02momentodeunafuerzaconrespectoaunejedado 150403150205 Conversion Gate01

MECNICA VECTORIAL

(ESTTICA). CAPTULO 2: CUERPOS RGIDOS.

SISTEMAS EQUIVALENTES DE

FUERZAS.

MOMENTO DE UNA FUERZA

RESPECTO A UN EJE DADO.

Ing. Willians Medina.

Maturn, Abril de 2015.

Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Mecnica vectorial para ingenieros. Ing. Willians Medina. 71

1.3.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO.

El momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un eje se obtiene mediante

).( FruM aa (6)

ua: Vector unitario a lo largo del eje aa.

r: Vector posicin trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa hacia cualquier punto

A sobre la lnea de accin de la fuerza.

F: Fuerza.

zyx

zyx

aaa

a

FFF

rrr

uuu

Mzyx

(7)

xau ,

yau ,

za

u : Componentes x, y, z del vector unitario que define la direccin del eje aa.

x, y, z: Componentes x, y, z del vector posicin trazado desde cualquier punto O sobre el eje

aa hacia cualquier punto A sobre la lnea de accin de la fuerza.

xF , yF ,

zF : Componentes x, y, z del vector fuerza F.

El momento Ma de F con respecto a aa mide la tendencia de la fuerza F de impartirle al

cuerpo rgido un movimiento de rotacin alrededor del eje fijo aa.

Ejemplo 2.28. Ejemplo 4.8 del Hibbeler. Dcima Edicin.

La fuerza N )102040( kjiF acta

en el punto A mostrado en la figura.

Determine los momentos de esta fuerza con

respecto a los ejes x y a.

Solucin.



Momento respecto al eje x.

Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.

Vector unitario sobre el eje.

Vector unitario sobre el eje: iux

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje x hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza aplicada en A.

Punto sobre el eje: )0,0,0(O

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )6,4,3(A

Vector posicin: kjir 643

Fuerza.

La fuerza se encuentra escrita en funcin de sus componentes rectangulares

kjiF 102040

Momento.

N.m 80

102040

643

001

xM

Momento respecto al eje a.





El eje est a lo largo de la lnea OB.

Coordenadas del punto O: )0,0,0( Coordenadas del punto B: )0,4,3(

Vector sobre el eje: jiOB 43 Mdulo del vector sobre el eje: 5OB

Vector unitario sobre el eje: jiji

uOB 8.06.05

43

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje OB hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza.

Punto sobre el eje: )0,4,3(B

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )6,4,3(A

Vector posicin: kr 6

Fuerza.


kjiF 102040

Momento.

N.m 120

102040

600

08.06.0

OBM



Comentario: Si para definir el vector posicin r en lugar de elegir los puntos B y A, se

hubiesen elegido los puntos O y A (figura), dicho vector posicin habra resultado

kjir 643 , obtenindose un momento

N.m 120

102040

643

08.06.0

OBM

Ejemplo 2.29. Ejemplo 4.9 del Hibbeler. Dcima Edicin.

La barra mostrada en la figura est

sostenida por dos mnsulas situadas una en

A y la otra en B. Determine el momento

MAB producido por

N )102040( kjiF , que tiende a

girar la barra con respecto al eje AB.

Solucin.





El eje est a lo largo de la diagonal AB.

Coordenadas del punto A: )0,0,0( Coordenadas del punto B: )0,2.0,4.0(

Vector sobre el eje: jiAB 2.04.0 Mdulo del vector sobre el eje: 4472.0AB


uAB 4472.08945.04472.0

2.04.0

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza.

Punto sobre el eje: )0,0,0(A

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,2.0,0(D

Vector posicin: jr 2.0

Fuerza.


kjiF 300200600

Momento.

N.m 67.53

300200600

02.00

04472.08945.0

ABM



Ejemplo 2.30. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Novena Edicin.

El marco ACD est articulado en A y en D

y se sostiene por medio de un cable, el cual

pasa a travs de un anillo en B y est unido

a los ganchos en G y H. Si se sabe que la

tensin en el cable es de 450 N, determine

el momento respecto de la diagonal AD de

la fuerza ejercida sobre el marco por el

tramo BH del cable.

Solucin.



El eje est a lo largo de la diagonal AD.

Coordenadas del punto A: )75.0,0,0( Coordenadas del punto D: )0,0,1(



Vector sobre el eje: kiAD 75.0 Mdulo del vector sobre el eje: 25.1AD

Vector unitario sobre el eje: kiki

uAD 6.08.025.1

75.0

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AD hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza BH.

Punto sobre el eje: )75.0,0,0(A

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )75.0,0,5.0(B

Vector posicin: ir 5.0

Fuerza.

BHuFF uBH: vector unitario de la direccin de la fuerza.

Coordenadas de los puntos B y H: )75.0,0,5.0(B , )0,75.0,875.0(H

Vector BH: kjiBH 75.075.0375.0 Mdulo del vector BH: 125.1BH

kjikji

F 300300150125.1

75.075.0375.0450

Momento.

N.m 90

300300150

005.0

6.008.0

ADM

Comentario: Si para definir el vector posicin r en lugar de elegir los puntos A y B, se

hubiesen elegido los puntos A y H (figura), dicho vector posicin habra resultado

kiir 75.075.0875.0 , obtenindose un momento

N.m90

300300150

75.075.0875.0

6.008.0

ADM



Igual momento se obtiene cuando se eligen los puntos D y B, y D y H para representar el

vector posicin.



Ejemplo 2.31. Ejemplo 3.5 del Beer-Johnston. Novena Edicin.



Sobre el cubo de lado a acta una fuerza P, como se

muestra en la figura. Determine el momento de P: a)

con respecto a A, b) Con respecto a la arista AB y c)

con respecto a la diagonal AG del cubo.

Solucin.


Vector posicin trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la lnea de

accin de la fuerza FC.

Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: ),,0( aaA

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: ),0,( aaF

Vector posicin: jaiar

Fuerza.

FCFC uPF uFC: vector unitario de la direccin de la fuerza.

Coordenadas de los puntos F y C: ),0,( aaF , )0,,( aaC

Vector FC: kajaFC Mdulo del vector FC: aFC 2

kP

jP

a

kajaPFFC

222

Momento.



)(2222

220

0 kjiPa

kPa

jPa

iPa

PPaa

kji

M A

110

0112

)(

kjiP

aM A

)(2

kjiPa

M A

b) Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.


El eje est a lo largo de la lnea AB.

Coordenadas del punto A: ),,0( aa Coordenadas del punto B: ),,( aaa

Vector sobre el eje: iaAB

Mdulo del vector sobre el eje: aAB

Vector unitario sobre el eje: ia

iauAB

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza FC.


Fuerza.



kP

jP

FFC22

Momento.

220

0

001

PPaaM AB

2110

011

001

2)(

PaPaM AB

c) Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.


El eje est a lo largo de la lnea AG.

Coordenadas del punto A: ),,0( aa Coordenadas del punto G: )0,0,(a

Vector sobre el eje: kajaiaAG

Mdulo del vector sobre el eje: aAG 3

Vector unitario sobre el eje: kjia

kajaiauAG

3

1

3

1

3

1

3

Vector posicin trazado desde cualquier punto sobre el eje AG hacia cualquier punto

sobre la lnea de accin de la fuerza FC.




Fuerza.

kP

jP

FFC22

Momento.

220

0

3

1

3

1

3

1

PPaaM AG

110

011

111

2)(

3

1

PaM AG

)1(

6

PaM AG

6

PaM AG

Ejemplo 2.32. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Octava Edicin.

La seccin ABCD de una pasarela inclinada en voladizo mide 2.4 m de ancho y est

parcialmente sostenida por los elementos EF y GH. Si la fuerza compresiva ejercida por el

elemento EF sobre la pasarela en el punto F es de 24.3 kN, determine el momento de esa

fuerza respecto al borde AD.



Solucin.



El eje est a lo largo de la lnea AD.

ngulo entre la pasarela y el plano x z.

7.2

0.9sen

18.7



Las coordenadas del punto D se determinan mediante trigonometra.

Coordenadas del punto A: )0,0,0( Coordenadas del punto D: )0,9.0,18.7cos2.7(

Vector sobre el eje: jiAD 9.01435.7

Mdulo del vector sobre el eje: 2.7AD


uAD 1250.09922.02.7

9.01435.7

Vector posicin trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la lnea de

accin de la fuerza FC.

Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: )0,0,0(A

Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,9.0,1.2( E

Vector posicin: jir 9.01.2

Fuerza.

EFEFEF uFF uEF: vector unitario de la direccin de la fuerza.

Coordenadas de los puntos E y F: )0,9.0,1.2( E , )4.2,7.18sen 4.2,18.7cos4.2(F

Vector EF: kjiEF 4.220.12812.0 Mdulo del vector EF: 70.2EF

kjikji

FFC 6.218.105308.270.2

4.220.12812.03.24

Momento.

kN.m 96.24

6.218.105308.2

09.01.2

01250.09922.0

ADM

Ejercicios propuestos.



55. La tapa ABCD de un bal de 0.611.00 m tiene

bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta

mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho

en E sin friccin. Si la tensin de la cuerda es de 66

N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre

la cuerda en D respecto de cada uno de los ejes

coordenados.

Respuesta: N.m 2.31xM , N.m 20.13yM ,

N.m 42.2zM .

Figura Problemas 55 y 56.

56. La tapa ABCD de un bal de 0.611.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene

abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin friccin. Si la tensin

de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en C

respecto de cada uno de los ejes coordenados.

Respuesta: N.m 6.25xM , N.m 80.10yM , N.m 6.40zM .

57. El marco ACD est articulado en A y en D y se

sostiene por medio de un cable, el cual pasa a travs

de un anillo en B y est unido a los ganchos en G y H.

Si se sabe que la tensin en el cable es de 450 N,

determine el momento respecto de la diagonal AD de

la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BG del

cable.

Respuesta: 111.0 N.m.



58. La placa triangular ABC se sostiene

mediante soportes de rtula en B y D y se

mantiene en la posicin mostrada

mediante los cables AE y CF. Si la fuerza

ejercida por el cable AE en A es de 55 N,

y la fuerza ejercida por el cable CF en C

es de 33 N, determine el momento de esa

fuerza respecto de la lnea que une los

puntos D y B.



59. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rtula en B y D y se mantiene

en la posicin mostrada mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable CF

en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la lnea que une los

puntos D y B.


60. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y

EG. Si la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 46 lb, determine el momento de esa

fuerza alrededor de la lnea que une los puntos A y D.

Respuesta: 1359 lb.in.

61. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y

EG. Si la fuerza ejercida por el cable EG en E es de 54 lb, determine el momento de esa

fuerza alrededor de la lnea que une los puntos A y D.



62. Un tetraedro regular tiene seis lados de

longitud a. Si una fuerza P se aplica a lo

largo del borde BC como se muestra en la

figura. Determine el momento de la fuerza

P alrededor del borde OA.

Respuesta: 2

Pa.



63. Para levantar una caja pesada, un

hombre usa un bloque y un polipasto y los

sujeta a la parte inferior de la viga I

mediante el gancho B. Si se sabe que los

momentos de los ejes y y z de la fuerza

ejercida en B por el tramo AB de la cuerda

son, respectivamente, de 120 N.m y 460

N.m, determine la distancia a.

Respuesta: 1.252 m.

64. Para levantar una caja pesada, un

hombre usa un bloque y un polipasto y los

sujeta a la parte inferior de la viga I

mediante el gancho B. Si se sabe que el

hombre aplica una fuerza de 195 N al

extremo A de la cuerda y que el momento

de esa fuerza alrededor del eje y es de 132

N.m, determine la distancia a.

Respuesta: 1.256 m.


65. Una lancha pequea cuelga de dos

gras, una de las cuales se muestra en la

figura. Se sabe que el momento alrededor

del eje z de la fuerza resultante RA ejercida

sobre la gra en A no debe exceder 279 lb.ft

en valor absoluto. Determine la mxima

tensin permisible en la lnea ABAD

cuando x = 6 ft.

Respuesta: 61.5 lb.

66. Para la gra del problema 65, determine

la mxima distancia permisible x cuando la



tensin en la lnea ABAD es de 60 lb.

02momentodeunafuerzaconrespectoaunejedado 150403150205 Conversion Gate01

Documents

Transcript of 02momentodeunafuerzaconrespectoaunejedado 150403150205 Conversion Gate01