04.05 Inecuaciones
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Dados dos números reales a y b, se pueden dar solamente una de estastres posibilidades: a > b, a = b ó a < b.
6 > 5
Es una desigualdad
5 = 5
Es una igualdad
3 < 5
Es una desigualdad
1. El orden en los números reales
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
3 5 3 + 7 5 + 7
2. Relación entre orden y suma
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene una desigualdad del mismo sentido.
a b⇔ a±cb±c
La desigualdad se mantiene La desigualdad cambia
3. Relación entre orden y producto
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
•Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra desigualdad:
• Del mismo sentido si el número es positivo.• De distinto sentido si el número es negativo.
ab y c0⇔a ·cb·ca /cb /cab y c0⇔a ·cb·ca /cb /c
4≤8⇒ 4 ·3≤8 ·3
4≤8 ⇒ 4 ·−2 ≥8 −2
−8≥−16
3x – 2 x + 4 es una inecuación de primer grado con una incógnita
4. Inecuación
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
• Una inecuación es una desigualdad entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.
• Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita cuyo exponente es 1.
• Se llaman soluciones de una inecuación a los números tales que al sustituir la incógnita por ellos la desigualdad es cierta.
• Resolver una inecuación es hallar todas sus soluciones.
POSIBLES VALORES DE LA INECUACIÓN 2x−6≤0
Valores de x -2 0 2 4 10 ≤3 ≥3
Desigualdad ¿cierta ofalsa?
V V V F F V F
2x – 5 < x + 1 Se suma 5 a los dos miembros
2x < x + 6 Se resta x a los dos miembros
x < 6
La soluciones de la inecuación 2x – 5 < x + 1 son los números que cumplen lacondición x < 6.En forma de intervalo se puede escribir: (-,6)
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
5. Resolución de inecuaciones: Suma
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
• Dos inecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son equivalentes.
• Para resolver una inecuación conviene transformarla en otra equivalente en la que la incógnita esté solo en uno de los miembros.
• Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla de la suma
– 4x + 5 2x – 1
Se resta 5 a los dos miembros
– 4x 2x – 6
Se resta 2x a los dos miembros
– 6x – 6
La soluciones de la inecuación – 4x + 5 2x – 1 son los números que cumplen lacondición x 1. O en forma de intervalo: (–, 1]
Se divide entre – 6 x 1
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
6. Resolución de inecuaciones: Producto
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla del producto.
Valores de x paralos que se cumplex – 3 > 0
Valores de x para los que se cumple x – 3 = 0Valores de x para los que se cumple x – 3 < 0
7. Inecuaciones de primer grado. Interpretación geométrica
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
La inecuación x – 3 < 0 se puede interpretar como la función y = x – 3 en un sistema de coordenadas cartesiano, y preguntarse para qué valores de x toma y valores negativos.
Estas inecuaciones se pueden resolver gráficamente, representando la funcióncuadrática y = ax2 + bx + c y observando para qué valores de x secumple ax2 + bx + c > 0 (= ó <).
Valores de x para los que se cumpleque x2 – 6x + 8 < 0
Valores de x para los que se cumple que x2 – 6x + 8 = 0
Valores de x para los que se cumpleque x2 – 6x + 8 > 0
8. Inecuaciones de segundo grado
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
Una inecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c > 0 (<, , ). El coeficiente a siempre se puede tomar positivo; en caso contrario basta multiplicar por –1 la inecuación.
•Para resolver x2 – 6x + 8 > 0• Resolvemos la ecuación x2 – 6x + 8 = 0. Se obtienen las soluciones x = 2, x = 4.• Factorizamos el polinomio y obtenemos la inecuación equivalente• (x – 2)(x – 4) > 0• Estudiamos el signo del producto a partir de los signos de los factores.
Solución: x < 2 y x > 4, es decir, los intervalos (– , 2) y (4, + )
9. Resolución de inecuaciones por factorización
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
• La resolución algebraica de estas inecuaciones también se puede hacer por factorización, siguiendo los siguientes pasos:
• Primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0.• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del
miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.
Ejemplo: 0
Solución: x < –3 y x 4, es decir, los intervalos (– , –3) y [4, + )
10. Resolución de inecuaciones racionales por factorización
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0.
• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.
• Los valores que anulan al denominador no son soluciones porque no es posible la división por 0.
La recta x – y + 1 = 0 divide al plano en las tres regiones siguientes:
11. Inecuaciones con dos incógnitas
MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández
Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones: El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación.