04Cerchas
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70 Capítulo 1: Estática vectorial plana
1.9.- Aplicación a estructuras articuladas planas (cerchas).
Figura 1.9.1: Estructura de cubierta de pabellón polideportivo formada por cerchas metálicas.
Figura 1.9.2: Esquema de la cercha.
1.9.1.- Definiciones.
Un tipo habitual de estructura empleado en construcción es la cercha. Una cercha ideal es
una estructura compuesta en su totalidad por elementos lineales, de peso despreciable, que trabajan
exclusivamente bajo esfuerzos axiales. Tales elementos lineales (barras, en lo sucesivo) están
conectados entre sí por sus extremos mediante nudos articulados, formando subestructuras
trianguladas en el conjunto de la estructura principal, lo que le confiere la propiedad de sólido rígido.
Las acciones exteriores se consideran aplicadas únicamente en los nudos. En la realidad, por
supuesto, todos los componentes de una cercha tienen peso, pero con frecuencia éste es mucho
menor que la carga aplicada y puede omitirse con un error muy pequeño (hipótesis de peso
despreciable). Si este no fuera el caso y por ejemplo, el peso propio de una barra debiera ser
considerado en el cálculo, éste se tiene en cuenta mediante dos fuerzas verticales iguales a la mitad
del peso, actuando en cada uno de los extremos de la barra.
Capítulo 1: Estática vectorial plana 71
En la Figura 1.9.3 se muestran algunas de las cerchas de uso más frecuente en construcción.
Cercha tipo Howe, de cubierta. Cercha tipo Pratt, de cubierta.
Cercha tipo Howe. Cercha tipo Pratt.
Cercha tipo K Cercha tipo Fink
Figura 1.9.3
El objeto de los métodos de cálculo que se describen en este apartado es determinar las
fuerzas interiores que se originan en cada una de las barras de la estructura, para unas determinadas
cargas exteriores. Los métodos de cálculo que se desarrollan son: el Método de los Nudos, el Método
de las Zonas y el Método de las Secciones.
Al objeto de hacer posible el cálculo es necesario asumir ciertas hipótesis, las cuales reflejan
la realidad de forma aproximada, ya que los cálculos teóricos y los realizados experimentalmente
concuerdan en grado suficiente. Las hipótesis son las siguientes:
1. Cada uno de los nudos consta de una articulación a la cual las barras se conectan
individualmente. Por supuesto que en la realidad se pueden encontrar diversas formas de
conexión de las barras, sin embargo, en la actualidad se utilizan de forma habitual conexiones
especiales entre las barras, a modo de “rótulas” articuladas, como la mostrada en la Figura 1.9.4.
(F)(F)(F)(F)(F)(F) (F)(F)(F)(F)(F)(F)
72 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Figura 1.9.4
2. Ninguna de las barras se extiende más allá de un nudo. En la Figura 1.9.5 se observa el esquema
de una cercha plana. Ésta consta de 9 barras y 6 nudos. El tramo AD consta de tres barras; AB,
BC y CD.
3. Las reacciones en los apoyos (R1 y R2) y las fuerzas exteriores (P1 y P2) se aplican
exclusivamente en los nudos.
A B C D
E
Ejemplo de cercha plana
F
1P2P1R 2R
Figura 1.9.5
Como ejemplo, en la Figura 1.9.6 se observa la barra CE extraída de la cercha de la Figura
1.9.5. Actuando sobre la barra CE se tienen dos fuerzas TCE y TEC respectivamente, que por el
principio de igualdad de acción y reacción, son exactamente iguales pero de sentido opuesto a las
fuerzas que la barra ejerce respectivamente sobre los dos nudos a los cuales está conectada. La
barra CE debe estar en equilibrio, y por tanto:
Capítulo 1: Estática vectorial plana 73
• Para que la suma de momentos en el punto C sea nula, la línea de acción de la fuerza TEC debe
pasar por el punto C.
• Para que la suma de momentos en el punto E sea nula, la línea de acción de la fuerza TCE debe
pasar por el punto E.
• Para que la suma de fuerzas en la dirección de la línea CE sea nula, las dos fuerzas, TCE y TEC ,
deben ser iguales y de sentidos opuestos.
Figura 1.9.6
La Figura 1.9.7 muestra las consideraciones anteriores en forma gráfica. Las dos fuerzas
actuando sobre la barra CE, empujan o estiran simultáneamente en cada extremo con la misma
magnitud pero en sentidos contrarios.
Figura 1.9.7: Fuerzas actuantes en barras y nudos
TEC
TCE
E
C
TEC
TCE
E
C
TEC
TCE
E
C
Tracción Compresión
74 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Si estiran, entonces la barra trabaja a tracción, si comprimen, trabaja a compresión. Puede
darse también el caso de que las fuerzas que actúan en ambos extremos sean cero; en tal caso la
barra está sometida a tensión nula. Esta distinción es imprescindible en el cálculo de la estructura, y
cuando se calculan las fuerzas sobre las barras, siempre se debe indicar el signo de la tensión,
especificando si se trata de tracción, compresión, o bien una barra con tensión nula.
La razón de efectuar esta distinción de estado tensional es consecuencia de las diferentes
maneras en las que una barra puede romper o deformar (Figura 1.9.8).
Figura 1.9.8
Si una barra trabaja a tracción el único modo posible de rotura tiene lugar cuando las fuerzas
tensan el material con tal magnitud que algunas de las moléculas o átomos adyacentes de la barra se
separan (se supera la tensión límite de rotura del material).
Si una barra actúa a compresión pueden ocurrir dos tipos diferentes de fallo; si la barra es de
corta longitud, sus moléculas/átomos pueden no soportar las fuerzas exteriores y la barra comienza a
deformarse, abollándose y disminuyendo su longitud, lo que se denomina aplastamiento. Por otra
parte, si la barra es relativamente larga y delgada, puede tener lugar un pandeo, de modo que la
barra pierde su rectitud. Para prevenir el pandeo es habitual emplear barras de tensión nula. Estas no
soportan ninguna carga pero previenen el pandeo lateral por compresión.
1.9.2.- Método de los nudos.
El método de los nudos utiliza las propiedades de las barras comentadas anteriormente. A
continuación se muestra su aplicación con la cercha de la Figura 1.9.9.
tracción compresión
Pandeo Rotura
Aplastamiento
Capítulo 1: Estática vectorial plana 75
A B C D
E F
a
b
c
Figura 1.9.9: Método de los nudos
a) Preliminares.
La Figura 1.9.9 muestra la cercha que sirvió de ejemplo previamente, con su geometría dada
en función de los ángulos, α, β, γ y las longitudes a, b, y c. Las barras AB, BC, CD, y EF son
paralelas entre sí. Las fuerzas exteriores P1 y P2 son conocidas.
Se dibujan también las reacciones desconocidas de los soportes. Puesto que en el punto A
existe un apoyo, la fuerza R1 tiene exclusivamente componente vertical. En el punto D, existe una
articulación fija, por lo que la fuerza R2 tiene componentes vertical y horizontal.
Por otra parte, se han dibujado también todas las fuerzas que las barras ejercen sobre los
nudos respectivos. En la Figura 1.9.9 se han denominado las fuerzas de las barras de acuerdo con
los nudos correspondientes y considerando “a priori” que todas las barras trabajan a tracción. Esta
hipótesis facilita una mejor comprensión del método. Para aquellas barras que trabajan a compresión,
el valor de las fuerzas respectivas se obtendrá con signo negativo. No es necesario volver al dibujo y
cambiar el sentido de las fuerzas; un valor negativo es ya indicativo de aquél.
b) Base del método.
En el método de los nudos se considera el equilibrio de cada uno de ellos.
R1 R2y
R2x
P1 P2
TAB
TAE
TEF
TBETEC
TBC TCD
TFDTFC
α β γ
76 Capítulo 1: Estática vectorial plana
Para una cercha bidimensional (plana) como la de este caso, se dispone de dos ecuaciones
para cada nudo: suma de fuerzas horizontales igual a cero y suma de fuerzas verticales igual a cero.
En este caso hay 6 nudos y, por tanto, un total de 12 ecuaciones.
Hay una fuerza desconocida para cada una de las barras, 9 en este ejemplo, y tres
reacciones desconocidas, es decir, un total de 12 incógnitas.
Una cercha plana queda determinada estáticamente, sólo si el número total de incógnitas
desconocidas (una por barra, más las reacciones en los apoyos), es igual al número de ecuaciones
independientes disponibles.
Si el número de fuerzas desconocidas excede el número de ecuaciones independientes, la
cercha queda estáticamente indeterminada, y es necesario otro tipo de información (habitualmente,
acerca del modo en que las barras se deforman bajo la acción de las fuerzas), para determinar las
incógnitas.
Si el número de fuerzas desconocidas es inferior al número de ecuaciones disponibles, la
cercha es un mecanismo que puede deformarse, y en general colapsa.
Si se considera el equilibrio del conjunto de la cercha, se dispone de tres ecuaciones más (2
de suma de fuerzas y 1 de suma de momentos), lo que podría hacer pensar que es posible
incrementar el número de incógnitas de manera correspondiente. Desafortunadamente, estas tres
ecuaciones son linealmente dependientes de las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos y
barras. (Esta redundancia puede utilizarse para comprobar resultados o resolver el sistema de
ec
Pr
en
uaciones de forma más rápida.)
Este curso se limitará al estudio de estructuras formadas a base de triángulos en las que las2n ecuaciones son linealmente independientes y el número de barras es 2n-3 (con 3incógnitas en los apoyos) Determinación b + r = 2n Estáticamente determinada b + r > 2n Estáticamente indeterminada. (en particular, el grado de indeterminación queda especificado por la diferencia (b + r) - 2n
ocedimiento de resolución
Una vez obtenidas las reacciones del ejemplo, el procedimiento de obtención de las tensiones
las barras es el siguiente:
Capítulo 1: Estática vectorial plana 77
1. Se aislan los nudos considerando las fuerzas que ejercen las barras sobre los mismos, con la
hipótesis de que las barras trabajan a tracción.
2. Se elige el nudo en el que, como máximo hay dos incógnitas (en este caso el nudo A o el D).
3. Se plantea el equilibrio del nudo.
=∑�� �
0 .F (1.9.1)
Esta ecuación vectorial da lugar a
α= → + =∑ 0 cos( ) 0 ,x AE ABF F T (1.9.2)
α= → + =∑ 10 sen( ) 0 .y AEF R T (1.9.3)
De la resolución del sistema anterior se obtienen TAB y TAE. Si alguna de ellas es negativa
significa que la barra trabaja a compresión.
1. A continuación se plantea el equilibrio en el nudo adyacente que tenga dos incógnitas como
máximo, y se sigue el mismo procedimiento.
2. Con este proceso se van obteniendo las tensiones en todos los nudos.
En este ejemplo, las 12 ecuaciones de equilibrio para cada uno de los nudos son;
α + =cos( ) 0 ,AE ABT T (1.9.4)
α+ =1 sen( ) 0 ,AER T (1.9.5)
− + = 0 ,AB BCT T (1.9.6)
− + =1 0 ,BEP T (1.9.7)
β− − + =cos( ) 0 ,BC EC CDT T T (1.9.8)
β− + + =2 sen( ) 0 ,EC CFP T T (1.9.9)
γ− − + =2cos( ) 0 ,CD FD xT T R (1.9.10)
78 Capítulo 1: Estática vectorial plana
γ+ =2 sen( ) 0 ,y FDR T (1.9.11)
α β− + + =cos( ) cos( ) 0 ,AE EF ECT T T (1.9.12)
α β =- - sen( ) - sen( ) 0 ,BE AE ECT T T (1.9.13)
γ− + =cos( ) 0 ,EF FDT T (1.9.14)
γ− − =sen( ) 0 ,FC FDT T (1.9.15)
Y las tres ecuaciones de equilibrio para el conjunto de la cercha;
− − + =1 1 2 2 0 ,yR P P R (1.9.16)
=2 0 ,xR (1.9.17)
− − + =1 2 2 0 .yaP bP cR (1.9.18)
1.9.3.- Método gráfico de las zonas.
a) Introducción.
El método gráfico de análisis de cerchas es similar al método de los nudos, al abordar ambos
el equilibrio de cada uno de los nudos de la cercha, de forma independiente. Si las fuerzas externas
(cargas y reacciones) que actúan sobre un nudo están en equilibrio, los vectores que representan
tales fuerzas, situados uno tras otro (extremo de uno con inicio de otro), crearán un polígono cerrado.
El “cierre” del polígono asegura el equilibrio del nudo. El diagrama que representa todas las fuerzas
actuantes en cada uno de los nudos de la cercha se conoce como Diagrama de Maxwell, o Diagrama
de Maxwell-Cremona.
b) Determinación de las zonas de la cercha.
Una vez determinadas las reacciones en los enlaces, el primer paso para construir el
diagrama es denominar los espacios de la cercha; es decir, las “zonas” exteriores comprendidas entre
las cargas y las reacciones y las “zonas” interiores de la propia cercha. Lo habitual es realizar esta
notación (conocida como notación de Bow), comenzando por la parte izquierda y procediendo
sucesivamente por la parte exterior de la cercha en el sentido de las agujas del reloj. Para la
denominación de las zonas se pueden utilizar letras o números (lo contrario a la notación de los
Capítulo 1: Estática vectorial plana 79
nudos). La Figura 1.9.10 muestra el ejemplo de notación para explicar este método (números para las
zonas y letras para los nudos).
Figura 1.9.10
c) Polígono de fuerzas.
Se define como un polígono cerrado formado por las fuerzas exteriores y las reacciones que
actúan sobre la cercha. Para su dibujo se elige un sentido de giro alrededor de los nudos, por ejemplo
el horario, y una escala de fuerzas, dependiendo de la magnitud de éstas. Si sólo existiesen fuerzas
verticales el polígono de fuerzas se reduciría a una línea vertical. Se toma un punto de partida y se
denomina con el número 1; refiriéndose a la zona de la cercha denominada como 1. En el diagrama
de Maxwell, representa el punto de inicio del vector fuerza 1-2, esto es, la fuerza exterior entre la
zona 1 y la zona 2 girando en el nudo B en el sentido elegido. En este caso 1-2 es la fuerza vertical
de 4 kN. Para dibujar el polígono, tómese la escala de 1 KN = 1 cm.
Figura 1.9.11
El polígono de fuerzas se muestra en la Figura 1.9.11. Obsérvese que las reacciones, aquí
representadas por los vectores 5-6, 6-7 y 8-1, forman también parte del diagrama. El polígono es
cerrado, es decir, debe concluir en el punto 1; esto indica el equilibrio del sistema.
F E
D
C
A
B1.5 m
1.5 m
4 m4 m
2 kN
5 kN 4 kN
6.25 kN 5.75 kN
1
2 4
5 9
10 11
12
8
3 kN
2 kN
72 kN
6
3
71
2
1
2
3
5
Escala 1 cm = 1 KN
4
6
8
80 Capítulo 1: Estática vectorial plana
d) Diagrama de Maxwell
Se dibuja ahora el polígono que representa las fuerzas que actúan en cada uno de los nudos
de la cercha. Se comienza por el nudo del soporte izquierdo, ya que al igual que en el método de los
nudos, se debe comenzar por un nudo en el que, como máximo, existan dos fuerzas desconocidas,
en este caso, las fuerzas 1-9 y 9-8. La situación del punto 1 en el diagrama de Maxwell indica la
posición del origen del vector tensión 1-9. Los vectores tensión, en el polígono de fuerzas, son
paralelos a las barras sobre las que actúan. Así, el vector fuerza 1-9 comienza en el punto 1 y es
paralelo a la barra inclinada de la cercha a la cual representa. Análogamente, el vector 9-8 tiene un
extremo en el punto 8, siendo paralelo a la barra 9-8. La intersección de ambas rectas determina el
punto 9.
La longitud del vector representa la magnitud de la fuerza, que es desconocida por el
momento. También se observa que al girar respecto al nudo en el sentido elegido se van encontrando
las zonas 8, 1, 9 en el mismo orden en que aparecen las fuerzas en el diagrama.
Figura 1.9.12
Las longitudes de los vectores 1-9 y 9-8 a la escala 4 mm = 1 kN, representan las magnitudes
10’4 kN y 8’3 kN, respectivamente. Una vez determinadas las fuerzas 1-9 y 9-8, se pasa a otro nudo
cualquiera en el que existan, como máximo, dos fuerzas incógnitas Este puede ser el nudo B, en la
parte izquierda de la cercha. Se dibujan de nuevo líneas paralelas a las barras de fuerza
desconocidas 2-10 y 10-9. Estas líneas determinarán en su intersección el punto 10.
Figura 1.9.13
7
8
1
2
4
5
Línea auxiliar de construcción
Línea auxiliar de construcción 9-8 = 83 mm = 8’3 kN
1-9 = 104 mm = 10’4 kN
9
6
3
10
2
3
7
1
4
Línea auxiliar de construcciónLínea auxiliar de construcción
9
65
8
Capítulo 1: Estática vectorial plana 81
Se procede de forma similar con todos los nudos de la cercha para completar el diagrama de
Maxwell, Figura 1.9.14. En este diagrama la magnitud de cada una de las fuerzas puede
determinarse midiendo la distancia entre los dos puntos correspondientes de acuerdo a la escala
utilizada. (1 cm = 1 kN).
Figura 1.9.14
e) Determinación del signo de las tensiones en las barras.
El signo (tracción o compresión) puede determinarse en un nudo concreto yendo en el sentido
de las agujas del reloj y siguiendo el vector en el polígono. La dirección correcta de cada vector, con
respecto al nudo en cuestión, es la dirección del movimiento al moverse de punto a punto en el
diagrama. Una dirección “entrante” en el nudo corresponde a una compresión en la barra, mientras
que una dirección “saliente” del nudo indica una tracción.
Por ejemplo, la barra 2-10 está representada en el diagrama de Maxwell por el vector 2-10.
Yendo en el sentido de las agujas del reloj en torno al nudo B, se va de 2 a 10 en el diagrama de la
cercha. En ésta se observa que la barra 2-10 está a la derecha del nudo B, mientras que si en el
diagrama de Maxwell se va del punto 2 al punto 10 (la dirección del vector 2-10), se observa que la
dirección del vector es “entrante” al nudo B, lo que indica que la barra 2-10 trabaja a compresión
(Figura 1.9.15).
Figura 1.9.15: Polígono de fuerzas correspondiente al nudo B.
1
2
10 9
3
2
1
5
7
9
10
11
12
6
48
82 Capítulo 1: Estática vectorial plana
1.9.4.- Método de las secciones.
a) Preliminares
Una desventaja de los métodos de los nudos y de las zonas radica en su propia naturaleza
secuencial. Esto es, para calcular las fuerzas de equilibrio de un nudo en particular, se deben emplear
los resultados de los cálculos precedentes. El Método de las Secciones permite calcular la fuerza en
barras concretas seleccionadas directamente.
b) Principio del método
En el método de las secciones se considera el equilibrio de una parte de la cercha que consta
de un cierto número de barras y de nudos. Como ejemplo, se supone que el objetivo es calcular la
fuerza en la barra CE, de la cercha de la Figura 1.9.16. Se asume que la geometría de la cercha, las
cargas exteriores y las reacciones en los apoyos son conocidas.
A B C D
a
b
c
E F
Figura 1.9.16: Método de las secciones
La estrategia del método de las secciones consiste en eliminar “mentalmente” tres barras de
acuerdo con las siguientes reglas:
• Una de las barras es aquélla que se desea calcular.
• La supresión de estas tres barras divide la cercha en dos partes independientes.
R1 R2y
R2x
P1 P2
TEC
α β γ
Capítulo 1: Estática vectorial plana 83
(Es posible eliminar más de tres barras si todas ellas menos una son paralelas o
concurrentes)
Algunas veces se dispone de varias opciones. En la cercha ejemplo sólo cabe una
posibilidad, esto es, eliminar las barras BC, CE, y EF (Figura 1.9.17).
A B C D
E F
P1P2
TEF
TEC
α β γ
a
b
c
TBC
R2X
R1 R2y
Figura 1.9.17: Método de las secciones. Tres barras eliminadas
En la Figura 1.9.17 se observan las dos partes resultantes y sus respectivos diagramas de
sólido libre. Cada una de las partes está sujeta a las cargas externas, reacciones en apoyos y las
fuerzas que las tres barras ejercen sobre ellas.
Resolviendo las ecuaciones de equilibrio de alguna de las partes (la elección es personal) se
obtienen las fuerzas en las tres barras eliminadas, aunque es posible en la mayoría de los casos
encontrar una ecuación de equilibrio que proporcione directamente la fuerza en la barra deseada.
En este ejemplo, se puede encontrar directamente la fuerza en la barra CE planteando el
sumatorio de fuerzas verticales en la parte izquierda de la cercha:
β− − =1 1 sen 0 .ECR P T (1.9.19)
Si se quisiera obtener la fuerza TBC bastaría plantear la suma de momentos en torno al punto
E (para la parte izquierda o la parte derecha de la cercha); en tal caso, la ecuación incluye sólo la
fuerza TBC como incógnita.