1 El Arte y La Ciencia de Construir Modelos Determinísticos

7/24/2019 1 El Arte y La Ciencia de Construir Modelos Determinsticos

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C A P I T U L O

El a r t e y l a c e n c a D E C O N S T R U I R M O D E L O S D E T E R M I N S T I C O S

C mo determina Gase Chemicals la mezcla de productosw que maximice las ganancias? Cmo deduce CosmComputer Company el plan menos caro para transportar susmicrocomputadoras a los detallistas al mismo tiempo que sa-tisface la demanda de sus clientes? Cmo decide Hexxon Oil lared de embarque que maximice el flujo de petrleo a sus tanquesde almacenamiento en Filadelfia? Para fundamentar mejor ladecisin de negocios, debe saber cmo hacer la pregunta adecuaday cmo formular el problema correctamente.

En est e ca ptu l o ap r en d er cm o con st r u i r l os m odel osm a t emt i cos qu e l o con d u ci r n a l a s r esp u est a s d e st a sy ot r a s p r egun t a s.


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12 C a p t u lo 2 E l a r t e y l a c ie n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t ic

Formulacindel problemaEl proceso de convertira descripcin cualitativa

de un problema a unaforma matemtica.

En el captulo anterior, usted aprendi que entre los pasos ms importantes en resolucin de problemas estn el identificar y despus formular el problema de decisien un marco matemtico. La construccin de modelos es un arte que mejora con la prtica. Sin embargo, en un esfuerzo por hacer el proceso ms sistemtico, en este captuse ilustran varias tcnicas de formulacin de problemas con numerosos ejemplos. Aaplicar estas tcnicas, usted puede formular no slo los problemas de este libro, sintambin muchos otros que podra encontrar en la prctica.

Despus de formular correctamente un modelo matemtico, usted desear resolveresto es, obtener una solucin. Como el procedimiento de solucin depende de las cractersticas matemticas especficas de un modelo, la eleccin de la tcnica apropiadsignifica que debe identificar las caractersticas que sumodelo posee. Este captulo ayudar a identificar estas caractersticas matemticas y cmo se utilizan para clsificar modelos. Los captulos posteriores tratan los diversos procedimientos de solcin, las clases de problemas a los que se pueden aplicar, y la forma de interpretarimplantar las soluciones obtenidas de una computadora.

2 . 1 P a s o s g e n e r a l e s y t c n i c a s

DE LA CONSTRUCCIN DE MODELOS MATEMTICOS

En el captulo 1 aprendi que el primer paso al usar tcnicas de administracin es idetificar y describir el problema. El siguiente paso es formular el problema en un marmatemtico. Esta seccin proporciona pasos y tcnicas sistemticas que puede aplical formular sus propios modelos determinsticos. Para ilustrar, considere el problemenfrentado por la gerencia de produccin de Case Chemicals.

EJEMPLO 2.1 EL PROBLEMA DE PLANEACIN DE PRODUCCIN DE CASE CHEMICALS CaChemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias txicaque se producen durante procesos de fabricacin particulares. La planta opera 40 hora la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parciaque trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete mquinas que meclan ciertos qumicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamende mezclado para ser refinados en el departamento de purificacin, que actualmentiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno dtiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.

Case Chemicals tiene una provisin casi ilimitada de la materia prima que necesipara producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad dCS-01, pero la demanda del producto ms especializado, CS-02, est limitada a lo ma 120 000 galones por semana. Como gerente de produccin, usted desea determina

el plan de produccin semanal ptimo para Case Chemicals. Qu cantidad de cadsolvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia?

El objetivo ahora es convertir esta descripcin cualitativa del problema a una formmatemtica que pueda resolverse. Este proceso es llamado formulacin del problemy generalmente implica cuatro pasos, cada uno de los cuales es descrito en las siguientsecciones.

2.1 .1 I d en t i f i ca c in d e la s va r i a b l es d e d ec is in

El primer paso en la formulacin del problema es identificar las variables de decisia menudo simplemente llamadas variables. Los valores de estas variables, una v


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2.1 P a s o s g e n e r a l e s y t c n i c a s d e l a c o n s t r u c c i n d e m o d e l o s m a t e m a n e o s

determinados, proporcionan la solucin al problema. Para el ejemplo 2.1, usted puedeientificar las variables de decisin preguntndose qu informacin necesita proporcionar

al personal de produccin, los departamentos de mezclado y purificacin, para quesepan cmo proceder. Su respuesta a esta pregunta debera ser:

1. El nmero de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.2. El nmero de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.

Como los valores de estos elementos no se conocen todava, a cada variable de decisin se le da un nombre simblico. Usted puede elegir el nombre simblico quequiera, pero encontrar til seleccionar un nombre simblico que le recuerde la cantidad que la variable de decisin representa. Para el ejemplo que estamos viendo, podracrear las siguientes variables, correspondientes a los dos elementos identificados anteriormente:

CS1= el nmero de miles de galones de CS-01 por producir semanalmenteCS


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4 C a p t u l o 2 l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t i c

ayudar a determinar esos valores. Por ejemplo, para determinar las cantidades realede los dos solventes a producir para maximizar las ganancias corporativas, necesitarsaber:

1. El nmero de horas de trabajo disponibles en el departamento de mezclado.2. El nmero de horas de trabajo disponibles en el departamento de purificaci3. La cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada tipo de solvent

Estas cantidades constituyen los datos del problema. En problemas determinsticos, requiere conocer (u obtener) estos valores en el momento de formular el problema. ParCase Chemicals:

1. Como se estableci en la descripcin del problema, el departamento de mezcladtiene cinco trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y dos trabajadorede tiempo parcial (15 horas cada uno). Esto da un total de 230 horas de trabaja la semana en el departamento de mezclado.

2. De manera similar, los seis trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uny el trabajador de tiempo parcial (10 horas) representan un total de 250 horas d

trabajo a la semana en el departamento de purificacin.3. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0.30 p

galn de CS-01 y de $0.50 por galn de CS-02, esto es, $300 por mil galones dCS-01 y $500 por mil galones de CS-02.

A diferencia de las variables de decisin, cuyos valores ustedpuede controlar, usteno puede controlar directamente los valores de los datos.

2 .1 .3 I d en t i f i cac in d e la fu n c in objet i vo

El siguiente paso en la formulacin del problema es expresar el objetivo organizacionaglobal en forma matemtica usando las variables de decisin y los datos conocidos deproblema. Esta expresin, lafuncin objetivo, generalmente se crea en tres etapas.

1. Establecer el objetivo en forma verbal. Para el ejemplo 2.1, este objetivo es:

Maximizar la ganancia semanal total de la produccin de CS-01 y CS-02

2. Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia producto de cantidades individuales. Para el ejemplo 2.1, la ganancia total puedcalcularse como la suma de la ganancia de CS-01 y la de CS-02:

Maximizar ganancia = (ganancia de CS-01) + (ganancia de CS-02)

3. Expresar las cantidades individuales matemticamente usando las variables ddecisin y otros datos conocidos en el problema.

DescomposicinLa desintegracin de unauncin objetivo en lauma, diferencia o

producto de cantidades

ndividuales.

CARACTERSTI CAS CLAVE

La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuandoespecifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar elmodelo matemtico y descubrir que se requiere informacin adicional paraayudar a determinar los valores de las variables de decisin.


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2.1 P a s o s g e n e r a l e s y t c n i c a s d e l a c o n s t r u c c i n d e m o d e l o s m a t e m t i c o s

Para lograr la tarea en la tercera etapa, a menudo es til elegir algunos valoresespecficos para las variables de decisin y luego usar esos valores para determinar laforma en que se calcula la funcin objetivo. Se hace referencia a esta tcnica comotrabajo a travs de un ejemplo especfico. En el ejemplo 2.1, supongamos que seproducen 10 mil galones de CS-01 y 20 mil galones de CS-02 (as que CS1= 10 y CS2=20). El departamento de contabilidad le ha dicho que cada mil galones de CS-01contribuye con $300 a la ganancia y que cada mil galones de CS-02 contribuye con $500.

Se puede escribir:

Ganancia de CS-01 = 300(10) = $ 3 000

+ Ganancia de CS-02 = 500(20) = $ 10 000

Ganancia total = $ 13 000

Sin embargo, el propsito de usar valores especficos para las variables noes obtenera ganancia total de estos valores, sino ms bien ayudarlo a determinar cmocalcular

el objetivo cuando los valores de las variables no se conocen explcitamente. En esteproblema, se puede ver fcilmente de los clculos anteriores que si CS1es el nmero no

especificado de miles de galones de CS-01 y CS2es el nmero no especificado de milesde galones de CS-02 por producir, entonces la ganancia es:

Ganancia de CS-01 = 300C*S1

+ Ganancia de CS-02 = 500GS2

Ganancia total = 300CS1+ 500CS2

Por lo tanto, la funcin objetiva matemtica expresada en trminos de las variables dedecisin y de los datos del problema es:

Maximizar 300 0^ + 500CS2

CARACT ERSTI CAS CLAVE

Este problema ilustra las siguientes caractersticas clave:

y Creacin de la funcin objetivo mediante:

a. Enunciado del objetivo de manera verbal.b. Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia,

y/o producto de trminos individuales.c. Expresar los trminos individuales en (b) usando las variables de decisin

y otros datos de problemas conocidos.

y Trabajar con un ejemplo especfico para determinar cmo se expresa lafuncin objetivo en una forma matemtica, eligiendo valores especficos paralas variables de decisin y realizando los clculos necesarios.

2 .1 .4 I d en t i f i cac i n de l as r est r i cci ones

Su objetivo es maximizar las ganancias. La funcin objetivo le dice que mientras msgrande sea el valor de las variables, ms grande ser la ganancia. Pero el mundo real

Trabajo a travs deun ejemplo especficoLa tcnica de usar

valores especficos delas variables paradeterminar cmo secalcula la funcinobjetivo.


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C a p t u lo 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e rm i n s t i

pone un lmite en los valores que puede asignar a estas variables. En el ejemplo 2.1, departamentos de mezclado y purificacin tienen ciertas restricciones fsicas: nmero limitado de horas de trabajo disponible cada uno. Estas limitaciones, as cootras consideraciones que imponen restricciones sobre los valores de las variables, slas restricciones.El paso final en la formulacin del problema es identificar estas rtricciones y escribirlas en forma matemtica.

Las restricciones son condiciones que las variables de decisin deben satisfacer pa

constituir una solucin aceptable. Estas restricciones por lo general surgen de:

1. Limitaciones fsicas (el nmero limitado de horas de trabajo en los departamentde mezclado y purificacin, por ejemplo).

2. Restricciones impuestas por la administracin (por ejemplo, sta pudo habprometido una cierta cantidad de un producto a un cliente estimado).

3. Restricciones externas (por ejemplo, Case Chemicals no puede vender ms 120 mil galones de CS-02 a la semana, y no hay razn para producir ms quecantidad demandada).

4. Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en el problema de inverside Mark de la seccin 1.1, las dos fracciones que representan la proporcin

dinero a invertir en los dos fondos debe sumar 1).5. Restricciones lgicas sobre variables individuales (por ejemplo, el nmero carros producidos debe ser un nmero entero, y Case Chemicals no puede pducir una cantidad negativa de solventes).

CARACT ERSTI CAS CLAVE

Despus de identificar estas restricciones, debe expresarlas en forma matemticausando las variables de decisin y otros datos del problema. Este proceso esidntico al usado para especificar la funcin objetivo.

y Expresar las restricciones en forma verbal.y Cuando es apropiado, descomponer la restriccin en una suma, diferencia

y/o producto de cantidades individuales.y Trabajar con un ejemplo especfico para expresar las cantidades individuales

en una forma matemtica, usando las variables de decisin y otros datosconocidos del problema.

Considere las restricciones del ejemplo 2.1.

RESTRICCINDETRABAJOENEL DEPARTAMENTODEMEZCLADO(LIMITACINFSICA)

Forma verbal: Horas totales usadas no pueden exceder de 230en el mezclado

( Horas \ / Horas \usadas I + I usadas I no pueden exceder de 23

para CS-01 / \para CS-02 JMatemticas: para expresar las horas usadas para CS-01 y CS-02 en el departam

to de mezclado, trate de trabajar con un ejemplo especfico. Por ejemplo, suponga q


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2.1 P a s o s g e n e r a l e s y t c n i c a s d e l a c o n s t r u c c i n d e m o d e l o s m a t e m t i c o s

CS1= 15 mil y que CS2= 10 mil galones. Cmo calcula el nmero de horas usadas enel departamento de mezclado? Estos valores son datos del problema (adems de losdatos ya identificados en la seccin 2.1.2) que usted debe obtener. Supongamos queusted llama al departamento de procesos y recoge los siguientes datos para losdepartamentos de mezclado y purificacin:

HORAS POR MILES DE GALONES DE

CS-01 CS-02

Mezclado 2 1Purificacin 1 2

Resulta entonces fcil calcular las horas usadas en el departamento de mezcladotrabajando con valores especficos de = 15 y CS2= 10:

Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2(15) = 30

+ Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1(10) = 10

Total de horas en el mezclado = 2(15) + 1(10) = 40

El propsito de usar este ejemplo numrico especfico es ayudarle a escribir una restriccin matemtica generalcuando los valores de las variables (CS1y CS2,en este caso)no se conocen. De los clculos anteriores, usted obtiene la siguiente restriccin matemtica general:

2CS1+ 1CS2< 230

RESTRICCINDETRABAJOENEL DEPARTAMENTODEPURIFICACION(LIMITACINFSICA)

Forma verbal: Horas totales usadasen la purificacin

no pueden exceder de 250

Descomposicin:

Horas

usadaspara CS-01

Horas

usadaspara CS-02 no pueden exceder de 250

Matemticas: 1 C S t 2CSn 250

RESTRICCINDELMITE(LIMITACINEXTERNA)

La limitacin de que a lo ms pueden venderse 120 mil galones de CS-02 da pie a lasiguiente restriccin sobre el valor de CS2:


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Programa linealEX2_1.DAT

RESTRICCINDENONEGATIVIDAD(LIMITACIONESLGICAS)

Claro est que usted sabe que los valores de estas variables de decisin deben ser nnegativos, esto es, cero o positivos. Tales restricciones implcitasde las que ustedestconsciente deben hacerseexplcitasen la formulacin matemtica. Para este problemdebe incluir las siguientes restricciones:

CSX> 0 y CS2> 0 o CSVCS2> 0

Juntando todas las piezas de los pasos anteriores, la formulacin matemtica completdel problema de planeacin de produccin de Case Chemicals es la siguiente:

C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t ic

FORMULACIONMATEMTICADEL PROBLEMADECASECHEMICALS

Maximizar 300CS1+ 500CS2 (ganancia)Condicionado por: 2CSX+ 1CS2 0 (no negatividad)

donde:

CSl= el nmero de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente

CS2= el nmero de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente

En el captulo 4 aprender el procedimiento de solucin para este tipo de problema. Laplicacin de ese procedimiento da por resultado la solucin ptima:

CS1=70

CS2=90

Es decir, el plan de produccin ptima es de 70 000 galones de CS-01 y de 90 000 galonede CS-02, lo que representa una ganancia semanal de $66 000.

En esta seccin, usted ha aprendido los pasos a tomar en la formulacin de pro

blemas identificando (1) las variables de decisin, (2) los datos del problema, (3) lfuncin objetivo y (4) las restricciones. Para escribir la funcin objetiva y las restriccioneen una forma matemtica, use las variables junto con los datos del problema que ustetenga al formular el modelo. Es posible que no conozca todos los datos necesarios adefinir por primera vez el problema. La necesidad de datos adicionales puede descubrirscuando proceda con la formulacin del problema. Estos valores de datos debeobtenerse de fuentes apropiadas dentro de la organizacin. Para ahorrar tiempo espacio, los enunciados de problemas futuros en este libro incluirn todos los datonecesarios. La formulacin consistir en estos tres pasos:

Paso 1. Identificacinde las variables de decisin.

Pa so 2. Identificacinde la funcin objetivo.Paso 3. Identificacinde las restricciones.


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2.2 Ej e mp l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e ma s

El problema de esta seccin involucra slo dos variables de decisin y unas cuantasrestricciones. Los problemas de importancia prctica a menudo contienen cientos omiles de variables y un nmero similar de restricciones. Estos problemas ms complejos tambin pueden formularse usando los pasos que aprendi en esta seccin.

2 . 2 E j e m p l o s a d i c i o n a l e s

DE LA FORMULACIN DE PROBLEMAS_____________________

En esta seccin, los pasos de formulacin que aprendi en la seccin 2.1 se aplican a problemas de complejidad variable. Tambin aprender nuevas tcnicas tiles en la idenificacin de las variables, los datos, la funcin objetivo y las restricciones. Por ejemplo,

una de estas tcnicas consiste en dibujar un diagrama esquemtico para representaros diversos componentes del problema. Una ventaja de hacer esto es que el aspecto msmportante de estos problemas puede ser transmitido con una sola imagen. Una clase

de problemas en que los diagramas esquemticos son particularmente tiles se denominan problemas de redes, que pueden incluir la distribucin de bienes, como se

lustra en las secciones 2.2.1 y 2.2.2.

2.2 .1 E j em p l os d e p r ob l em a s d e r ed es:el p r ob l em a d e l a t r an spor t a ci n

Entre los muchos problemas que enfrenta un negocio de produccin est el determinarel mejor plan de embarque para distribuir bienes terminados desde las instalacionesde produccin (fbricas y plantas) hasta los mercados de distribucin (clientes y tiendasdetallistas). Por ejemplo, cmo traslada una compaa petrolera la gasolina de sus

refineras a sus gasolineras de la mejor manera? Los negocios deben desarrollar unplande embarque (o unprograma de distribucin) en el que se establezca el nmero (ocantidad) de productos terminados por embarcar desde cada instalacin de produccinhasta cada mercado de distribucin. Estos embarques no pueden exceder las capacidadesdisponibles osuministrosde las instalaciones de produccin y adems deben satisfacertodas las demandasde los clientes. Con frecuencia, el mejor programa minimiza loscostos totales de transportacin. El desarrollo de este programa se denomina el problema de transportacin.

Es necesario identificar cierta informacin, datos del problema, para desarrollar elprograma:

1. demandas de los clientes2. capacidades de la planta3. costos de embarque desde cada planta hasta cada cliente

Considere el siguiente problema enfrentado por CCC, Cosmic Computer Company.

EJEMPLO 2.2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCIN DE COSMIC COMPUTER COM-PANY CCC tiene tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los ngeles y Phoenix. La planta de Los ngeles tiene una capacidad de produccin mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenixpuede producir un mximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de CCCse venden a travs de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow,Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla

DiagramaesquemticoUn dibujo usado pararepresentar los diversoscomponentes de unproblema.

Problema de redes

Un problema que puederepresentarse mediantecrculos y flechas que loconectan.

Problema detransportacinEl problema dedeterminar el plan demnimos costos paraembarcar bienes desde

las instalaciones deproduccin hasta losmercados de distribuci


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20 C a p t u l o 2 El a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t

Nodo

Un crculo en undiagrama de redes querepresenta un aspectoimportante de unproblema, como lafuente y destinacinde bienes en unproblema detransportacin.

Arco

Una lnea que conectados nodos en undiagrama esquemticoque representa unarelacin entre estos dosnodos, como podra seruna posible ruta para elembarque de bienes enun problema detransportacin.

2.1 contiene el costo de embarque de una microcomputadora desde cada plantaensamblaje hasta cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formuun modelo matemtico para encontrar el programa de embarque de mnimo costo

1 TABLA 2.1 Costos de embarque ($/unidad)

TIENDAS

PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco 5 3 2 6

Los ngeles 4 7 8 10

Phoenix 6 5 3 8

Antes de formular este problema matemticamente, es posible dibujar un diag

ma de redesesquemtico para representar los diversos componentes del problemcomo se ilustra en la figura 2.1. Los siete crculos, o nodos, representan las tres plany las cuatro tiendas al menudeo. Cada arco indica que las computadoras puedembarcarse desde la planta hasta la tienda minorista asociada.

Adems de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problemEn este caso, los nmeros que estn junto a los nodos correspondientes a las tiendamenudeo indican el nmero de computadoras solicitadas all. Finalmente, los nmeque estn junto a cada arco representan el costo de embarque de una computadorala planta correspondiente a la tienda asociada. Todos los aspectos importantes de eproblema se incluyen en este diagrama de redes y, como ver, el diagrama simplifla formulacin matemtica posterior.

PAS01. IDENTIFICACINDELASVARIABLESDEDECISIN

Despus de los pasos de la formulacin del problema, su primera tarea es identificarvariables de decisin. Para hacerlo, hgase las siguientes preguntas:

1, Qu elementos afectan los costos y/o ganancias?2 Qu elementos puede escoger y/o controlar libremente?3. Qu decisiones tiene que tomar?4. Cules son los elementos cuyos valores, cuando se conocen,constituyen

solucin (en este caso, un programa de embarque)? En otraspalabras, quinformacin tendra que proporcionar a las plantas de ensamblaje para que esupieran cmo distribuir sus productos?

Las respuestas a todas estas preguntas pueden conducirlo a identificar doce vables de decisin, correspondientes al nmero de microcomputadoras por embardesde cada na de las tres plantas de ensamblaje hasta cada una de las cuatro tienminoristas. Podra referirse a ellas con nombres simblicosxv x2, .. . ,x l2.Pero recueque al trabajar con variables, es til usar un nombre simblico que en cierta manle recuerde la cantidad representada. Por ejemplo, podra definir:

San/Tuc = el nmero de microcomputadoras por embarcar de la plantaensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson


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Plantas Tiendas detallistas

San Diego

2 .2 Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s

1000

1500

1200

Figu ra 2.1 La red de distribucin de CCC.

x13= el nmero de microcomputadoras por embarcar de laplanta de ensamblaje #1 (San Francisco) a latienda detallista #3 (Tucson)

xST= el nmero de microcomputadoras por embarcar de laplanta de ensamblaje en San Francisco a la tiendadetallista en Tucson.

TABLA 2.2 Variables de decisin para el ejemplo 2.2

TIENDAS

PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco *s8 *srLos Angeles Kb Kr K oPhoenix

* p s K b Kr K o

Para este ejemplo, se utiliza la ltima notacin. Los doce nombres simblicos se resumen en la tabla 2.2. En trminos del diagrama de redes de la figura 2.1, cada una de

estas variables de decisin denota el nmero de computadoras por embarcar junto alarco correspondiente, como se ilustra en la figura 2.2.


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s

PASO2. IDENTIFICACIONDELAFUNCIONOBJETIVO

Si recordamos el procedimiento usado en la seccin 2.1, puede especificar la funobjetiva de la manera siguiente:

Forma verbal: Minimizar costos de embarque desde todas las plantas a todas latiendas

( costo de \ / costo deembarque I + I embarquedesde SF J \ desde LA

/ costo de+ I embarque

\ desde Phoen

Plantas Tiendas detallistas

San Diego

Dallas

Figura 2.2 Variables de decisin para el problema de distribucin de CCC.

Ej e m p l o e s p e c f i c o . Para obtener una expresin matemtica de cada uno de estos costos de embarque, trabaje con un ejemplo especfico. Suponga que la planta de Francisco embarca 500 microcomputadoras a San Diego, 200 a Barstow, 400 a Tuy 300 a Dallas. Esto es,xss= 500,xSB=200,xST=400 yXgD= 300. Recordemos los code transportacin por unidad dados en la tabla 2.1,

Costo de embarque desde SF - 5(500) + 3(200) + 2(400) + 6(300) = 5700

En general, cuando las unidadesXSS,X SB,X ST, yX SDson enviadas desde San Franc

Costo de embarque desde SF = 5xss+ SxSB+ 2xST+ 6xSD


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2 Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s 23

rocediendo de manera similar para el costo de transportacin desde Los ngeles yesde Phoenix, llegamos al siguiente costo de transportacin total:

a t e m t i c a s

Minimizar (5xss + SxSB + 2xST + 6xS[)) +

^ XLS XLB + XLT + +

(6xps+ 5x p r + 3xpT + 8xpo)

ASO3. IDENTIFICACINDELASRESTRICCIONES

ara identificar las restricciones, hgase las siguientes preguntas:

1. Qu le impide elegir valores arbitrarios para las variables? (Analizando lafuncin objetiva dada, usted puede minimizar el costo estableciendo cada variable en cero. Qu le impide hacer esto?)

2. Qu limitaciones fsicas o lgicas se requieren para que los valores de las variables constituyan una solucin aceptable?

Para contestar ambas preguntas, observe la figura 2.2, que le debe llevar aentificar los siguientesgruposde restricciones:

1. El embarque total de cada planta no debe exceder su capacidad. Estas limitaciones estn asociadas con cada nodo correspondiente a la planta de la figura 2.2.

2. El embarque total recibido por cada tienda al por menor debe satisfacer sudemanda. Estas restricciones estn asociadas con cada nodo correspondiente auna tienda detallista y a su demanda en la figura 2.2. En este ejemplo, satisfacer significar ser exactamente igual a. Sin embargo, en algunas situaciones,puede significar al menos igual a. Siempre que surjan tales ambigedades,asegrese de aclararlas antes de formular el problema.

3. El embarque desde cada planta hasta cada tienda detallista debe ser un nmerocompleto no negativo, a menudo denominado entero no negativo, porque no Enteropuede enviar parte de una computadora. Un nmero completo.

Observe que los dos primeros grupos de restricciones son limitacionesfsicas y quetercero es una limitacin lgica.Lo que resta es convertir estas restricciones de su descripcin verbal a matemticas,

sando variables de decisin y datos del problema. Para hacerlo, observe que existe unastriccin de capacidad asociada con cada uno de los tres nodos de la figura 2.2

rrespondiente a estas tres plantas. Por ejemplo, el nmero de unidades embarcadasesde la planta de San Francisco no puede exceder su capacidad de 1700. Ahora bien,se la tcnica de descomposicin para expresar el nmero de unidades embarcadasesde San Francisco como una suma de trminos individuales. De la figura 2.2, losuatro arcos que salen del nodo correspondiente a la planta de San Francisco proporcionan

siguiente descomposicin:

Nmero de unidadesembarcadas desde

San Francisco I

{

nmero de unidadesembarcadas hacia San Diego

nmero de unidadesembarcadas hacia Barstow


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nmero de unidadesembarcadas hacia Tucson

nmero de unidadesembarcadas hacia Dallas

Por tanto, la restriccin de capacidad correspondiente a este nodo es:

XSS+XSf+XST+XSD

Un proceso similar, con referencia al diagrama de redes de la figura 2.2, conducesiguiente grupo de restricciones de capacidad:

xss+ x sb+ x s t + x sd^1 ^0 0 (San Francisco)xLS+xLB+xLT+xLD< 2000 (Los ngeles)

XPS+XPB+XPT+ XPD- 1700 (Phoenix)

Para identificar las restricciones de demanda, observe que existe una de tales restciones asociada con cada uno de los cuatro nodos de la figura 2.2, correspondiente a

cuatro tiendas al detalle. Por ejemplo, el nmero de unidades enviadas a la tiendetallista de San Diego debe ser exactamente 1700. Ahora use la tcnica de dcomposicin para expresar el nmero de unidades embarcadas a San Diego como usuma de trminos individuales. De la figura 2.2, los tres arcos que entran al ncorrespondiente a la tienda detallista de San Diego proporcionan la siguiente dcomposicin:

Nmero de unidadesembarcadas desde

San Francisco

nmero de unidadesembarcadas desde San Francisco

nmero de unidadesembarcadas desde Los ngeles

nmero de unidadesembarcadas desde Phoenix

Por tanto, la restriccin de demanda correspondiente a este nodo es:

XSS+XLS+XPS= 1700

Un proceso similar, nuevamente con referencia al diagrama de redes de la figura 2conduce al siguiente grupo de restricciones de demanda:

XSS+XLS+ XPS= 1700XSB+ XLB+XPB= 1000XST+XLT+XPT= ^ 0 0XSD+ XLD+XPD= 1200

(San Diego)(Barstow)(Tucson)(Dallas)

Finalmente, cada embarque (variable de decisin) debe ser no negativo y entero:

XSS XSB XSTXSD XLSXLB XLTXLDix p s > x p b x p v x P D - y e n t e r

Si juntamos todas las piezas, el modelo matemtico completo es el siguiente:


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FORMULACIONMATEMATICADEL PROBLEMA DETRANSPORTACINDECCC

Minimizar

( 4x l .S + 7*LB + & L7 + 10 *LZ>) +(6xre + 5xpg + 3x pt+ 8xpd)

Condicionado por:

RESTRICCIONES DE CAPACIDAD

< 1700 (San Francisco)

< 1700X L S + X L B + X L T + X L D ^ 2 0 0 0

Xps+XpB+XpT+XpD(Los ngeles)(Phoenix)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

XSS + XLS + X PS ~ 1 ^ 0 0 X SB X LB X PB ~ l 0 00

X ST + X LT + XPT ^ 0 0

X SD + X LD + X PD~ 1 20 0

(San Diego)(Barstow)(Tucson)(Dallas)

RESTRICCIONES LOGICAS

X SS> X S o,Xpg, XPB,XPT, xpD> 0 y entero

En el captulo 9 aprender el mtodo para resolver este tipo de problemas.

Aplicando ese procedimiento de solucin se llega al siguiente plan de embarque ptimopara CCC:

PLANTAS

TIENDAS

SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco 0 800 0 900Los ngeles 1700 0 0 300

Phoenix 0 200 1500 0

El costo de embarque total asociado con esta solucin ptima es $23 100.

CARACTER I ST I CAS CLAVE

El problema de CCC ilustra los siguientes puntos clave adems de las tcnicasde formulacin de problemas previamente cubiertas.

y El uso de un diagrama esquemtico, tanto para ilustrar el problema como

para ayudar a su formulacin matemtica.

Programa enteroEX2_2.DAT


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2 6 C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t i

AgrupamientoLa tcnica de identificaruna serie de restriccionessimilares, cada una delas cuales pertenecea un aspecto particulardel problema, comola satisfaccin dedemandas.

2.2 .2 E jem pl os de pr ob l em a s d e r ed es:el p r ob l em a del f l u j o mx im o

Para ilustrar nuevamente el uso de un diagrama de redes, considere el problem

enfrentado por la administracin de la Hexxon Oil Company.

EJEMPLO 2.3 EL PROBLEMA DEL FLUJO MXIMO DE LA HEXXON OIL COMPAHexxon Oil Company tiene una gran refinera localizada en Newark, New Jersey. Lgasolina refinada es enviada de all a tanques de almacenamiento en Filadelfia a travde una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton, TrentoBridgewater y Allentown. El oleoducto est construido en segmentos que conectaparejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un nmero mximconocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus respectivcapacidades en galones por hora son

DE A CAPACIDAD

Newark Sayerville 150 000Sayerville T renton 125 000Trenton Filadelfia 130 000Newark Bridgewater 80 000Sayerville Bridgewater 60 000Bridgewater Easton 100 000Easton Allentown 75 000Easton Trenton 50 000

Allentown Filadelfia 90 000

En la regin de Filadelfia se espera un aumento en la conduccin en los prximmeses de verano. Tendr Hexxon suficiente gasolina para satisfacer la maydemanda en las estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de produccin la refinera, la administracin de Hexxon desea conocer el nmero mximo de galonde gasolina por hora que pueden enviarse a travs de la red de oleoductos a los tanqude alma-cenamiento de Filadelfia.

Antes de formular este problema matemticamente, considere el dibujo de diagrama de redes que le ayude a visualizar la informacin y los datos del problem

Primero identifique ciertos nodos y arcos. En este problema, cada lista de ciudadpuede representarse mediante un nodo. Para conectar esas ciudades para las que exis

/ La necesidad de resolver ambigedades que surgen con respecto a la interpretacin de las restricciones objetivas impuestas sobre el problema. Porejemplo, satisfacer la demanda puede significarexactamente igual a o almenos.

y La tcnica de agrupamiento, que es la identificacin de grupos de restricciones, cada una de las cuales pertenece a un aspecto particular del

problema, como la satisfaccin de demandas. La ventaja de agrupar es que,despus de formular la restriccin de demanda de un detallista, se lefacilitar formular todas las restricciones de ese grupo porque todas tienenla misma estructura matemtica.


17/51

Bridgewater Easton Allentown* En miles de galones por hora

Figura 2.3 Representacin de red del problema de flujo mximo: problema de flujo de HexxonOil Company.


un segmento de la red de oleoductos se utiliza un arco, como se ve en la figura 2.3. Alltambin puede ver la capacidad de cada segmento escrita junto al arco correspondiente.

Sayerville Trenton

Newark


Filadelfia

El primer paso en la formulacin es identificar las variables de decisin. Pregntese loque puede controlar con libertad y lo que constituye una solucin a este problema. Larespuesta es que debe determinar el nmero de galones de gasolina que se pueden

enviar por hora a lo largo de cada segmento del oleoducto. Puede definirxNS= el nmero de galones de gasolina por hora que se enviarn a lo largo

del segmento Newark a Sayerville

Se requiere de una variable similar para cada uno de los otros ocho arcos del diagramade redes de la figura 2.3. En la figura 2.4 se escriben estas nueve variables junto a losarcos.

Sayerville Trenton

Figura 2.4 Variables de decisin para el problema de flujo mximo de Hexxon Oil Company.


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c ia d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t ic

PASO2. IDENTIFICACINDELAFUNCINOBJETIVO

El siguiente paso en el proceso de formulacin es la identificacin de la funcin objetivque en este caso es:

Maximizar el nmero de galones de gasolina por hora enviada a Filadelfia

Examinando el diagrama de redes de la figura 2.4 y aplicando la tcnica de descomposicin, puede ver que:

{ Nmero de galones } _ nmero de galones por 1 _ nmero de galones por 1por hora a Filadelfia J [ hora desde Allentown J | hora desde Trenton J

En trminos de las variables de decisin, entonces, la funcin objetivo es

Maximizar xAp+xTp

PASO3. IDENTIFICACINDELASRESTRICCIONESLa tcnica de agrupamiento puede usarse para identificar los siguientes tres grupos drestricciones.

1. Restricciones de lmite, especificando que la tasa de embarque de cada segmendel oleoducto no debe exceder su capacidad. Al usar las variables y las capacidadedadas en la figura 2.4, estas restricciones son:

X N S< 150 000

X N B< 80 000

X SB< 60 000

X ST< 125 000

X BE< 100 000

X EA< 75 000

X E T< 50 000

X AP< 90 000

X TP< 130 000

2. Restricciones de equilibrio, especificando que en cada estacin de bombeo, cantidad de gasolina por hora enviada debe ser precisamente igual a la cantidarecibida. Por ejemplo, si observamos el nodo de la figura 2.4 correspondiente la estacin de bombeo de Bridgewater, puede ver que

Cantidad enviada 1 Cantidad enviada de 1desde Bridgewater J 1 Bridgewater a Easton J

{ Cantidad recibida 1 Cantidad recibida en 1 f Cantidad recibida en

en Bridgewater j 1 Bridgewater desde Newark J + ^Bridgewater desde Sayervil


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Si igualamos estas dos cantidades obtenemos la siguiente restriccin de balancepara la estacin de bombeo de Bridgewater:

Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s

x b e~ x n b~ x s b = 0 (balance en Bridgewater)

Procediendo de manera similar para cada estacin de bombeo se obtienen lassiguientes cuatro restricciones de balance adicionales:

X ST X SB ~ X N S

X EA- xET

~ X BE

X TP X

ST X E T

X AP ~ X EA

-xqr - xKT= 0 (balance en Trenton)

= 0 (balance en Allentown)

3. Restricciones lgicas, especificando que la cantidad enviada en cada segmentosea no negativa.

Juntando todas las piezas, la formulacin matemtica del problema de la Hexxonl Company es la siguiente:

ORMULACIONMATEMTICADEL PROBLEMADEFLUJOELAHEXXONOIL COMPANY

Maximizar xAp+xTp

Condicionado por:

RESTRICCIONES DE FRONTERA

x m< 150 000

X N B< 80 000

X SB< 60 000

X ST< 125 000

X B E< 100 000

X EA< 75 000

X K T < 50 000

X M>< 90 000

T**"TP

< 130 000

RESTRICCIONES DE BALANCE

= 0 (balance en Bridgewatei

= 0 (balance en Sayerville)

= 0 (balance en Easton)

= 0 (balance en Trenton)= 0 (balance en Allentown)

X BE

X N B X SB

X ST+

X SB ~ X N S

X EA+

X E T ~ X B E

XT P - X ST '- xRT

X AP-

X EA

Programa linealEX2_3.DAT


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t

RESTRICCIONES LGICAS

Todas las variables son no negativas.

Aplicando el procedimiento de solucin apropiado se obtienen los flujos ptimmostrados en la figura 2.5.

Sayerville Trenton

Figura 2.5 Una solucin ptima para el problema de flujo mximo de Hexxon Oil Company

Esta solucin resulta en un flujo mximo de 205 000 galones de petrleo por hodesde la refinera de Newark a los tanques de almacenamiento de Filadelfia.La administracin no sabe cunta gasolina puede bombear la compaa a Filadelf

Esta informacin tambin es importante al tomar la decisin respecto a cul debera la tasa de produccin en la refinera de Newark. De hecho, el flujo mximo hacFiladelfia pone un lmite superior sobre cunta gasolina debe fluir desde Newark.

2 .2 .3 Ad m in i st r ac i n d e ca r ter a de va l or es:el u so de var i a b l es en ter a s 0-1

En muchos problemas, los administradores deben tomar ciertas decisionesestratgiccomo:

1. Debe construirse una nueva planta o almacn?2. Debe emprenderse un proyecto particular?3. Debe comprarse cierta seguridad?4. Debe comprarse una nueva pieza de equipo?

Estas cuatro preguntas abordan problemas que son distintos en naturaleza problema de transportacin y del problema de flujo mximo. Al desarrollar el prograde embarque y el flujo de gasolina, usted buscaba una respuesta cuantitativa: cunLas cuatro preguntas estratgicas anteriores son cualitativas : Sus respuestas ser


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1 1 Ej e mp l o s a d ic i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s

Las decisiones cualitativas desconocidas, la respuesta de s o no a estas pregun-zzs, son los elementos que puede controlar con libertad y de esta manera se incorpo-:=n a un modelo matemtico como variables de decisin. Al formular un modelo, estas

inables de decisin estn restringidas a valores de 0 (para no) y 1 (para s) y sonrn:onces llamadas variables enteras 0-1. El siguiente ejemplo ilustra cmo se usanr =:as variables en el desarrollo de modelos.

EJEMPLO 2.4 EL PROBLEMA DE ADMINISTRACIN DE CARTERA DE HIGH TECH1:5 socios generales de High Tech, una compaa de inversin de capital de riesgo,r5:an considerando invertir en una o ms propuestas que han recibido de varios" e godos empresariales. El departamento de investigacin ha examinado cada propuesta,

ruatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de High Tech de lograr unrendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compaas son Bio-Tech, Tele-Comm, Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de investigacin deH:gh Tech tambin ha estimado el rendimiento total de estos negocios en dlares::ua les, dado en la ltima columna de la tabla 2.3.

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al; nncipio de cada uno de los siguientes cuatro aos, como se muestra en la tabla 2.3. El

: e partamento de contabilidad de High Tech ha preparado una estimacin de los fondos: ::ales que High Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes: uatro aos, que se da en la ltima fila de la tabla 2.3. Observe que los fondos no usadose cualquier ao no estn disponibles para su inversin en los aos posteriores.

Como uno de los socios generales de High Tech, se le ha pedido hacer recomendacionesrespecto a cules de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr el ms altorendimiento total en dlares actuales. Usted y los otros socios han acordado que HighTech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertir conjuntamente en Tele-Comm yLaser-Optics, que estn desarrollando el mismo tipo de tecnologa.

TABLA 2.3 Datos de inversin para High Tech ($ miles)

PROYECTOS AO 1 AO 2 AO 3 AO 4 DEVOLUCIN

Bio-Tech 60 10 10 10 250

Tele-Comm 35 35 35 35 375Laser-Optics 10 50 50 10 275

Compu-Ware 15 10 10 40 140

Fondos para inversin 90 80 80 50

PAS01, IDENTIFICACINDELASVARIABLESDEDECISIN

Pregntese qu puede controlar libremente en este problema y se dar cuenta de quepuede elegir aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocerque estas decisiones implican una decisin no o s. Parece razonable entonces crearuna variable entera para cada proyecto, de la manera siguiente:

g _ 1, si High Tech debe invertir en Bio-Tech\ 0, si High Tech no debe invertir en Bio-Tech

j,_ 1, si High Tech debe invertir en Tele-Comm[ 0, si High Tech no debe invertir en Tele-Comm

Variable entera 0-1Una variable de decisirestringida a tener un

valor de 0 o 1, usadapara modelardecisiones no/s.


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{ si High Tech debe invertir en Laser-Optics

si High Tech no debe invertir en Laser-Optics

C =1, si High Tech debe invertir en Compu-Ware0, si High Tech no debe invertir en Compu-Ware

La eleccin de 1 para s y 0 para no es completamente arbitraria. Tambin hab

podido elegir 1 para no y 0 para s. Sin embargo, una vez que ha elegido, debe uesta eleccin consistentemente en toda la formulacin. En algunos casos, una eleccparticular simplifica la formulacin subsecuente.


En este caso, el objetivo es maximizar el rendimiento total de las inversiones en dlaactuales. El rendimiento total puede descomponerse en la suma de las utilidades pcada uno de los cuatro proyectos, como sigue:

Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech + rendimiento de Tele-Commrendimiento de Laser-Optics + rendimiento de Compu-War

Trabaje con un ejemplo especfico. El rendimiento de Bio-Tech es de $250 000, commuestra en la tabla 2.3. Sin embargo, recibir este rendimiento slo si decide inve

en Bio-Tech , esto es, siB - 1. De otra manera, es decir, siB= 0, el rendimiento de Tech es 0. Estas dos posibilidades pueden combinarse en la siguiente expresin mmtica:

Rendimiento de Bio-Tech = 2505

Si la decisin es no invertir, es decir,B= 0, entonces 250# = 0. De otra manera, cuala decisin es invertir, esto es,B= 1, entonces 250B= 250.De manera similar, el rendimiento de cada uno de los restantes tres proyecto

obtiene multiplicando el rendimiento de la tabla 2.3 con la variable de decisincorrespondiente a ese proyecto. En resumen, la funcin objetivo para este problemmaximizar:

Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech + rendimiento de Tele-Commrendimiento de Laser-Optics + rendimiento de Compu-Wa

= 250B+ 375T+ 275L + 140C

PASO3. IDENTIFICACINDELASRESTRICCIONES

Comience usando la tcnica de agrupamiento para identificar los siguientes gruporestricciones: (1) flujo de efectivo anual, (2) una pauta para reflejar que High Tecdesea invertir en Tele-Comm y en Laser-Optics a la vez, y (3) restricciones lgica

R e s t r i c c i o n e s d e f l u j o d e e f e c t i v o a n u a l

Pregntese qu le impide invertir en los cuatro proyectos. Una restriccin es la tidad limitada de fondos disponibles para inversin durante cada uno de los cuatro

(vase la tabla 2.3). En particular, se requiere de una restriccin de presupuesto cada uno de los cuatro aos para asegurar que los fondos totales invertidos en proye


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seleccionados no excedan la cantidad de fondos para inversin disponibles ese ao. Porejemplo, para el primer ao:

Fondos totales invertidos en proyectos seleccionados < 90

Usando la tcnica de descomposicin, los fondos totales invertidos en proyectosseleccionados es la suma de las cantidades invertidas en cada uno de los cuatro

proyectos, esto es:

Fondos totales invertidos = (cantidad invertida en Bio-Tech) +

(cantidad invertida en Tele-Comm) +

(cantidad invertida en Laser-Optics) +

(cantidad invertida en Compu-Ware)

Se requiere una expresin matemtica para cada una de estas cantidades en trminos de las variables de decisin y otros datos del problema. Use nuevamente la

descomposicin, y trabaje con un ejemplo especfico. La cantidad invertida en cadaproyecto es la cantidad requerida para ese proyecto durante el primer ao (vase latabla 2.3) multiplicada por la variable 0-1 correspondiente. Por tanto, la restriccin depresupuesto para el primer ao se convierte en:

605 + 35T+ 10L + 15C < 90 (presupuesto para el ao1)

Se requiere de una restriccin similar para cada uno de los restantes tres aos. Usandoos datos de la tabla 2.3, esas restricciones son

IOS + 35T+ 50L + 10C < 80 (presupuesto para el ao2)

105 + 35T + 50L + 10C < 80 (presupuesto para el ao3)

105 + 35T + 10L + 40C < 50 (presupuesto para el ao4)

R e s t r i c c i n d e p a u t a d e i n v e r s i n

Recuerde que la administracin ha decidido no invertir en Tele-Comm y Laser-Opticsa la vez. Puede usar las variables Ty L para escribir una restriccin matemticaapropiada?

Se necesita una restriccin para asegurar que si Tes 1, entoncesLes 0, y que siLes 1, entonces Tes 0 (o, de manera equivalente, que ambas variables no pueden tener

un valor de 1). Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dosvariables sea 0.

T *L = 0

Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensndolo un poco, puede darsecuenta de que la siguiente restriccin logra el mismo objetivo:

T + L < 1

En la ltima restriccin, si Tes 1,Lno puede ser tambin 1 y satisfacer la desigualdad


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3 4 C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c ia d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t i

Programa enteroEX2_4.DAT

resultante. En este caso, la segunda restriccin proporciona un modelo que es ms fde resolver, como aprender en los siguientes captulos sobre tcnicas de solucin.

R e s t r i c c i o n e s l g i c a s

Como se especifica en las definiciones, cada variable debe tener un valor de 0 o 1. Erestriccin implcita se hace explcita de la siguiente manera:

B,T, L y C = 0 o 1

De manera alternativa, podra escribir estas restricciones lgicas como:

0 < B< 1 y B entera

0 < T< 1 y T entera

0 < L< 1 y L entera

0 < C< 1 y C entera

Juntando las piezas, el modelo matemtico completo es el siguiente:

FORMULACINMATEMTICAPARAEL PROBLEMADEINVERSINDEHIGHTECH

Maximizar

Condicionado por:

250B + 375T+ 275L + 140C

60B + 35T+ 10L + 15C < 90 (ao 1)

lOfi + 35T + 50L + 10C < 80 (ao 2)

10B + 35T + 50L + 10C < 80 (ao 3)

10B + 35T + 10L + 40C < 50 (ao 4)

T + L < 1

B ? T, L C 0 o 1

Esta formulacin se basa en definir las variables como se hace en el paso 1. Uformulacin alternativa, pero equivalente, puede obtenerse definiendo cada variade decisin para que tenga un valor de 1 para no, significando que no invertir enproyecto asociado, y de 0 para s, significando que s invertir. Se le pide desarrolel modelo correspondiente en un ejercicio al final de est captulo. Esto mostrar qno existe una formulacin nica de un problema.

De cualquier modo, aprender el procedimiento de solucin para este tipo problema en el captulo 8. La aplicacin de ese procedimiento da por resultado enrecomendacin de invertir slo en los proyectos de Bio-Tech y Laser-Optics, con rendimiento esperado de 525 mil dlares.

CAR ACT ERSTI CAS CLAVE

Este problema ilustra las siguientes caractersticas clave, adems de las tcnicas

de formulacin de problemas que ya conoce:


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. 2 Ej e mp l o s a d ic i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m as

/ El uso de variables enteras (0-1), para incorporar decisiones no/s./ El uso de variables enteras (0-1), para modelar restricciones alternati

vas al requerir que la suma de dos de estas variables no exceda de 1.y La posibilidad de distintas expresiones matemticas para la misma

restriccin./ La posibilidad de distintos modelos, dependiendo de la eleccin y definicin

de las variables de decisin.

2 .2 .4 Un p r ob l em a d e u b icac i n

Muchos problemas de la industria implican la eleccin de un lugar para instalaciones,or ejemplo, plantas y almacenes. La ubicacin de instalaciones puede influir en gran

medida en los costos de transportacin. Por ejemplo, si las plantas de ensamblaje de laCosmic Computer Company, en el ejemplo 2.2 de la seccin 2.2.1, estuvieran ubicadasn distintas ciudades, los costos de embarque de las computadoras a las tiendas detaistas cambiaran. Las decisiones de ubicacin tambin pueden afectar la satisfaccinel cliente. Es conveniente y accesible una tienda? La ubicacin puede ser crtica paral xito del negocio. La pregunta a contestarse es dnde ubicar mejor las instalacionesara lograr un objetivo organizacional global, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

JEMPLO 2.5 EL PROBLEMA DE LA UBICACIN DEL BANCO DE SANGRE Supongaue la ciudad de Nueva York tiene cinco hospitales en Manhattan. El Departamentoe Salud desea construir un banco central de sangre para proporcionar suministrosiarios de sangre a cada hospital. Los hospitales 2 y 4 requieren entregas matutinas yespertinas. Los restantes tres hospitales requieren slo una entrega al da. Comodministrador del departamento, se le ha pedido hacer una recomendacin respecto a

a ubicacin ideal de este banco de sangre, ya sea que ese lugar est realmenteisponible para su adquisicin o no.


Qu puede controlar libremente en este problema? Es claro que usted controla labicacin del banco de sangre. La cuestin real es cmoespecificaesa ubicacin. La

orma obvia de hacerlo es definiendo una variable simple, digamos,x,cuyo valor es laireccin del banco de sangre. Pero piense cuidadosamente respecto a lo que va a hacer

on esa variable en la formulacin del problema. Si la direccin conocida de un hospitalsy,por ejemplo, no podr utilizarxjunto, conypara desarrollar una expresin matemtica para la distancia entre el banco de sangre y el hospital, porque las direccionesolas no contienen suficiente informacin.

Se requiere de un conjunto de variables ms preciso. Una forma de definir un lugarn un mapa (como en la figura 2.6) es describiendo cada punto en relacin con un puntojo, llamado el origen.Cada punto del mapa consta de dos coordenadas, digamos (a, b).a primera coordenada, a, representa la distancia Este-Oeste (digamos, en millas)esde el origen, y la segunda coordenada, 6, representa la distancia Norte-Sur (en

millas). No importa el punto que elija como el origen, siempre y cuando exprese todasas coordenadas con relacin a ese punto.

En este ejemplo, el Ayuntamiento de la figura 2.6 se ha elegido como el origen. Susoordenadas son (0, 0). Cualquier otro punto en el mapa consiste entonces en dos cordenadas (a, b), en las que un valor negativo de a representa la distancia al Este


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c ia d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e rm i n s t i

(derecha). De manera similar, un valor negativo de brepresenta la distancia desdeAyuntamiento hasta el Sur(abajo) y un valor positivo representa la distancia alNor(arriba). Con este entendido, puede escribir las coordenadas conocidas de los cinhospitales en la figura 2.6 relativas al Ayuntamiento de la siguiente manera:

Ubicacin del hospital 1 = (av 6t)

Ubicacin del hospital 2 = (a2, b2)Ubicacin del hospital 3 = (a3, b3)

Ubicacin del hospital 4 = (a4, b4)

Ubicacin del hospital 5 = (a5, b5)

Regresando a la cuestin de identificar las variables de decisin, usted puede elegir clibertad la ubicacin del banco de sangre, esto es, su distancia Este-Oeste y Norte-Sen millas desde el Ayuntamiento. En consecuencia, es razonable definir dos variabluna para cada coordenada de la ubicacin del banco de sangre:

x= la distancia Este-Oeste en millas desde el Ayuntamientoy =la distancia Norte-Sur en millas desde el Ayuntamiento

Norte

b5) .

#(av bi )

7:1

(a4. b4) * Ayuntamiento

(a2,b 2)

0(a3 b,)

Sur

Figura 2.6 Ubicacin de hospitales en la ciudad de Nueva York.


Cul es el objetivo de este problema? Si relee el enunciado del problema, descubrque el objetivo no se especifica de manera precisa. En trminos generales, se le pedido hacer una recomendacin respecto a una ubicacin ideal para el banco sangre. As que la primera cuestin que debe abordarse es cmo medir lo bueno de uubicacin particular. Por ejemplo, sera mejor un banco de sangre ubicado en coordenadas (s, t) que uno ubicado en las coordenadas (x, y )? Se requiere de cie


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2 Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s 3 7

edida de comparacin para determinar la ubicacin mejor. Para desarrollar estaedida, comience por preguntar lo que constituye una buena ubicacin. Algunas res

uestas posibles son la mejor ubicacin.

1. Minimiza la suma de las distancias desde el banco de sangre a cada uno de loscinco hospitales.

2. Minimiza la distancia al hospital ms lejano.

3. Minimiza la distancia total viajada al hacer las entregas durante el da.

La eleccin de un objetivo corresponde a los tomadores de decisiones de laganizacin. En este problema, suponga que se seleccion el tercer criterio.

La siguiente cuestin es cmo expresar este objetivo en trminos de las variables yros datos del problema. Usando la tcnica de descomposicin, puede expresar lancin objetivo de la manera siguiente:

Minimizar la distancia total de viaje =

2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 1) *(nmero de entregas al da al hospital 1) +

2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 2) *(nmero de entregas al da al hospital 2) +

2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 5) *(nmero de entregas al da al hospital 5)

l valor de 2 en cada trmino surge porque cada entrega es un viaje redondo.Ahora es necesario expresar cada trmino individual usando variables y otros datos

l problema. Puede hacer esto para la distancia desde el banco de sangre hasta elospital 1 de la figura 2.6? Una dificultad que puede encontrar es que no es claramentereciso qu se entiende por distancia. Por ejemplo, si las entregas se hacen por aire

igamos, en helicptero), la distancia no es la misma que si las entregas se hicieran porerra. Supongamos que las entregas se hacen por aire. En este caso, recuerde la frula para calcular una distancia en lnea recta. La distancia desde el banco de sangre,bicado en las coordenadas desconocidas (,x, y ), al hospital 1, ubicado en (ax,6X), es:

Distancia = V(x - ax)2+ (y- bx)2

orque cada entrega requiere un viaje redondo,

Distancia viaje redondo = 2 * V (x - ax)2+ (y - b j 1

se la misma frmula para cada uno de los cuatro hospitales restantes, y multipliqueda distancia por el nmero de viajes diarios dados en la descripcin del problema. Lancin objetivo global es:

inimizar 2 * ( V(x - a t)2+ (y - b J2 ) +

4 * ( V(x - a 2)2+ (y - b2)2 ) +

2 * ( VC x-a -P + C y-b,)2 ) +

4 * ( V(x - a4)2+ (y - b j 2 ) +

2 * ( V (* -a )2+ (y - 6.)2 )


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3 8 C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t i

PASO3. IDENTIFICACIONDELASRESTRICCIONES

Problema deoptimizacinirrestrictaUn modelo matemticoque tiene una funcinobjetiva pero carece derestricciones.

Para identificar las restricciones, pregntese lo que le impide elegir valores arbitraripara las variables x e y.A primera vista, podra sentir que se requieren ciertlimitaciones sobre estas variables para asegurar que representan una ubicacin vlisobre el mapa. No deseara que el banco de sangre estuviera ubicado en Filadelfia. A

cuando podra incluir tales restricciones, no se requiere hacer eso en este problema. razn es que la funcin objetivo restringe los valores paraxey. Cuando la funciobjetivo se minimiza de hecho, los valores parax ey automticamente estarn cerca los cinco hospitales.

Existen otras muchas consideraciones prcticas respecto a la ubicacin real dbanco de sangre, pero no se incluyen como restricciones en este modelo porque objetivo es determinar la ubicacin ideal.

Adicionalmente observe que no existen restricciones de no negatividad. La raznque est permitido que las variablesx e y tengan valores negativos as como positivDe hecho,este problema no tiene restriccin algunay por lo tanto, se denomina prblema de optimizacin irrestricta. La formulacin final es la siguiente.

FORMULACINMATEMTICADEL PROBLEMADEUBICACIONDEL BANCODESANGRE

Minimizar 2 * [ V (x -a 1)2+ (3'-& 1)2 1 +

4 * [ V (x -a )2+ (y - b )2 1+

VOc - o,)2+ (y - b y +

4 * \J(x- a,)2+ (y - b j \ +

2 * [ VGc - a.)2 + (y - bSf

Resolver este problema requiere la obtencin de valores especficos para los datos qrepresentan la ubicacin (coordenadas) de los cinco hospitales.

CARACTER I ST I CAS CLAVE

Este problema ilustra las siguientes caractersticas clave ms all de las

tcnicas de formulacin de problemas enseadas:

y La necesidad de aclarar ciertos aspectos del problema (como el concepto dedistancia) antes de intentar formular el problema.

/ La posibilidad de especificar la funcin objetivo de maneras diferentes, basndose en criterios distintos, como los conceptos alternativos de una ubicacinideal. En tales casos, elija el criterio que sea ms consistente con el planestratgico global de la organizacin.

y La capacidad para formular un problema usando nombres simblicos pararepresentar los datos (por ejemplo, (ax, bx)para representar la ubicacin deun hospital). Sin embargo, para obtener una solucin, requerir reemplazarlos nombres simblicos con valores de datos. El usar nombres simblicos envez de valores de datos especficos le permite:


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Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s 3 9

Variables irrestrictasUna variable en unproblema de decisincuyo valor puede serpositivo, negativo o cero.

2.5 E l p r obl em a d el d i seo d el con t en ed or

ra clase importante de problemas se centra en el diseo ptimo de elementos comotructuras (por ejemplo, columnas de soporte) y equipo (por ejemplo, contenedores).

objetivo de estos problemas es determinar las dimensiones de un objeto particularon forma y materiales conocidos, sujetas a ciertas especificaciones de diseo. El moad o de estos problemas a menudo implica matemticas de ingeniera al especificarfuncin objetivo y las restricciones, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

JEMPLO 2.6 EL PROBLEMA DE DISEO DE CONTAINERS, INC. Containers, Inc., fa-nca todo tipo de contenedores hechos por pedido. La compaa acaba de recibir untudio de una compaa britnica para contenedores rectangulares de seis lados

utilizables hechos de un material especial de lmina de fibra. El volumen de cadantenedor debe ser al menos de 12 000 centmetros cbicos (cm3). Las restricciones dembarque de estos contenedores en Inglaterra requieren que sus dimensiones (esto es,rgo por ancho por altura) no exceda de 72 cm y que la mayor dimensin sencilla noceda de 40 cm. La compaa britnica ya obtuvo una oferta de $8.20 por contenedor,presidencia de Containers, Inc., le ha preguntado, a usted, gerente de la divisin de

oduccin, si la compaa puede proveer los contenedores por menos y seguirteniendo una ganancia de 25%. Usted ha obtenido datos que indican que el materiallmina de fibra cuesta $20 por metro cuadrado y que los costos de trabajo y otros

stos variables son de $1 por contenedor. Hace una oferta por el contrato?

AS01. IDENTIFICACINDELASVARIABLESDEDECISIN

espus de reconocer la necesidad de un modelo matemtico, primero identifica lasariables. Al hacerse la pregunta usual de qu es lo que puede controlar con libertadn este problema, debe darse cuenta que no puedecontrolar la forma del contenedorebe ser rectangular y tener seis lados) y tampoco los costos variables de $1 porntenedor. Sinembargo, puedecontrolar el costo total de la lmina de fibra usada en

a produccin de los contenedores controlando el diseode la caja. Otras reflexioneseberan llevarlo a darse cuenta de que este diseo est determinado por el largo, anchoaltura del contenedor. Por tanto, usted podra comenzar por definirL, WyHcomo el

argo, ancho y altura del contenedor, respectivamente. Sin embargo, esta definicin nolo bastante precisa, pues carece de las unidadesen las que se miden las dimensiones.sted tiene libertad para elegir esas unidades, pero piense en la forma en que se uti

a.Formular un problema sin esperar la recoleccin de los valores de datos yb.Usar el mismo modelo para problemas similares teniendo distintos valores

de datos. Por ejemplo, el modelo de banco de sangre, con diferentesubicaciones de hospitales, puede ser usado tambin por el condado de Los

Angeles.

/ La posibilidad de tener variables irrestrictas, esto es, variables cuyosvalores pueden ser tanto negativos como positivos.

/ La posibilidad de omitir ciertas restricciones que, por la naturaleza de lafuncin objetivo, se satisfacen automticamente. Algunas veces, puede omitir una restriccin porque esa restriccin es impuesta automticamente poralguna otra restriccin del modelo.


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t ic

lizarn y en las unidades dadas en los datos del problema.Como los datos estn epresados en unidades mtricas (centmetros y metros), es apropiado utilizar centmetros o metros en vez de pulgadas o pies. Eligiendo arbitrariamente centmetros, sea

L - la longitud del contenedor en centmetros

W = el ancho del contenedor en centmetros

H = la altura del contenedor en centmetros


El objetivo global de este problema es decidir si puede producir los contenedores con umargen de ganancia de 25% por arriba de los costos, al mismo tiempo que fijar su precpor debajo de la oferta de la competencia de $8.20 por contenedor. Un enfoque parsolucionar este problema es determinar el costo mnimo posible de la lmina de fibrusada, aadir $1 por los costos de la mano de obra y otros costos variables para obtenel costo total por contenedor, y luego aadir 25% para ver si el valor resultante es menque $8.20. Desde un punto de vista de modelado, el objetivo en palabras es:

Minimizar el costo total de la lmina de fibra usada por contenedor

Ahora determina una expresin matemtica para el costo de la lmina de fibra usaden un contenedor en trminos de las variables de decisin y de otros datos del problemSi tiene problemas al hacer esto, intente la tcnica de trabajar con un ejempespecfico. Por ejemplo, seaL =40 cm, W= 20 cm yH =10 cm. Para calcular el costotal, necesita saber cunta lmina de fibra se requiere para hacer un contenedor destas dimensiones. Si ve la figura 2.7 y usa la tcnica de descomposicin, debe darcuenta que:

Costo total = suma de los costos para cada uno de los seis lados

Figura 2.7 Dimensiones del contenedor.

Para cada lado, el costo se calcula como:

Costo de un lado = (cantidad de lmina de fibra requerida) *(costo por unidad de lmina de fibra)

En particular, para el lado limitado por el largo y el ancho, la cantidad de lmina fibra requerida es:


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2 Ej e m p l o s a d i c i o n a l e s d e l a f o r m u l a c i n d e p r o b l e m a s

rea del lado = largo * ancho= (40 cm) (20 cm)= 800 cm2

i ahora tuviera que calcular el costo de este lado como 800 veces el costo unitario dea lmina de fibra ($20 por metro cuadrado), obtendra un costo incorrectode $16 000or este lado. Este error ocurre debido a una mezcla incorrecta de unidades. Las dimen

iones del contenedor estn definidas en trminos de centmetros, pero el costo de laamina de fibra est dado en dlares por metro cuadrado.Una forma de corregir estaituacin es redefinir las variables en trminos de metros en vez de centmetros. De

manera alternativa, puede calcular el costo de la lmina de fibra en trminos de dlaresor centmetro cuadrado, como se har aqu. Observe que 1 metro cuadrado es igual a00 cm, o 10 000 centmetros cuadrados. Por tanto, un costo de $20 por metro cuadrado5 equivalente a un costo de $20/10 000 = $0.002 por centmetro cuadrado. En conse-uencia, el costo de un lado limitado por un largo de 40 y un ancho de 20 es:

Costo para este lado = 0.002 * 40 * 20 = $1.60

Recuerde que el propsito de trabajar con un ejemplo especfico noes obtener una

espuesta numrica para este conjunto especfico de valores de variables, sino determinar)mo realizar los clculos cuando los valores de las variables no estn especificados. Enste caso, el costo para este lado, en trminos deLy W,est dado por:

Costo de este lado = 0.002 * L* W

Habiendo calculado el costo de este lado, todava tiene que, calcular el costo de lostros cinco lados. De la figura 2.7, puede ver que hay dos lados acotados por el largo yl ancho; de manera similar, hay dos lados acotados por el largo y la altura y dos ladoscotados por el ancho y la altura. Por tanto, el costo total de la construccin del conenedor puede expresarse matemticamente de la manera siguiente:

Costo total = suma de los costos para cada uno de los seis lados

= 2 * (costo del lado acotado por el largo y el ancho) +

2 * (costo del lado acotado por el largo y la altura) +

2 * (costo del lado acotado por la altura y el ancho)

= 2 * (0.002 * L* W)+

2 * (0.002 * L*H)+

2 * (0.002 * H * W)

= 0.004 * L * W +0.004 * L*H+ 0.004 * H* W

a funcin objetivo para este problema es:

Minimizar 0.004 C :W+ 0.004 C + 0.004 f :W

PASO3. IDENTIFICACINDELASRESTRICCIONES

elea la descripcin del problema y pregntese qu le impide elegir arbitrariamente los

alores para las dimensiones del contenedor. Debe entonces identificar tres tipos deestricciones, pertenecientes al volumen, tamao y mayor dimensin simple.


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4 2 C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c ia d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t i

La r e s t r i c c i n d e v o l u m e nLa compaa britnica ha pedido que el contenedor tenga un volumen de al men12 000 cm3. Si recordamos que el volumen de una caja se calcula como el producto sus tres dimensiones, puede usarL, WyHanteriormente denidos para expresar esrestriccin como:

L* W*H > 12 000 (restriccin de volumen)

La r e s t r i c c i n d e t a m a oPara expresar la limitacin de que el tamao no exceda de 72 cm, recuerde que tamao es la suma de las tres dimensiones del contenedor, as que:

L + W + H 12 000

L + W + H < 72

0 < L < 40

0 < W < 40

0 < H < 40


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2.3 C l a s if i c a c i n d e m o d e l o s m a t e m t i c o s

Observe que la restriccin 0 < L < 40 significa queLes no negativo (0 < L) y es menorque 40 (L < 40). En la seccin 2.3, aprender que este problema pertenece a una clasegeneral llamadaproblemas de programacin no lineal.El procedimiento para resolverestos problemas est ms all del alcance de este libro. Sin embargo, tales mtodosexisten y estn disponibles en algunos paquetes de computadora. La aplicacin de unprocedimiento de stos tiene como resultado el diseo ptimo en el que el largo, el anchoy la altura son cada uno 22.8943 centmetros. Este diseo incurre en un costo total de

$7.29, consistente en $6.29 para la lmina de fibra y un dlar adicional de mano de obray gastos generales. La adicin de 25% de margen de ganancia da un total de $9.11. Comoesta cantidad excede la oferta competitiva de $8.20, debe recomendar a la directiva quela compaa no acepte este contrato.

CAR ACT ERSTI CAS CLAVE

Este problema ilustra las siguientes caractersticas clave adems de las tcnicasde formulacin de problemas anteriores.

/ La necesidad de usar unidades apropiadas (centmetros, en este ejemplo) aldefinir las variables y ser consistente a lo largo de toda la formulacin en expresar todos los aspectos del problema en trminos de las unidades elegidas.

/ La posibilidad de escribir restricciones en ms de una forma (como larestriccin de que la dimensin mxima del contenedor no exceda de 40 cm).

2 . 3 C l a s i f i c a c i n d e m o d e l o s m a t e m t i c o s

Ahora que sabe cmo formular un problema matemticamente, el siguiente paso esresolver ese problema, esto es, encontrar valores para las variables de decisin quesatisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo, proporcionen el mejor valorposible de la funcin objetivo. Esta tarea se logra usando procedimientos sistemticos,paso a paso, llamados algoritmos. Finalmente, una computadora efecta estos algoritmos. Los algoritmos que resuelven un modelo matemtico pueden o no resolver otro.Los distintos algoritmos han sido diseados para resolver distintos tiposde problemas.La pregunta natural a cuestionarse es, despus de formular un modelo matemtico

particular, cmo elijo el algoritmo correcto para resolver ese problema?La respuesta a esta pregunta es identificar la clasede modelos matemticos a la que

pertenece su problema particular. Existe uno o ms algoritmos para resolver todoslosproblemas de esa clase. Una vez que sabe la clase a la que pertenece su problema, podrseleccionar un algoritmo asociado para resolver ese problema.

En esta seccin, aprender a identificar algunas de estas distintas clases de modelos, de acuerdo con las propiedades matemticas que comparten todos los problemasde esa clase. Tambin aprender cmo determinar la clase a la que pertenece suproblema examinando sus propiedades matemticas. Las ventajas y desventajas de losalgoritmos asociados con cada clase se analizan brevemente aqu y en todo lo que restadel libro. Los detalles de cmo usar los diversos algoritmos de estas clases y cmo

interpretar los resultados obtenidos de la computadora tambin se presentan en loscaptulos subsecuentes.

AlgoritmosUn procedimientosistemtico, paso a pasusado para resolver un

modelo matemtico.


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4 4 C a p t u lo 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e r m i n s t ic

Problema irrestrictoUn problema que tiene

una funcin objetivo perono restricciones.

Problema restringidoUn problema que tieneuna o ms restricciones.

AditividadUna propiedadmatemtica derestricciones en la que lacontribucin de cadavariable a la funcin derestriccin se suma (osustrae) a la de cada unade las otras variables dela restriccin.

Proporcionalid adUna propiedadmatemtica derestricciones mediantela cual si el valor de unavariable se multiplicapor cualquier constante,su contribucin a la

restriccin se multiplicapor esa misma constante.

2.3 .1 Cl a si f i cac i ones basad a sen da tos de p r obl em a s

Como aprendi en el captulo 1, los problemas en los que todos los datos son conocidcon certeza, como los de este captulo, son determinsticos. En los problemas estocsticpresentados en los captulos 11 al 16, algunos (o todos) datos del problema no se conocecon certeza. Lo que resta de esta seccin est dedicado a la clasificacin de problema

determinsticos basados en ciertas propiedades matemticas.

2.3 .2 Cl a si f i cac i ones basad a sen l a s r est r i cci ones

Los problemas determinsticos se clasifican primero sobre la base de la existencia drestricciones. Esto da pie a las siguientes dos clases:

1. Problemas irrestrictos son aquellos que carecen de restricciones.2. Problemas restringidos son aquellos que tienen una o ms restricciones.

El problema de ubicacin del banco de sangre del ejemplo 2.5, en la seccin 2.2, eun problema irrestricto. Todos los dems ejemplos de la seccin 2.2 son problemarestringidos.

Los problemas restringidos se clasifican entonces sobre la base de las propiedadmatemticas que las restricciones satisfacen. Una de las dos propiedades matemticfundamentales de las restricciones es la aditividad, en la que la contribucin de cadvariable a la funcin de restriccin se suma (o sustrae)a la de cada una de las otrvariables de la restriccin.

Para ilustrar la propiedad de aditividad, recuerde la siguiente restriccin de mande obra del departamento de mezclado del problema de Case Chemicals de la secci2.2, en el que CSXes el nmero de miles de galones de CS-01 por producir y CS2es

nmero de miles de galones de CS-02 por producir:

2CS1+ CS2< 230 (

Esta restriccin satisface aditividad porque la contribucin de CSla la restricci(a saber, 2CSJse suma a la de CS2 (a saber, CS2). De manera similar, considere siguiente restriccin de equilibrio para la estacin de bombeo de Allentown en problema del flujo mximo de Hexxon Oil Company en el ejemplo 2.3:

Esta restriccin satisface la propiedad de aditividad porque la contribucin dexEA

sustrae de la dexAp.En contraste considere la siguiente restriccin de volumen del problema de dise

de Containers, Inc., del ejemplo 2.6:

L* W * H > 12 000 (

Esta restriccin no satisface la aditividad porque las contribuciones deL, WyH nosuman unas a otras. Ms bien, esos valores se multiplicanentre s.

La segunda propiedad matemtica de una restriccin es la de la proporcionalidasi el valor de una variable se multiplica por cualquierconstante, la contribucin de variable a la restriccin se multiplica por esa mismaconstante. La restriccin anteri(1) s satisface la proporcionalidad. Suponga que CSXtiene un valor de 5. En este ca

Contribucin de CSX=2CS, = 2(5) = 10


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2.3 C l a s i f i c a c i n d e m o d e l o s m a t e m t i c o s

Si el valor de CSl= 5 se multiplica por cualquier constante, digamos, c, entonces:

Contribucin de CSX= 2CSl= 2(5c)= 10c

Como puede ver, si el valor de CSXse multiplica por cualquier constante c, lacontribucin de CSXa la restriccin tambin se multiplica por c. Como esta mismapropiedad es cierta para CS2, esta restriccin:

2CSl + CS2< 230

satisface la proporcionalidad.En contraste, considere la restriccin:

x\+ 2x2> 10 (4)

La restriccin (4) no satisface la proporcionalidad. Para ver por qu, suponga que Xjtiene un valor de 5:

Contribucin dex l = x *= (5)2= 25

Si el valor dex }= 5 se multiplica por una constante, digamos, 2, entonces:

Contribucin dex l=x* - (2 * 5)2= (22) * (52) = 4 * 25

Como puede ver, si el valor d ex t se multiplica por 2, la contribucin dexla la restriccinse multiplica por 4. La proporcionalidad no se mantiene.

Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen dosclasificaciones de problemas restringidos:

1. Restricciones lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto laaditividad como la proporcionalidad.2. Restricciones no lineales, en las que alguna restriccin no satisface al menos

una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.

Usted puede reconocer si una restriccin particular es lineal c no viendo suforma.Una restriccin es lineal si, en trminos de las variables de decisin x1? . . . , xn (ocualesquier nombres simblicos), puede escribirse como:

a{xx+a, = ) b

en donde cada una de las av . . . , any bes un nmero real conocido. Por ejemplo, larestriccin anterior (1) es lineal porque el coeficiente de la variable CSXes ax= 2, el deCS2es a2= 1, y b= 230. La restriccin (2) tambin es lineal porque el coeficiente de lavariablexApes a =1, el dexEAes a2= -1 , y b= 0. En contraste, las restricciones (3) y (4)son no lineales.

2.3 .3 Cl a si f i ca c ion es basad a sen la fu n c in ob jet i vo

La siguiente clasificacin de modelos determinsticos se basa en las propiedadesmatemticas de la funcin objetivo. Como sucede con las funciones restringidas, lafuncin objetivo puede ser lineal o no lineal, dando pie a las siguientes dos clases:

Restriccin linealUna propiedadmatemtica de unmodelo en el que todaslas restriccionessatisfacen tanto laaditividad como laproporcionalidad.

Restriccin no linealUna propiedadmatemtica de un

modelo en el que algunarestriccin no satisfaceal menos una de laspropiedades deaditividad oproporcionalidad.


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4 6 C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e rm i n s t

Objetivo linealFuncin objetivoque es lineal.

Objetivo no linealFuncin objetivoque es no lineal.

1. Objetivo lineal, en la que la funcin objetivo es lineal.2. Objetivo no lineal, en la que la funcin objetivo es no lineal.

Por ejemplo, la siguiente funcin objetivo del problema de planeacin de produccinCase Chemicals es lineal:

Maximizar 300 CS1+ 500 CS2

En contraste, la siguiente funcin objetivo del problema de diseo de Containers, Idel ejemplo 2.6 es no lineal:

Minimizar (0.004 *L* W) + (0.004 * L * H) +(0.004 *H* W)

DivisibilidadLa propiedad de unavariable de decisin que

es capaz de asumircualquier valor,fraccional u otro, dentrode cierto intervalo.

2.3 .4 Cl a si f i cac i on es ba sa da sen la s va r i a b l es

La clasificacin final de los problemas determinsticos se basa en la propiedad

temtica de las variables. Esa propiedad se denomina divisibilidad, lo que signique una variable de decisin puede, en teora, asumir cualquier valor, fraccional u odentro de cierto intervalo. Por ejemplo, las variables CSly CS2 del ejemplo de CChemicals representan el nmero de miles de galones de los solventes a producir. Co

Problema deterministico

Lineal No lineal

TRestringidoo irrestricto

iTipo de

restriccin

Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero

Funcin

objetiva

Tipo de

variable

1Figura 2.8 Clasificacin de modelos determinsticos.


37/51

\ SIDERACIONES GERENCIALES COMPLEMENTARIAS 4 7

n teora es posible producir 5.132 mil galones, estas variables son divisibles. Enntraste, todas las variables del problema de transportacin de CCC, en el ejemplo 2.2,

e la seccin 2.2 representan el nmero de microcomputadoras a ser enviadas. Estasariables noson divisibles porque no es posible enviar 1.3 microcomputadoras, esto es,estas variables se les deben asignar valoresenteros.La propiedad de divisibilidad dae a las dos clases siguientes:

1. la clase de modelos de variable continua, en la que todaslas variables satisfacen la divisibilidad.

2. la clase de modelos de variable entera (o discreta), en la que una o msvariables deben tener valores enteros.

Las diversas clasificaciones de modelos determinsticos se resumen en la figura 2.8.: mo se mencion anteriormente, despus de la formulacin de un modelo, debe deterinar a qu clase pertenece, para que pueda elegir un algoritmo apropiado paralucionar el problema.En esta seccin, ha aprendido a clasificar un modelo en un grupo particular, basn-

se en sus diversas caractersticas matemticas. Este esfuerzo le ayudar a elegir un

goritmo apropiado para obtener una solucin a su modelo. A continuacin se analizanestiones adicionales referentes al proceso de construccin de modelos.

Co n s id e r a c io n e s g e r e n c ia l e s c o m p l e m e n t a r ia s

En este captulo ha aprendido cmo desarrollar y clasificar modelos matemticos para resolver ciertos tipos de problemas determinsticos. A lo largo de losprocesos de formulacin, existen otras cuestiones que un administrador debe

considerar.

Reso lu c in de am b igeda desen l a d ef i n i c i n d el p r ob l em a

Cuando se identifica un problema por primera vez en una organizacin, a menudo resultan ambiguos muchos detalles y cuestiones. Por ejemplo:

1. El objetivo global puede no ser claro. Por ejemplo, el concepto de lo que esmejor para una organizacin puede tener distintos significados.

a. Debera minimizar el costo total de embarcar sus mercancas, la distanciatotal viajada en el embarque de esas mercancas, o el tiempo total requerido para entregar esas mercancas?

b. En un problema de inversin, es mejor maximizar el rendimiento totalenuna inversin o la tasade rendimiento?

c. Qu se quiere decir con la mejor ubicacin para un banco de sangre,como en el ejemplo 2.5 de la seccin 2.2?

2. Puede haber objetivos conflictivos. Por ejemplo, debera minimizar costos omaximizar la satisfaccin del cliente?

3. El uso de ciertas palabras para describir aspectos del problema puede ser

vago y estar sujeto a diversas interpretaciones.

Variable continuaUna variable quesatisface la divisibilidad.

Variable entera(discreta)Una variable que debetener un valor entero.


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C a p t u l o 2 E l a r t e y l a c i e n c i a d e c o n s t r u i r m o d e l o s d e t e rm i n s t ic o

a. "Satisfaccin de la demanda significa embarcarexactamentela demandao al menosla demanda, como en el ejemplo 2.2 de la seccin 2.2?

b. La distancia entre dos ubicaciones significa la distancia viajada poraire o a travs de una red de carreteras, como en el ejemplo 2.5 de la seccin2.2?

Estas preguntas deben responderse antes de que comience el proceso de for

mulacin. El no hacerlo podra ocasionar la implantacin de una solucin ptimaal problema errneo.

For m u l a c i ones a l t er n a t i v a s del p r ob l em a

Como administrador, de

1 El Arte y La Ciencia de Construir Modelos Determinísticos

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