10 aplicaciones a la ingenieria

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

APLICACIONES A LA INGENIERÍA.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Aplicaciones a la Ingeniería

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 146

1.15.- APLICACIONES A LA INGENIERÍA.

92. [WM] La barra AB se somete a la acción de un par M y a dos fuerzas, cada una de las

cuales tiene una magnitud P.

Al derivar una ecuación en función de , P , M y l que se cumpla cuando la barra esté en

equilibrio se obtiene

lP

M sencos

Si se sabe que M = 150 N.m, P = 200 N y l = 0.6 m, determínese el valor de

correspondiente a la posición de equilibrio con 10–2

de precisión usando el algoritmo de

bisección.

93. [WM] Un collar B de peso W puede moverse libremente a lo largo de la barra vertical

mostrada en la figura. El resorte de constante k se encuentra sin deformar cuando 0 .

Al derivar una ecuación en términos de , W , k y l que se cumpla cuando el collar esté

en equilibrio se obtiene lk

W sentan . Sabiendo que 300W N, 500l mm y

800k N/m, determínese el valor de correspondiente a la posición de equilibrio con

410 de precisión usando el algoritmo de la secante.



94. [WM] Una barra delgada AB de peso W se une a los bloques A y B que se mueven

libremente sobre las guías mostradas en la figura. El resorte de constante k se encuentra sin

deformar cuando 0 . Sin tomar el peso de los bloques, al derivar una ecuación en

términos de W , k , l y que se cumpla cuando la barra esté en equilibrio se obtiene

lk

W

2tan)cos1( . Determínese el valor de con 10

–6 de precisión usando el

algoritmo de la secante cuando 75W lb, 30l in y 3k lb/in.

95. [WM] Una fuerza vertical P = 10 libras se aplica en los extremos de la cuerda AB, de 2

pies de longitud, y al resorte AC (k = 15 libras/pie). Si éste tiene una longitud sin estirar de

2 pies, para determinar en ángulo para el equilibrio se requiere resolver la ecuación

2sencos45)1cos45(3

sen )1cos45(3cos45tan

.



Comente la aplicación de los métodos numéricos estudiados para resolver dicha ecuación.

96. [CC] El desplazamiento de una estructura está definido por la siguiente ecuación para

una vibración amortiguada:

tey tk cos8

donde 5.0k y 3 . a) Utilice el método gráfico para realizar una primera estimación

del tiempo requerido para que el desplazamiento disminuya a 4. b) Use el método de

Newton – Raphson para calcular la raíz con %01.0s . c) Con el método de la secante

determine la raíz al %01.0s .

97. [CC] La fórmula que define la fuerza por unidad de área, AP / , que causa un máximo

esfuerzo m en una columna que tiene una relación de esbeltez rLe / es:

r

L

AE

Prce

A

P

e

m

5.0sec)/(1 2

Si kPa 200000E , 2.0/ 2 rce y kPa 250m , calcule AP / para 100/ rLe .

Recuerde que x

xcos

1sec .

98. [CC] Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no están en la misma

línea verticual. El cable no está sujeto a otras cargas más que a su propio peso. Así que su

peso w (N/m) actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.

AT y BT son las fuerzas de tensión en sus extremos. Considerando los equilibrios de fuerzas



horizontal y vertical, se puede obtener el siguiente modelo de ecuación diferencial del

cable:

2

2

2

1

xd

yd

T

w

xd

yd

A

El cálculo se utiliza para resolver esta ecuación para la altura y en función de la distancia x.

w

Tyx

T

w

w

Ty A

A

A

0cosh

donde el coseno hiperbólico se calcula por

)(cosh 21 xx eex

a) Con un método numérico calcule un valor para el parámetro AT los valores de los

parámetros 10w y 50 y , de tal forma que el cable tenga una altura de 15y para

50x .

b) Determine la localización de la altura mínima para el caso descrito en el inciso a).

99. [CC] Sea una viga uniforme sujeta a una carga distribuida creciente linealmente. La

ecuación para calcular la curva elástica resultante es

)2(120

43250 xLxLxLIE

wy

Utilice el método de bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir, el

valor de x donde 0/ xdyd ). Después, sustituya este valor en la ecuación dada para

determinar el valor de máxima deflexión. Use los siguientes valores de los parámetros en

sus cálculos: cm 450L , 2kN/cm 50000E , 4cm 30000I y kN/cm 75.10 w .

100. [CC] Los sistemas mecánicos reales llegan a involucrar la deflexión de resortes no

lineales. Una masa m se suelta desde una distancia h sobre un resorte no lineal. La fuerza de

resistencia F del resorte está dada por

)( 23

21 dkdkF

Con la conservación de la energía se demuestra que

hgmdgmdkdk 2

121

252 2

5

0



Encuentre d, dados los siguientes valores de los parámetros: 2

1 g/s 40000k ,

52

2 .mg/s 40k , g 95m , 2m/s 8.9g y m 43.0h .

101. [CC] Los ingenieros en aeronáutica suelen calcular las trayectorias de proyectiles

como los cohetes. Un problema relacionado con dicho tema es la descripción de la

trayectoria de una pelota. La trayectoria se puede modelar como

8.1cos2

)(tan 2

0

22

0

0 xv

gxy

Encuentre el ángulo inicial apropiado 0 si m/s 200 v y la distancia a la segunda base es

de 40 m. Considere que la pelota sale de la mano del jugador a una altura de 1.8 m y que el

jugador de segunda base recibe la pelota a una altura de un metro. 2m/s 8.9g .

102. [CC] La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la siguiente fórmula

tgtqm

muv

0

0ln

donde v = velocidad hacia arriba, u = la velocidad con la que el combustible sale del

cohete, 0m = masa inicial del cohete en el tiempo 0t , q = el consumo de combustible y g

= la aceleración hacia abajo debida a la gravedad (considere la gravedad constante = 9.8

m/s2). Si m/s 2200u , kg 1600000 m y kg/s 2680q , calcule el tiempo en que

m/s 1000v . (Sugerencia: t está entre 10 y 50 segundos.) Determine el resultado dentro

del 1% del valor verdadero. Compruebe su respuesta.

103. [BF] Una partícula parte del reposo sobre un plano inclinado uniforme, cuyo ángulo

cambia con una rapidez constante de

0

td

d

Al final de t segundos, la posición del objeto está dada por

teeg

txtt

sen 22

)(2



Suponga que la partícula se desplazó 1.7 pies en 1 s. Encuentre, con una exactitud de 510 ,

la rapidez con que cambia. Suponga que 2pies/s 17.32g .

104. [BF] Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa y

también a la fuerza de gravedad. Suponga que dejamos caer un objeto de masa m desde una

altura 0s y que la altura del objeto después de t segundos es

)1()(2

2

0

tmk

ek

gmt

k

gmsts

donde 2pies/s 17.32g y k representa el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/pies.

Suponga que pies 3000 s , lb 25.0m , y que s/pies-lb 1.0k . Calcule, con una

exactitud de 0.01 s, el tiempo que tarda este peso de un cuarto de libra en caer al suelo.

105. [SN] El coeficiente de la fricción f para el flujo turbulento en un tubo está dado por

fDf Re

35.9log0.214.1

110

(Correlación de Colebrook).

donde Re es el número de Reynolds, es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el

diámetro del tubo. a) Resuelva esta ecuación en términos de f, utilizando el método de

sustitución sucesiva para los siguientes casos:

a) D = 0.1 m, 0025.0 , 4103Re .

b) D = 0.1 m, 0001.0 , 6105Re .

(Sugerencia: primero reescriba la ecuación en la siguiente forma:

2

10Re

35.9log0.214.1

fDf

Introduzca una estimación inicial para f en el lado derecho. Reintroduzca de nuevo la f

calculada en el lado derecho y repita esta iteración hasta que f converja. Los resultados de

estos cálculos se pueden verificar con una tabla de Moody que se puede encontrar en

cualquier libro usual de mecánica de fluidos.

Sistemas eléctricos.

106. [CC] Una corriente alterna en un circuito eléctrico se describe mediante



)(2sen 9 teI t

donde t está en segundos. Determine todos los valores de t tales que 5.3I .

107. [CC] La resistividad de un silicón revestido depende de la carga q en un electrón, la

densidad del electrón n y la movilidad del electrón . La densidad del electrón está dada

en términos de la densidad de revestimiento N y la densidad portadora intrínseca in . La

movilidad del electrón está definida por la temperatura T, la temperatura de referencia 0T y

la movilidad de referencia 0 . Las ecuaciones necesarias para calcular la resistividad son

nq

1

donde

)4( 22

21

inNNn y

42.2

0

0

T

T

Determine N, dados K 3000 T , K 1000T , 12

0 (V.s)cm 1330 , C106.1 19q ,

39cm1021.6 in , y una resistividad deseada cm/C s V106 6 . Use los métodos a) de

bisección y b) de la secante.

108. [CC] Una carga total Q se distribuye en forma uniforme alrededor de un conductor con

forma de anillo circular con radio a. Una carga q se localiza a una distancia x del centro del

anillo (Figura). La fuerza ejercida sobre la carga por el anillo está dada por

23

)(4

122

0 ax

xQqF

donde 2212

0 /N.mC1085.8 . Encuentre la distancia x donde la fuerza es de 1 N si q y Q

son C102 5 para un anillo con un radio de 0.8 m.



109. [CC] Sea un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor en paralelo. Las reglas

de Kirchhoff sirven para expresar la impedancia del sistema como

2

2

111

LC

RZ

donde Z = impedancia ( ) y la frecuencia angular. Encuentre para que la

impedancia resultante sea de 100 , usando los métodos de bisección y de la falsa

posición con los valores iniciales de 1 y 1000 para los siguientes parámetros: 225R ,

F106.0 6C y H5.0L .

Sistemas Químicos.

110. [CC] Los ingenieros mecánicos, así como los demás ingenieros, usan la

termodinámica en su trabajo. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor

específico a presión cero del aire seco, kJ/kg.K pc , con la temperatura:

414311284 109520.1105838.9107215.910671.199403.0 TTTTcp

Determine la temperatura que corresponda a un calor específico de kJ/kg.K .21 .

111. [CC] La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un

reactor donde se tiene una mezcla completa:

tt

ent ececC 04.0

0

04.0 )1(

Si la concentración inicial es 40 c y la concentración de entrada es 10entc , calcule el

tiempo requerido para que C sea el 93% de entc .

Q

a

x



112. [CC] En un proceso de ingeniería química el vapor de agua (H2O) se calienta a

temperaturas lo suficientemente altas para que una porción significativa del agua se disocie,

o se rompa, para formar oxígeno (O2) e hidrógeno (H2):

H2O → H2 + ½ O2

Si se asume que ésta es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar x de agua

que se disocia se representa por

x

p

x

xK t

2

2

1

donde K = la constante de equilibrio de la reacción y tp = la presión total de la mezcla. Si

atm 3tp y 05.0K , determine el valor de x que satisfaga la ecuación.

113. [CC] Una reacción química reversible

CBA 2

se caracteriza por la relación de equilibrio

ba

c

cc

cK

2

donde la nomenclatura nc , representa la concentración del componente N. Suponga que se

define una variable x que representa el número de moles de C producido. La conservación

de la masa se utiliza para reformular la relación de equilibrio como

)()2( 0,

2

0,

0,

xcxc

xcK

ba

c

donde el subíndice 0 indica la concentración inicial de cada componente. Si 015.0K ,

420, ac , 300, bc y 40, cc , calcule x.

114. [CC] La ecuación de estado de Redlich – Kwong está dada por

Tbvv

a

bv

TRp

)(

donde R = constante universal de los gases ( kJ/kg.K 518.0R ), T = Temperatura absoluta

(K), p = presión absoluta (kPa) y v = volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parámetros a y

b se calculan mediante



c

c

p

TRa

5.22

427.0 c

c

p

TRb 0866.0

donde kPa 4600cp y K 191cT . Como ingeniero químico, se le pide determinar la

cantidad de combustible metano que se puede almacenar en un tanque de 3 m3 a una

temperatura de –40ºC con una presión de 65000 kPa. Emplee el método de localización de

raíces de su elección para calcular v y luego determine la masa de metano contenida en el

tanque.

115. [WM] Calcular el volumen que ocupa un mol de metano a 0°C y 50 atm utilizando la

ecuación de estado de Van der Waals

TRnbnVV

anP

)(

2

2

Para el metano

2

2

mol

atm.L25.2a ,

mol

L0428.0b . La constante universal de los gases

es

Kmol

L.atm082057.0R

La ecuación de Van der Waals se puede escribir del modo siguiente

bnVnaP

TRV

)/( 22

El valor de V obtenido con la ecuación de los gases ideales

TRnVP

se sustituye en el lado derecho de esta ecuación, calculando un valor aproximado de V

(aproximación inicial). Este valor se sustituye nuevamente en el lado derecho de la

ecuación para obtener un valor de V aún más exacto. Este proceso se continua hasta que el

valor calculado de V sea esencialmente el mismo que el utilizado en la sustitución del lado

derecho de la ecuación.

Identifique este método. Resuelva la ecuación de Van der Waals con una exactitud de 10–4

aplicando el método indicado.



116. [SN] Una masa de 1 kg de CO está contenido en un recipiente a K 215T y

bars 70P . Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado de Van der Waals

para un gas no ideal, dada por

TRbVV

aP

)(

2

donde kgmol.K

bar.m08314.0

3

R , 2

6

(kgmol)

bar.m463.1a y

kgmol

m0394.0

3

b . Determine el

volumen específico v (en m3/kg) y compare los resultados con el volumen calculado por la

ecuación del gas ideal, TRvP .

117. [BF] En un artículo titulado “Holdup and Axial Mixing in Bubble Columns

Containing Screen Cylinders”, B. H. Chen calcula el gas atrapado en una columna de

burbujas gas – líquido aproximando primero la cantidad

1

22

22 2exp

2

sen2

n

n

n

nn t

M

MSM

MMS

SS

(1)

donde t y M son parámetros físicos y las nS son los valores más pequeños (en magnitud)

que satisfacen

MS

S nn

2tan , cuando n es impar, y

MS

S nn

2cot , cuando n es par.

a) Suponiendo que 7.3M , encuentre 1S , 2S , 3S y 4S .

b) Use los resultados de la parte a) para aproximar la suma en la ecuación (1), cuando 0t

.

118. [CC] La ecuación de Ergun, que se da abajo, sirve para describir el flujo de un líquido

a través de un lecho empacado. P es la caída de presión, es la densidad del fluido, 0G

es la velocidad másica (el cociente del flujo de masa dividido entre el área de la sección

transversal), pD es el diámetro de partículas dentro del lecho, es la viscosidad del

fluido, L es la longitud del lecho y es la fracción vacía del lecho.



75.1)1(

150)1( 0

2

2

0

GDL

D

G

p

p

p

Dados los siguientes valores para los parámetros encuentre la fracción vacía del lecho.

10000

GDp

102

0

LG

Dp p

119. [CC] El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio

r y longitud L está relacionado con la profundidad del líquido h por

Lhhrhrr

hrrV

212 2)(cos

Determine h para m 2r , m 5L y 3m 8V . Observe que si usted utiliza un lenguaje

de programación o herramienta de software, el arco coseno se puede calcular como

2

11

1tan

2cos

x

xx

120. [BF] Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de

semicírculo con radio r. Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior,

el volumen de agua V es

2

1

)(sen 22122

21 hrh

r

hrrLV

Suponga que pies 10L , pie 1r , y que 3pies 4.12V . Determine la profundidad del

agua en el abrevadero.

121. [CC] El volumen V del líquido contenido en un tanque esférico da radio r está

relacionado con la profundidad h del líquido por

3

)3(2 hrhV

Determine h para m 1r y 3m 5.0V .



122. [CC] Para el tanque esférico del problema anterior, es posible desarrollar las siguientes

fórmulas para el método de punto fijo:

r

Vhh

3

33

y 3

23

Vhrh

Si m 1r y 3m 5.0V , determine si cualquiera de las dos alturas es estable, y el rango de

valores iniciales para los que sí son estables.

Sistemas ambientales.

123. [CC] En ingeniería ambiental (un área especial de la ingeniería civil), la siguiente

ecuación sirve para calcular el nivel de oxígeno en un río aguas abajo desde una descarga

de aguas residuales:

)(2010 75.02.0 xx eeC

donde x es la distancia aguas abajo en kilómetros. Determine la distancia aguas debajo

donde el nivel de oxígeno se encuentra a una lectura de 5. (Sugerencia: Este valor está

dentro de los 2 km de la descarga.) Determine la respuesta con un 1% de error.

124. [CC] La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo

con la relación

tt eec 075.05.1 2570

Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando

a) el método gráfico y b) el método de Newton – Raphson.

125. [CC] En ingeniería marítima, la ecuación de una ola estacionaria reflejada en un

puerto está dada por 16 , 12t , 48v :

xe

vtxhh

2cos

2sen 0

Encuentre el valor positivo más bajo de x si 04.0 hh .

Sistemas Térmicos.

126. [WM] Un tubo de acero de D diámetro nominal cuya superficie exterior a iT se coloca

en aire inmóvil a 0T con el coeficiente de transferencia convectiva de calor entre la

superficie del tubo y el aire igual a h se sugiere agregar aislante de magnesio de 85% a las



superficie exterior del tubo para reducir la pérdida de calor. ¿Qué espesor de aislante (

12 DD ) se requiere para reducir la pérdida de calor a una fracción del original si la

temperatura de la superficie del tubo y el coeficiente de transferencia convectiva de calor

permanecen constantes?

La ecuación que rige este fenómeno es

hDk

DD

TTTTDh i

i

2

12

00

2

1 1

2

)/(ln)]([

Pasando a un lado de la ecuación todos los términos que involucran a 2D y simplificando

al máximo se obtiene:

121

2 11ln

2 DDD

D

k

h

Determinar el espesor del aislante exacto a 10–4

, usando el método de Newton con

ft2.02 D como aproximación inicial y los siguientes datos:

Ffth

Btu5.1

2 h

Ffth

Btu041.0

k

in1D ( ft0.10951 D ).

Tecnología Automotriz.

127. [BF] En el diseño de vehículos, es necesario considerar las fallas del vehículo cuando

intenta pasar por dos tipos de obstáculos. Un tipo de falla es la llamada falla de colgado, la

cual ocurre típicamente cuando un vehículo trata de cruzar un obstáculo que causa que la

parte interior del vehículo toque el suelo (o el obstáculo). El otro tipo de falla se llama falla

de frente y ocurre comúnmente cuando el vehículo desciende en una zanja y su frente toca

el suelo.

La siguiente figura muestra las componentes asociadas con la falla de frente de un vehículo.



En esa referencia se demuestra que el ángulo máximo , que un vehículo puede tener

cuando es el ángulo máximo en que la falla de colgado no ocurre, satisface la ecuación

0sencossencossen 2 ECBA , donde

1sen lA 1cos lB

11 tan5.0sen )5.0( DDhC DDhE 5.0cos)5.0( 1

a) Se enuncia que cuando 89l , 49h , 55D y 5.111 , el ángulo es

aproximadamente 33°. Verifique este resultado.

b) Encuentre para la situación en la que l , h y 1 son los mismos que en la parte a)

pero 30D .

Ingeniería económica.

128. [CC] Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $20000 al contado y en pagos de

4000 al año durante 6 años, ¿qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que relaciona

el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de interés i es

1)1(

)1(

n

n

i

iiPA

129. [BF] El valor acumulado de una cuenta de ahorros que se basa en pagos periódicos

puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida

]1)1[( nii

PA

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita

periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un



ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de 750000 dólares al

momento de retirarse dentro de 20 años y puede depositar 1500 dólares mensuales para

lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la tasa mínima de interés a que puede invertirse ese dinero,

suponiendo que es un interés compuesto mensual? [Sugerencia: Con el objeto de calcular la

tasa de interés mensual, el número de periodos debe trabajarse en meses.]

130. [BF] Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa

durante un periodo fijo de tiempo requieren la fórmula

])1(1[ nii

PA

Denominada ecuación de la anualidad ordinaria. En esta ecuación, A es el importe de la

hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos.

Supongamos que se necesita una hipoteca de 135000 dólares por una casa a 30 años y que

los pagos máximos que puede realizar el cliente son de 1000 dólares mensuales. ¿Cuál será

el interés más alto que puede pagar? [Sugerencia: Con el objeto de calcular la tasa de

interés mensual, el número de periodos debe trabajarse en meses.]



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.14.- APLICACIONES A LA INGENIERÍA.

92. 72720931184.1 93. 31143462612.0

94. 178675292550.0 95. 946106352377.0

96. 3151660803.0t 97. 944935041.138/ AP

98. 32436036.1266AT

99. 246117975.201x , 861070103270.0max y

100. 021666247790.0d 101. 086331600893.0

102. 9423929822.25t 103. 373170617745.0

104. 3773378749.5t 106. nt 72248800338.2 , ,...2,1,0n

107. 191335715.72 , 5.51442924772n , 5.11175661359N

108. 46060610557.1x 109. 020156388.220

110. 00975084.1126T 111. 7108603291.53t

112. 4850282494411.0x 113. 0928783417.16x

114. 5577831974.12a , 9130018626153.0b , 15.233T , 57030028084086.0v ,

71090084252259.0m

115. Método iterativo de punto fijo. 15.273T , 6680579680155.0V

117. a) 52292828990.71 S , 55146866523.42 S , 52292828990.73 S ,

55146866523.44 S , b) –4.33552896998.

118. 653472949046.0 119. 557400152180.0h

120. 61661660346.0h 121. 424311206651.0h

122. La primera ecuación es inestable para cualquier h inicial. La segunda ecuación es

estable para cualquier h inicial, pero no conduce a la raíz físicamente aceptable del

problema. 4932.94494628h .

123. 626023554643.0x 124. 6220167724.13t

125. 0166121795.1x

127. a) 935754730121.0 ; b) 445789065809.0

128. 59998928211.4i 129. 050055507819.0i

130. 5930067499171.0i



BIBLIOGRAFÍA.

BEER, F., E. R. JOHNSTON, D. F. MAZUREK y E. R. EISENBERG, Mecánica vectorial

para ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V,

México, 2007.

BEER, F., E. R. JOHNSTON, D. F. MAZUREK y E. R. EISENBERG, Mecánica vectorial

para ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V,

México, 2010.

BEER, F., E. R. JOHNSTON y D. F. MAZUREK, Mecánica vectorial para ingenieros.

Estática, 10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

CHAPRA, S. C., y CANALE, R. P, Métodos Numéricos para Ingenieros, 4a ed., McGraw-

Hill Interamericana de Editores, S.A. de C.V, México, 2003; 969 pp.

CHAPRA, S. C., y CANALE, R. P, Métodos Numéricos para Ingenieros, 5a ed., McGraw-

Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V, México, 2007; 969 pp.

FAIRES, J. D., y R. L. BURDEN, Análisis Numérico, 2a ed., Grupo Editorial

Iberoamericana, S.A. de C.V, México, 1985; 721 pp.

FAIRES, J. D., y R. L. BURDEN, Análisis Numérico, 7a ed., International Thomson

Editores, S.A. de C.V, México, 2002; 839 pp.

NAKAMURA, S, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall

Hispanoamericana, S.A., México, 1992; 570 pp.

HIBBELER, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education

de México, S.A de C.V. México, 2004.

HIBBELER, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education

de México, S.A de C.V. México, 2010.

10 aplicaciones a la ingenieria

Education

Transcript of 10 aplicaciones a la ingenieria