1. Complementos de Control Continuo.

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 1 - pág. 1-1

1. Complementos de Control Continuo. Complementando nuestros conocimientos sobre diseño de controladores lineales continuos, desarrollaremos en este capítulo algunas técnicas adicionales, considerando especialmente el caso –muy frecuente por cierto– en que no se cuenta con una caracterización analítica completa de la planta controlada. 1.1. Controlador PID.

Estudiaremos inicialmente el problema de la determinación de los parámetros de un controlador PID. Para fijar la nomenclatura y las convenciones adoptadas, nos referiremos a la Fig. 1.1. El haber seleccionado justamente este tipo de controlador para su análisis no es caprichoso: un relevamiento publicado por Desbourough y Miller1 en 2002, realizado sobre más de 11.000 controladores en refinerías, industrias químicas y papeleras, arrojó como resultado que el 97% de ellos poseían estructura PID, reafirmándose así su difusión y vigencia a pesar de todos los avances teóricos y tecnológicos de los últimos 50 años.

PID

Proceso r(t) + e(t) u(t) y(t)

–

r(t) variable de referencia u(t) señal de control y(t) variable controlada e(t)=r(t)-y(t) error actuante

Fig. 1.1. Lazo de control realimentado. El algoritmo teórico elemental del controlador PID es:

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

d

i

de tu t K e t e d T

T dtτ τ

= + +

∫ (1.1)

La señal de control resulta entonces igual a la suma de tres términos: el término P (que es proporcional al error), el término I (proporcional a la integral del error) y el término D (que es proporcional a la derivada del error). Los parámetros del controlador son la ganancia proporcional K, el tiempo de integración Ti y el tiempo de derivación Td. Decimos que (1.1) es una expresión puramente teórica, ya que incluye un término derivador puro, totalmente inadecuado en presencia de ruido en la medición de la variable controlada (más adelante retoma-remos el tema). Los efectos de las acciones proporcional, integradora y derivadora se ilustran en las Figs. 1.2, 1.3 y 1.4 respectivamente en las que se muestran, para un proceso de tercer orden, las respuestas 1 L. Desbourough, R. Miller: Increasing customer value of industrial control performance monitoring –

Honeywell’s experience. Sixth International Conference on Chemical Process Control, AIChE Symposium Series Number 326, vol. 98, 2002.


temporales de y(t) para una variación en escalón unitario de la variable de referencia o punto de ajuste (en inglés: set-point).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

t (s)

y(t

)

K=1

K=3

K=5

Ti=∞

Td=0

Fig. 1.2. Simulación de un sistema a lazo cerrado con control proporcional. La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)

3. Con control puramente proporcional, el error en estado de régimen disminuye cuando K aumenta, pero el sistema se hace más oscilatorio.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

y(t

)

t (s)

Ti=1

Ti=2

Ti=5

Ti=∞

K=1T

d=0

Fig. 1.3. Simulación de un sistema a lazo cerrado con control proporcional-integrador (PI). La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)

3 y la ganancia del controlador es K=1.

Al agregar la componente integradora comprobamos que su efecto se incrementa a medida que Ti disminuye. En la Fig. 1.3 observamos que el error de régimen desaparece. La tendencia a la oscilación crece a medida que Ti se va haciendo más pequeño.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

t (s)

y(t

)

Td=0.1

Td=0.7

Td=4.5

K=3T

i=2

Fig. 1.4. Simulación de un sistema a lazo cerrado con controlador PID. La función de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)

3 y los restantes coeficientes se indican.


La Fig. 1.4 muestra el efecto derivador. Los parámetros K y Ti elegidos hacen oscilatorio (con Td

nulo) al sistema de lazo cerrado (con un período de aproximadamente 6 segundos) . A medida que crece Td aumenta el amortiguamiento, pero éste vuelve a decrecer si Td se hace demasiado grande. Teniendo en cuenta que la acción derivadora puede interpretarse como una predicción basada en una extrapolación lineal durante el tiempo Td, vemos que esa predicción resulta inútil si Td se hace grande respecto del período de oscilación no amortiguado. La relación de Td con la dinámica del sistema se explicita en la Fig. 1.5.

e(t) predic.

( )d

de te T

dt∆ =

verdadero ( ) ( )de e t T e t∆ = + − t

Td

Td

1

2

Fig. 1.5. Se compara el efecto predictivo de la acción derivadora y su relación con la dinámica del sistema. La predicción (1) es aceptable, mientras que la (2) no lo es, debido al empleo de un valor excesivamente prolongado para Td.

1.2. Consideraciones de Robustez.

Con la finalidad de incorporar las definiciones necesarias para nuestro estudio, picotearemos algunas migajas conceptuales en los terrenos del Control Robusto. Para ello, expandiremos el lazo de control elemental de la Fig. 1.1 detallando la estructura general del controlador y las perturbaciones y ruidos que inciden sobre el proceso y las variables controladas.

F

C

P

ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ

–1

d n

r e u v x y

Controlador Proceso

Fig. 1.6. Diagrama en bloques de un sistema de control realimentado.


En la Fig. 1.6 el proceso P se encuentra sometido a diversas perturbaciones: la perturbación de carga d (que representan aquellos efectos que apartan al proceso de su comportamiento deseado) y el ruido de medición n. La variable de proceso x es la verdadera variable física que se desea controlar, pero el control se basa en la señal medida y que se encuentra corrompida por el ruido n. El controlador se muestra dividido en dos partes: el compensador de realimentación C y el compensador por adelanto (feedforward) F, también llamado filtro de comandos. El proceso es influido por el controlador a través de la variable de control u. En conjunto, estamos en presencia de un sistema de tres entradas (u, d, n) y una salida (y). En la Fig. 1.6 se muestra la perturbación de carga actuando a la entrada del proceso, pero en realidad la perturbación puede ingresar al proceso en una multitud de maneras diferentes, habiéndose adoptado la representación mostrada a los efectos de evitarnos innecesarias complicaciones. La atenuación de perturbaciones es a menudo el objetivo primario del control. Las perturbaciones de carga son señales que pertenecen típicamente al rango de las bajas frecuencias. El ruido de medición por su parte posee componentes de alta frecuencia con valor medio nulo e introduce errores en los valores de la variable controlada. Haciendo un resumen de las consideraciones generales de diseño para un controlador, podemos formular los requerimientos básicos:

• Estabilidad • Capacidad de seguir señales de referencia • Reducción de los efectos de perturbaciones de carga • Reducción de los efectos del ruido de medición • Rechazo de variaciones de parámetros del proceso y/o incertezas

en el modelo empleado. Dependiendo de la aplicación específica, uno o más de los requerimientos indicados prevalecerá o prevalecerán sobre los restantes. El sistema realimentado de la Fig. 1.6 posee, como dijimos, tres entradas: r, d y n que afectan a tres variables u, x e y que son de gran interés para el sistema de control. Suponiendo al sistema lineal existen entonces nueve relaciones expresables como funciones de transferencia entre las variables de entrada y las de salida. Si con X, Y, U, D, N, R representamos las transformadas de Laplace de x, y, u, d, n, r, dejando de lado el argumento complejo s en beneficio de la sencillez, podemos escribir

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

P PC PCFX D N R

PC PC PC

P PCFY D N R

PC PC PC

PC C CFU D N R

PC PC PC

= − ++ + +

= + ++ + +

= − − ++ + +

(1.2)

Observamos en (1.2) que varias de las funciones de transferencia son iguales y que todas las relaciones están expresadas como combinaciones del siguiente conjunto de seis funciones, al que designaremos como el «Sexteto Mayor».


1 1 11

1 1 1

PCF PC P

PC PC PC

CF C

PC PC PC

+ + +

+ + +

(1.3)

Las funciones de transferencia de la primera columna determinan las respuestas de la variable de proceso (x) y la variable de control (u) al set-point (r) o variable de comando. La segunda columna da las mismas señales para el caso de realimentación pura de error (F=1). La función

/(1 )P PC+ en la tercera columna define la reacción de la variable de proceso (x) a una perturbación de carga (d), mientras que /(1 )C PC+ da la respuesta de la señal de control al ruido de medición. El sistema con F=1 se denomina control de realimentación de error puro. En este caso el sistema queda completamente caracterizado por el «Cuarteto» de funciones de transferencia:

1 función de sensibilidad

1

función de sensibilidad complementaria1

función de sensibilidad a la perturbacion de carga1

función de sensibilidad al ruido 1

PC

PC

PC

P

PC

C

PC

+

+

+

+

(1.4)

Los nombres de las funciones integrantes del Cuarteto se deducen a partir de considerar la función de transferencia de lazo cerrado (T) del sistema y de la variación que sufre si la planta (P) experimenta una pequeña perturbación alrededor del valor nominal de sus parámetros:

( )2; 1 1

1 1

1 1

PC CT dT dP

PC PC

dT dP dT TS

T PC P dP P PC

= =+ +

= → = =+ +

(1.5)

La función de sensibilidad S permite entonces expresar la variación relativa de la función de transferencia de lazo cerrado ante pequeñas variaciones del proceso. De acuerdo a las (1.5) tenemos que 1S T+ = (1.6) razón por la cual a la función de transferencia de lazo cerrado (T) se la suele denominar también función de sensibilidad complementaria. Algo que no debe perderse nunca de vista es que la estabilidad de funcionamiento del sistema, implica que cada una de las seis funciones de transferencia integrantes del sexteto mayor habrá de ser individualmente estable.


1.2.1. Controladores con Dos Grados de Libertad.

Antes de adentrarnos en consideraciones de diseño, dejemos aclarado que el diagrama en bloques de la Fig. 1.6 que adoptamos como representación estandarizada, es totalmente equivalente a otras configuraciones posibles. Así por ejemplo, el clásico esquema de adelanto de la señal de comando de la Fig. 1.7 puede ser llevado a la forma de la Fig. 1.6 si imponemos F=A/C.

A

C

P

ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ

–1

r d n

e u v x y

Controlador Proceso

ΣΣΣΣ

Fig. 1.7. Realización alternativa para el feedforward.

Decimos que el controlador de la Fig. 1.6 posee dos grados de libertad porque el bloque C forma parte del lazo cerrado, mientras que el bloque F es exterior al mismo. Este hecho posibilita una atractiva subdivisión del problema de diseño: así C puede ser proyectado para proporcionar el debido rechazo de las perturbaciones de carga e incertezas en el proceso, mientras que F es dimensionado para lograr una buena respuesta a las señales de referencia. El diseño de C

solamente considera el cuarteto, mientras que en el proyecto de F intervienen las dos funciones de transferencia restantes que completan el sexteto mayor. Para describir al sistema con propiedad, es entonces necesario mostrar las respuestas de las seis funciones de transferencia, cosa que hemos hecho en las figuras siguientes, donde mostramos las respuestas al escalón y las respuestas en frecuencia de cada integrante del sexteto. Las respuestas temporales de la Fig. 1.8 muestran que el feedforward mejora sustancialmente el tiempo de respuesta. El tiempo de respuesta es notablemente menor, 4s contra 25s, sin sobrepasamiento (comparar Fig. 1.8.a. con 1.8.b.). Esto también se refleja en las curvas de respuesta en frecuencia, que muestran (Fig. 1.9.a.) un mayor ancho de banda sin pico de resonancia para la función de transferencia con adelanto de señal (comparar con 1.9.b.). Las funciones de transferencia CF/(1+PC) y C/(1+PC) representan la transmisión de señal de la variable de referencia a la variable de control, y del ruido de medición a la variable de control, respectivamente. La respuesta temporal de la Fig. 1.8.d, demuestra que la reducción del tiempo de respuesta que se logra por adelanto de señal, requiere un esfuerzo de control substancial. El valor inicial de la variable de control se encuentra fuera de escala en 1.8.d. pero la respuesta en frecuencia 1.9.d. muestra que la ganancia de alta frecuencia para CF/(1+PC) es 16, que debe ser comparado con el valor 0.78 para C/(1+PC). La respuesta rápida requiere entonces señales de control considerablemente mayores. Independientemente del valor que tome la función de transferencia del bloque de adelanto de señal (feedforward), la Fig. 1.8.c. nos informa que el


rechazo a un escalón de perturbación de carga se completará en aproximadamente 20 a 25 segundos.

Fig. 1.8. Respuestas al escalón del sexteto. El proceso es P(s)=1/(s+1)4. El controlador aplicado es PI con K=0.775, Ti=2.05. El bloque F de adelanto de señal se ha diseñado para obtener la función de transferencia 1/(0.5s+1)4

de la entrada r a la salida y.

Fig. 1.9. Respuestas en frecuencia del sexteto, para la misma situación representada en la Fig. 1.8.


El hecho de que se necesitan 6 relaciones para capturar la totalidad de las propiedades de un lazo básico de control es a menudo pasado por alto en la literatura, reduciéndose muchas publicaciones a mostrar tan sólo la respuesta de la variable del proceso a cambios en el punto de ajuste, brindando una información muy parcializada del comportamiento del sistema. Ilustraremos lo expresado mediante un ejemplo. Sea el proceso caracterizado por la función de

transferencia 1

( )( 1)( 0.02)

P ss s

=+ +

que es controlado por realimentación pura de error

empleando el compensador PI 50 1

( )50s

C ss

+= , resultando la función de transferencia de lazo

abierto 1

( )( 1)

L ss s

=+

.

La Fig. 1.10 muestra que las respuestas a un escalón de la variable de referencia son muy acepta-bles. Basados en estas respuestas podríamos ceder a la tentación de dar el diseño por bueno. Para explorar nuestro sistema algo más en profundidad, debemos calcular el cuarteto ya que F=1.

2 2

2 2

1 ; ;

1 1 1 ( 0.02)( 1)

( 0.02)( 1) 1 ( 1) ; ;

1 1 1 1

PC P s

PC s s PC s s s

C s s s s

PC s s PC s s

= =+ + + + + + +

+ + += =

+ + + + + +

Obsérvese que el polo del proceso ubicado en s = –0.02 es cancelado por el cero del controlador PI. Esto hace que la función de transferencia de lazo abierto sea de segundo orden aunque el sistema de lazo cerrado es de tercer orden, con la ecuación característica

2( 0.02)( 1) 0s s s+ + + = .

Fig. 1.10. Respuestas a un escalón de la variable de referencia.


La presencia del polo lento s = –0.02 en la función de transferencia P/(1+PC), da por resultado que la respuesta a una perturbación en la carga decaiga muy lentamente, según e

-0.02t. El controlador PI no responderá a la señal e

-0.02t porque el cero en s = –0.02 bloqueará su transmisión. Esto se ve con claridad en la Fig. 1.11 en la que se observa que una perturbación de carga es rechazada en aproximadamente 200 segundos. El comportamiento ilustrado es típico de la cancelación de polos y ceros, y corresponde a la excitación de un modo observable pero no controlable en el sistema de lazo cerrado. Surgen aquí algunos de los interrogantes que iremos respondiendo a lo largo de nuestro curso: ¿cuáles son las condiciones de controlabilidad y observabilidad de un sistema dinámico? ¿Cómo influyen estas condiciones en el diseño de los controladores?

Fig. 1.11. Respuestas a un escalón de perturbación de carga. 1.2.2. Atenuación de Perturbaciones.

A efectos de discutir la influencia de las perturbaciones y su atenuación, consideraremos la operación a lazo abierto y a lazo cerrado del sistema de la Fig. 1.6 haciendo nula la señal de referencia (r = 0). A lazo abierto la salida del sistema vale ( ) ( ) ( )

aY P s D s N s= + (1.7)

mientras que, cerrando el lazo, es

[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )c a

P s D s N sY S s P s D s N s S s Y

P s C s

+= = + =

+ (1.8)

La atenuación de perturbaciones puede entonces visualizarse mediante la curva de Bode de S(jω). La frecuencia más baja donde la función de sensibilidad tiene módulo 1 se denomina frecuencia de cruce de la sensibilidad ωcs.


El módulo máximo de la sensibilidad

1

max ( ) max ( )1 ( ) ( )s msM S j S j

P j C jω ωω ω

ω ω= = =

+ (1.9)

es un parámetro importante ya que define la máxima amplificación de las perturbaciones. Ese máximo ocurre para la frecuencia ωms.

Fig. 1.12. Diagrama de Bode de la f.t. de sensibilidad correspondiente al sistema de la Fig.1.8. Se explicitan módulo máximo, frecuencia del máximo y frecuencia de cruce de sensibilidad.

Fig. 1.13. Diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto correspondiente al sistema de la Fig. 1.8.

1.2.3. Variaciones del Proceso.

Los sistemas de control se diseñan sobre la base de modelos simplificados de los procesos, cuya dinámica puede variar durante la operación. La sensibilidad del sistema de lazo cerrado ante variaciones en la dinámica del proceso controlado, constituye un aspecto crucial del diseño. El riesgo de inestabilidad es el principal peligro en los sistemas realimentados, por lo que resulta de interés investigar si las variaciones del proceso pueden desencadenarla. Las funciones de

La función de sensibilidad puede ser escrita en la forma

1 1

( )1 ( ) ( ) 1 ( )

S sP s C s L s

= =+ +

(1.10)

y como solamente depende de la función de transferencia de lazo abierto L(s), puede ser visualizada en el diagrama de Nyquist de L(jω). El número complejo 1+L(jω) es repre-sentado por el vector trazado desde el punto –1 al punto L(jω) sobre la curva de Nyquist (Fig. 13). La sensibilidad es entonces menor que 1 para todos los puntos exteriores al círculo de radio unitario centrado en –1. Las perturbaciones correspondientes a estas frecuencias son atenuadas por efecto de la realimentación.


sensibilidad brindan en este aspecto informaciones de suma utilidad. La Fig. 1.13 muestra que la mayor sensibilidad está dada por la recíproca de la menor distancia entre la curva de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto y el punto crítico –1 + j0. La función de sensibilidad complementaria también resulta de utilidad para evaluar las variaciones admisibles en el proceso. Sea un sistema realimentado con un proceso P y controlador C, cuyo diagrama de Nyquist de lazo abierto se muestra en la Fig. 1.14. Si el proceso varía de P a P+∆P la función de lazo abierto cambia de PC a PC+C∆P como se ilustra en la figura. La distancia del punto crítico al punto L es |1+L|. Esto significa que la curva de Nyquist perturbada no alcanzará el punto crítico –1 en tanto se cumpla

|C∆P| < |1+L|. Esta condición debe ser válida para todos los puntos sobre el diagrama de Nyquist. La condición de estabilidad puede ser reescrita de la manera siguiente si en la desigualdad precedente dividimos ambos miembros por | PC | :

( ) 1

( ) ( )

P j

P j T j

ω

ω ω

∆< (1.11)

Fig. 1.14. Diagrama de Nyquist de la fun- ción nominal de lazo abierto y la incerteza originada en la variaciones ∆P del proceso.

( ) 1( )

t

P j

P j M

ω

ω

∆<

donde Mt es el mayor valor de la sensibilidad complementaria

( ) ( )

max ( ) max1 ( ) ( )t

P j C jM T j

P j C jω ω

ω ωω

ω ω= =

+ (1.12)

También se requiere que la perturbación ∆P(s) sea una función de transferencia estable a fin de satisfacer la con-dición de rodeos de Nyquist. La condición (1.11) es conservadora ya que de la Fig. 1.14 se deduce que la perturbación crítica es la que se produce en la dirección hacia el punto –1. Resultan entonces admisibles perturbaciones mayores en otras direcciones. La fórmula (1.11) explicita una de las razones por las cuales los sistemas realimentados funcionan tan bien en la práctica. La Ec.(1.11) implica que el sistema a lazo cerrado será estable ante variaciones sustanciales en la dinámica del sistema. Una estimación conservadora de las variaciones admisibles en el proceso que no originarán inestabilidad está dada por:


Vemos que el valor de Mt es influido por el diseño del controlador, o viceversa: si se conoce el rango de variación a que puede estar sometida la función de transferencia del proceso, resultará posible calcular el controlador prefijando un margen de estabilidad aceptable.

Fig. 1.15. Diagrama de Nyquist de la f.t. de sensibilidad complementaria T(jω) correspondiente a la Fig. 1.9.b. Los círculos muestran las regiones de incerteza |∆P|=1/|T| calculadas para el controlador PI con K=0.775 y Ti =2.05 en las frecuencias angulares ω =0, 0.46, 0.75 y 1.

La Fig. 1.15 muestra el trazado de Nyquist de T(jω) del sistema considerado en nuestro ejemplo, junto con los círculos que acotan las regiones de incerteza para algunas frecuencias de interés. Observamos que en nuestro caso Mt se hace máxima para ω = 0.46 que es donde se produce el mínimo de la variación |∆P| admisible para la planta. La situación ilustrada es típica de muchos procesos, donde se requiere una buena aproximación a la función de transferencia de la planta (es decir baja incerteza) en las cercanías de la frecuencia de cruce de lazo abierto, siendo admisibles elevados valores de incerteza a frecuencias superiores e inferiores. Una consecuencia práctica de lo dicho es que un simple modelo que describa correctamente la dinámica del proceso en las cercanías de la frecuencia de cruce, resulta suficiente para el diseño. Una excepción a esta regla la constituyen los procesos que poseen resonancias múltiples, ya que su función de transferencia puede poseer ganancias elevadas también en altas frecuencias. Hemos podido constatar que la función de sensibilidad S y la función de sensibilidad complementaria T brindan mucha información acerca del comportamiento del sistema realimentado. Resulta de acuerdo a las ecuaciones (1.5) y (1.8) que es conveniente un bajo valor de la función de sensibilidad, y se deduce de (1.11) que un bajo valor de la sensibilidad complementaria vuelve admisible una incerteza elevada para el proceso. Dado que, de acuerdo a la (1.6) es ( ) ( ) 1S s T s+ = deducimos que S y T no pueden ser simultáneamente pequeñas. La función de transferencia de lazo abierto L(s) posee típicamente valores elevados para baja frecuencia y se aproxima a cero a medida que s tiende a infinito. En consecuencia S es típicamente de valor reducido para s pequeño, y tiende a 1 para s elevado. Recíprocamente T es 1 para s →0 y se anula cuando s →∞.


Salvo para procesos muy particulares, la función de sensibilidad S no puede ser hecha pequeña sobre un rango extendido de frecuencias. Para sistemas de control típicos, existen restricciones muy severas sobre la función de sensibilidad. Bode demostró que si la función de transferencia de lazo abierto posee pk polos en el semiplano derecho y tiende a cero con mayor rapidez que 1/s para altas frecuencias, la función de sensibilidad satisface la siguiente integral:

{ }0 0

1log ( ) log Re

1 ( ) k

k

S j d d pL j

ω ω ω πω

∞ ∞= =

+ ∑∫ ∫ (1.13)

esta expresión demuestra que si se hace pequeña para algunas frecuencias a la función de sensibilidad, ésta debe incrementarse para otras frecuencias. Lo que significa que si la atenuación de perturbaciones mejora en un cierto rango de frecuencias, necesariamente deberá empeorar en otro rango (efecto colchón de agua). Para funciones de lazo abierto sin polos en el semiplano derecho, la (1.13) se reduce a

0

log ( ) 0S j dω ω∞

=∫ (1.14)

esta fórmula posee una simple interpretación geométrica que se muestra en la Fig. 1.16: el área por arriba del eje horizontal debe se exactamente igual al área por debajo del eje. Para una demostración de las integrales de Bode, se recomienda el texto2 de Lewis.

Fig. 1.16. Interpretación geométrica de la integral (1.14).

1.2.4. Ruidos de Medición y Saturación.

Dado un sistema con realimentación de error puro (de un solo grado de libertad), resulta intuitivamente razonable afirmar que una respuesta rápida al comando requiere de un controlador con elevada ganancia. Pero cuando el controlador tiene alta ganancia, también el ruido de medición es amplificado e inyectado al sistema, lo que ocasionará variaciones en la señal de control y en la variable controlada. Es preciso que las fluctuaciones así originadas en la señal de control no sean tan grandes como para ocasionar una saturación del actuador. Dado que el ruido de medición es típicamente de alta frecuencia, éste y la saturación del actuador proporcionan una 2 A.D. Lewis: A Mathematical Approach to Classical Control. Queen’s University, Dept. Of Mathematics & Statistics. Kingston, Canada. Update 22/10/2004.


cota superior a la ganancia del controlador en alta frecuencia, limitando en consecuencia la rapidez de respuesta del sistema. Existen muchas fuentes de ruido de medición: el ruido puede ser inherente a la naturaleza del sensor o puede ser originado por la electrónica asociada. En sistemas controlados por computadora es también causado por la resolución de los convertidores A/D y D/A. Considérese un sistema controlado por computadora, con convertidores analógico-digitales y digitales-analógicos de 12 bits. Como 12 bits corresponden a 4096, se infiere que para una ganancia de alta frecuencia del controlador Mc=4096 un bit de error de conversión dará por resultado un cambio de rango completo en la señal de control. Para un sistema razonable se requiere que las fluctuaciones en la señal de control debida a los errores de medición no superen el 5% del rango de señal. Esto significa que para nuestro ejemplo, la ganancia de alta frecuencia del controlador deberá restringirse a 200. Los análisis precedentemente efectuados sobre rechazo de perturbaciones, variaciones en el proceso controlado, ruidos de medición y saturación, contribuyen en conjunto a subrayar las ventajas inherentes al diseño de controladores con dos grados de libertad, donde resulta posible separar los problemas de la respuesta al comando, del rechazo a la perturbación de carga y la sensibilidad a variaciones en los parámetros del proceso. Así, teniendo en cuenta las Ecs.(1.4), el proceso de diseño puede ser dividido en dos pasos independientes:

• En primer término diseñar el controlador de realimentación C que reduzca los efectos de las perturbaciones de carga (PS) y la sensibilidad a variaciones del proceso, sin introducir demasiado ruido de medición al sistema (CS).

• Luego diseñar la función de transferencia de adelanto de comando que proporcione la respuesta deseada al punto de ajuste (FT).

Por cierto que si el ruido de medición se convierte en un factor condicionante, no deberá perderse de vista la alternativa de cambiar los sensores por otros de mejor calidad a fin de superar el problema. 1.3. Diseño con 2 Grados de Libertad aplicando Filtrado de Ruidos.

1.3.1. Filtrado.

Como la diferenciación es muy sensible al ruido, la forma de la función de transferencia que se deduce de la expresión (1.1) debe ser modificada a fin de limitar la ganancia de alta frecuencia del término derivativo, mediante el uso de un filtro. Si se emplea un filtro de primer orden se tendrá para la función de transferencia entre la variable medida y y la salida del controlador u (véase la Fig. 1.6):

1

( ) 11

d

i d

sTC s K

sT sT N

= − + +

+ (1.15)

este controlador posee la ganancia de alta frecuencia lim ( ) (1 )

sC s K N

→∞= − + . (1.16)


Teniendo en cuenta la anterior discusión sobre robustez ante variaciones del proceso, resulta altamente deseable que la ganancia del controlador sea decreciente en alta frecuencia (es decir que presente un ‘roll-off’), lo que se puede lograr mediante un acondicionamiento de la señal de control a través del filtro

( )

1( )

1n

f

F ssT

=+

(1.17)

donde Tf es la constante de tiempo y n es el orden del filtro empleado. Si la estructura del controlador es PID se elegirá Tf = Td /N ; si la estructura es tan sólo PI puede tomarse Tf = Ti /N Típicamente los valores de N se encuentran en el rango de 8 a 20. El controlador también puede ser implementado como

( )2

1 1( ) 1

1d

i d

C s K sTsT sT N

= − + +

+ (1.18)

Esta estructura posee la ventaja de permitir el uso de un proceso de diseño iterativo. Primero se calcula un controlador PID ideal para el proceso P(s). El diseño proporciona el valor del parámetro Td, a partir del cual se recalcula el controlador ideal pero ahora para el proceso

2( ) (1 / )d

P s sT N+ , lo que arrojará un nuevo valor de Td, y así sucesivamente. El procedimiento descripto brinda también una clara visión del compromiso que existe entre performance y filtrado. 1.3.2. Asignación de Peso al Punto de Ajuste.

Al usar la ley de control (1.1), resulta claro que un cambio en escalón de la señal de referencia originará un impulso en la señal de control, situación que no es de manera alguna deseable en la mayoría de los casos. Por esta razón la acción derivativa frecuentemente no es aplicada sobre la señal de referencia. Otra posibilidad es que la acción proporcional sea aplicada tan sólo sobre una fracción de la señal de referencia. Esto se denomina asignación de peso al punto de ajuste. El controlador PID dado por (1.1) se convierte entonces en

0

1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

t

d

i

dr t dy tu t K br t y t e d T c

T dt dtτ τ

= − + + −

∫ (1.19)

donde b y c son parámetros adicionales. El término integral debe depender del error a fin de proporcionar la respuesta deseada en estado de régimen. El controlador definido por (1.19) posee una estructura de dos grados de libertad ya que los caminos de señal de y a u y de r a u son diferentes, resultando las funciones de transferencia

( ) 1 ( ) 1

( ) ; ( ) 1( ) ( )r d y d

i i

U s U sC s K b csT C s K sT

R s sT Y s sT

= = + + = = − + +

(1.20)


De acuerdo con la segunda de las (1.20), el controlador (1.19) reaccionará ante una perturbación en la carga de la misma manera que lo hace un controlador de un solo grado de libertad; la respuesta a cambios en la variable de referencia se verá influida por los parámetros b y c.

Fig. 1.17. Respuesta a un escalón en la variable de referencia para diferentes factores de peso del punto de ajuste (b=0, 0.5, 1). Función de transferencia del proceso P(s)=1/(s+1)3. Los parámetros del controlador son K=3, Ti=0.5, Td=0.5 .

Obsérvese que el sobrepasamiento y el tiempo de respuesta dependen del factor de peso b. El valor de c es normalmente cero para evitar grandes transitorios en la señal de control debido a variaciones abruptas del punto de ajuste. El controlador (1.19), puede también ser realizado bajo la forma de un controlador PI-PD como se muestra en la figura siguiente:

PI

Proceso R(s) + E(s) U(s) Y(s)

–

PD

PI: k’ + k’i /s PD: 1 + k’d s

Fig. 1.18. Diagrama de bloques de un controlador PI-PD.

Nótese que la ganancia proporcional del controlador PD debe ser unitaria para obtener un error de régimen nulo. La relación de entrada-salida para el controlador completo vale

[ ]'

' ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )id i d

kU s k R s R s Y s k k k Y s k k sY s

s= + − − + + (1.21)


Operando algebraicamente sobre (1.21) y comparando con (1.19) se deducen las equivalencias

' ' ' ' ' '

' ' '' ' ' ' ' ' '

; ; ; ; 0.d i dd i i d

i d i d i

k k k k k kK k k k T T b c

k k k k k k k

+= + = = = =

+ +

Nótese que la estructura definida por (1.19) es ajustable de manera más sencilla, ya que los parámetros K, Ti, Td pueden ser determinados en primer término para compensar perturbaciones de carga, ruido de medición y variaciones del proceso. Una vez hecho ésto, se puede ajustar la respuesta a la variable de comando, seleccionando los valores de b y c. Los parámetros del controlador aparecen de un modo mucho más complicado en la estructura PI-PD.

1.4. Ajuste de parámetros mediante reglas empíricas.

Cualquiera de los métodos generales de diseño pueden ser aplicados para el control PID. Una cantidad de reglas prácticas han sido desarrollados especialmente para los controladores PID y éstas son, en general, denominadas reglas de ajuste o sintonía (tuning). Ampliamente conocidos son los métodos desarrollados por Ziegler y Nichols3, que han marcado su influencia sobre la práctica del control de procesos por más de medio siglo. Si bien los resultados que brindan son moderadamente buenos, su difusión se debe a su extrema simplicidad, ya que se basan en la caracterización del proceso mediante unos pocos parámetros y el empleo de fórmulas de ajuste muy sencillas.

1.4.1. Métodos de Ziegler-Nichols.

Fig. 1.19. Caracterización de la respuesta al escalón según Ziegler-Nichols

Uno de los métodos de ajuste de Ziegler-Nichols se basa en la información obtenida acerca del proceso a partir de un ensayo de respuesta al escalón a lazo abierto. La respuesta y(t) es caracterizada por tan sólo dos parámetros: a y L que se determinan en base a la tangente de máxima pendiente a la curva y(t), tal como se muestra en la Fig. 1.19.

Los parámetros para cada tipo de controlador definidos por Ziegler y Nichols en base al ensayo de lazo abierto, se muestran en la Tabla 1.1. En la misma tabla se muestra el valor estimado del período de oscilación Tp del sistema a lazo cerrado.

3 "Optimum Settings For Automatic Controllers" – es el nombre del paper original de J.G. Ziegler and N.B. Nichols y publicado en la edición de Noviembre de 1942 de las Transactions of the American Society of Mechanical

Engineers. Un facsímil del original puede obtenerse accediendo a www.driedger.ca/Z-N/Z-n.pdf .


Tabla 1.1. Parámetros de controladores según Ziegler-Nichols en base a la respuesta al escalón.

Un segundo método también desarrollado por Ziegler y Nichols se basa en una muy simple caracterización de la respuesta en frecuencia del proceso controlado. El diseño se funda en el conocimiento de un único punto del lugar de Nyquist del proceso: el punto donde P(jω) corta por primera vez al eje real negativo, que corresponde a la frecuencia ω180 (ver Fig. 1.20). Los parámetros de este punto pueden ser determinados experimentalmente de la manera siguiente: conéctese un controlador puramente proporcional cerrando el lazo del proceso e increméntese suavemente la ganancia hasta que el sistema comienza a oscilar. La ganancia para la cual ocurre esto es K0 y el período de oscilación que se registra es T0. Los parámetros del controlador sugeridos por Ziegler y Nichols son los que se consignan en la Tabla 1.2, donde también se indica un valor aproximado del período Tp del modo dominante de la respuesta del sistema a lazo cerrado.

Fig. 1.20. Caracterización de la respuesta en frecuencia según Ziegler-Nichols....

Tabla 1.2. Parámetros de controladores según Ziegler-Nichols en base a la respuesta en frecuencia.

Las reglas de ajuste de Ziegler y Nichols fueron desarrolladas para brindar una buena atenuación de perturbaciones a lazo cerrado. Los métodos se basaron en simulaciones extensivas, y el criterio de diseño empleado es el conocido como atenuación de un cuarto de amplitud, es decir

Controlador K Ti Td Tp

P 1/a 4L PI 0.9/a 3L 5.7L

PID 1.2/a 2L L/2 3.4L

Controlador K Ti Td Tp

P 0.5 K0 T0 PI 0.4 K0 0.8 T0 1.4 T0

PID 0.6 K0 0.5 T0 0.125 T0 0.85 T0


que la amplitud de una oscilación ha ser reducida en un factor de cuatro luego de transcurrido un período de la onda. Ésto corresponde a un factor de amortiguamiento ζ=0.2 para los polos dominantes de lazo cerrado, lo que brinda una performance muy pobre.

Fig. 1.21. Comparación de los métodos de Ziegler-Nichols. El proceso es P(s)=e-2s/(1+s)4. La respuesta al escalón es la mostrada en la Fig. 1.19, y la curva de Nyquist es la de la Fig. 1.20. El controlador es PI. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

Contemplando la Fig. 1.21, se nos ocurre pensar que ningún ingeniero de control de la década de 1950 puede haberse sentido feliz con las respuestas temporales que obtenía al aplicar los métodos de Ziegler-Nichols. La pregunta que surge es: ¿qué razón subyacía y/o subyace a la popularidad de estos procedimientos, en vista de la tristeza que dimana de los resultados obtenidos de su aplicación? La respuesta es elemental: la sim-pli-ci-dad. Tanto el método de respuesta al escalón, como el basado en la respuesta en frecuencia, son sumamente fáciles de aplicar y los resultados obtenidos constituyen un punto de partida confiable, para que el ingeniero de planta ejercite la habilidad de sus neuronas, a fin de lograr mejoras palpables en la salida del proceso. 1.4.2. Reglas de Chien, Hrones y Reswick.

Por cierto que no fueron Ziegler y Nichols los únicos en incursionar por el florido prado de las fórmulas sintéticas que pretenden brindar una panacea al problema de la sintonía de los lazos de control... Si damos una ojeada a la literatura del último medio siglo en esta área, nos encontramos con textos, como el enciclopédico de W. Oppelt4, donde se describen los métodos de: Cohen y Coon; Chien, Hrones y Reswick; Hazebroek y Van der Waerden; Oldenburg y Sartorius; Takahashi; Ziegler y Nichols; etc. Las reglas de Chien, Hrones y Reswick fueron desarrolladas en 1952 como consecuencia de intensivas simulaciones realizadas con la ayuda de computadoras analógicas. Presentan la ventaja de haber sido calculadas por separado para las respuestas al comando y a la perturbación de carga, encontrándose a su vez diferenciadas en reglas para respuestas aperiódicas y reglas para respuestas oscilatorias con 20% de sobrepasamiento frente a una excitación en escalón. Estas reglas se basan en caracterizar los procesos mediante los parámetros: ganancia estática Ke, máxima pendiente de la respuesta Ke/Ta y tiempo de retardo Tr, obtenibles de la respuesta al escalón (Fig. 1.22).

4 W. Oppelt: Kleines Handbuch Tecnischer Regelvorgänge. Verlag Chemie GmBH, Weinheim/Bergstr., 1972.


Fig. 1.22. Respuesta al escalón unitario de un proceso y procedimiento empleado para determinar los valores de Ke, Ta y Tr.

Respuesta aperiódica de tiempo mínimo

al escalón de comando

al escalón de perturbación

P

0.3 a

e r

TK

K T= ⋅

0.3 a

e r

TK

K T= ⋅

PI

0.35; 1.2a

i a

e r

TK T T

K T= ⋅ =

0.6; 4a

i a

e r

TK T T

K T= ⋅ =

PID

0.6; ; 0.5a

i a d r

e r

TK T T T T

K T= ⋅ = =

0.95; 2.4 ; 0.42a

i a d r

e r

TK T T T T

K T= ⋅ = =

Tabla 1.3. Parámetros de controladores según CHR para respuesta aperiódica.

Respuesta oscilante con 20% de sobrepasamiento

al escalón de comando

al escalón de perturbación

P

0.7 a

e r

TK

K T= ⋅

0.7 a

e r

TK

K T= ⋅

PI

0.6; a

i a

e r

TK T T

K T= ⋅ =

0.7; 2.3a

i a

e r

TK T T

K T= ⋅ =

PID

0.95; 1.35 ; 0.47a

i a d r

e r

TK T T T T

K T= ⋅ = =

1.2; 2 ; 0.42a

i a d r

e r

TK T T T T

K T= ⋅ = =

Tabla 1.4. Parámetros de controladores según CHR para respuesta oscilante con 20% de sobrepasamiento.


A fines comparativos, los valores de ajuste para respuesta aperiódica y oscilante de las Tablas 1.3 y 1.4, han sido aplicados al mismo proceso P(s)=e-2s/(1+s)4 que utilizáramos al tratar los ajustes de Ziegler-Nichols, mostrándose los resultados para controladores PI en los gráficos de la Fig. 1.23.

Fig. 1.23. Conjunto de ajustes CHR. El proceso es P(s)=e-2s/(1+s)4. La respuesta al escalón es la mostrada en la Fig. 1.22, con los parámetros Ke=1; Tr=3.425seg; Ta=4.464seg. El controlador es PI. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

Comparando las Figs. 1.21 y 1.23, no encontramos razones para sentirnos demasiado felices. Podemos, eso sí, decir que los ajustes según CHR producen respuestas subjetivamente mejores que los de Z-N. Tampoco debemos caer en el error de juzgar la bondad de un método por su aplicación a un único caso, donde con toda probabilidad hemos tenido la mala suerte de toparnos con un proceso P(s) mal acondicionado. Como síntesis podemos decir que en su conjunto, las reglas empíricas, constituyen un punto de partida viable para la determinación del ajuste de controladores, hecho que resulta particularmente ventajoso cuando no se cuenta con un modelo analítico preciso del proceso controlado. Recientemente se han realizado ulteriores aportes al área de las reglas empíricas de ajuste, destacándose los trabajos de Hägglund y Åström5 que se encuentran sintetizados en una de las publicaciones6 de esta Cátedra. 5 T. Hägglund, K.J. Åström: Revisiting the Ziegler-Nichols Tuning Rules for PI Control. Asian Journal of Control, vol. 4, No. 4, (Dec. 2002), págs 364-380. K.J. Åström, H. Panagopoulos, T. Hägglund,: Design of PI Controllers

based on Non-Convex Optimisation. Automatica, vol. 34, No. 5, (1998), págs. 585-601. 6 W. Cova: Control PID – un enfoque descriptivo. Universidad Tecnológica Nacional, F. R. La Rioja. 2005.


1.5. Ajuste de parámetros aplicando constante de tiempo equivalente.

1.5.1. Constante de tiempo equivalente.

En la industria de procesos, a menudo resulta imposible contar con un modelo preciso del comportamiento de la planta. Esto en general ocurre porque el sistema no responde a un modelo de parámetros concentrados, por lo que mal puede ser representado por ecuaciones diferenciales ordinarias. En estos casos, se obtienen buenos resultados si se procede a caracterizar la dinámica de la planta controlada por medio de una constante de tiempo equivalente. El empleo de la constante de tiempo equivalente, es particularmente aconsejable para el caso de plantas aperiódicas y bien amortiguadas. El valor de la constante de tiempo equivalente, corresponde a la de aquel sistema de primer orden que mejor aproxime la respuesta al escalón de la planta en cuestión, en el sentido de tener la misma ganancia estática e igual superficie de control, tal como muestra la Fig. 1.24.

Fig. 1.24. Definición de la planta sustituta en base a un sistema de primer orden con constante de tiempo equivalente. Las áreas sombreadas se compensan.

La superficie de control de un sistema proporcional (es decir no integrante) está definida como la superficie encerrada entre la curva de respuesta al escalón y el valor final alcanzado.

+

_

Fig. 1.25. Superficie de control.


Recordemos que la expresión analítica de la superficie de control es sencilla. Partiendo de una planta con función de transferencia racional

1 0

1 0

' '' '0 1 0

' '0 1 0 0 0

( ) ; con 1; 0 para

1 ; ; ;

1

n

nn in

n

n

n i ii i en

n

b s b s bP s a b i m

a s a s a

b b s b s b a bb a K

a a s a s b a a

+ + += = = >

+ + +

+ + += ⋅ = = =

+ + +

�

�

�

�

(1.22)

se puede calcular el valor de la superficie buscada, excitando a la planta con un escalón unitario

( )tσ , mediante un integrador y previa sustracción del valor final (0)e

K P= de acuerdo al diagrama en bloques

eK

1 s

( )P s

( )tσ

_

cA

1( )P s

Fig. 1.26. Diagrama de cálculo de la superficie de control Ac. Y con

1

' ' ' ' ' '1 1 1

' ' ' '1 1

( ) (0) ( ) ( )

1 ( ) ( ) 1

1 1

e

n n

n n ne en n

n n

P s P P s K P s

b s b s a b s a b sK K

a s a s a s a s

= − = − =

+ + + − + + −= ⋅ − = ⋅ + + + + + +

� �

� �

(1.23)

se calcula la superficie de control

cA

( )' ' 0 1 11 1 10

0 0 0

1 1lim ( ) .c es

b a bA s P s K a b

s s a a b→

= ⋅ ⋅ ⋅ = − = −

(1.24)

De modo que la función de transferencia sustituta de primer orden resulta ser

0 1 1

0 0 0

( )1

con ;

ee

e

e e

KP s

T s

b a bK T

a a b

=+

= = − (1.25)

Podemos constatar además que las plantas con tiempo muerto también son representables mediante una función de transferencia sustituta


2

1( )

( )1

1! 2!1

1

mT s

e e

m m

e

m

P s K e KT s T s

KT s

−= ⋅ = ⋅+ + +

≈ ⋅+

� (1.26)

ya que eliminando del desarrollo en serie del denominador de (1.26) los términos de orden superior al primero, nos encontramos de nuevo ante una función de transferencia sustituta de primer orden. De esta manera, una función de transferencia generalizada

1 0

1 0

( ) m

mT s m

n

n

b s b s bP s e

a s a s a

− + + += ⋅

+ + +

�

� (1.27)

posee la constante de tiempo equivalente

1 1

0 0e m

a bT T

a b= + − . (1.28)

Un ejemplo de cálculo servirá para afirmar nuestros conocimientos. Sea entonces la planta de tercer orden con tiempo muerto y un cero en el semiplano derecho, cuya función de transferencia es

( ) ( )

( )

1 2

2

30 0

1 1( )

21 1

mT s

e

T s T sP s K e

sT s s

ζω ω

− + − +=

+ + +

Operando en numerador y denominador para llevar a ( )P s a la forma general (1.22) tenemos

1

0

1

0

21 2 1 2

3 23 332 2

0 0 0 0

( ) 1( )

1 2 21

m

b

b

T s

e

a

a

TT s T T sP s K e

T Ts s T s

ζ ζω ω ω ω

− − + − +=

+ + + + +

��

��

y calculamos la constante de tiempo equivalente de la planta sustituta como

3 1 20

2e m

T T T T Tζ

ω= + + − + .

Si bien el ejemplo demuestra la influencia de los diferentes componentes de una planta sobre el valor de

eT , no debemos perder de vista que este método es de aplicación cuando tan sólo se


cuenta con los datos empíricos procedentes del registro gráfico del comportamiento de la planta en respuesta a una excitación en escalón. En tal caso, se procede a determinar el valor de la ganancia estática

eK y a estimar el área

cA de la superficie de control. Por aplicación de las

expresiones (1.24) y (1.25), la constante de tiempo equivalente se calcula como

ce

e

AT

K= . (1.29)

La función de transferencia sustituta de primer orden, brinda una buena aproximación a la respuesta en fase para bajas frecuencias (hasta 1/

eTω = ) de la f.t. de la planta original. El caso

más desfavorable para tal aproximación ocurre cuando la constante de tiempo equivalente corresponde a polos con iguales constantes de tiempos (es decir planta con polos múltiples). En consecuencia, luego de dimensionar un controlador empleando la constante de tiempo equiva-lente, se deberá verificar que la frecuencia de cruce ( )

cω de lazo abierto del sistema compen-

sado, se encuentre por debajo del valor 1/e

T , lo que equivale a decir que c

ω debe pertenecer al dominio de validez del método. 1.5.2. Dimensionamiento en base a la constante de tiempo equivalente.

El controlador más simple que puede ser dimensionado en base a Te es el tipo I (integrador puro). La función de transferencia de lazo abierto correspondiente es

1 1

( ) ; y normalizando resulta ( )( 1) ( 1)

e iiN

i e e iN e

K TL s T L s

T s T s K T s T s= ⋅ = =

+ +. (1.30)

La f.t. de lazo cerrado resulta ser

2

2

0 0

( ) 1( )

1 ( ) 1

1

21

iN e iN

L sT s

L s T T s T s

ss

ζω ω

= =+ + +

=

+ +

(1.31)

y en función del amortiguamiento ζ el tiempo de integración normalizado es 24

iN eT Tζ= . (1.32)

La frecuencia de cruce de lazo abierto ωc es calculable también en función de la relación de amortiguamiento ζ

2

2 2

11 ( ) ;

( ) 1

1 4 ( ) 1

c

iN c e c

e c e c

L jT T

T T

ωω ω

ζ ω ω

= =+

= +

(1.33)


Operando algebraicamente sobre (1.33) se obtiene

4

1 11 1

42c eTω

ζ= ⋅ + − (1.34)

deduciéndose que la frecuencia de cruce 1/ 41/ para (1/ 32) 0.4204

c eTω ζ< > = , lo que nos

asegura que el amortiguamiento óptimo ζ = 0.707 conducirá a un dimensionamiento del controlador 2 2

iN e i e eT T T T K= → = compatible con el dominio de validez del método

empleado. 1.5.2.1. Dimensionamiento de otros controladores standard.

El método de la constante de tiempo equivalente es utilizable para calcular los parámetros de controladores P, PI y PID. De acuerdo a las consideraciones de peor caso realizadas precedentemente, asumiremos que la constante de tiempo equivalente surge de una planta con polos múltiples. Controlador P: Una vez calculadas la ganancia estática Ke y la constante de tiempo equivalente Te , suponemos que Te es originada por una planta con un polo doble en s = –2/Te , por lo que la función de transferencia de lazo abierto del sistema compensado será

2

2 2

( ) ; y normalizando

12

resulta L(s)= con la f.t. de lazo cerrado ( )

1 12 2

eN e

e

N N

e eN

KL s K K K K

Ts

K KT s

T Ts s K

= ⋅ = +

= + + +

(1.35)

Procediendo de la misma manera que hiciéramos con el controlador I, una relación de amortiguamiento ζ = 1/√2 en la f.t. de lazo cerrado nos conduce a 1 1/

N eK K K= → = . Para

1N

K = es ( ) 1 solamente para 0c cL jω ω= = con lo que se verifica la condición 1/c e

Tω < .

Controlador PI: En este caso también supondremos que Te es originada por una planta con un polo doble en s = –2/Te , por lo que nos queda la función de transferencia de lazo abierto

2

1( )

12

i e

i e

T s KL s K

T s Ts

+= ⋅

+

(1.36)

Si en (1.36) compensamos un polo de la planta con el cero del controlador, adoptamos el dimensionamiento del tiempo de integración / 2

i eT T= (1.37)


Reemplazando el valor calculado en (1.37) y simplificando obtenemos

1

( ) y si llamamos , es: ( )2

1 12 2 2

e eN

e e eeN

K TKL s T L s

T T TKKs s T s s

= ⋅ = = + +

(1.38)

Comparando la (1.38) con la Ec.(1.30), determinamos que ambas son formalmente idénticas, por lo que sin más trámite importamos los resultados obtenidos al tratar el controlador I, teniendo por cierto el cuidado de respetar el valor de Te/2 del denominador de (1.38). En estas condiciones, la Ec.(1.34) conduce a que la frecuencia de cruce será 1/

c eTω < para

valores de amortiguamiento de lazo cerrado 1/ 4(1/ 5) 0.6687ζ > = , por lo que usando ζ = 0.707 aseguramos la condición de frecuencia de cruce. Con dicho valor de amortiguamiento la (1.32) nos conduce a

1

y, en consecuencia: 2 2

eN e e

e e

TT T T K

KK K= → = = (1.39)

quedando completado el dimensionamiento del controlador PI. Controlador PID: Para este controlador debemos partir del supuesto que la constante de tiempo equivalente Te es originada por una planta con un polo triple en s = –3/Te ; para el controlador utilizaremos la forma PI-PD que es más fácil de dimensionar que la forma standard. Con el controlador:

( )1( ) 1 1 d

i

C s K T sT s

= + +

(1.40)

calculamos la f.t. de lazo abierto

( )( )

3

1 1( )

13

i d e

i e

T s T s KL s K

T s Ts

+ += ⋅

+

(1.41)

Resulta inmediato que si se elige

3e

i d

TT T= = (1.42)

podemos simplificar en la (1.41) dos ceros contra dos polos, de modo que procediendo según lo hiciéramos en (1.38) tendremos que:

1

( ) y poniendo , es: ( )3

1 13 3 3

e eN

e e eeN

K TKL s T L s

T T TKKs s T s s

= ⋅ = = + +

(1.43)

Vemos que podemos repetir los cálculos del caso PI, cuidando ahora de respetar el valor de Te/3 del denominador de (1.43). Así, la (1.34) nos conduce a un límite de la relación de amortigua-


miento 1/ 4(9 / 28) 0.753ζ > = para asegurar que 1/c e

Tω < . Ello nos obliga a seleccionar por

ejemplo ζ = 1 que, a través de (1.32) nos conduce a

4 4 1

y, por lo tanto: 3 3 3 4

eN e e

e e

TT T T K

KK K= → = = (1.44)

1.5.2.2. Comparación con las reglas empíricas.

Al objeto de completar el conjunto de resultados comparativos que hemos venido elaborando hasta el presente, ajustaremos el controlador PI de nuestra planta de referencia P(s)=e-2s/(1+s)4 por el método de la constante de tiempo equivalente. Por simple inspección de P(s) y aplicando (1.28) deducimos el valor de la ganancia estática Ke=1 y de la constante de tiempo equivalente Te=6 seg. Reemplazando en (1.37) y (1.39) obte-nemos para el controlador Ti =Te/2=3 seg.; K=1/2. Los resultados de la simulación se muestran en la Fig. (1.27).

Fig. 1.27. Ajustes por constante de tiempo equivalente Te para controladores PI y PID operando con la planta P(s)=e-2s/(1+s)4. Se muestran las respuestas a un escalón en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbación de carga en t =100 seg.

En la misma figura hemos graficado las respuestas para un controlador PID calculado de acuerdo a (1.42) y (1.44). Comparando las figuras (1.21), (1.23) y (1.27) vemos que los resultados obtenidos tanto por aplicación de reglas empíricas como por el método de la constante de tiempo equivalente, son muy parecidos. Este hecho no nos sorprende en absoluto: por más que el procedimiento de cálculo por medio de la constante de tiempo equivalente aparezca a nuestros ojos como “más analítico”, se basa en aproximar el comportamiento de la planta por una función sustituta de primer orden a partir de la cual se calculan los parámetros. Pero también las reglas de Ziegler-Nichols y de Chien, Hrones y Reswick se basan en una aproximación de este tipo; como consecuencia, los resultados deben ser necesariamente similares.


1.6. Control en cascada.

1.6.1. Generalidades.

Hasta el presente, hemos caracterizado a las plantas controladas, como un único bloque diná-

mico. Especialmente en la industria de procesos, en instalaciones de calefacción o en equipamientos eléctricos de accionamiento, es conducente considerar la planta subdividida en bloques parciales. De tal manera se pueden representar con facilidad los puntos de aplicación de perturbaciones, sirviendo además para simplificar el análisis del control. Si con la modelización por bloques se representa la estuctura física de la planta, entonces con toda seguridad se deseará asegurar que las variables intermedias se mantengan acotadas, aun en presencia de perturbaciones. Designaremos como variables intermedias, a las salidas de los bloques parciales que integran la planta controlada. Consideremos como ejemplo una instalación de calefacción. Por efecto de la variación de entalpía la caldera puede calentarse rápidamente, mientras que la temperatura del ambiente cale-faccionado recién se modifica tras un largo tiempo de retardo. Si se empleara un único controlador para regular la temperatura ambiente y si la potencia calefactora de la caldera fuera la variable manipulada, existe el peligro (especialmente durante la puesta en marcha) que una brusca variación del punto de ajuste origine un sobrecalentamiento de la caldera antes que el controlador reduzca la señal de control como consecuencia del aumento de la temperatura de la habitación.

PC

Potencia Calefacción

θC

Temperatura Caldera

θH

Temperatura Habitación Caldera

T1 ≈ 5 min Habitación

T2 ≈ 60 min

Fig. 1.28. Modelo simplificado de una instalación de calefacción. Se desea monitorear la temperatura de caldera mediante un sensor de modo de evitar que se produzcan valores peligrosos; para ello se utilizará un controlador adicional cuya salida, adecua-damente limitada, constituirá el valor de referencia para la temperatura de la caldera. Queda así formado un sistema de control en cascada.

θHref

Temp.. deseada

Controlador Temperatura Habitación

_

_

Controlador Temperatura

Caldera

Caldera Habitación

θCref θH θC

PI+Limitador PI

Fig. 1.29. Control en cascada de calefacción.


En el ejemplo que acabamos de exponer, aparece una relación típica del control en cascada: el lazo interno de control (la regulación de temperatura de caldera) posee una constante de tiempo mucho menor que el lazo exterior (regulación de la temperatura de la habitación). En general un control en cascada consiste en una planta constituida por la conexión serial de bloques dinámicos, que representan “plantas parciales”. De acuerdo a la Fig. (1.30) la función de transferencia de la planta completa vale 4 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )P s P s P s P s P s= ⋅ ⋅ ⋅ (1.45)

C1 o o o _ _

o

C2

C3

C4

P4

P3

P2

P1 _ _

Fig. 1.30. Control en cascada. Con cada variable intermedia se encuentra asociado un sensor que realimenta su valor al controlador correspondiente ( C1, C2, C3, C4). Tan sólo la señal de control del lazo más interno se aplica directamente a la entrada de la planta; las señales de control de los lazos externos constituyen las señales de comando de los lazos sucesivos. En la práctica, un control en cascada resulta más fácil de dimensionar que un control de lazo único. Si la planta contiene integradores y constantes de tiempo de valor elevado, resultaría necesario emplear (en un control de lazo único) varios adelantadores de fase a fin de asegurar la estabilidad del conjunto. El resultado final no es satisfactorio, por la fuerte amplificación que los adelantadores de fase proporcionan a las componentes de alta frecuencia del ruido de medición. Resulta mucho más conveniente emplear sensores adicionales e implementar un control en cascada, cuidando de asegurar que cada controlador proporciona una caída de alta frecuencia suficiente para atenuar los ruidos. El control en cascada hace posible una puesta en marcha secuencial de los lazos de control comenzando del más interno y concluyendo con el exterior. Así, en nuestro ejemplo de la calefacción, puede ponerse en marcha la regulación de temperatura de la caldera y posterior-mente cerrar el lazo del control de temperatura del ambiente.

_

_

Te ≈ 2

d

Te ≈ 10

C2 P1 C1 P2

Fig. 1.31. Perturbación en un control en cascada.


Otras de las ventajas del control en cascada está dada por el mejoramiento de la velocidad de rechazo de perturbaciones que afecten los lazos internos. Refiriéndonos a la Fig. 1.31, el contro-lador del lazo interno está dimensionado para la menor de las constantes de tiempo de la planta, por lo que la perturbación d será compensada en un lazo de alta velocidad de respuesta, siendo consecuentemente reducida su influencia sobre el lazo de control externo. Conceptualmente d puede representar tanto una variable física perturbadora, como una variación de los parámetros de la planta parcial P2. Observamos entonces que el control en cascada hace más insensible al sistema frente a variaciones de la planta, y en consecuencia mejora su robustez. 1.6.2. Dimensionamiento de un control en cascada. Cálculo por aproximación.

La dinámica de conjunto de un control en cascada es de orden elevado. Un cálculo analítico de los ajustes de los controladores, fracasa rápidamente frente al alto de grado de los polinomios que aparecen en las funciones de transferencia. Solamente para casos especiales de plantas con estructuras regulares pueden deducirse expresiones analíticas útiles. Una muy buena solución aproximada es la que brinda la aplicación del método de la constante de tiempo equivalente. De acuerdo a lo presentado en 1.5.2., sabemos calcular un controlador I para una planta de primer orden

1

( )1

e

P sT s

=+

(1.46)

21( ) con 4

i e

i

C s T TT s

ζ= = (1.47)

La función de transferencia de lazo cerrado resultante es, de acuerdo a (1.31):

2 2 2 2 2

1 1( )

1 4 4 1i e i e e

T sTT s T s T s T sζ ζ

= =+ + + +

(1.48)

y aplicando la definición (1.28) encontramos el valor de la constante de tiempo equivalente de lazo cerrado 24

eLC eT Tζ= . (1.49)

Si la planta consiste en un función de transferencia sustituta y un elemento de primer orden en el lazo interior, con ulteriores elementos de primer orden en las etapas exteriores (Fig. 1.32), se pueden emplear controladores PI.

C1 o o _

o

C2

C3 Te

V3

T3

V2

T2

V1

T1 _ _

Fig. 1.30. Control en cascada – Vi, Ti son las ganancias y constantes de tiempo de las etapas de primer orden.


Comenzando por el lazo interior se dimensionarán los controladores en forma sucesiva; en cada etapa, el cero del PI compensará una constante de tiempo conocida de la planta. Se empleará la misma relación de amortiguamiento ζ para todas las etapas.

33 3

3

1( ) i

i

T sC s K

T s

+= (1.50)

33

3

( )( 1)( 1)

e

VP s

T s T s=

+ + (1.51)

El tiempo de integración de C3 es entonces 3 3i

T T= (1.52)

Planteando la f.t. de lazo cerrado y resolviendo en función de ζ obtenemos la ganancia K3 del controlador y la constante de tiempo equivalente Te3 del lazo más interno:

33 2

34e

TK

T Vζ= (1.53)

2

3 4e e

T Tζ= (1.54) La constante de tiempo equivalente Te3 será empleada para dimensionar C2(s). El adelanto de C2 compensará la constante de tiempo T2 de la planta, resultando

( )

( )

2 2

2 22 22 2 2

3 2 2

22 2 22 3

4 4

4 4

i

ee

e e e

T T

T TK

T V T V

T T T

ζ ζ

ζ ζ

=

= = = =

(1.55)

Con este procedimiento, vemos que las constantes de tiempo crecen de adentro hacia fuera con un mismo factor 24b ζ= . (1.56) La velocidad de respuesta del sistema queda entonces determinada por la constante de tiempo equivalente del lazo más interno. Si se vuelve a dibujar el diagrama de bloques de la Fig. 1.30 considerando la simplificación de polos y ceros que provoca el dimensionamiento adoptado obtenemos

3

1

eb T s

1

ebT s

11

eT s +

2

1

eb T s_ _ _

Fig. 1.31. Control en cascada – diagrama reducido.


La Fig. 1.31 presenta la apariencia de varios controladores ocupados en regular una misma variable de salida. Un análisis detallado del comportamiento del sistema, nos conduce a que esta estructura es estable, con independencia de la cantidad de etapas involucradas, mientras se elija una relación de amortiguamiento 1/ 2ζ ≥ . Si una etapa de la planta contiene más de una constante de tiempo conocida, el correspondiente controlador puede dimensionarse como PID, seleccionando los parámetros de los ceros para producir la simplificación de los polos de la planta. El restante dimensionamiento puede realizarse según el mismo procedimiento que empleamos para el PI. 1.6.3. Control en cascada para una planta integradora. Método del óptimo simétrico.

Si una etapa de la planta posee un integrador además de un componente de primer orden, surge un caso especial, que requiere un tratamiento diferente. Sea entonces la etapa que se representa en la siguiente figura.

1

1T s

1

1eT s +

( )C s Y

_

U W

Fig. 1.32. Etapa integradora en una cascada.

Si elegimos para el controlador una estructura PI7 la función de transferencia de lazo abierto tiene la forma

( ) 2

1 1

1 11( )

1 1i i

i e i e

T s T sKL s K

T s T s T s T T s T s

+ += ⋅ = ⋅

+ + (1.57)

No podemos simplificar el cero con el polo de la planta: si hiciéramos eso, al cerrar el lazo nos quedaría un oscilador precioso! Resulta evidente que, de las dos posibles distribuciones de polos y ceros que tenemos variando Ti , la correspondiente a Ti > Te da origen a un lugar de raíces estable.

o

1

eT

−

×

jω

σ σ

jω

× × × × × o

1

iT

−

1

eT

−

1

iT

−

i eT T< i e

T T>

Fig. 1.33. Distribuciones de polos y ceros para (1.57).

7 A pesar de ser integradora la planta, resulta necesario que el controlador también posea acción integradora para cancelar las perturbaciones cuyo punto de entrada al sistema se encuentre antes del integrador.


El factor de adelanto-atraso de fase de (1.57) proporciona un adelanto de fase ( ) ( )arctan arctani eT Tϕ ω ω= − (1.58)

cuyo máximo corresponde a la frecuencia

1

m

i eT T

ω = (1.59)

que es la media geométrica entre 1

eT

y 1

iT

.

Si se define el factor a de acuerdo a 2

i eT a T= (1.60)

entonces resulta

1

m

e i

a

aT Tω = = . (1.61)

Fig. 1.34. Diagrama de Bode para ‘óptimo simétrico’. φmax es igual al margen de fase del sistema.

La curva de fase de L(jω) posee un máximo global a la frecuencia ωm. Debido a la simetría que manifiesta la curva de fase, el presente método de dimensionamiento se conoce como método del óptimo simétrico

8. El valor del máximo de fase, depende de la relación entre las constantes de tiempo, es decir depende de a.

8 Escarbando en las razones por las cuales aparece la palabra ‘óptimo’ en el nombre de este método, debemos consignar que su aplicación corresponde a maximizar la planitud de la respuesta en frecuencia del polinomio denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, muy similarmente a como se procede al diseñar un filtro analógico de Butterworth.


max

1arctan arctan arctan( ) arctan

2i e

e i

T Ta

T T a

πϕ = − = − <

(1.62)

Por lo tanto resulta criterioso elegir la ganancia K del controlador, de manera tal que ωm se corresponda con la frecuencia de cruce ωc haciendo ( ) 1mL jω = , con lo que el valor de (1.62)

corresponde al margen de fase del sistema. Sustituyendo en (1.57) 2

i eT a T= y tomando a como parámetro de dimensionamiento, la f.t. de

lazo abierto se reescribe en la forma:

2

2 21

1( )

1e

e e

a T sKL s

a T T s T s

+= ⋅

+ (1.63)

De acuerdo con (1.62) el parámetro a depende del margen de fase maxϕ que se pretenda lograr,

por lo que prefijando este último valor quedan determinados tanto a como la frecuencia ωm que, como dijimos corresponde a la frecuencia de cruce del sistema.

Fig. 1.35. Relación de a vs φ.

A la frecuencia ωm debe dimensionarse la ganancia K del controlador de modo que la f.t. de lazo abierto sea unitaria

2 2

2 2 21

( ) 11 ( )

( ) 1e m

m

e m e m

a TKL j

a T T T s

ωω

ω ω+

= = ⋅+

(1.64)

Reemplazando en (1.64) a ωm por su valor, dado por (1.61) y operando algebraicamente se deduce:

11

e

TK

a T= ⋅ . (1.65)

Si se reemplaza el valor calculado de K en la expresión (1.63) de la f.t. de lazo abierto y se simplifica:

( ) ( )

2

2

1( )

1e

e e

a T sL s

a aT s T s

+=

+ (1.66)


con (1.66) estamos ahora en condiciones de calcular la función de transferencia de lazo cerrado, llevando a como único parámetro, ya que Te depende exclusivamente de la planta (veáse fig. 1.32),

2

3 3 3 3 2 2 2

1( ) ( )( )

1 ( ) ( ) 1e

e e e

a T sL s N sT s

L s D s a T s a T s a T s

+= = =

+ + + + (1.67)

El polinomio denominador de T(s) posee siempre un polo real en 1 ( )

es aT= − ; factoreando

entonces a D(s) tendremos:

( ) ( ) ( )

( )

2

2

( ) 1 1 1

1 1 1

e e e

e

m m

D s aT s aT s a aT s

s aaT s s

ω ω

= + + − +

− = + + +

(1.68)

por lo que los dos polos restantes poseerán una relación de amortiguamiento

1

2a

ζ−

= . (1.69)

La Ec.(1.69) brinda un alternativa al problema del dimensionamiento del controlador: dado un amortiguamiento deseado, obtenemos a, valor con el que calculamos la frecuencia de cruce ωm y los parámetros K y Ti del controlador PI. Observamos que el valor de la constante de tiempo Te de la planta define la velocidad de respuesta del sistema.

Fig. 1.36. Respuesta al escalón de (1.67)

Todas las respuestas al escalón exhiben sobrepasamiento, debido al efecto del cero en el numerador de T(s). Por otra parte, si aplicamos la definición de superficie de control (1.28) a la f.t. de lazo cerrado (1.67) obtenemos

2 20 1 1

0 0 0

0c e e

b a bA a T a T

a a b

= − = − =

(1.70)

Ello significa dos cosas: en primer lugar que la aplicación del método del óptimo simétrico produce una f.t. a lazo cerrado para la cual no es posible definir una constante de tiempo equivalente, y en segundo término que las áreas encerradas por arriba y por debajo del valor final (1) y la curva de respuesta al escalón, se compensan entre sí.


Retornando ahora a nuestro punto de partida, es decir a la Fig. 1.32: si esta etapa, cuyo controlador C(s) acabamos de dimensionar, se encuentra integrada en una cascada, será necesario conectarle un filtro de comando con la constante de tiempo a2

Te a fin de eliminar el cero del numerador de T(s) .

1

1T s

1

1eT s +

( )

PI

C s Y

_

U W 2

11ea T s +

V

Fig. 1.37. Etapa integradora con compensador y filtro de comando.

De esta manera, la función de transferencia de V a Y queda

2 3 3 3 3 2 2 2

( ) 1 1( )

( ) 1 1e e e e

Y sT s

V s a T s a T s a T s a T s= ⋅ =

+ + + + (1.71)

y procediendo en la forma acostumbrada, podemos reemplazar a (1.71) por su constante de tiempo equivalente para continuar con el dimensionamiento de los lazos de control exteriores.

1.6.4. Consideraciones finales.

Los lazos internos de un control en cascada se implementan con el objeto de limitar ciertas variables físicas (p.ej.: temperatura de caldera, corriente de inducido, etc.) o bien para minimizar los adelantos de fase necesarios y en consecuencia mejorando la robustez ante el ruido del sistema en su conjunto. Para ambas finalidades no resulta imprescindible que estos lazos de control trabajen con error estacionario nulo. En consecuencia se puede prescindir de controladores integradores si los proporcionales brindan un error suficientemente pequeño. El uso de un controlador proporcional hace más rápida la respuesta transitoria (pagando el consabido costo del error en estado de régimen). Cumpliéndose las condiciones antedichas y siendo suficiente el rechazo de perturbación proporcionado por los controladores P, se puede diseñar el control en cascada empleando un único controlador PI en el lazo externo para garantizar la precisión de la última variable controlada. 1.7. Interacción de integradores con actuadores saturables.

1.7.1. El problema del windup.

El windup9 es un efecto no lineal que se encuentra en prácticamente todos los controladores y es

causado por la interacción de la acción integradora con las saturaciones. Todos los actuadores están sujetos a limitaciones: un motor tiene una velocidad máxima, una válvula no puede estar

9 Podríamos traducir windup como un efecto de carga o acumulación en el integrador, pero preferimos no hacerlo ya que el fenómeno se conoce internacionalmente con su designación en inglés.


más abierta que totalmente abierta (o recíprocamente, totalmente cerrada), la salida de un amplificador no puede superar la tensión de alimentación, etc. Para un sistema de control que opere en un amplio rango de condiciones, puede ocurrir que la variable de control alcance los límites o topes del actuador. Cuando esto último ocurre, el lazo de realimentación se interrumpe y el sistema opera a lazo abierto, porque el actuador permanece en el tope independientemente del valor de la salida del proceso. Si el controlador utilizado posee acción integradora, el error continuará siendo integrado. Esto significa que el término integral puede llegar a hacerse muy grande; coloquialmente diríamos que se va “remontando” como un barrilete cada vez más alto o, en inglés: ‘it winds up’. Posteriormente se requiere que el error posea signo contrario durante un largo período antes de que las cosas retornen a la normalidad. Extraemos como consecuencia que todo controlador que posea acción integradora puede originar transitorios largos cuando se satura el actuador. Para ejemplificar el efecto de windup, se muestra en la Fig. 1.38 el comportamiento de un proceso integrador gobernado por un controlador PI, con un actuador saturable. La variación inicial del punto de ajuste es tan grande que el actuador satura de inmediato en su límite superior. El término integral crece inicialmente por ser el error positivo; alcanza su máximo para t=10, tiempo para el cual el error se anula. El actuador permanece saturado en este punto, debido al valor elevado que posee el término integral, y continuará en el límite superior hasta que el error haya sido negativo durante el tiempo necesario para la parte integral disminuya hasta alcanzar un valor bajo. Se observa en la figura que la señal de control u(t) oscila repetidas veces entre sus límites superior e inferior. El efecto neto es un gran sobrepasamiento y una oscilación amortiguada hasta el momento en que la variable controlada y(t) se mantiene lo suficientemente cerca del punto de ajuste, el actuador deja de saturar y el sistema exhibe un comportamiento lineal. Si bien en este ejemplo hemos considerado el windup originado por un escalón en la variable de referencia, también puede ocurrir por efecto de perturbaciones.

Fig. 1.38. Ilustración del windup de un integrador. Considérese que la variable de salida y(t) representa las variaciones del nivel de un tanque de líquido alrededor de su valor medio, siendo el caudal de entrada gobernado por una válvula y un controlador PI.


El fenómeno de windup era bien conocido por los fabricantes de controladores analógicos y las soluciones desarrolladas muchas veces fueron protegidas como secretos industriales. El problema del windup se redescubrió cuando los controladores fueron implementados digitalmente: varios métodos para evitarlo fueron presentados en la literatura técnica. Pasamos a analizar algunos de ellos. 1.7.2. Solucionando el windup.

1.7.2.1. Limitación del Punto de Ajuste.

Una manera de evitar el windup es introducir limitadores en las variaciones de la señal de referencia, de modo tal que el actuador nunca alcance sus límites de saturación. Este procedimiento resulta excesivamente conservador, con la consecuente disminución de la performance. Por otra parte, no evita el windup causado por las perturbaciones de carga.

1.7.2.2. Algoritmos Incrementales.

En los primeros tiempos del control industrial, la acción integral era incorporada al actuador, empleando por ejemplo un motor que operaba directamente sobre una válvula. En este caso el windup era evitado automáticamente, ya que la integración se interrumpía al detenerse la válvula contra su tope. Cuando los controladores se implementaron utilizando técnicas analógicas (y posteriormente computadoras), muchos fabricantes emplearon los así llamados algoritmos de velocidad que configuran análogos del antiguo diseño mecánico. Un algoritmo de velocidad en primer lugar calcula la velocidad de variación de la señal de control que es luego empleada para controlar un integrador. Mediante este concepto resulta fácil inhibir la integración toda vez que la salida del actuador se sature. Si la salida del actuador no es medible, puede emplearse un modelo para computar la saturación. 1.7.2.3. Cálculo Retrógrado y Seguimiento.

El cálculo retrógrado funciona de la siguiente manera: cuando la salida se satura, el término integral del controlador es recalculado de tal manera que su nuevo valor provoque una salida en el límite de saturación. Resulta ventajoso no resetear el integrador en forma instantánea sino dinámicamente, a través de una constante de tiempo Tt. El controlador de la Fig. 1.39, basado en cálculo retrógrado, posee un lazo de realimentación extra que se genera midiendo la salida u del actuador (en la figura del modelo del actuador) y formando la señal de error es como la diferencia entre la salida del controlador v y u. La señal es es inyectada a la entrada del integrador a través de la ganancia 1/Tt ; si no hay saturación es es nula y por lo tanto no afecta la operación lineal del controlador. Cuando el actuador se satura, es es negativa y no-nula; el lazo principal de realimentación se interrumpe, pero debido al lazo auxiliar la salida del integrador es llevada a un valor tal que anule su entrada. En condiciones de saturación la entrada del integrador vale:

1

donde es el error actuante.s

t i

Ke e e

T T+


lim

En condiciones de regimen vale

Siendo resulta

ts

i

ts

i

KTe e

T

KTe u v v u e

T

= −

= − = +

donde ulim es el valor de saturación de la variable de control. Esto significa que v se ubica en un valor ligeramente por encima del límite de saturación y que la señal de control puede reaccionar tan pronto como el error cambia de signo. De esta manera el integrador queda impedido de sufrir windup. La velocidad con la cual se resetea el integrador depende de la ganancia 1/Tt, pudiéndose interpretar Tt como la constante de tiempo que determina la rapidez de reseteo y es llamada constante de tiempo de seguimiento. Y hablamos de seguimiento (o ‘tracking’), porque se obliga a la señal v a seguir de cerca las evoluciones temporales de u.

K Td s –y

Modelo del

+ actuador

e = r – y + v u

+

+ – +

+ es

K

1/s

1/Tt

ACTUADOR

K/Ti

Fig. 1.39. Controlador con anti-windup. La salida del actuador es estimada mediante un modelo matemático.

Ocurre frecuentemente que la salida del actuador no puede ser sensada. Para utilizar el esquema de anti-windup que acabamos de describir, se incorpora al controlador un modelo matemático o analógico del actuador, tal como lo ilustra la Fig. 1.39. Pasamos a analizar la aplicación del esquema anti-windup al sistema simulado en la Fig. 1.38. Obsérvese en la Fig. 1.40 que la salida del integrador es rápidamente llevada a un valor tal que la señal del controlador se encuentra en el límite de saturación, y la componente integral tiene valor negativo en la fase inicial, cuando el actuador se encuentra saturado. Este comportamiento difiere drásticamente respecto de la Fig. 1.38 donde la integral es positiva durante el transitorio inicial. También debe destacarse la dramática mejora de la performance comparada con el controlador PI ordinario empleado en la Fig. 1.38. El efecto de los cambios en la constante de tiempo de seguimiento, se muestra en la Fig. 1.41. De la misma podría inferirse que resulta siempre conveniente seleccionar un valor pequeño de la constante de tiempo, de modo que el integrador se resetee rápidamente. Sin embargo ha de tenerse cuidado al emplear anti-windup en sistemas con componente derivativa de control. Si se selecciona la constante de tiempo demasiado pequeña, señales de error espúreas pueden provocar la saturación del actuador lo que provocará el reseteo accidental del integrador. La constante de tiempo de seguimiento Tt debe ser mayor que Td y menor que Ti. Una regla práctica que ha

sido propuesta, consiste en elegir t i dT T T= .


Fig. 1.40. Controlador con anti-windup aplicado al sistema de la Fig. 1.38.

Fig. 1.41. Respuesta al escalón del sistema de la Fig. 1.38 para diferentes valores de la constante de tiempo Tt.

1.7.2.3.1. Controladores con Modo de Seguimiento.

Se puede interpretar que un controlador con cálculo retrógrado posee dos modos de operación: el modo normal de control cuando opera como un controlador ordinario lineal, y el modo de

seguimiento al operar en presencia de saturación del actuador. La Fig. 1.42 muestra un módulo PID con seguimiento. Nótese que el cambio de modo es automático ya que el modo de seguimiento queda inhibido cuando la señal w es igual a la salida del controlador. Es decir que no se requiere de una lógica para el control modal, lo que resulta especialmente ventajoso para la implementación de sistemas complejos de control en cascada.


ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

1 /d

d

sKT

sT N+

1−

K

b

1s

i

K

T

1

tT

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

w

I v e

y

r

+ –

D

P

SP MV PID TR

SP set point (referencia) MV variable medida TR tracking (seguimiento)

r y w

v

Fig. 1.42. Diagrama en bloques y representación simplificada de un módulo PID con seguimiento.

SP MV PID TR

ACTUADOR

SP MV PID TR

ACTUADOR

Modelo del Actuador

v u

Fig. 1.43. Alternativas de utilización de un módulo PID con seguimiento.

En la Fig. 1.43 hemos representado las alternativas de uso de un módulo PID con seguimiento, cuando la salida del actuador es medible o bien cuando se emplea un modelo del funcionamiento del actuador.


1.8. Controladores basados en modelos.

La selección de compensadores no está de ninguna manera limitada a alguna de las formas standard. El compensador puede ser libremente adaptado a la planta sin ser sometido a restricciones ni de estructura ni de orden de la función de transferencia. Puede especificarse simplemente un comportamiento deseado a lazo cerrado ante señales de comando. En el diseño deberá cuidarse que el comportamiento a lazo cerrado sea estable y que el controlador posea una función de transferencia que sea físicamente realizable.

1.8.1. Diseño por compensación.

Si para el comportamiento del sistema a lazo cerrado de la Fig. 1.44 se especifica un modelo M(s) habrá de cumplirse

( ) ( )

( )1 ( ) ( )

K s G sM s

K s G s=

+ (1.72)

Y puede despejarse la f.t. del controlador:

( ) 1 ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

M s M sK s

G s M s G s G s M s= = ⋅

− − . (1.73)

Fig. 1.44. Sistema de lazo cerrado. Normalmente, sólo se dispone de una función de transferencia aproximada ˆ ( )G s de la planta, por lo que el controlador está dado en realidad por

1 ( )

( )ˆ 1 ( )( )

M sK s

M sG s= ⋅

− (1.74)

Fig. 1.45. Controlador diseñado por compensación.


Explicitando la estructura del controlador como hicimos en la Fig. 1.45, pueden reconocerse los puntos de interés de este procedimiento de diseño. Para producir la función de transferencia

deseada M(s) el controlador deberá contener un factor multiplicativo ˆ1/ ( )G s el que, idealmente,

compensará totalmente la dinámica de la planta. La conexión serie da ˆ( ) 1/ ( ) 1G s G s⋅ ≈ , por lo que la f.t. M(s) con realimentación positiva dentro del controlador queda rodeada por un lazo de realimentación negativa y, en definitiva el sistema a lazo cerrado posee el comportamiento especificado. Para que el método sea aplicable, las siguientes condiciones deben ser verificadas por la planta y por la f.t. del modelo desado:

• La planta debe ser estable. Como la cancelación de los polos de ( )G s mediante los ceros

de ˆ1/ ( )G s no es exacta en la práctica, si ( )G s poseyera un polo inestable, el sistema a lazo cerrado sería inestable.

• Por las mismas razones, la f.t. de la planta debe ser de fase mínima, pues de lo contrario

si la planta poseyera un cero en el semiplano derecho debería ser compensado por un polo inestable del controlador.

• El modelo M(s) con realimentación positiva debe ser estable.

• El exceso de polos del modelo M(s) debe ser por lo menos igual al de la planta, de

manera tal que el controlador –a pesar de contener la recíproca de la f.t. de la planta– resulte causal y por ende, realizable.

El orden del controlador es como máximo igual al orden del numerador de la planta, más el orden del modelo M(s). El modelo normalmente se especifica con M(0)=1, al objeto de asegurar error de régimen nulo en la respuesta al comando. 1.8.2. Controladores parametrizados.

Al contrario de los controladores por compensación que contienen el modelo recíproco de la planta, en la estructura de los controladores parametrizados se integra en forma directa un modelo de la planta. La idea básica es diseñar el control realimentado para una planta estable empleando los conceptos de una estructura de lazo abierto. 1.8.2.1. Caso general.

Aplicando el concepto de control por modelo, el controlador recibe la estructura que muestra la Fig. 1.46. El bloque ˆ ( )G s en el interior del controlador contiene un modelo de la planta. Si hay

coincidencia entre ˆ ( )G s y la planta real ( )G s la realimentación negativa se cancela con la positiva y K’(s) puede considerarse a lazo abierto. Consecuentemente la f.t. K’(s), en primera aproximación puede dimensionarse en base a un modelo estable de la planta ˆ ( )G s , véase la Fig. 1.47.


Fig. 1.46. Planteo de un controlador parametrizado. El cálculo del controlador es en este caso igual de fácil que en el diseño por compensación,

'( )

( )ˆ1 ( ) '( )

K sK s

G s K s=

− (1.75)

Fig. 1.47. Apertura de la realimentación para ˆ( ) ( )G s G s= .

K’(s) se selecciona de manera tal que la cadena ˆ'( ) ( )K s G s⋅ posea una comportamiento dinámico prefijado. Preferentemente también en este caso se busca la precisión en estado de régimen, es decir se impone ˆ'(0) (0) 1K G⋅ = , lo que conduce a un controlador con acción integradora si la planta es proporcional. Debido a que ˆ ( )G s no es un modelo exacto de la planta ( )G s , el controlador K’(s) reaccionará ante errores del modelo y/o variaciones de los parámetros de la planta. Si la implementación no es robusta, esto puede conducir a problemas de estabilidad. Problemas como el que acabamos de apuntar condujeron a Youla10 a desarrollar el método de la parametrización Q que permite especificar el conjunto de todas las f.t. K (s) que respondiendo a la expresión (1.75) aseguran la estabilidad del sistema, para un modelo de planta ˆ ( )G s y una f.t. estable K’(s).

10 D. C. Youla, J. J. Bongiorno and H. A. Jabr, "Modern Wiener-Hopf Design of Optimal Controllers --- Part I:

The Single-Input-Output Case," IEEE Trans. on Automatic Control, AC-21, 1, pp. 3-13, 1976. "Modern Wiener-

Hopf Design of Optimal Controllers --- Part II: The Multivariable Case," IEEE Trans. on Automatic Control, AC-21, 3, pp. 319-338, 1976.


1.8.2.2. Predictor de Smith.

Otro método de diseño desarrollado especialmente para plantas con grandes tiempos muertos, se conoce como Predictor de Smith. En este procedimiento consideraremos a la planta como la conexión serie de una parte racional en s que llamaremos GR(s) y una componente de tiempo muerto puro, ver Fig. 1.48(a). 1 2( ) ( ) siendo p.ej.: ( ) ( ) ( )LT s

R R R RG s G s e G s G s G s

−= = ⋅ . (1.76)

a

b

c

d

e

Fig. 1.48

La respuesta al comando de un lazo reali-mentado convencional presenta un transi-torio muy lento, debido a la dominancia del tiempo muerto que condiciona el dise-ño del controlador. La idea del predictor de Smith consiste en dimensionar el controlador únicamente para la parte racio-nal (con respuesta transitoria rápida) de la planta, según se esquematiza en la Fig.1.48(b). El tiempo muerto se concibe como un elemento conectado en serie, aunque ello pudiera no corresponder a la estructura física real de la planta. Observemos que en la Fig. (b) las pertur-baciones no entran en el lazo de control. Otro inconveniente lo representa la varia-ble intermedia Y1 que eventualmente pu-diera no estar disponible, por lo que debe-ría ser reemplazada por una variable esti-

mada 1Y mediante un modelo ˆ ( )R

G s , véase la Fig. (c). El esquema anterior puede ser ampliado según el concepto de control por modelo; aparece así la primera representación del predictor de Smith, Fig. (d). Vemos que se calcula una variable de sali-da estimada Y teniendo en cuenta única-mente la excitación de comando W y se la compara con la salida real Y, cerrando el lazo con lo que vendría a ser un valor

sintético de la variable de salida. La estabilidad del sistema no es afectada, en tanto sea válido

ˆ ˆ( ) ( ) y además R R L L

G s G s T T≈ ≈ . Se puede entonces concebir al predictor de Smith como una variante del diseño por modelo, ver Fig. (e).


La función de transferencia del controlador queda

( )ˆ

"( )( )

ˆ1 "( ) ( ) 1 LT s

R

K sK s

K s G s e−

=+ −

(1.77)

Y redibujando la Fig. 1.48(e) queda claramente explicitada la estructura del predictor de Smith, claramente similar a un controlador basado en modelo.

Fig. 1.49. Controlador predictor de Smith La relación de entrada salida para el controlador K(s) puede ser escrita como

( )ˆˆ( ) "( ) ( ) ( ) 1 ( )LT s

RU s K s E s G s e U s

− = − − ⋅

(1.78)

El término ( )ˆˆ ( ) 1 ( )LT s

RG s e U s−− ⋅ puede ser interpretado físicamente como la predicción del

efecto de la señal de control U(s) en el intervalo (t–TL, t). El predictor de Smith puede ser interpretado entonces como un controlador ordinario para el que las señales de control pasadas son restadas del error. Las propiedades del predictor de Smith serán ilustradas mediante una ejemplo. Sea una planta de primer orden con retardo dada por

( )1

LsTGK

G s esT

−=+

(1.79)

Un controlador PI que aplicado a la planta racional ( )1

GR

KG s

sT=

+ dé por resultado el polinomio

característico 2 20 02s sζω ω+ + posee los parámetros

0

20

2 1

G

Gi

TK

K

K KT

T

ζω

ω

−=

= (1.80)

U E


como se puede verificar con absoluta facilidad. La Fig. 1.50 muestra las respuestas del sistema a un escalón de comando y a un escalón de perturbación aplicado a la entrada de la planta en t=15. La constante de tiempo de (1.80) vale T=1 y el controlador PI fue diseñado para una respuesta a lazo cerrado con ω0 = 2 y ζ=0.707 del proceso sin retardos. Se muestran los casos correspon-dientes a los retardos TL = 1 y TL = 8 unidades de tiempo.

Fig. 1.50. Respuestas de lazo cerrado con predictor de Smith para retardos TL =1 y TL =8. La figura muestra que las respuestas al escalón de comando tienen igual forma, con independencia del valor del retardo TL . Esta es una propiedad muy notable del predictor. Las formas de las respuestas a la perturbación varían con el valor del retardo TL. Ello no nos sorprende porque la entrada de perturbación no incide sobre el modelo ˆ ( )

RG s incluido en el

predictor. Aplicaremos ahora los conceptos de sensibilidad y de robustez para terminar de definir las carac-terísticas del predictor de Smith. Para ello aplicaremos las definiciones (1.5) y (1.6) y la expresión (1.11) a nuestro sistema.

Suponiendo una modelización perfecta ˆ ˆ( ) ( ) y R R L L

G s G s T T= = , la función de trasferencia de lazo cerrado, que representa la función de sensibilidad complementaria del sistema tiene la forma

"( ) ( )

1 "

y entonces,

" ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) .

1 "

L L

L L

T s T sRR

R

T s T sRR

R

K GT s e T s e

K G

K GS s T s e T s e

K G

− −

− −

= =+

= − = − = −+

(1.81)


En (1.81) TR(s) es la sensibilidad complementaria del sistema sin tiempo muerto. Los diagramas de Bode de magnitud de T(s) y TR(s) son idénticos ya que el tiempo muerto solamente agrega un retraso de fase creciente con la frecuencia. En consecuencia la respuesta espectral en magnitud de T(s) es independiente del tiempo muerto TL. Retornando al ejemplo de la planta de primer orden con retardo dada por la (1.79) con el controlador K”(s) cuyos parámetros calculamos en (1.80) tendremos las siguientes expresiones para las funciones de sensibilidad:

2 20 0 0

2 20 0

(1 ) /(2 1)( )

(1 ) (1 ) 2

( ) 1 ( )

L LsT sTG i

i G i

K K sT s T TT s e e

sT sT K K sT s s

S s T s

ω ζω ωζω ω

− −+ − += =

+ + + + +

= −

(1.82)

cuyas respuestas en frecuencia se muestra en la Fig. 1.51, siempre para ω0 = 2 y ζ=0.707, llevando como parámetro el retardo TL.

Fig. 1.51. Funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria.

Observamos que la función de sensibilidad complementaria mantiene su magnitud constante en prácticamente todo el ancho de banda del sistema. La figura muestra que el pico de sensibilidad Ms = máx|S(jω)| crece muy rápidamente en función de TL, pasando de valer 1.1 para TL=0, al valor Ms = 2 para TL=1.2 Para TL >1.2 la sensibilidad máxima permanece en las cercanías de Ms = 2. También observamos que la sensibilidad para bajas frecuencias crece rápidamente con el incremento de TL produciéndose simultáneamente una disminución en la frecuencia de cruce de sensibilidad (indicada con flechitas).


Recordemos de (1.8) que la función de transferencia a la perturbación a lazo cerrado es igual al producto de la f.t. de la planta por la función de sensibilidad, ello explica la razón del empeoramiento del rechazo a la perturbación al aumentar TL que observamos en la Fig. 1.50. Tratemos ahora la robustez. Para controladores con acción integradora, se tiene T(0)=1; tal es el caso del ejemplo que venimos analizando. Llamemos ωb la mayor frecuencia para la cual se tenga T(0)≈1 (prácticamente leemos ωb =2 en la Fig. 1.51). Si ωbTL ≈ π surge de (1.82) que la sensibilidad máxima vale aproximadamente Ms = 2 porque

1 0

( ) 1 1 1 cos( ) sin( ) 1 1 2b L

b L

j T

b R b L b L

T

S j T e T j Tω

ω π

ω ω ω−

=− = =

= − ⋅ = − ⋅ + = + = ��

.

Para tener baja sensibilidad se requiere que ωbTL no sea grande. De (1.11) se deduce que se pueden sufrir variaciones en los parámetros del proceso sin que el sistema se haga inestable mientras sea

( ) 1

( ) ( )G j

G j T j

ωω ω

∆< .

Para frecuencias menores que ωb el término de la derecha es igual a uno, con lo que la desigualdad puede escribirse: ( ) ( )G j G jω ω∆ <

por lo que la incerteza ∆G(jω) en el plano de Nyquist se representa por un círculo centrado en G(jω) y que pasa por el origen. Si tan sólo consideramos variaciones en la fase de G(jω) provo-cadas por la incerteza ∆TL del tiempo muerto, las variaciones admisibles son de 60° o π/3 radianes (es decir: el margen de fase standard). Tendremos entonces la condición

3b L

Tπ

ω ⋅∆ <

que conduce a la siguiente estimación para las variaciones permisibles del tiempo muerto

1

3L

L b L b L

T

T T T

πω ω

∆< ≈ (1.83)

En definitiva, controladores diseñados para valores elevados de ωb TL requieren que el valor del retardo sea conocido con mucha precisión. Para el sistema de la Fig. 1.50 con TL=8 se tiene ωbTL = 16, lo que implica que el error admisible en el tiempo muerto es a lo sumo del 6%. En la Fig. 1.52 mostramos la variación de la respuesta transitoria de la planta (1.79) con TL=8 y predictor de Smith diseñado para valores nominales, ante incertezas en la determinación de TL. Constatamos que ya para errores en el tiempo muerto ∆TL del orden del 3%, la amplitud de las oscilaciones de la variable controlada comienzan a hacerse excesivas. La conclusión obvia que extraemos de este análisis es que el predictor de Smith posee caracte-rísticas muy interesantes, pero que es aplicable a sistemas plenamente identificados y con escasa incerteza en sus parámetros.


Fig. 1.52. Predictor de Smith para retardo nominal TL =8 e incerteza ∆ TL variable. Respuestas para escalones de comando.

1.9. Factorización coprima.

La factorización coprima constituye un método directo de diseño de controladores para plantas

inestables. Puede ser empleado sin excepciones para cualquier tipo de planta lineal. Para su comprensión deben aclararse previamente dos conceptos:

• Estabilidad interna; • Algoritmo de Euclides.

La estabilidad interna es una extensión del concepto elemental de estabilidad. Dado el sistema de control de la Fig. 1.53, donde N(s) es el ruido de medición y D(s) una perturbación de carga

Fig. 1.53. Sistema de control. Diagrama de referencia. Se suponen estables todas las funciones de transferencia: del controlador, de la planta y del sensor de medición, K(s), G(s) y GM(s) respectivamente.


Las variables de estado X1, X2, X3 responden a la formulación

1 3

2 1

3 2

1

2

3

o, en formato matricial,

1 0

1 0

0 1

M

M

X W G X

X D K X

X N G X

G X W

K X D

G X N

= −

= +

= +

− = −

(1.84)

y resolviendo,

1

2

3

11

11

1

M M

M

M

X GG G W

X K KG DG KG

X GK G N

− − = − ⋅ +

. (1.85)

Por cierto 1

1M

G KG+ es la función de sensibilidad S(s).

Definimos al sistema de control como internamente estable, si cada una de las nueve funciones de transferencia (1.85) es estable. La definición precedente queda satisfecha si el denominador de S(s) se hace igual a 1 (uno), dado que por hipótesis, las funciones de transferencia K(s), G(s) y GM(s) son individualmente estables. Para lograrlo emplearemos el algoritmo de Euclides. 1.9.1. Algoritmo de Euclides.

Sean dos polinomios n(λ) y m(λ) sin raíces comunes. Sea además el grado de n(λ) mayor que el grado de m(λ). Bajo las hipótesis enunciadas procedemos de la manera siguiente

1 1

1

1 2 2

1 2

1 2 3 3

1. Dividir ( ) por ( )

( ) ( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( ) ( )

4. Continuar, hasta que e

n m

n m q r

m r

m r q r

r r

r r q r

λ λλ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ λ

⇒ = ⋅ +

⇒ = ⋅ +

⇒ = ⋅ +

l resto sea una constante.k

r


El algoritmo precedente conduce a la expresión matricial,

1 1

2 2

3 3

4 4

1 0 0

1 0 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 1 1 0k k

r n q m

q r m

q r

q r

q r

− −

= −

−

�

�

�

�

�

(1.86)

que puede resolverse sustituyendo sucesivamente de atrás hacia delante

1 2

1 1 2 3

2

0

0k k k k

k k k k

k

r q r r

r q r r

r

− −

− − − −

−

+ − =

+ − =

+ �

(1.87)

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( )

1 11 ( ) ( ).

k

k k

r n m

n mr r

λ λ

λ λ

⇒ = +

⇔ = +

� �

� �

Vemos que mediante este algoritmo podemos alcanzar el objetivo establecido en la última cláusula del punto 1.9. Pasaremos ahora a considerar su aplicación. 1.9.2. Aplicación de la factorización coprima.

En aras de la simplicidad, supondremos que el sensor de la Fig. 1.53 es ideal, resultando GM =1. En esta situación la función de sensibilidad es

1

( )1 ( ) ( )

S sK s G s

=+

. (1.88)

Se supondrá que tanto G(s) como K(s) son funciones racionales, dadas por el cociente de dos polinomios

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

N s X sG s K s

M s Y s= =

1 ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( )

M s Y sS s

N s X s M s Y s N s X s

M s Y s

⇒ = =++

(1.89)

Por definición, el sistema es internamente estable si el denominador de (1.89) vale 1. Si numerador y denominador de G(s) no poseen raíces comunes11, pueden ser factorizados mediante el algoritmo de Euclides, lo que determinará X(s) e Y(s) y en consecuencia K(s).

11 Si no poseen raíces comunes, N(s) y M(s) son primos entre sí, es decir son co-primos: de allí entonces el nombre del método.


Previamente un cambio de variables facilitará el manejo de los polinomios resultantes12

1 1

; .1

ss

λλ

λ−

= =+

(1.90)

El método de la factorización coprima para el diseño del controlador, se puede sintetizar en una secuencia de cuatro pasos:

1. Sustitución de la f. t. de la planta G(s) supuesta racional, por el cociente de dos polinomios coprimos mediante el cambio de variables s ← λ definido por (1.90). Obtenemos así G(λ) = n(λ)/m(λ).

2. Aplicación del algoritmo de Euclides: determinamos dos polinomios coprimos

x(λ) e y(λ), que satisfacen la ecuación ( ) ( ) ( ) ( ) 1n x m yλ λ λ λ+ = . (1.91)

3. Transformación de x(λ) e y(λ) en X(s) e Y(s), aplicando (1.90) para λ.

4. El controlador que estabiliza el sistema tiene entonces por expresión

( )

( )( )

X sK s

Y s= . (1.92)

1.9.3. Ejemplo práctico de factorización coprima.

Se busca un controlador para la planta intrínsecamente inestable

1

( )( 1)( 2)

G ss s

=− −

(1.93)

1. Sustitución s ← λ

2

2

1 ( )( )

1 1 6 5 1 ( )1 2

nG

m

λ λλ

λ λ λ λ λλ λ

⇒ = = =− − − + − −

� (1.94)

2. Euclides:

• Paso 1

11 1 1

2 2y con ; 6 5 1

rnn mq r q

m m

n mλ λ λ

= + ⇒ = +

= = − +

12 La substitución propuesta lleva los polos en el origen s = 0, a λ = 1, lo que facilita los cálculos.


2

2 2

5 11 6 6

6 5 1 6 6 5 1

λλλ λ λ λ

−= +

− + − +

1 1

1 5 1;

6 6 6q r λ⇒ = = − (1.95)

• Paso 2

21 2 2 2

1 1

2

1

6 5 1 36 114 6 15 1 5 25 256 6

rmm r q r q

r r

r

λ λλ

λ

= + ⇒ = +

− += − + ⋅

−

2 2

36 114 6; constante.

5 25 25q rλ⇒ = − = = (1.96)

2por ser cte el algoritmo concluye.r⇒ =

• Paso 3: sustitución de atrás hacia delante,

2 1 2 1 2 2 1 2

21 2

2 2

( ) (1 )

1 (1 )

r m r q m n mq q nq m q q

q mn q q n x m y

r r

= − = − − = − + +

⇔ = + + = +

30 19; 5 1x yλ λ⇒ = − + = + . (1.97)

3. Resustitución 1

1sλ =

+

19 11 6

( ) ; ( )1 1

s sX s Y s

s s

− += =

+ + (1.98)

4. El controlador que estabiliza la planta es:

( ) 19 11

( )( ) 6

X s sK s

Y s s

−= =

+. (1.99)

Echando una ojeada al lugar de raíces de la página siguiente, podemos tener un reaseguro de no haber metido la pata en algún cálculo.


Fig. 1.54. Lugar de raíces de 1+K(s)⋅G(s) = 0.

1.10. Control por adelanto de señal.

1.10.1. Adelanto de perturbaciones.

Es muy frecuente en los sistemas prácticos de control la presencia de una perturbación dominante que incide sobre un punto cualquiera de la planta. Por cierto, el controlador se halla en condiciones de combatir la perturbación pero, es primero necesario que el error crezca lo suficiente como para que el controlador comience a reaccionar rechazando la perturbación. Si las constantes de tiempo de la planta son grandes, se pueden originar respuestas transitorias excesivamente prolongadas en el tiempo.

Fig. 1.55. Sistema de control y perturbación dominante Si la perturbación puede ser medida sin un costo excesivo, resulta entonces posible neutralizarla rápidamente mediante una compensación dinámica. En general, esa compensación deberá ser adicionada a la señal de control (variable manipulada) que actúa sobre la entrada de la planta; ello significa que en el orden de causalidades, se está realizando un adelanto de la perturbación respecto de su punto original de incidencia (véase la Fig. 1.56).


Fig. 1.56. Adelanto de la señal de perturbación. Del diagrama en bloques deducimos: [ ]1 2 2 1( ) ( ) 1 ( )DY s G G U s G G G D s= + + . (1.100)

Por cierto, la influencia de D(s) puede ser anulada si la cantidad entre corchetes de la (1.100) se hace cero:

11

11 ( ) ( ) 0 ( )

( )D DG s G s G s

G s+ = ⇒ = − (1.101)

Como por su parte la f.t. parcial G1(s) no es invertible en forma ideal, la función GD(s) sólo podrá ser realizada en forma aproximada. La compensación por este método resulta posible bajo la condición de que G1(s) sea estable y de fase mínima (es decir que no posea ceros en el semiplano derecho). Ejemplo: para la planta parcial

11

1

( )1

KG s

T s=

+ (1.102)

no es aplicable una inversión ideal, pues ella originaría un componente proporcional+derivador puro. Con la aproximación, (PD restringido)

1

1 1

11( )

1D

T sG s

K aT s

+= − ⋅

+ (1.103)

se logra una buena compensación. Con el parámetro a se resuelve el compromiso entre la velocidad de compensación y el esfuerzo de control requerido (amplitud de la señal de control) para lograrlo. a = 0.1 ... 0.2 constituye una buena elección. Un adelanto puramente estático de la perturbación (a = 1) es de por sí muy efectivo desde el punto de vista del controlador, ya que le ahorra el esfuerzo de rechazo en condiciones de régimen. En la figura siguiente se muestran los resultados obtenidos en la simulación de una planta formada por la cascada de dos sistemas aperiódicos de segundo orden (polos reales). La respuesta del sistema sin adelanto de perturbación posee un transitorio lento y de amplitud elevada. Se comprueba la efectividad del adelanto estático y la reducción en el esfuerzo de control u(t) a medida que a se va haciendo más pequeño.


Fig. 1.57. Respuesta a la perturbación. La planta es P(s)=P1(s)P2(s) siendo P1(s)=1.5/(2s+1)(3s+1) y P2(s)=0.5/(10s+1)(20s+1), empleando controlador PI con K=2/3 y Ti=17.5 seg. La f.t. de adelanto de señal utilizada es GD(s)=-(2/3)(5s+1)/(5as+1) con a ajustable.

1.10.2. Adelanto de la señal de comando.

Desde el punto de vista de un regulador, cuya principal misión es rechazar perturbaciones, las variaciones en el punto de ajuste (o señal de comando), constituyen una ‘perturbación’ adicional, que puede también compensarse con la técnica de adelanto de señal, Fig. 1.58.

Fig. 1.58. Adelanto de la señal de comando. Idealmente la f.t. GW(s) debiera ser GW(s)=1/G(s), con lo que la salida Y se haría igual a W sin que se generara señal de error por causa de las variaciones del comando. La igualdad GW(s)=1/G(s) impone a su vez la condición de que G(s) sea estable y de fase mínima.


En muchos casos, por ejemplo una planta proporcional operada con un controlador también proporcional, el adelanto puramente estático del comando conduce a una reducción del error estacionario y a una mejora de la respuesta transitoria. La implementación práctica de GW(s) implica aceptar una compensación incompleta de los polos de la planta y la presencia de constantes de tiempo parásitas, inevitables para asegurar la realizabilidad física de GW(s). Por esta razón, en la cadena W→ GW(s) → G(s) → Y, la variable de salida Y “sigue con retraso” a la variable de entrada W. El controlador K(s) reaccionaría entonces ante el error emergente e intentaría corregirlo sin que con ello mejore notoriamente la respuesta. Para evitar la intervención del controlador, es práctica común agregar en el camino de la variable de comando un prefiltro adicional según la siguiente disposición:

Fig. 1.59. Empleo de un prefiltro. Dimensionando el prefiltro GM(s) de acuerdo con

ˆ( ) ( ) ( ); (0) 1M W M

G s G s G s G= ⋅ = (1.104) y produciéndose una plena coincidencia ˆ ( ) ( )G s G s≡ , la variable de salida Y seguirá al comando W. En esta estructura, el controlador K(s) sólo se emplea para corregir errores debidos a pertur-baciones actuantes sobre la planta o, en caso errores de modelado ˆ ( ) ( )G s G s≠ hará que Y siga el andar de V.

1.10.3. Seguimiento de modelo.

En nuestro análisis del adelanto de señal, hemos intentado producir, aunque fuera en forma aproximada, la inversión de la función de transferencia de la planta. Las imprecisiones emergentes fueron o bien ignoradas, o bien corregidas mediante filtros especiales, tal como acabamos de hacerlo en el punto precedente. La inversión explícita puede ser evitada, empleando una planta simulada dotada de su correspondiente controlador para generar las señales necesarias (Fig. 1.60).


Fig. 1.60. Control por seguimiento de modelo. El controlador KF(s) opera sobre un modelo ˆ ( )G s de la planta con la variable de salida Y , produciendo la señal de control UV que es simultáneamente conectada como señal de control de la planta real. Si el modelo ˆ ( )G s es idéntico a la planta G(s) y no hay perturbaciones actuantes,

la salida Y será igual a Y . Esta última señal puede ser concebida como variable de comando para el controlador ( )

SK s que reaccionará ante perturbaciones o errores de modelo que hagan

ˆY Y≠ . Observamos en estos ejemplos que estamos agregando grados de libertad al diseño del sistema de control, ya que KS(s) puede proyectarse como regulador (rechazo de perturbación), mientras que KF(s) se dimensiona como servo (seguimiento de comando) en forma totalmente independiente. Ello constituye una extensión de los conceptos de diseño con dos grados de libertad que estudiáramos en el punto1.3. referidos específicamente a controladores PID. 1.10.4. Generador de variables de comando.

El procedimiento de control por seguimiento de modelo puede ser extendido sin más al control en cascada, a fin de comandar el comportamiento de las variables intermedias pertenecientes a los lazos internos de control.

Fig. 1.61. Generador de señales de comando. El bloque de control Kf (cuya estructura generalmente es no lineal), controla al modelo

constituido por las funciones de transferencia parciales 1 2 3ˆ ˆ ˆ, , ,G G G las que aproximan la

dinámica de la planta real 1 2 3, , ,G G G controlada en cascada por 1 2 3, , .S S S

K K K Las señales

intermedias 1 2 3ˆ ˆ ˆ, , ,Y Y Y además de constituir la realimentación de Kf sirven de variables de


comando para los lazos individuales, por lo que los controladores 1 2 3, , ,S S S

K K K se limitan a rechazar perturbaciones y a compensar errores de modelización. Si el modelo empleado fuera

absolutamente exacto y en ausencia de perturbaciones, la salida U de Kf sería la única señal actuante sobre la cadena completa de funciones de transferencia de la planta. Volveremos sobre el tema de generación de variables de comando más adelante y con mayor profundidad, cuando estudiemos control no lineal y optimización.

1.10.5. Desacoplamiento de plantas multivariables.

En el control de procesos industriales aparecen muy frecuentemente plantas que exhiben acoplamientos mutuos entre sus variables. Un ejemplo práctico de la vida diaria es la experiencia que todos vivimos y muchos sufrimos en la ducha (sobre todo de invierno). Con dos válvulas para el agua caliente y fría, debemos producir un caudal determinado de agua a una temperatura agradable: nos enfrentamos a una planta con dos variables de entrada y dos variables controladas, la cual debido a las características de las válvulas, es marcadamente no lineal. El problema de control está caracterizado por la fuerte influencia que ambos actuadores poseen simultáneamente sobre las dos variables controladas. Otro ejemplo de este tipo lo constituye un horno industrial zonificado, en el que un material en proceso de elaboración debe ser sometido a un perfil de temperaturas predefinido, Fig. 1.62.

Fig. 1.62. Esquema de un horno zonificado.

El material atraviesa el horno por medio de una cinta transportadora, de manera que el perfil temporal de temperaturas se mapea en un perfil de temperaturas locales. Las diferentes zonas de calentamiento están reguladas mediante sensores y controladores individuales. Como es fácil imaginar, las zonas de calentamiento vecinas interinfluyen mutuamente. Ello ocurre por una parte por la transmisión directa de calor (conducción, convección, radiación) y, por otra parte, por el transporte de calor almacenado en el material que se procesa. Consideraremos la estructura más simple de un sistema lineal con variables acopladas: un sistema lineal bivariable (dos variables de entrada y dos de salida) como el representado en la Fig. 1.63. e identificado como “planta”. La planta contiene cuatro bloques dinámicos cuyas entradas y salidas están unidas entre sí. El apareamiento de señales de control y variables de salida queda determinado en la mayoría de los casos por razones de orden físico. De todas maneras se intentará siempre lograr que la influencia


mayor y más inmediata sobre una variable de salida sea provocada por su “propia” señal de control y no por la señal de control asignada a otra variable.

Fig. 1.63. Sistema de control bivariable.

Las funciones de transferencia de acoplamiento cruzado G12(s) y G21(s) propias de la planta dificultan el diseño de los controladores y pueden conducir a problemas de inestabilidad. Mediante una compensación por medio de los bloques E12(s) y E21(s) puede ser contrarrestada, aunque más no sea en forma aproximada, la influencia de los acoplamientos. Para ello se elige

12 2112 21

22 11

( ) ( )( ) y ( )

( ) ( )G s G s

E s E sG s G s

= − = − , (1.105)

como puede demostrarse analizando sistemáticamente las señales en la Fig. 1.63. También en este caso deben ser todas las funciones de transferencia de la planta estables y de fase mínima. La realizabilidad de E12(s) y E21(s) exige además un exceso de polos sobre ceros en ambas funciones de transferencia. Si el desacoplamiento es completo, los controladores K1(s) y K2(s) podrán ser diseñados cada uno de ellos en forma independiente y exclusivamente en base a la dinámica de su propia planta (G11(s) o G22(s) según el caso). Por cierto que el método de desacoplamiento que acabamos de describir está limitado a plantas bivariables y resulta de cierta manera anticuado, pero cumple con la finalidad de introducir el tema y vislumbrar las dificultades asociadas. La tendencia actual con respecto a las plantas multivariables es la emplear los conceptos de diseño de controladores por realimentación de estado ampliado, tal como oportunamente veremos.

Desacoplamiento Planta


1.10.5.1. Ejemplo: control de caudal y temperatura de una mezcla de líquidos.

Dos líquidos con temperaturas diferentes (ϑ1, ϑ2) deben producir una mezcla de temperatura ϑ (ϑ1<ϑ <ϑ2) para un caudal determinado Q=Q1+Q2 , tal como se esquematiza en la Fig. 1.64. Se trata de un problema bivariable, siendo las variables controladas ϑ y Q.

sensor ϑ

sensor Q1

Q , ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ1 ϑϑϑϑ2

sensor Q2

válvula control Q1

válvula control Q2

sensor Q

Cada válvula es controlada a lazo cerrado de acuerdo al esquema:

Controlador de caudal

Válvula

cargada

Caudalí-

metro

–

+ Q U

Fig. 1.64. Mezcla de líquidos (sistema bivariable). Para formular el diagrama de bloques, se calcularán primeramente los acoplamientos entre las variables de la planta. Se estableció que el caudal conjunto vale Q = Q1+Q2 y normalizando respecto de los valores estacionarios Q0 = Q10+Q20 se deduce para una pequeña variación alrededor del punto de operación:

1 1 2 2

1 2 10 1 20 21 1 1 2 2 1 2

0 0 0 10 0 20

; con =1.

K q K q

Q Q Q Q Q Q Qx K q K q K K

Q Q Q Q Q Q

∆ ∆ + ∆ ∆ ∆≡ = = + = + +

� � � � � � � �

(1.106)

Suponiendo las tuberías adiabáticas, se deduce aplicando balance térmico la temperatura de la mezcla

1 1 2 21 2 1 1 2 2

1 2

( ) Q Q

Q Q Q QQ Q

ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ

++ = + → =

+ (1.107)

resultando la temperatura de la mezcla en condiciones estacionarias, bajo el supuesto de que son constantes las temperaturas de los líquidos componentes:

10 1 20 20 1 1 2 2

10 20

Q QK K

Q Q

ϑ ϑϑ ϑ ϑ

+= = +

+ (1.108)


Si nuevamente se suponen variaciones 1 2, Q Q∆ ∆ de los caudales estacionarios Q10, Q20 se tendrá

1 10 2 20

1 21 2Q Q Q Q

Q QQ Q

ϑ ϑϑ

= =

∂ ∂∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆

∂ ∂ (1.109)

es decir,

( ) ( ) ( ) ( )10 20 10 20 10 10 20 20

0 1 2 1 1 2 22 2 2 2

10 20 10 20 10 20 10 20

Q Q Q Q Q Q Q QQ Q

Q Q Q Q Q Q Q Qϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

+ − − + −∆ = − = − ∆ + + ∆

+ + + + (1.110)

( ) ( )

( )

10 20 1 20 10 21 2 2 12 2

0 10 0 20

10 20 2 12 12

0 20 10

Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ

∆ ∆∆ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

∆ ∆∆ = ⋅ − ⋅ −

(1.111)

Definiendo ahora

( ) ( )10 202 1 1 2 2 12

0N

Q QK K

Qθ ϑ ϑ ϑ ϑ= − = − (1.112)

y reemplazando en (1.111) resulta,

2 2 1N

x q qϑ

θ∆

≡ = − (1.113)

Si bien por definición

Nθ se expresa en grados centígrados, no representa una temperatura física

medible en el sistema, sino que es tan sólo un factor de normalización que permite encontrar una expresión simple para la variación relativa de temperatura de la mezcla. Con estos resultados se puede trazar el diagrama de bloques de la Fig. 1.65, donde los lazos internos de control de caudal se aproximan mediante sistemas de primer orden [FQ(s)] con la constante de tiempo equivalente TQ. Los transductores de temperatura ϑ y caudal Q, se indican mediante sus funciones de transferencia Fmϑ(s) y FmQ(s). Resulta conveniente, a fin de reducir los acoplamientos, controlar con la mayor de las corrientes (K1>0.5) el caudal conjunto de la mezcla, y con la menor de las corrientes (K2<0.5) controlar la temperatura. En base al diagrama en bloques de la Fig. 1.65 y la nomenclatura de la Fig. 1.63, se deducen las relaciones

( )11 1 1 21 1 1

12 2 22 2

( ) ; ( ) 1 ;

( ) ; ( ) ;Q mQ Q mQ

Q m Q m

G s K F F G s K F F

G s F F G s F Fϑ ϑ

= = −

= − = (1.114)


C1(s)

1

FQ1(s)

K1

1–K1

–1

–1

FmQ(s)

Fmϑϑϑϑ (s)

FQ2(s)

C2(s)

1–1/K1

W1 + U10 + U1 q1 + X1

W2 U20 U2 q2 X2

+ + +

–

+

+

–

PLANTA

+

+

Fig. 1.65. Diagrama de bloques. resultando para los elementos de desacoplamiento

12 21 112 21 1

22 11 1

( ) ( ) 1( ) 1 y ( ) 1 1/

( ) ( )

G s G s KE s E s K

G s G s K

−= − = = − = − = − (1.115)

en el supuesto de que se cumple 1 2Q Q

F F= .

Los lazos quedan entonces desacoplados

111 1 1

10

122 2

10

( )

( )

Q mQ

Q m

XG s K F F

U

XG s F F

Uϑ

= =

= = (1.116)

con lo cual, los controladores 1 2( ) y ( )C s C s pueden ser calculados con los métodos usuales. El desacoplamiento origina que, para una variación del caudal comandado (W1) ambas válvulas se desplacen en el mismo sentido, mientras que un cambio en la temperatura de referencia (W2) provoca desplazamientos de sentidos opuestos. Nótese que los acoplamientos calculados son exclusivamente estáticos, lo que presupone en primer lugar que las condiciones de flujo de líquidos son vorticosas (elevado número de Reynolds) y que la temperatura de la mezcla en el punto de medición aguas abajo de la región de confluencia, es homogénea respecto de la sección transversal del ducto.

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1. Complementos de Control Continuo.

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