07. Proporciones y Semejanza

8/18/2019 07. Proporciones y Semejanza

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Proporciones y Semejanza 1

PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se

escribeb

a y se lee: a es a b.

PROPORCION: Es la igualdad de dos razones.d

c

b

a , y se lee: a es a b como c es a d. a y c

se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes.c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos.Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres.Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.

x

z

y

x , x es la media proporcional entre y z;

3

6

6

12 ; 6 es la media proporcional entre 12 y 3

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los

extremos es igual al producto de los medios.

210545

2

10

4; d cbad

c

b

a

2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra

proporción

5

15

7

21

21

15

7

5;

8

12

2

3

8

2

12

3;

a

c

b

d

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.

6

9

2

3

9

6

3

2;

c

d

a

b

d

c

b

a

4.10

24

5

12

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

d c

b

ba

d

c

b

a

5.10

4

5

2

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

d c

b

ba

d

c

b

a

6. k b

a

f d b

ecak

f

e

d

c

b

a


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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD.Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales enlos otros dos lados.

HIPOTESIS: DE AB A – D – C y B – E – C

TESIS: CD CE DA EB

1. Sobre CD se toman n segmentos

congruentes de longitud a y sobre DA setoman m segmentos congruentes delongitud a

1. Construcción

2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB 2. Construcción

3. En CE se determinan n segmentos s de

longitud b y en EB se determinan msegmentos congruentes de longitud b .

3. De 2. Teorema fundamental de lasparalelas

4. ; ; ;CD n a DA m a CE n b EB m b 4. De 1 y 3. Adición de segmentos

5.m

n

am

an

DA

CD

5. De 4

6.m

n

bm

bn

EB

CE

6. De 4

7. EB

CE

DA

CD

7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1:

CE

CB

DA

CA

COROLARIO 2:

EB

CB

DA

CA

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en losotros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración)


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TEOREMA DE THALESSi tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentosde una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.

HIPOTESIS: m n s t1 y t2 son transversales

TESIS: AB BC

DE EF

1. Trazamos1

DK t , tal que B – L – E y

C – K – F

1. Construcción

2. EL KF 2. De 1 y de hipótesis

3. KL

DL

EF

DE 3. De 2. Teorema fundamental de laproporcionalidad en DKF

4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición deparalelogramo

5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de unparalelogramo son congruentes

6. BC

AB

EF

DE

6. Sustitución de 5 en 3

7. DE

AB

EF

BC

7. De 6. Propiedad de las proporciones.

TEOREMAEn todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentosproporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A – D – B

TESIS: AD DB AC BC

1. Por B se traza BE , tal que BE DC ; 1. Construcción


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y BE AC se cortan en E

2.CE

DB

AC

AD

2. De 1. Teorema fundamental de lasproporciones en ABE

3. 3. De 1. Por ser alternos internos entreparalelas

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entreparalelas

5. 5. De Hipótesis. CD es bisectriz6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s seoponen lados congruentes

8. AD DB

AC BC


TEOREMA:La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación dellado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.

HIPOTESIS: CP es bisectriz delángulo exterior BCE

TESIS: AP BP

AC BC

1. Se traza BD PC , que corta a AC en D 1. Construcción

2. DC

AC

BP

AP

2. De 1. Teorema fundamental de laproporcionalidad en ACP

3. 3. De 1. Por ser alternos internos entreparalelas.

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entreparalelas

5. 5. De hipótesis. PC es bisectriz

6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se

oponen lados congruentes

8. BC

AC

BP

AP


9. BC

BP

AC

AP



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EJERCICIOS1)

DE AC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes)

649696

24

4 2 AB x x

x

x BC

BE

BA

BD

2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿ ED AC ?

Si fueran paralelas se debería cumplir que14 21

5 12

BA BC

BD BE , lo cual es falso porque no se cumple

que producto de medios es igual a producto de medios y

por lo tanto ED no es paralelo a AC

3)

TESIS:bc

ba EC

cb

ba DC

;

A continuación se da la demostración, colocar las razones


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bc

ba EC

babc EC

b

bc

EC

a

AC

AC AB

EC

EC BE

AC

AB

EC

BE

AC

EC

AB

BE

cb

ba DC

bacb DC

b

bc

DC

a

AC

AC AB

DC

DC BD

AC

AB

DC

BD

.11

)(.10

.9

.8

.7

.6

.5

)(.4

.3

.2

.1

SEMEJANZA DE POLIGONOS.Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que losángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

'; '; '; '; ' A A B B C C D D E E

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC CD DE EAk

A B B C C D D E E A

Donde k, se llama constante de proporcionalidad

Se escribe ABCDE A’B’C’D’E’; se lee: “semejante a “

SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma.En los triángulos semejantes se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes ylados correspondientes son proporcionales.


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; ; A D B E C F

AB AC BC

DE DF EF

La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple:1. Propiedad reflexiva: ABC ABC 2. Propiedad simétrica: ABC DEF DEF ABC 3. Propiedad transitiva: y DEF PQR, entonces ABC PQR ABC DEF

Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir atres

TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – ASi dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.

HIPOTESIS:; ; A R B S C T

TESIS: ABC RST

1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB ,

tales que yCD TR CE TS

1. Construcción

2. C T 2. De hipótesis3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L – A – L4. CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en

triángulos s5. R A 5. De hipótesis6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva

7. DE AB 7. De 6. Por formar con una transversalángulos correspondientes congruentes.

8. CB

CE

CA

CD

8. De 7. Teorema fundamental de la

proporcionalidad

9.CB

TS

CA

TR

9. Sustitución de 1 en 8.

10. De igual modo, tomando F y G en AB y

BC , tal que y BF SR BG ST ,

puede demostrarse que

10.


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AB CB RS TS

RS TS AB CB (hágalo)

11. AB

RS

CB

TS

CA

TR

11. De 9 y 10

12. ; ; A R B S C T 12. De hipótesis

13. ABC RST

13. De 11 y 12. Definición de triángulossemejantes.

COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes(A – A)

COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entoncesson semejantes.

COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la mismarazón que la de dos lados correspondientes.

ST

BC

RS

AB

RT

AC

TH

CE

COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro

triangulo semejante al primero.

Si DE AB , entonces ABC DEC

TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – LSi en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos

comprendidos entre ellos son congruentes, entonces lostriángulos son semejantes.

HIPÓTESIS:CA CB

NE NL

C N TESIS: ABC ELN


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1. En CA y en CB , existen los puntos D y

E tales que yCD NE CE NL

1. Construcción

2. C N 2. De hipótesis3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L – A – L

4. NL

CB

NE

CA

4. De hipótesis

5.CE

CB

CD

CA


6. DE AB 6. De 5. Reciproco del teorema fundamentalde la proporcionalidad

7. CDE ABC 7. De 6. Una recta paralela a un lado de untriangulo, determina un triangulo semejanteal primero.

8. ABC ELN 8. Sustitución de 3 en 7.

COROLARIO

Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos sonsemejantes.

EJERCICIO

HIPÓTESIS: , , AF BD CE son alturas.

TESIS: ABC FCD FEB ADE

1. C C 1. Propiedad reflexiva2. CFA yCDB son rectángulos 2. De hipótesis. Definición de altura3. CFA CDB 3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudo

congruente

4. AC

BC

CF

CD

4. De 3. Si son semejantes los ladoscorrespondientes son proporcionales

5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A –

L6. A A 6. Propiedad reflexiva7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura.8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo

congruente

9. AE

AD

AC

AB

9. De 8. Por ser lados correspondientes detriángulos semejantes

10. ABC ADE 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L – A – L


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11. B B 11. Propiedad reflexiva12. AFB y CBE son rectángulos 12. De hipótesis. Definición de altura y de

triangulo rectángulo.13. AFB CBE 13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo

congruente.

14. FB

EB

AB

CB

14. De 13. Por ser lados correspondientes en

triángulos semejantes.15. ABC FEB 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva

NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal.

TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – LSi en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulosson semejantes.

HIPOTESIS: EF

BC

DE

AB

FD

CA

TESIS: ABC DEF

1. En CA existe un punto G, tal que

CG FD y en CB existe H, tal que

CH FE

1. Construcción

2. Se traza GH 2. Construcción

3. EF

BC

FD

CA

3. De hipótesis

4. GH AB 4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de laproporcionalidad

5. CGH CAB 5. De 4. Una recta paralela a un lado de untriangulo determina un triangulo semejante alprimero.

6.GH

AB

CG

CA

6. De 5. Los lados correspondientes son

proporcionales

7.GH

AB

FD

CA


8. DE

AB

FD

CA

8. De hipótesis.

9. DE

AB

GH

AB



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10. DE

GH

AB

AB


11. 1 GH

GH DE DE

11. De 10.

12. CGH DEF 12. De 11 y 1. L – L – L13. ABC DEF 13. Sustitución de 12 en 5.

COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un catetorespectivamente proporcionales, entonces son semejantes.COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquier respectivamentecongruente, entonces son semejantes.

EJERCICIOS RESUELTOS

DATOS: ABC es rectángulo en C DEA es rectángulo en E

HALLAR el valor de x.

ABC DEA por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A)

81602020

10

16 x x

x

2)

HIPÓTESIS: A CBDTESIS: AD DC BD 2

1. A CBD 2. 1. De hipótesis3. D D 3. Propiedad reflexiva4. ADB BDC 4. De 1 y 2. A – A

5. BD

DC

AD

BD

5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulossemejantes

6. AD DC BD 2 6. De 4. Propiedad de las proporciones.


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3)

HIPOTESIS:y son medianas

ABC HFE

AD HL

TESIS: AD BC HL FE

1. B F 1. De hipótesis. ABC HFE

2.

FL FE FE

FL

BD BC BC

BD

22

22

2. De hipótesis. D y L son puntos medios

3. FE BC

HF AB 3. De hipótesis. Los lados correspondientes entriángulos semejantes son proporcionales

4. FL

BD

HF

AB

2

2


5. FL

BD

HF

AB

5. De 4. Simplificación

6. ABD HFL 6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L

7. HF

AB

HL

AD

7. De 6. Lados correspondientes en triángulossemejantes son proporcionales

8. FE

BC

HF

AB

8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos

semejantes9.

FE

BC

HL

AD

9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente,entonces son semejantes.

HIPÓTESIS: A D

ABC es isósceles con CA CB

DEF es isósceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hipótesis

2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ánguloscongruentes.

3. FD FE 3. De hipótesis

4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen


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ángulos congruentes.5. A D 5. De hipótesis6. A B D E 6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva7. ABC DEF 7. De 6. A – A

II CASO:

HIPÓTESIS: C F

ABC es isósceles con CA CB

DEF es isósceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hipótesis

2. m ( A) = m ( B) 2. De1. En un triangulo a lados

congruentes se oponen ánguloscongruentes

3. m ( A) + m ( B) + m ( C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulosinteriores es 180º

4. 2m( A) + m( C) = 180º 4. Sustitución de 2 en 3

5. FD FE 5. De hipótesis.

6. m ( D) = m ( E) 6. De 5. Ver la razón 2.7. m ( D) + m ( E) + m ( F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos

interiores es 180º8. 2m ( D) + m( F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 79. 2m( A) + m( C) = 2m ( D) + m( F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva10. m ( C) = m ( F) 10. De hipótesis11. 2m ( A) + m ( C) = 2m ( D) + m ( C) 11. Sustitución de 10 en 912. 2m ( A) = 2m ( D) 12. De 11. Propiedad cancelativa.13. m ( A) = m ( D) 13. De 1214. ABC DEF 14. De 13 y 10. A – A

4) Se da un triangulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto

medio de CA . Demostrar ABC NMP . AYUDA: Demostrar que CMPN es unparalelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.Demostrar que MNPA es un paralelogramo y recordar que en un paralelogramo los ángulos

opuestos son congruentes.


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RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMASi dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de lossegmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E

TESIS: AE EB DE EC

DEFINICIÓN: SEGMENTO DE UNA SECANTE

BC : Segmento externo de la secante

AB : Segmento interno de la secante

TEOREMA:Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferenciala medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y susegmento externo.

HIPÓTESIS: PA Tangente.

PC secante a la circunferencia y la corta enB y C.

TESIS: PA

PB

PC

PA

1. Se trazan AC y AB 1. Construcción

2.

2

m arcoABm C

2. Por ser un ángulo inscrito.

3.

2

m arcoABm BAP

3. Por ser un ángulo semiinscrito.

1. Se trazan y AD CB 1. Construcción

2. C A 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC4. CEB AED 4. De 2 y 3. A – A

5. DE

EB

AE

CE

5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes

6. DE CE EB AE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.


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4. m( C) = m( BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva.5. m( P) = m( P) 5. Propiedad reflexiva6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A – A

7. PA

PB

PC

PA

7. De 6. En triángulos semejantes los ladoscorrespondientes son proporcionales

TEOREMA:Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto deuna secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su

segmento exterior.

HIPÓTESIS: PA y PC son secantes

PA corta a la circunferencia en B y A

PC corta a la circunferencia en D y C

TESIS: PA PB PC PD

La demostración se deja como tarea.

EJEMPLO

Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x – 4

40)42(4584)4(

x x x

DC AD DB FD

Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7

PROYECCIONES:La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a larecta.

La proyección de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido delas proyecciones de los extremos del segmento.


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CD es la proyección de AB sobre recta m EL es la proyección de EN sobre la recta n

La proyección de AC sobre AB es AH (sobre la

prolongación de AB )

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO

TEOREMA DE PITAGORAS:En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de los catetos.

HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C; ; AB c BC a AC b

TESIS: c2 = a2 + b2

1. Se traza la altura CH sobre lahipotenusa.

1. Construcción

2. El complemento de es A 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulorectángulo CHA

3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos deltriangulo rectángulo CHA

4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A


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5. CHA CHB 5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudocongruentes.

6. A A 6. Propiedad Reflexiva.7. CHA ABC 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo

agudo congruente8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva.

9.b

c

m

b 9. De 8. Por ser lados correspondientes en lostriángulos ABC y CHA

10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones

11.a

c

n

a

11. De 8. CHA ABC CHB

12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adición de 10 y 1214. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor común15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adición de segmentos.

COROLARIOS:

1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dostriángulos semejantes entre si y semejantes al original.

2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos quedetermina sobre ella.

3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la

hipotenusa5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.

AB

CB

AC

AH

6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos elcuadrado del otro cateto.

TEOREMAEn cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al

producto de otro lado por su altura correspondiente.

HIPÓTESIS: CE altura sobre AB , AD altura sobre

CB , CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a

TESIS:21 hahc


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1. y CEB ADB son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura

2. B B 2. Propiedad reflexiva3. CEB ADB 3. De 1 y 2. Por ser triángulos rectángulos con un

ángulo agudo congruente

4.2

1

h

h

c

a

4. De 3. Lados correspondientes en triángulossemejantes son proporcionales

5.21

hahc 5. De 4. Propiedad de las proporciones

TEOREMAEn un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de losotros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

HIPÓTESIS: ABC es acutángulo.

AD = m, proyección de AC sobre AB

DB = n, proyección de BC sobre AB

TESIS: 2 2 2 2a b c cm

1. a2 = h2 + n2 1. Pitágoras en CDB 2. a2 = h2 + (c – m)2 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos.3. a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 3. De 2. Algebra4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. a2 = b2 + c2 – 2cm 5. Sustitución de 4 en 3.

TEOREMA:En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyeccióndel otro sobre el.

TESIS: BDccab 2222 La demostración se deja como tarea.


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TEOREMA DE LA MEDIANAEn un triángulo, el cuadrado de la medida de la mediana trazada sobre un lado es igual a lasemisuma de los cuadrados de los lados que salen del mismo vértice de la mediana menosla mitad del tercer lado al cuadrado.

HIPÓTESIS: CD es la mediana sobre el lado AB ; ; ; ;CD x AC b BC a AB c HD n

TESIS:2 2

2 2( )2 2

a b c x

Si el ángulo CDB es obtuso, entonces el ángulo CDA es agudo

En el triángulo CDB, tenemos que2

2 2 2 2 2( ) 2( ) (1)

2 2 4

c c ca x n a x cn por el teorema

del triángulo obtusángulo

En el triángulo CDA, tenemos que2

2 2 2 2 2( ) 2( ) (2)2 2 4

c c cb x n b x cn por el teorema

del triángulo acutángulo

Sumando las igualdades (1) y (2) llegamos a:2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2

c ca b x a b x

Pasando el 2 a dividir al lado izquierdo, llegamos a

2 2 22

2 22 2

2 4

( )2 2

a b c x

a b c x

DEFINICIÓN: Se llama ceviana en un triángulo al segmento de recta que une un vértice deun triángulo con un punto del lado opuesto del triángulo, por ejemplo la mediana es unaceviana muy especial, puesto que va al punto medio del lado opuesto.

D es un punto cualquiera del lado AB del triangulo

CD es una ceviana


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EJERCICIOS RESUELTOS1)

TESIS: 2222 mnba DEMOSTRACION:1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitágoras en CDB 2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitágoras en CDA 3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2.4. a2 - b2 = n2 – m2 4. De 3. Álgebra.

2)HIPÓTESIS: ABC cualquiera

CE h es alturaCD d es mediana

n es la proyección de CD sobre AB CDA es obtuso

A – D - E – B

TESIS: ncab 222

DEMOSTRACION:

1. AD = DB =2

c

.1. De hipótesis D es punto medio pordefinición de mediana

2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones métricas en el trianguloobtusángulo ADC

3. ncd c

bnc

d c

b

2

222

2

2

422

2


4. a2 = (DB)2 + d2 – 2(DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo

acutángulo DCB5. ncd

can

cd

ca

2

222

2

2

422

2


6. ncab 222 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.


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3)HIPÓTESIS: CAB rectángulo en A

; ;

; ; ;

AD CB DF AB DE CA

CE p FB q AC b AB c

TESIS:q p

cb 3

3

1.

En :CDA AE p DE DE

p

AE

DE

2 1. En un triangulo rectángulo la altura sobrela hipotenusa es media proporcional entrelos segmentos que determina sobre ella.

2. En : ADB AF Q DF DF

q

AF

DF

2 2. En un triangulo rectángulo la altura sobrela hipotenusa es media proporcional entre

los segmentos que determina sobre ella.

3. AF q

AE p

DF

DE

2

2

3. División de 1 y 2.

4. DE FA 4. De hipótesis por ser perpendiculares a lamisma recta AC.

5. CA DF 5. De hipótesis por ser perpendiculares a lamisma recta AB

6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo.7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados

opuestos son congruentes

8.q p

DF DE

q p

DF DE

DE q DF p

DF DE

3

3

3

2

2

8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra.

9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectángulo los ángulosagudos son complementarios

10. El complemento de 2 es 1 10. En un triangulo rectángulo los ángulosagudos son complementarios

11. 3 2 11. De 9 y 10. Por tener el mismocomplemento.

12. ADB ADC 12. De 11. Triángulos rectángulos con unángulo agudo congruente.

13. c

b

DF

DE

13. En dos triángulos semejantes la razón

entre dos alturas correspondientes es igual ala razón de dos lados correspondientes.

14.q

p

c

b

q

p

c

b

3

33



23/41


4)

HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en eltriangulo.

; ; ; AH h BC a AB c AC b

AH es altura; B – F – H – L – C

TESIS: xha

ha

Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes larazón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.

5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la

altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que:222

111

z y x

EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LACIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.

1.

HIPÓTESIS: CD es bisectriz de ACB

; AP CD BQ CD

C – P – D – Q

TESIS: AD DB

AC BC

NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de labisectriz interior de un ángulo de un triangulo.

2.

DE AC a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DBb. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CBc. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB

3.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD . Las diagonalesse cortan en O.

TESIS:OC OA

OD OB


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4.

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

; EF CB ED AC

TESIS: AD EF ED BF

5.

HIPOTESIS: A – D – B; CD es bisectriz de ACB

2m ACB m A ; ; AC b AB c BC a

TESIS: 2c a ab

6.HIPÓTESIS: A CBD

TESIS: AB AD

CB DB

7.HIPÓTESIS: B F

CAB EHF

AD y HL son medianas

TESIS: AD BC

HL FE

8.

Si QR MN completar:

) b) c)

) e) f)

PM PQ QM a

PQ PM PM

PR PQ PN d

RN PR PM

9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de untriángulo dado es semejante al triangulo dado.


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10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudesde los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestarla misma pregunta para el caso del ángulo menor.

11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de

triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.

12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y

a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional

entre EG y EF .

13. Se da un triangulo rectángulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrarque: AC2 – BC2 = AD2 – BD2

14. Para cuales conjuntos de longitudes será ED AC

15.HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C

EFHD es un cuadrado

TESIS: EDA CHD FBH

16.

HIPÓTESIS: y AE BD son alturas

TESIS: 1) AEC BDC 2) ACB ECD 3) AC DC BC CE


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17.

HIPÓTESIS: ; ; ; DF AB CB AB CE DF AC CD

TESIS: 1) DEC ABC

2) AB DC

DE

AC

18.

HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF

DE CF ; C – B – F

TESIS:CB DE

AC AE

19.

HIPÓTESIS:

rectangulo en A

bisectriz de CAB

;

ABC

AD

EB AD

AC b AB c

TESIS:

2

2

BE c

b c AD

b c

20.HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A

AF es bisectriz

KB AF

TESIS:2b c

AF b c

21.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

; MF AD ME AB ; A – M – C

TESIS: ME AD

MF AB

AYUDA: Trazar y ML AB HM AD


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28/41


27.

DATO: CAD CBA

HALLAR el valor de x.

28.

29.

AC es bisectriz de DAB .24; 25; 20; 16; ? AD AB AE BE DC x

30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD .CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC.

31.


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32.

33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:

CDB BDA es un diametro

es tangente en A

AD

BA

34.HIPÓTESIS: AB es un diámetro

A – O – B – D

DE DA

TESIS: ADE ACB

35.

36.Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante

que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que 2

PT PS PR


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37.Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que 3 AC AD . Se

traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB

en F. Demostrar que DE EF

38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que

2CA CB AD DB CD

SOLUCIÓN DEL 38: Colocar las razones.

1. ACD PCB2. A P3. ADP PBC

4.

2

CA CDCA CB CD CP

CP CB

CA CB CD CD DP CA CB CD CD DP

5. CD DP AD DB

6. 2CA CB CD AD DB

39.

ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de loscuatro ángulos del rectángulo.1) Demostrar que EFGH es un cuadrado

2) Si 7 2 AB cm y 3 2 BC cm . Hallar el perímetro delcuadrado EFGH

40.Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por unpunto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El

segmento divide a los lados en la razón2

3. Calcular la longitud del segmento.

Se traza AC que corta a EF en R.2

3

DE CF

EA FB de hipótesis


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12 12 12 2

3

AD ER AD EA ER DE ER DC ADC AER

ER EA ER EA ER EA

Resolviendo12 2

3

ER

ER

, se tiene que36

5 ER

20 20 20 2

3

BC RF BC FB RF CF RF AB ABC RFC

RF FB RF FB RF FB

Resolviendo 20 2

3

RF

RF

, se tiene que 12 RF

De donde se tiene que36 96

125 5

EF

41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulode modo que CPD = 90° y CP = DP . Hallar la longitud de PA.

42.Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD .Hallar la distancia de M a la recta AC

43.Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD que cortaa AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que formanel ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos

determinados por ella sobre el lado AB . AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y después que CDA BDE . Tener en cuenta que CE = CD + DE.

44.

O es el centro de la circunferencia, AB es un diámetro y M unpunto de la prolongación de AB , se trazan las tangentes MN y MP a la circunferencia, la cuerda NP corta al diámetro en

C. Demostrar queCA MA

CB MB

Demostración: Se trazan los segmentos AN y NB. (Construcción auxiliar)


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1.m(arco NB)=m(arco BP) 1. De hipótesis, si una recta que pasa por el centrode una circunferencia es perpendicular a unacuerda, entonces biseca a la cuerda y al arco

2. ( )

( )

2

m arcoBP m CNB


3.( )

( )2

m arcoNBm BNM


4. CNB BNM 4.De 1, 2 y 3, propiedad transitiva

5.NB es bisectriz de CNM 5.De 4 definición de bisectriz

6.CB MB

CN MN

6.De 5, teorema de la bisectriz interior de un ángulode un triangulo.

7.El triangulo ANB es rectangulo 7.De hipótesis, por estar inscrito en unasemicircunferencia.

8.NC es altura sobre la

hipotenusa.

8.De hipótesis.

9. CAN CNB 9.De 8, en un triangulo rectángulo la altura sobre lahipotenusa determina dos triángulos rectángulossemejantes.

10.CA CN AN

CN CB BN

10.De 9, lados correspondientes en triángulossemejantes

11. ( )

( )2

m arcoNBm NAM

11.Por ser un ángulo inscrito

12. ( ) ( )m NAM m BNM 12.De 11 y 3, propiedad transitiva13. NMA NMA 13. Propiedad reflexiva14. ANM NBM 14.De 13 y 12, A-A

15. AN MA MN

BN MN MB 15. De 14, lados correspondientes en triángulossemejantes

16. De 6:CN MN

CB MB

16. Propiedad de las proporciones

17. AN MA MN CN

BN MN MB CB

17. De 15 y 16, propiedad transitiva

18. AN MA MN CN CA CN

BN MN MB CB CN CB

18. De 17, 16 y 10, propiedad transitiva

19.MN CA

MN CN MB CAMB CN

19. De 18 y propiedades de las proporciones

20.MA CN

MN CN MA CBMN CB

20. De 19 y propiedades de las proporciones

21.MA CA

MA CB MB CAMB CB

21. De 19 y 20, propiedad transitiva y algebra


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45.CD = 9 cm., DB = 16 cm., AD = x, AB es un diámetroHallar el valor de x

46.T es un punto de tangencia

AB = 4 cm., BD = 12 cm., A – B – D AT = x . Hallar el valor de x.

47.MB = x, AB = 3x, CM = 5 cm., NB = 3 cm.Hallar el valor de x.

48. AM = 4 cm., MN = 5 cm., AB = x, AB = BC, CD = 2x, TD = aCalcular el valor de a y de x.

49. ABCD es un rectánguloM es el punto medio del lado AB

CE DM DE = 4 cm., EM = 3 cm., EC = xHallar el valor de x

AYUDA: Trazar CM


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50.Triangulo ABC rectángulo en C

CH es altura sobre la hipotenusa

AM MD HD = 2 cm., DB = xHallar el valor de x.

51.M es el punto medio del lado AB

AB = 12 cm., AC = 6 cm., CB = 8 cm.,HM = xHallar el valor de x

52. Hallar el valor de x, el ángulo ACB es obtuso

53.Los lados de un triángulo acutángulo, miden 13, 14 y 15 cm., hallar el valor de la alturarelativa al lado que mide 14 cm.

54.Los lados de un triángulo, miden 3, 8 y 10 cm., hallar el valor de la mediana relativa allado que mide 10 cm.

55.Demostrar el teorema de Apolon io

HIPÓTESIS: CM es mediana

36.TESIS:2

2 2 22( )2

c

c a b m


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56. ABCD es un rectángulo, DF = 7, FE = 3, CF = x, E es punto medio, hallar el valor de x

57.Triángulos ABC y AEF son rectángulos, E es puntomedio de la altura BD , B – E – D, DF = 2, FC = x.hallar el valor de x

58.

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de centro

D, CE es una altura. Demostrar que Ayuda: Observar que y A CDB subtienden el mismoarco CB.

59.

El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia decentro D, CE h es una altura. Demostrar que AEC FBC y que (2 )a b h R Donde R es el radio de la circunferencia


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60.

HIPÓTESIS:

es la bisectriz de

AB BC

BD AC

BE DBC

TESIS: es isóscelesBEA

61.En el ejercicio anterior si tenemos que , 4, 5 AD x DE EC Hallar el valor de x62.

4; ; 6; 8;

Hallar el valor de x y de a

AB BC x AD DE FD DB BG a

63.

Hallar el valor de x, si es mediana

9; 13; 2

CD

AC BC CD AB x

64.En una circunferencia de centro K, se traza la cuerda AB , se toma un punto C sobre

AB , de tal manera que 4 . AC CK cm Si 9 . AB cm Hallar BK

65.Se da un triángulo ABC, con 8 . AB cm y la altura 6CD cm E es punto medio de AD y F

es el punto medio de BC Calcula la longitud del segmentoEF.


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SOLUCIÓN:

Por E se traza una paralela a la altura CD y corta al lado AC en

G, G será punto medio de AC puesto que nos dicen que E es

punto medio de AD del triángulo ADC y hay un teorema que diceque si se traza una paralela a un lado de un triángulo por el puntomedio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado.

63

2 2

CD EG Por el teorema de la paralela media en un

triángulo.

Trazamos el segmento GF y se tiene que8

42 2

ABGF y

GF AB por el teorema de la paralela media en un triángulo¿porqué?CDA GEA y también ¿porqué? EGF GEA y

como el ángulo CDA es recto por definición de altura, entonces eltriángulo EGF es rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras

en este triángulo, se llega a 5 EF

66.Se inscribe un triángulo equilátero en una circunferencia de radio R. Se traza la cuerda

PN que corta a BC en Q y a AC en M, tal que y MN 2 2 BC PN PQ . Hallar el radiode la circunferencia

SOLUCIÓNSea 2 y MB a AM b

1 y 2QP MN ( ) 60 ( ) 30m B m QMB QB a

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo

rectángulo MQB se tiene que 3 MQ a Por el teorema de las cuerdas tenemos que AM MB NM MP 2 2( 1)

2 2( 3 1) 3 1 (1)

ab MQ

ab a ab a

2 AB BC a b (Por ser el triángulo ABC equilátero), entonces CQ a b puesto queQB a Por el teorema de las cuerdas tenemos queCQ QB NQ QP

2( ) (2 3) 1

2 3 (2)

a b a a

a ab a

Reemplazando la igualdad (1) en (2), tenemos que2

2 2

3 1 2 3

1 2 =1 1

a a a

a a a

Reemplazando este valor en la igualdad (1), tenemos que

1 3 1b y por lo tanto 2(1) 3 1 2 3 AB BC CA


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Y como el lado de un triángulo rectángulo es igual a 3 R

Tenemos que:2 3

2 3 33

R R

Racionalizando queda2 3 3

3 R

67.En un triángulo ABC se tiene que 8; 10; 12 AB BC AC . Se traza la ceviana BR , talque 3 RC . Calcular la longitud de la ceviana BR. (Ayuda, aplicar el teorema de Stewart)

68.Los lados de un triángulo son 17, 13; 24. AB AC BC Si los puntos M y N dividen al lado

BC en tres segmentos congruentes, hallar las longitudes de las cevianas AM y ANSolución:

; AM x AN y

Aplicamos el teorema de Stewart2 2 2

2

2

2

(17) 16 (13) 8 24 24 8 16

5976 24 3072

2904 24

121 11

x

x

x

x x

Aplicar nuevamente el teorema de Stewart para hallar elvalor de la ceviana AN


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69.Se da un triángulo ABC, , ,CD AE BF son las medianas del triángulo, si

15; 12; 9CD BF AE , hallar la longitud del lado AB del triángulo.

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llamabaricentro y aplicando un teorema ya demostrado, tenemos que:

2

10 53

28

3

26

3

CG CD GD

GB BF

GA AE

GD es mediana en el triángulo AGB y por el teorema de la longitud de la mediana,tenemos:

2 22 2

22 22

2 2

2

( )2 2

6 852 4

25 50 25 1004 4

10

GA GB ABGD

AB

AB AB AB

AB

70.

El triángulo ABC es rectángulo en C, CD es una

altura, BC BE , CB BE Demostrar

1)2)

3) es bisectriz de CDB

ACF EFB

ADC CDB

DF


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DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( )2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes opuestos son congruentes. ( )3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados

correspondientes son congruentes. ( )4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ánguloscorrespondientes son congruentes. ( )

5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente.6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los

segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( )7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( )8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al

tercer lado. ( )9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes.10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( )11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad

del tercer lado. ( )12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados

correspondientes. ( )13. Triángulos congruentes son semejantes. ( )14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes.15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( )

COMPLETAR:

1. Si d

aentoncesd cba ,,

2. La media proporcional entre 9 y 16 es:3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es:

4.

xentoces x

x,,

3

4

4

3

5. ,1

53

2

83

x

x

x

xentonces el valor de x es:

6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP , entonces NP es la media proporcional entre _____________ y MP.

7. La igualdad de dos razones se llama ____________________8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es

________________ cm.9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la

hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto.10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos

_______________11. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus

______________________ sobre la hipotenusa.12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos

triángulos semejantes entre si y semejante al ___________________________________________


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13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.

14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________y su ____________________________ sobre ella.

15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________

correspondiente.16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

07. Proporciones y Semejanza

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