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MECANICA ESTADISTICA Curso 2010

Traba jo practico N 1Operador-Matriz Densidad - 17/03/10

Descripcion general del estado de un sistema cuantico. Cuando tratamos con sistemas cuanticos,solemos representar un microestado por un vector de un espacio de Hilbert, mientras que el estadomacroscopico se representa mediante el operador (o matriz) densidad.

D=

|p|, (0.1)

donde p es la probabilidad del microestado|, y por tanto

p = 1. Los elementos diagonales deeste operador en una base ortonormal{|un}, Dunun , son las llamadas poblacionesasociadas a esa base,mientras que los elementos no diagonales Dunum son las coherencias. El valor medio de un observableen un sentido general (que combina tanto a los valores esperados cuanticos como al promedio estadsticoclasico) puede escribirse

A

= Tr(DA).

Este operador trasciende su aplicacion a la estadstica: no complementa, sino queamplalas capaci-dades de los vectores utilizados hasta ahora para describir un estado cuantico. A diferencia de los vectores,estos operadores:i) poseen un lmite clasico;ii) permiten condensar toda la informacion correspondientea solo una partede un sistema cuantico compuesto. Esto ultimo es imprescindible si queremos describirel proceso de medida en mecanica cuantica, en el que un sistema cuantico es puesto en contacto conuno clasico y luego ambos son separados; iii) permite describir sistemas cuanticos de los que poseemosinformacion incompleta respecto a su preparacion (por ejemplo, un sistema en equilibrio termodinamico;o un sistema de espines no polarizados.). Ninguna de estas posibilidades, que intentaremos desarrollar enesta practica, es cierta en general para los vectores utilizados hasta ahora en Fsica Cuantica.

Bibliografa sugerida: R. Balian, C. Cohen-Tanoudji

Problema 1.[Propiedades deD]Sea un macroestado definido por D, y un observable macroscopico A,

representado por un operador hermtico A. Mostrar que:a) TrD= 1,b) D es hermtico (y con ello, sus autovectores|rk tales que D|rk = rk|rk pueden elegirse

como ortonormales; sus autovalores rk seran reales; y si Aes un observable, entonces su valor medioAsera real. Ademas,

krk = 1).

c) D es semidefinido positivo (y con ello los rk 0; el promedio de un operador definido positivopor ejemplo, una varianza sera positivo).

ch) si D2 = D (es decir, si D es un proyector), entonces el sistema esta en un estado puro.

Conclusion de este ejercicio Siempre podremos escribir a D en la base de sus autovectores ortonor-males: D =

k

|rk

rk

rk

|; las rk pueden seguirse interpretando como probabilidades, ahora de estados

sin solapamiento. Siempre sera la base mas comoda para trabajar.

Problema 2.[Poblaciones, coherencias, e interferencia cuantica.]Sea un observable Acuyos autoestados{|aj}, A|aj = aj|aj, conforman una base ortonormal del espacio de estados. Sea otro observable B,con una base ortonormal de autoestados{|bi}, tal que [A, B]= 0. Supondremos que p1 y p2 son dosnumeros reales y positivos, con p1+p2= 1.

a) Tenemos un sistema que se encuentra en el estado dado el por ket|=p1|a1 + p2|a2, y otro

sistema identico, pero descripto por el operador densidad D =|a1p1a1| + |a2p2a2|. Encontrar P(a1)(la probabilidad de medir el autovalor a1) y P(a2) en ambos sistemas.

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b) Utilizando los ingredientes dados al comienzo del problema, muestre una diferencia escencial entreambos estados.

c) Escribir el operador densidad D (notar que es unico: a diferencia de los vectores de estado, nohay fases globales) que tenga el mismo contenido fsico que el ket|. Calcular las poblaciones Dajaj ylas coherencias Da

jak

de este operador. Escribir P(a1) y P(bi) en terminos de las anteriores. Calcularpoblaciones y coherencias del operador D, y comparar con las de D.

ch) Supongamos ahora que el sistema esta descripto por un operador densidad mas general, D =|p|. i) Muestre que las poblaciones Dajaj seguiran siendo positivas. ii) Si midiera N veces el

observable A, en Nsistemas identicos preparados en identicas condiciones En cuantos sistemas esperamedir el autovalor aj?iii) Puede decirse algo a priori del valor de las coherencias?

Evolucion de un estado cuantico Veremos ahora el analogo cuantico de la ecuacion de Liouvilleestudiada en el caso clasico.

Problema 3.

a) Muestre que la evolucion temporal del operador densidad esta descripta por la ecuacion

dD

dt =

1

i[H, D],

(ecuacion de Liouville-von Neumann).

b) Escriba la ecuacion para la evolucion temporal de un observable A Que sucedera con < A(t)> si[A, H] = 0?

c) Muestre que TrD(t) = TrD(t0).

Operador Densidad de un subsistema Tanto en mecanica cuantica como en estadstica, muchasveces estamos interesados en estudiar solamente una parte de un sistema mayor. Lo que entendamos porsubsistemavariara de acuerdo al problema. Podra ser efectivamente un sistema separado fsicamentedel resto, como en el caso de un material en contacto con un termostato, o el de un sistema cuantico bajoestudio que esta siendo medidopor un aparato. En practicas siguientes al estudiar teora cinetica delos gases consideraremos solamente probabilidades reducidas a unapartcula: el subsistema sera en esecaso una partcula cualquiera del conjundo de las N que conforman al fludo. En el caso mas general,consideraremos como subsistema a un subconjunto de los grados de libertad del sistema global (por ejem-plo, los grados de libertad de espn con independencia de los traslacionales o los modos vibracionalesy rotacionales de una molecula con independencia de todos los demas).

Sea un espacio de Hilbert

EH =

EHa

EHb, producto directo de dos espacios generados respectivamente

por las bases{|ka} y{|lb}. Un macroestado del sistema completo esta caracterizado por los elementosde matrizkalb|D|kalb. Recordamos del curso de mecanica cuantica que los operadores Aa que actuansolamente sobre el espacioEHa pueden ser extendidos al espacio completoEH como Aa= Aa Ib.Problema 4.

a) Muestre que, puesto que el observable Aaopera efectivamente solo sobre el espacio EHa, el promedioAa= Tr(DAa) puede escribirse como una traza sobre el espacio vectorialEHa. Esta traza parcial Tra()comprende solamente operadores definidos sobre este espacio: Aa= Tr(DAa) = Tra(DaAa). El operador

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Da Trb(D) es el operador densidad del subsistema a, y contiene toda la informacion concerniente aobservables que comprendan solo a este sistema.

b) Comprobar que cuando el operador densidad de un sistema de entidades distinguibles puede es-cribirse como producto de operadores de los subsistemas que lo componen D=

i Di, los resultados de

las medidas parciales en un subsistema dado no se ven afectadas por el macroestado particular de los

otros subsistemas. (Cuando D no puede escribirse como un producto, decimos que los subsistemas estancorrelacionados cuanticamente oentrelazados).

c) Sean a y b dos spines 12

en un estado singlete:|= 12

(|+|+(se entiende aqu que, siendoSz el operador que da la proyeccion de spin a lo largo del eje z, Sz | = 12|). Encontrar D, eloperador densidad Da que describe al subsistema conformado por el spin a, y Db.

ch) Notar que pese a que en el ejemplo anterior partimos de un estado puro, el estado del subsistemaa es una mezcla estadstica (y por lo tanto, no puede describirse utilizando simplemente vectores deestado). Si medimos solamente el estado del spin a, puedo decir con certeza cual sera el resultado?Sera la entropa del subsistema mayor o menor que la del sistema global?

d) Los autoestados del operador Sx con proyeccion de spin positiva o negativa a lo largo del eje xpuede escribirse como

|x =

1

2(|+

|). Los autoestados respectivos de Sy a su vez son

|y =

12

(|+ i|). Comente sobre el estado de polarizacion del spin a a lo largo de los ejes xe y.e) Imaginemos que, dado el macroestado global anterior D, mido el spina obteniendo como resultado

que su proyeccion sobre el eje z es positiva. En que estado queda ahora el sistema conjunto? Si midieraahora (luego de medir el spin a) el estado de polarizacion del spinb, puedo tener alguna certeza de cualsera el resultado? Notar que los espinesa y b pueden estar separados espacialmente todo cuanto se quiera.Este resultado (que la medida cuantica de un sistema separado fsicamente de otro pueda influenciar aeste segundo sistema) constituye la llamada paradoja EPR(Einstein, Podolsky y Rosen).

f) Muestre que un sistema con un operador densidad arbitrario Da siempre puede considerarse unsubsistema de un sistema mayor ab que esta en un estado puro. ([Ayuda]: Alcanzara con encontrar unmacroestado puro que al ser reducido por medio de la traza me de el operador densidad Da original.)

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