)

donde 3

abh

. Esta ecuación se llama regla de Simpson 3/8 debido a que h se multiplica

por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton – Cotes. La regla 3/8

se expresa también en la forma

promedio Altura

3210

Ancho8

)()(3)(3)()()(

xfxfxfxfabxdxf

b

a

(6.18)

Así los dos puntos interiores tienen pesos de tres octavos, mientras que los puntos extremos

tienen un peso de un octavo.

Figura 6.20. Descripción gráfica de la regla de Simpson 3/8, que consiste en tomar el área bajo una ecuación

cúbica que une cuatro puntos.

Error de la regla de Simpson 3/8.



La regla de Simpson 3/8 tiene un error de

))(()4(5

803 xfhEt

ó, como 3

abh

))((6480

)( )4(5

xfab

Et

(6.19)

Puesto que el denominador de la ecuación (6.16) es mayor que el de la ecuación (6.10), la

regla 3/8 es más exacta que la regla 1/3.

Por lo común, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una exactitud de

tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión 3/8. No

obstante, la regla de 3/8 es útil cuando el número de segmentos es impar. Una alternativa

sería aplicar la regla de Simpson 1/3 a los primeros segmentos pares y la regla de Simpson

3/8 a los últimos tres (Figura 6.22). De esta forma, podríamos obtener un estimado con una

exactitud de tercer orden durante todo el intervalo.

Ejemplo 6.13.

[WM] Use la regla de Simpson 3/8 para aproximar

3

1

2 )( xdex x. Compare la

aproximación con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.

Solución.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(


)]()(3)(3)([8

3)( 3210 xfxfxfxf

hxdxf

b

a (6.17)

10 ax

33 bx



6666667.03

13

3

abh

hxx 01

6666667.16666667.011 x

hxx 202

3333333.2)6666667.0(212 x

6321206.01)1()1()( 1)1(2

0 eefxf

5889022.27777778.2)6666667.1()6666667.1()( 6666667.1)6666667.1(2

1 eefxf

3474725.54444444.5)3333333.2()3333333.2()( 3333333.2)3333333.2(2

2 eefxf

9502129.89)3()3()( 3)3(2

3 eefxf


Figura 6.21. Representación gráfica del empleo de una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8 aproximar

la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .


]9502129.8)3474725.5(3)5889022.2(36321206.0[8

6666667.03)(

3

1

2

xdex x

3914576.3325.0

3478644.8





3478644.83485742.8

410098.7

El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 1/3 y la regla

del trapecio en un solo intervalo.

Cota de error.

))((6480

)( )4(5

xfab

Et

(6.19)

La cuarta derivada de la función xexxf 2)( es xexf )()4( . Al evaluar en 1x y en

3x tenemos:

3678794.0)1( 1)4( ef

0497871.0)3( 3)4( ef

3678794.06480

)13( 5

tE

3108167.1

Observamos que la estimación se encuentra entre los límites del error.


Así como la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3, la regla de Simpson 3/8 se mejora

al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño (Figura

6.21).



Figura 6.21. Representación gráfica de la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple. Observe que el método

se puede emplear sólo si el número de segmentos es múltiplo de 3.

n

abh

(6.20)

La integral total se puede representar como

n

n

x

x

x

x

x

x

b

axdxfxdxfxdxfxdxf

3

6

3

3

0

)()()()(

Al sustituir la regla de Simpson 3/8 en cada integral se obtiene

8

)()(3)(3)(3

8

)()(3)(3)(3

8

)()(3)(3)(3)(

123

65433210

nnnn

b

a

xfxfxfxfh

xfxfxfxfh

xfxfxfxfhxdxf

o, combinando términos y usando la ecuación (6.19),

promedio Altura

9,6,3

1

5,4,2,1

0

Ancho8

)()(2)(3)(3

)()(n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a

(6.21)

Observe que, como se ilustra en la figura 6.18, se debe utilizar un número múltiplo de 3 de

segmentos para implementar el método. Además, los coeficientes “3” y “2” en la ecuación

(6.21) a primera vista parecerían peculiares. No obstante, siguen en forma natural la regla

de Simpson 3/8. Los puntos impares no múltiplos de 3 representan los términos medios en



cada aplicación y, por lo tanto, llevan el peso de 3 de la ecuación (6.18). Los puntos

múltiplos de 3 son comunes a aplicaciones adyacentes y, por lo tanto, se cuentan dos veces.

Ejemplo 6.14.

[WM] Use la regla de Simpson compuesta con 9n para aproximar

3

1

2 )( xdex x .

Compare la aproximación con el resultado exacto.

Solución.

Puesto que la cantidad de segmentos es impar ( 9n ), se aplicará la regla de Simpson 1/3

en los primeros 6 segmentos (7 primeros puntos), y la regla de Simpson 3/8 en los tres

segmentos restantes (4 últimos puntos).

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(

2222222.09

13

n

abh

Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 2222222.0h . Los

resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xexxf 2)(

0 1.0000000 0.6321206

1 1.2222222 1.1992523

2 1.4444444 1.8505427

3 1.6666667 2.5889022

4 1.8888889 3.4166615

5 2.1111111 4.3356868

6 2.3333333 5.3474725

7 2.5555556 6.4532151

8 2.7777778 7.6538729

9 3.0000000 8.9502129




Figura 6.22. Ilustración de cómo se utilizan en conjunto las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para manejar

aplicaciones múltiples con números impares de intervalos.

3/8Simpson

3

3333333.2

2

6 1/3,Simpson

3333333.2

1

23

1

2 )()()(

xdexxdexxdex x

n

xx

Aplicación de la regla de Simpson 1/3 compuesta a los seis primeros segmentos.


n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a 3

)()(2)(4)(

)()(

2

6,4,2

1

5,3,1

0

(6.14)

)6(3

3474725.5)2672042.5(2)1238413.8(46321206.0)13333333.2()(

3333333.2

1

2

xdex x

18

0093667.493333333.1

6303234.3

Aplicación de la regla de Simpson 3/8 a los tres últimos segmentos.


)]()(3)(3)([8

3)( 3210 xfxfxfxf

hxdxf

b

a (6.17)



]9502129.8)6538729.7(3)4532151.6(33474125.5[8

)2222222.0(3)(

3

3333333.2

2 xdex x

6188894.560833333.0

7182388.4

Finalmente

7182388.46303234.3)(3

1

2 xdex x

3485622.8



3485622.83485742.8

5102.1

Puesto que el número de segmentos es múltiplo de 3, el ejemplo 6.14 pudo haberse resuelto

también aplicando la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple como se ilustra a

continuación.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(


n

xfxfxfxf

abxdxf

n

n

i

i

n

i

ib

a 8

)()(2)(3)(3

)()(9,6,3

1

5,4,2,1

0

(6.21)

10 ax

3 bxn



2222222.09

13

n

abh

Se debe evaluar la función desde 1x hasta 3x con un paso de 2222222.0h . Los

resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xexxf 2)(

0 1.0000000 0.6321206

1 1.2222222 1.1992523

2 1.4444444 1.8505427

3 1.6666667 2.5889022

4 1.8888889 3.4166615

5 2.1111111 4.3356868

6 2.3333333 5.3474725

7 2.5555556 6.4532151

8 2.7777778 7.6538729

9 3.0000000 8.9502129


Figura 6.23. Representación gráfica del empleo de la regla de Simpson 3/8 de aplicación múltiple con n = 9

para aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el triple del valor de la

función en los i no múltiplos de tres y el doble del valor de la función en los i múltiplos de

tres:

i x xexxf 2)( )(3 xf )(2 xf



0 1.0000000 0.6321206

1 1.2222222 1.1992523 3.5977570

2 1.4444444 1.8505427 5.5516280

3 1.6666667 2.5889022 5.1778043

4 1.8888889 3.4166615 10.2499844

5 2.1111111 4.3356868 13.0070604

6 2.3333333 5.3474725 10.6949450

7 2.5555556 6.4532151 19.3596453

8 2.7777778 7.6538729 22.9616186

9 3.0000000 8.9502129

Total 74.7276937 15.8727493


)9(8

)9502129.88727493.157276937.746321206.0(3)13()(

3

1

2

xdex x

72

)1827765.100(32

3485647.8



3485647.83485742.8

6105.9

El error de aproximación es menor que cuando se utiliza la regla de Simpson 3/8 en un solo

intervalo ó una combinación de la regla de Simpson 1/3 en los primeros 6 segmentos y la

regla de Simpson 3/8 en los tres últimos segmentos.


26. [CC] Aproxime las integrales h), i), j), k) y l) del problema 1 con una sola aplicación de

la regla de Simpson 3/8. Compare la aproximación con el valor real y encuentre una cota

del error en cada caso, si esto es posible.

27. [CC] Evalúe las integrales h), i) e j) del problema 1, pero ahora utilice la regla de

Simpson de aplicación múltiple, usando 5n .

28. [CC] Evalúe la integral del problema 20 usando las reglas de Simpson, con 5n .



29. [CC] Realice la misma evaluación que en el problema 2, pero ahora use las reglas de

Simpson.

30. [CC] Realice la misma evaluación que en el problema 3, pero ahora use las reglas de

Simpson.

31. [WM] Aproximar la integral 3

0

21 xdxx usando la regla de Simpson 3/8

compuesta con 5.0h .

6.5.- INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES.

Hasta aquí, todas las fórmulas de integración numérica se han basado en datos

igualmente espaciados. En la práctica, existen muchas situaciones en donde esta suposición

no se satisface y se tienen segmentos de tamaños desiguales. Por ejemplo, los datos

obtenidos experimentalmente a menudo son de este tipo. En tales casos, un método consiste

en aplicar la regla del trapecio a cada segmento y sumar los resultados:

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 121

210

1nn

n

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.22)

donde ih = ancho del segmento i. Obsérvese que éste fue el mismo procedimiento que se

utilizó en la regla del trapecio de aplicación múltiple. La única diferencia entre las

ecuaciones (6.5) y (6.22) es que las h en la primera son constantes. Entonces, la ecuación

(6.6) podría simplificarse al agrupar términos para obtener la ecuación (6.7). Esta

simplificación no puede aplicarse a la ecuación (6.22).

Ejemplo 6.15.

[WM] La función xexxf 2)( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos

irregularmente espaciados.

x 1.00 1.25 1.50 1.80 2.15 2.50 3.00

)(xf 0.63212 1.27600 2.02687 3.07470 4.50602 6.16792 8.95021

Evalúe la integral desde 1a hasta 3b .

Solución.

En primer lugar identificamos cada punto de la función. Podemos escribir la tabla de la

siguiente manera:



i 0 1 2 3 4 5 6

ix 1.00 1.25 1.50 1.80 2.15 2.50 3.00

)( ixf 0.63212 1.27600 2.02687 3.07470 4.50602 6.16792 8.95021


Figura 6.24. Uso de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados.

Aplicando la Ecuación 6.22.

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 121

210

1nn

n

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.22)

2

)()()(

2

)()()(

2

)()()()( 1

121

1210

01

3

1

2 nnnn

x xfxfxx

xfxfxx

xfxfxxxdex

2

)3()50.2()50.200.3(

2

)15.2()80.1()15.250.2(

2

)15.2()80.1()80.115.2(

2

)80.1()50.1()50.180.1(

2

)50.1()25.1()25.150.1(

2

)25.1()00.1()00.125.1()(

3

1

2

ffff

ffff

ffffxdex x



2

95021.816792.65.0

2

16792.650602.435.0

2

50602.407470.335.0

2

07470.302687.230.0

2

02687.227600.125.0

2

27600.163212.025.0)(

3

1

2

xdex x

2

11813.155.0

2

67394.1035.0

2

58072.735.0

2

10157.530.0

2

30287.325.0

2

90812.125.0)(

3

1

2

xdex x

7795325.38679395.1326626.17652355.041285875.0238515.0)(3

1

2 xdex x

39070725.8)(3

1

2 xdex x



39070725.83485742.8

04213305.0

La integral del ejemplo 6.15 se pudo haber resuelto con mayor exactitud aplicando la regla

de Simpson 1/3 a los segmentos comprendidos en los intervalos ]50.1,00.1[ y ]50.2,80.1[

, pues en ambos casos en el intervalo están comprendidos dos segmentos con igual

espaciamiento ( 25.0h en el primer caso y 35.0h en el segundo) y aplicando la regla

del trapecio en los segmentos pertenecientes a los intervalos ]80.1,50.1[ y ]00.3,50.2[ .

Ejemplo 6.16.

[WM] La función xexf )( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos


x 1.10 1.12 1.14 1.16 1.20 1.24 1.29 1.35 1.42 1.50

)(xf 3.0042 3.0649 3.1268 3.1899 3.3201 3.4556 3.6328 3.8574 4.1371 4.4817



Evalúe la integral desde 1.1a hasta 5.1b usando a) la regla del trapecio y b) una

combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee las reglas de Simpson donde

sea posible para obtener la mayor exactitud. Calcule el error relativo porcentual ( t ).

Solución.

Observando la tabla nos damos cuenta que se trata de puntos desigualmente espaciados.

a) Aplicando la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados, ecuación 6.22.

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 121

210

1nn

n

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.22)

En el intervalo ]16.1,10.1[ se tienen cuatro puntos igualmente espaciados con 02.0h .

Son definidos entonces tres segmentos igualmente espaciados, por lo cual es posible aplicar

la regla del trapecio de aplicación múltiple. En el intervalo ]24.1,16.1[ se tienen tres

puntos igualmente espaciados con 04.0h , por lo cual es posible aplicar la regla del

trapecio de aplicación múltiple nuevamente. Finalmente, desde 24.1x en adelante, no se

tiene regularidad en el espaciamiento, por lo cual se debe aplicar la regla del trapecio para

puntos desigualmente espaciados.

2

4817.41371.4)42.150.1(

2

1371.48574.3)35.142.1(

2

8574.36328.3)29.135.1(

2

6328.34556.3)24.129.1(

2

4556.3)3201.3(21899.304.0

2

1899.3)1268.30649.3(20042.302.0

5.1

1.1

xde x

2

6188.808.0

2

9945.707.0

2

4902.706.0

2

0884.705.0

2

2857.1304.0

2

5775.1802.0

5.1

1.1 xde x

344752.02798075.0224706.017721.0265714.0185775.05.1

1.1 xde x

4779645.15.1

1.1 xde x



4779645.14775230.1

0004415.0



Error relativo porcentual.

1004775230.1

0004445.0t

%0299.0t

b) En el intervalo ]16.1,10.1[ se tienen cuatro puntos igualmente espaciados con 02.0h .

Son definidos entonces tres segmentos igualmente espaciados, por lo cual es posible aplicar

la regla de Simpson 3/8. En el intervalo ]24.1,16.1[ se tienen tres puntos igualmente

espaciados con 03.0h , por lo cual es posible aplicar la regla de Simpson 1/3. Finalmente,

desde 24.1x en adelante, no se tiene regularidad en el espaciamiento, por lo cual se debe

aplicar la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados.

2

4817.41371.4)42.150.1(

2

1371.48574.3)35.142.1(

2

8574.36328.3)29.135.1(

2

6328.34556.3)24.129.1(]4556.3)3201.3(41899.3[

3

04.0

)1899.31268.330649.330042.3(8

02.035.1

1.1

xde x

2

6188.808.0

2

9945.707.0

2

4902.706.0

2

0884.705.09259.190133333.07692.240075.0

5.1

1.1

xde x

344752.02798075.0224706.017721.02656787.0185769.05.1

1.1 xde x

4779232.15.1

1.1 xde x



4779232.14775230.1

0004002.0

Error relativo porcentual.



1004775230.1

0004445.0t

%0271.0t


32. [CC] La función xexf )( se puede utilizar para generar la siguiente tabla de datos


x 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.95 1.2

)(xf 1 0.9048 0.7408 0.6065 0.4966 0.3867 0.3012

Evalúe la integral desde 0a hasta 2.1b usando a) la regla del trapecio y b) una

combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee las reglas de Simpson donde

sea posible para obtener la mayor exactitud. Calcule el error relativo porcentual ( t ).

6.6.- APLICACIONES.

Ejemplo 6.17.

[WM] En un proceso termodinámico presión – volumen, a temperatura constante, se tienen

los siguientes datos (Ver ejemplo 4.5):

Volumen V (pulg3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0

Presión P (lb/pulg2) 61.2 49.5 37.6 28.4 19.2 10.1

Se sabe que 2

1

V

VVdPW , donde W es el trabajo, P es la presión y V es el volumen.

Calcule el trabajo: a) Con la regla del trapecio y b) Haga un análisis de regresión para

ajustar los datos a una función de la forma CVP . Después calcule el trabajo integrando

analíticamente esta función.

Solución.

Observando la tabla nos damos cuenta que se trata de puntos desigualmente espaciados.

Aplicando la regla del trapecio para puntos desigualmente espaciados, ecuación 6.22.

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 121

210

1nn

n

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.22)



2

1.102.19)6.1180.194(

2

2.194.28)7.886.118(

2

4.286.37)4.727.88(

2

6.375.49)8.614.72(

2

5.492.61)3.548.61(

194

3.54

VdP

2

3.294.75

2

6.479.29

2

663.16

2

1.876.10

2

7.1105.7

194

3.54 VdP

61.110462.7119.53763.461125.415

lb.pulg 885.3230

b) Aplicando la ecuación obtenida en el ejemplo 4.5.

4042040.1807.14971 VP

194

3.54

4042040.1194

3.5480725.15971 VdVVdP

194

3.54

4042040.180725.15971 VdV

194

543

4042040.0

4042040.080725.15971

V

194

543

4042040.022363.39514 V

)1989697.01189218.0(22363.39514

lb.pulg 030622.3163


Ingeniería Química / Bioingeniería.

33. [CC] En un proceso termodinámico presión – volumen, a temperatura constante, se

tienen los siguientes datos (Ver ejemplo 4.5):

Volumen V (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11

Presión P (kPa) 420 368 333 326 326 312 242 207

Calcule el trabajo en kJ (kJ = kN.m) usando una combinación de la regla del trapecio, la

regla de Simpson 1/3 y la regla de Simpson 3/8.

34. [CC] Con los datos que se presentan a continuación, encuentre el trabajo isotérmico

realizado sobre un gas que se comprime de 22 L a 2 L (Recuerde que 2

1

v

vVdPW )



V, L 2 7 12 17 22

P, atm

12.20 3.49 2.04 1.44 1.11

a) Usando todos los datos y la regla del trapecio encuentre numéricamente el trabajo

realizado en el gas.

b) Repita la integración numérica utilizando sólo dos datos y la regla del trapecio.

35. [CC] La integración ofrece un medio para calcular cuanta masa entra o sale de un

reactor en un periodo específico, como

2

1

t

ttdcQM

Donde 1t y 2t = tiempo inicial y final, respectivamente. Esta fórmula tiene cierto sentido

intuitivo, si usted recuerda la analogía entre integración y sumatoria. Entonces, la integral

representa la sumatoria del producto del flujo por la concentración para obtener la masa

total que entra o sale desde 1t hasta 2t . Si el flujo es constante, Q se puede sacar de la

integral:

2

1

t

ttdcQM

Use integración numérica para evaluar esta ecuación con los datos de la tabla. Considere

que /minm 4 3Q .

t , min 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

c , mg/m3 10 22 35 47 55 58 52 40 37 32 34

36. [CC] La concentración química registrada a la salida de un reactor perfectamente

agitado fue

t , min 0 2 4 6 8 12 16 20

c , mg/m3 10 20 30 40 60 72 70 50

Para un flujo de salida /minm 12 3Q , estime la masa de sustancias químicas que sale del

reactor desde 0t hastas min 20t .

37. [CC] Un ingeniero bioquímico ha diseñado un parche para pacientes diabéticos, que

libera insulina, de manera controlada, a través de la piel, eliminando la necesidad de las

dolorosas inyecciones. Se recopilaron los siguientes datos del flujo de masa de insulina que

se libera a través del parche (y de la piel) en función del tiempo



t , h 0 1 2 3 4 5 10 15 20 24

Flujo, mg/cm2/h 15 14 12 11 9 8 5 2.5 2 1

Recuerde que el flujo de masa es la rapidez de flujo a través de un área ó td

md

A

1. Dé la

mejor estimación posible de la cantidad de droga liberada a través de la piel en 24 horas de

empleo de un parche de 10 cm2.

Ingeniería Civil / Ambiental.

38. [CC] La fuerza del viento distribuida sobre el lado de un rascacielos se registra como

Altura H, m 0 30 60 90 120 150 180 210 240

Fuerza, F(H), N/m

0 350 1000 1500 2600 3000 3300 3500 3600

Calcule la fuerza total sobre la línea de acción debida a esta distribución del viento.

39. [CC] Los datos que se muestran en la siguiente tabla presentan las mediciones por hora

del flujo de calor q (cal/cm2/h) en la superficie de un colector solar. Como ingeniero

arquitecto, usted debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de 150000 cm2

en 14 horas. El panel tiene una eficiencia de absorción abe del 45%. El calor total absorbido

está dado por

t

ab tdAqeH0

donde A = área y q = flujo de calor.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 q 0.10 1.62 5.32 6.29 7.80 8.81 8.00 8.57 8.03 7.04 6.27 5.56 3.54 1.00 0.20

40. [CC] Las áreas de la sección transversal de los ríos (A) se necesitan en varias tareas en

la ingeniería hidráulica, como pronósticos de inundación y diseño de presas. A menos que

se disponga de dispositivos electrónicos de sonido para obtener perfiles continuos del fondo

del río, el ingeniero debe basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular A.

Un ejemplo de la sección transversal en un río se muestra en la figura 6.25. Los puntos

representan posiciones donde se ancló un bote y se tomaron lecturas de diferentes

profundidades. Use dos aplicaciones de la regla del trapecio ( m 4h y m 2h ) y de la

regla de Simpson 1/3 para estimar el área de la sección transversal a partir de estos datos.

Dist, m 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20



Prof, m 0 –1.8 –2.0 –4.0 –4.0 –6.0 –4.0 –3.6 –3.4 –2.8 0

41. [CC] Un estudio de ingeniería de tránsito requiere el cálculo del número total de

automóviles que pasan por una intersección en 24 horas. Una persona llega a la intersección

varias veces durante un día y cuenta el número de automóviles que pasan por la

intersección en un minuto. Utilice estos datos, que se resumen en la tabla siguiente, para

estimar el número total de automóviles por día que pasa por la intersección (sea cuidadoso

con las unidades).

Velocidad del flujo de tráfico (autos/min) en una intersección medida a tiempos diferentes

en un periodo de 24 horas.

Tiempo Velocidad Tiempo Velocidad Tiempo Velocidad

12:00

medianoche 2 9:00 a.m 12 6:00 p.m 22

2:00 a.m 2 10:30 a.m 5 7:00 p.m 10

4:00 a.m 0 11:30 a.m 10 8:00 p.m 9

5:00 a.m 2 12:30 p.m 12 9:00 p.m 11

6:00 a.m 5 2:00 p.m 7 10:00 p.m 8

7:00 a.m 8 4:00 p.m 9 11:00 p.m 9

8:00 a.m 25 5:00 p.m 28 12:00 p.m 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Pro

fun

did

ad, m

Distancia desde la orilla izquierda, m



42. [CC] Para estimar el tamaño de una nueva presa, usted tiene que determinar el volumen

total de agua (m3) que fluye por un río en un año. Usted dispone de los siguientes datos

promedio, de años anteriores.

Fecha Med-

Ener.

Med-

Feb.

Med-

Mar.

Med-

Abr.

Med-

Jun.

Med-

Sept.

Med-

Oct.

Med-

Nov.

Med-

Dic.

Flujo, m3/s 31 37 80 119 102 20 21 23 27

Determine el volumen. Sea cuidadoso con las unidades y de realizar una estimación

adecuada del flujo en los puntos extremos.

Ingeniería Eléctrica.

43. [CC] El valor promedio de una corriente eléctrica oscilante en un periodo

T

tdtii

T

0

)(

puede ser cero. A pesar del hecho de que el resultado total es cero, dicha corriente es capaz

de realizar trabajo y generar calor. Por consiguiente, los ingenieros eléctricos a menudo

caracterizan esa corriente por

T

tdtiT

i0

2

RMC )(1

donde )(ti = corriente instantánea (A). Calcule la RMC o raíz media cuadrática para la

corriente que tiene la forma de onda

teti t 2sen 4)( 5.1 para Tt210

0)( ti para TtT 21

donde s 1T

Utilice la regla de Simpson 1/3 con cinco segmentos para estimar la integral.

Ingeniería Mecánica / Aeronáutica.

44. [CC] Una viga de 11 ft está sujeta a una carga, y a la fuerza cortante siguiente

215.04 xV donde V es la fuerza cortante en lbf y x es la longitud en pies a lo largo de

la viga. Se sabe que xd

MdV , y que M es el momento de doblamiento. La integración da



la relación x

xdVMM0

0 . Si 0M es cero y 1x , calcule M usando a) la regla del

trapecio, b) la regla de Simpson 1/3 y c) la regla de Simpson 3/8.

45. [CC] Emplee la regla del trapecio de aplicación múltiple para evaluar la distancia

vertical recorrida por un cohete si la velocidad vertical (m/s) está dada por

3020)20(245

201051000

100510

2

2

ttt

tt

ttt

v

46. [CC] La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la siguiente fórmula:

tgtqm

muv

0

0ln

donde v = velocidad hacia arriba, u = velocidad relativa al cohete a la cual se expulsa el

combustible, 0m = masa inicial del cohete en el tiempo 0t , q = velocidad de consumo

del combustible y g = aceleración hacia abajo debida a la gravedad (se supone constante =

9.8 m/s2). Si m/s 2000u , kg 1500000 m y kg/s 2600q , use la regla del trapecio y la

de Simpson 1/3 con seis segmentos para determinar qué tan alto volará el cohete en 30

segundos.

47. [CC] Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de una tubería, es

posible calcular la rapidez de flujo Q (es decir, el volumen de agua que pasa a través de la

tubería por unidad de tiempo) mediante AdvQ , donde v es la velocidad y A es el área

de la sección transversal de la tubería. (Para entender el significado de esta relación en

forma física, recuerde la estrecha relación entre suma e integración). En un tubo circular,

2rA y rdrAd 2 . Por lo tanto,

rdrvQ )2(

donde r es la distancia radial medida desde el centro de la tubería. Si la distribución de

velocidad está dada por



6/1

0

10.2

r

rv

donde 0r es el radio total (en este caso, 2 cm) y v está en m/s, calcule Q usando la regla del

trapecio de aplicación múltiple. Analice sus resultados.

48. [CC] Un flujo que se mueve a través de un tubo de 16 in de diámetro tiene el siguiente

perfil de velocidades:

Radio, r, in 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Velocidad, v, ft/s 3.00 2.92 2.78 2.61 2.36 1.78 1.40 0.67 0.00

Encuentre la tasa volumétrica de flujo, Q, usando la relación R

rdvrQ0

2 donde r es el

radio axial del tubo, R es el radio del tubo y v es la velocidad. Resuelva el problema con

dos métodos diferentes.

a) Ajuste una curva polinomial a los datos e integre.

b) Utilice la regla de Simpson 1/3 de aplicaciones múltiples para integrar.

c) Encuentre el error porcentual usando la integral del ajuste polinomial como el valor más

correcto.

49. [CC] El flujo de un fluido plástico de Binghan que se mueve a través de un tubo de 12

in de diámetro tiene el perfil de velocidades dado a continuación. El flujo de un fluido de

Bingham no corta el núcleo lo que genera un flujo tapón alrededor de la línea central.

Radio, r, in 0 1 2 3 4 5 6

Velocidad, v, ft/s 5.00 5.00 4.62 4.01 3.42 1.69 0.00

Encuentre la tasa volumétrica de flujo, Q, usando la relación cc

r

rAvrdvrQ

2

1

2 ,

donde r es el eje radial del tubo, R es el radio del tubo, v es la velocidad, cv es la velocidad

en el núcleo y cA es el área de la sección transversal del tapón. Resuelva el problema

usando dos métodos diferentes.

a) Ajuste una curva polinomial a los datos e integre.

b) Utilice la regla de Simpson 1/3 de aplicaciones múltiples para integrar.

c) Encuentre el error porcentual usando la integral del ajuste polinomial como el valor más

correcto.



50. [CC] Una barra sujeta a una carga axial se deformará, como se muestra en la curva

esfuerzo – deformación de la figura 6.26. Al área bajo la curva esfuerzo – deformación se le

conoce como módulo de rigidez del material. Éste proporciona una medida de la energía

por unidad de volumen requerido para causar la ruptura del material. Como tal, representa

la habilidad del material para resistir una carga por impacto. Use integración numérica para

calcular los módulos de rigidez para la curva esfuerzo – deformación que se tiene en la

figura.

Figura 6.26.

E 0.02 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

S 40.0 37.5 43.0 52.0 60.0 55.0

51. [CC] Determine la distancia recorrida a partir de los siguientes datos:

t 1 2 3.25 4.5 6 7 8 8.5 9.3 10

v 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5

Donde t = tiempo, v = velocidad.

a) Use la regla del trapecio y b) haga un análisis de regresión para ajustar los datos a un

polinomio de segundo grado. Después calcule la distancia integrando analíticamente este

polinomio.

52. [BF] Una partícula de masa m que se mueve a través de un fluido está sujeta a una

resistencia viscosa R que es una función de la velocidad v. La relación entre la resistencia

R, la velocidad v y el tiempo t está dada por la ecuación



)(

)( 0 )(

tv

tvvd

vR

mt

Supóngase que vvvR )( para un fluido particular, donde R está dada en newtons y v

en metros/segundo. Si kg 10m y m/s 10)0( v , aproxime el tiempo requerido para que

la partícula reduzca su velocidad a m/s 5v , usando:

a) La regla del trapecio extendida con 25.0h .

b) La regla compuesta de Simpson con 25.0h .

c) Compare estas aproximaciones con el valor real.

53. [BF] Para simular las características térmicas de los frenos de disco, D. A. Secrist y R.

W. Hornbeck necesitaron aproximar numéricamente la temperatura exterior promediada en

el área, T, del cojín del freno a partir de la ecuación

0

0

)(

r

rp

r

rp

e

e

rdr

rdrrTT

donde er representa el radio para el cual el cojín del freno empieza a hacer contacto, 0

r

representa el radio exterior de contacto del cojín del freno, p representa el ángulo

subtendido por el sector del cojín del freno y )(rT es la temperatura del cojín en cada

punto, obtenida numéricamente analizando la ecuación del calor. Si pies 308.0er ,

pies 478.00 r y radianes 7051.0p , y las temperaturas en la tabla siguiente han sido

calculadas en varios puntos del disco, encuentre una aproximación para T usando la regla

compuesta de Simpson.

r (pies) 0.308 0.325 0.342 0.359 0.376 0.393 0.410 0.427 0.444 0.461 0.478

T (r) (ºF) 640 794 885 943 1034 1064 1114 1152 1204 1222 1239



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

6.4.- REGLAS DE SIMPSON.


16.

Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.

h) 2.0288462 2.0497871 0.0209409 0.0843750

i) 900.0000000 576.0000000 324.0000000 –1296.0000000

j) 16.5754901 16.5663706 0.0091195 –0.0132821

k) 47.6666667 41.3581698 6.3084969 –67.2259358

l) 21.9911486 21.7079632 0.2831853 –0.3187705


17.

Integral 4n 6n

g) 2.0482224 2.0494667

h) 596.2500000 580.0000000

i) 16.5669089 16.5664759

18.

Integral Valor aproximado Valor exacto

a) 1.1000000 1.0986123

b) 4.0000000 4.0000000

c) 10.2063463 10.2075922

d) 0.6368945 0.6366198

e) –6.2975102 –6.2831854

f) 0.7183215 0.7182818

g) 0.4227162 0.4227251

h) 0.9163064 0.9162907

19. Valor exacto: 5359919.504416

45 e , Valor aproximado: 523.5355600. Error relativo:

3.7658%.

20. Valor exacto: 24264. Valor aproximado: 24264. El Resultado es exacto porque

proviene de una función cúbica. Recuérdese que el error es proporcional a la cuarta

derivada, y siendo ésta nula, el error también lo es.

21.

Integral n Valor aproximado Valor exacto

a) 6 10.2063463 10.2075922

b) 8 0.7183215 0.7182818

c) 20 0.5386508 0.5386506

22. Valor exacto: –0.3465736

a) 4n : –0.3466742, 8n : –0.3465949; b) 4100059.1 tE , 5101358.2 tE ; c)

42n .

23. 14n , 1428571429.0h .

24. 16n , 1250000.0h .



25. 30n , 3000000.0h .


26.

Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.

h) 2.0402132 2.0497871 0.0095738 0.0375000

i) 720.0000000 576.0000000 144.0000000 –576.0000000

j) 16.5703903 16.5663706 0.0040197 –0.0059032

k) 44.4032687 41.3581698 3.0450989 –29.8781937

l) 21.8295361 21.7079632 0.1215729 –0.1416758

27. h) 2.0489296)1()1()1(

1.5482178

3

2.1

0.5007118

2.1

0

3

0

xdexdexde xxx

i)

9801600.597)41()41()41(

0617.732352

4

4.0

52

19.7521920

4.0

2

524

2

52

xdxxxxdxxxxdxxx

j) 5668159.16)sen 48()sen 48()sen 48(

10.7762938

2/

5/

5.7905221

5/

0

2/

0

xdxxdxxdx

28. 0000000.72)54()54()54(

9200000.93

5

2.0

3

9200000.1

2.0

3

35

3

3

xdxxdxxdx

29. 2250000.2)()()(

1250000.1

5.0

2.0

1000000.1

2.0

0

5.0

0

xdxfxdxfxdxf

30. 7500000.4)()()(

7500000.18

11

5

0000000.14

5

3

11

3

xdxfxdxfxdxf

31. Valor exacto: 10.2075922, Valor aproximado: 10.2048052. Error relativo: 0.0273%.

6.5.- INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES.

32. Valor exacto: 0.6988058. a) Valor aproximado: 0.7012400. Error relativo: 0.3483%; b)

Valor aproximado: 0.7004267. Error relativo: 0.2319%.

6.6.- APLICACIONES.

33. W = 3352.3333333 kJ.

34. a) W = 68.1250000 L.atm; b) 133.1 L.atm.

35. Aplicando la regla de Simpson 1/3 con n = 10:

mg 6666667.7986m

mg6666667.1996

min

m4

3

3

M

36. mg 12608m

mg0000000.804

m

mg6666667.246

min

m12

33

3

M

37.

mg 791667.1189cm

mg3750000.09375000.600000000.306666667.27cm 10

2

2 M



38. 508000 N.

39. Aplicando la regla de Simpson 1/3 con 14n :

cal 934.688538cm

cal2005768.10cm 15000045.0

2

2 H

40. Regla del trapecio con m 4h : A = 53.6 m2. Regla del trapecio con m 2h : A = 63.2

m2. Regla de Simpson 1/3 con n = 10: A = 66.4 m

2.

41. 13430 autos.

42. El flujo estimado para mediados de enero del año siguiente es 31 m3/s. El volumen

obtenido aplicando una combinación de las reglas del trapecio y reglas de Simpson es

1.783836×109 m

3.

43. 1.3992360 A.

44. Regla del trapecio: .ftlb 0750000.4 fM ; Regla de Simpson 1/3:

.ftlb 0500000.4 fM ; Regla de Simpson 3/8: .ftlb 0500000.4 fM .

45. Utilizando 6 segmentos con 5h : m 24250d

46. Regla del trapecio: m 4963011.15017d ; Regla de Simpson 1/3:

m 9541918.14939d ;

47. Utilizando la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple con 6n :

/scm 0.1852743 3Q

48. a) 20499351.00271472.09699394.2)( rrrv , inr , ft/s)( rv ;

/sft 1178541.2 3Q ; b) /sft 2.0967222 3Q ; c) %9978.0a

49. a) 21969643.03964643.07230000.4)( rrrv , inr , ft/s)( rv ;

/sft 1728731.21090831.00637900.2 3Q ; b) Aplicando una combinación de las reglas

de Simpson 1/3 y Simpson 3/8: /sft 1774800.21090831.02831442.17852527.0 3Q ;

c) %2120.0a

50. Aplicando una combinación de las reglas del Trapecio y regla de Simpson:

3041667.111416667.101625000.1

51.a) Aplicando la regla del trapecio para datos desigualmente espaciados: m 425.60d .

b) Aplicando regresión lineal:

m 56872.60)1182893.04070116.13679978.3(10

1

2 tdttd

02 reglas de simpson

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