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7/24/2019 1-40-websgrNmJamdrsk

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Solu

ciona

rio ExamendeadmisinUNI

Matemtica

2016-I

PREGUNTA N.o1

Indique la secuencia correcta despus de determinarsi cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I. En un conjunto de 4 nmeros cuyo mximo

comn divisor es igual a 1, entonces dichosnmeros son primos dos a dos.

II. Si a y b son nmeros primos, entonces a+btambin es primo.

III. Si a> 3, siendo aprimo, entonces a es de laforma a=6k+1 o a=6k 1, con kN.

A) VFF B) VFV C) FFF D) FFV E) FVV

Resolucin

Tema: Clasificacin de los nmeros enterospositivos, MCD y MCM

Anlisis y procedimiento

I. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: MCD(4; 5; 6; 7)=1 Entonces 4; 5; 6 y 7 son PESI, pero no son

PESI 2 a 2. Para el contraejemplo, 4; 5; 6 y 7no son PESI 2 a 2.

II. Falsa Consideramos el siguiente contraejemplo: 7 y

11 son nmeros primos, pero la suma de ellos(7+11=18) no es un nmero primo.

III. Verdadera Por propiedad tenemos que si aes un nmero

primo y a> 3, entonces

a=6+1 a=6 1 a=6k+1 a=6k 1; kN

Respuesta:FFV

PREGUNTA N.o2

Sean N y M nmeros naturales. Al extraer laraz cbica al nmero 2N+M y al extraer la razcuadrada al nmero NM, tienen como residuocero y ambas races son iguales. Determine lasuma de las cifras del mayorNmenor que cien que

satisface tal propiedad.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 9

E) 12

Resolucin

Tema:Potenciacin - Radicacin


Del enunciado

2N+M

2N+M=K3

0

K NM

NM=K2

0

K3

Luego

2N+M = K3

3N = K2(K+1)

NM = K2

+

Se observa que

K=3 y K+1=3


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unI 2016-I Academia CSAR VALLEJO

2

De ah 3N=K2(K+1) K=2 N=4 K=3 N=12

K=5 N=50 K=6 N=84 (mx. y menor de 100)

\ Suma de cifras=8+4=12

Respuesta:12

PREGUNTA N.o3

Sea Q el conjunto de los nmeros racionales,luego todos los valores racionales posibles dexde

manera quex x2 3+ +

sea racional, son de la forma:

A)3

2 1

2

2

+

q

qq, Q

B)3

2 1

1

2

2

+

{ }qq q, Q \

C)3

2 1

1

2

2+

+

{ }qq q, Q \

D)3

2 1

1

2

2

{ }qq q, Q \

E)3

2 1

1

2

2+

{ }qq q, Q \

Resolucin

Tema:Nmeros racionales


Por dato

x x2 3+ + debe ser racional; adems, consi-

deremos que qes un racional que tambin cumple

la condicin para que sea racional.

Luego

x x x q2

3+ + = +

x x x q2 23+ + = +( )

x x x xq q2 2 2

3 2+ + = + +

3 22 = q xq x

3

2 1

2

=

q

qx, siendo 2q 10

q1

2

\3

2 1

1

2

2

{ }qq q, \ Q

Respuesta:3

2 1

1

2

2

{ }qq q, \Q

PREGUNTA N.o4

Seale la alternativa correcta despus de determinarsi cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F),segn el orden dado.I. Existen nmeros positivos a, b, c, dque forman

una proporcin geomtrica discreta y armnica

discreta a la vez.II. Es posible encontrar dos nmeros que estn enrelacin de 3 a 5 cuya diferencia es 200.

III. Existen nmeros positivos a, b, c, dque formanuna proporcin geomtrica discreta y aritmticadiscreta a la vez.

A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF E) FFF

ResolucinTema:Razones y proporciones


I. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:

3

3

8

8

1

3

1

3

1

8

1

8= =

proporcingeomtrica

discreta

proporci

;

nn armnica


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unI 2016-ISolucionario de Matemtica

3

II. Verdadera Sean ay blos nmeros; del enunciado, tenemos

a

b=3

5

3( 100) 5( 100)= 2( 100)a b 200=

\ a= 300 b= 500

III. Verdadera Consideremos el siguiente ejemplo:

5

5

6

65 5 6 6= =

proporcingeomtrica

discreta

proporcin a

;

rritmticadiscreta

Respuesta:VVV

PREGUNTA N.o5

La probabilidad de que haya un temblor en Chilees 0,8 y la probabilidad de que haya un temblor enPer, dado que hubo uno en Chile es 0,4. Determinela probabilidad de que sucedan ambos eventos.

A) 0,12 B) 0,32 C) 0,36 D) 0,40 E) 0,68

Resolucin

Tema:ProbabilidadAnlisis y procedimiento

Considere lo siguiente: P[Ch]: probabilidad de que haya un temblor en

Chile. P

[P

/Ch

]: probabilidad de que haya un tembloren Per, dado que hubo en Chile. P[ChP]: probabilidad de que haya temblor

en Per y Chile.

Del enunciado,P[Ch]=0,8 yP[P/Ch]=0,4.

Sabemos que la probabilidad condicional se define as

P A B P A B

P B/[ ] =

[ ][ ]

(*)

En (*)

P P Ch

P Ch P

P Ch/[ ] =

[ ][ ]

0 4

0 8,

,=

[ ]P Ch P

\ P[ChP]=0,32

Respuesta:0,32

PREGUNTA N.o6

Sea el nmeroN=4a(a+b)b(12). Se afirma

I. Existen valores para a y b tal que la divisinN12 es exacta.

II. Existen valores para a y b tal que la divisinN9 es exacta.

III. Existen valores para a y b tal que la divisinN1000 es exacta.

Cules de las afirmaciones son las correctas?

A) I y II

B) I y III

C) II y III

D) I, II y III

E) solo I

Resolucin

Tema:Divisibilidad

Anlisis y procedimientoRecordemos que

abcde

n e

n de

n cde

n n

n

=

+

( )+( ) +

2

3


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4

I. Correcta

Demostramos que 4 1212a a b b+( ) =

para algnay b.

Por lo anterior

4 1212a a b b b+( ) = +

12 12

+ =b

=12

b=0 a: 0; 1; 2; ...; 11

II. Correcta

Demostramos que 4 912a a b b+( ) =para algn

ay b.

Por lo anterior

4 912a a b b+( ) =

144 912

+ +( ) =a b b

9 12 13 9

+ +( ) =a b

)

3 4 925

33

a b

+ =

III. Incorrecta Demostramos que

4 100012a a b b+( )

Recordemos que

4000124a(a+b)b12


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5

PREGUNTA N.o8

Determine el menor nmero natural divisible porlos nmeros primosp, qy r, sabiendo que r q=2p

y rq+p2=676.

A) 2001 B) 2031 C) 2061 D) 2301 E) 2331

Resolucin

Tema:Clasificacin de los Z+


Datos:

r q=2p r=2p+q (I)

rq+p2=676 (II)

Reemplazamos (I) en (II).

(2p+q)q+p2=676

p2+2pq+q2=676

(p+q)2=676

p+q=26 ; r=2p+q

3 23 29 (32329=2001)

7 19 33 (71933=4389)

Luego

N N= = ( )

3

23

29

3 23 29

o

o

o

o

MCM ; ;

= 3 23 29o

= 2001o

\ Nmn=2001

Respuesta:2001

PREGUNTA N.o9

Calcule el valor mnimo de la funcin objetivof(x; y)=3x+6ysujeto a las siguientes restricciones:

2x+3y 12,

2x+5y 16, x 0,

y 0.

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Resolucin

Tema:Programacin linealAnlisis y procedimiento

Del sistema

2 3 12

2 5 16

x y

x y

+ =

+ =

Obtenemos x=3 y=2

Graficamos la regin factible.

4

16

5 (3; 2)(3; 2)(3; 2)

6 8 X

Y

Como la funcin objetivo f(x; y)=3x+6y tienecoeficientes positivos, entonces el valor mnimo seobtiene en uno de los vrtices: (0; 4), (3; 2) o (8; 0).

Evaluamos en los vrtices.

f (0; 4)=3(0)+6(4)=24

f (3; 2)=3(3)+6(2)=21

f (8; 0)=3(8)+6(0)=24

\ mnf(x; y)=21

Respuesta:21


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6

PREGUNTA N.o10

Seaf :A Runa funcin definida por:

f xx( ) = ( )

ln log /1 225

donde A=Dom(f) R. Entonces la cantidad denmeros enteros que posee el conjuntoAes:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Resolucin

Tema:Funcin logartmicaAnlisis y procedimiento

Nos piden la cantidad de nmeros enteros deA=Dom(f).

Para hallar el dominio def, resolvemos la inecuacin.

log log log12

21

2

21

2

5 0 5 1( ) > ( ) > ( )x x

0 < 5 x2< 1

5 < x2< 4

5 >x2> 4

< < < 1} y

B={n R: n An< 1}

DetermineA B.

A) f B)1

22; C)

1

22;

D) + ; ;

1

22 E) R


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7

Resolucin

Tema:DesigualdadesAnlisis y procedimiento

Tenemos que

B={n R: n A n < 1} ={n R: n A n < 1}

={n R: n AC n < 1}

Nos pidenA B.

A B n n A n B = { R : }

A B n n A n A nC

n

=


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8

PREGUNTA N.o15

Seafuna funcin afn y biyectiva tal quef(1)=3 yf*(0)=2. Calculef*(6)[f*: funcin inversa def]

A) 2 B) 1 C) 1

2

D) 0 E) 2

Resolucin

Tema:Funcin inversa


Comofes una funcin afn

f(x)=ax+b

Por dato

f(1)=a+b=3 (I)

Ahora

f x b

ax( )*=

Como

f*(0)=2

=b

a2

Luego

b= 2a (II)

De (I) y (II) tenemos

a= 3 b=6

Luego

f x b

a

xx( )*=

=

6

3 f( )

*6

6 6

30=

=

\ f*(6)=0

Respuesta:0

PREGUNTA N.o16

Del polinomio p(x)=2x3 6x2+ 11x 3, se puede

decir que:

A) Tiene dos races enteras y una racional. B) Tiene una raz entera y dos racionales. C) Tiene tres races enteras. D) Tiene tres races racionales. E) Ninguna raz es racional.

Resolucin

Tema:Factorizacin


Sus posibles races racionales se hallan as:

{ }=

= divisores de 3

divisores de 2

1 3

1 21 3

1

2

1;

;; ; ;

33{ }

Se observa que six


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9

Resolucin

Tema:Matrices


Determinamos las potencias deB.

B1

0 1

1 1=

B2 1 1

1 0=

B I3 1 0

0 1=

= B4=B3B=I B=B

B5=B3B2= IB2=B2 B6=(B3)2=(I)2=I

Se observa que sus potencias son peridicas, conperiodo 6; adems,B+B2+B3+B4+B5+B6= .De ello se concluye que 6 potencias consecutivasse anulan.

Tenemos

f f

f fB B B B

11 12

21 22

25 24 23 2

24

= + + + +...

sumandos

+ +B I2

= +B+ 2I

f f

f f

11 12

21 22

2 1

1 3

=

\ f11+f12+f21+f22=5

Respuesta:5

PREGUNTA N.

o

18

Dado el sistema de inecuaciones

x2+y2 10x 6y< 30,

yx2+ 10x< 27,

10xx2y< 21.

Seale el grfico ms prximo al conjunto solucindel sistema anterior.

A)

X

Y

3

6

B)

X

Y

3

5

C)

X

Y

3

6

D)

X

Y

3

5

E)

X

Y

3

6

Resolucin

Tema:Relaciones


Completando cuadrados, el sistema es

( ) ( )

( )( )

x y

y x

x y

+

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