Álgebra

Unidad 1 Unidad 2

IntelectumÁlgebra

IX

Indicadoresde logro

ALTITUD DE UN CUERPO

Valiéndonos del álgebra para una circunstancia real, las ecuaciones exponenciales son aplicadas modelando diversas situaciones esto particularmente a situaciones físicas como la velocidad, aceleración, presión y altitud.

Estos modelos matemáticos nos permiten entender dicho fenómeno y de esta manera lograr una predicción en el futuro.

Tal es por ejemplo el caso que se presenta el poder determinar la altitud de un avión en un momento determinado considerando para ello, en tal instante, su presión atmosférica a una determinada altitud(P), la presión atmosférica al nivel del mar(Po) y la temperatura del aire(T,ºC):

; NP

a

HPo a,b y c

bT c

!=

+

•Identificaloselementosdeunaexpresiónexponencialyanalizalosdiver-sosteoremas.

•Calcularesultadosaplicandopropiedadesbásicassobreexponentes.•Evalúalasleyesdeunaecuaciónexponencial(basesiguales,exponentesigualesysemejanza).

•Utilizalaspropiedadessobreteoríadeexponentesparalaresolucióndeecuacionesexponenciales.

•Analiza las clases de expresiones algebraicas: monomio y polinomio,además define el grado relativo y absoluto de un polinomio y su valornumérico.

•Completapolinomiosycalculasuvalornumérico.•Analizalospolinomiosalcalcularsuvalorabsolutoyrelativo.•Identificalosprincipalesproductosnotables.•Simplificaexpresionesutilizandoproductosnotables.•IdentificaelalgoritmodeHorneryRuffiniparaladivisióndepolinomios.•Aplicatécnicasdedivisióndepolinomios(HorneryRuffini).

•Analizaeldesarrollodeloscocientesnotables.•Utilizalosprincipalescocientesnotablesenlaresolucióndeproblemas.•Divideexpresionesalgebraicasaplicandococientesnotables.•Identificaloscasosparaaplicarlosmétodosdefactorización.•Aplica elmétodo del aspa simple o doble para determinar los factoresprimosdeexpresionesalgebraicas.

•EvalúaelalgoritmodelMCMyelMCDalaplicarlo.•Aplica y calcula la definición deMCD yMCM comparando dos omásexpresionesalgebraicas.

•Discrimina entre fracción impropia y compleja, evalúa el procedimientoutilizadoenlosproblemas.

•Identificalosradicalessemejantesyradicaleshomogéneos,ademáseva-lúalaconstruccióndelfactorracionalizante.

•Homogenizaradicalesenlaresolucióndeproblemas.•Identificalaclasificacióndenúmeroscomplejos.•Utilizapropiedadesparasimplificarocalcularexpresionesimaginarias.

Unidad 3 Unidad 4

Contenido:Unidad 1

• Teoría de exponentes.

• Ecuación exponencial.

• Polinomios.

• Productos notables.

• División de polinomios.

Unidad 2

• Cocientes notables.

• Factorización.

• MCD - MCM y fracciones algebraicas.

• Radicación - Racionalización.

• Números complejos.

Unidad 3

• Ecuaciones de primer grado. Planteo de ecuaciones.

• Sistema de ecuaciones lineales.

• Ecuaciones de segundo grado. Planteo de ecuaciones.

• Desigualdades e inecuaciones.

Unidad 4

• Valor absoluto.

• Logaritmos.

• Funciones.

• Progresiones.

•Evalúalanaturalezadelaraízosolucióndelasecuaciones.•Utilizaprocedimientosaritméticospararesolverecuacionesdeprimergrado.•Discriminaentreelmétododesustitución,igualaciónyreducciónparalareso-lucióndesistemasdeecuaciones.

•Comprendeelusodelasmatricesenlossistemasdeecuacioneslinealesylasdefinecorrectamentedentrodeunaecuaciónmatricial.

• Interpretageométricamentelassolucionesdelossistemasdeecuacionesse-gúnsunaturalezaylosresuelveaplicandoelmétododereducción,sustitu-ciónoelmétododeigualación.

•Aplicaelmétododefactorizaciónolafórmulageneralparalaresolucióndeecuacionesdesegundogrado.

• Identificavariablesdentrodeunenunciadoylasexpresautilizandoecuacionesdeprimerosegundogrado.

• Identificaintervalosacotados,noacotados,abiertosycerrados.• Identificalasdistintaspropiedadessobreintervalos.•Expresagráficamentelosdiferentestiposdeintervalos.•Determinaelconjuntosolucióndelasinecuaciones.

•Evalúa laaplicacióndevalorabsolutoyanaliza lasecuacionesdeprimerysegundogradoqueutilizanvalorabsoluto.

•Aplicalasdefinicionesdevalorabsolutodentrodeecuaciones.•Evalúalasdiversaspropiedadesdelogaritmos.•Utilizaladefinicióndelogaritmosenlasecuacionesparacalcularelvalordelaincógnita.

•Discriminaentrerelaciónyfunción,ademásidentificaeldominioyelrangodeunafunción.

• Identifica y define las funciones especiales (lineal, constante, de identidad,valorabsoluto,cuadráticaydeproporcionalidad).

•DiferenciagráficamenteunafuncióndeunarelaciónutilizandodiagramasdeVenn.

•Representadiversasfuncionesenelplanocartesianosegúnsuregladeco-rrespondencia.

•Determinaeldominioyelrangodedistintasfunciones.• Identificaloselementosdeunaprogresiónaritméticaygeométrica.

5ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

POTENCIACIÓNLa potenciación es aquella operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como lo indica otro número llamado exponente.

bn = p

Exponente

Base Potencia

ExPONENTE NATURALn veces

bn = b . b ... b . b ; b ! R; n ! N; n 2 0

Exponente cero:

a0 = 1 ; a ! 0

Ejemplos:

1. 70 = 1 2. (-2)0 = 1

3. 7

11

0

=d n 4. 4

10

-d n = 1

Exponente negativo:

aa

1

a

1;a 0

x

xx

!= =- c m

Ejemplos:

1. 4-1 = 4

1

4

11

=d n2.

2

32-c m =

2

3

1

3

22 2

=f cp m

TEOREMAS

Teorema 1: Multiplicación de bases iguales

ax . ay = ax + y

Ejemplos:

1. x2 . x3 . x5 = x2 + 3 + 5 = x10

2. b3 + x . b- 2x . bx + 1 = b3 + x - 2x + x + 1 = b4

Teorema 2: Potencia de potencia

(ax)y = axy

Ejemplos:

1. (x3)4 = x3 . 4 = x12

2. ((a2)5)3 = a2 . 5 . 3 = a30

3. b b b.10

5

110

5

12

= =^ h

Teorema 3: Potenciación de una multiplicación

(a . b)x = ax . bx

Ejemplos:

1. (a2.b)3 = a6 . b3

2. (a4.b5)x = a4x . b5x

Teorema 4: División de bases iguales

a

a a ; 0ay

xx y

!=-

Ejemplos:

1. x

xx x

3

1010 3 7

= =-

2. ax - 2 = aax2

Teorema 5: Potenciación de una división

b

a

b

a; b 0

x

x

x

!=a k

Ejemplos:

1. 3

x

3

x

9

x2

2

2 2

= =a k

2. y

x4

3 5

=f p y

x

y

x4 5

3 5

20

15

=^

^

h

h

Teorema 6: Exponentes sucesivos

a a a ab b b hc c g hfde f g

= = ==

= =

Ejemplos:

1. -

9 9 332 2

1

2 2

11

= = =_ i

2. 3

4 4 4 162 2 21 1

= = =

3. 0

8 8 8 642 2 21 1

= = =

Teoría de Exponentes

unidad 1

Leydesignosparaelcasodelapotenciación:

(+)=+

Potenciapositiva

par

Basepositiva

(+2)4=(+2)(+2)(+2)(+2)=16Exponentepar

Basepositiva

Potenciapositiva

(-)=+

Potenciapositiva

par

Basenegativa

(-3)4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81

Basenegativa

Potenciapositiva

Exponentepar

(+)=+

Potenciapositiva

impar

Basepositiva

Exponenteimpar(+4)3=(+4)(+4)(+4)=64

Basepositiva

Potenciapositiva

(-)=-

Potencianegativa

impar

Basenegativa

Exponenteimpar(-5)3=(-5)(-5)(-5)=-125

Basenegativa

Potencianegativa

Nota

Atención

Veamosalgunosejemplos:

25=2.2.2.2.2=32

5veces

30veces

5.5...5.5=530

18vecesm.m...m.m=m18

6 Intelectum 2.°

La suma de un número limitado de sumandos se expresará de la siguiente manera:

• 2 sumandos: 2 + 2 = 2 (2)

2 veces

• 3 sumandos: 7 + 7 + 7 = 3 (7)

3 veces

• n sumandos: x + x + ... + x = n x

n veces

Otros casos:

• xy + xy + xy + ... + xy = z(xy) = xyz • a2010 + a2010 + ... + a2010 = 2010a2010

"z" veces 2010 veces

RADICACIÓNLa radicación es aquella operación matemática en la cual, dados dos números llamados cantidad subradical e índice, se requiere encontrar otro número llamado raíz.

b a=Índice Raíz

Cantidad subradical

b an

Ejemplos:

1. 25 = 5 & 25 = 52 2. 83 = 2 & 8 = 23 3. 81

4 = 3 & 81 = 34 4. 325

- = -2 & -32 = (-2)5

Exponente fraccionario

a an

m

mn=

a ! R ; m; n ! Z+ / n $ 2

Ejemplos:

1. 5 52

332

= 2. x x5

4

45=

Raíz de un producto

ab a . bn n n

=

Ejemplos:

1. a .b.c a . b . c3 5 3 5

=

2. 8mn 8 . m . n35 5 5 35

=

Recuerda

Tenpresentelaleydesignosparalaradicación:

impar+ =+

Ejemplos:8 2

3+ =+ 32 2

5+ =+

impar- =-

Ejemplos:1 13

- =- 27 33- =-

par+ =+

Ejemplos:100 10+ =+ 16 2

4+ =+

Simplificacióndirectadelosradicales.

• a a77

=

• 9 9p pp p11

=++ ^ h

• 250 5 . 2 5 . 2

5 2

3 33 33 3

3

= =

=

Paracolocarunnúmerodentrodeunradical:Semultiplicaelíndice con el exponente delnúmero:Ejemplo

10 3 10 .3 3.106 66 66

= =

x

2 9 2 .9 9.23 7 3.77 217

= =

x

Efectuar

1. Expresa 43 # 82 # 164 como una potencia de 2. ¿Cuál es el exponente final de 2?

2. Expresa 34 . 93 . 275 como una potencia de 3 e indicar el exponente final obtenido.

3. Expresa 6 . 62 . 123 . 185 como producto de potencias de 2 y 3. Indicar la suma de exponentes de 2 y 3.

4. Reduce: 16 . 12

4 . 6 . 85 6

4 6 8

5. Calcula: 2 3 15

2 3 2

5 5 2

4 3 3#

+ +

+^ h

6. Calcula: 2

4

2

3

4

2

7. Reduce: 3

1

4

12

2

2

2

+- -c cm m

8. Evalua: 12 3 21 1+

- -^ h

9. Calcula: 2 2 23 3 2

2 3

- + - - -^ ^ ^h h h

10. Calcula: 2

2

2

3

2

2

11. Simplifica: 4

2

2

43

2

4

2

- -

-c cm m

12. Calcula: 4

22

3 5

-

- -d n

13. Evalua: 16

8

2

45

4

10

3

-

-d dn n

14. Calcula: .

2

2 23 2

42

2 3

Raíz de raíz

a amn nm=

Ejemplos:

1. x x53 15

=

2. a a3m4 34m

=

Raíz de una fracción

b

a

b

a; b 0n

n

n

!=

Ejemplos:

1. 3

5

3

5= 2.

6

x

6

x3

3

3

=

7

Problemas resueltos X

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

1 Halla el valor de: M3

1

3

13 2

2

1

= +

- -c cm m; E

Resolución:

Aplicamos la propiedad del exponente negativo:

M 3 3 27 9 36

M 36

M 6

3 2 2

1

2

1

2

1

`

= + = + =

=

=

^ ^h h6 6@ @

2 Calcula: S 2710

1

8

132 21

= + -

- -- c cm m

Resolución:

S 271

10

1

8

S 27 100 64

S 3 36

S 9

3

12 2

3

`

= + -

= + -

= +

=

c cc m mm

3 Calcula: 2

15232009 00 -

M 5 2014= + + c m

Resolución:

M 5 2011

2

M 5 201 8

M 25 201 8

M 2047

4

4

4

2 13

2

1

`

= + +

= + +

= + +

=

d n

4 Calcula: A2 4

5 . 42n 2 n 2

n 1

=+

- -

-

Resolución:

Expresamos en función de una base común:

A2 2

5 . 22n 2 2n 4

2n 2

=+

- -

-

Extraemos factor común 22n en el numerador y denominador del radicando:

A2 2 2

2 . 5 . 22n 2 4

2n 2

=+

- -

-

^ h

Operamos adecuadamente:

A

4

1

16

1

4

5

.

.

16

4

16

1

4

5

16

5

4

5

4 5

5 16=

+

=

+

= =

` A = 2

5 De las proposiciones determina cuáles son verdaderas:

i) 55

55

= 5 ii) 22

22

= 4 4

1

iii) 22

22

= 2

Resolución:

Usamos la propiedad del exponente fraccionario:

i) 55

55

= 5 5 55

= 5 5

1

(F)

ii) 22

22

= 2 2 22

= 2 2

1

= .2

2_ i2

1

2

1

= 4 4

1

(V)

iii) 22

22

= 2 2 22

= 2 22

= 2 (V)

` Son verdaderas ii y iii.

6 Ordena de forma decreciente.

1 2 3 4A B C D A 42 3 1 3 1

3 1 4 2 34 4 2 1 2

= = = = =

Resolución:

Recuerda que en estos casos de exponentes sucesivos para su reducción se toman los números de dos en dos de arriba hacia abajo.

A = 1234

= 1

B = 2 2 23 3 3

1 14

= = = 8

C = 3 3 31 1 1

4 162

= = = 3

D = 4 4 43 3 9

2 21

= =

E = 4 4 41 1 1

3 92

= = = 4

Luego, en orden decreciente será: DBECA.

7 Reduce:

W = (0,1)-1 (0,3)(0,5)-2 (0,25) 2

1

Resolución:

Expresamos en fracciones las bases:

3

10W

10

1

10 10

5 51 2

2

22

1

=

- -c c c cm m m mUsamos la propiedad del exponente negativo:

a

1m

= a-m

W = 10 . 3 . 10-1 (5 . 10-1)-2 (52. 10-2) 2

1

Usamos la propiedad de potencia:

W = 3 . 10 . 10-1 . 5-2 . 102 . 51 . 10-1

A bases iguales los exponentes se suman:

W = 3 . 5-2 + 1 . 101 - 1 + 2 - 1

W = 5

3.106=

` W = 6

8 Intelectum 2.°

ECUACIONES ExPONENCIALESSon aquellas ecuaciones que presentan a la(s) incógnita(s) en el exponente o en la base. Para resolver una ecuación exponencial debes tener presente los siguientes casos:

I. Ley de bases iguales Si en una igualdad de dos potencias las bases son iguales, entonces sus exponentes también serán iguales. Así:

Si: xa = xb ⇒ a = b ; x 2 0; x ≠ 1 II. Ley de exponentes iguales Si en una igualdad de dos potencias los exponentes son iguales, entonces sus bases también serán iguales. Así:

Si: xa = ya ⇒ x = y ; a ≠ 0

También:

Si: a ≠ b ≠ 0 y ax = bx ⇒ x = 0

III. Ley de semejanza o analogía Si: xx = aa ⇒ x = a ; x ≠ 0; 1

ECUACIONES LINEALESCasos a presentarse en el transcurso de la resolución de una ecuación exponencial.

Caso IEcuación lineal de la forma:

a

x

a

bc! =

Cuya solución es:

x = ac " b

Ejemplos:

1. x

3 3

51- = 2. 12

n

5 5

1+ =

x = 3(1) + 5 n = 5(12) - 1

` x = 8 ` n = 59

Caso IIEcuación lineal de la forma:

c

ax bf

dx ek

gx h!!

! !=

Ejemplo: x x x4

1

3

2 1

6

5 1++

-=

+

• Multiplicamos en aspa:

.

x x x

4 3

3 1 4 2 1

6

5 1+ + -=

+_ _i i

• Multiplicamos las constantes 3 y 4 con cada término y simplificamos denominadores:

3 3x xx

2

8 4 5 1+ + -= +

• Reducimos términos semejantes: 11x - 1 = 2(5x + 1) 11x - 1 = 10x + 2 ` x = 3

ECUACIÓN EXPONENCIAL

Efectuar

1. 2x=16

2. 3x=27

3. 5x=125

4. 7x=49

5. 6x=216

6. 5x=625

7. 2x=64

8. 7x=343

9. 3x=81

10. 2x=128

11. 9x=27

12. 27x=9

13. 4x=32

14. 25x=125

15. 36x=216

16. 27x=81

17. 49x=343

18. 81x=27

19. 125x=3125

20. 216x=36

21. x3=216

22. x5=32

23. (x- 1)3=27

24. (2x- 3)3=8

25. 3x- 1

=5x- 1

26. 7x+ 4

=13x+ 4

27. xx=4

28. xx=3125

29. (x-1)(x-1)=27

30. (2x-8)(2x- 8)=256

31. 8x- 1=32

32. 16x- 2=32

Hallaxencadacaso:

Nota

Enlaleydesemejanzaoanalogíasepuedenpresentarloscasos:

• x ax ab b

= &x=a•• xx+1=bb+1 &x=b

• xb

1xb

11

1x b

1

=+ +c^ cmh m

&x=b

1

Ejemplosdeaplicacióndelasecuacionesexponenciales:

Bases iguales

3

2

27

8x

=c m

3

2

3

2x 3

=c cm mx=3

Exponentes iguales

3a+1=7a+1

a+1=0

a=-1

Analogía o semejanza bb=256 bb=44

b=4

9

Problemas resueltos X

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

1 Halla n.

7n + 3 + 7n = 16 856

Resolución:

7n + 3 + 7n = 16 856

7n . 73 + 7n . 1 = 16 856

7n(73 + 1) = 16 856

& 7n . 344 = 16 856 & 7n = 49 ` n = 2

2 Halla n.

4n + 2 = 16n - 1

Resolución:

4n + 2 = 16n - 1

(22)n + 2 = (24)n - 1 & 22n + 4 = 24n - 4

& 2n + 4 = 4n - 4

8 = 2n ` n = 4

3 Calcula x.

B B3 27

–x x2 1 1

=+

Resolución:-+

-+

( )

( )

B B

x x

x x

3

3 3

2 1 3 1

2 1 3 3

3 27 x x

x x

2 1 1

2 1 3 1

x x2 1 1&

&

&

=

+ = -

+ = -

+ -

27=

=

` x = 4

4 Halla x.

1111 11

11 11x

x

2

83

+

+=

Resolución:

11 11 11 11

11 11

+ = +

=

( )

( ) ( )

11 11

11 11 11 11 11 11 11 11

11 11 11 11

11 11 1 11 11 1

x

xx x

x x

x x

x

x

2

83 8 3 2

8 3 5

8 5 3

5 3 3

5

&

+

+= + = +

- = -

- = -

+

+

` x = 5

5 Resuelve: a ax 37 2

=-

Resolución:

2a ax

7

3x

7

3

2&=

-=

-

x - 3 = 14 ` x = 17

6 Halla n.

3n + 3 + 3n = 756

Resolución:

3n . 33 + 3n . 1 = 756

3n(33 + 1) = 756

3n . 28 = 756

3n =

28

756

3n = 27 = 33

n = 3

7 Calcula n.

2 5123n 1

=-

Resolución:

2 512 23 9n 1

= =-

3 9 3n 1 2

= =-

n - 1 = 2

n = 3

8 Calcula x.

4 5

x x

3

1

3

1

=

- -

Resolución:

4 5

x x

3

1

3

1

=

- -

Como (4 ! 5); según la ley de exponentes iguales:

0x

3

1-=

x - 1 = 0

` x = 1

9 Resuelve:

25x + 2 = 1253

Resolución:

52(x + 2) = 59 & 2(x + 2) = 9 & 2x = 5

` x =2

5

10 Determina el valor de x:xx = 256

Resolución:

xx = 256 = 44

Según la ley de semejanza o analogía:

x = 4

10 Intelectum 2.°

ExPRESIÓN ALGEBRAICAConjunto de números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación, en un número limitado de veces.

Ejemplos:

1. R(x; y; z) = 33x3 + 5xyz2 + 21yz3 2. S(x; y) = 2x + y1 + 7 3. T(x; y) = 21 y3 +

y

12

+ 4x2z

CLASES DE ExPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Por su forma o naturaleza

Expresión algebraica racional: es aquella que luego de ser reducida o simplificada la expresión, todas las variables en el numerador tienen exponentes enteros.

Expresión algebraica racional entera: sus exponentes de las variables son números naturales (N).

Ejemplo:

• P(x; y; z) = 24x2 + y z

x y3 121 2120

2 3

3

+-

+- -

& P(x; y; z) = 24x2 + 3y2 + (121x3 - 21y)z3 + 20

Expresión algebraica racional fraccionaria: cuando por lo menos una de sus variables tiene exponente entero negativo (Z-) en el numerador.

Ejemplo:

• T(x) = x20 + 5

1 x3 + 2zx -2 • Z(x; y) = x

102

+ 2x3y-2 + xy1 & Z(x; y) = 10x -2 + 2x3y -2 + x -1 y -1

Expresión algebraica irracional: cuando por lo menos una de sus variables tiene exponente fraccionario o signo radical.

Ejemplo:

• A(x) = x3 + 10x + xx

x

1 127

2

2

1+ +

-

& A(x) = x3 + 10x + x27 + x-2 + x

2. Por su número de términos

Monomio (1 término): es aquella expresión algebraica racional en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

Ejemplos:

• P(x; y) = x2y10 • T(x) = 5

1 x3 • S(x; y; z) = 2xy2z3

POLINOMIOEs una expresión algebraica racional entera, de dos o más términos.Forma general (respecto a una sola variable):

P(x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ... + an - 1x + an

Donde: a0, a1, a2, ... , an - 1, an: coeficientes n: grado del polinomio (n ! Z+) a0 ! 0: coeficiente principal x: variable an: término independiente (coefciente final)

NOTACIÓN POLINOMIALSe utiliza para indicar a las variables de un polinomio.

Ejemplos:

• P(x) = 3

4 x4 + 2x2 + 3

1 • T(x,y) = 21x2y3 + 3y2 + 3x2y7

Se lee: P de x o polinomio P de variable x. Se lee: T de x e y o polinomio T de variables x e y.

POLINOMIOS

Recuerda

A las cantidades desconoci-das se les llama variables,incógnitaso indeterminadasyse representan por letras (lasúltimasdelalfabeto):....w;x;y;z.

Observación

Antes de clasificar a una ex-presiónalgebraica,esnecesa-riosimplificarla.

Atención

Exponentefraccionario

R(x,y)=x y31

30

&R(x,y):noesunmonomio;es untérminoalgebraíco.

Todopolinomiodeacuerdoasunúmerodetérminosrecibeelnombreparticularde:• 1término:21x2y3 (monomio)

• 2términos:9x7-35xyz (Binomio)

• 3términos:3x2-7xy2+100 (Trinomio)

• 4términos:6x3-3x2+x-7 (Cuatrinomio)

• 5términos:(Quintinomio)• 6términos:(Sextinomio)• ntérminos:(Polinomio)

Nota