CLASES 2,3 Y 4: RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES, EL MODELO DE REGRESIN LINEAL Y LOS ESTIMADORES DE MNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOEficiencia: El estimador de MCO deja de ser eficiente (el estimador MCO sigue siendo insesgado, pero ya no es el de mnima varianza), por lo que se buscar la estimacin por Mnimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF) con matrices de covarianzas consistentes. Es posible trabajar con MCG?

Inferencia: Los errores MCO son incorrectos, por lo que los intervalos de confianza y las pruebas de hiptesis son erradas.

Mxima Verosimilitud: el estimador de MCO ya no ser igual al estimador de MV.

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCO1. PROBLEMAS CON LA INFERENCIASi existe heteroscedasticidad, la frmula convencional de la varianza del vector de estimadores de MCO cambia.

Entonces, la inferencia se distorsiona si se usa el estimador MCO convencional y no el correcto:

El estimador MCO convencional, , es sesgado respecto al estimador correcto MCO :

s2 es sesgado.Se tiene que:

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOSi es posible identificar la presencia de heteroscedasticidad, el modelo relevante es el MRL General (MRLG); usar: MCG. Sin embargo, suele suceder que no se conoce la forma poblacional de la heteroscedasticidad.Por ello, no es posible encontrar una transformacin adecuada de los datos para eliminar el problema.Entonces, dado que no es posible calcular los estimadores MCG se utilizan los de MCO correctos.Si no es posible identificar la heteroscedasticidad, lo natural es seguir usando MCO en la estimacin e inferencia.2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOPara seguir usando MCO en la inferencia , es necesario encontrar un estimador consistente de la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones heteroscedsticas:

cuya forma general sera:

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOCuando es desconocido , se utiliza el estimador de White o Matriz de White, que es un estimador consistente de .

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCO2. INEFICIENCIA DEL ESTIMADOR CORRECTO DE MCOSin embargo, cuando existe heteroscedasticidad, el estimador MCO correcto no es el ms eficiente dentro del grupo de estimadores lineales e insesgados.Los Estimadores de Mnimos Cuadrados Generalizados (MCG):

son MELI, pues:

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOPor qu los estimadores MCG son ms eficientes?Utilizan la siguiente informacin: si una perturbacin es grande, se debe a que la varianza de la misma es grande y positiva.MCG minimiza la suma ponderada de los residuos al cuadrado: se le da menor peso a las perturbaciones que se espera que sean grandes porque su varianza es grande.Los pesos estn determinados por los elementos de la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones.2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCOCuando se cumplen SC1, Sc2, SC3, SC4 (aim>), SC5 (con conocido) utilizar MCG.

Sin embargo, en la prctica no se conoce , por lo tanto debemos obtener un estimador de esta matriz y obtener el estimador MCGF.

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCO3. EFICIENCIA ASINTTICA Y MXIMA VEROSIMILITUD. Bajo el supuesto que la distribucin de los trminos de perturbacin no esfricos es normal, se obtiene que:Los estimadores convencionales MCO no son estimadores de MV.Los estimadores pendiente MV son iguales los estimadores MCG. Por ello, los estimadores MCG son asintticamente eficientes.

2. PROBLEMAS CON LOS ESTIMADORES MCO3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMAPara esto, se utilizan las denominadas pruebas o contrastes de Heteroscedasticidad. Los ms importantes y usados son:Inspeccin Visual de los Residuos.Se utiliza para determinar si: Grfico de dispersin de los residuos elevados al cuadrado: Un variable que se sospecha como causante de la heterocedasticidad. Se incrementa o disminuye la dispersin.Una combinacin de regresores, sospechosos de generar la heteroscedasticidad.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMA(1)Test de Goldfeld-Quandt (1965)Para el caso proporcional, se ordenan los datos de menor a mayor considerando los valores de la variable que posiblemente genere la heteroscedasticidad.Se extrae un nmero de observaciones centrales tal que. dos submuestras restantes tengan el mismo tamao. Se estima por separado cada submuestra y se calculan las respectivas Sumatoria de cuadrados de residuos (SCR).Se construye un estadstico F = [SCR2]/[SCR1], que debera ser cercano a uno si existe homocedasticidad.3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMALa Hiptesis nula del test de Goldfeld-Quandt es que los trminos de perturbacin son homocedsticos.

Nota: para aplicar este test es necesario tomar en cuenta la ordenacin de los datos!

El programa GyQ contiene el cdigo para llevar a cabo este test. Los resultados sugieren que rechazamos la hiptesis nula de homocedasticidad.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMA(2) Test de Breusch-Pagan (1979): permite evaluar la hiptesis de que la varianza sea funcin de una combinacin lineal de variables conocidas.Es un contraste general: no requiere un conocimiento previo de la forma funcional.

Se realiza la regresin auxiliar de los residuos de la ecuacin original estimada contra . Se divide la SCE de esta regresin auxiliar entre para obtener el estadstico LM que tiene una distribucin Ji-Cuadrado con z grados de libertad.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMA(3)Test de White (con y sin trminos cruzados; White, 1980) permite evaluar la hiptesis de que la varianza sea funcin de una combinacin lineal de variables conocidas.Es un contraste general: no requiere un conocimiento previo de la forma funcional.

Se estima el modelo:

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMASe realiza la regresin auxiliar de los residuos de la ecuacin original estimada contra todos los posibles productos cruzados de regresores (no redundantes):

El estadstico de White es igual a , donde el es el indicador de bondad de ajuste centrado de la regresin auxiliar. Este estadstico se distribuye como Ji-Cuadrado con grados de libertad igual al nmero de coeficientes pendiente menos la constante en al regresin auxiliar. Tambin se construye un LM.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMA(4) Test ARCH-LM (heteroscedasticidad condicional; Engel, 1982). La hiptesis nula es de homocedasticidad y la alternativa es de heteroscedasticidad.

Se realiza la regresin auxiliar de los residuos de la ecuacin original estimada contra los rezagos hasta el orden q de los residuos al cuadrado:

El estadstico de White es igual a , donde el es el indicador de bondad de ajuste centrado de la regresin auxiliar. Este estadstico se distribuye como Ji-Cuadrado con q grados de libertad. Tambin se construye un LM.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMATest de Harvey (1966): similar al test de BPG, sin embargo se diferencian en la forma funcional de la heterocedasticidad. En este caso se parte de un modelo no lineal.

Se realiza la regresin auxiliar de los residuos de la ecuacin original estimada contra . Se divide la SCE de esta regresin auxiliar entre ssvv para obtener el estadstico LM que tiene una distribucin Ji-Cuadrado con z grados de libertad.

3. IDENTIFICACIN DEL PROBLEMATest de Glesjer (1969):

Regresin auxiliar: valor absoluto de los residuos como funcin de una combinacin lineal de variables conocidas . Goldfeld y Quandt (1972), proponen un test de Glesjer alternativo, usando la varianza estimada a travs de la SCR de MCO. Se divide el indicador de bondad de ajuste por y se distribuye como Ji-Cuadrado con z grados de libertad.

4. POSIBLES SOLUCIONESDos posibles soluciones:Solucin prctica: estimar por MCO, pero hacer inferencia utilizando la matriz de White. Solucin tericamente ptima: Estimar por MCG y calcular MCGF.4. POSIBLES SOLUCIONES1. Estimar por MCO, pero hacer inferencia utilizando la matriz de White. Esto genera estimados consistentes de los errores estndar de MCO. Los estadsticos t y F son vlidos slo asintticamente. Sin embargo, es posible evaluar hiptesis lineales a travs del contraste de Wald. A pesar de ser insesgado y consistente, el estimador correcto MCO sigue siendo ineficiente.4. POSIBLES SOLUCIONES2. Estimar por MCG y calcular el estimador MCGFLa metodologa MCG genera estimadores eficientes. Sin embargo, calcular el estimador MCGF es muy complicado porque se requiere conocer la forma estructural de la heteroscedasticidad, lo cual muchas veces no es factible.Incluso, si fuera posible encontrar el estimador MCGF, este estimador ya no es lineal ni insesgado. Sus propiedades en muestras pequeas son desconocidas. 4. POSIBLES SOLUCIONESPara resolver el problema de estimacin de la matriz de var-cov, se asume alguna forma especfica de heteroscedasticidad que reduzca el nmero de parmetros a estimar en la matriz: En este caso, la matriz de var-cov es:

El modelo tiene k+n parmetros a estimar, lo cual no es posible con n observaciones.

4. POSIBLES SOLUCIONESPor ello se hacen supuestos como: , con lo cual la matriz de varianzas y covarianzas sera igual a:

En este caso los parmetros a estimar se reducen nuevamente a k+1 (k parmetros y un trmino poblacional desconocido).

4. POSIBLES SOLUCIONESLa transformacin adecuada se obtiene dividiendo cada observacin (incluyendo la constante), por la raz cuadrada de la varianza estimada del trmino de perturbacin.NOTAS: El problema de Heteroscedasticidad se presenta bsicamente en estimaciones que utilizan datos de corte transversal. Sin embargo, es posible encontrar heteroscedasticidad condicional en series de tiempo (procesos ARCH).

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey

F-statistic2.699881Prob. F(1,36)0.1091

Obs*R-squared2.651054Prob. Chi-Square(1)0.1035

Scaled explained SS3.530612Prob. Chi-Square(1)0.0602

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2

Method: Least Squares

Sample: 1 38

Included observations: 38

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C1174688.725862.71.6183330.1143

GDP8.1456464.9573921.6431310.1091

R-squared0.069765Mean dependent var1964363.

Adjusted R-squared0.043925S.D. dependent var3429450.

S.E. of regression3353285.Akaike info criterion32.93998

Sum squared resid4.05E+14Schwarz criterion33.02616

Log likelihood-623.8595Hannan-Quinn criter.32.97064

F-statistic2.699881Durbin-Watson stat1.340228

Prob(F-statistic)0.109063

Dependent Variable: EDUC

Method: Least Squares

Sample: 1 38

Included observations: 38

Weighting series: GDP^0.5

CoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C385.3459479.30950.8039610.4267

GDP0.0455980.00175925.919280.0000

Weighted Statistics

R-squared0.949139Mean dependent var7254.571

Adjusted R-squared0.947726S.D. dependent var12787.94

S.E. of regression1955.125Akaike info criterion18.04549

Sum squared resid1.38E+08Schwarz criterion18.13168

Log likelihood-340.8643Hannan-Quinn criter.18.07616

F-statistic671.8093Durbin-Watson stat1.650194

Prob(F-statistic)0.000000

Unweighted Statistics

R-squared0.928424Mean dependent var4499.227

Adjusted R-squared0.926436S.D. dependent var5530.543

S.E. of regression1500.035Sum squared resid81003776

Durbin-Watson stat1.558650