1.- VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL

1.1- DEFINICIÓN La relación entre los sucesos del espacio muestral y el valor numérico que se les asigna se establece a través de variable aleatoria. Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral. Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y,... y con las letras en minúscula x, y,... sus valores. La v.a. puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de v.a.: discretas y continuas. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un número finito o infinito, pero numerable, de posibles valores. Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar un número infinito (no numerable) de valores, o bien, si puede tomar un número infinito de valores correspondientes a los puntos de uno o más intervalos de la recta real.La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de manera inversa, la función de distribución es la integral de la función de densidad:

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.Dada una variable aleatoria todos son puntos X, su función de distribución, FX(x), es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice X y se escribe, simplemente, F(x).

1.2- EJEMPLOS:Ejemplo 1.-Si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna vez, una sola, dos o tres veces

salga águila como resultado; la probabilidad de que (dos águilas) es ya que el espacio muestra

aaa, aas, asa, ass, sas, ssa, sss . Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas. Con esto podemos ver que el espacio muestra es el dominio de la función y el conjunto de valores que la variable puede tomar es el rango o recorrido de la función, que es un subconjunto de

los reales. Si el conjunto de valores de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir, si se pueden enlistar o enumerar, se dice que la variable es discreta, dicho de otra manera si el rango de la función X es un subconjunto de los enteros Z, la variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta, y si el conjunto de valores de X es no numerable, o es un subconjunto de los números reales, la variable aleatoria se llama variable aleatoria continua.

Ejemplo2.-Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>, <<Z>>.En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los números reales, del modo siguiente:Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental <<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <<preferir la marca Z>> se le hace corresponder el número 3.La variable aleatoria X será: X = (1, 2, 3). El número asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conjunto de los números reales, con la condición única de que a sucesos elementales distintos le correspondan números también distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los números reales es una aplicación inyectiva.

2.-VALOR ESPERADO

2.1- DEFINICIONEn estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor.

Es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

2.2- EJEMPLOEjemplo1.-La ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos

apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

Que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros

3.- LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS

3.1- DEFINCION

Son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores, Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa.

3.2- EJEMPLOSEjemplo 1.-Si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.