06 Metodos Cuantitativos.es

1

MMÉTODOSÉTODOS CCUANTITATIVOSUANTITATIVOS

PARAPARA FINANZASFINANZAS

Laila Escudero Lam

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

IV DIPLOMADO EN FINANZAS

PPARTEARTE II:II:

EESTADÍSTICASTADÍSTICA PARAPARA

FINANZASFINANZAS

MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA FINANZAS

2

CCONTENIDOSONTENIDOS

• ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA• Conceptos fundamentales• Distribución de frecuencias• Medidas de tendencia central• Otras medidas de tendencias: Cuartiles• Medidas de dispersión• Medidas de asimetría• Curtosis

Estadística para finanzasEstadística para finanzas

3

CCONTENIDOSONTENIDOS

• PROBABILIDADES• Conceptos fundamentales• Probabilidades: incondicional, condicional, conjunta,

teorema de Bayes• Valor esperado, covarianza y correlación• Distribución normal y lognormal• Distribución normal estándar y distribución t-student

• INFERENCIA ESTADÍSTICA• Muestreo y estimación. Tipos de muestreo• Teorema del límite central• Error estándar muestral• Intervalos de confianza

Estadística para finanzasEstadística para finanzas

4

3

5

Todos los días, en todo momento debemos tomar decisiones basadas en información incompleta…

http://www.slideshare.net/linuxfrog/estadistica-presentation-656007

6

La mayoría vivimos tranquilos con cierto nivel de incertidumbre




4

7

Con la estadística buscamos ser precisos, cuantificamos lo incierto. Es por ello que los estadísticos pueden hacer

afirmaciones categóricas con una seguridad total sobre el nivel de incertidumbre.


CCONCEPTOSONCEPTOS FUNDAMENTALESFUNDAMENTALES

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ESTADÍSTICAESTADÍSTICASe refiere a los datos y los métodos utilizados para recopilar

datos, analizarlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

ESTADÍSTICAESTADÍSTICASe refiere a los datos y los métodos utilizados para recopilar

datos, analizarlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVADESCRIPTIVA

Se encarga de recopilar, organizar y presentar los datos.Reúne un conjunto de métodos utilizados para describir las principales características de un conjunto muy grande de datos.

INFERENCIA INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA

Se encarga de analizar e interpretar los valores estadísticos para extraer conclusiones sobre la población.

Es un conjunto de métodos utilizados para establecer afirmaciones probabilísticas acerca de una población a partir de una muestra.


5


ü Población.- Son todos los miembros de un grupo específico. Por ejemplo la serie de retornos de todas las acciones que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima.

ó Parámetro: medida utilizada para describir una característica de la población. Para los inversionistas los parámetros más relevantes son: la media, el rango del retorno de la inversión y la varianza.

ü Muestra (Sample).- Es un subconjunto de la población. Por ejemplo una muestra de 20 acciones seleccionadas de entre todas las acciones listadas en la Bolsa de Valores de Lima.

ó Estadística muestral: medida utilizada para describir una característica de la muestra. Se utiliza para estimar el valor de un parámetro desconocido de la población.

9


PoblaciónPoblación

MuestraMuestra

10

6


ESCALAS DE MEDICIÓNESCALAS DE MEDICIÓNq Escala Nominal. - Categoriza los datos pero sin un orden en

particular.

q Escala Ordinal. - Categoriza y ordena los datos con relación a una característica específica.

q Escala de Intervalos. - Provee un ranking relativo como la escala ordinal y además asegura que las diferencias entre los valores de la escala sean iguales. La debilidad de esta escala es que el cero no indica necesariamente la ausencia de lo que se está midiendo.

q Escala de Ratios. - Mantiene las características de la escala de intervalos y además considera al cero como punto de origen.

11


ESCALAS DE MEDICIÓN ESCALAS DE MEDICIÓN -- EJEMPLOSEJEMPLOSq Escala Nominal. - Asignar el número 1 a los bonos corporativos, 2

a los bonos titulizados, 3 a los bonos hipotecarios, etc.

q Escala Ordinal. - Asignar el número 1 a las 100 empresas de mayor venta en el 2007, el número 2 a las siguientes 100, etc.

q Escala de Intervalos. - Medición de la temperatura en grados centígrados: 27° es más caluroso que 20°, su diferencia de temperaturas es la misma que la diferencia entre 33° y 26°; sin embargo, 0° no indica la ausencia de temperatura ni 24° es dos veces más caloroso que 12°.

q Escala de Ratios. - Medición del dinero: si se tiene $ 0, no se tiene poder adquisitivo, pero $ 4 representa dos veces más poder adquisitivo que $ 2.

12

7

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN DEDE FFRECUENCIASRECUENCIAS

q Cuando disponemos de una gran cantidad de datos, es necesario organizar estos datos para facilitar su análisis. Una tabla de distribución de frecuencias es muy útil en estos casos.

q Una distribución de frecuencias es la presentación tabular de un conjunto de datos que ayuda al análisis de un gran conjunto de datos. Agrupa los datos estadísticos en grupos, clases o intervalos.

13


ü Intervalo o clase.- Conjunto de valores en los que puede ubicarse una observación.¢ Cada observación puede ubicarse en un único intervalo (los

intervalos no deben traslaparse).¢ El número total de intervalos cubre todos los valores posibles

para la población.

14

8

¿ CÓMO CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS?¿ CÓMO CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS?1. Definir los intervalos

a) Calcular el rango de los datos como la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.

b) Determinar el número de intervalos k en la distribución de frecuencias.

c) Determinar el tamaño o amplitud del intervalo = rango / k

2. Asignar las observaciones a los intervalos correspondientes

3. Contar el número de observaciones que caen en cada intervalo.

4. Construir una tabla de intervalos, del más pequeño al más grande, mostrando el número de observaciones que cae en cada intervalo. 15


ü Frecuencia absoluta.- Es el número total de observaciones en un intervalo dado.

ü Frecuencia absoluta acumulada.- Suma las frecuencias absolutas conforme se avanza del primer al último intervalo.

ü Frecuencia relativa.-

ü Frecuencia relativa acumulada.- Suma las frecuencias relativas conforme se avanza del primer al último intervalo.

nesobservaciodetotalnúmeroabsolutaFrecuenciarelativaFrecuencia =

16


9

REPRESENTACIÓN GRÁFICAREPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Histogramaó Es una representación gráfica de la distribución de frecuencia

absoluta a través de un gráfico de barras, con los datos agrupados de acuerdo a dicha distribución de frecuencia.

ó Permite apreciar visualmente dónde se concentra la mayoría de las observaciones.

012345678

-25 -15 -5 5 15 25 35 45

17



2. Polígono de frecuenciaó Es otra representación gráfica de la distribución de frecuencia

absoluta.ó Se marcan el punto medio de cada intervalo en el eje horizontal y

la frecuencia absoluta del intervalo en el eje vertical. Luego se conectan los puntos con una línea recta.

012345678

-25 -15 -5 5 15 25 35 45

18


10


3. Distribución de frecuencia acumuladaó Se grafica la frecuencia absoluta acumulada o relativa contra el

límite superior de cada intervalo.ó Permite ver cuántas observaciones o qué porcentaje de las mismas

se ubican por debajo de cierto valor.

0

5

10

15

20

25

-25 -15 -5 5 15 25 35 45

19


MMEDIDASEDIDAS DEDE TENDENCIATENDENCIA CENTRALCENTRAL

q Las medidas de tendencia central cuantifican la variabilidad de los datos alrededor de su “centro”.

qProporcionan una aproximación al retorno esperado de una inversión.

20

11


1.1. MEDIA ARITMÉTICAMEDIA ARITMÉTICA

q Es la suma de todas las observaciones dividida entre el número de observaciones.

o Media poblacional

o Media muestral

N

Xμ

N

ii∑

== 1

n

XX

n

ii∑

== 1

21


PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

a) Todos los valores de la data están considerados e incluidos en el cálculo de la media aritmética.

b) Existe una única media aritmética para un conjunto de datos.

c) La suma de las desviaciones alrededor de la media es igual a cero.

( ) 01111

1

1

=−=−=−

=⇒=

∑∑∑∑

∑∑

====

=

=

XnXXXXX

XXnn

XX

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

22

12


PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

d) Es sensible a los valores extremos.

e) Usa toda la información disponible sobre las observaciones.

f) Matemáticamente es fácil trabajar con ella.

Para superar la influencia de los valores extremos en el cálculo de la media se utiliza la media ponderada.

Donde:

X1, X2, …, Xn = valores observados

w1, w2, …, wn = pesos asociados a cada observación. Suman 1.

( )nn

n

iiiW XwXwXwXwX ...2211

1++== ∑

=

23


2.2. MEDIANAMEDIANA

q Es el punto medio de un conjunto de observaciones cuando éstos son ordenados en forma ascendente o descendente.

q Cálculo de la mediana en una muestra de n elementos:

ó Si n es impar, la mediana ocupa el lugar (n+1)/2.

ó Si n es par, la mediana es la media de los valores que ocupan los lugares n/2 y (n+2)/2 (los dos valores del medio).

q El mismo número de observaciones caen por debajo y por encima de la mediana. 24

13


PROPIEDADES DE LA MEDIANA

a) Una distribución tiene una única mediana.

b) La mediana no está afectada por valores extremos.

c) No usa toda la información sobre el tamaño y magnitud de las observaciones, tan solo su posición relativa en las observaciones ordenadas.

d) Su cálculo es más complejo, pues requiere ordenar previamente las observaciones de menor a mayor y determinar si el tamaño de la muestra es par o impar (es menos manejable matemáticamente).

25


3.3. MODAMODA

q Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.

q Una distribución puede tener una moda (unimodal), más de una moda (bimodal, trimodal, etc.), o ninguna.

q En distribuciones continuas, se puede hallar un intervalo modal (o más de uno).

q Es la única medida de tendencia central que puede utilizarse con dataos en escala nominal.

26

14


4.4. MEDIA GEOMÉTRICAMEDIA GEOMÉTRICA

q Se define como

( )n

X...XXXX

nG

n

ii

n

∑=== 1

321

lnln1ln

,...,2,1 para 0;con 321

niX...XXXXG

i

nn

=≥

=

27


4.4. MEDIA GEOMÉTRICAMEDIA GEOMÉTRICA

q Se utiliza con frecuencia para calcular el retorno de una inversión en múltiples periodos o cuando se miden ratios de crecimiento compuesto.

q Para calcular la media geométrica de una serie de retornos se debe sumar “1” a cada valor, y luego restarle “1” al resultado:

28( )( ) ( ) 1111 21 −+++= nnG R...RRR

15


5.5. MEDIA ARMÓNICAMEDIA ARMÓNICA

q Se utiliza para algunos cálculos como el costo promedio de las acciones adquiridas a lo largo del tiempo.

q La media harmónica es un tipo especial de media ponderada donde una observación es ponderada inversamente proporcional a su magnitud.

niXX

nX

i

n

i i

H

,...,2,1 para 0;con

11

=>

=

∑=

29

MMEDIDASEDIDAS DEDE TENDENCIATENDENCIA CENTRALCENTRALq La media geométrica representa la tasa de crecimiento o tasa de

retorno compuesta de una inversión. Es útil en el análisis de rentabilidad de una inversión en un horizonte de varios períodos.

q La media aritmética es de interés para medir el desempeño promedio en un solo período.

q Media geométrica ≤ Media aritméticaA mayor dispersión de los datos, mayor diferencia entre estas dos medidas. Sólo son iguales cuando todas las observaciones son iguales.

q Para valores diferentes, Media harmónica ≤ Media geométrica ≤ Media aritmética

q La media harmónica es apropiada para promediar ratios cuando éstos son aplicados repetidamente a una monto fijo para producir una cantidad variable de unidades. Por ejemplo, el beneficio de invertir cada mes o cada semana el mismo monto de dólares para la compra de cuotas de un fondo mutuo (“costo promedio”). 30

16

CCUANTILESUANTILESq Un cuantil es un valor al cual o bajo el cual cae una determinada

proporción de los datos.ó La mediana divide la distribución en la mitad.ó Los cuartiles dividen la distribución en cuartos.ó Los quintiles dividen la distribución en quintos.ó Los deciles dividen la distribución en décimos.ó Los percentiles dividen la distribución en centésimos.

q Generalmente se usan los percentiles. El resto de cuantiles pueden ser definidos en base a percentiles.

q Para determinar la posición de una observación en un percentil “y” donde “n” datos son ordenados ascendentemente, se utiliza la siguiente fórmula:

100)1( ynLy += 31

CCUANTILESUANTILES

¿CÓMO DETERMINAR LA POSICIÓN DE UN PERCENTIL? ¿CÓMO DETERMINAR LA POSICIÓN DE UN PERCENTIL?

q Py es el valor por debajo del cual cae el y% de la distribución, o el y-ésimo percentil. Para “n” observaciones ordenadas ascendentemente, la posición Ly del y-ésimo percentil Py es:

q Si Ly = entero, la localización corresponde a una observación.

q Si Ly ≠ entero, la localización cae entre los dos enteros más cercanos (por encima y por debajo), y se debe utilizar la interpolación lineal para hallar Py.

100)1( ynLy +=

32

17

MMEDIDASEDIDAS DEDE DISPERSIÓNDISPERSIÓN

q Dispersión es la variabilidad alrededor de la tendencia central.

q La dispersión es una medida del riesgo.

ü Dispersión absoluta.- Es el monto de variabilidad observada sin compararlo con ningún punto de referencia. Las medidas de dispersión absoluta más comunes son: el rango, desviación absoluta de la media, varianza y desviación estándar.

ü Dispersión relativa.- Es el monto de variabilidad con relación a un punto de referencia . Las medidas de dispersión relativa más comunes son: el coeficiente de variación y el ratio de Sharpe. 33

MMEDIDASEDIDAS DEDE DISPERSIÓNDISPERSIÓN ABSOLUTASABSOLUTAS

1.1. RANGORANGO

q Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de un conjunto de datos.

q Es una medición simple de variabilidad, pero utilizada con otras mediciones provee de información muy útil.

mínimovalor máximovalor rango −=

34

18


2.2. DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA DESVIACIÓN ABSOLUTA DE LA MEDIA

(Mean Absolute Deviation - MAD)

q Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de observaciones individuales respecto de la media aritmética.

n

XXn

ii∑

=

−= 1MAD

35


3.3. VARIANZAVARIANZA

q Es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto de la media aritmética.

ü Varianza poblacional:

ü Varianza muestral:

( )

N

μXσ

N

ii∑

=

−= 1

2

2

( )1

1

2

2

-n

XXs

n

ii∑

=

−= 36

19


3.3. VARIANZAVARIANZA

q Al calcular la varianza muestral se utiliza “n-1” como denominador debido a que se mejoran las propiedades estadísticas de s 2.

q En términos estadísticos, s 2 es un estimador insesgado de σ2 . La cantidad “n-1” representa los grados de libertad al estimar la varianza poblacional ya que cuando se calculó la media, solo quedaron “n-1” desviaciones independientes respecto de la media.

37


5.5. DESVIACIÓN ESTÁNDARDESVIACIÓN ESTÁNDAR

q Es la raíz cuadrada de la varianza.

q Se utiliza con frecuencia como una medida cuantitativa de riesgo.

ü Desviación estándar poblacional:

ü Desviación estándar muestral:

( )

N

μXσ

N

ii∑

=

−= 1

2

( )1

1

2

n-

XXs

n

ii∑

=

−=

38

20


6.6. SEMIVARIANZA Y SEMIDESVIACIÓNSEMIVARIANZA Y SEMIDESVIACIÓN

q Estas mediciones nacen de la preocupación de los inversionistas por medir el riesgo de los retornos que se encuentran por debajo de la media.

q Se calculan considerando solo las observaciones que son menores que la media.

39

DDESIGUALDADESIGUALDAD DEDE CCHEBYSHEVHEBYSHEVq La desigualdad de Chebyshev declara que la proporción de las

observaciones dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1/k2 para todo k > 1”.

q Según esto, para cualquier distribución se cumple:ó 36% de las observaciones caen en un intervalo de ± 1.25 desviaciones

estándar.ó 56% de las observaciones caen en un intervalo de ± 1.50 desviaciones

estándar.ó 75% de las observaciones caen en un intervalo de ± 2 desviaciones estándar.ó 89% de las observaciones caen en un intervalo de ± 3 desviaciones estándar.ó 94% de las observaciones caen en un intervalo de ± 4 desviaciones estándar.

q La importancia de esta regla es su generalidad. Se cumple para cualquier conjunto de datos ya sea de una muestra o de una población y sin importar la forma de la distribución.

40

21

MMEDIDASEDIDAS DEDE DISPERSIÓNDISPERSIÓN RELATIVARELATIVA

1.1. COEFICIENTE DE VARIACIÓNCOEFICIENTE DE VARIACIÓN

q Mide cuánta dispersión respecto de la media existe en una distribución.

q Permite la comparar de forma directa diferentes conjuntos de datos.

q En inversiones el CV mide el riesgo por unidad de retorno esperado (media).

Xsx=CV

41

2.2. RATIO DE SHARPERATIO DE SHARPEq Mide el exceso de retorno por unidad de riesgo.q Es utilizado para medir la performance de inversiones.q Basado en información histórica de los retornos, el ratio

Sharpe de un portafolio se define como:

donde:= retorno del portafolio= retorno libre de riesgo= desviación estándar de los retornos del portafolio

p

fp rrSharpedeRatioσ−

=


prfrpσ 42

22

2.2. RATIO DE SHARPERATIO DE SHARPE

q Los inversionistas adversos al riesgo que toman decisiones basados en el retorno promedio y su desviación estándar prefererirán portafolios con ratios de Sharpe mayores.

q Limitaciones:

ó Interpretación de ratios de Sharpe negativos.

ó Solo considera solo un aspecto del riesgo: la desviación estándar.


43

AASIMETRÍASIMETRÍAq Una distribución simétrica es aquella que mantiene la misma

forma a ambos lados de la media.q El sesgo describe el grado de asimetría de una distribución con

relación a su media.

q Para “n” muy grandes la expresión se reduce a:

q Como referencia, para un muestra de 100 observaciones a más, un sesgo de ± 0.5 es alto.

( )( )

( )3

1

3

21 s

XX

nnnS

n

ii

K

∑=

−

−−

=

( )3

1

3

1s

XX

nS

n

ii

K

∑=

−

≈

44

23

AASIMETRÍASIMETRÍA

q Distribución simétrica à SK = 0

q Distribución con sesgo positivo (hacia la derecha) à SK > 0

Moda < Mediana < Media

q Distribución con sesgo negativo (hacia la izquierda) à SK < 0

Moda > Mediana > Media45

CCURTOSISURTOSIS

q Mide si una distribución es más o menos puntiaguda que una distribución normal y provee de información sobre la probabilidad de resultados extremos.ó Leptocúrtica.- Distribución más puntiaguda (y con colas más gordas)

que una distribución normal.ó Platicúrtica.- Distribución menos puntiaguda que una distribución

normal.ó Mesocúrtica.- Distribución idéntica (en curtosis) a la normal.

q La curtosis de una distribución normal es igual a 3.

q El exceso de curtosis se mide como: curtosis - 3.

q Un exceso de curtosis > 1 en valor absoluto se considera grande. 46

24

CCURTOSISURTOSIS

q El exceso de curtosis en una muestra es:

q Para “n” muy grandes la expresión se reduce a:

ó Leptocúrtica à KE > 0ó Platicúrtica àKE < 0ó Mesocúrtica o Normal à KE = 0

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )32

13321

1 2

41

4

−−−−

−

−−−+=

∑=

nnn

s

XX

nnnnnK

n

ii

E

( )4

1

4

1s

XX

nK

n

ii

E

∑=

−

≈

47

AASIMETRÍASIMETRÍA CCURTOSISURTOSIS

Media = Mediana = Moda

Moda < Mediana < Media

Media < Mediana < Moda

LeptocúrticaK >0

Mesocúrtica o NormalK =0

PlaticúrticaK <0

Simétrica o Normal

Sesgo positivo (derecha)

Sesgo negativo (izquierda)

48

25

AASIMETRÍASIMETRÍA YY CCURTOSISURTOSISq El sesgo y la curtosis son conceptos críticos en la gestión del riesgo.q Si los retornos de una inversión se modelan suponiendo una

distribución normal, las predicciones del modelo no considerarán el potencial de obtener resultados muy negativos.

q Por ello, en la gestión del riesgo la forma de las colas de las distribuciones de retornos (que es donde se encuentra el riesgo) tiene mayor relevancia que la media o la desviación estándar.

q En comparación a la distribución normal, una distribución leptocúrtica indica un mayor riesgo dado que posee un gran porcentaje de pequeñas desviaciones respecto de la media y además un gran porcentaje de grandes desviaciones respecto de la media.

q En general, una mayor curtosis positiva y un mayor sesgo negativo indican mayor riesgo. 49

PPROBABILIDADESROBABILIDADES

CONCEPTOSCONCEPTOS

ü Variable aleatoria.- Se refiere a una cantidad o número incierto (aleatorio).

ü Resultado.- Es un valor observado que toma la variable aleatoria.

ü Evento. - Es un resultado o conjunto de resultados.

ü Eventos mutuamente excluyentes.- Eventos que no pueden suceder simultáneamente.

ü Eventos exhaustivos.- Son aquellos que incluyen todos los resultados posibles. 50

26


Ejemplo: Ejemplo: Lanzar un dado

ü El número que sale à Variable aleatoria

ü Si al lanzar sale un tres à Resultado

ü Sacar un tres à Evento

ü Sacar tres o sacar cinco à Eventos mutuamente excluyentes

ü Sacar un número par o

un número impar à Eventos exhaustivos

51


DEFINICIÓNDEFINICIÓN

1. La probabilidad de ocurrencia de cualquier evento (Ei) se encuentra entre 0 y 1.

Sin embargo, debe notarse que 0 y 1 no corresponden a resultados estrictamente aleatorios.

2. La suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es 1.

1)(0 ≤≤ iEP

1)( =∑ iEP 52

27


ü Probabilidad empírica.- Se establece al analizar datos pasados (información histórica).

ü Probabilidad a priori.- Se determina utilizando un razonamiento formal y un proceso de inspección.

ü Probabilidad subjetiva. - Involucra el uso de juicios personales.

53


qq PROBABILIDAD INCONDICIONALPROBABILIDAD INCONDICIONAL

Es la probabilidad de que ocurra un evento sin importar la ocurrencia pasada o futura de otros eventos.

qq PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

Es la probabilidad de que ocurra un evento “A” dado que otro evento “B” ha ocurrido.

)()()|(

BPABPBAP =

54

28


qq REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN (probabilidad conjunta)REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN (probabilidad conjunta)

Es la probabilidad de que dos o más eventos ocurran.

Se calcula de la siguiente forma:

Para eventos independientes:

donde:

P(AB) = Probabilidad conjunta de A y B

P(A|B) = Probabilidad de ocurrencia de A dado que ocurre B

P(B) = Probabilidad de ocurrencia de B

)()|()( BPxBAPABP =

)()()( BPxAPABP =

55

P(A)


qq REGLA DE LA ADICIÓN REGLA DE LA ADICIÓN

Se utiliza para determinar la probabilidad de que A, B o ambos eventos ocurran. Se puede generalizar para más de dos eventos.

Para eventos independientes:

)()()()( ABPBPAPBóAP −+=

)()()( BPAPBóAP +=

P(AB) P(B)

56

29


qq REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTALREGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Esta regla explota la relación entre las probabilidades incondicional y condicional de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos.

Determina la probabilidad incondicional de un evento en términos de las probabilidades condicionales:

)()()( CABPABPAP +=

57

Prob que ocurra A y B

Prob que ocurra A y que no ocurra B

)()|()()|()( CC BPBAPBPBAPAP +=


qq REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTALREGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Generalizando para un conjunto de eventos {S1, S2, …, Sn} mutuamente excluyentes y exhaustivos:

)()|(...)()|()()|()(...)()()(

2211

21

nn

n

SPSAPSPSAPSPSAPASPASPASPAP

+++=+++=

58

30


qq TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

Se utiliza para actualizar probabilidades basados en la ocurrencia de un evento.

Se observa que con este teorema podemos invertir una probabilidad condicional.

)()()|()|(

APBPxBAPABP =

59

)()()|()|(

BPAPxABPBAP =

VVALORALOR EESPERADOSPERADO

q El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria es el promedio ponderado por probabilidades de los posibles resultados de dicha variable aleatoria.

q Se denota como E(X), donde X es la variable aleatoria.

q El valor esperado es, estadísticamente, el mejor supuesto sobre el resultado de una variable aleatoria.

∑=

=

+++=n

iii

nn

xxP

xxPxxPxxPXE

1

2211

)(

)(...)()()(

60

31

CCOVARIANZAOVARIANZA YY CCORRELACIÓNORRELACIÓN

q La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión o volatilidad de una variable.

q En finanzas, nos interesa conocer cómo dos variables aleatorias se comportan con relación a la otra, por ejemplo en el caso de los retornos de dos inversiones.

q La covarianza y la correlación son medidas que proveen de información muy útil.

61

CCOVARIANZAOVARIANZA

q Mide cómo una variable aleatoria se mueve respecto de otra variable aleatoria.

q Es el valor esperado del producto de las desviaciones estándar de las dos variables aleatorias respecto de sus valores esperados.

q Se expresa:

donde:

Ri = retorno de la inversión i

Rj = retorno de la inversión j

)]}()][({[),( jjiiji RERRERERRCov −−=

62

32

CCOVARIANZAOVARIANZA

PROPIEDADESPROPIEDADES

1. Representa el mismo concepto que la varianza.

2. La covarianza de una variable aleatoria consigo misma es su propia varianza.

3. El rango de la covarianza puede extenderse desde -∞ hasta +∞.

4. Cov(Ri, Rj) > 0 à El retorno de ambas inversiones tiende a ir en el mismo sentido (por encima o debajo) de sus valores esperados.

5. Cov(Ri, Rj) < 0 à Cuando el retorno de una inversión esté por encima de su valor esperado, el retorno de la otra inversión tenderá a estar por debajo de su valor esperado (relación inversa).

6. Cov(Ri, Rj) = 0 à No existe relación entre los resultados de las variables (inversiones). 63

CCORRELACIÓNORRELACIÓN

q Mide el movimiento conjunto (relación linear) entre dos variables aleatorias.

q Se expresa:

q Esta medida hace más fácil la interpretación de la covarianza.

)()(),(

),(ji

jiijji RR

RRCovRR

σσρρ ==

64

33

CCORRELACIÓNORRELACIÓN


1. Mide la fuerza de la relación linear entre variables aleatorias

2. No tiene unidades

3. Su rango es -1 ≤ ρ (Ri, Rj) ≤ 1

4. Si ρ (Ri, Rj) = 1 à las variables tienen correlación positiva perfecta, es decir, el movimiento de una variable resulta en un movimiento de la otra en el mismo sentido y en la misma magnitud respecto de su media.

5. Si ρ (Ri, Rj) = -1 à las variables tienen correlación negativa perfecta. El movimiento de una variable en un sentido hará que la otra lo haga en el sentido opuesto.

6. Si ρ (Ri, Rj) = 0 à no existe relación linear entre las variables.65

AAPLICACIÓNPLICACIÓN

q Para un portafolio de “n” activos donde “wi” es el peso de cada activo en el portafolio:

1. El valor esperado de los retornos puede determinarse como:

2. La varianza de dichos retornos se determina mediante:

66

∑=

=+++=n

iiinnp REwREwREwREwRE

12211 )()(...)()()(

∑∑= =

=n

i

n

jjijip RRCovwwRVar

1 1

),()(

34

AAPLICACIÓNPLICACIÓN

q Si el portafolio está constituido por dos (02) activos:

1. Valor esperado

2. Varianza

67

)()()( 2211 REwREwRE p +=

12212122

22

21

21

122122

22

21

21

2

2)(

ρσσσσ

σσ

wwww

CovwwwwRVar p

++=

++=

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN NORMALNORMAL

q Es de suma importancia debido a que muchas de las variables relevantes en el análisis financiero (y en otras disciplinas) siguen una distribución normal.

q Tiene mucha importancia en la teoría de portafolios.


1. La caracterizan su media µ y su varianza σ2. Se denota como X ~ N(µ, σ2), es decir, “X está normalmente distribuida con media µ y varianza σ2”

2. Es simétrica respecto de su media àSesgo = 0

3. Media = Mediana = Moda

4. Kurtosis = 368

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1. Una combinación linear de variables aleatorias normalmente distribuidas también tiene una distribución normal

2. Las probabilidades no llegan a ser cero (0), la distribución nunca toca las asíntotas.

3. Los puntos de inflexión de esta distribución se dan en µ ± σ

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µ +σ-σ-∞ +∞-2σ +2σ

68%

≈95%

q Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos estánü ± 1σ tenemos 68% de probabilidadü ± 1.65σ tenemos 90% de probabilidadü ± 1.96σ tenemos 95% de probabilidadü ± 2.58σ tenemos 99%de probabilidad

q Un intervalo de confianza es un rango de valores alrededor del resultado esperado, dentro del cual se espera resulte el dato real.

70


36

71

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN LLOGNORMALOGNORMALq Si X está normalmente distribuida, se define la distribución

lognormal como ex.q Dado que ln(ex) = x, el logaritmo de variables aleatorias con

distribución lognormal está normalmente distribuido, de ahí el nombre.

q Características:ü Sesgada hacia la derecha (positivo)ü Está acotada en cero, por ello es útil para modelar precios de

activos que nunca toman valores negativos.

Distribución Normal Distribución Lognormal0

(Z-Score)

q Es una distribución normal que ha sido estandarizada con media cero y desviación estándar igual a 1 (N~(0,1)).

q Se calcular el valor z para estandarizar una observación de una distribución normal:

donde:

z = el número de desviaciones estándar respecto de la media. 72

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN NORMALNORMAL ESTÁNDARESTÁNDAR

-xestandar desviación

lpoblaciona medianObservacióσ

µ=

−=z

37

73

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN NORMALNORMAL ESTÁNDARESTÁNDAR

µ +1-1 +2.58-1.96 +1.96

68%

95%

-2.58

99%

q Es la distribución apropiada para ser construir intervalos de confianza basados en muestras pequeñas (n<30) de poblaciones con varianzas desconocidas y distribuciones normales o casi normales.

q Propiedades:ü Es simétrica alrededor de su mediaü Está definida por los grados de libertad = n-1ü Es menos puntiaguda que la distribución normal y con mayor

probabilidad en las colas (colas gordas).ü Conforme aumentan los grados de libertad (mayor tamaño de

muestra), la forma de la distribución se aproxima más a la distribución normal estándar. 74

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN TT--STUDENTSTUDENT

38

75

Distribución Normal

Distribución t-Student

DDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN TT--STUDENTSTUDENT

Grados de libertad = 1



76

IINFERENCIANFERENCIA EESTADÍSTICASTADÍSTICA

q En la vida real es muy difícil e impráctico estudiar una población entera.

q La inferencia estadística utiliza los resultados de un subgrupo o muestra para estimar u obtener conclusiones respecto de las características o parámetros de la población.

q Hace uso de las probabilidades para facilitar la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

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Procedimiento de toma de decisión respecto de la veracidad de un supuesto sobre el parámetro

poblacional, utilizando datos de la muestra.De un conjunto de observaciones se extraen

conclusiones sobre el total.

A partir de los valores obtenidos de una muestra aleatoria se obtiene un valor o conjunto de

valores para el parámetro de la población bajo estudio con cierto nivel de confianza

77

IINFERENCIANFERENCIA EESTADÍSTICASTADÍSTICA

Enfoques

Estimación

Prueba de hipótesis

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MMUESTREOUESTREO YY EESTIMACIÓNSTIMACIÓNq TIPOS DE MUESTREO

Muestreo aleatorio simpleSelecciona una muestra de tal formal que cada elemento de la población bajo estudio tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Muestreo aleatorio estratificadoUtiliza un sistema para clasificar la población en grupos más pequeños según una o más características. De cada sub grupo se selecciona una muestra aleatoria simple. El tamaño de estas muestras depende del tamaño relativo del subgrupo respecto de la población.

40

79

MMUESTREOUESTREO YY EESTIMACIÓNSTIMACIÓN

q DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

Se origina de la distribución del conjunto de resultados de un estimador (estadístico muestral) correspondiente a cada muestra obtenida de una población.

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q TEOREMA DEL LÍMITE CENTRALPara una muestras aleatorias simples de tamaño “n” tomadas de una población como media µ y una varianza finita σ2, la distribución muestral de la media muestral se aproxima a una distribución normal con media µ y una varianza finita σ2/n conforme la muestra el tamaño de la muestra crece (n≥30).

Importancia:

ü Este teorema es muy útil porque es relativamente fácil aplicar pruebas de hipótesis y construcción de intervalos de confianzas sobre la distribución normal.

ü Se pueden hacer inferencias específicas sobre la media poblacional a partir de la media muestral, sin importar la distribución poblacional siempre y cuando el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande (n≥30).

41

81


ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA MUESTRAL

q Es la desviación estándar de la distribución de medias muestrales.

q Es la diferencia entre un estadístico muestral y su correspondiente parámetro poblacional. Por ejemplo: x – μ

q Si la varianza poblacional:Es conocida No es conocida

nXσσ =

nssX =

q Es el rango de valores dentro del cual se puede encontrar el valor real de un parámetro con una probabilidad de 1-α.

q α es el nivel de significancia y la probabilidad 1- α hace referencia al nivel de confianza.

q El intervalo de confianza de la media se calcula como:

Punto de referencia ± (factor de confianza x error estándar)

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IINTERVALOSNTERVALOS DEDE CONFIANZACONFIANZA

Valor del estadístico muestral del parámetro

poblacional

Depende de la distribución muestral y

la probabilidadError estándar del

punto de referencia

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PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Si la población tiene una distribución normal y:

ü La varianza poblacional es conocida

ü La varianza poblacional es desconocida

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nzx σ

α2

±

nstx

2α±

q Para distribuciones no normales, si el tamaño de la muestra es menor que 30 no se puede estimar un intervalo de confianza.

q Los z más comunes son:

ü Z α/2 = Z 0.05 = 1.645 para intervalos al 90%

ü Z α/2 = Z 0.025 = 1.960 para intervalos al 95%

ü Z α/2 = Z 0.005 = 2.575 para intervalos al 99%84


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