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2. SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN (I)
2.1 INTRODUCCIÓN – DOMINIO TIEMPO
Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, )"(" t x , y una variable
salida, )"(" t y se modela matemáticamente con una ecuación que en función de
parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:
)()()(
t Kxt ydt
t dy=+τ (2.1)
Siendo, τ una constante de tiempo y K la ganancia en estado estacionario del
sistema. Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de
características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso
dinámico y la ganancia es el cambio último en la variable de salida con respecto al
cambio último en la variable de entrada.
La ecuación (2.1) se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación
con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para
análisis dinámico o de sistemas de control:
)()()(
t KX t Y dt
t dY =+τ (2.2)
Siendo, )0()()( yt yt Y −=
)0()()( xt xt X −=
La ecuación (2.2) es diferencial lineal de primer orden cuya solución se puede hallar
mediante un factor integrante que para este caso es igual a
=
∫
τ τ
t dt expexp . Al
multiplicar la ecuación (2.2) por este factor, resulta fácilmente integrable y
evaluando la solución general obtenida para las condiciones iniciales de las variables
de entrada y salida se encuentra la solución correspondiente.
A continuación se desarrollan las respuestas paso, rampa y seno de un sistema lineal
de primer orden
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2.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada esperturbada con un cambio paso constante, es decir que xt X ∆=)( , entonces se puede
escribir que:
xK t Y dt
t dY ∆=+ )(
)(τ (2.3)
Al resolver la ecuación (2.3) se obtiene como solución la siguiente respuesta para
Y(t):
−−∆=τ
t xK t Y exp1)( (2.4)
La ecuación (2.4) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.3) y una integración
indefinida da como solución general
−+∆=τ
t AxK t Y exp)( 1 (2.5)
Evaluando la ecuación (2.5) para la condición inicial 0)0( =Y , se obtiene que el
valor de la constante de integración es xK A ∆−=1 y, con ello, la solución dada por
(2.4)
La Figura 2.1 muestra el perfil gráfico correspondiente a la respuesta (2.4). La
expresión exponencial permite describir al comportamiento de un sistema de primer orden ante un cambio paso constante en su variable de entrada como una respuesta
monotónica estable porque alcanza un valor último constante. A partir de las
ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden deducir algunas características acerca de las
propiedades dinámicas de un sistema de primer orden así:
Ganancia en estado estacionario, K: Expresa el cambio último en la variable de
salida o respuesta del sistema para un determinado cambio paso en la variable de
entrada, es decir que
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xK t Y último
∆=)( (2.6)
En su último estado el sistema se ha estabilizado porque su respuesta se mantiene
constante, es decir, la derivada de su variable de salida se hace igual a cero. Al
considerar esto en la ecuación (2.3) se deduce la ecuación (2.6)
Figura 2.1 Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden (K = 3; τ = 1; ∆x = 2)
Constante de Tiempo, τ: Esta constante expresa el tiempo definido por la
relación entre la capacidad que tiene el sistema de transportar a una entidad (masa,
energía, cantidad de movimiento, etc) con respecto a la rapidez de cambio o
capacitancia de dicha entidad en la respuesta del sistema, es decir que:
ciaCapaci
Capacidad
tan=τ (2.7)
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Si la ecuación (2.4) se evalúa para un tiempo igual a la constante de tiempo, se
deduce un significado muy importante señalado sobre la Figura 2.1 y que es el
tiempo, en el período no estacionario del sistema, en que la respuesta del sistema ha
alcanzado el 63.2 % de su respuesta última. Se escribe, por lo tanto, que
últimot Y Y )(632.0)( =τ (2.8)
Si se evalúa la ecuación (2.4) para un tiempo igual a cinco veces la constante de
tiempo, se obtiene una respuesta, aproximadamente, igual al 99.2% de la respuesta
última, lo que para muchas situaciones es considerado como el tiempo transcurrido
para alcanzar la estabilidad o el valor último
2.3 RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es
perturbada con un cambio rampa, es decir que rt t X =)( , entonces se puede escribir
que:
Krt t Y dt
t dY =+ )()(τ (2.9)
Al resolver la ecuación (2.9) se obtiene como solución la siguiente respuesta para
Y(t):
−+
−= τ τ
τ t t
Kr t Y exp)( (2.10)
La ecuación (2.10) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.9) y una integración
indefinida da como solución general
−+−=τ
τ t
At Kr t Y exp)()( 1 (2.11)
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Evaluando la ecuación (2.11) para la condición inicial 0)0( =Y , se obtiene que el
valor de la constante de integración es τ Kr A =1 y, con ello, la solución dada por
(2.10)
La Figura 2.2 muestra, gráficamente, el perfil de la respuesta rampa de un sistema
lineal de primer orden. Se puede observar un comportamiento lineal y paralelo a la
rampa de entrada después de un determinado tiempo, que aproximadamente es cinco
veces la constante de tiempo
Figura 2.2 Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden (K = 3, τ = 3, r = 2)
Se resalta en la Figura 2.2 el atraso de la respuesta con respecto a la rampa deentrada y se demuestra con la ecuación (2.10) que dicho atraso es igual al tiempo
correspondiente a la constante de tiempo
2.4 RESPUESTA SENO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es
perturbada con un cambio seno, es decir que )()( wt ASent X = , entonces se puede
escribir que:
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)()()(
wt KASent Y dt
t dY =+τ (2.12)
Al resolver la ecuación (2.12) se obtiene como solución la siguiente respuesta para
Y(t):
( )θ
τ τ τ
τ +
++
−
+= wt Sen
w
KAt
w
KAwt Y
22)(1
exp)(1
)( (2.13)
Siendo, )(tan1
τ θ w−=−
La ecuación (2.13) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.12) y una
integración indefinida da como solución general
[ ]
−+−
+=
τ τ
τ
t Awt Coswwt Sen
w
KAt Y exp)()()(
)(1)( 12
(2.14)
Evaluando la ecuación (2.14) para la condición inicial 0)0( =Y , se obtiene que el
valor de la constante de integración es21
)(1 τ
τ
w
KAwA
+= y, con ello, la solución dada
por (2.13)
La Figura 2.3 muestra el perfil gráfico de la respuesta seno de un sistema lineal de
primer orden. Se observa una corta región inicial con una ligera inflexión que se
explica por la influencia del término exponencial en la expresión (2.13) que
corresponde a la respuesta del sistema. Cuando este primer término exponencial es
de un valor despreciable, la respuesta muestra un perfil definidamente sinusoidal que
se distingue por las siguientes características:
• Su frecuencia es igual a la del seno de entrada
• Su amplitud es el coeficiente del término sinusoidal y es dependiente de la
frecuencia del seno de entrada, además de los otros parámetros incluidos en
el mismo, es decir que:
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2)(1 τ w
KAArespuesta
+= (2.15)
• Es atrasada con respecto al seno de entrada, lo que se mide mediante un
ángulo fase que también es un valor que depende de la frecuencia del seno de
entrada
Figura 2.3 Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden (K = 3, τ = 2, A = 2, w=
0.5)
Cada una de estas características es importante porque constituyen los fundamentos
para analizar la dinámica de un sistema cualquiera en el dominio de la frecuencia
que a su vez se utiliza para el diseño de sistemas de control
2.5 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
Un sistema con una dinámica lineal de primer orden se puede plantear considerando
algunas simplificaciones como en el siguiente reactor de mezcla completa donde se
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desarrolle una reacción de una cinética de primer orden con respecto al reaccionante“A” y en la que este se transforma en un producto “B”, es decir que:
Reacción Química: BA →
Ecuación de velocidad de reacción: )()( t kct r =
Para el modelamiento se asume que:
• No hay efectos calóricos en el sistema de reacción
• La concentración de A no influye en la densidad del fluído
• La constante de velocidad de reacción es constante e igual a 0.2 min-1
• La corriente de entrada tiene una concentración )"(" t ci y su valor inicial en
estado estacionario es de ci(0) = 1.25 lbmol/pie3.
• El volumen de la masa reaccionante es constante e igual a 5 litros
• El flujo de la corriente de entrada es constante e igual a 1 litro / minuto
Se requiere del modelamiento matemático del reactor y su simulación para cambios
pasos, rampa y sinusoidal de la concentración en A de la corriente de entrada. La
Figura 2.4
Figura 2.4 Reactor de Mezcla Completa
Modelo matemático
Un balance de materia del componente A en el reactor es:
( ))()()(
)(t kVct Fct Fc
dt
t Vcd i −−= (2.16)
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Un análisis de la ecuación (2.16) nos muestra que en el modelo se tienen dos
variables, una de salida y otra de entrada, lo que permite simular su solución para un
cambio en la variable de entrada. No se plantea el balance de energía porque las
simplificaciones introducidas consideran que no hay efectos calóricos.
Una transposición de términos en la ecuación (2.16), permite expresarla de tal
manera que se deduzcan las expresiones para calcular los parámetros dinámicos del
sistema de acuerdo a la ecuación general de un sistema de primer orden.
Al arreglar la ecuación (2.16) en la forma general de la ecuación (2.1):
)()(
)(
t cKV F
F
t cdt
t dc
KV F
V i
+=+
+ (2.17)
Se obtienen las siguientes ecuaciones para calcular la constante de tiempo y la
ganancia en estado estacionario del reactor, conociendo sus parámetros físicos.
Constante de tiempo, minutos:KV F
V
+=τ (2.18)
Ganancia en estado estacionaria, adimensional: KV F
F K s
+= (2.19)
La ecuación (2.17) escrita en su forma estándar para un sistema lineal de primer
orden y en términos de las variables desviación es:
)()()(
t C K t C dt
t dC is=+τ (2.20)
Condiciones iniciales y parámetros dinámicos
Al evaluar la ecuación (2.17) en su estado estacionario, se obtiene el valor inicial de
la concentración en el reactor que es de c(0) = 0.625 lbmol/pie3. Con las ecuaciones
(2.18) y (2.19) se obtienen que el valor de la constante de tiempo es de 2.5 minutos y
la ganancia en estado estacionario es de 0.5
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2.6 SOLUCION NUMERICADE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN
La solución numérica de la ecuación diferencial característica de un sistema linealde primer orden se puede obtener aplicando métodos como el de Euler o los de
Runge Kutta. En este tratado se utilizarán dichos métodos valiéndose de los códigos
disponibles en Matlab para su desarrollo
2.7 MATLAB: MODELO LINEAL DE PRIMER ORDEN
Para la simulación con Matlab de las respuestas paso, rampa y seno de un sistema
lineal de primer orden, mediante las ecuaciones (2.3) (2.9) y (2.12), se construyen
los archivos, pplineal.m, rplineal.m y splineal.m, que definen, respectivamente, laecuación diferencial para cada uno de los casos y que aparecen en la sección 2.8,
mas adelante. Cada uno de estos archivos se guarda por separado
En el código en Matlab después de declarar la función para la definición de un
sistema de ecuaciones diferenciales (mediante el símbolo dy) y las variables
incluidas, se escribe la ecuación diferencial despejada con respecto al término
derivada.
La solución de una ecuación diferencial se realiza mediante la utilización de
comandos como ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb. En los
siguientes códigos se solucionarán las ecuaciones diferenciales mediante el comando
ode45 que se aplica a soluciones no rigurosas y desarrolla una combinación de los
métodos de Runge-Kutta 4 y 5. La sintaxis del comando ode45 es:
[t,y] = ode45(‘Archivo’, Intervalo de Tiempo, Condiciones Iniciales) (2.21)
El intervalo de tiempo se puede introducir como una variable definida anteriormente
o directamente escribiendo dentro de un corchete el tiempo inicial y el final. Las
condiciones iniciales, de igual manera, se escriben dentro de un corchete para cadauna de las variables de salida
Los otros comandos siguen la misma sintaxis y desarrollan métodos numéricos de
Runge-Kutta de otros órdenes. Los que se invocan como ode15s y ode23s se aplican
a ecuaciones diferenciales que exigen soluciones rigurosas.
La respuesta de un sistema lineal de primer orden se simula con un archivo de
nombre solplin.m construido. La estructura de su construcción es como sigue:
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1. Se selecciona el tipo de respuesta que se quiere simular y se introducen los
parámetros dinámicos del sistema y los de la simulación dinámica
2. Según el tipo de respuesta señalado en el numeral (1), a continuación el
programa solicita los parámetros requeridos de acuerdo a ello
3. Solucionada la ecuación diferencial, el programa muestra algunas
características de la respuesta para algunos casos incluyendo el perfil gráfico.
La puesta en marcha del archivo solplin.m requiere que los tres archivos que se
referencian dentro de él se encuentren grabados en el mismo sistema de
computación
Solución del modelo para el reactor de mezcla completa
Se deja como ejercicio para el estudiante que modifique el programa solplin.m para
aplicarlo a la solución del modelo planteado para el reactor de mezcla completa, de
tal manera que el usuario introduzca los parámetros físicos característicos del
sistema y el programa calcule sus parámetros dinámicos. Las condiciones iniciales
de las variables desviación son de cero. Se plantea la simulación de las respuestas
paso, rampa y seno cambiando los parámetros físicos del reactor y del tipo de
respuesta, es decir, la magnitud del cambio paso, la pendiente de la rampa, la
amplitud o la frecuencia de la onda sinusoidal
2.8 MATLAB - PROGRAMAS CODIFICADOS
Archivo pplineal.m
function dy = pplineal(t,y)
global K X tau
dy = (K*X - y)/tau;
Archivo rplineal.m
function dy = rplineal(t,y)
global K r tau
dy = (K*r*t - y)/tau;
Archivo sslineal.m
function dy = splineal(t,y)
global K tau A w
dy = (K*A*sin(w*t)-y)/tau;
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disp(' CAMBIO PASO EN LA VARIABLE DE ENTRADA')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')
X = input('Introduzca el valor del cambio paso en la variable de entrada = ');
disp(' ')
disp('==============================================')
[t,y] = ode45('pplineal', Rango, Inicio);
disp(' ')
disp(' RESULTADOS')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')disp('Respuesta Monotónica Estable');
disp(' ');
disp('Respuesta Ultima')
K*X
plot(t,y)
title('Respuesta Paso de un Sistema Lineal de Primer Orden');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Respuesta')
case 2
disp('==============================================')
disp(' ')
disp(' CAMBIO RAMPA EN LA VARIABLE DE ENTRADA')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')
r = input('Introduzca el valor de la pendiente de la rampa de entrada = ');
disp(' ')
disp('==============================================')[t,y] = ode45('rplineal', Rango, Inicio);
disp(' ')
disp(' RESULTADOS')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')
disp('Atraso de la respuesta lineal')
tau
plot(t,r*t,t,y/K,'r')
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title('Respuesta Rampa de un Sistema Lineal de Primer Orden');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Respuesta')
case 3
disp('==============================================')
disp(' ')
disp(' CAMBIO SENO EN LA VARIABLE DE ENTRADA')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')
A = input('Amplitud de la entrada seno = ');
w = input('Frecuencia de la entrada seno = ');disp(' ')
disp('==============================================')
[t,y] = ode45('splineal',Rango,Inicio);
disp('==============================================')
disp(' ')
disp(' RESULTADOS')
disp(' ')
disp('==============================================')
disp(' ')
disp('Amplitud del perfil sinusoidal de la respuesta');K*A/sqrt(1+(w*tau)^2)
disp('Fase de la respuesta con respecto a la entrada');
atan(-w*tau)
plot(t,A*sin(w*t),t,y,'r')
title('Respuesta Seno de un Sistema Lineal de Primer Orden');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Respuesta')
end