1 EQUILIBRADO DE LINEAS Ignacio Eguía Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas Escuela...
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EQUILIBRADO DE LINEAS
Ignacio EguíaDpto. Organización Industrial y Gestión de
Empresas
Escuela Superior de IngenierosUniversidad de Sevilla
2
INDICE Introducción Formulación del problema Equilibrado de cadenas
monomodelo Métodos exactos de resolución Métodos heurísticos
Equilibrado de cadenas de modelo mixto
3
INTRODUCCION Organización de Sistemas de Producción
Orientada al Producto Orientada al Proceso Fabricación Celular (Tecnología de Grupos)
Evolución histórica F. Taylor, 1919: Principles of Scientific Management A. Smith, 1776: “división del trabajo” La cadena de montaje de Henry Ford (1913)
Problema fundamental – Equilibrado División del trabajo en operaciones o tareas Asignación de las tareas a estaciones u operarios Cumplir las restricciones del proceso Objetivos: 1) Determinar N° Operarios, 2) Minimizar
Ocio, 3) Distribuir de forma equitativa las cargas de trabajo
4
Fabric.producto(línea demontaje)
Fabric. proceso(equipos especializados)
Tecnología de Grupos
Volu
men
VariedadPequeña Media Gran
Pequeño
Medio
Gran
1 o 2 8 100 800
25
500
2000
15000
TGcelular
TGpor centros
TG en serie
Flexibilidad
Productividad
INTRODUCCIONTipos de Sistemas de Producción
5
INTRODUCCIONLíneas de fabricación: ventajas e
inconvenientes
Ventajas: Elevada productividad Bajos inventarios en curso Flujo regular de material-no necesita control Transferencia de materiales sencilla-automatizada Menor superficie física No son necesarios trabajadores especializados
Inconvenientes: Elevada inversión en equipos Baja motivación en trabajadores Baja flexibilidad-alto coste por cambio de modelos Mantenimiento y reparaciones críticas
6
INTRODUCCIONTipos de líneas de fabricación
Líneas monomodelo Un único modelo o tipo de producto La carga de trabajo es constante en el tiempo Problema = Diseño del proceso (Equilibrado)
Líneas de modelo mixto Varios modelos o tipos de productos similares Cada cambio de modelo implica mínimas modificaciones
(no hay costes de preparación o setup) Problema = Diseño (Equilibrado) + Secuenciación
Líneas multimodelo Varios modelos o tipos de productos muy diferentes Cada cambio de modelo implica altos costes de setup Problema = Equilibrado + Secuenciación + Cálculo de Lotes
7
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Definiciones
“Equilibrar una línea de producción o montaje consiste en establecer una relación entre el conjunto de operaciones, los operarios y las máquinas de la línea de tal manera que el producto fluya en forma continua entre las estaciones de trabajo con el menor ocio posible para lograr el volumen de producción deseado”. (Gómez y Núnez –1990)
“El equilibrado de línea es una distribución de las actividades secuenciales en los centros de trabajo para lograr el máximo aprovechamiento posible de la mano de obra y del equipo, para reducir o eliminar el tiempo ocioso”. (Krick – 1967)
“Serie de operaciones progresivas relacionadas entre si, con tiempos tipo aproximadamente iguales para cada una, dispuestas de modo que el trabajo circule de una operación a la siguiente a un ritmo de producción determinado”. (Maynard – 1985)
8
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Conceptos
Operación o tarea (i=1,...N) Estación de trabajo (j=1,...M) Tiempo de operación (ti) Tiempo de Ciclo (C) Velocidad de la línea (v) Productividad (P) Número mínimo de estaciones (Mmin) Tiempo de operación de una estación (TOj) Tiempo total de montaje Tiempo de demora u ocioso de una estación (DIj) Tiempo de demora total (D)
9
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Restricciones
Cada operación se asigna a una estación
Se respetarán las relaciones existentes entre operaciones Relaciones de precedencia Relaciones de zona
Los tiempos de las operaciones no excederán el tiempo de ciclo
10
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Objetivos
Basados en la capacidad Mínimo tiempo de demora total Mínimo tiempo total de montaje Equilibrar la utilización de la capacidad de las
estaciones Basados en los costes
Mínimos costes de materiales Mínimos costes de herramientas Mínimos costes de inventario
Basados en la organización Variar las operaciones Evitar cambios de diseño si cambia el Plan de
Producción
11
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Tipos de problemas de equilibrado
SALBP (Simple Assembly Line Balancing Problem) Los parámetros son independientes de la estación Cada operación no se puede dividir en dos estaciones Hay que respetar las relaciones de precedencia No hay relaciones de zona Se tienen que realizar todas las operaciones Cualquier operación puede ir en cualquier estación No hay alimentación, almacén o línea en paralelo Un único modelo de producto Intervalo de lanzamiento igual al tiempo de ciclo
SALBP 1: dado C, el objetivo es minimizar MSALBP 2: dado M, el objetivo es minimizar CSALBP E: el objetivo es minimizar M·C
GALBP (General Assembly Line Balancing Problem) No se cumple alguna de las hipótesis anteriores
12
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Métodos de resolución de los SALBP Métodos exactos
Modelos de Programación Matemática SALBP E: modelo no lineal SALBP 1 y 2: modelos lineales
Exploración Dirigida Programación Dinámica
Métodos aproximados o heurísticos Constructivos
Tiempo de operación más largo (TLO) Más operaciones siguientes Mayor Peso Posicional (Helgeson & Birnie) Tiempo de operación más corto Menos operaciones siguientes
Gráficos Método de las Columnas (Kilbridge & Wester)
13
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Procedimiento
1. Descomposición del trabajo en tareas elementales (operaciones)
2. Calcular el tiempo de cada operación (ti)
3. Determinar la secuencia de las operaciones (grafo de relaciones)
4. Agrupar las operaciones en estaciones de trabajo (métodos de resolución)
5. Evaluar la eficiencia del balanceE = ti / (Tiempo de ciclo * N° estaciones)
14
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Modelo no lineal del SALBP E
(1) Duración en cada estación, menor que C
(2) Cada operación, a una estación
(3) Cumpliendo las relaciones de precedencia
CMjix
ikxjxj
Nix
MjCxt
as
tCMDMin
ij
M
jij
M
jkj
M
jij
N
iiji
N
ii
,);,(}1,0{
)3(
)2(,...,11
)1(,...,1
.
maxmax
max
11
1
max1
1
ciclodetiempoC
estacionesdenM
jestaciónenhaceseioperaciónsixij
º
1
15
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS Modelo lineal del SALBP 1
(1) Duración en cada estación, menor que C
(2) Cada operación, a una estación
)(}1,0{);,(}1,0{
)4(1,...,1
)3(
)2(,...,11
)1(,...,1
.
1
11
1
1
1
jyjix
Mjyy
ikxjxj
Nix
MjyCxt
as
yZMin
jij
maxjj
M
jij
M
jkj
M
jij
maxj
N
iiji
M
jj
maxmax
max
max
(3) Cumpliendo relaciones de precedencia
(4) Si una estación no existe, tampoco las siguientes
jestaciónexistesiy
jestaciónenhaceseioperaciónsix
j
ij
1
1
16
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS Modelo lineal del SALBP 2
Cjix
ikxjxj
Nix
MjCxt
as
CMin
ij
M
jij
M
jkj
M
jij
N
iiji
);,(}1,0{
)3(
)2(,...,11
)1(,...,1
.
11
1
1
ciclodetiempoC
jestaciónenhaceseioperaciónsixij 1
(1) Duración en cada estación, menor que C
(2) Cada operación, a una estación
(3) Cumpliendo las relaciones de precedencia
17
Subconjunto admisible {J1,...Jj}Subconjunto de j operaciones que se ejecutan
independientes
Subsecuencia admisible (J1,...Jj)Una de las ordenaciones admisibles del subconjunto
admisible Tiempo de la subsecuencia:
Tiempo del subconjunto:
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Programación Dinámica del SALBP 1
nositCM
MenentraJsitJJtJJJtJJJt
j
jjj
jjjj0
011
1111
),...(),...(),,...(
)}{(},...,{}{ 1 kkvJ
j JJvtminJJtvtk
18
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Programación Dinámica (Ejemplo) (1/2)
1
2
3
4
5
6
7
8
0.5 min
0.4
0.4
0.5
0.3
0.5
0.4
0.4
Tasa de Producción = 60 un./hora Tiempo de Ciclo = 60/60 = 1 min./un.
19
0) v={} t{}=01) v={1} t{1}=0.52) v={1,2} t{1,2}=t{1}+t2=0.5+0.4=0.9
v={1,3} t{1,3}=t{1}+t3=0.5+0.4=0.9
3) v={1,2,4} t{1,2,4}=t{1,2}+t4=0.9+(1-0.9+0.5)=1.5
v={1,2,3} t{1,2,3}=MIN(t{1,2}+t3,t{1,3}+t2)=1.4
v={1,3,5} t{1,3,5}=t{1,3}+t5=1.3
4) v={1,2,3,4} t{v}=MIN(t{1,2,3}+t4,t{1,2,4}+t3)=1.9
v={1,2,3,5} t{v}=MIN(t{1,2,3}+t5,t{1,3,5}+t2)=1.7
v={1,3,5,7} t{v}=t{1,3,5}+t7=1.7
5) v={1,2,3,4,5} t{v}=MIN(t{1,2,3,4}+t5,t{1,2,3,5}+t4)=2.3
v={1,2,3,5,7} t{v}=MIN(t{1,2,3,5}+t7,t{1,3,5,7}+t2)=2.4
6) v={1,2,3,4,5,6} t{v}=t{1,2,3,4,5}+t6=2.8
v={1,2,3,4,5,7} t{v}=MIN(t{1,2,3,4,5}+t7,t{1,2,3,5,7}+t4)=2.7
7) v={1,2,3,4,5,6,7} t{v}=MIN(t{1,2,3,4,5,6}+t7,t{1,2,3,4,5,7}+t6)=3.4
8) v={1,2,3,4,5,6,7,8} t{v}=t{1,2,3,4,5,6,7}+t8=3.8
I={1,2}; II={4,3}; III={5,6}; IV={7,8} E% = 3.4/4 = 85%
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Programación Dinámica (Ejemplo) (2/2)
20
1. Crear una lista con las tareas a asignar2. Ordenar las tareas según criterio heurístico
Tiempo de operación más largo (TLO) Más operaciones siguientes Mayor Peso Posicional (Helgeson & Birnie) Tiempo de operación más corto Menos operaciones siguientes
3. Calcular el Tiempo de ciclo4. Hasta que se vacíe la lista de tareas:
4.1. Asignar aquella tarea con mayor prioridad según estrategia: Estrategia basada en la estación:
Se mira las tareas que se pueden asignar por sus relaciones de precedencia
Por orden de prioridad se mira la primera que pueda entrar en la estación Si ninguna puede entrar en la estación actual, se crea una nueva estación
Estrategia basada en la tarea: Se mira las tareas que se pueden asignar por sus relaciones de
precedencia Se asigna la más prioritaria a la estación que más temprana o una nueva
4.2. Eliminar la tarea de la lista
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Métodos heurísticos constructivos
21
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Tiempo de Tarea más Largo TLO (Ejemplo) (1/2)
A
D
B
E F G
0.20 min
0.37
0.18
0.190.21 0.39 0.36
Tasa de Producción = 1200 un./dia C = 8*60 / 1200 = 0.4 min./un.1 turno 8 h./día Mmin = [1.9 / 0.4] = 5
C
22
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Tiempo de Tarea más Largo TLO (Ejemplo) (2/2)
I={A,B}; II={D}; III={C,E}; IV={F}; V={G} E% = 1.9/2 = 95%
Estación Tareas Dispon. Tarea i Tiempo ti TOj DIj ¿Asign?
I {A} A 0.20 0.20 0.20 SI
{D,C,B} D 0.37 0.57 -0.17 NO
C 0.21 0.41 -0.01 NO
B 0.18 0.38 0.02 SI
II {D,C} D 0.37 0.37 0.03 SI
III {C} C 0.21 0.21 0.19 SI
{E} E 0.19 0.40 0.00 SI
IV {F} F 0.39 0.39 0.01 SI
V {G} G 0.36 0.36 0.04 SI
Tarea F D G C A E B
TOi 0.39 0.37 0.36 0.21 0.20 0.19 0.18
Ordenación no-creciente según ti
23
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Pesos posicionales-Helgeson & Birnie (Ejemplo) (1/2)
A
E
G
F J K
6 min
4
2
35 2 1
P = 53 un./dia C = 8*60 / 53 = 9.05 min./un.1 turno 8 h./día Mmin = [52 / 9.05] = 6 estac.
B M
9
C
3
D
5
H
3
L
3
I
6
)(
:iDkkii ttpesposicionalPesos
Tarea A D C B E I G F H L J K M
TOi 26 25 22 20 19 18 17 15 15 13 12 10 9
24
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Pesos posicionales-Helgeson & Birnie (Ejemplo) (2/2)
I={A,C}; II={D,E}; III={B,G}; IV={I,F}; V={H,L,J,K}; VI={M} E% = 52/54.3 = 95.8%
Estación Tareas Dispon. Tarea i Tiempo ti TOj DIj ¿Asign?
I {A,D,C,I,G,L} A 6 6 3.05 SI
{D,C,I,G,L} D 5 11 -1.95 NO
C 3 9 0.05 SI
II {D,E,I,G,L} D 5 5 4.05 SI
{B,E,I,G,L} B 5 10 -0.95 NO
E 4 9 0.05 SI
III {B,I,G,L} B 5 5 4.05 SI
{I,G,F,L} I 6 11 -1.95 NO
G 2 7 2.05 SI
IV {I,F,H,L} I 6 6 3.05 SI
{F,H,L} F 3 9 0.05 SI
V {H,L} H 3 3 6.05 SI
{L,J} L 3 6 3.05 SI
{J} J 2 8 1.05 SI
{K} K 1 9 0.05 SI
VI {M} M 9 9 0.05 SI
25
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester
Construcción del diagrama de precedencias en forma de columnas (a la izquierda): Columna 1: Actividades que no tienen predecesoras Siguientes columnas: Actividades cuyas precedencias
inmediatas ya estén en el diagrama Objetivo: dado un tiempo de ciclo (C),
seleccionar el menor número de estaciones (M) Fundamento: las tareas que pueden
desplazarse de una columna a otra tienen mayor flexibilidad para su asignación
Procedimiento: ir completando estaciones con el tiempo de ciclo C desde la izquierda, pasando las tareas que se puedan hacia la derecha
26
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (1/7)
1
2
4
5 7 8
1.6 min
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
P = 240 un./dia C = 8*60 / 240 = 2 min./un.1 turno 8 h./día Mmin = [8 / 2] = 4 estac.
3
6
1.4
ii tCtmax }{ 1.7 C 8.0
Si C=8.0 M=1 est.
Si C=4.0 M=2 est.
Si C=2.0 M=4 est.
27
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (2/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
Columna Tarea i
Observac. Tiempo ti TOj TO Acum. Estación
I 1 1.6 1.6 1.6
II 2 III, IV y V 0.8
3 0.4
4 III, IV y V 0.6 1.8 3.4
III 5 1.2 1.2 4.6
IV 6 V 1.4
7 0.3 1.7 6.3
V 8 1.7 1.7 8.0
I II III IV V
28
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (3/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
Columna Tarea i
Observac. Tiempo ti TOj TO Acum. Estación
I 1 1.6 I
II 3 0.4 2.0 2.0
2 III, IV y V 0.8
4 III, IV y V 0.6 1.4 3.4
III 5 1.2 1.2 4.6
IV 6 V 1.4
7 0.3 1.7 6.3
V 8 1.7 1.7 8.0
I II III IV V
29
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (4/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
Columna Tarea i
Observac. Tiempo ti TOj TO Acum. Estación
I 1 1.6 I
II 3 0.4 2.0 2.0
2 0.8 II
III 5 1.2 2.0 4.0
4 IV y V 0.6 0.6 4.6
IV 6 V 1.4
7 0.3 1.7 6.3
V 8 1.7 1.7 8.0
I II III IV V
30
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (5/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
Columna Tarea i
Observac. Tiempo ti TOj TO Acum. Estación
I 1 1.6 I
II 3 0.4 2.0 2.0
2 0.8 II
III 5 1.2 2.0 4.0
4 0.6 III
IV 6 1.4 2.0 6.0
7 0.3 1.7 6.3
V 8 1.7 1.7 8.0
I II III IV V
31
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (6/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
Columna Tarea i
Observac. Tiempo ti TOj TO Acum. Estación
I 1 1.6 I
II 3 0.4 2.0 2.0
2 0.8 II
III 5 1.2 2.0 4.0
4 0.6 III
IV 6 1.4 2.0 6.0
7 0.3 IV
V 8 1.7 2.0 8.0
I II III IV V
32
EQUILIBRADO DE MONOMODELOS
Método de las Columnas–Kilbridge & Wester (7/7)
1
2
4
5 7 8
1.6
0.8
0.6
1.20.4 0.3 1.7
3
6
1.4
I II III IV
I={1,3}; II={2,5}; III={4,6}; IV={7,8}
E% = 8.0 / 4*2.0 = 100%
33
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Restricciones
Existen varios modelos (k=1,...K), cada uno de ellos con un diagrama de precedencias conocido
El cambio de modelo no requiere preparación Los tiempos de operación de cada tarea en cada
modelo son datos constantes; no tienen que coincidir para tareas comunes en distintos modelos
No se permiten inventarios entre las estaciones Tareas comunes de distintos modelos irán en la
misma estación El número de estaciones será la misma No se permiten estaciones en paralelo Un subconjunto de tareas coincide en los
modelos
34
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Métodos de resolución
Modelos de programación lineal entera
Modelos aproximados Combinación de los diagramas de
precedencias de cada modelo en un diagrama combinado y resolución como SALBP
Ajuste de los tiempos de procesado y resolución como SALBP
35
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Combinación de diagramas de precedencia
1
3
4 6
2
1
1
3
32
5
2
Modelo A: 2 unidades
2 4
7
1 34
23
6
2
Modelo B: 1 unidad
1
4
5
74
5
4
7 2
2
6
8
Diagrama combinado
6
3
M
tTC
ptt
AA
NN
ANG
ii
kkiki
kk
kk
}sredundantearcos{)(
:),(
36
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Combinación de diagramas de precedencia (Ejemplo)
1
4
5
74 min.
5
4
7 2
2
6
8
Diagrama combinado
6
3
M = 3 estaciones (deseable)
T = (4+7+6+5+4+8+2)/3 = 12
min
Método de Pesos PosicionalesTarea 1 2 3 4 6 5 7
TOi 36 29 23 15 8 4 2
Método 1 (normal)
I={1,2} T1=11
II={3,4} T2=11
III={6,5} T3=12
IV={7} T4=2
E% = 36/48 = 75%
Método 2 (con cotas)
10 Ti 14
I={1,2} T1=11
II={3,4} T2=11
III={6,5,7} T3=14
E% = 36/36 =100%
37
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Ajuste de los tiempos de procesado
1
3
4 6
2
1
1
3
32
5
2
Modelo A: 2 unidades
2 4
7
1 34
23
6
2
Modelo B: 1 unidad
1
4
5
71.33
1.67
1.33
2.33 0.67
2
6
2.67
Diagrama combinado
2
3
kk
kk
kkiki
p
pf
ftt
fA=0.67
fB=0.33
38
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS Ajuste de los tiempos de
procesado (Ejemplo)
1
4
5
71.33 min.
1.67
1.33
2.33 0.67
2
6
2.67
Diagrama combinado
2
3
P = 15 un./hora
C = 60 / 15 = 4 min/un
Método de Pesos Posicionales
Tarea 1 2 3 4 6 5 7
TOi 12 10.67 8.33 5 2.67 1.33 0.67
Método 1 (normal)
I={1,2} T1=3.67
II={3,4} T2=3.67
III={6,5} T3=4
IV={7} T4=0.67
E% = 12/16 = 75%
Método 2 (con cotas)
3.3 Ci 4.7
I={1,2} T1=3.67
II={3,4} T2=3.67
III={6,5,7} T3=4.67
E% = 12/12 =100%
39
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Diagramas de precedencia cíclicos
3
2
2
1
3
1
Modelo A : 2 un.
2 4
1 34
3
Modelo B: 1 un.
1
2’
4
6
2
1 3
2
Diagrama combinado
8
3
• Se repiten las tareas para evitar ciclos (2-3-
2)
• Se tienen que asignar las tareas repetidas
(2 y 2’) a la misma estación
40
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Influencia de la secuencia. Ejemplo (1/3)
1 5
1 min 24
3
Modelo A : 1 un.
1
5
2
23
3
Modelo B: 2 un.
Diagrama combinado2
2
2 5
3 11
3
Modelo C: 1 un.
4
3
2
51.75
1.752.75
3
4
0.75
1
1.25
P = 15 un./hora
C = 60 / 15 = 4 min/un
Método de Pesos
PosicionalesTarea 2 1 3 4 5
TOi 6.25 5.75 4.5 2.5 1.75
Método 2 (con cotas)
3 Ci 4
I={2,1} T1=3
II={3,4} T2=3.5
III={5} T3=1.75
E% = 69%
41
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Influencia de la secuencia. Ejemplo (2/3)
2
53
4
1
Secuencias posibles:
ABBC BBCAABCB BCABACBB BCBABABC CABBBACB CBABBBAC CBBA
Estación
Modelo I II III
A 1 4 2
B 4 3 2
C 3 4 1I II III
tjk
Objetivo:
• Elegir la secuencia que tenga un
menor tiempo de ciclo completo
• A partir de los tiempos de
operación de cada modelo en
cada estación, se obtiene el
tiempo de ciclo de cada subciclo
42
EQUILIBRADO MODELOS MIXTOS
Influencia de la secuencia. Ejemplo (3/3)Secuencia:
ABCBEstación
I II III Cj
A 1 B 3 C 1 3
B 4 A 4 B 2 4
C 3 B 3 A 2 3
B 4 C 4 B 2 4
C=3+4+3+4=14
min/secuenciaSecuencia:
ABBCEstación
I II III Cj
A 1 C 4 B 2 4
B 4 A 4 C 1 4
B 4 B 3 A 2 4
C 3 B 3 B 2 3
C=4+4+4+3=15
min/secuencia
A B C B
B A B C
C B A B
I
II
III
3 4 43
A B B C
C A B B
B C A B
I
II
4 4 4 3
III