1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones...
Transcript of 1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones...
1. Obtener el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico,
especificando las condiciones que
debe verificar este punto :
aL f Hx, y, zL = Ln Kx + y
zO bO f Hx, y, zL =
eSen H x yL cO f Hx, y, zL =
x + y
z
d f Hx, y, zL = ySen H x zL e f
Hx, y, zL = H x y Lz f f Hx, y, zL = Sen H x yL Cos Hx y L
g f Hx, y, zL = zx y z h f Hx, y, zL =
e2 x2 y Cos I 3 x y2 M i f Hx, y, zL = Iz2+ 1Mx
GradBLogBx + y
zF, 8x, y, z<F
:1
x + y
,
1
x + y
, -
1
z
>
GradAeSin @x zD, 8x, y, z<E
9eSin@x zD
z Cos@x zD Log@eD, 0, eSin@x zD
x Cos@x zD Log@eD=
GradBx + y
z, 8x, y, z<F
:1
2x+y
zz
,
1
2x+y
zz
, -
x + y
2x+y
zz2
>
GradAySin @x zD, 8x, y, z<E
9ySin@x zD
z Cos@x zD Log@yD, y-1+Sin@x zD
Sin@x zD, x ySin@x zD
Cos@x zD Log@yD=
Grad@H x y Lz, 8x, y, z<D
9y Hx yL-1+zz, x Hx yL-1+z
z, Hx yLzLog@x yD=
Grad@Sen @ x yD Cos @x y D, 8x, y, z<D8-y Sen@x yD Sin@x yD + y Cos@x yD Sen
¢@x yD,
-x Sen@x yD Sin@x yD + x Cos@x yD Sen¢@x yD, 0<
Grad@zx y z, 8x, y, z<D
9y z1+x y z
Log@zD, x z1+x y z
Log@zD, zx y z Hx y + x y Log@zDL=
GradAe2 x2 y Cos A3 x y2E, 8x, y, z<E
94 e2 x
2y
x y CosA3 x y2E Log@eD - 3 e
2 x2
yy
2SinA3 x y
2E,
2 e2 x
2y
x2
CosA3 x y2E Log@eD - 6 e
2 x2
yx y SinA3 x y
2E, 0=
GradAIz2+ 1Mx
, 8x, y, z<E
:I1 + z2Mx
LogA1 + z2E, 0, 2 x z I1 + z
2M-1+x>
2. Obtener la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico,
especificando las condiciones que
debe verificar este punto :
aL f Hx, yL = x y bM f Hx, yL = LnAx + y2E
Grad@Sqrt@x yD, 8x, y<D
:y
2 x y
,
x
2 x y
>
La matriz Hessiana será :
Grad@%, 8x, y<D
::-
y2
4 Hx yL3�2
, -
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
>, :-
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
, -
x2
4 Hx yL3�2
>>
Tambien podemos obtener la matriz Hessiana directamente con :
In[1]:= DA x y , 88x, y<, 2<E
Out[1]= ::-
y2
4 Hx yL3�2
, -
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
>, :-
x y
4 Hx yL3�2
+
1
2 x y
, -
x2
4 Hx yL3�2
>>
Grad@Log@x + y^2D, 8x, y<D
:1
x + y2
,
2 y
x + y2
>
Grad@%, 8x, y<D
::-
1
Ix + y2M2
, -
2 y
Ix + y2M2
>, :-
2 y
Ix + y2M2
, -
4 y2
Ix + y2M2
+
2
x + y2
>>
La matriz Hessiana directamente :
In[2]:= D@Log@x + y^2D, 88x, y<, 2<D
Out[2]= ::-
1
Ix + y2M2
, -
2 y
Ix + y2M2
>, :-
2 y
Ix + y2M2
, -
4 y2
Ix + y2M2
+
2
x + y2
>>
3. Obtener la matriz hessiana de la función f en
el punto H1, 1L y de la función g en el punto H1, 0, -1L.
aL f Hx, yL = x + y bM g Hx, y, zL = x y z - x2 z2
2 PblExaMatItemas3y4.nb
GradA x + y , 8x, y<E
:1
2 x + y
,
1
2 x + y
>
Grad@%, 8x, y<D
::-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>, :-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>>
La matriz Hessiana directamente :
In[5]:= DA x + y , 88x, y<, 2<E
Out[5]= ::-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>, :-
1
4 Hx + yL3�2
, -
1
4 Hx + yL3�2
>>
In[26]:= Hf@x_, y_D := ::-
1
4 Hx + yL3�2, -
1
4 Hx + yL3�2>, :-
1
4 Hx + yL3�2, -
1
4 Hx + yL3�2>>;
Hf@1, 1D
Out[27]= ::-
1
8 2
, -
1
8 2
>, :-
1
8 2
, -
1
8 2
>>
Hf@1, 1D =
- 1
4 8
- 1
4 8
- 1
4 8
- 1
4 8
GradAx y z - x2 z2, 8x, y, z<E
9y z - 2 x z2, x z, x y - 2 x
2z=
Grad@%, 8x, y, z<D
99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x
2==
La matriz Hessiana directamente :
In[8]:= DAx y z - x2 z2, 88x, y, z<, 2<E
Out[8]= 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x
2==
In[30]:= Hg@x_, y_, z_D := 99-2 z2, z, y - 4 x z=, 8z, 0, x<, 9y - 4 x z, x, -2 x2==;
Hg@1, 0, -1DOut[31]= 88-2, -1, 4<, 8-1, 0, 1<, 84, 1, -2<<
Hg@1, 0, -1D =
-2 -1 4
-1 0 1
4 1 -2
PblExaMatItemas3y4.nb 3
4. Dada la función f Hx, y, zL =
xy+ yz obtener el vector gradiente en un punto genérico y las siguientes derivadas
parciales de segundo orden en el punto H1, 2, 3L :¶
2 f
¶x2Hx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶yHx, y, zL.
Grad@xy+ yx, 8x, y<D
9x-1+y
y + yx
Log@yD, x y-1+x
+ xy
Log@xD=
D@xy+ yx, xD
x-1+y
y + yx
Log@yD
D@%, xD
x-2+y H-1 + yL y + y
xLog@yD2
Tambien directamente D11 :
In[9]:= D@D@xy+ yx, xD, xD
Out[9]= x-2+y H-1 + yL y + y
xLog@yD2
In[32]:= D11f@x_, y_, z_D := x-2+y H-1 + yL y + yx Log@yD2;
D11f@1, 2, 3DOut[33]= 2 + 2 Log@2D2
DAx-1+y y + yx Log@yD, yE
x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
Tambien directamente D12 y D21 :
In[10]:= D@D@xy+ yx, xD, yD
Out[10]= x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
In[34]:= D21f@x_, y_, z_D := x-1+y+ y-1+x
+ x-1+y y Log@xD + x y-1+x Log@yD;
D21f@1, 2, 3DOut[35]= 2 + Log@2D
In[11]:= D@D@xy+ yx, yD, xD
Out[11]= x-1+y
+ y-1+x
+ x-1+y
y Log@xD + x y-1+x
Log@yD
5. Dada la función f Hx, y, zL = LnAx + y2+ z3E. aM Obtener el dominio de la función f. bM
Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cMDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f,
y si es posible, el vector gradiente de en
los puntos H-2, -1, 0L y en H1, 1, -1L.dM Obtener las siguientes derivadas
parciales de segundo orden :¶
2 f
¶y2Hx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶zHx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL.
4 PblExaMatItemas3y4.nb
In[15]:= GradALogAx + y2+ z3E, 8x, y, z<E
Out[15]= :1
x + y2+ z3
,
2 y
x + y2+ z3
,
3 z2
x + y2+ z3
>
cL Dom HGradfL = 9Hx, y, zL Î R3 � x + y2
+ z3> 0=.
In[44]:= Gra@x_, y_, z_D := :1
x + y2+ z3
,2 y
x + y2+ z3
,3 z2
x + y2+ z3
>;
H-2, -1, 0L Ï DomGradf
In[21]:= Gra@1, 1, -1DOut[21]= 81, 2, 3<
DALogAx + y2+ z3E, yE
2 y
x + y2+ z3
D@%, yD
-
4 y2
Ix + y2+ z3M2
+
2
x + y2+ z3
Tambien directamente D22 :
In[12]:= DADALogAx + y2+ z3E, yE, yE
Out[12]= -
4 y2
Ix + y2+ z3M2
+
2
x + y2+ z3
DALogAx + y2+ z3E, xE
1
x + y2+ z3
D@%, zD
-
3 z2
Ix + y2+ z3M2
Directamente D31 y D12 :
In[13]:= DADALogAx + y2+ z3E, zE, xE
Out[13]= -
3 z2
Ix + y2+ z3M2
In[14]:= DADALogAx + y2+ z3E, xE, yE
Out[14]= -
2 y
Ix + y2+ z3M2
PblExaMatItemas3y4.nb 5
6. Dada la función : f Hx, y, zL = Sen@x yD Cos@zD . aL Obtener el dominio de la
función. bL Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cLDeterminar el dominio de definición del vector gradiente de f ,
y si es posible, el vector gradientede f e
el punto H1, 0, Π L. dL Obtener las siguientes derivadas parciales de
segundo orden :¶
2 f
¶z2Hx, y, zL,
¶2 f
¶y ¶xHx, y, zL,
¶2 f
¶x ¶yHx, y, zL.
aL Dom HfL = R
In[22]:= Grad@Sin@x yD Cos@zD, 8x, y, z<DOut[22]= 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<
cL Dom HGradfL = R
In[36]:= Gra@x_, y_, z_D := 8y Cos@x yD Cos@zD, x Cos@x yD Cos@zD, -Sin@x yD Sin@zD<;
Gra@1, 0, Π DOut[37]= 80, -1, 0<
In[23]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, zD, zDOut[23]= -Cos@zD Sin@x yD
In[24]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, xD, yDOut[24]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD
In[25]:= D@D@Sin@x yD Cos@zD, yD, xDOut[25]= Cos@x yD Cos@zD - x y Cos@zD Sin@x yD
7. Dada la función f Hx, yL =
Sin@x yD5x
. a Obtener el vector gradiente de f,
así como su dominio de definición. b Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶y2Hx, yL ,
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
In[38]:= GradBSin@x yD
5x, 8x, y<F
Out[38]= 85-x
y Cos@x yD - 5-x
Log@5D Sin@x yD, 5-x
x Cos@x yD<
aL DomGraf = 9Hx, yL Î R2=
In[39]:= DBDBSin@x yD
5x, yF, yF
Out[39]= -5-x
x2
Sin@x yD
In[40]:= DBDBSin@x yD
5x, yF, xF
Out[40]= 5-x
Cos@x yD - 5-x
x Cos@x yD Log@5D - 5-x
x y Sin@x yD
6 PblExaMatItemas3y4.nb
8. Dada la función f Hx, y, zL = Ln@x y + zD.
aL Obtener el dominio de la función.bL Obtener el vector gradiente de f,
en un punto genéico.cL Determinar el dominio de definición del
vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de f en
el punto H1, 1, -2L.
aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=
In[41]:= Grad@Log@x y + zD, 8x, y, z<D
Out[41]= :y
x y + z
,
x
x y + z
,
1
x y + z
>
cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x y + z > 0=
Gra@x_, y_, z_D := :y
x y + z,
x
x y + z,
1
x y + z>;
H1, 1, -2L Ï DomGraf
9. Dada la función f Hx, yL =
x
y - 1y g Hx, yL = x
x
y
a Obtener los dominios de definición de f y g. b Obtener los vectores
gradientes de f y g en un punto genérico, indicando sus respectivos dominios. c
Si es posible, determinar los vectores gradientes en el punto H1, 2L.
aL Domf = :Hx, yL Î R2 �
x
y - 1r 0, y - 1 ¹ 0>, Domg = 9Hx, yL Î R
2 � x > 0, y ¹ 0=
In[45]:= GradBx
y - 1, 8x, y<F
Out[45]= :1
2x
-1+yH-1 + yL
, -
x
2x
-1+yH-1 + yL2
>
In[46]:= GradBx
x
y , 8x, y<F
Out[46]= :xx�y
1
y
+
Log@xDy
, -
x1+
x
y Log@xDy2
>
PblExaMatItemas3y4.nb 7
In[47]:= Graf@x_, y_D := :1
2x
-1+yH-1 + yL
, -
x
2x
-1+yH-1 + yL2
>;
Grag@x_, y_D := :xx�y1
y+
Log@xDy
, -
x1+
x
y Log@xDy2
>;
Graf@1, 2DGrag@1, 2D
Out[49]= :1
2
, -
1
2
>
Out[50]= :1
2
, 0>
10. Dada la función f Hx, yL = LnBx + y
x - y3 F. a Obtener
el dominio de definición de f. b Obtener la matriz Hessiana
de f en un punto genérico indicando su dominio de definición. c
Si es posible calcular la matriz Hessiana en el punto H2, 1L.
aL Domf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0=
In[51]:= DBLogBx + y
x - y3 F, 88x, y<, 2<F
Out[51]= ::Hx - yL J-
2
Hx-yL2+
2 Hx+yLHx-yL3
N
3 Hx + yL-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N
2
3 Hx + yL2
,
-
2
3 Hx - yL2
-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
3 Hx + yL2
>,
:-
2
3 Hx - yL2
-
Hx - yL2 J 1
x-y-
x+y
Hx-yL2N J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
3 Hx + yL2
,
Hx - yL J 2
Hx-yL2+
2 Hx+yLHx-yL3
N
3 Hx + yL-
Hx - yL2 J 1
x-y+
x+y
Hx-yL2N
2
3 Hx + yL2
>>
In[52]:= Simplify@%D
Out[52]= ::4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2
, -
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2
>, :-
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2
,
4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2
>>
bL DomHf = 9Hx, yL Ε R2 � x - y ¹ 0, x + y ¹ 0=
8 PblExaMatItemas3y4.nb
In[53]:= Hf@x_, y_D :=
::4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2, -
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2>, :-
2 Ix2+ y2M
3 Hx - yL2 Hx + yL2,
4 x y
3 Hx - yL2 Hx + yL2>>;
Hf@2,
1D
Out[54]= ::8
27
, -
10
27
>, :-
10
27
,
8
27
>>
11. Dada la función f Hx, yL = Sin2@x yD. aMObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. bM
Calcular la derivada parcial de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL
In[56]:= GradASin@x yD2, 8x, y<EOut[56]= 82 y Cos@x yD Sin@x yD, 2 x Cos@x yD Sin@x yD<
In[57]:= DADASin@x yD2, xE, xE
Out[57]= 2 y2
Cos@x yD2- 2 y
2Sin@x yD2
12. Dada la función f Hx, y, zL = xx z. aL Obtener el dominio de la función f. bLObtener el vector gradiente de f en un punto genérico. cL
Determinar el dominio de definición del vector gradiente de f,
y si es posible, el vector gradientede f en
el punto H1, -1, 1L.
aL Domf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=
In[58]:= Grad@xx z, 8x, y, z<D
Out[58]= 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x
1+x zLog@xD=
cL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � x > 0=
In[59]:= Gra@x_, y_, z_D := 9xx z Hz + z Log@xDL, 0, x1+x z Log@xD=;
Gra@1, -1, 1DOut[60]= 81, 0, 0<
13. Dada la función f Hx, yL = LnBx + 3
y3F. a Obtener el vector gradiente de f,
asícomo su dominio de definición. b Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL y
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
PblExaMatItemas3y4.nb 9
In[61]:= GradBLogBx + 3
y3F, 8x, y<F
Out[61]= :1
2 H3 + xL, -
3
2 y
>
aL DomGraf = :Hx, yL Ε R2 �
x + 3
y3> 0, y ¹ 0>
In[62]:= DBDBLogBx + 3
y3F, xF, xF
Out[62]= -
1
2 H3 + xL2
In[63]:= DBDBLogBx + 3
y3F, yF, xF
Out[63]= 0
14. Dada la función f Hx, y, zL = zSin@x zD. aM Obtener el vector gradiente de f,
así como su dominio de definición. bM Calcular las
derivadas parciales de segundo orden :¶
2 f
¶x2Hx, yL y
¶2 f
¶x ¶yHx, yL.
In[64]:= GradAzSin@x zD, 8x, y, z<E
Out[64]= :z1+Sin@x zD
Cos@x zD Log@zD, 0, zSin@x zD
x Cos@x zD Log@zD +
Sin@x zDz
>
aL DomGraf = 9Hx, y, zL Ε R3 � z > 0=
In[65]:= DADAzSin@x zD, xE, xE
Out[65]= z2+Sin@x zD
Cos@x zD2Log@zD2
- z2+Sin@x zD
Log@zD Sin@x zD
In[66]:= DADAzSin@x zD, yE, xEOut[66]= 0
10 PblExaMatItemas3y4.nb