PROFESOR: ISMAEL OYARCE O. COLEGIO SUPERIOR DEL MAIPO – EDUCACIÓN MEDIA 1

Colegio Superior del Maipo NOMBRE: _____________________________

COVADONGA 178 – SAN BERNARDO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NÚMERO DE LISTA: _______ NIVEL: TERCERO MEDIO – 2012.

www.media.superiordelmaipo.cl CURSO: 3° ____ FECHA: _____ / _____ /2012

LANZAMIENTO DE PROYECTILES – MOVIMIENTO DIMENSIONAL

MOVIMIENTO VERTICAL DE UN CUERPO Sabemos que todos los cuerpos tienden a caer hacia la superficie terrestre; puesto que la tierra ejerce una atracción sobre todos los cuerpos próximos a la superficie terrestre, atracción que recibe el nombre de gravedad y que no es más que un aspecto particular de una propiedad general de la materia denominada gravitación universal. Si el movimiento es de caída de un cuerpo es uniformemente acelerado, en cambio si el movimiento es de subida es uniformemente retardado. Por eso cuando lanzamos un cuerpo hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta hacerse cero, y en este punto el cuerpo alcanza su altura máxima, para luego empezar a descender con movimiento uniformemente acelerado, aumentando su velocidad, al llegar al suelo este cuerpo llega con la misma velocidad con que fue lanzado; ya que en su caída recupera la velocidad que perdió al subir, pues la aceleración que está presente es la misma en ambos casos.

La aceleración de un movimiento de caída o subida de un cuerpo se llama aceleración de gravedad o simplemente gravedad y se designa por la letra g; el valor de esta aceleración de gravedad varía de un lugar a otro en la tierra y se establece como valor de referencia g = 9,8 m/s2 y se considera su valor positivo cuando el cuerpo baja y negativo cuando este sube. Las ecuaciones que utilizaremos en este tipo de movimiento serán: Para la altura:

Para la velocidad - Conocido el tiempo:

- Desconocido el tiempo:

Ejemplo: 1) Un cuerpo inicialmente en reposo, cae desde una altura de 80 m. Determine el tiempo que tardará en llegar al suelo y la velocidad con la cual llegara a la superficie terrestre. Datos:

Cálculos: Para determinar el tiempo que tardará en llegar al suelo ocuparemos la ecuación de altura, dada por:

Como sabemos que: y0 = 0 m v0 = 0 m/s Entonces:

Ahora para determinar la velocidad con la cual llegara al suelo ocuparemos:

Como sabemos que:

Respuesta:

- El tiempo que demora el cuerpo en llegar al suelo es 4 segundos. - La velocidad con que el cuerpo llega al suelo es de 40 m/s.

2) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 40 m/s, al cabo de que tiempo esa velocidad se reduce a 25 m/s y ¿Cuál será la velocidad alcanzada cuando el cuerpo se encuentra a 25 metros del lugar de su lanzamiento?

Datos:

h´ = 25 m t = v = g = 10 m/s2

Cálculos:

t = 1,5 s

v2 = ( 40 )2 – ( 2 • 10•25)

v2 = 1600 – 500

Respuesta: La velocidad se reduce a 25 m/s cuando han transcurrido 1,5 s. Cuando el cuerpo ha alcanzado una altura de 25 m este alcanza una velocidad de 33,17 m/s.

PROFESOR: ISMAEL OYARCE O. COLEGIO SUPERIOR DEL MAIPO – EDUCACIÓN MEDIA 2

3) Un pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 39,2 m/s, determina la velocidad durante cada segundo de su movimiento tanto en subida como en su bajada, considere g = 9,8 m/s2.

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Un cuerpo lanzado horizontalmente u oblicuamente, donde despreciemos el roce del aire, de este resulta un movimiento curvilíneo, correspondiendo a una combinación de dos movimientos:

- Uno horizontal (MRU) - Otro vertical (MUV)

La aceleración que se encuentra presente en el movimiento vertical es la aceleración de gravedad.

Supongamos que desde un punto P dejamos caer un objeto sin imprimirle ninguna velocidad y otro al cual se le imprime una velocidad inicial v0, en ambos casos la distancia vertical descendida en el mismo tiempo es la misma. Ambos cuerpos descenderán la misma distancia vertical “y”, en cambio en la segunda situación el cuerpo logra avanzar una distancia x. Describiendo una trayectoria parabólica.

Si ahora consideramos un proyectil lanzado oblicuamente con una velocidad inicial v0, que forma un ángulo “α” con la horizontal. Si no existiese “g” la trayectoria del proyectil sería recta. Sin embargo, a causa de la presencia de la aceleración de gravedad la trayectoria del proyectil al igual que el anterior también es una parábola. TRAYECTORIA Y VELOCIDAD DE UN PROYECTIL LANZADO a) HORIZONTALMENTE: En este lanzamiento estará presente un MRU horizontal y un MUA verticalmente; por tanto:

Al cabo del tiempo t el proyectil habrá recorrido la distancia horizontal, ya que a = 0 m/s2

y en este mismo tiempo habrá recorrido la distancia vertical:

Ahora como se encontrará el cuerpo en un punto, determinado, su velocidad se obtendrá por la resultante de las velocidades vectoriales (vo y por v = g t )

v0

P

y

x

PROFESOR: ISMAEL OYARCE O. COLEGIO SUPERIOR DEL MAIPO – EDUCACIÓN MEDIA 3

Ejemplo: Un avión vuela a 1200 metros de altura con una velocidad de 180 km/h Determine:

a) ¿Cuánto tiempo antes de estar sobre el blanco deberá soltar una bomba? b) ¿A qué distancia del blanco deberá estar para soltar la bomba? c) ¿Con que velocidad llegará la bomba al suelo? d) ¿Cuál será la velocidad de la bomba cuando lleve 10 s de lanzada? e) ¿Cuál será la velocidad de la bomba cuando se encuentre a 500 m del suelo?

Datos: y = 1200 m , v0 = 180 km/hr = 50 m/s Cálculos: a) t = ¿?

b) x =¿?

c) vx = 50 m/s y vy = ¿?

Por teorema de Pitágoras; La velocidad resultante será:

d) t = 10 s , v x=50 m/s

e) y = 500 m , t = ¿?

b) OBLICUAMENTE: Supongamos que un proyectil se lanza oblicuamente con una velocidad inicial V que forma un ángulo de elevación “α” con la horizontal; por tanto las componentes de la velocidad posee componentes: Vy y Vx; entonces:

D = Alcance Horizontal Hmáx = Altura Máxima α = Ángulo de Elevación V = Velocidad de Lanzamiento Vx = Velocidad Horizontal (constante) Vy = Velocidad Vertical (variable)

Entonces el movimiento horizontal del proyectil es uniforme con la velocidad Vx y la distancia horizontal “x” que ha avanzado al cabo del tiempo “t” es:

x = Vx • t El movimiento vertical se debe a la velocidad inicial Vy sen la velocidad vertical al cabo del tiempo “t” es:

La altura y a que se encuentra el proyectil en el instante “t” es:

PROFESOR: ISMAEL OYARCE O. COLEGIO SUPERIOR DEL MAIPO – EDUCACIÓN MEDIA 4

Ejemplo: Un cañón lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y un ángulo de tiro de 40°. Calcular al cabo de 20 segundos: (si cos 40° = 0,7660 y sen 40° = 0,6428)

a) Su velocidad horizontal. b) Su velocidad vertical. c) Su velocidad real en ese

instante. d) La distancia horizontal

recorrida. e) La altura en que se

encuentra. Ante de todo debemos determinar las componentes iniciales de la velocidad, a las que denominaremos Vx y Vy. Para ello diremos:

a) La velocidad horizontal; Como el movimiento horizontal es un MRU, la velocidad es constante, es decir es siempre la misma y corresponde a Vx, entonces su valor es: Vx = 153,2 m/s b) La velocidad vertical es:

Ahora el signo negativo nos indica que el proyectil se encuentra descendiendo. c) la velocidad del proyectil en t = 20 s

d) distancia horizontal recorrida

e) La altura en que se encuentra el proyectil:

Resuelve los siguientes ejercicios, para reforzar los aprendizajes alcanzados en esta guía: 1) Un proyectil es disparado con una velocidad de magnitud 600 m/s formando un ángulo de

60º con la horizontal. Calcular: a) El alcance horizontal (R 30960 m) b) b) La altura máxima (R 13312.8 m) c) La velocidad y la altura después de 30 s. (R 369.67 m/s, 11178.45 m) d) La velocidad y el tiempo cuando el proyectil se encuentra a 10 Km de altura. (R 395.03

m/s, 77.3 s, 25.9 s). 2) Un proyectil es disparado formando un ángulo de 35º, llega a una distancia horizontal de 4

Km. Calcular: a) Velocidad inicial (R 208.13 m/s) b) Tiempo de vuelo (R 23.7 s) c) Máxima altura. (R 703.7 m) d) La velocidad en la máxima altura. (R 168.58 m/s)

3) Se dispara un proyectil con una elevación de 60º y una velocidad de 400 m/s. a) ¿Llegará a 5 Km de altura? (R 5916.6 m, sí) b) ¿Varía el alcance si se dispara con una inclinación de 30º? (R no) c) ¿Qué velocidad lleva a 500 m de altura? (R 385.19 m/s)

4) Con una elevación de 60º y una velocidad de 250 m/s se dispara un proyectil. a) ¿Qué altura lleva el proyectil a 1 Km del lugar del disparo? (R 1400 m) b) ¿Cuántos segundos demora en llegar a esta posición? (R 8 s) c) ¿Cuál es su altura máxima? (R 2311.25 m)

5) Un cañón dispara sobre el mar un proyectil, horizontalmente, con una velocidad inicial de 400 m/s, desde un punto a una altura de 100 m sobre el nivel del mar. Calcular. a) El tiempo que tardará el proyectil en llegar al mar. (R 4.47 s) b) El alcance horizontal del proyectil. (R 1788 m) c) La magnitud de la velocidad del proyectil al llegar al agua. (R 402.48 m) d) El ángulo que forma el proyectil con la horizontal al llegar al agua. (R 6.37)

6) Una pelota rueda por una mesa horizontal y sale disparada por el borde a una altura de 1.22 m sobre el piso. Si llega al piso a una distancia de 1.52 m del borde de la mesa medidos horizontalmente. ¿Cuál era su velocidad en el momento en que salió disparada horizontalmente? (R 3.10 m/s)

7) Un avión bombardero en picada forma un ángulo de 53º con la vertical, deja caer una bomba a una altura de 730 m. La bomba choca con la tierra 5 s después. a) ¿Cuál era la rapidez del bombardero? (R 201.66 m/s) b) ¿Cuál fue la distancia horizontal recorrida por la bomba durante el vuelo? (R 796.55 m) c) ¿Cuáles eran las magnitudes de las componentes horizontales y verticales de su

velocidad justo antes de chocar con la tierra? (R 159.31 m/s, 170.96m/s) 8) Se dispara un proyectil con un ángulo de 37º por encima de la horizontal: El disparo se hace

desde un punto ubicado a 192 m del borde de un precipicio, el cual tiene una profundidad de 160 m, el proyectil pasa justamente dicho borde. a) Calcular la V0 con que fue lanzado el proyectil. (R 45 m/s) b) Hallar la distancia que separa el impacto del pie del precipicio. (R 126.55 m)

PROFESOR: ISMAEL OYARCE O. COLEGIO SUPERIOR DEL MAIPO – EDUCACIÓN MEDIA 5

9) Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50º y una velocidad inicial de 400 m/s sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1000 m existe una pared vertical. Calcular la altura del punto de la pared sobre el cual incide el proyectil. (R 1109.55 m)

10) Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 1200 m sobre el suelo con una velocidad de 200 Km/h, deja caer una bomba sobre un blanco situado en tierra. Determinar el ángulo agudo formado por la vertical y la línea que una el avión con el blanco en el instante en que abandona la bomba. (R 35.37)

11) Un avión vuela a 900 Km/h horizontalmente a 4 ½ Km de altura. ¿A qué distancia horizontal del objetivo debe lanzar la bomba para que pegue en el blanco?. ¿Bajo que ángulo?. (R 7500 m, 30.9)

12) Una pelota de fútbol americano es pateada con una velocidad inicial de 19.6 m/s con un ángulo de proyección de 45º. Un jugador en línea de meta, colocado a 54.7 m de distancia en la dirección por donde llega la pelota, corre en ese mismo instante hacia la pelota. ¿Cuál debe ser su velocidad para que pueda alcanzar la pelota antes de que ésta caiga al suelo? (R 6.24 m/s)

13) Encontrar el ángulo de disparo para el cual el alcance horizontal es igual a la máxima altura de un proyectil. (R 75.9)

14) Un cuerpo con rapidez inicial de 40m/s se dispara hacia arriba desde el nivel del piso, con un ángulo de 50º con la horizontal .Calcule: El tiempo que transcurre antes de que el cuerpo choque contra el piso. La distancia desde el punto de partida donde el cuerpo golpeara el piso. El ángulo medido respecto de la horizontal con que el cuerpo choca contra el piso. ( 6.3s , 161 m , 50º)

15) Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar: a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil? b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil? c) ¿Qué distancia hay entre el punto de lanzamiento y el punto de impacto? d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro? R.: a) 9,75 m; b)

10,2 m; c) 40,82 m; d) 1,41 s 16) Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un ángulo

de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar: a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco? b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué? c) ¿A qué distancia del arco caería por primera vez? R.: a) 1,41 s; b) No; c) 17,18 m

17) Un avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de provisiones a un grupo de exploradores extraviados. Si el avión viaja horizontalmente a 40 m/s. Y a una altura de 100 metros sobre el suelo. ¿Dónde cae el paquete en relación con el punto en que se soltó? (180,4 m Vy = 44,19 m/s Vx = 40 m/s)

18) Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar: a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil? 49,46 m/s b) Con la misma velocidad inicial ¿desde qué otra posición se podría ser disparado? 17 m

19) Un jugador de soccer patea una roca horizontalmente desde el borde de una plataforma de 40 metros de altura en dirección a una fosa de agua. Si el jugador escucha el sonido de contacto con el agua 3 seg. Después de patear la roca. ¿Cuál fue la velocidad inicial? Suponga que la velocidad del sonido en el aire es 343 m/seg. Use g = 9,8 m/s2. tVUELO = 2,86 s. 26,56 m/s. V0 = VX = 9,28 m/s.

20) Una pelota se lanza horizontalmente desde la azotea de un edificio de 35 metros de altura. La pelota golpea el suelo en un punto a 80 metros de la base del edificio. Use g = 9,8 /s2 Calcule a) El tiempo que la pelota permanece en vuelo 2,6726 s b) Su velocidad inicial 29,93 m/s c) Las componentes X y Y de la velocidad justo antes de que la pelota pegue en el suelo VX

= 29,93 m/s VY = - 26,19 m/s. V = 39,77 m/s. 21) Superman vuela al nivel de los árboles cuando ve que el elevador de la torre Eiffel empieza a

desplomarse (el cable se rompe), su visión de rayos X le indica que Luisa Lane está en el interior. Si Superman se encuentra a 1 km de distancia de la torre y el elevador cae desde una altura de 240 metros. ¿Cuánto tarda Superman en salvar a Luisa y cuál debe ser su velocidad promedio?. Use g = 9,8 m/s2. tVUELO = 7 seg. V0 = VX = 142,85 m/seg.

22) En un bar local, un cliente hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan a llenarlo. El cantinero esta momentáneamente distraído y no ve el tarro, el cual cae de la barra y golpea el piso a 1,4 metros de la base de la misma. Si la altura de la barra es 0,86 metros. Con que velocidad abandono el tarro la barra? Use g = 9,8 m/s2. 3,34 m/s

23) Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular: a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala? 2.038,74 m b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima? 1.732,05 m c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil? 3.464,1 m

24) Un futbolista patea una pelota que se encuentra en el pasto con un ángulo de 30° (medido desde la horizontal) con la intención de hacer un gol en un arco que se encuentra a 30 m desde su posición. Si la altura del arco es de 2 m (medido entre el pasto y el travesaño) y el jugador patea directamente en dirección al arco, ¿a qué velocidad debe patear la pelota para hacer el gol? ¿cuánto tiempo se demora la pelota en llegar al arco?

25) Una pelota es lanzada horizontalmente desde la azotea de un edificio de 50 m de altura y llega al suelo a 45 m de la base del edificio. ¿Cuál fue la rapidez inicial de la pelota?

26) Un avión que se desplaza a 350 km/h (manteniendo su altitud constante a 4000 m) debe dejar caer un paquete, para que sea recibido por un grupo que lo espera ansiosamente y que se encuentra en un lugar ubicado a 1000 m de altitud. ¿A qué distancia del grupo de personas (medida horizontalmente) debe dejar caer el paquete para que cumpla con el objetivo? ¿Cuánto tiempo demora en caer el paquete? ¿Con qué velocidad es recibido el paquete?

27) Un atleta de salto alto corre a 9,1 m/s justo antes de saltar con un ángulo de 75° hacia la barra horizontal que se encuentra a 1 m de su posición en ese instante (medido horizontalmente) ¿A qué altura está la barra si justo en el momento que pasa sobre ella se encuentra a la máxima altura que alcanza?