1. NÚMEROS RACIONALES...mide la sombra de un árbol de 12 metros? 4) Si tres fotografías cuestan...

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I.E.S. MARIANA PINEDA (Granada) Departamento de Matemáticas

FICHA DE TRABAJO RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS 3º E.S.O.

Nota: Para superar la materia de Matemáticas de cursos anteriores al que estas cursando ahora, deberás realizar, además de las pruebas escritas que determine tu profesor, estas fichas de trabajo.

1. NÚMEROS RACIONALES

FRACCIÓN DE UN NÚMERO

1) Calcula la fracción correspondiente:

2) Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

7 de 5049

=

5 de 2408

=

6 de 2107

=

8 de 104511

=

3 de 2005

=

5 de 7446

=

7 28 y 15 602 3 y

10 15

5 3 y 15 912 14 y 13 16

4 10 y 6 153 75 y 4 100

Calcula:

Solución:

15 de 52 b)

702 de 1312 a)

64813

70212702 de 1312 a) =

×=

6515215 de

52 b) =

×=

Comprueba si son equivalentes los siguientes pares de fracciones:

Solución:

74 y

4928 b)

143 y

72 a)

Sí 44972874 y

4928 b)

No 783142143 y

72 a)

×=×

×=×

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SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

3) Halla la fracci

ón irreducible de cada una de estas fracciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

4) Reduce a común denominador las siguientes fracciones:



75150

=

48108

=

100120

=

3654=

2436=

2540=

1 2 3, ,2 3 53 1 5, ,4 2 83 1 5, ,2 4 63 5 1, ,8 12 4

Halla la fracción irreducible de cada una de estas fracciones:

Solución:

7050 b)

4036 a)

:2 :2

:2 :2

:2 :5

:2 :5

36 18 940 20 10

50 25 570 35 7

= =

= =

Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

Solución:

53,

21,

43

1520 : 4 3 1520

3 1 3 10, , m.c.m.(4,2,5) 20 20 : 2 1 104 2 5 20

1220 : 5 3 1220

ÏÔÔ ◊ = ÆÔÔÔÔÔÔ= ◊ = ÆÌÔÔÔÔÔ ◊ = ÆÔÔÔÓ

Denominador Común

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SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES

7) Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a paso:

8) Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a

paso:

9) Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a paso:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

÷øöç

èæ +-÷

øöç

èæ +

+--

543

215 b)

41

83

62

32 a)

÷øöç

èæ +--÷

øöç

èæ +

+-+

43

321

43

35 b)

125

43

95

32 a)

÷øöç

èæ +-÷

øöç

èæ +

+--

1032

524 b)

95

61

32

43 a)

36:

53 b)

54

85 a) ×

Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

Solución:

52:

43 b)

85

103 a) ×

:5

:5

3 5 3 5 15 310 8 10 8 80 16

3 2 3 5 15:4 5 4 2 8

◊◊ = = =◊

◊= =◊

Resuelve las siguientes operaciones escribiendo el proceso de resolución paso a paso:

Solución:

32

61

52

107 a) -+- ÷

ø

öçè

æ +-÷ø

öçè

æ +324

515 b)

( )

( )

158

1570

1578

1510

1560

153

1575

324

515

155,3 m.c.m. b)

51

306

2020

305

3012

3021

32

61

52

107

3025310,6,5,3 m.c.m. a)

=-=÷øö

çèæ +-÷

øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +-÷

øö

çèæ +

=

-=-

=-+-=-+-

=××=

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

PROBLEMAS CON FRACCIONES

10) Para elaborar un pastel María ha utilizados tres paquetes de harina completos y

de otro; y Gloria ha utilizado dos paquetes completos y de otro. Si cada

paquete pesa 800 gramos, ¿cuántos gramos de harina han gastado cada una? Pasa los resultados obtenidos a kg.

11) Silvia tiene 40 años, si Ana tiene los tres cuartos de la edad de Silvia y Luisa tiene los dos quintos de la edad de Ana

a) ¿Cuáles son las edades de Ana y de Silvia? b) ¿Qué edad suman entre las tres?

12) Una camioneta transporta de una tonelada de arena en cada viaje. Si cada día

hace cinco viajes, ¿Cuántos kg transporta al cabo de un día? ¿Y al cabo de una semana? Nota: 1 tonelada = 1.000kg

13) Un comerciante vendió los de su cargamento de naranjas a un frutero y los

de lo que le quedó se lo vendió a otro frurero. Si llevaba 600 kg de naranjas, ¿cuántos vendió a cada frutero y cuántos kg le quedaron sin vender?

14) Un comerciante tenía 600 kg de naranjas. Si le vendió a Miguel del cargamento

y a Julia los del resto. ¿Cuántos kg de naranjas le vendió a cada uno?

¿Cuántos le quedaron sin vender?

35

34

25

34

23

34

23

Solución:

depósito? el en quedan litros ¿Cuántossacado? ha se ecombustibl de fracción ¿Qué total. del

41

después, ytotal del 53 los sacan se gasolina de litros 100 contiene que depósito un De

quedan litros 1520

3100 100 de 203

203Queda

2017

20512

41

53sacado ha Se

=×

=

®

=+

=+®

Resuelve las si uientes operaciones con fracciones:g Solución:

úû

ùêë

é ÷ø

öçè

æ -×-

÷ø

öçè

æ -÷ø

öçè

æ -

5412

53:

57 b)

541:

67

34 a)

75

3551:

57

512

53:

57

5412

53:

57 b)

65

51:

61

545:

678

541:

67

34 a)

===÷øö

çèæ ×-=ú

û

ùêë

é÷øö

çèæ -×-

==--

=÷øö

çèæ -÷

øö

çèæ -

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15) De un rollo de cuerda de 60 m, Raúl ha cortado del total, Pedro cortó del

total y Juan del total. ¿Cuántos metros de cuerda han cortado entre los tres?

¿Cuántos metros quedan?

PROBLEMAS CON FRACCIONES

16) De un depósito lleno de agua se sacan, primero, dos tercios de su contenido y

después, dos quintos de lo que quedaba, sobrando aún 30 litros. ¿Qué fracción del total del depósito se ha extraído? ¿Cuántos litros se han sacado?

17) Nacho regaló de sus canicas a Iván y los de las que le quedaron a Marina.

Si aún le quedan 5 canicas, ¿cuántas tenía al principio?

2. NÚMEROS REALES

12

14

16

23

34

Solución:

precio del 52 pagó vez primera La plazos. tres en pagó que televisión una compró Adela

el era ¿Cuál euros. 24 pagó vez tercera la yresto del tercio un pagó segunda la total,televisor? del precio

153

53

31

53 de

31vez Segunda =×=®

53

159

1536

153

52vez segunda vez Primera ==

+=+®+

euros 60 125 Totaleuros 12 total del 51euros 24 total del

52

=×=®=®=

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Expresa como potencias de exponente positivo y calcula el resultado:


1. Expresa como una única potencia:

( )-- -

- - -

-

Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ- -˜ ˜ ˜Á Á Á˜ ˜ ˜Á Á Á˜ ˜ ˜Á Á ÁË ¯ Ë ¯ Ë ¯

33 2

2 3 4

a) 5 b) 4 c) 2

1 2 1d) e) d) 5 3 2

( ) ( )- --

- - -

- -

Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ- -˜ ˜ ˜Á Á Á˜ ˜ ˜Á Á Á˜ ˜ ˜Á Á ÁË ¯ Ë ¯ Ë ¯

1 25

1 3 2

a) 2 b) 10 c) 8

2 2 3d) e) d) 3 5 7

Expresa como una única potencia:

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

- -

- - -

◊ ◊ = ◊ =

È ˘- - ◊ - = - - - =Í ˙Î ˚

8 5 2 4 3

45 1 3 3 8 5

a) 7 7 7 b) 3 3 : 3

c) 2 : 2 2 d) 5 : 5 : 5

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ - +- - +

- - + - -

- - - - - - + - - + - -

◊ - - - - -

◊ ◊ = = =◊ = =

- - ◊ - = - = - = -

È ˘- - - = - = - = -Í ˙Î ˚

8 5 18 5 8 5 1 4

2 4 3 2 4 3 1

5 1 3 5 1 3 5 1 3 7

43 8 5 3 4 8 5 12 8 5 1

a) 7 7 7 7 7 7b) 3 3 : 3 3 3

c) 2 : 2 2 2 2 2

d) 5 : 5 : 5 5 5 5


( )--

- -

-

Ê ˆ Ê ˆ-˜ ˜Á Á˜ ˜Á Á˜ ˜Á ÁË ¯ Ë ¯

33

2 3

a) 2 b) 3

1 3c) d) 4 4

( )( )

-

-

-

-

= =

- = =-

Ê ˆ Ê ˆ˜ ˜Á Á= = =˜ ˜Á Á˜ ˜Á ÁË ¯ Ë ¯

Ê ˆ Ê ˆ- ˜ ˜Á Á= = = -˜ ˜Á Á˜ ˜Á ÁË ¯ Ë ¯- -

33

22

2 2

3 3

1 1a) 22 8

1 1b) 393

1 4 16c) 16 4 1 1

3 4 64 64d) 4 3 27 27

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APROXIMACIÓNES: REDONDEO

4. Completa la siguiente tabla de aproximaciones por redondeo: Redondeo

Números Unidades Décimas Centésimas Milésimas 8,38564… 4,24264… 1,95985… 0,58755… 3,23232… 1,25163… 0,12435… 6,54321… 8,16489… 2,97043…

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 1 32 4 3

43 8 5 8 5

a) 3 3 : 3 b) 2 : 2 2

c) 5 : 5 : 5 d) 7 7 7

- - --

-

◊ = - - ◊ - =

È ˘- - - = ◊ ◊ =Í ˙Î ˚

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 1 32 4 3

43 8 5 8 5

a) 3 3 : 3 b) 2 : 2 2

c) 5 : 5 : 5 d) 7 7 7

- - --

-

◊ = - - ◊ - =

È ˘- - - = ◊ ◊ =Í ˙Î ˚

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 1 32 4 3

43 8 5 8 5

a) 3 3 : 3 b) 2 : 2 2

c) 5 : 5 : 5 d) 7 7 7

- - --

-

◊ = - - ◊ - =

È ˘- - - = ◊ ◊ =Í ˙Î ˚

Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos una unidad a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que suprimimos sea mayor o igual que 5.

Ejemplo: Se considera el número 8,25981…

Redondeo a las unidades: 8,/25981… 8

Redondeo a las décimas: 8,2/5981… 8,3

Redondeo a las centésimas: 8,25/981… 8,26

Redondeo a las milésimas: 8,259/81… 8,260

Æ

Æ

Æ

Æ

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Semiabierto o Cerrado Abierto semicerrado

Representa sobre la recta real los siguientes intervalos y clasifícalos:

5. Representa gráficamente los siguientes intervalos y clasifícalos:



[ ) [ ] ( )) 1, 3 ) 2,5 ) 2,5a b c- -

( ) [ ) ( ] [ ]a) 0, 3 b) 3, 1 c) 1, 4 d) 2, 2- - -

( ) [ ) ( ] [ ]- -a) 1, 1 b) 2,4 c) 0, 3 d) 1, 5

( ) [ ) ( ] [ ]- - - - -a) 3, 1 b) 4,4 c) 2, 3 d) 1, 1

-1 -2 5 3 2 5

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3. PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

REGLA DE TRES DIRECTA Y REGLA DE TRES INVERSA

1) Una persona mecanografía a una velocidad de 1 680 pulsaciones cada 8 minutos.

¿Cuántas pulsaciones puede realizar en 100 segundos? 2) Si seis trabajadores han tardado 15 días en realizar cierto trabajo, ¿cuánto

tardarían nueve trabajadores en terminar la misma tarea? 3) Un árbol de 1,5 metros de altura tiene una sombre que mide 2 metros. ¿Cuánto

mide la sombra de un árbol de 12 metros? 4) Si tres fotografías cuestan 1,20€, ¿cuánto costarán 24 fotografías? 5) Si con tres mangueras iguales tardamos 36 horas en llenar una piscina, ¿cuánto

tardaremos en llenarla con seis mangueras como las anteriores? 6) Si en una granja hay alimento para 80 vacas durante 15 días, con ese mismo

alimento, ¿cuántos días podríamos alimentar a 100 vacas?

PORCENTAJE DE UN NÚMERO

7) Calcula: a. 15% de 300. b. 25% de 8000. c. 50% de 1000. d. 30% de 75000. e. 3% de 13500. f. 150% de 3 500. g. 130% de 900. h. 13,5% de 260.

a) Por 200 gramos de ciruelas he pagado 1,6 €. ¿Cuánto cuesta medio kilo de esas ciruelas?

b) Cuatro obreros tardan seis horas en terminar cierto trabajo. ¿Cuánto

habrían tardado tres obreros? Solución:

a) 200 g 1,6 euros500 g

Directamente proporcionales:500 1,6 4 euros cuesta medio kg

200x x

ü×ý

= =þ

b) 4 obreros 6 horas3 obreros

ü×ý

= =þ

Inversamente proporcionales:4 6 x 8 h tardarían 3 obreros

3x

Calcula el 28% de 375 €. Basta multiplicar la cantidad a la que queremos calcular el porcentaje por 0.28 (el porcentaje dividido entre 100). 375 · 0,28 = 105 € Calcula el 5% de 375 kg. Basta multiplicar la cantidad a la que queremos calcular el porcentaje por 0.05 (el porcentaje dividido entre 100). 375 · 0,05 = 18,75 kg.

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DESCUENTOS PORCENTUALES

8) Había ahorrado el dinero suficiente para comprarme un abrigo que costaba 90 €. Cuando llegué a la tienda, este tenía una rebaja del 20%. ¿Cuánto tuve que pagar por él?

9) En una tienda me compré una bufanda, que tenía un descuento del 35%, pagando por ella 9,75 €. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?

10) ¿Cuánto tiene que pagar Cristina por unos pantalones que cuestan inicialmente 36 € si le hacen un 15% de descuento?

AUMENTOS PORCENTUALES

a) Una calculadora costaba 15 €, y la rebajan un 35%. ¿Cuál será su precio rebajado?

b) Otro artículo, que estaba rebajado un 15%, nos costó 19,55 €. ¿Cuál

era su precio antes de la rebaja? Solución: a) Si me rebajan un 15% solo tengo que pagar un 65% de su precio original

(100%-15%=65%). Por tanto para pasar del precio original al precio rebajado

multiplicamos el precio original por 0.65.

15 · 0,65 = 9,75 € es el precio rebajado.

b) Si me rebajan un 15% solo tengo que pagar un 85% del precio original. Si para

pasar del precio original al precio rebajado hay que multiplicar por 0.85, para

pasar el precio rebajado al original hay que dividir el precio rebajado por 0.85.

19,55 : 0,85 = 23 € costaba antes de la rebaja

a) Un comerciante compró una mercancía por 200 € y para venderla la aumentó un 15%. ¿A qué precio la ha vendido?

b) Un comerciante ha vendido una mercancía por 150 €. Si la ha vendido un 40% más cara de lo que le costó a él. ¿A qué precio la compró él?

Solución: a) Si aumentamos el precio de compra en un 15%, el precio de venta será un

115% (100%+15%=115%) del precio original. Por tanto para pasar del precio

original al precio aumentado multiplicamos el precio original por 1,15.

200 · 1,15 = 230 € es el precio al que el comerciante lo vendio

b) Si la mercancía se vende un 40% más cara del precio original, esto significa

que es un 140% del precio original. Si para pasar del precio original al precio

aumentado hay que multiplicar por 1,40, para pasar el precio aumentado al original hay que dividir el precio aumentado entre 1,40.

150 : 1,40 = 107,14 € es el precio al que el comerciante lo compró

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11) Una persona pagaba el año pasado por el alquiler de su vivienda 420 €

mensuales. Este año le han subido el precio un 2%. ¿Qué mensualidad tendrá que pagar ahora?

12) Si su vecino paga este año un alquiler de 459 € al mes, ¿cuánto pagaba el año pasado? (La subida fue también del 2% en este caso).

13) Patricia quiere aumentar este mes en un 12% la cuota anual de 150 € que aporta a una ONG. ¿Cuánto aportará a partir de ahora?

14) El precio de un medicamento, sin IVA, es de 18,75 €. Sabiendo que el IVA es el 16%, ¿cuál será su precio con IVA?

PORCENTAJES ENCADENADOS

15) El número de habitantes de una determinada localidad, hace dos años, era de 6

500. El año pasado, este número aumentó en un 5%, y este año, ha aumentado en un 7%. ¿Cuántos habitantes hay actualmente?

16) En el mes de enero rebajaron en un 10% un artículo que costaba 52 €. En

febrero lo rebajaron otro 15%, y en marzo, un 15% más. ¿Cuál fue su precio después de estas tres rebajas?

17) Un medicamento costaba, sin IVA, 12 €. Como teníamos receta médica nos

rebajaron un 60%, de su precio total. Sabiendo que el IVA es del 4%, ¿cuánto tendremos que pagar por l?

18) Un artículo costaba, sin IVA, 40 €. ¿Cuánto pagaremos hay que añadirle un 16%

de IVA, pero nos rebajan un 10?

El número de turistas que visitaron cierta ciudad durante el mes de junio fue de 2 500. En el mes de julio hubo un 45% más de visitantes, y en agosto, un 20% más que en julio. ¿Cuántos turistas visitaron la ciudad en agosto? Solución: Si en julio aumentaron los turistas un 45% respecto a junio, ahora habrá un 145% (100%+45%=145%) de los 2500. Por tanto para calcular un aumento del 45%, calculamos el 145%; esto es, basta multiplicar 2500 por 1,45. 2 500 · 1,45 = 3625 turistas hubo en julio Si en agosto aumentaron los turistas un 20% respecto a julio, ahora habrá un 120% (100%+20%=120%) de los 3625. Por tanto para calcular un aumento del 20%, calculamos el 120%; esto es, basta multiplicar 3625 por 1,20. 3625 · 1,20 = 4 350 turistas hubo en agosto Otra forma para hacerlo directamente, es aplicar a 2500 el 145% y el 120%. 2 500 · 1,45 · 1,20 = 4 350 turistas hubo en agosto

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4.ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO SIN DENOMINADORES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a. b.

c.

d. e. f.

g.

h.

2x 7 9x 7 2x 3- + = + -( ) ( )3 x 1 6x 5 2x 7- - = - +

( ) ( )2 5x 3 3 4x 1 2x 11- - - = -

( )5x 6 2 x 3 2 3x- + + = +3x 6 9x 5 2x 1+ - = + -( ) ( )2 1 x 6x 3 x 2- + = - -

( ) ( )2 5x 3 3 4x 1 2x 13- - + = -

( )4x 1 2 x 3 3x 5+ + - = -

Método de resolución: 1. Eliminar paréntesis. 2. Transponer términos semejantes 3. Reducir términos semejantes 4. Despejar la incógnita

Resuelve la siguiente ecuación:

a) Solución:

a)

6x - 6 - 9x + 15 + 2x = -12x - 36 (eliminar paréntesis)

6x - 9x + 2x + 12x = -36 + 6 -15 (transponer términos semejantes)

11x = - 45 (reducir términos semejantes)

( ) ( ) ( )6 x 1 3 3x 5 2x 12 x 3- - - + = - +

( ) ( ) ( )6 x 1 3 3x 5 2x 12 x 3- - - + = - +

4511

x = -

(despejar la incógnita)

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominadores:

( )

x x xa. x 52 3 4x 1 x 2b. 42 3

x 2 x 3c.2 3x 4 3x 4 x 2d.5 10 2

2 x 4 x 6e. 15 3

+ - = -

+ -+ =

+ +=

+ - +- =

- += -

Método de resolución: 1. Eliminar paréntesis. 2. Reducir a común denominador. 3. Eliminar denominadores. 4. Transponer términos semejantes 5. Reducir términos semejantes 6. Despejar la incógnita

¡Cuidado! Cuando hay un signo - delante de una fracción, al eliminar los denominadores cambian los signos de los términos del numerador. Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

15x + 30 - 10x - 30 = 6x + 30 (Eliminar paréntesis)

15x - 10x -6x = 30 (Transponer términos semejantes)

-x = 30 (Reducir términos semejantes)

x = -30 (Despejar la incógnita)

2 3 5a)2 3 5

x x x+ + +- =

2 3 5a)2 3 5

15 30 10 30 6 3030 30 30

x x x

x x x

+ + +- =

+ + +- =

(Reducir a común denominador)

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5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a. x2 + x - 2 = 0 b. 2x2 - 20x + 50 = 0 c. 3x2 + x - 2 = 0 d. -4x2 + 12x - 9 = 0 e. 3x2 + 3x - 6 = 0

f. x2 + x + 3 = 0 g. 3x2 - 2x - 5 = 0 h. -x2 + 8x + 20 = 0 i. 3x2 + 3x - 6 = 0 j. x2 + x + 3 = 0

Método de resolución general de la ecuación de 2º grado:

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 2x2 - 7x + 3 = 0

b) x2 + 8x + 16 = 0 Solución: a) 2x2 - 7x + 3 = 0

b) x2 + 8x + 16 = 0

2

2

22

2

ax bx c 0

Si b 4 a c es positivo dos soluciones distintas.b b 4 a cx Si b 4 a c es cero dos soluciones iguales.

2 aSi b 4 a c es negativo sin solución real.

+ + =

ÏÔ - ◊ ◊ fiÔÔ- ± - ◊ ◊ Ô= fi - ◊ ◊ fiÌÔ◊ ÔÔ - ◊ ◊ fiÔÓ

a 2,b 7,c 3Æ = = - =

2b b 4 a cx2 a

- ± - ◊ ◊=◊

=± - ± ±

= = ==

ÉÇ

37 49 24 7 25 7 5

14 4 42

xx

x

a 1,b 8,c 16Æ = = =

8 64 64 8 4 42 2

x x- ± -= = - = - ® = -

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6. SISTEMAS DE ECUACIONES

Método de Igualación:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones algebraicas obtenidas en el apartado anterior. Resolviendo la ecuación que se obtiene, se halla el valor de una de las incógnitas.

3. El valor de la incógnita obtenido en el paso anterior se sustituye en una de las expresiones obtenidas en el paso 1, y se obtiene el valor de la otra incógnita.

Resuelve por igualación:

ìíî

5 2 112 3 12

+ =- =

x yx y

( )

Ï -ÔÔ + = fi =ÔÔÔÌÔ +Ô - = fi =ÔÔÔÓ- +=

- +=

- = +- - = -- =

+ ◊ - -= = - = = = =-

11 2y5x 2y 11 x5

12 3y2x 3y 12 x2

11 2y 12 3y5 2

22 4y 60 15y10 10

22 4y 60 15y4y 15y 60 2219y 38

12 3 238 12 6 6y 2 x 319 2 2 2

Método de Reducción:

1. Se multiplica cada ecuación por el número, distinto de cero, que sea necesario para que al sumarlas se elimine una de las incógnitas.

2. De la ecuación obtenida de esta suma, se halla el valor de una de las incógnitas.

3. El valor de la incógnita obtenido en el paso anterior se sustituye en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se halla el valor de la otra incógnita.


ìíî

5 2 112 3 12

+ =- =

x yx y

( )

( )

◊-

◊

ÏÔ + = æ æÆ- - = -ÔÔÌÔ - = æ æÆ - =ÔÔÓ- = fi = -

- ◊ - =+ == -==

2

5

5x 2y 11 10x 4y 22

2x 3y 12 10x 15y 60

19y 38 y 22x 3 2 122x 6 122x 12 62x 6x 3

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7. PROGRESIONES

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por alguno de los métodos

1.

2.

3.

4.

5.

3822 4 60 15 38 19 2 319

y y y y x- = + ® - = ® = - = - ® =

2x y 7x 5y 17Ï + =ÔÔÌÔ + =ÔÓ

x 5y 124x 3y 2Ï - =ÔÔÌÔ + =ÔÓ

x 3y 4x 6y 1Ï + =ÔÔÌÔ - =ÔÓ

2x 7y 43x 2y 19Ï - =ÔÔÌÔ + = -ÔÓ12x y 1330x y 8Ï + =ÔÔÌÔ - =ÔÓ

Método de Sustitución:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. Resolviendo la ecuación que se obtiene, se halla el valor de una de las incógnitas.

3. El valor de la incógnita obtenido en el paso anterior se sustituye en la expresión obtenida en el paso 1, y se halla el valor de la otra incógnita.


ìíî

5 2 112 3 12

+ =- =

x yx y

( )

11 2y5x 2y 11 x5

11 2y2x 3y 12 2 3y 125

22 4y 3y 125

22 4y 15y 605 5 5

22 4y 15y 604y 15y 60 2219y 38

11 2 238 11 4 15y 2 x 319 5 5 5

Ï -ÔÔ + = fi =ÔÔÔÌ Ê ˆÔ - ˜Ô Á- = fi ◊ - =˜Ô Á ˜ÁÔ Ë ¯ÔÓ

- - =

- - =

- - =- - = -- =

- ◊ - += = - = = = =-

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1. Luís ha pagado 10 € por dos kilos de manzanas y dos kilos de plátanos. Si su amiga

Laura ha pagado 30 € por cuatro kilos de manzanas y nueve de plátanos, ¿cuánto vale el kilo de manzanas y el de plátanos?

2. Una empresa de alquiler de coches ofrece dos modelos, uno de cuatro plazas y otro de

cinco plazas. Si ayer alquiló 10 coches con un total de 42 plazas, ¿cuántos coches alquiló de cada tipo?

3. En un jardín hemos plantado rosales y jazmines. El triple de los rosales que tenemos es

igual al doble de jazmines más dos. Además, el doble de jazmines es justamente el doble de rosales más dos. Calcula el número de rosales y de jazmines que tenemos en nuestro jardín.

Julián tiene ahorrado en una hucha 23 € guardando monedas de 1€ y 2€. Si en total en la hucha hay 14 monedas, ¿cuántas hay de cada tipo? x= nº de monedas de 1€ y= nº de monedas de 2€

Solución: Julián tiene en su hucha 5 monedas de 1€ y 9 monedas de 2€.

( )◊-Ï ÏÏ - - = -Ô+ = ÔÔ + = æ æÆÔ Ô ÔfiÌ Ì ÌÔ Ô Ô + =+ = + =ÔÓ Ô ÔÓÓ= fi =

+ == -=

1 x y 14x y 14 x y 14 x 2y 23 1x 2y 23 x 2y 23

1y 9 y 9x 9 14x 14 9x 5

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8. TEOREMA DE TALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS

1) Halla la altura de un rectángulo cuya base mide 21 cm y su diagonal, 29 cm.

2) En un triángulo isósceles, la base mide 10 cm y los otros dos lados miden 12 cm cada uno. Halla la altura correspondiente al lado desigual.

3) El lado de un rombo mide 25 dm, y su diagonal menor mide 14 dm. ¿Cuánto mide

la otra diagonal?

Halla la altura de un triángulo equilátero de 3 cm de lado. Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

= + ® = - =2 2 2 23 h 1,5 h 9 2,25 6,75

= »h 6,75 2,6 cm mide la altura.

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4) A partir de las medidas de sus lados, y utilizando el teorema de Pitágoras, averigua si los siguientes triángulos son rectángulos:

a. 37 m, 25 m y 18 m b. 8 cm, 17 cm y 15 cm c. 20 cm, 29 cm y 21 cm d. 32 m, 24 m y 18 m e. 15 cm, 27 cm y 14 cm f. 14 m, 50 m y 48 m

Calcula la longitud de x e y:

Solución: Por el Teorema de Tales

= =12 7 330 x y

◊= Æ = =

◊= Æ = =

12 7 30 7x 17,5 cm30 x 12

12 3 30 3y 7,5 cm30 y 12

→ No es rectángulo

Indica si los siguientes triángulos si son rectángulos o no: a) 9 m, 17 m y 15 m b) 11 cm, 61 cm y 60 cm Solución: Un triángulo es rectángulo si y solamente sí cumple el Teorema de Pitágoras

2 2

2

a) 9 15 81 225 306306 289 Es acutángulo

17 289ü+ = + = ï > ®ý

= ïþ

ü+ = + = ï ®ý= ïþ

2 2

2

b) 11 60 121 3600 3721Es rectángulo

61 3721

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5) Calcula el valor de x e y en esta construcción:

6) Calcula la longitud de x e y:

7) Calcula el valor de x e y en esta construcción:

8) Calcula la longitud de x e y:

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9. FUNCIONES

1) La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros):

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar? c) ¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta? d) ¿Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y el de

vuelta)?

2) Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

La siguiente gráfica corresponde al recorrido que sigue Antonio para ir desde su casa al trabajo:

a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra su lugar de trabajo? ¿Cuánto tarda en

llegar? b) Ha hecho una parada para recoger a su compañera de trabajo, ¿durante cuánto

tiempo ha estado esperando? ¿A qué distancia de su casa vive su compañera? Solución: a) A 16 km de distancia. Tarda 15 minutos en llegar.

b) Ha estado esperando durante 2 minutos (desde t = 5 hasta t = 7). Su compañera vive a 6 km de distancia de su casa.

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a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

¿Y al cabo de 1 hora? c) A medida que pasa el tiempo, la concentración en sangre de la anestesia,

¿aumenta o disminuye?

3) Lanzamos una pelota hacia arriba. La altura, en metros, viene dada por la siguiente gráfica, en función del tiempo transcurrido desde su lanzamiento:

a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué momento la alcanza? c) ¿Cuándo decrece la altura de la pelota?

4) El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:

a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué? b) ¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos? c) ¿Qué horario tiene el colegio? d) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24?¿Qué

significado tiene?

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Representa gráficamente las siguientes rectas:

a. b. c. d. e.

= -y 3x 2= +y x 1=y 2x= - +y 3x 1= - +y x 1

Representa gráficamente la siguiente función lineal:

Solución: Realizamos una tabla de valores dando a la variable x los valores que deseemos

x y=-2x+1 (x,y) -2 -2∙(-2)+1=5 (-2,5) -1 -2∙(-1)+1=3 (-1,3) 0 -2∙0+1=1 (0,1) 1 -2∙1+1=-1 (1,-1) 2 -2∙2+1=-3 (2,-3)

a) 2 1y x= - +

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10. ESTADÍSTICA

En una clase se ha realizado un examen tipo test de 40 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase ha sido:

a) Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente esta distribución. c) Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica Solución: a)

xi ni xi∙ni xi2∙ni

5 2 10 50 10 4 40 400 15 1 15 225 20 4 80 1600 25 2 50 1250 30 4 120 3600 35 0 0 0 40 3 120 4800

SUMA N=20 435 11925

b)

c)

302551020

2015102040

4030103025

305401020

i i

22 2 2i i

22i i

x n 435Media aritmética x 21,75N 20

x n 11925Varianza x 21,75 123,19N 20

x nDesviación Típica x 123,1875 11,10N

ÂÆ = = =

ÂÆ s = - = - =

ÂÆ s = - = =

ni

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1) Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

a) Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente esta distribución. c) Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica

2) Hemos preguntado a 20 personas por el número medio de días que practican

deporte a la semana y hemos obtenido las siguientes respuestas:


3) Hemos lanzado un dado 20 veces y hemos ido anotando los resultados que obteníamos:


35423

35442

45344

14435

11445

32451

12635

63532

11445

32451

12635

63532

xi

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11. PROBABILIDAD

1. Teniendo en cuenta que la baraja de cartas española tiene 40 cartas en total, calcula la probabilidad de:

a. Extraer una carta de oros. b. Extraer una carta que sea un rey.

2. En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son amarillas y 5 son verdes.

a. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja? b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola verde? c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola amarilla?

3. En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50

italianos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión sea español?

4. En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola

al azar. Calcula la probabilidad de que:

a. La bola extraída contenga una sola cifra. b. El número extraído sea mayor que 90.

5. En una clase del instituto hay 12 chicos morenos, 8 rubios, 4 castaños y 1

pelirrojo. El profesor saca a la pizarra a uno de ellos de forma aleatoria. a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rubio? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea moreno?

Una urna contiene 12 bolas amarillas, 15 verdes y 23 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a) Sea de color azul. b) No sea de color amarillo. Solución:

[ ] Casos favorables 23a) 0,46Casos posibles 50

P Az = = =

[ ] Casos favorables 38 19b) 0,76Casos posibles 50 25

P NAm = = = =

1. NÚMEROS RACIONALES...mide la sombra de un árbol de 12 metros? 4) Si tres fotografías cuestan...

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