Unidad: MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Capitulo y Tema:1. PROGRAMACIÓN

LINEAL1.1.METODO

GRAFICO1.2.METODO SIMPLEX

Actividad (Numero y nombre):1. CONCEPTOS DE PL2. METODO GRAFICO3. METODO SIMPLEX4. EJERCICIO DEL METODO SIMPLEX

Módulo:NOVENO “B”

Nombre (s):NADIA CORINA PROAÑO FERNÁNDEZ

Profesor:ING. LUIS ANTONIO CHAMBA ERAS.Fecha en la cual el profesor encarga la actividad:

13 de octubre de 2010

Fecha en la cual el profesor recibe la actividad:

20 de octubre de 2010

Bibliografía:- TAHA, Hamdy.. INVESTIGACION DE OPERACIONES.. Séptima Edición.. México 2004.

848pp.- Programación lineal.pdf- Manual de programación lineal. pdf

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal trata de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales

f(x,y)= ax + by

s.a.: a1x + b1y ≤ c

a1x + b1y ≥ c

a1x + b1y < c

a1x + b1y > c

El conjunto solución, se llama región factible.

El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible.

MÉTODO GRÁFICO

El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:

1. Determinar el espacio de soluciones para definir las soluciones factibles del modelo.

2. Determinar la solución óptima.

Este método indica que la solución óptima de un programa lineal siempre está asociada con un punto esquina del espacio de soluciones.

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig .

El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables.

El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.

Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones, donde cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tienen potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se puede obtener mejoras.

Para resolver se debe agregar variables de holgura o exceso según sea el sentido de la desigualdad. Para las variables de holgura se lo hace con el menor igual que (≤), y para las variables de exceso se lo hace con el símbolo de mayor igual que (≥). El número de variables de holgura y exceso se lo hace de acuerdo al número de restricciones.

Condición de optimalidad: La variable de entrada en un problema de maximización (minimización) es la variable no básica que tenga el coeficiente más negativo (positivo) en el renglón de z. los empates se rompen en forma arbitraria. Se llega al óptimo en la iteración en la que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón z son no negativos (no positivos).

Condición de factibilidad: En los problemas de maximización y de minimización, la variable de salida es la variable básica asociada con la mínima razón no negativa (con denominador estrictamente positivo). Los empates se rompen en forma arbitraria.

PASOS DEL MÉTODO SIMPLEX

1. Determinar una solución básica factible de inicio.

2. Seleccionar una variable de entrada aplicando la condición de optimalidad. Detenerse si no hay variable de entrada; la última solución es la óptima.

3. Seleccionar una variable de salida aplicando la condición de factibilidad.

4. Determinar la nueva solución básica con los cálculos adecuados de Gauss-Jordan

5. Ir al paso 1.

EJERCICIOS SOBRE PROGRMACIÓN LINEAL RESUELTOS POR EL MÉTODO SIMPLEX.

1. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamblaje y distribución de $18, $8 y $14 respectivamente.

La distribución de los insumos a los productos se resume en la siguiente tabla:

Producto 1 Producto 2 Disponibilidad

Fundición 1 3 18

Ensamblaje

1 1 8

Distribución

2 1 14

Beneficio 1 2

Determinar la combinación a producir que maximice los beneficios.

DESARROLLO

a. Variables de Decisión

X = Producto 1

Y = Producto 2

b. Función Objetivo

Z = X + 2Y (max)

c. Restricciones

X + 3Y ≤ 18

X + Y ≤ 8

2X + Y ≤ 14

d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

X + 3Y + 1H1 + 0H2 + 0H3 = 18

X + Y + 0H1 + 1H2 + 0H3 = 8

2X + Y + 0H1 + 0H2 + 1H3 = 14

e. Función objetivo a cero

Z - X - 2Y = 0

f. Tabla e iteraciones

g. Respuesta

El beneficio máximo es de $ 13. Para la producción se necesita 3 unidades del producto 1 y 5 unidades del producto 2.

X Y H1 H2 H3 V.S.

Y 1/3 1 1/3 0 0 6 (18)

H2 2/3 0 -1/3 1 0 2 (3)

H3 5/3 0 -1/3 0 1 8 (4.8)

Z -1/3 0 2/3 1 0 12X Y H1 H2 H3 V.S.

Y 0 1 1/2 -1/2 0 5

X 1 0 -1/2 3/2 0 3

H3 0 0 1/2 -5/2 1 3

Z 0 0 1/2 1/2 0 13

2. Un granjero posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tienen un coste de $6 por hectárea. El coste total de mano de obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano de obra. ¿Cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantearse para obtener la máxima ganancia?

Trigo Alpiste Disponibilidad

Semillas 4 6 480

Mano de Obra

20 10 1500

Beneficio 110 150

DESARROLLO

a. Variables de Decisión

X = Trigo

Y = Alpiste

b. Función Objetivo

Z = 110X + 150Y (max)

c. Restricciones

4X + 6Y ≤ 480

20X + 10Y ≤ 1500

d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

4X + 6Y + 1H1 + 0H2 = 480

20X + 10Y + 0H1 + 1H2 = 1500

e. Función objetivo a cero

Z - 110X - 150Y = 0

f. Tabla e iteraciones

g. Respuesta

El máximo beneficio es de $12525. Para el cultivo se necesita 105/2 hectáreas para trigo y 45 hectárea para el alpiste.

X Y H1 H2 V.S.

Y 2/3 1 1/6 0 80

H2 40/3 0 -5/3 1 700

Z -10 0 25 0 12000

X Y H1 H2 V.S.

Y 0 1 1/4 -1/20 45

X 1 0 -1/8 3/40 105/2

Z 0 0 95/4 3/4 12525

3. Establecer las restricciones, funciones y explique cómo calcula el máximo beneficio de un empresa que produce 2 bienes x e y sujeto a los siguientes datos.

X Y CAPACIDAD

Mano de Obra 3 6 60

Materias Primas

4 2 32

Materiales 1 2 16

Beneficio 20 24

DESARROLLO

a. Variables de Decisión

X E Y

b. Función Objetivo

Z = 20X + 24Y (max)

c. Restricciones

3X + 6Y ≤ 60

4X + 2Y ≤ 32

X + 2Y ≤ 16

d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

3X + 6Y + 1H1 + 0H2 +0H3 = 60

4X + 2Y + 0H1 + 1H2 +0H3 = 32

X + 2Y + 0H1 + 0H2 +1H3 = 16

e. Función objetivo a cero

Z - 20X - 24Y = 0

f. Tabla e iteraciones

g. Respuesta

El máximo beneficio es de $234.67. Para la producción necesita 16/3 de los dos bienes.

X Y H1 H2 H3 V.S.

H1 0 0 1 0 -3 12

H2 3 0 0 1 -1 16 (5.33)

Y 1/2 1 0 0 1/2 8 16

Z -8 0 0 0 12 192

X Y H1 H2 H3 V.S.

H1 -3 0 1 -1 -2 -4

X 1 0 0 1/3 -1/3 16/3

Y 0 1 0 -1/6 2/3 16/3

Z 0 8 0 0 52/3 704/3

4. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €. La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo se dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Tipo A Tipo B Disponibilidad

Oro 1 1.5 750

Plata 1.5 1 750

Beneficio

25 30

DESARROLLO

a. Variables de Decisión

X = Tipo A

Y = Tipo B

b. Función Objetivo

Z = 25X + 30Y (max)

c. Restricciones

X + 1.5 ≤ 750

1.5X + Y ≤ 750

d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

X + 1.5Y + 1H1 + 0H2 = 750

1.5X + 1Y + 0H1 + 1H2 =750

e. Función objetivo a cero

Z - 25X - 30Y = 0

f. Tabla e iteraciones

g. Respuesta

El máximo beneficio es de $16500. Fabricando 300 unidades de ambos tipos.

X Y H1 H2 V.S.

Y 2/3 1 2/3 0 500 (750)

H2 5/6 0 -2/3 1 250 (300)

Z -5 0 20 0 15000

X Y H1 H2 V.S.

Y 0 1 28/15 -4/5 300

X 1 0 -9/5 6/5 300

Z 0 0 11 6 16500

5. La editorial Lumbreras produce dos libros de Matemática: álgebra y geometría. La utilidad por unidades es de S/. 7 (S/. = soles) para el libro de álgebra y de S/. 10 para el libro de geometría. El libro de álgebra requiere de 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El libro de geometría requiere de 5 horas para imprimirse y de 3 horas para ser encuadernado. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 240 horas para encuadernar, calcule la máxima utilidad que se puede obtener. (S/. 400)

ALGEBRA GEOMETRIA Disponibilidad

IMPRESIÓN 4 5 200

ENCUADERNACIÓN

6 3 240

COSTO 7 10

DESARROLLO

a. Variables de Decisión

X = Algebra

Y = Geometría

b. Función Objetivo

Z = 7X + 10Y (max)

c. Restricciones

4X + 5Y ≤ 200

6X + 3Y ≤ 240

d. Convertir las inecuaciones a ecuaciones con variables de holgura.

4X + 5Y +1H1 + 0H2 = 200

6X + 3Y + 0H1 + 1H2 = 240

e. Función objetivo a cero

Z -7X - 10Y = 0

f. Tabla e iteraciones

g. Respuesta

La máxima utilidad es de 400 S/..

X Y H1 H2 V.S.

H1 4/5 1 1/5 0 40

Y 18/5 1 -3/5 1 120

Z 1 0 6 10 400