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1.- Fenomenología a)
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b)
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2.- Coeficientes de inducción
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3.- Extracorrientes de cierre y apertura: transitorios. A) CIERRE Sea un circuito serie R – L como se muestra en la figura. ¿Qué sucede al hacer la conexión T – (1) en el instante t = 0? Aparece una corriente en el circuito que tiene la oposición, a su establecimiento, de la bobina y que irá aumentando con el tiempo hasta alcanzar la corriente de estado estacionario I0=ϕ0/R. En un instante cualquiera t la corriente
será i(t) y la f.e.m. en la bobina será id iLd t
ε = − y aplicando la ley de Kirchoff a la
malla tendremos que:
0 0 0id i d iR i L R i L R id t d t
ϕ ε ϕ ϕ+ = ⇒ − = ⇒ = + [0]
00 0i
d i L d iR i L Ri id t R R d t
ϕϕ ε ϕ+ = ⇒ − = ⇒ − =
( )integrando
0 00
L d i d i R RI i d t Ln I i t kR d t I i L L
− = ⇒ = ⇒ − − = +−
[1]
En el instante inicial t = 0 la corriente es nula i = 0 por lo que
( ) ( ) ( )De [1]
0 0 00
1R i RLn I k Ln I i t Ln I Ln tL I L
⎛ ⎞− = ⇒ − − = − ⇒ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ [2]
De [2] ( )/0 0
0
1 1 1R Rt t tL Li e i I e i I e
Iτ− − −⎛ ⎞
− = ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Donde τ = L/R se denomina constante de tiempo del circuito. Se llama extracorriente de cierre a la diferencia entre la corriente y la corriente de estado estacionario, así:
/0
tcI I e τ−= −
De [0] y multiplicando la ecuación por i dt⋅ tenemos el siguiente balance energético:
( )( )
( )2
312 2 2
0 012
TTT
i dt Li di R i dt i dt d L i R i dtϕ ϕ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
De estos términos el más identificable es T3 que representa las pérdidas energéticas por efecto Joule que se producen en la resistencia en el intervalo de tiempo d t , mientras la corriente cambia de i a i d i+ , los otros dos son, a partir de este evidentes, T1 no es más que la energía entregada por la batería al circuito en el mismo intervalo de tiempo y T2 representa la energía almacenada en la bobina, asociada al campo magnético, en el mismo intervalo temporal.
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De todo ello se desprende que la energía magnética, asociada al campo magnético creado por la bobina, en el estado final es:
0
2 20
0
1 12 2
I
MLU d Li L I⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .
Todo esto nos dice que la energía magnética asociada a una autoinducción recorrida por una corriente I viene dada por
212MU L I=
B) APERTURA El estudio de la apertura es muy complicado pues no está definida la resistencia de un circuito cerrado por un arco eléctrico; para hacer un análisis cuantitativo del sistema vamos a suponer que hacemos la conexión T – (2) en el instante t = t2 >> 5 τ, en un tiempo nulo o al menos mucho menor que la constante de tiempo del circuito. En estas circunstancias y aplicando la ley de mallas de Kirchoff tenemos:
id iR i L R id t
ε = ⇒ − = [3]
( )integrandod i R Rd t Ln i t C
i L L= − ⇒ = − + [3’]
Como en el instante t = t2 la corriente en el circuito es I0 de [3’] podemos determinar la constante de integración, a saber,
( ) ( )0 2 0 2R RLn I t C C Ln I tL L
= − + ⇒ = +
De [3] ( ) ( ) ( ) ( )2 2 /0 2 0 0
R t t t tLR RLn i t Ln I t i I e i I eL L
τ− − − −= − + + ⇒ = ⇒ =
A este valor de la corriente se le llama extracorriente de apertura ( ) ( )2 2 /
0 0
R t t t tLA Ai I e i I e τ− − − −= ⇒ =
De [3] y multiplicando por i dt⋅ tenemos el siguiente balance energético: 4
52 2 21
2
TTd iL R i L i di R i d t d Li R i d t
d t⎛ ⎞− = ⇒ − = ⇒ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
donde T5, nuevamente, representa la energía disipada por efecto Joule en la resistencia que proviene de la energía almacenada en el campo magnético asociado a la bobina, y que está representado por el término T4.
2 0
0
2 2 20
1 12 2
t I
R i dt d L i L I
∞
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
En la siguiente figura se muestran los valores de la corriente para dos casos en los cuales la corriente de estado estacionario es I0 = 0.25 mA en ambos, pero los circuitos presentan constantes de tiempo τ1 = 1 μs (en azul) y τ2 = 2 μs (en rojo).
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0 10 20 30 40 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
t (microsegundos)
i (m
iliam
perio
s)Extracorrientes de cierre y apertura
I0 = 0.25; tao = 1
I0 = 0.25; tao = 2
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4.- Ecuaciones de Maxwell
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5.- Tornillos levógiros y dextrógiros
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6.- Simetrías y analogías