SOLUCIONES DE LA SEMANA DEL 27 AL 3 DE MAYO

CURSO: 2º E.S.O. GRUPO: D

1.- Calcula respetando la jerarquía de operaciones:

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

28 : 7 6 23 5 9 4

28 : 7 6 23 5 5

28 : 7 6 23 25

28 : 7 6 2

4 12 16

− − − − − =

= − − − − =

= − − − − =

= − − − − =

= − − = −

b) 7 2 4 5 3 8

10 5 3 12 16

7 2 4 20 98

10 5 3 48 48

7 2 4 11 8

10 5 3 48

7 2 4 8

10 5 3 48

7 2 64 8

10 5 48 48

7 2 56

10 5 48

7 112

10 240

168 112 280 7

240 240 240 6

+ − − =

= + − − =

= + − =

= + − =

= + − =

= + =

= + =

= + = =

c) ( )

( )

5,8 3, 2 1,6 0,029 : 0,1

5,8 3, 2 1,6 0, 29

5,8 3, 2 1,31

5,8 4,192 1,608

− − =

= − − =

= − =

= − =

d) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 24

5 2

5 2 3

36 2 : 10

6 16 : 10

10 : 10 10 1000

− − =

= − − =

= − − = − = −

2.- En un horno de bollería se han fabricado 2400 magdalenas y 2640 mantecados, que se desean

comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas

magdalenas o cuántos mantecados se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe

ser superior a 15 e inferior a 30?

Como queremos repartir las magdalenas y los mantecados (por separado), estamos buscando un divisor de

2400 y de 2640. Queremos que sea común a los dos ya que las bolsas deben tener la misma cantidad de

magdalenas o mantecados. Por tanto buscando un común divisor, lo primero que hay que hacer es buscar el

máximo:

5 22400 2 3 5= 42460 2 3 5 11=

Como el número que estamos buscando debe estar entre 15 y 30, debe ser un divisor de 240 entre 15 y 30,

que será un divisor común de 2400 y 2460. Los primeros divisores de 240 son

(240) 1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,20,24,30,...div =

Finalmente, se pueden agrupar en bolsas de 16, de 20 o de 24.

4. . .(2400,2640) 2 3 5 240m c d = =

2 22400 2 5

24 2

12 2

6 2

3 3

1

2640 2 5

264 2

132 2

66 2

33 3

11 11

1

3.- Un avión vuela a 11000 metros, y un submarino está a 850− metros. ¿Qué distancia qué les separa?

Restamos el valor más bajo al valor más alto (GRANDE – PEQUEÑO):

( )11000 850 11850− − =

Les separa 11850 metros.

4.- Realiza las siguientes operaciones con monomios:

a) 5 8 2a a a a+ − = − b) 2 2 25 3 6 5 3x x x x x x x− − + + = +

c) 3 1 3 1 7

2 4 2 4 4x y x x y x y

− + = + − = −

d) 3 3 3 34 2 3 5ab ab ab ab− + =

5.- Desarrolla la identidad notable: ( )( ) ( ) ( )222 2 2 2 2 43 3 3 9ab a ab a ab a a b a+ − = − = −

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer y segundo grado:

a) 1 1

13 2

xx

−− = +

b) 2 2 2 2 25 5 5 5 0 6 5 0x x x x x x x x− = − − − + = − − =

( ) ( ) ( )2

2 1

2

1 11 126 11 1 4 6 54 1 1 120 1 121 1 11 12 12

11 11 10 52 2 6 12 12 12

512 12 6

a xb b ac

b xa

xc

+= = = =− − − − −− − + = − = = = = =

− − − = = == −

7.- La semana pasada, dos entradas para el cine y una caja de palomitas nos costaron 10 euros. Hoy, por

cuatro entradas y tres cajas de palomitas hemos pagado 22 euros. ¿Cuánto pagaremos tres entradas y dos

cajas de palomitas?

Definimos: :x Precio (en euros) de una entrada de cine

:y Precio (en euros) de una caja de palomitas

( )

( )

1 1 1

3 2

2 16 6 3

6 6 6 6

6 2 1 6 3

6 2 2 6 3

2 6 6 2 3

4 1

1 1

4 4

xx

x x

x x

x x

x x

x

x

−− = +

−− = +

− − = +

− + = +

− = − + +

− = −

−= =−

0

2

4

6

8

10

12

12 13 14 15 16 17 18 19

Frec

uen

cua

Edad

DIAGRAMA DE BARRAS

Planteamos un sistema de ecuaciones y lo resolvemos por reducción:

2 10

4 3 22

x y

x y

+ =

+ =

( )2 2 10

4 3 22

x y

x y

− + =

+ =

4 2 20

4 3 22

x y

x y

− − = −

+ =

2y = euros

Calculamos el valor de la otra incógnita: 210 10 2 8

42 2 2

yyx

=− −= = = =

Por lo tanto por tres entradas y dos cajas de palomitas debemos pagar 3 4 2 2 12 4 16 + = + = euros.

8.- La madre de Belén, Rocío y Antonio ha decidido repartir 450 euros en partes directamente proporcionales

al número de horas que sus tres hijos le han ayudado. Belén le ha ayudado tres horas; Rocío, durante 5 horas,

y Antonio durante 7 horas. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?

TOTAL BELÉN ROCÍO ANTONIO

Dinero (euros) 450 x y z Tiempo (horas) 3+5+7 = 15 3 5 7

450 390€

15x

= =

450 5150€

15y

= = 450 90 150 210€z = − − =

A Belén le corresponden 90 €, a Rocío le corresponden 150 € y a Antonio, 210 €.

9.- Las edades de los jóvenes inscritos en la asociación de ajedrez RAJE son:

13 16 12 14 14 15 16 14 19 13 18 12 16 17 16 14 13 16 12 17

15 19 14 18 12 17 16 16 17 15 16 14 17 13 18 16 15 17 16 18

Elabora una tabla de frecuencias y realiza un diagrama de barras. ¿Cuál es la edad media de la asociación?

Calculamos por último la edad media de la asociación:

4 12 4 13 6 14 4 15 10 16 6 17 4 18 2 19 61615,4

40 40x

+ + + + + + + = = = años.

Edades

( ix )

Frecuencia

( if )

Frecuencia acumulada

( iF )

Frecuencia absoluta

( ih )

Frecuencia absoluta

acumulada

( iH )

12 4 4 0,1 0,1

13 4 8 0,1 0,2

14 6 14 0,15 0,35

15 4 18 0,1 0,45

16 10 28 0,25 0,7

17 6 34 0,15 0,85

18 4 38 0,1 0,95

19 2 40 0,05 1

TOTAL 40 1

10.- Para pensar: Si 201:3 67= ; 2001:3 667= ; 20001:3 6667= , ... entonces ¿cuál es la suma de las

cifras del resultado de 122 10 1 + entre 3?

El número 12

12 11

2 10 1 2000......000 1 2000......001CEROS CEROS

+ = + = tiene 11 ceros

En el resultado de la división observamos que hay tantos seises como ceros en el dividendo. Por tanto el

resultado de la división ( )122 10 1 : 3 + tendrá 11 seises y un 7 al final y la suma de sus cifras es:

11 6 7 66 7 73 + = + =

SOLUCIONES DE LA SEMANA DEL 27 DE ABRIL AL 3 DE MAYO

CURSO: 3º E.S.O. GRUPO: E

1.- Calcula respetando la jerarquía de operaciones:

a) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

264 : 35 11 25 4

264 : 35 11 25 4

264 : 24 25 4

11 100 89

− + + + − − =

= − + + − − =

= − + − − =

= − + =

b) 12 1 5 : 2

9 8 4

96 9 5: 2

72 72 4

105 5 : 2

72 4

105 5

72 8

105 45 60 5

72 72 72 6

+ − =

= + − =

= − =

= − =

= − = =

c) 0,34 1,25 8,1 0,002

0,34 10,125 0,002

9,91 0,002 9,908

− + =

= − + =

= − + = −

d) ( )3 3 3 38,15 10 3,61 10 8,15 3,61 10 4,54 10− − − − − = − =

2.- Expresa los números en forma de fracción y calcula:

283 2 17 1024 10 281 17 1014 1810 1683 1014 24792,83 1,7 1,024

99 10 990 99 10 990 990 990 990 990

− −+ − = + − = + − = + − =

3.- Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan 0,98€ la docena. En una curva se vuelca

una caja y se rompen 60 huevos. ¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía

siga valiendo lo mismo?

El valor de los huevos que transporta inicialmente la furgoneta es de 250 0,98 245€ = . Al romperse 60

huevos se pierden 60 :12 5= docenas de huevos, por lo que quedan 250 5 245− = docenas completas.

Para que la mercancía siga valiendo 245€ , ahora cada docena debe valer 245: 245 1€=

4.- Realiza las siguientes operaciones con monomios:

a) 2 2 2 25 7a a a a− + = − b) 2 2 2 2 210 5 3 2 7 7mn m mn m n mn m n+ − + − = + −

c) 3 3 2 3 25 4 3 2 3 1 3 3 2 3x x x x x x x x− + + − + − = + + + d) 3 41 33

5 5x x x − = −

5.- a) Desarrolla la siguiente identidad notable: ( ) ( )2 2 2 23 4 3 2 3 4 4 9 24 16a a a a a− = − + = − +

b) Calcula el valor numérico de ( ) 3 22 5P x x x x= − + − + cuando 2x = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2

2 2 2 2 2 5 2 8 4 2 5 16 4 2 5 27P − = − − + − − − + = − − + + + = + + + =

c) Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: ( )( )

( )3 12 5

1 3 13 4 12

xx x

−− + = −

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 12 51 3 1

3 4 12

2 1 3 3 1 5 1

3 4 12

8 1 3 9 1 5 1

12 12 12

8 1 3 9 1 5 1

8 24 9 9 5 5

24 9 5 8 5 9

10 6

6 3

10 5

xx x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

−− + = −

− − −+ =

− − −+ =

− + − = −

− + − = −

− + + = − + +

− =

= = −−

6.- Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo que dentro de

12 años la edad del padre será solamente el doble que la de la hija.

PRESENTE FUTURO (Dentro de 12 años)

ROBERTO 3x 3 12x +

NURIA x 12x +

Actualmente Nuria tiene 12 años y su padre Roberto tiene 3 12 36 = años

7.- Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura:

La figura es un trapecio en el que la base mayor coincide con la diagonal de la base

del cubo (cuadrado). El resto de lados se pueden calcular como diagonales de

triángulos rectángulos conocidos sus catetos, mediante el Teorema de Pitágoras:

Calculamos el valor de x : 2 2 2 26 6 36 36 72 72 8,49 x x x cm= + = + = =

Calculamos el valor de y : 2 2 2 23 3 9 9 18 18 4,24 y y y cm= + = + = =

(También se puede observar que la longitud de y es la mitad que la de x )

Calculamos el valor de z : 2 2 2 26 3 36 9 45 45 6,71 z z z cm= + = + = =

Con los datos anteriores podemos calcular la altura del trapecio:

( )3 12 2 12

3 12 2 24

3 2 12 24

12

x x

x x

x x

x

+ = +

+ = +

− = − +

=

Calculamos el valor de t por Pitágoras: 2

2 2 2 2 2 2 2 26,71 2,125 6,71 2,125 40,51 40,51 6,36 2

x yz t t t t cm

− = + = + = − = =

Por tanto:

• Área: ( ) ( ) 2

8, 49 4, 24 6,3640, 48

2 2

x y tA cm

+ + = = =

• Perímetro: 2 8,49 4,24 2 6,71 26,15 P x y z cm= + + = + + =

8.- Calcula el valor de las longitudes desconocidas (todas las medidas están en centímetros)

Calculamos y : 1,2 3,5 1,2

4,2 3,5 1 1

yy cm

= = =

Calculamos z : 7 1,2 7 1,2 4,2 1,6 z y cm= − − = − − =

Calculamos x : 4,2 1,6 3,5 1,6

1,33 3,5 3,5 4,2

y zx cm

x x

= = =

9.- La siguiente tabla muestra el número de suspensos en una evaluación de los estudiantes de una clase:

Realiza un diagrama de cajas y bigotes con los datos anteriores.

Para hacer el diagrama de caja y bigotes debemos calcular los cuartiles:

• Primer cuartil: el valor que ocuparía la posición 8 ( 25% de 28 7= ) es decir 1 0Q =

• Segundo cuartil: el valor que ocuparía la posición 15 (50% de 28 14= ) es decir 2 2Q =

• Tercer cuartil: el valor que ocuparía la posición 22 ( 75% de 28 21= ) es decir 3 4Q =

10.- Para pensar: De los siguientes números, ¿Cuál es un cuadrado perfecto?

98! 99! 98! 100! 99! 100! 99! 101! 100! 101!

(Aclaración: La expresión !n , representa el producto de todos los números menores o iguales a n . Por

ejemplo: 5! 5 4 3 2 1= )

• ( ) ( ) ( )2 2 2298! 99! 98! 99 98! 98! 99 98! 3 11 3 98! 11 = = = =

No es un cuadrado perfecto

• ( ) ( ) ( )2 2 22 2 298! 100! 98! 100 99 98! 98! 100 99 98! 2 5 3 11 2 3 5 98! 11 = = = =

No es un cuadrado perfecto

NÚMERO DE SUSPENSOS 0 1 2 3 4 5

NÚMERO DE ALUMNOS 10 4 5 2 4 3

FRECUENCIA ACUMULADA 10 14 19 21 25 28

• ( ) ( ) ( )2 2 22 299! 100! 99! 100 99! 99! 100 99! 2 5 2 5 99! = = = =

Sí es un cuadrado perfecto

• ( ) ( ) ( )2 2 22 299! 101! 99! 101 100 99! 99! 101 100 99! 101 2 5 2 5 99! 101 = = = =

No es un cuadrado perfecto

• ( )2

100! 101! 100! 101 100! 100! 101 = =

No es un cuadrado perfecto.

SEMANA DEL 27 DE ABRIL AL 3 DE MAYO

CURSO: 4º E.S.O. GRUPO: A+B+E

1.- Realiza las siguientes operaciones reducido lo máximo posible:

a) 3 33 3 3 36 2 18 6 18 12 3

30 12

3 4 9 12 3 9 6

64 9 6 2 3 1 2 3 1 2 2 3: : : : : : 2 3

27 16 18 33 2 3 2 3 3 3

− −− − − − − − − − −−

− − − − −

= = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2

4 6 2 4 6 10 4 6 2 4 6 2 2 4 6 2 4 6 10 10 − − + = − + − + + =

( )8 12 2 8 60 10 16 3 2 16 15 10 8 16 15 3= − + − − = − + − − = − − +

c) ( ) ( )5 5 8 6 9 5 35 5 9 5 40 5 30 45 9 3

8 6 25 3 2 228 6 5 3

+ + + ++ = + = + =

− −− −

55 40 55 30 45 9 3 110 10 55 30 45 9 3

22 22 22

+ + + + += + =

d) Desarrolla la siguiente expresión 53 6

53 6

2 2 2log log loga b

a b c dc d

= − =

( ) ( )53 6

2 2 2 2 2 2 2 2

6 1log log log log 3log log log log

5 2a b c d a b c d

= + − + = + − + =

2 2 2 2

6 13log log log log

5 2a b c d= + − −

2.- Opera y simplifica:

( )( ) ( )( )2 1 1 1 16 5 1 3 6 5 3 11 3

: : :1 1 2 1 1 2 1 2

x x x xx

x x x x x x x x

− + − +− − − − + = − + = + =

− − − − −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

3 1 1 22 3 1 122 3 22

1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x xx

xx x x x x x x x x x x

− + − + − +− −= + = + = =

− + − + − + − +

( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

2 2

22 3 1 25 3 3 3

1 1 1 1

x x x x x x x

x x x x x x

− + − − + − + − += =

− + − +

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4 22 6 4 0x x− + = Haciendo un cambio de variable y llamando 2t x= , se tiene 22 6 4 0t t− + =

( ) ( )2

2 1

2

6 22

6 6 4 2 44 6 36 32 6 4 6 2 4

6 22 2 2 4 4 41

4

tb b ac

ta

t

+= =− − − − − − −

= = = = = − = =

Deshacemos el cambio de variable 1

2

2 2

1 1 1

t x

t x

= =

= = =

b)

( ) ( )2

2 1

2

65 25 905

65 65 4 9 1004 65 4225 3600 65 625 65 25 18 18

65 25 40 202 2 9 18 18 18

18 18 9

xb b ac

xa

x

+= = =− − − − − − −

= = = = = − = = =

Comprobamos las soluciones:

• ¿? ¿? ¿?

3 5 5 5 10 15 5 10 10 10 − = − = = SÍ, por lo que 1 5x = sí es solución

• ¿? ¿? ¿? ¿?20 20 20 100 20 10 10

3 5 10 10 10 109 9 3 9 3 3 3

− = − = − = = NO, por lo que 2

20

9x =

no es solución

4.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2 24 20

12

x y

xy

− = −

= −

2 24 20

12

x y

xy

− = −

− =

Sustituimos

Suponiendo que 0y , quitamos los denominadores y tenemos una ecuación bicuadrada 4 2576 20y y− = − 4 220 576 0y y − − =

Hacemos un cambio de variable y llamamos 2t y= , por lo que 2 20 576 0t t− − =

( ) ( ) ( )2

2 1

2

20 5236

20 20 4 1 5764 20 400 2304 20 2704 20 52 2

20 522 2 1 2 2 216

2

tb b ac

ta

t

+= =− − − − −− − +

= = = = = − = = −

Deshacemos el cambio de variable y calculamos el valor de la otra incógnita:

( ) ( )2 2

2

2

3 5 10

5 10 3

5 10 3

5 100 60 9

9 65 100 0

x x

x x

x x

x x x

x x

− =

− = −

− = −

= − +

− + =

2

2

2

2

2

2

4 2

2 2 2

124 20

144 4 20

576 20

576 20

yy

yy

yy

y y

y y y

−− = −

− = −

− = −

−− =

6

1 6

2

12 126 2

636 36

12 126 2

6

16 16

x

x

y xy

t y

y xy

t y

=

=−

− −= → = = = −

= = − − = − → = = =

− = − = −

Por lo tanto las soluciones del sistema son: ( ) ( ), 2,6x y = − y ( ) ( ), 2, 6x y = −

5.- Tengo un rebaño de cabras. Si añado siete cabras, tengo menos que el triple de la cantidad inicial, pero

si solamente añado 5 cabras, tengo más que el doble de la cantidad inicial. ¿Cuántas cabras hay en mi

rebaño inicial?

Definimos :x número de cabras que hay en el rebaño inicial y tenemos que 7 3 (1)

5 2 (2)

x x x

x x

+

+

• 7

(1) 3 7 2 72

x x x x− → 7

,2

x

• (2) 2 5 5x x x− → ( ),5x −

Como el valor x debe cumplir ambas inecuaciones debe estar en la intersección

( )7 7

, ,5 ,52 2

x

− =

Como además es un número natural, la única posibilidad es que haya 4 cabras ( 7

,5 42

x

=

)

6.- Calcula el volumen de la siguiente figura:

• Altura del prisma de la base x → ( ) ( )26º 4 26º 1,95 4

xtg x tg dm= =

• El otro lado de la base y → ( )( )

1,95 1,9532º 3,12

32º

xtg y dm

y y tg= = =

• Altura de una de las caras laterales z → ( )( )

3,12 3,122 2 220º 4, 29

20º

y

tg z dmz z tg

= = =

• Altura de la pirámide h → 2 2 2 2 2 2 22 4,29 2 18,4 4z h h h= + = + = +

2 14,4 14,4 3,79 h h dm = =

Con los datos anteriores tenemos que el volumen es:

34 3,12 3,794 3,12 1,95 24,34 15,77 40,11

3 3

BASE

PRISMA BASEPIRÁMIDE

A hV V V A x dm

= + = + = + + =

7.- Si los vértices de un triángulo son ( )1,2A − , ( )4, 3B − y ( )0, 7C − escribe:

a) Las ecuaciones paramétricas de una de sus mediatrices

La mediatriz es la recta perpendicular por el punto medio de un lado. Calculamos la mediatriz del lado AB

( )( ) ( )

( )

1 4 2 3 3 1, ,

2 2 2 2

4 1 , 3 2 5, 5

5,5

ABM

AB

AB⊥

− + − − = =

= − − − − = −

=

Con el punto medio y el vector perpendicular al lado escribimos las

ecuaciones paramétricas de la mediatriz

35

2

15

2

x t

y t

= +

− = +

b) La ecuación continua de una de sus medianas

La mediana es la recta que pasa por el punto medio de un lado y el vértice opuesto. Calculamos la mediana

del lado AB

3 1,

2 2

3 1 3 130 , 7 ,

2 2 2 2

ABM

MC

− =

− = − − − = − −

Con el punto C y el vector MC escribimos la ecuación continua

la mediana 0 7

3 13

2 2

x y− +=

− −

c) La ecuación general de una de sus alturas

La mediana es la recta perpendicular l lado que pasa por el vértice opuesto. Calculamos la altura del lado

AB .

Con el punto C y el vector AB⊥ escribimos la ecuación general de la altura: 5 5 0x y k− + =

Como pasa por ( )0, 7C − , sustituyendo: ( )5 0 5 7 0 35k k − − + = = −

La ecuación es 5 5 35 0x y− − =

8.- En los datos siguientes: 2 3 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 9, añade otro para que:

a) y c) La mediana no varíe o aumente

La mediana actualmente es: 4Me = ( 2 3 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 9).

- Si queremos que se mantenga al introducir un nuevo valor, que junto con el 4 central formarán un

nuevo centro y tendremos que hacer la media de los dos, debemos introducir potro 4. ( 2 3 3

3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8 8 9).

- Si en cambio queremos que aumente, podemos meter cualquier valor mayor que 4.

b) y d) La media no cambie o sea 6

La media actualmente es: 2 3 4 4 3 5 6 2 7 8 2 9 75

515 15

x+ + + + + + +

= = = .

- Si queremos que se mantenga al introducir un nuevo valor, debemos introducir un 5.

- Si queremos que sea 6: 75

616

ax

+= = → 75 6 16a+ = → 96 75 21a = − =

9.- En una clase de 4º de la E.S.O. Hay 8 chicos y 12 chicas. De ellos,

5 chicos y 8 chicas llevan botas, y el resto zapatos. Eligiendo un

estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea chico y lleve

botas.

8 5 5 1

(CHICO Y BOTAS) 0,2520 8 20 4

P = = = =

10.- Para pensar: ¿Cuál es el valor de

2020 2020

5 1 5 1

2 2

+ −

?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20202020 2020

2020 2020 20202020

2020 2020 2020 2020 2020 2020

5 1 5 15 1 5 1 5 15 1 5 1 41

2 2 2 2 2 2 4 4

+ −+ − −+ − = = = = =