PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Supongamos que y designa el peso total de los cerdos sacrificados en el matadero de Chicago durante 1948 (en millones de libras) y sea x el total del trabajo semanal (en miles de horas). Nichols calculó la relación

Determinar el valor de x que maximiza y, estudiando la variación del signo de y'.

2. Hallar la derivada de la función h definida por

para todo x. Usar la variación del signo de h'(x) para hallar el valor máximo/mínimo de h(x).

3. Consideremos la función V definida por

Calcular V'(x) y probar que V es creciente en (0, 3) y decreciente en (3,9). Hallar el máximo de V en [0,9].

(a) Probar que

(*)

(b) Usar (*) para hallar el valor máximo de en . Probar que para

todo x. ¿Cuáles son los máximos de en ?

4. Estudiar las variaciones de signo de la derivada de cada función del Problema 5 y confirmar las conclusiones obtenidas allí.

5. Si el impuesto T que paga una persona por su renta bruta Y está dado por

, donde a, b, c son constantes positivas, entonces el tipo medio de impuesto es

Hallar el valor de Y que maximiza el impuesto medio.

6. Dados n números a1, a2, ..., an, hallar el número x que los aproxima mejor, en el sentido de que

es lo más pequeño posible. ¿Cómo se llama a este valor x?

7. Una empresa competitiva recibe un precio p por cada unidad de su producción, paga un precio w por cada unidad de su única materia prima, y tiene unos costes fijos de F. Su

producción cuando usa x unidades de materia prima es .

a. Dar la expresión de las funciones de ingresos, costes y beneficios de la empresa.b. Escribir la expresión de la condición de primer orden para la maximización del

beneficio, dando una interpretación económica de ella.c. Comprobar si realmente los beneficios se hacen máximos en un punto que

verifique la condición de primer orden.d. Explicar cómo cambiarían las respuestas si f(x) = x2.

8. Hallar los intervalos en que la siguiente función cúbica de costes es convexa o cóncava, así como su único punto de inflexión:

9. En el Ejemplo 5, sea R(Q) = PQ y C(Q) = aQb + c, donde P, a, b y c son constantes positivas con b > 1. Hallar el valor de Q que maximiza los beneficios

10. Con respecto al Ejemplo 15, sea para .

(a) Probar que f es una función creciente de v y que en [0,1), en (l, ). Dibujar la gráfica de f.

(b) Supongamos que el precio unitario del bien es 1 y que el precio que la empresa paga por unidad de materia prima es p. Los beneficios son entonces

. Supongamos que vm > 0 maximiza para el valor dado de p > 0. Hallar vm en función de p.

(c) Dibujar la gráfica de n para el caso p = 1. Usar el mismo diagrama que en la parte (a).

(d) Hallar las raíces no negativas de la ecuación . ¿Para qué valores de p hay tres raíces reales?

(e) Para todos los valores de p, hallar la solución del problema

maximizar con la restricción

11. Un club deportivo planea fletar un avión. Para 60 pasajeros, el precio es de 800$ cada uno. Por cada persona adicional sobre 60, se descuentan 10$ a todos los viajeros. El avión puede cargar 80 pasajeros, como máximo.

(a) ¿Cuál es el importe total cuando hay 61, 70 y 80 pasajeros?(b) ¿Cuál es el importe total si vuelan 60 + x pasajeros?(c) Hallar el número de pasajeros que maximiza el total de la suma pagada por los

miembros del club.

12. Sea C(Q) la función de costes totales de una empresa en la producción de Q unidades de un bien. Se llama la función de costes medios a A(Q) = C(Q)/Q. Si C(Q) es derivable, demostrar que A(Q) tiene un punto estacionario en Q0 > 0 si y sólo si el coste marginal y el coste medio son iguales en Q0. (C'(Q0) = A(Q0)).

13. En el problema anterior, sea C(Q) = aQ3 + bQ2 + cQ + d, donde a > 0, , c > 0 y d > 0. Probar que A(Q) = C(Q)/Q tiene un mínimo en el intervalo (0, ). Hallar el mínimo en el caso b = 0.

14. En el Problema 2, sea C(Q) = aQb + c para a > 0, b > 1 y . Probar que la función de costes medios tiene un mínimo en (0, ) y hallarlo.

15. El costo de producir maquinas de coser incluye un costo fijo de 2 000 dólares y un costo variable de 500 dólares por maquina. Halle la función de costo total y el costo de producir 100 maquinas, además el valor que minimiza dicha función.

16. Siendo la función de costos , halle el valor de x que minimice el costo y el respectivo costo mínimo.

17. Siendo la función de beneficios , halle el valor de x que maximice el beneficio.

18. La función de ingresos de una empresa es , halle el valor de x que maximice el ingreso.

19. Para un producto, la ecuación de demanda es y su ecuación de

oferta es . Determine el excedente de consumidores y el de productores cuando se ha establecido el equilibrio de mercado.

20. Suponiendo que el mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si el ingreso marginal está dada

por y su costo marginal es .

21. Si el ingreso marginal y el consumo marginal , establezca el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total, en un mercado de competencia pura.

22. Si el ingreso marginal y el consumo marginal , establezca el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total, en un mercado de competencia pura.

23. La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determinan por las

funciones de demanda y el costo marginal , establezca el nivel de producción de manera que se maximice la utilidad.

24. Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad

total, suponiendo competencia pura si: el ingreso marginal es y el costo

marginal .

25. Si la función del ingreso marginal es y la función del costo marginal es

, determine la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad y la correspondiente utilidad total en un caso de competencia pura.

26. Suponiendo que el mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si el ingreso marginal está dada

por y su costo marginal es .

27. Suponiendo que el mercado de libre competencia, obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total si el ingreso marginal está dada

por y su costo marginal es .

28. Sea la función del costo para la producción de x unidades esta dado por:

, hállese la función del costo marginal, además el punto donde el costo se minimiza.

29. Si el ingreso marginal es dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades.

30. El beneficio marginal de una cierta compañía es de: 100 - 2x dólares por unidad cuando el nivel de producción es de x unidades. Si el beneficio de la compañía es de 700 dólares cuando produce 10 unidades. ¿Cuál es el mayor beneficio posible de la compañía?

31. La gerencia ha determinado que la función de ingresos marginales diarios asociada con

la producción y venta de sus cafeteras esta dado por: donde x denota

el número de unidades producidas y vendidas, además que se mide en dólares por

unidad. Determinar la función de ingresos vinculada con la producción y venta de las cafeteras, además halle el punto en el cual el ingreso se maximiza.

32. Si la función de ingreso es: y la función del costo

, obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad.

33. El costo marginal de cierta empresa de productos ABC es: y el costo de fabricar 100 unidades es 995 dólares. ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades?

34. Encuentre la función del costo marginal de una empresa si su función de costo total es:

35. La corporación de instrumentos de posición CANNON, fabrica un flash electrónico automático con circuitos THYRISTER. La ganancia marginal estimada vinculada con la

producción y la venta de estos flashes electrónicos es: dólares por unidad por mes, cuando el nivel de producción es de x unidades mensuales. Los gastos fijos de CANNON por la producción y venta de estos dispositivos asciende a 16 000 dólares por

mes. ¿En qué nivel de producción logra CANNON la máxima ganancia?. ¿Cuál es la máxima ganancia mensual?

36. La gerencia de la compañía LORIMAR ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes de viaje está dada

por , donde x denota el número de unidades producidas y vendidas,

además se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingreso

37. Una empresa tiene una función de ingresos y una función costo total

, hallar el nivel de producción que maximiza el beneficio.

38. La función utilidad de una empresa está dada por , hallar el nivel de producción que maximiza el beneficio.

39. Un vendedor de enciclopedias recibe como sueldo mensual, una cantidad fija de 500 euros más una comisión que depende del número de enciclopedias que venda según la

expresión: donde x representa el número de enciclopedias.El vendedor debe de correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de 100 euros mensuales más otros variables, que estima en 7 euros por cada enciclopedia se vende. ¿Cuántas enciclopedias debe de vender para obtener el beneficio mensual máximo? calcula es dicho beneficio.

40. La producción de cierta hortaliza en un invernadero, en kg, depende de la

temperatura, x en , según la expresión: . Calcule razonadamente la temperatura óptima y producción de hortaliza que se obtendría.

41. Los costes de fabricación en euros de cierta variedad de galletas que dependen de la cantidad elaborada en kg, el fabricante estima que el precio de venta de

cada kg de galletas viene dado por . ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar sus ganancias?¿qué ganancia máxima obtiene?