05.- TransformadaZinversa_52944

Asignatura Control Digital

Apuntes Profesor Francisco Watkins O.

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

CAPITULO II : TRANSFORMADA Z INVERSA

OCTUBRE 2008

2.1

2. Transformada inversa en Z

2.1 Introducción

x (z) = ∑=

00

0n x(nt)· z n− (2.1)

Donde X(z) transformada z de x (nt). T es el tiempo de muestreo

Se acostumbra a suprimir el término del tiempo de muestreo.

n

nznxzx −

=∑= )·()(00

0(2.2)

......)·(......)·3()·2()·1()0()( 31 2

+++++= −−− − nznxzxzxzxxzx

Otra forma de expresar la transformación de z, es a través de una razón de polinomios en z, con exponente negativo o bien positivo. Se indica en exponente negativo.

1 20 1 2

1 20 1 2

· · ...... ·( )· · ...... ·

nn

mm

a a z a z a zx zb b z b z b z

− − −

− − −

+ + + +=+ + + +

(2.3)

La transformación inversa puede obtenerse de tres métodos:

1. Expansión en series de potencias2. Expansión en fracciones parciales3. Método del residuo

2.2 Series de potencia.

Se puede considerar dos métodos,

Division de polinomiosExpansion Series de Potencia

Division Formula directa

El método de división de polinomios se denomina de división larga

2.2

2.2.1 División larga

Consideremos el siguiente polinomio en z1 2

0 1 21 2

0 1 2

· · ...... ·( )· · ...... ·

nn

mm

a a z a z a zx zb b z b z b z

− − −

− − −

+ + + +=+ + + +

(2.4)

Se puede obtener en una serie de infinita al realizar la división de los polinomios y se obtiene:

......)·(......)·3()·2()·1()0( 321 +++++= −−−− nznxzxzxzxx

Para realizar la división de polinomios, el numerador y denominador se expresan en orden decreciente de z.

Ejemplo:

21

21

3561.0121)( −−

−−

+−++=

zzzzzx (2.5)

Hacer la expansión en serie de potencias

.....5756.26439.331 311 ++++ −−− zzz21 356.01 −− +− zz 21 221 −− ++ zz

)3561.01( 21 −−± zz 21 6439.03 −− + zz 321 ·0683.133 −−− +− zzz

32 ·0683.1·6439.3 −− − zz3.6439· 432 297.10683.1 −−− +− zzz

43 ·2975927.1·5756.2 −− − zz

La función z del ejemplo puede ser expresada en exponentes positivos se tiene que:

2

2

2 1( )0.3561

z zX zz z

+ +=− +

2.3

Para hacerlo hay que multiplicar la expresión (2.5) de exponente negativo, por 2

2

zz se

ordenan partiendo en el exponente mayor hasta el exponente menor:

321 5756.26439.331 −−− +++ zzz3561.02 +− zz 122 ++ zz

3561.02 +− zz 3z+0.6439

1·0683.133 −+− zz 3.6439-3.64391 21 297.1 −− + zz 21 2975927.1·5756.2 −− − zz

De aquí:.......5756.26439.331)( 321 ++++= −−− zzzzx

Donde x(0)=0; x(1)=3; x(2)=3,6439 x(3)=2,5756En ambas formas se encuentra el mismo resultado

2.2.2 Formula directa

La división larga puede ser reformulada tomando como base la ecuación (2.4)

Donde: x(0)= a0/b0

[ ]1 1 0(1) (0)· /x a x b b= −

[ ]2 1 2 0(2) (1)· (0)· /x a x b x b b= − −

01

( ) ( )· /n

n ii

x n a x n i b b=

= − − ∑ con n =1,2,3,4......

Usando el mismo ejemplo anterior

1 2

1 2

1 2( )1 0,3561

z zx zz z

− −

− −

+ +=− + ⋅

Comparando con ecuación (3.4) se tiene:

2.4

a0=1 ; a1=2 ; b0=1 ; b1=-1 ; b2=0.3561

N=M

De la ecuación los coeficientes de la serie de potencia se tiene:

0

0

1(0) 11ax b= = =

[ ] [ ]0 1 0(1) (0)· / 2 1 ( 1) 3x a x b b x= − = − − =

[ ]2 1 2 0 1(2) (1)· (0)· / 3·( 1) 1·0,3561 3,6439x a x b x b b a= − − = − − − =

5796,1)1/1()]0(1)3561,0(3)1(6479,30[

/])0()1()2([)3( 03213

=⋅−⋅−−⋅−=

−−−= bbxbxbxax

2776,1)1/1()]0(1)0(3)3561,0(6479,3)1(5756,20[

/])0()1()2()3([)4( 043214

=⋅−⋅−−−−=

−−−−= bbxbxbxbxax

1 2

1 2

1 2( )1 0,3561

z zx zz z

− −

− −

+ +=− + ⋅

...2776,15796,16479,3313561,01

21)( 432121

21

++++=+−

+−= −−−−−−

−−

zzzzzz

zzzx

Se ve que esta formulación lleva una solución idéntica a la división larga

2.3 Expansión en Fracciones Parciales

En este método la transformada z se expande en fracciones parciales simples, si consideramos que la función en transformada z esta como un cuociente de polinomios, tal como se había considerado:

1 20 1 2

1 20 1 2

· · ...... ·( )· · ...... ·

nn

mm

a a z a z a zX zb b z b z b z

− − −

− − −

+ + + +=+ + + +

… (2.5)

2.5

Si los polos de x(z) son de primer orden y n=m, X(z) puede ser expandido como:

1 21 1 1

1 2

( ) ......1 1 1 ·

m

m

c c cX zp z p z p z− − −= + + +

− − −

1 2

1 2

·( ) ...... m

m

c z c z c zX zz p z p z p

= + + +− − −

01

·Mk

k

c zBz pk=

= +−∑ (2.6)

Donde: 0N

M

bBb

=

Si en la ecuación (4.5) el orden del numerador es menor que el denominador (n < m), entonces b0 será 0, si n > m, entonces x(z) deberá ser reducida primero.Caso para x(z)

1. Si N=M se aplica directamente la ecuación a fracciones parciales.2. Si N<M ⇒ b0=03. Si N>M ⇒ x(z) debe ser reducida por división larga primero y ecuación se aplican

divisiones parciales.

El coeficiente ck se calcula como:

( )·( )k

k k z p

x zc z pz =

= − (2.7)

Si X(z) contiene uno o más polos múltiples (repetidos) aparece un nuevo término en la 6cuación (4.6). Por ejemplo si x(z) contiene m polos multiples en z=pk, entonces (4.6) se transforma en:

( )01 1

·( )M m

ki

k ik k

C z diX z bz p z p= =

= + +− −

∑ ∑

Donde: 1 · ( ) · ( )

( )!

m im

i km i z pk

dd z p x zm i dz

−

− = = − −

(2.8)

2.2.1 Polos simples

Ejemplo: X(z) contiene polos simples

2.6

X(z)=zz

zzz 2

21

1

·375.025.01 −−

−

−−

X(z)= )5.0)(75.0(375.025.02 +−=

−− zzz

zzz

La función tiene polos simples en z=0.75 y en z=-0.5 y también N<M. La expansión en fracciones parciales tiene la forma de:

x(z)= 1 2 1·/( 0.75)( 0.5) 0.75 0.5

z c z c zz z z z z

= +− + − +

1 2( )( 0.75)( 0.5) 0.75 0.5

x z z c cz z z z z z

= = +− + − +

Para c1 se multiplica la ecuación por: (z - 0.75)

21

( 0.75) ( ) ( 0.75) ( 0.75)( 0.75)( 0.5) 0.5

z x z z c zcz z z z

− − −= = +− + +

1z = 0.75

1 1 4c = = = z+0,5 0,75+0,5 5

Reemplazando c1 y c2 en la ecuación, se tiene:

X(z)=5.0

)54(75.0)54(

+−

− zz

zz

De la tabla:

( ) 2

··azzkak n

−↔ z > a

( ) 2·n b azK n a

z a⋅ ⋅ ↔

− z > a

De la ecuación

2.7

( )14

50.75

zZ

z−

−

= ( ) n75.0·54

( ) ( )14 45 0.5

0.5 5nz

Zz

−

−

= − − +

x(n)= ( ) ( )4( ) 0.75 0.55

nnX n − = − n > 0

2.2.2. Polos complejos conjugados

X(z) con polos complejos conjugados de primer orden

Ejemplo: x(z)= 21

21

3561.0121

−−

−−

+−+−

zzzz

Expresamos la función x(z)en exponentes positivos.

2

2( ) 2 1( )( ) 0.3561

n z z zX zd z z z

+ += =− +

a z 2 +bz+c=0

Los polos de x (z) se encuentran resolviendo

2 2( ) 0 0.3561P z z z az bz c= = − + = + +

( )2

1,2

4

2

b b acp

a

− ± −=

con a=1 b=1 y c= 0.3561

*2 1c c= = -0,9040999 +5,99287 = 6,0666 < 98,580

x(z) = 2,8082 + *1

1

pzzc

− + *1

2

pzzc

−

2.8

1 0,5 0,3257 jp j r e θ= + = ⋅ 2 0,5 0,3257p j= −

*2 1 0,5 0,3257 jp p j r e θ−= = − = ⋅

con r = 0,5967 y θ = 33,08º. Así podemos expresar X(z), en función de los polos:

2

*1 1

2 1( )( )( )

z zX zz p z p

+ +=− −

1 0,9041 5,59928;c j= − − 2 0,9041 5,59928;c j= − +

Z { }1 2,8082 2.8082 ( )u n− =

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2*

1 1

º º2*6.06066 0.5967 ·cos 3.08 98.58 12.1213 0.5967 ·cos 33.08 98.58n n

c z c zZz p z p

n n

− + = − −

− = −

Así la señal discreta en el tiempo es:

X(n)=2.8082u(n)+12.1213 (0.5967) n cos (33.08n-98.58º)

2.2.3 Polos de segundo orden

X(z) contiene polo de 2º orden

X(z) ( ) ( ) 2

2

15.0 −− zzz

La expansión en fracciones parciales es de la forma:

( )( ) 2

21

115.0 −+

−+

−=

zd

zd

zczx

Para obtener C

C= ( )

( ) ( ) 2

2

15.0·5.0

−−−

zzzzz

z = 0.5

= 0.5/(0.5-1) 2 =2

Para obtener D,usamos la ecuación para (2.8).

2.9

D( ) ( ) ( )

( ) ( ) 12

22

1

2

1 15.011

== −−−=

−=zz zzz

zzz

zxzdzd

= ( ) ( )2

5.05.0

5.0 122

1

−=−

−−=

− === z

zzz

zdzd

z

Para D 2 se tiene:

D( ) ( ) ( )

( ) ( ) 12

22

1

2

2 15.011

== −−−=−=

zz zzzzz

zzxz

= ( ) 25.011 =−

De esto

X(z) = ( ) 212

12

5.02

−+

−−

− zz

zz

zz

La transformada inversa de cada término esta dada porx ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn nnn 5.012225.02 +−=+−= n 0≥

z 3561.02 +− z z 1,2 = -b 03561.41−±

= -0.5 0.3257; . jr e σ± =

r= 0.5967 q=33.08 así

X(z)= ( ) ( )*1

2

112pzpz

zz−−++

El numerador y denominador de X(z) es del mismo orden, N=M escribimos la expresión como:

0 1 2*

1 1

( )x Z b c cz z z p z p

= + +− −

01 2,8082

0,3561n

m

abb

= = =

para c1

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

2 2 211

11 2 2

2 1 2 1( ) ( ) 2 1( )

j

j j

j j j

z p re

z p z z z zz p x z re recz z z p z p z z p re re re

θ

θ θ

σ θ θ−

= − =

− + + + +− + += = = =− − − −

2.10

c 12,1439 0,97719 0,9040999 5.992847 6,06066 9,858º0,2122 0,3257

j jj

+= = − = −− +

2.3. Método del residuo

Este método de encontrar la transformación inversa es avaluado el contorno de la integral:

11( ) ( )2

nCx n z X z dz

jπ−= ∫Ñ (2.9)

Donde C es la trayectoria de integración que encierra todos los polos de X(z). La integral dada en función de los residuos.Para un polinomio racional, la integral de contorno la ecuación (2.9), es evaluada usando un resultado fundamental en la teoría de variable compleja. En este caso es conocido como el teorema del residuo de Cauchy.

11( ) ( )2

nCx n z X z dz

jπ−= ∫Ñ (2.10)

= suma de los residuos de 1−nz X(z) para todos los polos al interior de C.

Cada residuo c k esta asociado a un polo p k como se ha visto en el método de expansión en fracciones parciales.En el presente método, el residuo de 1−nz X(z) en el polo p k (el residuo de X(z) esta dado por:

[ ] ( ) ( )1

1

1Re ( ), · ( )1 ! k

m

k km z p

ds F z p z p F zm dz

−

− == − − (2.11)a

Donde F(Z) = 1( ) nX z z − m es el orden del polo en pk y Res ( )Re , ks F z p es el residuo de F(z) en z=pk .

Para polo simples, la ecuación se reduce a:

[ ]Re ( ),s F z pk = (z- pk) F(z) =(z-pk) z 1−n X(z) pkz = (2.11)b

Ejemplo.Usando el método del residuo, encuentra la función discreta en el tiempo:

2.11

( ) ( )( )0.75 0.5

zX zz z

=− +

Si F(z) = z n-1X(z), entonces:

( ) ( )

( ) ( )

1

( )0.75 0.5

0.75 0.5

n

n

z zF zz z

zz z

−

=− +

=− +

F(z), tiene polos en z = 0,75 y en z = - 0,5 Considere el contorno C como |z| =1 círculo unitario. La situación de los polos es esquematizada en la siguiente figura:

La transformada inversa de z esta dada por:

[ ] [ ]( ) Re ( ), 0,75 Re ( ), 0,5x n s F z s F z= +

ya que los polos son polos simples, se usará la ecuación (2.11)b, así:

[ ] 0,75Re ( ), 0,75 ( 0,75) ( ) zs F z z F z

== −

2.12

x-0,5

x0,75

Im

Re

|z|=1

[ ] 0,5Re ( ), 0,5 ( 0,5) ( ) zs F z z F z

== −

= 0.75

( 0.75)·( 0.75)( 0.5)

n

z

z zz z =

−− +

= ( ) nn

75.054

5.075.0)75.0( =

+

Res [ ] 0,5

( 0.5)·Re ( ),0.5( 0.75)( 0.5)

n

z

z zs F zz z = −

+=− +

( 0.5) 4 ( 0.5)( 1.25) 5

nn−= = − −

−

4( ) ( ) (0.75) ( 0.5)5n nx n = − −

De aquí:

0 0 84(0) ( ) (0.75) ( 0.5)5 5x = − − =

1 14(1) ( ) (0.75) ( 0.5) 15x = − − = 2 24(2) ( ) (0.75) ( 0.5) 0,255x = − − =

Residuos con polos complejos conjugados

2

2

2 1( )0.3561

z zX zz z

+ +=− +

Separando el denominador en factores, se tiene:

2

1 2

2 1( )( )( )

z zX zz p z p

+ +=− −

Donde P1 = 0.5+0.3557j y P 2 = 0.5-0.3557j

2 1 * (* º )P P N conjugado= ⇒

Para encontrar la transformada inversa evaluamos los residuos de F(z) donde:

2.13

1 21

2

( 2 1( ) ( )0.3561

nn z z zF z z X z

z z

−− + += ⋅ =

− +

2

2

( 2 1( 0.3561)

nz z zz z z

+ +=− +

F (z) tiene los % polos de X(z) más un polo en z = 0

Cuando n > 0 el polo en z=0 se desvanece y se tiene:

F (z) = )3561.0(

12(2

2

+−++

zzzzzzn

X (n) = Res [ ] [ ]21 ),(Re),( PzFsPzF +

Res [ ]1

)()(),( 11 PzzFPzPzF

=−=

= 1

1 ))((12()·(

2

21

Pz

n

PzPzzzzzpz

=−−++−

= (re σj ) ( )

++ 122 σσ jjn rere

re σj (re σσ jj re−− ) reDonde r = 0.5967 y σ = 33.08 σ

Podemos escribir

Res [ ] )·06066.6()5967.0(),( 985808.331

jnj eePzF −= = 6.06066 (0.5967) n [ ])58.9808.33sin()58.9808.33cos( −+− nn j

Y como P1 y P 2 son un par de polos complejos conjugados se puede escribir

Res [ ] [ ])58.9808.33sin()58.9808.33cos()5967.0(06066.6),( 22 −−−= jPzF n

AsíX (n) = Res [ ] [ ] )58.9808.33cos()5967.0(1213.12),(Re),( 0

21 −=+ nnPzFsPzF n>0

2.14

Cuando n = 0, F (z) se reduce a:

F (z) = )3561.0(

122

2

+−++

zzzzz

Y

X (0) = Res [ ] 8082.23561.01

)3561.0()12()(0),(

02

2

0==

+−++==

== zz zzzzzzzzFzF

Res [ ]))((

)12)(()()·(),(21

21

111 PzPzz

zzPzzFPzPzFpZ −−

++−=−== =

)(12)( 2

σσσ

σσ

jjj

jj

rerererere

−−++

Donde r=0.5967 y 008.33=σ

Podemos escribir

Res [ ] 9928.59041.0),( −−=PzF

2.15

|z|=0.5967

X

X

X

Ya que P1 y P 2 son polo complejo conjugado

Res [ ] =2),( PzF -0.9041+5.9928j

Así

X (0)= Res [ ] [ ] [ ]21 ),(Re),(Re0),( PzFsPzFszF ++ = 2.8082j - 0.9041j- 5.9928j=1

Método de los residuos con polo de 2º orden.

Encuentre la secuencia en tiempo discreto x (n) de la siguiente función en transformada z.

X (z) 2

2

)1)(5.0( −− zzz

Para polos de 2 orden (con M=2)

X (N)= [ ]pkzFsm

k),(Re

1∑

=

Donde:

F (z)= z 1−n · x(z) = 2

1

)1)(5.0( −−

+

zzzn

F (z) tiene un polo simple en z=0.5 y polo de 2º orden en z=1, así x(n) está dado por

X(n) =Res [ ] [ ]),(Re),( 21 PzFsPzF +

Res [ ] [ ] ( ) 052

1

2

1

1 1)1)(5.0()5.0()5.0,(Re),(

=

++

−=

−−−==

z

nn

zz

zzzzzFsPzF

Res [ ] ( ) ( )[ ]115.0)5.0(

)·1(5.0()1)(5.0(

·)1(1),(12

1

2

12

−+=−

−+−=

−−

−===

++

nz

zznzzzzz

dzdzF

z

nnn

(0.5) 2 =2(n-1)

Se tiene para

( ) ( )[ ]25.012)( +−= nnx

2.16

Programa en C

Benjamín c. kuo. “Sistemas de control digital. Ed. CELSA. 1997.

2.4. Teoremas de la transformada z.

2.4.1.- Adición y Sustracción.

Si las transformadas z de 1 2( ) ( )f t y f t Son 1 2( ) ( )F z y F z con

{ }1 1 10

( ) ( ) ( )· k

kF z Z f t f kt z

∞−

=

= = ∑

{ }2 2 20

( ) ( ) ( )· k

kF z Z f t f kt z

∞−

=

= = ∑

Entonces la transformada z de )()( 21 tftf ± es:

{ }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Z f t f t F z F z± = ± (2.1)

Demostración por definición

{ } { }1 2 1 2 1 2 1 20 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) ( ) ( )k k k

k k kZ f t f t f kt f kt z f kt z f kt z F z F z

∞ ∞ ∞− − −

= = =

± = ± = ± = ±∑ ∑ ∑ (2.2)

2.4.2.- Multiplicación por una constante

Si F(z) es la transformada de z de f (t) entonces:

Z [ ] [ ]( ) ( ) ( )af t aZ f t aF z= = (2.3)

Demostración

{ }0 0

( ) ( )· ( )· · ( )k k

k kZ a f t a f kt z a f kt z a F z

∞ ∞− −

= =

⋅ = ⋅ = =∑ ∑

2.43.- Teorema de translación o corrimiento real.

Si la transformada z de f(t) es F(z), la transformada de z de f(t) es desplazada hacia la derecha en nt unidades (n número entero positivo) es:

2.17

[ ]( ) ( ) · ( )nZ f t nt u t nt z F z−− − = (2.4)

Demostración: de acuerdo con la definición de la transformada z.

[ ]0

( ) ( ) ( ) · ·k n

kZ f t nt u t nt f k n t z z

∞−

=

− − = −∑ (2.5)

Multiplicamos z nn z·−

Como f(t) =0 para t < 0 la ecuación se convierte en:

[ ]0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n p n p n

p n pZ f t nt u t nt z f pt z z f pt z z F z

∞ ∞− − − − −

= =

− − = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ (2.6)

Se redescubre que z n− es un desplazamiento en n unidades hacia la derecha: z n− representa retardo en un sistema digital.

Corrimiento hacia la izquierda (adelanto en el tiempo).La transformada Z de una función f(t) desplazada en nt unidades a la izquierda (n es un número entero positivo).

[ ]0

( ) ( ) ( )· k

kZ f t nt u t nt f kt nt z

∞−

=

+ + = +∑Ya que por definición la transformada Z comienza con k=0, la ecuación puede escribirse como:

[ ] ( )

0

( ) ( ) ( )·n k n

kZ f t nt u t nt z f kt nt z

∞− +

=

+ + = +∑ (2.7)

= · ( )n k

k nz f kt z

∞−

=

∑

= 1

0( ) ( )·

nn k

kz F z f kt z

−−

=

− ∑ (2.8)

Como la transformada z utiliza la transformada unilateral, esto es para la k ≥ 0, cuando f(t) se desplaza hacia la izquierda de nt unidades y luego es mostrada con un muestreo de ideal que comienza en t=0, se pierden los muestreos de la función desplazada para t<0. Esto explica el último término de la ecuación.

2.18

Aplicaciones ecuación (2.8)

Ej.

{ } [ ]1 1 1( ) ( )1 1

zZ u t T z Z u t zz z

− − − = = = − −

La transformada z de una función escalón unitario adelantada en un período de muestreo T se determina con el teorema del corrimiento a la izquierda (aplicamos (2.8))

[ ] ( )( ) ( ) (0) 11 1

z zZ u t T z F z f zz z

+ = − = − = − − (2.9)

2.4.4.- Teorema de la translación completa

Si la transformada Z de f (t) es F(z) entonces:

Z [ ]( ) ( ) ( )tsat aT

z ee f t f s a F ze±

= = ± =

m (2.10)

Donde a es una constante.

Demostración: según la definición de transformada z podemos escribir:

0

( ) ( )· ·at akT k

kZ e f t f kt e z

∞−

=

= ∑m m

Sea 1aTz z e±= entonces la ecuación anterior, se convierte en :

1 10

· ( ) ( )· ( )at k

kZ e f t f kT z F z

∞± −

=

= = ∑

= ( )aTF z e±⋅ (2.11)El teorema de traslación compleja es útil para obtener la transformada Z, de funciones multiplicadas por el factor ate± .

Ej. Obtener la transformada z de ( ) atg t e sen tω−= utilizando el teorema de translación compleja.

2.19

[ ] 2( )2 cos 1z sen TF z Z sen t

z z Tωω

ω= =

− +

De la ecuación (2.12)

2 2

·( ) · ( · )2 · cos

atat at

aT aTz e sen TG z Z e sen t F z e

z z e T eωωω

−−

− − = = = − +

2.4.5.- Teorema del valor inicial.

Si la transformada z de f (t) es F (z), entonces:

0lim ( ) lim ( )k z

f kT F z→ → ∞

= (2.12)

Si el límite existe.Por la definición de transformada Z, se tiene

1 2

0( ) ( )· (0) ( ) (2 )· .......k

kF z f kT z f f T z f T z

∞− − −

=

= = + + +∑ (2.13)

Tomando el límite en ambos miembros de la ecuación anterior

0lim ( ) (0) lim ( )

kzF z f f kT

→→ ∞= =

2.4.6. - Teorema del valor final

Si la transformada z de la función f(t) es f(z) y si la función (1-z 1− )· f(z) no tiene polos sobre el circulo unitario ,1=z o fuera de este, entonces:

1

1lim ( ) lim(1 ) ( )k z

f kT z F z−

→ ∞ →= − (2.14)

2.20

Este teorema es útil en la determinación del valor final de la respuesta de un sistema de control digital partir de la transformada Z , de la salida de este, sin la necesidad de hallar la transformada inversa.

Demostración Consideremos la secuencia

1 2

0( ) (0) ( )· (2 )· ........ ( )

nk n

kf kT z f f T z f T z f nT z− − − −

=

= + + + +∑ (2.15)

Y

(2.16)

Donde n es entero positivo. Como f (t) = 0 para t < 0 el término f(-T) (cuando k=0) que debería aparecer en la ecuación (2.16) como cero. La ecuaciones (2.16) se puede escribir como:

[ ] ∑∑−

=

−−−

=

=−1

0

1

0)·(·)1(

n

k

kkn

kzktfzzTkf (2.17)

Al hacer la diferencia entre las ecuaciones (2.15) y (2.17), y dejar que z tienda a 1, se tiene:

∑ ∑∑ ∑=

−

==

−

=

−−−

→=−=

−

n

k

n

k

n

k

n

k

kk

znTfkTfkTfzkTfzzkTf

0

1

00

1

0

1

1)()()()()(lim (2.18)

Al tender z→1, esta desaparece de (2.18) y que al aplicar n → ∞ , en ambos miembros de la ecuación (2.18) se llega a:

1

1

1 0 0lim ( ) lim lim ( )· ( )

n nk k

n n z k kf nT f kT z z f kT z

−− − −

→ ∞ → ∞ → = =

= − ∑ ∑ (2.19)

Al intercambiar los límites del miembro derecho de la ecuación (2.19) , y puesto que:

1

0 0

lim ( ) lim ( )· ( )n n

k k

n nk kf kT z f kT z F z

−− −

→ ∞ → ∞= =

= =∑ ∑

Reemplazando en (2.19), se llega a que: 1

11

1

lim( ( ) ( ))

lim ( ) lim(1 ) ( )z

n z

F z z F z

f nT z F z

−

→

−

→ ∞ →

−

= −(2.20)

2.21

[ ] ( )0 1 2

0( 1) · ( 1) (0) ( ) ......... 1 ·

nK n

kf k T z f z f z f T z f n T z− − − −

=

− = − + + + + − ∑

Ej.- Dada la siguiente transformada

F (z) = )208.0416.0)(1((

792.02

2

+−− zzzz

El valor final de f(kT) se encuentra a partir de F(z) mediante el teorema del valor final ecuación (2.17), como:

12

0.792(1 ) ( )0.416 0.208

zz F zz z

−− =− +

No tiene polos sobre el circulo Unitario |z|=1, o fuera de este , cabe aplicar el teorema del valor final. Por lo tanto de la ecuación (2.17), se tiene:

21

0.792lim ( ) lim 10.416 0.208k z

zf kTz z→ ∞ →

= =− +

Esto puede comprobarse dado que F(z) en serie de potencias es 1 2 3 4 5 6 7( ) 0,792 1,12 1,091 1,010 0,983 0,989 0,990 ...F z z z z z z z z− − − − − − −= + + + + + +

Después de obtener un número suficiente de términos se ve que convergen a 1.

2.4.7. - Teorema de la derivada parcial

Sea f (z,a) la transformada z de la función f (t,a) donde a es una variable independiente o una constante. La transformada z de la derivada parcial de f (t,a) con respecto a a dada por:

[ ]( , ) ( , )Z f t a F z aa a

∂ ∂ = ∂ ∂ (2.21)

DemostraciónDe la definición de la transformada Z

[ ]0

( , ) ( , )· ( , )k

kZ f t a f kT a z F z a

a a a

∞−

=

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∑ (2.22)

Ej.La transformada Z de f (t) = t· e at− se encuentra con el teorema de la derivada parcial.

2.22

· at atZ t e Z ea

− −∂ = − ∂

Yat at atZ te e Z e

a a− − −∂ ∂ = − = − ∂ ∂

Por lo tanto a partir de la ecuación (2.22) la transformada z de t e at− es:

Z 2· ·( )

aTat at

at aT

z Tzet e z ea a z e z e

−− −

−

∂ ∂ = − = − = ∂ ∂ − −

2.4.8. La convolución real

La convolución en el dominio discreto se define como:

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( )n

ky t x t h t x kT h nT kT

=

= = −∑Para señales continuas las operaciones a realizar con señales continuas en el tiempo. . La convolución continua para dos señales continuas en el tiempo, x(t) y h(t) se define como:

( ) ( ) ( )y t x h t dτ

τ τ τ∞

= − ∞= −∫ (2.23)

La cual se conoce como integral de convolución y se representa tambien como:

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t x t h t x h t dτ

τ τ τ∞

= − ∞= = −∫ (2.24)

En la convolución se utilizan algunas operaciones ya sea con señales continuas o discretas según se trate de convolución continua o discreta respectivamente.

Operaciones con señales continuas

En las señales continuas se puede realizar varias operaciones de las cuales algunas se aplican al proceso de convolución . Consideremos entonces una Operaciones sobre x(t) , indicadas en 2.1b, 2.1c, 2,1dy 2.1e, respectivamente señal continua en el tiempo x(t),la cual se muestra en la figura (2.1)a .

2.23

21 3 4 5-1-2

3

x(t) x(-t)

3

21 3 4 5-1-2-4

Figura 2.1.a Señal continua x(t) Figura 2.1.b Señal continua x(-t)

Figura 2.1.c señal continua x(t-2) Figura 2.1.d señal continua x(t-4)

Figura 2.1.e señal continua x(2t) Figura 2.1.f señal continua x(t/2)

Operaciones con señales discretas

En el caso de las operaciones señales discreta. Consideremos la función x(nT) ó x(n), mostrada en la figura2.2 a, con un conjunto de operaciones sobre x(n), mostrada en figuras 2.2 b, 2.2 c, 2.2 d y 2.2e.

2.24

21 3 4 5-1-2

3

x(2t)

821 3 4 5-1-2

3

x(t/2)

6 7 9

21 3 4 5-1-2

3

x(t-2)

6 7 821 3 4 5-1-2

3

x(t-4)

6 7 9

n

x(-n)

21 3 4-5 -1-2

234

-4 -3 n

x(n)

21 3 4 5-1-2

234

Figura 2.2.a señal discreta x(t) Figura 2.2.b señal discreta x(-n)

Figura 2.2.c señal discreta x(n-2) Figura 2.2.d señal discreta x(-n+2)

Figura 2.2.e señal discreta x(n-2) Figura 2.2.f señaldiscreta x(n/2)

En general para el tiempo escalado continuo o discreto, en la nueva función escalada el nuevo factor t ó n, son reemplazados por t´ y n´ los cuales representan el factor por la variable considerada, es decir

´´

t at yn an

==

Consideremos el caso mostrado para x(2t ), figura 2.1.e y x(2n) 2.2.e, se tiene t=2t´ tomando el valor para t =4, se tiene

t´=2

Para n =2n´ tomando el valor para n =4, se tiene

2.25

x(n-2)

n21 3 4 5-1-2

234

x(-n+2)

21 3-5 -1-2

234

-4 -3 n

x(n/2)

n21 3 4 5-1-2

234

x(2n)

n21 3 4 5-1-2

234

n´=2

Para el caso mostrado para x(t/2 ), figura 2.1.f y x(n/2) figura 2.2.f, se tiene

t = t´/2 tomando el valor para t =4, se tiene

t´= 4 ⋅2=8

Para n =n´/2 y tomando el valor para n =4, se tiene

n´= 4 ⋅2=8

Teorema de la Convolución real

Si las transformadas Z de 1 2( ) ( )f t y f t , son 1 2( ) ( )F z y F z respectivamente y 1 2( ) 0 ( ) 0f t y f t= = , para t < 0, entonces:

1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( )k

nF z F z Z f nT f kT nT

=

⋅ = − ∑ (2.25)

Demostración:De acuerdo con la definición de la transformada Z, el miembro derecho de la ecuación (2.25) puede escribirse como:

1 2 1 20 0 0

1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

k kk

n k n

k

k n

Z f nT f kT nT f nT f kT nT z

f nT f kT nT z

∞−

= = =

∞ ∞−

= =

− = −

= −

∑ ∑ ∑

∑ ∑(2.26)

El límite superior de la segunda sumatoria de la última ecuación puede cambiarse a ∞, ya que 1 2( ) ( )f kT y f kT son igual a cero para k<0. Al hacer m=k-n e intercambiar el orden de las sumatorias en ecuación (2.26),se tiene

1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )k

k m

n n m nZ f nT f kT nT f nT z f mT z

∞ ∞− −

= = = −

− = ∑ ∑ ∑

Como 2( ) 0f kT = para k<0, la última ecuación se convierte en :

2.26

1 2 1 20 0

( ) ( ) ( ) ( )n m

n nZ f nT z f mT z F z F z

∞− −

= =

= ∑ ∑ (2.27)

REPRESENTACIÓN DE SEÑALES COMO SUMATORIA DE IMPULSOS.

Una señal cualquiera de tiempo discreto x(n) se puede expresar como:

∑+ ∞

∞−=

−=k

knkxnx )(·)()( δ ( 2.28)

Ver ejemplo en figura 2.1

Para el caso de tiempo continuo, la ecuación correspondiente, para una señal x(t) cualquiera es:

∫+ ∞

∞−=

−=τ

ττδτ dtxtx )(·)()( (2.29)

SALIDA DE UN SISTEMA LTI.

Si hk(n) es la salida de un sistema lineal para una entrada impulso unitario desplazado δ(n-k)

Entonces la salida del sistema para una entrada arbitraria x(n), debido al principio de superposición de los sistemas lineales, se puede expresar como:

∑+ ∞

∞−=

=k

k nhkxny )(·)()( (2.30)

En el caso continuo, si δ(t - τ) causa una respuesta hτ(t), entonces:

2.27

δ(n-k) hk(n)

∫+ ∞

∞−=

=τ

τ ττ dthxty )(·)()( (2.31)

Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, entonces la salida al impulso unitario es la misma, independiente del instante en que se aplique el impulso, sólo que esta desplazada hasta ese instante, es decir, que si:

δ(n) → h0(n) ; entonces δ(n-k) → hk(n) = h0(n-k)

Podemos ahora omitir el subíndice, y escribir simplemente:

hk(n) = h0(n-k) = h(n-k)

con lo cual la ecuación 2.3 queda como:

∑+ ∞

∞−=

−=k

knhkxny )(·)()( (2.32)

con h(n) la respuesta al impulso δ(n).

La ecuación 2.5, se conoce como la sumatoria de convolución, y la operación en cuestión se llama la convolución de x(n) y h(n), y se la representa simbólicamente como:

x(n) ∗ h(n).

Para el caso continuo, la invariabilidad en el tiempo del sistema implica que:

hτ(t) = h0(t - τ) = h(t - τ)

con lo cual, la ecuación 2.4 queda:

∫+ ∞

∞−=

−=τ

τττ dthxty )(·)()( (2.34)

La ecuación (2.34), se conoce como la integral de convolución, y la convolución de las señales x(t), y h(t) se representa simbólicamente como: x(t) ∗ h(t).

Propiedades de la convolución.

El operador convolución satisface varias propiedades que van a ser objeto de estudio en esta sección.

2.28

Propiedad conmutativa:El uso de esta propiedad nos permite intercambiar el orden de sistemas LIT conectados en cascada sin que por ello, se vea alterada la salida del sistema total equivalente.

Si r = n-k

)()()(·)()()·()()·()()( nxnhrnxrhrhrnxknhkxnhnxrk r

∗=−=−=−=∗ ∑∑ ∑+ ∞

− ∞=

+ ∞

− ∞=

− ∞

+ ∞=

Propiedad asociativa:Esta propiedad nos sirve para agrupar varios sistemas LIT en cascada en uno único cuya respuesta impulsiva es la convolución de las respuestas impulsivas de todos los sistemas en cascada.

[ ] [ ] )()()()()()( 2121 nhnhnxnhnhnx ∗∗=∗∗

es equivalente a

y como además es conmutativa, es equivalente a

y por lo tanto, equivalente a

Propiedad distributiva:Haciendo uso de esta propiedad podemos agrupar varios sistemas LIT en paralelo, en uno único cuya respuesta impulsiva es la suma de las respuestas impulsivas de cada uno de los sistemas colocados en paralelo.

[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗

2.29

H1(n)

h1(n) h2(n)x(n) y(n)w(n) h1(n) ∗ h2(n)x(n)

y(n)

x(n)y(n)

h2(n) ∗ h1(n)

h2(n)x(n) y(n)w’(n) h1(n)

h1(n)

h2(n)

x(n)y(n)= y1(n)+y2(n) h1(n)+h2(n)x(n) y(n)

Procedimiento de cálculo de la convolución

Convolución Continua.

1.- Consideramos dados x(t), y h(t).

2.- A partir de h(τ), obtenemos su refleja h(-τ).

3.- Para cada valor t de interés, desplazamos h(-τ) para obtener h(t-τ):si τ>0 desplazo a la derecha, si τ<0 desplazo a la izquierda.

4.- Hacemos la integral del producto, y obtenemos y(t) para el valor de t considerado (Particularmente entre 0 y t0) :

∫+ ∞

∞−=

−=τ

τττ dthxty )(·)()( (2.35)

2.30

EjemploConsideremos las siguientes funciones :

Figura 2.3. Función x(t) y funcion h(t)

Para realizar la convolución continua entre las dos funciones x(t) y h(t), los pasos a seguir serían los siguientes:

• Se toma la función espejo de cualquiera de las dos funciones. En este caso se elijirá la función h(t).

• Dicha función (h(t) se barre desde -∞ a +∞.• La convolución solo existe donde hay un producto de las dos funciones. • De lo anterior solo se tendrá valores de convolución solo donde se superponen las

áreas de las funciones• En este caso se va determinado el área en cada punto significativo y ese es el valor

de la integral en dicho punto. • Dichos puntos se tabulan y se hace la curva de la convolución o función de salida,

y(t).

Función espejo de h(t)

Figura 2.4. Función h(τ ) y su función espejo h(-τ )

h (t)x (t)

t

21,510,5

21,510,5

0 1 2 3

21,510,5

0 1 2 3 t

2.31

t

h (-τ)21,51

h (τ)21,510,5

0 1 2 3

21,51

0 1 2 3 t -2 -1

Recorrido desde -∞ hacia + ∞

Figura 2.5. Desplazamiento de la función h(t-τ) desde -∞ y función x(t)

Posición límite del valor de la integralPara t=0

Figura 2.6.Punto critico donde la función y(t) comienza a tener valores ≠0

Valor de la integral de convolución en t=0 , es Ic=0

Para t=0,5

Figura 2.7. Función x(t) y función h(t-τ), para t=0,5

2.32

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

Valor de la integral de convolución en t=0,5 , es Ic=0,375

Para t=1

Figura 2.8. Función x(t) y función h(t-τ), para t=1

Valor de la integral de convolución en t=1 , es Ic=0,5

Para t=2

Figura 2.9. Función x(t) y función h(t-τ), para t=2

Valor de la integral de convolución en t=2 , es Ic=0,5

Para t=2,5

Figura 2.10. Función x(t) y función h(t-τ), para t=2,5

2.33

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

Valor de la integral de convolución en t=2,5 , es Ic=0,125

Para t=3

Figura 2.11.Punto donde la función y(t) vuelve a retomar valores = 0.

Valor de la integral de convolución en t=3 , es Ic=0

Para t > 3

Figura 2.12. función y(t) comienza a tener valores ≠0

Valor de la integral de convolución en t>3 , es Ic=0

y(t)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3t

Inte

gral

y(t

)

y(t)

Figura 2.13. Tabla y gráfico de y(t)

t y(t)

0 0

0,5 0,375

1 0,5

1,5 0,5

2 0,5

2,5 0,125

3 0

2.34

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

t

y (t)21,510,5

0 1 2 3-4 -3 -2 -1 -7 -6 -5

Convolución discreta.

1.- Consideramos dados x(n), y h(n).

2.- A partir de h(k), obtenemos su refleja h(-k).

3.- Para cada valor n de interés, desplazamos h(-k) para obtener h(n-k):si n>0 desplazo a la derecha, si n<0 desplazo a la izquierda.

4.- Multiplicamos x(k)·h(n-k) para todo k.

5.- Hacemos sumatoria de todos estos productos, y obtenemos y(n) para el valor de n considerado:

∑∞

∞−=

−=k

knhkxny )()·()(

6.- Repetir pasos 3 a 5, para todo n, obteniéndose así y(n) como una lista de valores en función de n. Esta lista es la convolución buscada:

y(n) = x(n)∗h(n)________________________

2.35

Cálculo de la convolución discreta.

1.- Método de la tira deslizante:

h(n) 4 1 3 0x(n) 2 5 0 4

n 0 1 2 3

Figura 2.14. Gráfico de las funciones h(n) y x(n).

- Hacemos el reflejo de h(k) : h(-k)

h(-k) 0 3 1 4k -3 -2 -1 0

Figura 2.15 Gráfico de la función h(k) y de su función espejo h(-k).

2.36

t

h (n)

4321

0 1 2 3 4 5 -2 -1

765

t

x (n)

4321

0 1 2 3 4 5 -2 -1

765

t

h (k)

4321

0 1 2 3 4 5 -2 -1

765

t

h (-k)

4321

0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1

765

Figura 2.16. Desplazamiento de la función h(n-k) desde -∞ y función x(n)

- Alineamos las secuencias, y las sumamos y desplazamos sucesivamente:

n=0x 2 5 0 4h 3 1 4

0 8 0 0 0Suma = y(8) = 8

Figura 2.17. Desplazamiento de la función h(n-k) hasta t=0, donde se multiplica con el valor coincidente de la función x(n).

2.37

0 1 2 3 4 5 6-16-15-14 -13 -12-11-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

n=1x 2 5 0 4h .....3 1 4

0 2 20 0 0Suma = y(1) = 22

Figura 2.18. Desplazamiento de la función h(n-k) hasta t=1, donde se multiplica con los valores coincidentes de la función x(n) y se suman.

n=2x 2 5 0 4h ..... 3 1 4

0 6 5 0 0Suma = y(2) = 11


n=3x 2 5 0 4h ..... 3 1 4

0 0 15 0 16Suma= y(3) = 31


2.38

32,51

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

n=4 x 2 5 0 4h ..... 3 1 4

0 0 0 0 4 0

Suma = y(4) = 4


n=5x 2 5 0 4h ..... 3 1 4

0 0 0 0 12 0 0

Suma=y(5) = 12Figura 2.22. Desplazamiento de la función h(n-k) hasta t=5, donde se multiplica con los

valores coincidentes de la función x(n) y se suman

n=6x 2 5 0 4 0 0 0h ..... 3 1 4

0 0 0 0 0 0 0Suma = y(6) = 0

Figura 2.22. Desplazamiento de la función h(n-k) hasta t=6, donde los valores coincidentes de la función h(n-k) y x(n), los productos son cero, por lo que la suma nos da cero.

2.39

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 t

y (n)

4321

765

Luego, la convolución es:

y(n) = x(n)∗h(n) 8 22 11 31 4 12n 0 1 2 3 4 5

Figura 2.22. Función y(n)= x(n)*h(n

2.40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y (n)

4

12

14

2

10

68

22

24

20

1618

28

30

26

32

En la practica al calcular la convolución, se colocan los valores numéricos de las funciones y se realiza la multiplicación de los números coincidentes y después se realiza la suma . Esto se realiza para cada valor de n del y(n) correspondiente.

n=0 n=1 n=2

x 2 5 0 4 x 2 5 0 4 x 2 5 0 4h 3 1 4 h 3 1 4 h 3 1 4

Suma= y(0) = 8 suma = y(1) = 22 suma = y(2) = 11

n=3 n=4 n=5x 2 5 0 4 x 2 5 0 4 x 2 5 0 4h 3 1 4 h 3 1 4 h 3 1 4

Suma= y(3) = 31 suma = y(4) = 4 suma = y(5) = 12

Luego, la convolución es:

y(n) = x(n)∗h(n) 8 22 11 31 4 12n 0 1 2 3 4 5

2.41

2.- Método de suma por columnas desplazadas:

Hacemos el mismo ejemplo anterior.

h(n) 4 1 3 0x(n) 2 5 0 4

n 0 1 2 3

Ahora no es necesario obtener la refleja de h, y en lugar de desplazar h, vamos desplazando las filas de productos para cada x(n).

La disposición de las secuencias es la siguiente:

n 0 1 2 3 4 5

x(n) 2 5 0 4

h(n) 4 1 3

8 2 6

20 5 15

0 0 0

16 4 12

y(n) 8 22 11 31 4 12

Cada fila de productos parciales, es el resultado de multiplicar cada x(n), sucesivamente, por cada h(n).

Por ejemplo, para la primera fila de productos:

x(0)·h(0) = 8 x(0)·h(1) = 2 x(0)·h(2) = 6

y así, sucesivamente para x(1), x(2), x(3)........., desplazando la fila de productos cada vez que se cambia a un nuevo x(n).

2.42

3.- Método de la malla:

La disposición de las secuencias es en forma de una malla , o matriz, en la cual se registran todos los posibles productos x(n)·h(n).

El desplazamiento adecuado se obtiene sumando sobre las diagonales de la malla.

Considerando nuevamente el mismo caso:

h(n) 4 1 3 0x(n) 2 5 0 4

n 0 1 2 3

La malla resultante es la siguiente:

h(n)

4 1 3

8 2 6 2

20 5 15 5 x(n)

0 0 0 0

16 4 12 4

Sumando sobre las diagonales, (arriba, derecha hacia abajo, izquierda) obtenemos:

y(n) 8 22 11 31 4 12n 0 1 2 3 4 5

2.43

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