04_nivelacion_matematica

7/25/2019 04_nivelacion_matematica

1/20

1ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 4

Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No estpermitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposicin del pblico ni

utilizar los contenidos para fines comerciales de ninguna clase.

NIVELACIN MATEMTICA

SEMANA 4

PROPORCIONALIDAD


2/20



3/20


NDICE

PROPORCIONALIDAD (PARTE I) ........................................................................................................... 4

OBJETIVOS ESPECFICOS ...................................................................................................................... 4

INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 4RAZONES ............................................................................................................................................. 5

PROPORCIONES ................................................................................................................................... 6

PROPIEDADES DE PROPORCIONES ...................................................................................................... 7

PROPORCIONALIDAD DIRECTA .......................................................................................................... 11

PROPORCIONALIDAD INVERSA ......................................................................................................... 14

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA ................................................................................................... 15

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 17

REFERENCIAS ........................................................................................................................................ 19


4/20


PROPORCIONALIDAD (PARTE I)

OBJETIVOS ESPECFICOS

Identificar razones y proporciones.

Resolver problemas que involucran proporciones directas o inversas.

INTRODUCCIN

El trabajo inicia con el conocimiento del concepto de razn. As, se reconocern los elementos que

conforman una razn y se distinguir lo que es una proporcin, se observar que existen

proporciones directas y proporciones inversas. Es probable que el estudiante est familiarizado

con las aplicaciones de las proporciones, pues en la vida diaria existen situaciones reales que estn

relacionadas con estos conceptos, por ejemplo, cuando se calcula el porcentaje o se analiza la

variacin de precio.

Una proporcin relaciona dos o ms variables, un ejemplo prctico es cuando se analiza una

situacin en la que existe un aumento o disminucin de una de las variables y se observa cmo

afecta esto a la otra u otras variables en estudio. Si existen 3 informticos para realizar un ciertotrabajo en una empresa y se sabe que dicho trabajo se termina en 10 das, entonces surge la

pregunta: en cuntos das se terminar el trabajo si la empresa decide despedir a un informtico?

Para responder esta interrogante, se debe conocer y aplicar la proporcin directa. Este es uno de

los conceptos que se estudiar en la presente semana.


5/20


RAZONES

En la vida diaria o en las ciencias, es necesario comparar dos cantidades. Esto se puede efectuar a

travs de la resta o la divisin, lo que conlleva a las siguientes definiciones:

Razn aritmtica o por diferencia. (Baldor, A. 1992, p. 495)

Se denomina razn aritmtica o por diferencia entre dos cantidades, a y b, a la comparacin de

ellas a travs de una resta. Esto es a-b.

Ejemplo:

Un alumno del IACC, llamado Matas, resuelve 10 ejercicios del contenido de

razones, mientras que Marcia resuelve 7 ejercicios.

En esta situacin, se puede efectuar la operacin 10-7=3, es decir, se tiene que la razn aritmtica

entre los ejercicios que resolvi Matas, en comparacin con los que resolvi Marcia, es 3. Esto

permite afirmar que Matas resolvi 3 ejercicios ms que Marcia, tambin se puede decir que

Marcia resolvi 3 ejercicios menos que Matas.

Razn geomtrica o por cuociente (Baldor, A. 1992, p. 495)

Se llama razn geomtrica entre dos cantidades, a y b, a la comparacin de ellas por divisin.

Ejemplo:

Un estudiante cobra por una clase particular $10.000 cuando ensea matemticas

a un alumno de enseanza media, sin embargo, cobra $8.000 cuando debe

ensear esta ciencia a un alumno de bsica.

Se puede comparar por cuociente el precio de las clases, es decir,5

4

10000

8000 , luego se observa

que por cada $4 que obtiene por clases que efecta a un alumno de bsica, obtiene $5 en una

clase que efecta a un alumno de media.

La notacin que se utiliza en las razones geomtricas entre a y b , es ba

o bien ba: , en ambos

casos se lee a es a b .

La razn que se trabaja en los ejercicios de aplicacin en este curso es la razn geomtrica o por

cuociente, luego, cada vez que se mencione la palabra razn, se estar aplicando razn

geomtrica.

Los elementos que conforman la razn son el antecedente y el consecuente, esto es:


6/20


sec

a antecedente

b con uente

Ejemplo:

Si Javier tiene 10 aos y Pablo tiene 20 aos, entonces la razn entre la edad de

Javier y la edad de Pablo es:

2

1

20

10

P

J.

La razn indica que la edad de Javier es la mitad de la edad de Pablo. En este caso, el antecedente

es la edad de Javier y el consecuente es la edad de Pablo.

La razn entre la edad de Pablo y la de Javier es:

21020

JP .

La razn indica que Pablo tiene el doble de la edad de Javier. En este caso, el antecedente es la

edad de Pablo y el consecuente es la edad de Javier.

PROPORCIONES

Cuando se simplifica una fraccin se obtiene otra. Por ejemplo, al simplificar la razn 20

10 se

obtiene la razn2

1, ambas fracciones tienen el mismo valor. Esto conlleva a la definicin de

proporcin.

Proporcin (Cid Figueroa, E. 2004, p. 19)

Se denomina proporcin la igualdad de dos razones.

Notacin: Si las razones d

c

yb

a

son iguales, entonces la igualdad que representa la proporcin

se anota:

d

c

b

a

o dcba ::


7/20


En ambos, casos se lee a es a b como c es a d , en que los trminos a yd son los extremos,

mientras que b y c los medios.

Ejemplo:

Dadas las razones3430

5145 y , ambas se pueden reducir a

1715 , luego ambas

razones son equivalentes, es decir, forman una proporcin

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIN: En toda proporcin, el producto de los medios

es igual al producto de los extremos, esto es:

00 dybconbcadd

c

b

a

Ejemplo:6 3

6 4 8 38 4

PROPIEDADES DE PROPORCIONES

a) Permutar razones:b

a

d

c

d

c

b

a

En esta propiedad se observa que la igualdadd

c

b

a es equivalente a la igualdad

b

a

d

c .

Ejemplo: afirmar que6

3

2

1 es equivalente a afirmar que

2

1

6

3

b) Invertir razones:c

d

a

b

d

c

b

a

En esta propiedad, se observa que la igualdad de fraccionesd

c

b

a genera la siguiente

Observacin: Para determinar rpidamente si dos razones forman una proporcin, se

utiliza la propiedad fundamental de la proporcin.


8/20


igualdad verdaderac

d

a

b .

Ejemplo:10

14

5

7

14

10

7

5 , en este caso, se invierten las fracciones.

c) Alternar medios:d

b

c

a

d

c

b

a


c

b


igualdad verdaderad

b

c

a .

Ejemplo147

105

1410

75

d) Alternar extremos:a

c

b

d

d

c

b

a

En esta propiedad se observa que la igualdad de fraccionesd

c

b


igualdad verdadera. a

c

b

d

Ejemplo5

10

7

14

14

10

7

5

e) Componer una proporcin:

c

dc

a

ba

d

dc

b

ba

d

c

b

a


c

b

a genera las siguientes

igualdades verdaderasc

dc

a

ba

d

dc

b

ba

.


9/20


Ejemplo14

1410

7

75

14

10

7

5

f) Descomponer una proporcin:

cdc

aba

ddc

bba

dc

ba


c

b

a genera las siguientes

igualdades verdaderasc

dc

a

ba

d

dc

b

ba

.

Ejemplo14

1410

7

75

14

10

7

5

g) Componer y descomponer una proporcin:

dc

dc

ba

ba

d

c

b

a


c

b

a genera la siguiente igualdad

verdaderadc

dc

ba

ba

Ejemplo1410

1410

75

75

14

10

7

5

Ejemplo:

Las edades de dos personas suman 80 aos y estn en la razn 7:9 Cules son las

edades?

Solucin:

Paso 1: Se asignan las variables. Sean A y B las edades buscadas

Paso 2:Se observa que la informacin de a razn se traduce de la forma:9

7

B

A

Paso 3: La frase Las edades de dos personas suman 80 aos, generala ecuacin A + B = 80.


10/20


Paso 4: Se compone la proporcin9

7

B

A

Luego:9

97

B

BA

Se resuelve el sistema:

7 91)

9

2) 80

A B

B

A B

Al reemplazar la ecuacin 2) en la 1), se obtiene

9

16

B

80

Luego 4516/72072016 BB

Reemplazando el valor de B en la ecuacin 2) se obtiene A = 8045 = 35

Por lo tanto las edades buscadas son 35 y 45 aos.

A continuacin, se sugiere realizar la ejercitacin de la semana (la cual es calificada con 1 punto),

junto con revisar el video N1 Proporcionesde la semana que aparece en el apartado de Videos

de la semana. Posteriormente, desarrolle el siguiente ejercicio.

1.-Un entrenador de ftbol lleva la estadstica de sus jugadores partido a partido.

Si su delantero estrella en 2 partidos hizo 8 goles en total y se observa que la razn en que este

jugador convirti goles en el primer con respecto al segundo partido fue de 1:3. Cuntos goles

convirti este jugador en el primer y segundo partido, respectivamente?


11/20


PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Si las cantidades ya b estn relacionadas mediante la ecuacin:

ak o a kbb

Para alguna constante , se dice que la proporcin es directa, es decir b vara directamente

cona, o simplemente bes proporcional aa directamente. La constante ( > 0) se llama

constante de proporcionalidad. Se afirma que dos variables estn en proporcionalidad directa si

su cociente permanece constante.

En este caso se observa que, si la variable independiente a aumenta en su valor, entonces

inmediatamente la variable dependiente b aumenta. Anlogamente si a disminuye en su valor

entonces b tambin disminuye.

Ejemplos:

1. Durante una tormenta de rayos, usted ve el rayo antes de escuchar el trueno, porque

la luz viaja mucho ms rpido que el sonido. La distancia entre usted y la tormenta vara

directamente con el intervalo que transcurre entre el rayo y el trueno.

a) Suponga que el trueno de una tormenta a 5.400 metros de lejana tarda 5

segundos para llegar hasta usted. Determine la constante de proporcionalidad.

b) Si el intervalo entre el rayo y el trueno es ahora de 8 segundos, qu tan lejosest la tormenta?

Solucin:

a) Sea la distancia desde donde est usted hasta la tormenta y sea el tiempo transcurrido,

medido en segundos, se sabe que vara directamente con , porque a mayor lejana, ms tarde

llega la tormenta a usted. De modo que:

dk

t


12/20


En que es una constante. Para determinar k , el hecho de que 5t y 5400d al sustituir

estos valores se obtiene:

dk

t

5400

5

1080 /

k

k

la divisin entre5400 y 5 es 1080

Entonces .1080k

b) Cuando = 8 y , se tiene:

dk

t

d k t

Entonces, la tormenta est a 8.640 metros.

2. Considere la siguiente situacin: Un automvil con movimiento uniforme (velocidad

constante) recorre 60 kilmetros en una hora. La siguiente tabla muestra la variacin de

la distancia recorrida (Y en kilmetros) para distintos tiempos (X en horas):

Y 60 120 180 240 300 .

X 1 2 3 4 5 .

Determine la cantidad de horas necesarias para recorrer 200 Kilmetros.

Solucin:

Se observa que a medida que aumenta el tiempo, aumenta la cantidad de kilmetros recorrido.

Luego estos datos son directamente proporcionales.


13/20


Para resolver el problema, se aplica el siguiente proceso:

A: Kilmetros B:tiempo

60 1

200 X

En que x es la incgnita que se requiere calcular.

Entonces para resolver el problema de la tabla, se iguala una razn directamente con la otra razn:

60 1/ al multiplicar cruzado

200

60 200 1 / el60 pasa dividiendo

200

60

3,3

x

x

x

x

Se requieren 3,3 horas

A continuacin, revise el video N2 Ejercicio de proporcionesde la semana que aparece en el

apartado de Videos de la semana, y luego desarrolle el siguiente ejercicio.

1.-Si Carlos construye en 7 das el techo de su casa, trabajando sin ayuda alguna. Cunto

tiempo necesitar para construir 10 techos como el suyo en su barrio?


14/20


PROPORCIONALIDAD INVERSA

Si las cantidades ya b estn relacionadas mediante la ecuacin:

ka b k o a b

Para alguna constante , se dir que la proporcin es inversa,es decir bes inversamente

proporcional al valor a o se dice que b vara inversamente con a. Se observa que dos

variables estn en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante.

En este caso se observa que si la variable independiente a aumenta en su valor, entonces

inmediatamente la variable dependiente b disminuye. Anlogamente si a disminuye en su

valor entonces b aumenta.

Ejemplo:

Dos operarios demoran 20 das en realizar un trabajo, cuntos das se demoran 5

operarios en realizar el mismo trabajo?

Solucin:

Sean variables:

N: nmero de operarios.

D: nmero de das.

Estas son inversamente proporcionales, porque si aumenta la cantidad de operarios, entonces

disminuye la cantidad de das para realizar el mismo trabajo.

Luego N*D = k (constante).

Se puede colocar la informacin en una tabla.

N: N de operarios D: N de das

2 20

5 X


15/20


Paso 1: Para resolver el problema de la tabla, se iguala una razn a la inversa de la otra:

205

2 x

Paso 2: Se resuelve multiplicando en forma cruzada y despejando x, tal como se aprecia acontinuacin:

85

40

5

20*2

x*520*2205

2

x

x

Si el mismo trabajo lo realizan 5 operarios, se demorarn 8 das.

A continuacin, se sugiere desarrollar el siguiente ejercicio.

1.- Para construir un muro de cemento, 2 obreros se demoran 36 horas en construirlo.

Cuntas horas se demorarn en construir el mismo muro de cemento 4 obreros?


16/20


PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta es la combinacin de proporcionalidades directas, inversas o

ambas. En este caso se estudian tres o ms variables.

En el siguiente ejemplo, se muestra el proceso para resolver este tipo de situacin.

Ejemplo:

Si 18 obreros realizan un trabajo en 30 das, trabajando 8 horas diarias, cuntos

das tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros, trabajando 9 horas cada da?

Solucin:

Sean N: nmero de obreros

D: cantidad de das

H: cantidad de horas diarias de trabajo.

N D H

18 30 8

15 x 9

Una forma directa de resolver el problema es la siguiente:

Se determina qu tipo de variable es la incgnita respecto de cada una de las otrasvariables del problema.

En este ejemplo, si se aumenta la cantidad de das para realizar el mismo trabajo se necesitan

menos obreros (no se piensa en las horas). Estas variables estn en proporcin inversa.

En este ejemplo, si se aumenta la cantidad de das para realizar el mismo trabajo se

requieren menos horas (no se piensa en los obreros). Estas variables estn en proporcin inversa.

A continuacin, se iguala la razn correspondiente a la incgnita, con el producto de las razones

directas o inversas que corresponden a las otras variables, segn sean directamente o

inversamente proporcionales, respectivamente, con la incgnita. Esto es:


17/20


30 9 15

8 18

D H N

x

Luego se calcula x, esto es:

30 9 15/ se multiplica el 9 por15 y 8 por 18

8 18

30 135/ se multiplica cruzado

144

30 144 135

4320 135 / el135 pasa dividiendo

4320

135

32

x

x

x

x

x

x

Luego se afirma que si se contratan 15 obreros para trabajar 9 horas diarias, se requieren 32 das

para que terminen el trabajo.

A continuacin, se sugiere desarrollar el siguiente ejercicio.

1.- Si 7 operarios demoran en construir una casa 5 meses trabajando 8 horas diarias.

cuntos meses se demorarn 10 operarios en construir la misma casa, si trabajan 9 horas

diarias?


18/20


COMENTARIO FINAL

Una proporcin relaciona dos o ms variables. Un ejemplo prctico es cuando se analiza una

situacin en la que existe un aumento o disminucin de una de las variables, y se observa cmo

afecta esto a la otra u otras variables en estudio.

En la vida diaria o en las ciencias, es necesario comparar dos cantidades. stas se pueden

comparar a travs de la resta o la divisin, lo que conlleva a las siguientes definiciones:

Se denomina razn aritmtica o por diferencia entre dos cantidades, a y b, a la comparacin de

ellas a travs de una resta. Esto es a-b.

Se llama razn geomtrica entre dos cantidades, a y b, a la comparacin de ellas por divisin.

Se denomina proporcina la igualdad de dos razones.


19/20


REFERENCIAS

Baldor, A. (1992).Aritmtica. Venezuela: Publicaciones Cultural Venezolana S. A.

Cid, E. (2004). Texto de Autopreparacin. Chile: Prueba de Seleccin Universitaria (PSU)

Matemtica.

De las Heras, R. y Fuenzalida, G. (1993).lgebra y Trigonometra. Chile: Santillana.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2014). Proporcionalidad. Nivelacin Matemtica. Semana 4.


20/20

04_nivelacion_matematica

Documents

Transcript of 04_nivelacion_matematica