1 Approximacion y Errores
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Aproximacin y errores
Marlo Carranza Purca
Lic. en Ciencias
Mg. en ciencias
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Logro de la sesin
Logros
Informarnos
que los errores
estn siempre
presentes
Calcular el
error
verdadero
Calcular el
error relativo
porcentual
-
P. Henrici da una definicin aproximada del Anlisis numrico
como, la teora de los mtodos constructivos en Anlisis
matemtico, haciendo un especial nfasis en la palabra
constructivos, durante mucho tiempo, las matemticas fueron
totalmente constructivas, pues su nico objetivo era llegar a la
solucin de problemas concretos. No obstante, a medida que los
problemas sujetos a la investigacin matemtica crecan en
alcance y generalidad, los matemticos fueron interesndose, cada
vez ms, por cuestiones como la existencia, unicidad y
propiedades cualitativas de las solucin, antes que por su
construccin.
Aproximacin y errores
-
Ingredientes de los mtodos numricos
ResultadosAlgoritmoDatos de entrada
-
Ejemplo
Clculo del sen(x), con frecuencia nos encontramos con distintos
algoritmos para construir la informacin de salida que se requiere,
podemos usar el algoritmo que se obtiene de hacer un desarrollo de
Taylor a la funcin sen(x) 3
3!+5
5!
x=linspace(-6,6,1000);
y=x-x.^3/6+x.^5/120;
yy=sin(x);
plot(x,y,r,x,yy);legend(aproximacin por Taylor,funcinsin);axis([-5,5,-6,6])
-
Por lo tanto para escoger entre los
diversos algoritmos disponibles deben
estudiarse los aspectos tericos que
contribuirn a la eleccin del algoritmo
mas adecuado a cada caso concreto.
En general, los criterios fundamentales
para preferir un criterio frente a otro son
la rapidez y la precisin o
equivalentemente el error
-
Errores de +
entrada
Errores de +
almacenamiento
Errores
Algortmicos = Errores de
salida
Momentos de errores
-
Los errores de truncamiento o
discretizacin provienen, por ejemplo, de la
sustitucin de una expresin continua por
otra discreta (por ejemplo al aproximar la
derivada de f por una expresin en
diferencias)
1. Error de truncamiento o discretizacin.
+
Tipos de errores
-
Estos se originan debido a que la computadora emplea
un nmero determinado de cifras significativas durante
los clculos. Los nmeros irracionales como
2. Error de redondeo.
=3,14159265358979323846
e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995
Infinitos dgitos no pueden representarse en la
computadora, adems se usa la base 2, no pueden
representar exactamente algunos nmeros en base 10.
Esta discrepancia por la omisin de cifras significativas se
llama error de redondeo.
-
Para ambos tipos de errores, la relacin entre el
resultado exacto o verdadero y el aproximado est
dado por
Valor verdadero = Valor aproximado + Error
De aqu se tiene
Error = Valor verdadero - Valor aproximado
-
Tambin
Error relativo fraccional verdadero =
tambin se puede expresar as
=
100%
Es el error relativo porcentual verdadero.
1.1.
-
significa que el error a sido normalizado a un valor
aproximado
pero en situaciones reales no se conoce el valor
exacto, entonces en dichos casos, una alternativa el
normalizar el error usando la mejor aproximacin
posible al valor verdadero, es decir, para la misma
aproximacin
1.2 =
100%
-
Ejemplo Calculo de errores
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la
de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente si
lo valores verdaderos son 10000 y 10 cm.
1. Calcule el error verdadero
2. EL error relativo porcentual verdadero en cada caso.
Resolucin
-
1. El error en la medicin del puente es
Et = 10000 - 9999 = 1 cm. y en el remache es
Et = 10 - 9 = 1 cm.
-
2. El error relativo porcentual en el puente es
=1
10000100% = 0.01 %
.
y para el remache es
=1
10100 % = 10 %
Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1
cm. el error relativo porcentual, es mucho mayor .
se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en
la medicin del puente, mientras en la medicin del
remache se hizo un mal trabajo
-
Las cifras significativas de un nmero son la primera no nula y
todas las siguientes.
As pues 2,350 tiene cuatro cifras significativas mientras que
0,00023
tiene slo dos. Es conveniente relacionar los errores con el
nmero de cifras significativas en las aproximaciones.
Nmero de cifras significativas
Teorema 2 (Scarborough, 1966).Se tendr la seguridad de que el resultado es correcto en al menos
n cifras significativas.
= . %1.3
-
Estimacin del error con mtodos iterativos.
En matemticas con frecuencia las funciones se
representan mediante series infinitas, por ejemplo, la
funcin exponencial se calcula usando
Ejemplo
= 1 + +2
2!+3
3!+ +
!
As cuanto ms trminos se le agreguen a la serie, la
aproximacin ser cada vez ms una mejor estimacin
del valor de
-
1. Calcule los errores relativo, porcentual verdadero
y normalizado a un valor aproximado usando las
ecuaciones respectivas.
Observe que el valor verdadero de 0.5 = 1.648721
Ejemplo
2. Agregue trminos hasta que el valor absoluto del
error aproximado sea menor que un criterio deerror preestablecido con tres cifras significativas,use la ecuacin
-
La ecuacin 1.3 se emplea para determinar el criterio de error
que asegura un resultado sea correcto en al menos tres cifras
significativas:
Resolucin
= . % = . %
por lo tanto, se agregaran tantos trminos a la serie hasta que sea menor que este valor.
La primera estimacin es = 1
-
La segunda estimacin es = 1 + y para = 1 + 0;5 = 1.5
De aqu se tiene un error relativo
=1.64721 1.5
1.64721100% = 9.02%
Se utiliza para determinar una estimacin aproximada del error por
=1.5 1
1.5100% = 33.3 %
Como el no es menor que el valor requerido se debe seguir agregando trminos y continuar los clculos, tenemos la
siguiente tabla.
-
As despus de usar seis trminos, el error aproximado es
menor que = 0.05 % y el clculo termina, aunque esto es cierto la mayora de las veces
-
Ejercicio
1. Se mide la distancia de la tierra al sol y se obtiene
149999900 km y la distancia de lima a Tingo Mara que
se obtiene es de 500 km, los valores reales son
150000000 km y 600
1. Calcule el error verdadero
2. EL error relativo porcentual verdadero en cada
caso.
2. Agregue trminos hasta que el valor absoluto del
error aproximado sea menor que un criterio deerror preestablecido con tres cifras significativas,use la ecuacin
a) 0.2 = 1.22065
b) 0.3 = 1.34862
c) 0.4 = 1.49
d) 0.6 = 1.8187
e) 0.7 = 2.009
f) 0.8 = 2.220
g) 0.9 = 2.452
h) 1.2 = 3.307
i) 1.3 = 3.6547
j) 300 = 0.5
k) 450 = 0.701
l) 600 = 0.866
-
conclusin
En que momentos se producen errores
Trabajamos con datos exactos
Relacin entre el resultado verdadero y aproximado
. =
100%
1.2 =
100%
. = . %