10-Problemas de campo.docx

7/23/2019 10-Problemas de campo.docx

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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Delta

Teórico deCÁLCULO AVANZADO

20!

Te"a# $RO%L&'A( D& CA'$O

O)*etivos de a+rendi,a*e•

Germán BRESCIANO



10 PROBLEMAS DE CAMPO......................................................................................................10-1

10.1 SISTEMAS DISCRETOS. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ........................................................10-110.1.1 Sistemas discretos................................................................................................ ......... ...10-1

10.1.2 Ecuaciones elementales............................................................................................... ....10-1

10.1.3 Ensamblado del sistema global........................................................................................10-2

10.1.4 Elementos discretos usuales.............................................................................................10-2

10.1.4.1 Elemento barra...................................................................................................................... 10-210.1.4.2 Elemento v!a....................................................................................................................... 10-"

10.2 SISTEMAS CO#TI#$OS. %ORM$LACI&# 'ARIACIO#AL............................................................10-1010.2.1 Variación de un funcional (unidimensional)............................................................. .....10-11

10.2.2 Variación de un funcional (vectorial).................................................................... ........10-13

10.2.3 Variación de un funcional (orden suerior)...................................................................10-13

10.2.4 !ondiciones de contorno...................................................................................... .........10-13

10.2." Variación de un funcional (varias variables).................................................................10-14

10.2.# Variación de un funcional (varias variables sin cond. de $iric%let en arte de Γ ).......10-1"

10.2.& 'todos de resolución........................................................................................ .......... .10-1# 10.2.(.1 M)to*o *e *+eren,a +nta...............................................................................................10-110.2.(.2 M)to*o *e elemento +nto................................................................................................10-1(

10./ I #TEROLACI&# OR %$#CIO#ES OLI#OMIALES A TROZOS...................................................10-1(

10.3.1 ormas...........................................................................................................................10-1& 10.3.2 !aso una variable * grado 1 (oligonales)...................................................................10-1&

10.3.3 !aso una variable grado +.............................................................................................10-1,10././.1 Interola,n *e La!ran!e...................................................................................................10-1"10././.2 Interola,n a tro3o..........................................................................................................10-1

10.3.4 roiedades de la interolación.................................................................................. ..10-1

10.3." Error de interolación............................................................................................. ......10-1

10.3.# asa/e a norma 2..........................................................................................................10-2010./..1 Teorema *e Sobolev 5en 6na varable7.................................................................................10-2010./..2 roe*a* / ara norma L2..................................................................................................10-2010./../ roe*a* 2 ara norma L2 5Lema 8ramble 9lbert7...........................................................10-2110./..4 Error *e nterola,n en norma L2......................................................................................10-21

10.3.& !aso 2 variables - interolación en el lano.................................................................10-2210./.(.1 art,one tran!6lare.......................................................................................................10-2210./.(.2 art,one re,tan!6lare.....................................................................................................10-24

10.3., !aso 3 variables - interolación en el esacio..............................................................10-24

10.3. Error de interolación............................................................................................. ......10-2"10./..1 Teorema *e Sobolev............................................................................................................10-2:10./..2 Lema 8ramble 9lbert.........................................................................................................10-2:10./../ roe*a* /......................................................................................................................... 10-2:10./..4 A,ota,n *el error..............................................................................................................10-2

10.4 MÉTODOS DE ELEME#TOS %I#ITOS.........................................................................................10-2"10.4.1 roiedades de .................................................................................................... .......10-2

10.4.1.1 E;emlo 51 varable7............................................................................................................10-210.4.2 !lculo de la matri ....................................................................................................10-31

10.4.2.1 Matr,e elementale...........................................................................................................10-/110.4.3 !lculo del vector f........................................................................................................10-32

10.4./.1 'e,tore elementale...........................................................................................................10-//10.4.4 Ensamblado del sistema global......................................................................................10-33

10.: CO#DICIO#ES DE CO#TOR#O..................................................................................................10-/410.".1 !ondiciones de $iric%let...................................................................................... .........10-34

10.".2 !ondiciones de emann............................................................................................. .10-3410.:.2.1 E;emlo 52 'arable7..........................................................................................................10-/4

10. ELEME#TOS $S$ALES.............................................................................................................10-/"10.#.1 Elementos unidimensionales..........................................................................................10-3

10..1.1 %6n,one *e +orma lo,ale < !lobale................................................................................10-/10.#.2 Elementos bidimensionales............................................................................................10-40

10..2.1 Elemento tran!6lare........................................................................................................10-4010..2.2 Elemento ,6a*rl=tero.......................................................................................................10-4010..2./ %6n,one *e +orma lo,ale < !lobale................................................................................10-40

10.#.3 Elementos tridimensionales................................................................................... ........10-41

10.( I #TEGRACI&# #$MÉRICA........................................................................................................10-4110." CO#'ERGE#CIA DEL MÉTODO DE ELEME#TOS %I#ITOS..........................................................10-42



10.,.1 !aso 1 variable..............................................................................................................10-4210.".1.1 A,ota,n *e ∥6-6>∥............................................................................................................ 10-4/

10.,.2 !aso varias variables.....................................................................................................10-44

10. MÉTODO DE LOS RESID$OS O#DERADOS..............................................................................10-4410.10 MÉTODOS #O CO#%ORMES..................................................................................................10-4:

10.10.1 E/emlo (1 variable)..................................................................................................10-4"

10.10.2 E/emlo (varias variables).........................................................................................10-4# 10.10.3 atc% test....................................................................................................................10-4&

10.10.4 !onvergencia.............................................................................................................10-4&

10.11 MÉTODOS MI?TOS...............................................................................................................10-4"10.11.1 E/emlo - Ecuaciones de avier-So+es......................................................................10-4,

10.11.1.1 Aro@ma,n or elemento +nto *e 1............................................................................10-:010.11.1.2 Cao ,onver!en,a *e or*en 1.............................................................................................10-:1

10.12 I #TEGRACI&# RED$CIDA....................................................................................................10-:/10.1/ SISTEMAS #O E# RÉGIME#..................................................................................................10-:/

10.13.1 roblemas arabólicos..............................................................................................10-"310.1/.1.1 E;emlo - E,6a,n *el ,alor...............................................................................................10-:/



$ro)le"as de ca"+o

10 Problemas de campo

10.1 Sistemas discretos. Método directo de la rigidez

Antes de estudiar los +ro)le"as de ca"+o vere"os un "-todo de resolución +ara siste"as

discretos cu.a "etodolog/a de clculo es la )ase del "-todo de ele"entos 1initos

0 (iste"as discretosLos siste"as discretos son siste"as 1/sicos co"+uestos +or ele"entos discretos )ien de1inidosinterconectados entre s/Dos e*e"+los de siste"as discretos son las estructuras de )arras . circuitos el-ctricos&l estado de cada uno de estos ele"entos +uede re+resentarse +or el valor de varia)les deestado en una cantidad 1inita de nodos . estos valores se relacionan entre s/ . con lascondiciones del entorno o de aco+le con los otros ele"entos "ediante un siste"a deecuaciones conocido lla"ado ley de gobierno del elemento&n una estructura de )arras la le. de go)ierno de cada )arra relaciona el des+la,a"iento desus e3tre"os con la tensión en la )arra&n un circuito el-ctrico la le. de go)ierno de cada co"+onente el-ctrico relaciona el volta*e ensus e3tre"os con la corriente 4ue +asa +or el co"+onente&n cada nodo se cu"+le una condición de compatibilidad 5 4ue i"+lica 4ue ciertas varia)les deestado de todos los ele"entos conectados a ese nodo de)en tener el "is"o valor 6escalar ovectorial7&n una estructura de )arras la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue losdes+la,a"ientos de todas las )arras conectadas sean iguales&n un circuito el-ctrico la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue los volta*es de todoslos co"+onentes conectados sean iguales en ese nodoTa")i-n de cu"+le una condición de equilibrio5 4ue +uede ser una ecuación escalar o vectorial4ue relaciona las varia)les de cada ele"ento conectado a ese nodo con cargas e3ternasa+licadas al nodo La condición de e4uili)rio suele ser 4ue la su"a 6escalar o vectorial7 de lasvaria)les de)e ser nula&n una estructura de )arras la condición de e4uili)rio en un nodo es 4ue la su"a de todas lastensiones "s las cargas e3ternas a+licadas al nodo de)e ser nula&n un circuito el-ctrico la condición de co"+ati)ilidad en un nodo es 4ue la su"a alge)raica delas corrientes entrantes de los co"+onentes conectados es igual a la corriente e3terna 4ueingresa al nodo

02 &cuaciones ele"entalesUsual"ente la le. de go)ierno de cada ele"ento +uede e3+resarse co"o un siste"a deecuaciones lineales de la 1or"a

A( e )

u( e )= F

( e )

(e de1ine un vector glo)al de varia)les u con una o "s co"+onente +or nodo6de+endiendo del ti+o de +ro)le"a7 . las condiciones de co"+ati)ilidad i"+lican 4ue ciertas

co"+onentes del vector u(e )

6

7 de cada ele"ento conectado a un nodo son iguales entre s/. su valores co"unes de1inen a las co"+onentes de u corres+ondientes a ese nodoTa")i-n se de1ine un vector glo)al F con una o "s co"+onentes +or nodo co"o la su"a

6alge)raica o vectorial seg8n el +ro)le"a7 de las co"+onentes del vector F ( e ) 627

6corres+ondientes a ese nodo7 de cada ele"ento conectado al nodo . la condición de e4uili)rioi"+lica 4ue de)e ser igual a la carga e3terna a+licada al nodo

Cuando las co"+onentes de u(e ) corres+onden a "agnitudes vectoriales en el siste"a de

re1erencia estndar del ele"ento5 de)en +asarse al siste"a de re1erencia glo)al "ediantetrans1or"aciones de rotación de coordenadas +ara o)tener las varia)les 4ue de)en ser iguales+or la condición de co"+ati)ilidad2 Cuando las co"+onentes de F

( e ) corres+onden a "agnitudes vectoriales en el siste"a de re1erencia estndar

del ele"ento5 de)en +asarse al siste"a de re1erencia glo)al "ediante trans1or"aciones de rotación de coordenadas+ara o)tener las varia)les 4ue de)en su"arse en la condición de e4uili)rio



$ro)le"as de ca"+o 9

(e +uede as/ esta)lecer 4ue los vectores glo)ales u . F se relacionan seg8n unsiste"a glo)al de la 1or"a

A u= F :ue resu"e las ecuaciones ele"entales5 las condiciones de co"+ati)ilidad . las de e4uili)rio&l siste"a tiene tantas varia)les . ecuaciones co"o la cantidad de nodos +or los grados delibertad por nodo5 4ue es la cantidad de varia)les de estado inde+endientes en cada nodo

&n un circuito el-ctrico ;a. un solo grado de li)ertad +or nodo 6el volta*e7&n un siste"a de )arras 2D ;a. 2 grados de li)ertad +or nodo 6des+la,a"iento a3ial . lateral7&n un siste"a de vigas 2D ;a. 9 grados de li)ertad +or nodo 6des+la,a"iento a3ial . lateral .ngulo de 1le3ión7

09 &nsa")lado del siste"a glo)al&l +roceso de o)tener la "atri, A . el vector F a +artir de las "atrices . vectores ele"entalesde cada ele"ento5 su"ando cada coe1iciente en la 1ila . colu"na corres+ondiente de la matri global y el !ector global se lla"a ensa")lado del siste"a glo)alUsual"ente los nodos de un ele"ento tienen una nu"eración local 64ue indica su n8"erodentro del ele"ento7 . una nu"eración glo)al 64ue indica su n8"ero 8nico en el siste"aglo)al7

Las "atrices ele"entales tienen tantas 1ilas . colu"nas co"o grados de li)ertad tenga elele"entoUna ve, o)tenidas las "atricesele"entales5 +ara ensa")lar la"atri, glo)al de)e"os su"ar cadacoe1iciente 6cu.os su)/ndices ennu"eración local5 i . *5corres+onden a un +ar de nodosdel ele"ento7 en la 1ilacorres+ondiente a la nu"eraciónglo)al del nodo i . la colu"nacorres+ondiente a la nu"eraciónglo)al del nodo *

$ara ensa")lar el vector F se +rocede en 1or"a si"ilar5 su"ando +ara cada coe1iciente delvector F ( e ) de cada ele"ento 64ue corres+onde a un nodo del ele"ento7 en la 1ila

corres+ondiente a la nu"eración glo)al del nodo Luego se de)e tener en cuenta la condiciónde e4uili)rio del nodo 4ue usual"ente i"+lica 4ue la su"a es igual a la carga e3terna a+licadaal nodo

0< &le"entos discretos usuales&ste "-todo suele a+licarse a ele"entos con geo"etr/a unidi"ensional +ero 4ue 1or"anestructuras )idi"ensionales o tridi"ensionales

"#$"$%$" Elemento barra

&n estos ele"entos ;a. un solo gradoio de li)ertad +or nodo $uede tratarse de

• %arras con carga a3ial• Resortes con carga a3ial• &le"entos de circuito el-ctrico• Tra"o de ca=er/a de circuito ;idrulico• Conductor de calor unidi"ensional

&l estado de cada ele"ento 4ueda de1inido +or el des+la,a"iento en cada e3tre"o Las"atrices ele"entales en coordenadas locales son de 232&n el caso de las )arras . resortes la varia)le de estado es el des+la,a"iento5 4ue esunidi"ensional en el siste"a de coordenadas local5 +ero es vectorial en el siste"a decoordenadas glo)al .a 4ue el alarga"iento tendr la dirección del ele"ento La ecuación dee4uili)rio en cada nodo ser vectorial 62D o 9D7 +ues de+ende de la geo"etr/a en la 4ue estndis+uestos los ele"entos

Las "atrices ele"entales en coordenadas glo)ales son de <3< 62D7 o >3> 69D7&n los otros casos la geo"etr/a es irrelevante +ues la condición de e4uili)rio de cada nodo esescalar 6su"a de 1lu*os nula7



$ro)le"as de ca"+o !

Ejemplo

Deter"inar los volta*es en cada nodo del circuitoR ? 0 Ω

R2 ? 9 Ω

R9 ? 2 Ω

R< ? @ ΩR! ? 2 Ω

R> ? ! Ω

R@ ? < Ω

R ? B Ω

V> ? 2V2 ? 0A

Cada nodo tiene una nu"eración glo)al 6en verde7 . unanu"eración local 6en a"arillo7 4ue indica su n8"ero dentro

del ele"ento

$ri"ero de)e"os de1inir cada ele"ento5

indicando cules son sus nodos5 es decir lacorres+ondencia entre la nu"eración local desus nodos . la nu"eración glo)al

Elemento Nodo 1 Nodo 2 Resistencia1 1 2 0 Ω

2 2 3 9 Ω

3 3 4 2 Ω

4 5 4 @ Ω

5 6 5 2 Ω

6 3 5 ! Ω

7 2 5 < Ω8 1 6 B Ω

Las ecuaciones de go)ierno de cada ele"ento relacionan los valores nodales de las varia)lesde estado &stas ecuaciones se e3+resan nor"al"ente en la nu"eración local5 +ues seconsidera al ele"ento en 1or"a aislada

$ara cada resistencia su ecuación ele"ental es

V 1(e)−V 2

(e)

R(e) = I 1

(e)

V 2(e)−V 1

(e)

R(e) = I 2

(e)

o sea1

R(e) [ 1 −1

−1 1 ][V 1(e)

V 2(e)]=[ I 1

(e)

I 2(e)]

Donde I 1(e) . I 2

(e) son las intensidades entrante del ele"ento e en su nodo . 2 .

V 1(e) . V 2

(e) son los volta*es en el nodo . 2 del ele"ento e

$or tanto las ecuaciones ele"entales 6en nu"eración local7 son

1

10 [ 1 −1

−1 1 ][V 1(1)

V 2(1)]=[ I 1

(1)

I 2(1)] 1

3 [ 1 −1

−1 1 ][V 1(2)

V 2(2)]=[ I 1

(2)

I 2(2)]

1

2 [ 1 −1−1 1 ] [V 1

(3)

V 2(3)]=[ I 1

(3)

I 2(3)] 1

7 [ 1 −1−1 1 ][V 1

(4 )

V 2(4 )]=[ I 1

(4)

I 2(4)]



$ro)le"as de ca"+o @

1

12 [ 1 −1

−1 1 ] [V 1(5)

V 2(5)]=[ I 1

(5)

I 2(5)] 1

5 [ 1 −1

−1 1 ][V 1(6)

V 2(6)]=[ I 1

(6 )

I 2(6 )]

1

4 [ 1 −1

−1 1 ][

V 1(7)

V 2

(7)

]=

[

I 1(7)

I 2

(7)

]

1

9 [ 1 −1

−1 1 ][

V 1(8 )

V 2

(8 )

]=

[

I 1(8 )

I 2

(8 )

]&n cada nodo de)e cu"+lirse la ecuación de e4uili)rio &n este caso la su"a de lasintensidades 6de los ele"entos 4ue lo inclu.en7 de)e ser igual a la intensidad e3terna entrante$or tanto va"os a ensa")lar el siste"a glo)al su"ando los coe1icientes de cada "atri,ele"ental en la 1ila . colu"na corres+ondientes a la nu"eración glo)al de sus nodosDel lado derec;o tendre"os la su"a de las intensidades5 4ue de)e ser igual a la intensidade3terna entrante

[1

10+

1

9

−1

100 0 0

−1

9

−1

10

1

10 +1

3+1

4

−1

3 0 −1

4 0

0 −1

3

1

3+

1

2+

1

5

−1

2

−1

50

0 0 −1

2

1

2+

1

7

−1

70

0 −1

4

−1

5

−1

7

1

7+

1

12+

1

5+

1

4

−1

12

−1

90 0 0

−1

12

1

12+

1

9

] [V 1V 2V 3V 4V 5V 6

]=[0

0.1

0

0

0

I 6]

Co"o sa)e"os 4ue V 6=12 sustitui"os su valor en cada ecuación . +asa"os restando elt-r"ino al lado derec;o Ade"s eli"ina"os la ecuación corres+ondiente al este nodo5o)teniendo el siguiente sistema reducido#

[1

10+

1

9

−1

100 0 0

−1

10

1

10+

1

3+

1

4

−1

30

−1

4

0 −1

3

1

3+

1

2+

1

5

−1

2

−1

5

0 0 −1

2

1

2+

1

7

−1

7

0 −1

4

−1

5

−1

7

1

7+

1

12+

1

5+

1

4

] [V 1V 2V 3

V 4V 5

]=

[

12

9

0.1

0

0

1

] Al resolver este siste"a o)tene"os

[

V 1V 2V 3

V 4V 5

]=

[

12,3885

12,8202

12,7535

12,737612,6819

]



$ro)le"as de ca"+o B

(ustitu.endo estos valores . el conocido de V 6 en la ecuación 4ue ;a)/a"os eli"inado del

siste"a sin reducir5 o)tene"os el valor de I 6 I 6=−0,1

Lo 4ue ;ici"os +uede +rogra"arse en (cila)#

//CIRCUITO ELECTRICO

mode(0) // Sólo muestra resultados si no se pone ; en la línea

clc // Borra la consola

//DATOS EO!ETRICOS

Coor=[0 0;

0 1;

0 2;

1 2;

1 1;

1 0]; //Coordenadas nodos "para el di#u$o%

//DATOS ELECTRICOS R=[10 3 2 7 12 5 4 9]; // &o'm( Resistencia de los elementos

//TABLA DE CO)ECTI*IDAD

TC=[1 2;

2 3;

3 4;

5 4;

6 5;

3 5;

2 5;

1 6];

nn=size(Coor,r); //)umero de nodosnne=size(TC,c); //)umero de nodos por elemento

ne=size(TC,r); //)umero de elementos

//RADOS DE LIBERTAD +RESCRITOS "*olta$es%

!dl"=[6];

n!dl"=size(!dl",c);

#"=zeros(nn,1);

#"(!dl",1)=12;

//RADOS DE LIBERTAD LIBRES

!dll=zeros(nn $n!dl",1);

!dll=[1 2 3 4 5];

//Corrientes A+LICADAS

%&"=zeros(nn,1);

%&"(2)=0'10;

//!ATRICES DE RIIDE,

=zeros(nne,nne);

=[1 $1;

$1,1];

//!ATRICES - *ECTORES LOBALES

*!=zeros(nn,nn);

#!=zeros(nn,1);

+or i=1ne

e=1-R(i).; //!atri. de riide. elemental



$ro)le"as de ca"+o

//Ensam#la$e de la matri. de riide.

ind=[TC(i,1) TC(i,2)];

*!(ind,ind)=*!(ind,ind)/e;

end

//REDUCCIO) DEL SISTE!A DE ECUACIO)ES *red=zeros(nn$n!dl", nn$n!dl");

%red=zeros(nn$n!dl",1);

red=zeros(nn$n!dl",1);

*red=*!(!dll,!dll);

%red=%&"(!dll,1)$*!(!dll,!dl").#"(!dl"); //Resta al 0ector las

columnas de los

//rados prescritos por los 0alores

prescritos1

//SOLUCIO) DEL SISTE!A REDUCIDO

#red=*red%red;

//CALCULO DE LOS *olta$es - LAS Intensidades )ODALES

#!(!dll)=#red;

#!(!dl")=#"(!dl");

//CALCULO DE LAS Intensidades entrantes en los nodos

%=*!.#!;

//SALIDA DE RESULTADOS

dis"(#ol&es "rescrios)

dis"([ odo #ol])

dis"([!dl" #"(!dl")])

dis"(%nens &"lic&d&s)

dis"([ mero %nen])

dis"([!dll %&"(!dll)])

*!

%&"

*red

dis"([ %red #red])

dis"([%red #red])

dis"([ #! % %&"])

dis"([#! % %&"])

//ra2ica elementos delee(!c+());

m=min(Coor(,1));

8=m&(Coor(,1));

m=min(Coor(,2));

8=m&(Coor(,2));

d=8$m;

d=8$m;

m=m$d-10;

8=8/d-10;

m=m$d-10;

8=8/d-10;

"lo([m 8],[m 8],:);

"lo(Coor(,1),Coor(,2),o)

+or e=1ne

=[Coor(TC(e,1),1) Coor(TC(e,2),1)];

=[Coor(TC(e,1),2) Coor(TC(e,2),2)];

"lo(,,$)end




#ol&es "rescrios

odo #ol

6' 12'

%nens &"lic&d&s

odo %nen

1' 0'

2' 0'1

3' 0'

4' 0'

5' 0'

*! =

0'2111111 $ 0'1 0' 0' 0' $ 0'1111111

$ 0'1 0'633333 $ 0'3333333 0' $ 0'25 0' 0' $ 0'3333333 1'0333333 $ 0'5 $ 0'2 0'

0' 0' $ 0'5 0'642571 $ 0'142571 0'

0' $ 0'25 $ 0'2 $ 0'142571 0'6761905 $ 0'033333

$ 0'1111111 0' 0' 0' $ 0'033333 0'1944444

%&" =

0'

0'1

0'

0'

0'

0'

*red =

0'2111111 $ 0'1 0' 0' 0'

$ 0'1 0'633333 $ 0'3333333 0' $ 0'25

0' $ 0'3333333 1'0333333 $ 0'5 $ 0'2

0' 0' $ 0'5 0'642571 $ 0'142571

0' $ 0'25 $ 0'2 $ 0'142571 0'6761905

%red #red

1'3333333 12'353

0'1 12'20247

0' 12'75343

0' 12'73756

1' 12'61949

#! % %&"

12'353 2'220<$16 0'

12'20247 0'1 0'1

12'75343 $ 2'220<$15 0'

12'73756 $ 2'220<$16 0'

12'61949 0' 0'

12' $ 0'1 0'




&ste circuito +uede "odelarse ta")i-n en un so1tare de &le"entos Finitos usando ele"entosunidi"ensionales de dos nodos

(e de1inen +ri"ero los nodos . luego los ele"entos(e de1inen las caracter/sticas de cada ele"ento . 1inal"ente las cargas . restricciones

(e resuelve el "odelo o)teni-ndose el valor del volta*e en cada nodo . la corriente en cadaele"ento

Node Electric Potential1 12.38853796276932 12.82024681029073 12.75348253503454 12.73758627902115 12.68194938297436 12

Material Element Current

10_Ohm 1 0.04317088475214473_Ohm 2 -0.0222547584187402

2_Ohm 3 -0.007948128006693097_Ohm 4 -0.0079481280066937212_Ohm 5 0.05682911524785725_Ohm 6 -0.01430663041204844_Ohm 7 -0.03457435682911579_Ohm 8 -0.0431708847521447

"#$"$%$& Elemento !iga

&n estos ele"entos la carga en el e3tre"o tiene co"+onente a3ial . transversal . ta")i-n ;a."o"entos 1lectores &l estado de cada ele"ento 4ueda de1inido +or el des+la,a"ientolongitudinal . transversal . los ngulos de 1le3ión en cada e3tre"o Las "atrices ele"entalesson de >3> 62D7 o 030 69D7Ejemplo




Deter"inar los des+la,a"ientos . giros no +rescritos . las 1uer,as . "o"entos de reacción enlos e"+otra"ientos

A=1,000 mm2 I Z =20,000 mm4 E=200,000 MPa

&n este caso ta")i-n se +uede usar un so1tare de &le"entos Finitos +ara "odelar el siste"a

Node X Y Z

Displacementin X

Displacement

in Y

Rotation about

Z

Tensile

Force

ShearForce

V

endin!Momentabout "

1 0 0 0 0 0 0 -4.119 147 -49.158

275

075

0 0010962

3

-041858

5

-000757

4 -5.981 211 -18.716

3 075

0 0 0 0 0 29.233 276 62.928




10.2 Sistemas continos. Formlaci!n "ariacional

Los +ro)le"as de ca"+o son +ro)le"as en los 4ue se tiene un siste"a 1/sico 4ue ocu+a unaregión lla"ada ca"+o5 donde en cada +unto . "o"ento el estado del siste"a +uededescri)irse con una serie de E!ariables de campo Los valores de estas varia)les de ca"+o .sus derivadas es+aciales . te"+orales cu"+len ciertas le.es naturales5 es decir5 se relacionan

entre s/ +or ecuaciones lla"adas ecuaciones de gobierno del sistemaGeneral"ente el entorno del siste"a i"+one ciertas restricciones so)re las varia)les de ca"+oen la 1rontera del siste"a 6condiciones de contorno7 o el +ro)le"a +arte de un estado inicialconocido 6condiciones iniciales7 Algunos e*e"+los de varia)les de ca"+o son# te"+eratura5 des+la,a"ientos5 1lu*o de calor5velocidad del 1luido5 +resión5 tensión5 concentración de sustancias 4u/"icas5 etcGeneral"ente los +ro)le"as de ca"+o +ueden 1or"ularse de dos "aneras&n la +ri"era de ellas el +ro)le"a se +lantea co"o una ecuación diferencial3 La ecuacióndi1erencial descri)e el comportamiento local de las !ariables5 o sea5 en una región in1initesi"alCo"o tiene "uc;as soluciones5 se usan condiciones iniciales .Ho de contorno +ara deter"inar la solución +articular de la ecuación di1erencial 4ue descri)e la solución del +ro)le"a&n la segunda 1or"ulación se +lantea el +ro)le"a co"o uno de minimización de unfuncional J5 4ue se de1ine +or una adecuada integración so)re toda la región ocu+ada +or elca"+o de las incógnitas en el do"inio< A")as 1or"ulaciones son "ate"tica"ente e4uivalentes &n la 1or"ulación de "ini"i,acióntoda la in1or"ación necesaria est contenida en una sola ecuación . no ;a. necesidad decondiciones au3iliaresLa 1or"ulación de "ini"i,ación ser de la 1or"a#Iallar u∈' ( )*u+,)*!+ ∀ ! ∈' siendo

' el con*unto de 1unciones ad"isi)les)-'.R un 1uncional!

Las 1unciones ! ∈' re+resentan varia)les de ca"+o5 co"o des+la,a"ientos de un cuer+oelstico5 te"+eratura5 etc5 en 1unción de las coordenadas es+aciales o te"+orales&l 1uncional ) usual"ente tiene alg8n signi1icado 1/sico5 co"o la energ/a +otencial de un cuer+oelstico5 o la entro+/a en un siste"a ter"odin"ico aislado

7 Ejemplo# Tra.ectoria de tie"+o "/ni"o 6)ra4uistócrona7Dados dos +untos A . % desea"os ;allar la tra.ectoria entre A . % 4ue "ini"ice eltie"+o de ca/da sin ro,a"iento de una +art/cula$ara si"+li1icar el +ro)le"a considerare"os la aceleración de la gravedad en ladirección del e*e 35 4ue A es el origen de coordenadas . % est en el +ri"er cuadrante

(ea s*t+ la distancia recorrida +or la +art/cula

v ( t )=ds

dt ⇒T =∫

0

T

dt =∫0

T ds

v =∫

x1

x2 √ 1+ y ' 2

v dx

$ero

v=√ 2 gx⇒T =∫ x1

x2

√1+ y '

2

2 g x dx=

1

√ 2 g∫ x1

x2

√1+ y '

2

x dx

⇒√ 2 g T =∫ x1

x2

√ 1+ y ' 2

x dx≡J ( y)

el +ro)le"a es "ini"i,ar el 1uncional ) en el con*unto

9 &n "uc;os casos esta ecuación di1erencial se deriva de a+licar un +rinci+io de conservaciónde alguna de las varia)les de ca"+o en una +orción in1initesi"al del ca"+o5 de donde seo)tiene una relación entre unas varia)les . el gradiente de otra . luego se introduce una le.natural 4ue suele relacionar esta varia)le con el gradiente de otra (e o)tiene as/ una relaciónentre derivadas segundas de esta 8lti"a varia)le con los valores de otras varia)les5 es decir

una ecuación di1erencial de segundo orden< Un e*e"+lo es cuando se a+lica el +rinci+io de "/ni"a energ/a +otencial! Un /uncional es una 1unción de un es+acio de 1unciones en R$




y : [ x1, x2 ] → R∨ y derivable∧ y (0 )=0∧ y ( x2 )= y2 27 Ejemplo# Catenaria

(e desea sa)er 4u- 1or"a to"ar una cuerda uni1or"e5 1le3i)le+ero inelstica5 de largo 0 colgada entre dos +untos A . %La cuerda to"ar la 1or"a 4ue "ini"ice la energ/a +otencial

E=∫0

L

yds=∫ x1

x2

y√ 1+ y ' 2 dx≡J ( y)

&l +ro)le"a es "ini"i,ar el 1uncional ) en el con*unto

y : [ x1, x2 ] → R∨ y derivable , y ( x1 )= y1∧ y ( x2)= y2∧∫ x1

x2

√ 1+ y' 2

dx= L02 Variación de un 1uncional 6unidi"ensional7Considere"os el 1uncional

Ec. 10-1

x , u , u' , u ) dx

F ¿J (u ) ≡∫

x1

x2

¿

Con F di1erencia)le:uere"os "ini"i,ar ) en

V = u: [ x1 , x2 ] → R conderivada segunda∨u ( x1 )=u1∧u ( x2 )=u2 (i u# 1uera solución entonces )*u# + , )*u+ ∀u∈'

(ean# φϵ V 0=φ : [ x1 , x2 ] → R conderivada segunda∨φ ( x1 )=φ ( x2 )=0 Rϵ

Considere"os u1u# 234 con 4∈' # entonces )*u# + , )*u# 234+ ∀3 ∈R ∧ ∀4∈' #

$ara 4 1i*a de1ina"os g-R.R J g*3+ 5 )*u# 234+ entonces g*#+ , g*3+ ∀3 ∈R entonces g tiene"/ni"o en # . g es deriva)le5 +or tanto de)e ser g6*#+1# Co"o

+ εφ

x , u0+φ,u0

' +φ' ,u0

¿dx

F ¿

g ( )≡∫ x1

x2

¿

+ εφ + εφ

x , u0+φ,u0

'

+φ' ,u0

¿

φ ' + F u ( x , u rsub 0 + εφ , u rsub 0 rsup ' + εφ ', u rsub 0 rsup +φ ) φ x , u0+φ,u0

' + φ ' , u0¿

φ+ F u ' ¿dx¿

F u¿¿

! g' ( )=∫

x1

x2

¿



$ro)le"as de ca"+o 2!

F u( x , u0 ,u0' , u0

) φ + F rsub u ^ ' ( x , u rsub 0 , u rsub 0 rsup ' , u rsub 0 rsup )φ ' + F u ( x , u rsub 0 , u rsub 0 rsup ' , u

¿¿

0=g' (0 )=∫

x1

x2

¿

Donde J (u ,φ )≡ "

" J (u+φ)|=0

es la K!ariación del /uncional ) K

&ste nuevo 1uncional 4ue ;e"os de1inido es anlogo al conce+to de di1erencialO)s-rvese 4ue

" J (u , φ )≡ "

" J (u+φ )|

=0

=!" → 0

J (u+φ )−J (u)

Nótese 4ue la condición necesaria +ara 4ue u# sea la solución 4ue "ini"i,a ) es 4ue

Ec. 10-2 " J (u0 , φ)=0 ! φ ! V 0

&n el caso 4ue est)a"os considerando esta es la formulación variacional del +ro)le"a de

minimización de un funcional F u φ

" J ( u0 , φ )=∫ x1

x2

F u φ+∫ x1

x2

F u' φ ' +∫

x1

x2

¿ ntegrando +or +artes el 2 . 9 su"ando#

∫ x1

x2

F u

' φ ' = F u

' φ| x1

x2−∫ x1

x2

"

" x F

u'

φ=−∫ x1

x2

( "

" x F

u' )φ

F u φ ' r!#$% r!& rsub x rsub 1 rsup x rsub 2 !&% r*" x rsub 1 %* x rsub 2 *r x F rsub u φ'

¿ F u φ ^ ' r!#$% r!& rsub x rsub 1 rsup x rsub 2 % &*& % ( *r x F rsub u ) φ

¿¿¿u r!#$% ) φ

"2

" x2 F

¿¿

F u φ=¿

∫ x

1

x2

¿

! " J (u0 , φ )=∫ x1

x2

( F u−

"

" x

F u'

+ "

2

" x2 F

u r!#$% ) φ + % &*& F rsub u

φ'

| x1

x2

Co"o de)e ser 7)*u#84+1# ∀4∈' # eso i"+lica 4ue

Ec. 10-3

u -0 & % x rsub 1 / x rsub 2 r!#$%

F u− "

" x F

u'

+ "

2

" x2 F

¿

Ec. 10-4 (! F u % (x rsub 1 r!#$% ) - F rsub u ( x2 )=0

&c 0M9 . &c 0M< son las ecuaciones de &uler Lagrange del 1uncional ) 6&c 0M7 .corres+onden a la formulación del problema como ecuación diferencial

> A "enos 4ue se e3i*a 46*9 " +146*9 & +1# 5 +or e*e"+lo si ;a. condiciones de Ne"ann 6u6*9 " +1u6 ". u6*9 & +1u6 & 75 en cu.o caso esta ecuación no es necesaria



$ro)le"as de ca"+o 2@

Co"o la condición 7)*u# +1# es una condición necesaria +ero no su1iciente de "ini"i,ación de) 5 entonces la solución de las ecuaciones de &uler Lagrange no necesaria"ente "ini"i,a ) 5+ues +odr/a ser un "3i"o o +unto de in1le3ión

Ejemplo# Catenaria&n el +ro)le"a de catenaria de)/a"os "ini"i,ar

J ( y )=∫ x1

x2

y √ 1+ y ' 2

dx

en y∨ y ( x1 )= y1, y ( x2 )= y2 ,∫ x1

x2

y √ 1+ y ' 2dx= L

$ara este 1uncional#

F ( x , y , y' )= y √ 1+ y '

2

y -0

F ¿ F y=√ 1+ y '

2

F y' = yy ' √ 1+ y '

2

y ' 4+ y '

2+ yy *r % (1+ ' ^ 2 r!#$% ) ^ 3 2

!" F y '

" x =

"

" x

yy '

√ 1+ y ' 2=¿

&n este caso &c 0M9 4ueda#

y' 4+ y

' 2+ yy *r % (1+ ^ '2 r!#$% ) ^ 3 2 -0 % (1+ ^ '2 r!#$% ) ^ 2⟺

⇒√ 1+ y ' 2−¿¿=0⟺

1+2 y' 2+ y

' 4− y' 4− y

' 2− yy -0 1+ ^ '2 ⟺ =0⟺ y - 1+ ^ '2 *r 2. Ejemplo

(ea J ( y )=∫ x1

x2

y ' 2

dx

y -0

F ¿ F y=0

F y' =2 y' ⇒

" F y '

" x =2 y

&n este caso la ecuación de &uler Lagrange &c 0M9 4ueda# y -0 02 ⇒ +0-0 ⇒ y -0

F y−

"

" x F y' +

"2

" x2 F ¿

022 Variación de un 1uncional 6vectorial7(i la 1unción incógnita es vectorial

J (u )≡∫ x1

x2

F ( x ,u1, u2 , # , un, u ' 1 , u' 2 , # , u ' n)dx

con las condiciones

u1 ( x1 )=u11, u2 ( x2 )=u12, # , un ( x1 )=un 1 ,u n ( x1 )=un 2

$ode"os de1inir la variación del 1uncional en cada una de las 1unciones incógnitas . todos

de)en ser cero en el "/ni"o# " J u1=" J u2=#=" J un=0 Las ecuaciones de &uler Lagrange 4ue se o)tienen son iguales +ero vectoriales



$ro)le"as de ca"+o 2B

Ec. 10-" F ui−

"

" x F

u'

i

=0 ∀ i=1,2, # , n

Ejemplo# longitud "/ni"a entre dos +untos

Iallar la curva de longitud "/ni"a entre los +untos 6 9 "8 y "8 "7 . 6 9 & 8 y & 8 & 7(i +ara"etri,ra"os la curva en #8 " 6 9*t+8 y*t+8 *t+7 9*#+19 "8 9*"+19 & y*#+1y "8 y*&+1y & *#+1 "8 *&+1 &

Ia. 4ue "ini"i,ar J ( x , y , $ )=∫0

1

√ x ' 2+ y '

2+ $ ' 2

dt

Las ecuaciones de &uler Lagrange &c 0M! sern#

F x−

"

" t F x ' =0⇒0

−

"

" t

2 x'

√ x' 2+ y ' 2+ $ ' 2=0⇒

x

'

=% x√ x '

2

+ y '

2

+ $ '

2

F y− "

"t F

y'

=0⇒0− "

" t

2 y'

√ x' 2+ y' 2+ $ ' 2=0⇒ y

' =% x√ x' 2+ y

' 2+ $' 2

F $− "

" t F

$'

=0⇒0− "

"t

2 $'

√ x ' 2+ y ' 2+ $ ' 2=0⇒ $

' =% x√ x ' 2+ y '

2+ $ ' 2

⇒ ( x ' , y

' , $ ' )=√ x '

2+ y ' 2+ $ '

2 (% x , % y , % $ )=& (t )(% x , % y , % $ )O sea 4ue la dirección de *968 y68 6+ no var/a con t 5 entonces la curva es una recta

029 Variación de un 1uncional 6orden su+erior7(i se desea "ini"i,ar

x , u , u' , u , , u ^ ( & ) ) dx

F ¿

J (u )≡∫ x1

x2

¿

con condiciones de contorno +ara u8 u68 u:8 ;8 u*n<"+ se o)tiene la ecuación de &uler Lagrange

Ec. 10-

u + (1) ^ & ^ ( & ) *r x ^ & F rsub u ^ ( & ) -0

F u− "

" x F

u'

+ "

2

" x2 F

¿

02< Condiciones de contornoIasta a;ora ;e"os usado condiciones de contorno en la 1rontera 6+ro)le"a de Diric;let7(i en +arte de la 1rontera no se 1i*a condición de contorno5 la ecuación de &uler Lagrangeca")ia

(i desea"os "ini"i,ar J (u )≡∫ x1

x2

F ( x ,u ,u' )dx en u : [ x1, x2 ] → R∨u ( x1 )=u1

(ean

φ : [ x1 , x2 ] → R∨φ ( x1 )=0

∈

R

(i )*u# + es "/ni"o entonces )*u# + , )*u# 234+ ∀3 ∈R ∧ ∀4




⇒0=" J (u0 ,φ )= "

" J (u0+φ )=∫

x1

x2

[ F u( x , u0 , u0' )φ+ F

u' ( x , u0 , u0

' )φ ' ] dx=¿∫ x1

x2

F u φ+∫ x1

x2

F u

' φ ' =∫ x1

x2

F uφ+ F u

' φ|

$ues 4*9 " +1# &sto se cu"+le ∀4 ( 4*9 " +1# &n +articular ∀4 ( 4*9 " +14*9 & +1# se veri1ica

∫ x1

x2

( F u− "

" x F

u' )φ=0⇒ F u−

"

" x F

u'

=0 en [ x1 , x2 ]

&ntonces ∀4 ( 4*9 " +1# se cu"+le = u6 *9 & + 4*9 & +1# +or tanto de)e ser = u6 *9 & +1#

O)s-rvese 4ue en 9 " 1i*a"os la condición u*9 " +1u" . en 9 & como no fijamos #$ 2 %, sur#e solala condición F & #$ 2 %=0 como 2$ condición de con%orno

02! Variación de un 1uncional 6varias varia)les7&o%ación

u ( x )=u ( x1 , x2 , x3) : → R

( ≡ "()

) ≡ " u" x1

, * ≡ "u" x2

,r ≡ " u" x3

Desea"os "ini"i,ar J (u )≡∫

F ( x1 , x2 , x3 , u , ) , * , r )d x

en el con*unto V = u : → R∨u=g e n ( (ean#

φ : → R∨φ=0 en (

∈ R

u0∈V soluci+n

v ≡u0+φϵV ⇒ J (u0 ) J (v )∀ ∈ R

⇒0=" J (u0 ,φ )= "

" J (u0+φ)|=0

es condición necesaria5 entonces

0=" J (u0, φ )= "

" ∫

F ( x1 , x2, x3, u0+φ ,"u0

" x1

+ " φ

" x1

," u0

" x2

+ " φ

" x2

," u0

" x3

+ " φ

" x3

)d x|=0

=¿

F

F u φ+∇ φ -(¿¿ ) , F * , F r)⇒

¿∫

F u φ+ F )" φ

" x1

+ F *" φ

" x2

+ F r" φ

" x3

=∫

¿

Ec. 10-'

F F u φ+∇φ -(¿¿ ) , F * , F r)

0=" J (u0 , φ )=∫

¿

(eg8n el Teore"a de Green

∫

∇ - F =∫"

( F -n )d. Ade"s ∇ - ( v / )=∇v -/+v∇ - /

⇒∫

(∇ v -

/+v∇ -

/ )=∫

∇ - (v

/ )=∫"

( v

/ - n ) d. ⇒




Ec. 10- ∫

∇v -/=−∫

v∇ -/+∫"

v / - n d.

A+licando &c 0M a &c 0M@ #&c 0MB

F

∇ φ-(¿¿ ) , F * , F r)=∫

F uφ−∫

φ∇ - ( F ) , F * , F r )+∫ (

φ ( F ) , F * , F r ) -n d. ⇒

0=∫

F u φ+∫

¿

Ec. 10-10 0=∫

F u φ−∫

φ∇ - ( F ) , F *, F r )

+ues 41# en >

⇒

∫

φ [ F u−∇

-( F ) , F * , F r ) ]=0∀

φ∨φ=0 en (

⇒ F u−∇ - ( F ) , F * , F r )=0 en ⇒

Ec. 10-11 F u+" F )

" x1

+" F *

" x2

+" F r

" x3

=0 en es la ecuación de Euler

)a#ran#e.

Ejemplo

J (u )≡∫

|∇u|2

&n este caso F ( x1 , x2 , x3 , u , ) , * , r )= )2+*

2+r2 ⇒ F u=0, F )=2 ) , F *=2 * , F r=2 r

La ecuación de &uler Lagrange 4ueda#

0−( " 2 )

" x1

+"2 *

" x2

+" 2 r

" x3 )=−2( "

2u

" x1

2+

"2

u

" x2

2+

"2

u

" x3

2 )=0

⇒∇2u=0 o )ien 0 u=0 6@7

02> Variación de un 1uncional 6varias varia)les sin cond de Diric;let en +artede Γ 7

&l caso es co"o el anterior +ero la condición de contorno solo se e3ige en > " 6>1> " ∪> & 7

6Condición de Diric;let en > "7&n este caso a 4 solo le e3igi"os 41# en > " +ara 4ue !1 µ # 234∈' $

Usando el teore"a de Green 6&c 0M7 llega"os a &c 0MB co"o antes#

0=∫

F u φ−∫

φ∇ - ( F ) , F *, F r )+∫ (

φ ( F ) , F * , F r ) - n d.

$ero a;ora el tercer t-r"ino no es nulo sino 4ue

∫ (

φ ( F ) , F * , F r ) - n d. =∫ (

2

φ ( F ) , F *, F r ) - n d.

+ues φ1# en Γ 1

⇒0=

∫

φ

[ F

u

−∇ -

( F

)

, F *

, F r ) ]+

∫ ( 2

φ

( F

)

, F *

, F r )

-n d. ∀φ∨φ=0 en (

1

@ !"La+laciano? #2? #$#




$ero en +articular ∀4 ( 41# en > se cu"+le

0=∫

φ [ F u−∇ - ( F ) , F * , F r ) ]⇒ F u−∇ - ( F ) , F * , F r )=0 en

:ue es lo "is"o 4ue &c 0M

⇒∫ (

2

φ ( F ) , F * , F r ) - n d. =0∀φ∨φ=0 en ( 1⇒

Ec. 10-12 ( F ), F * , F r ) - n=0 en ( 2

O)s-rvese 4ue al no %ener condición de *iric+le% para en ' 2 sur#e es%a condición de&e,mann para F en ' 2

1. Ejemplo

gual 4ue la ve, anterior ;a. 4ue "ini"i,ar J (u )≡∫

|∇u|2 en

V = u : → R∨u( =g e n ( 1 F )=2 ) , F *=2 * , F r=2 r

&cuación &uler Lagrange# 0 u=0 en Condición de Diric;let u=g e n ( 1Condición de Ne"ann ( F ), F * , F r ) - n=0 en ( 2

( F ), F * , F r ) - n=(2 ) ,2 * , 2 r ) - n=2 ( ) , * , r ) - n=2∇u - n=0 en ( 2

⇒∇u - n=0 en ( 2 o "u

"n=0 en ( 2

2. Ejemplo

gual al anterior con J (u )≡∫

(|∇u|2− &u )

A;ora = u1</ en ? ⇒ 0 u=−& en

u=g e n ( 1du

d n=0 en ( 2

bservación

&n los e*e"+los 4ue ;e"os visto usa"os 1uncionales cuadrticos 4ue son 1uncionalesconve3os &stos 1uncionales no tienen "3i"os ni +untos de in1le3ión5 +or lo tanto lasecuaciones de &uler Lagrange 4ue son sie"+re condición necesaria de "ini"i,ación5 en estecaso son ta")i-n condición su1iciente

02@ '-todos de resoluciónIe"os visto la e4uivalencia entre los +ro)le"as de "ini"i,ación de un 1uncional . lasecuaciones de &uler Lagrange 64ue son &cuaciones Di1erenciales $arciales7La resolución anal/tica de estas ecuaciones di1erenciales +arciales es en general i"+osi)le5 +or lo 4ue de)e"os recurrir a "-todos nu"-ricos

"#$&$@$" todo de di/erencias /initas

&ste "-todo re+resenta el continuo ? con una "alla de +untos 4ue se su+er+one a ? Lasecuaciones di1erenciales son sustituidas +or ecuaciones alge)raicas ree"+la,ando lasderivadas +or 1ór"ulas en di1erencias 1initas




La solución del siste"a de ecuaciones alge)raicas resultante de esta Ediscreti,aciónre+resentar una a+ro3i"ación a la solución verdadera en los +untos de la "alla

"#$&$@$& todo de elementos /initos

&ste "-todo se )asa en la 1or"ulación variacional de los +ro)le"as 1/sicos (e divide a ? en+e4ue=os ele"entos 6ele"entos 1initos7 . en lugar de "ini"i,ar ) entre todas las u 4ue

veri1i4uen las condiciones de contorno5 se restringe a las u 4ue sean5 +or e*e"+lo5 lineales encada ele"ento O sea 4ue en lugar de "ini"i,ar ) en ' se "ini"i,a en un su)es+acio de ' dedi"ensión 1inita(e o)tiene un +ro)le"a de o+ti"i,ación con una cantidad 1inita de varia)les5 +or lo 4ue enlugar de las ecuaciones de &uler Lagrange5 se llega a un siste"as de ecuaciones alge)raicas

10.( Inter)olaci!n )or *nciones )olinomiales a trozos

09 Nor"asUsare"os varias nor"as en es+acios de 1unciones‖ x‖

L1( 2)≡

¿ x∈ 2| x|

‖ x‖ L1 ( 2)≡∫ 2

| x|

‖ x‖ L2 ( 2)≡(∫

2

| x|2)

1/2

la nor"a 0& *+ es la nor"a inducida so)re el +roducto interno

⟨ x , y ⟩ ≡∫ 2

xy

092 Caso una varia)le . grado 6+oligonales7Considere"os u##8"PR

Va"os a a+ro3i"arla +or una +oligonalDividi"os I ?#8" con una +artición D9 F$sean# I 1*9 <"89 +

1má9(9 <9 <"((ea uI la +oligonal tal 4ue uI *9 +1u*9 + ∀ 1#8"8;8n

Cun )uena sea la a+ro3i"ación de+ender de la+artición 67 . las +ro+iedades de u

Nos interesa acotar el error ‖u−u I ‖ L

1( 2) . sa)er

si !"3 → 0

‖u−u I ‖ L1( 2)=0

Va"os a +edir la condición de 4ue u tenga derivadaacotada

(ean

L=‖u' ‖ L

1( 2)

ω 5u<uI

9 ∈I

⇒

|4 ' ( x)|=|u'

( x )−u

I

' ( x)||u

'

( x )|+|u I

' ( x )| L+|u I

' ( x )|=¿




¿ L+|u ( x 5 )−u ( x 5−1 ) x 5− x 5−1

| L+ L=2 L

+ues u es LMli+sc;it,iana

|u' ( x )−u I

' ( x )|=|4 ( x )−0|=|4 ( x )−4( x 5−1)|=

|∫

x 5−1

x

4 '

|2 L| x 5− x 5−1| 2 L3⇒

Ec. 10-13 ‖u−u I ‖ L

1( I )2‖u ' ‖ L1( I )3

O sea 4ue si & es aco%ada la conver#encia es de orden 1 en +.Vea"os 4u- +asa si u es acotada(ean

ω 5u<uI

9 ∈I ⇒ ω *9 <" +1ω *9 +1# ⇒ ∃ θ ∈I H ω 6* θ +1#

Considere"os el intervalo * θ 89+ o *98θ + ⇒ ∃ de ese intervalo tal 4ue

4 (6)= 4 ' % ( x r!#$% ) −4 ' % ( 7 r!#$% ) *r x −7 = 4 8( x ) *r x −7 ⇒ ∀ x∈ I 5 ∃ ,6ϵ I 5 '(x )-(x) % ( r!#$% )

⇒ |4 ' ( x )|-| x−7||4 % ( r!#$% ) r!#$% r!& $ % d!& ‖¿ L

1( I )

Co"o uI lineal en I ⇒ uI :1# ⇒ ω :1u:

u r!#$% rd!& rsub ^ ( ; )¿

⇒ |4 ' ( x )| 3¿ Ade"s

|4 ( x )|=|4 ( x )−4 ( x 5−1)|=|∫ x 5−1

x

4 ' |3‖4 ' ‖ L

1( I )

u r!#$%rd!&rsub%(;r!#$%) x;rsub<∀ ∈⇒

¿⇒ |4( x )| 32 ¿

Ec. 10-14

u r!#$% rd!& rsub ^ % (; r!#$% )¿

‖u−u I ‖ L

1 ( I ) 32 ¿

O sea 4ue si es aco%ada la in%erpolación con funciones lineales a %rozos conver#e conorden 2 en +$ara +oder "e*orar este orden & de)e"os inter+olar con +olino"ios de "a.or orden Vere"os4ue usando +olino"ios se grado J . si u*J2"+ est acotada5 entonces la convergencia es deorden J2"$

099 Caso una varia)le grado QDados y # 8 y "8 ;8 y J ∈ I ∃ un 8nico +olino"io de grado J H K J *y i +1u*y i + ∀ i1#8"8&8;8J

"#$L$L$" Interpolación de 0agrange

&l +olino"io inter+olador5 K J 5 +uede e3+resarse co"o#

9: (t )=∑;=0

:

u ( y; ) l;(t )

&l error se +uede acotar +or

|u ( t )− 9: (t )|| < (t )|‖u

(: +1)‖ L1 ( I )

(: +1 ) =



$ro)le"as de ca"+o <

siendo

< (t )=∏;=0

:

(t − y;)

$ero ∀ t ∈ I

| < (t )

|

3

2- 3

2- 2 3- ⋯- :3=

1

4 3

: +1

: =⟹

Ec. 10-1"‖u− 9: ‖ L1 ( I )

1

4 3

: +1

‖u(: +1)‖ L

1 ( I )

(: +1 )

"#$L$L$& Interpolación a troos

Dada una +artición de I8 9 # 8 9 "8 ;8 9 n 5 +ara cada I to"a"os J2" +untos y # 8 y "8 ;8 y J de I einter+ola"os a u +or esos +untos(ea uI *9+1K J *9+ siendo K J el +olino"io inter+olador en I si 9 ∈I

09< $ro+iedades de la inter+olación (i u es un +olino"io de grado "enor o igual a J ⇒ uI 1u en I

*emos%ración&n cada intervalo el K J es 8nico . co"o u es +olino"io de grado J ⇒ K J 1u en I ⇒ uI 1u en I ⇒ uI

1u en I

2 Dado u5 en cada I e3iste un +olino"io de grado J 5 q*9+ H

‖u−*‖ L

1 ( I 5)

3: +1‖u

(: +1)‖ L1 ( I 5)

( : +1 )=*emos%ración

(ea q el +olino"io de Ta.lor de grado J de u desarrollado en ´ x∈ I 5

* ( x )=∑i=0

:

u(i)(´ x)

( x−´ x )i

i =

∃6∈ I 5∨u ( x )−* ( x )=u(: +1)(´ x)

( x−´ x): +1

(: +1)=

⟹‖u−*‖ L1 ( I 5)

3

: +1‖u(: +1 )‖ L

1 ( I )

(: +1 ) =9

∃% : ∨‖u I ‖ L

1 ( I 5) % : ‖u‖ L1 ( I 5 )

*emos%ración

|u I ( x )|=| 9: ( x )|∑;=0

:

|u ( y; ) l; ( x )|‖u‖ L1 ( I 5)∑

;=0

:

|l; ( x )|∀ x∈ I 5

(i los y m se eligen e4uidistantes en I entonces

¿ I 5 ∑;=0

:

|l; ( x )|=% :

no de+ende de 6C J 1& J 7

⇒|u I ( x )| % : ‖u‖ L1 ( I 5) ∀

x∈ I 5

⇒‖u I ‖ L

1 ( I 5) % : ‖u‖ L1 ( I 5 )



$ro)le"as de ca"+o <9

09! &rror de inter+olación A +artir de 5 2 . 9 de"ostrare"os 4ue

Ec. 10-1 ‖u−u I ‖ L1 ( I ) % ' : 3

: +1‖u(: +1)‖ L

1 ( I )

*emos%ración

Dado I to"o el q de la +ro+iedad 2 . su inter+olador qI

4ue +or la +ro+iedad es igual a q ‖u−u

I ‖ L1 ( I

5)=‖u−*+* I −u

I ‖ L1 ( I

5)=‖(u−* )+( * I −u

I )‖ L1 ( I 5 )

‖u−*‖ L 1 ( I 5)+‖(u−* ) I ‖ L1 ( I

5 )(3 )‖u−*‖ L1 ( I

5)+% : ‖u−*‖ L 1 ( I

5)=¿

¿ (1+% : )‖u−*‖ L1 ( I 5 )

(2 )

(1+% : ) 3

: +1

(: +1 ) =‖(u−*)(: +1)‖ L

1 ( I )⇒

⇒‖u−u I ‖ L1 ( I

5 ) % '

: 3: +1‖u

(: +1 )−*(: +1 )‖ L

1 ( I 5)=% '

: 3: +1‖u

(: +1 )‖ L1 ( I 5)∀ I 5

⇒‖u−u I ‖ L1 ( I ) % ' : 3

: +1‖u( : +1)‖ L

1 ( I )

&ste a teore"a a +uede e3tenderse al caso varias varia)les . a la nor"a 0&

09> $asa*e a nor"a 0&

$ara la nor"a 0& la +ro+iedad 9 no se cu"+le

"#$L$M$" eorema de Sobole! *en una !ariable+

‖u‖ L

1 ( I ) ‖u‖ L

2 ( I )+‖u' ‖ L

2 ( I )

*emos%raciónLo de"ostrare"os +ara I ?#8"5 +ara otros intervalo se ;ace ca")io de varia)le

u ( x)−∫0

1

u=∫0

1

(u ( x )−u ( y ) ) dy=∫0

1

(∫ y

x

u' )dy⇒

⇒u ( x )=∫0

1

u+∫0

1

(∫ y x

u'

)dy⇒

|u ( x )|∫0

1

|u|+∫0

1

|∫ y

x

|u' ||dy ∫0

1

|u|+∫0

1

∫0

1

|u' |=∫0

1

|u|+∫0

1

|u' |

Co"o la nor"a 0& es inducida so)re el +roducto interno5

+or Cauc;. (c;art, ⟨ & , g ⟩ ‖& ‖ L

2‖& ‖ L

2 5 en +articular si g5

∫0

1

& ‖& ‖ L

2 [0,1 ]

A+licando esto

|u ( x )|‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u

' ‖ L2 [0,1 ]∀ xϵ [ 0,1 ]

⇒‖u‖ L1 [ 0,1] ‖u‖ L

2 [0,1 ]+‖u' ‖ L2 [0,1 ]

"#$L$M$& Kropiedad L para norma 0&

6I ?#8"5 +ara otros intervalo se ;ace ca")io de varia)le7

$uede verse +or4ue ‖& ‖ L

2 [0,1 ] ‖& ‖ L

1 [ 0,1]

(a)e"os 4ue ‖u I ‖ L

1 [0,1] % : ‖u‖ L1 [0,1 ]

⟹|u I ( x )|‖u

I ‖ L1 [0,1 ] % : (‖u‖ L

2 [0,1 ]+‖u ' ‖ L2 [0,1] )

⟹(∫0

1

|u I ( x)|2

dx)1

2(∫

0

1

[% : (‖u‖ L

2[ 0,1]+‖u' ‖ L

2 [ 0,1] )]2

dx)1

2=¿

¿(1 > [% : (‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u

' ‖ L2 [0,1 ]) ]

2

)12



$ro)le"as de ca"+o <!

⇒‖u I ‖ L2[ 0,1] % : (‖u‖ L2 [0,1 ]+‖u

' ‖ L2 [0,1 ])

10.3.#.2.1 56

‖u‖

L2

( I )+‖u

'

‖ L

2

( I ) ≡‖

u‖

? 1

( I )Nor"a de (o)olev

"#$L$M$L Kropiedad & para norma 0& *0ema Bramble ilbert+

Dada u e3iste q5 un +olino"io de grado J tal 4ue

‖u−*‖ L2 ( I )+‖u ' −* ' ‖ L

2 ( I )+⋯+‖u( : +1 )−*

( : +1 )‖ L2 ( I ) % ' :

‖u(: +1)‖ L

2 ( I )

No lo de"ostra"os

"#$L$M$% Error de interpolación en norma 0&

Para /01

‖u−u I ‖ L

2 ( I )=‖u−*+* I −u

I ‖ L2( I )=‖(u−* )+ (* I −u

I )‖ L2( I )

‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) I

‖ L2 ( I ) (3 ) ‖u−*‖ L2 ( I )+% : (‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) ' ‖ L2 ( I ) )

( 1+% : ) (‖u−*‖ L2 ( I )+‖(u−* ) ' ‖ L2( I ))

(2 )

(1+% : ) % : ‖u

(: +1 )‖ L2 ( I )⇒

% rsub = % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )

⇒‖u−u I ‖

L2 ( I ) ¿

+ara I ?#8"

Para / j( j-1 j!

Ia. 4ue usar el ca")io de varia)le x= x 5−1+ y ( x 5− x 5−1 ) con y I ϵ , xϵ I 5

Dada u en I le asocia"os u en I H u ( x )=u ( y )(e cu"+le 4ue u

I ( x )=u I ( y )=u

I ( y ) Ade"s

‖u‖ L2( I )=(∫

0

1

|u ( y )|2

dy)1

2=(∫

0

1 |u ( x )|2

x 5− x 5−1

dx)1

2=

‖u‖ L

2 ( I 5)

√ x 5− x 5−1

⇒‖u‖ L2 ( I )=( x 5− x 5−1 )

−1

2 ‖u‖ L2 ( I 5)

$ara las derivadas

u' ( x )=

u ' ( y ) x

5− x

5−1

u % (x r!#$% ) - >?u% u ( y )

( x 5− x 5−1 )

2 ⋯ u

(: +1) ( x )= u

( : +1 ) ( y )

( x 5− x 5−1 )

: +1

! ‖u(: + 1)‖ L

2 ( I )=( x 5− x 5−1 ): + 1

2‖u(: +1)‖ L

2( I 5)

A+licando esto a la desigualdad del caso I % rsub = % d!& >?u% u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )⇒

‖ ´u−u I ‖

L2 ( I ) ¿

% rsub = % (x rsub < x rsub <1 r!#$% ) ^ =+ 1 *r 2 % d!& u ^ % (=+

( x 5− x 5−1 )−1

2 ‖u−u I ‖

L2 ( I 5 )

¿

‖u−u I ‖ L2 ( I

5 ) % rsub = % (x rsub < x rsub <1 r!#$% ) ^ =+1 % d!& u ^ % (=+

(u"ando los cuadrados ∀I * . ;aciendo ra/, cuadrada5 o)tene"os 4ue +ara cual4uier I con

+artición de 1inura #



$ro)le"as de ca"+o <@

Ec. 10-1'

% rsub = $ ^ = +1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )

‖u−u I ‖

L2 ( I ) ¿

Anloga"ente +uede de"ostrarse +ara las derivadas#

Ec. 10-1

% rsub = $ ^ = % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% )

‖u' −u I

' ‖ L2 ( I ) ¿

sea ue la conver#encia es de orden -1 en + para 5 de orden - en + para & siendo- el #rado de la in%erpolación usada.

09@ Caso 2 varia)les M inter+olación en el +lano

"#$L$@$" Karticiones triangulares

(ea ?⊂R & acotado5 si ? no es +ol/gono+ode"os a+ro3i"arlo +or uno

Dividi"os ? "ediante una +artición entringulos tales 4ue#

=T :

∀ i @ 5 T i T 5= ϕ

unv B rtice

unlado

o sea 4ue un v-rtice de un tringulo no +uede estar en el "edio de unlado de otro

$ara cada tringulo J de1ini"os J co"o el di"etrodel "enor c/rculo 4ue lo contenga

De1ini"os +ara la +artición 3≡;ax∀:

3: Va"os a estudiar la inter+olación de u en cadatringulo +or +olino"ios de grado total J en las dosvaria)les

9: = )olin o;ios de gradototal : = )∨ ) ( x , y )= ∑0 i + 5 :

ai5 xi y

5$ara 4ue e3ista +olino"io inter+olador . sea 8nico5 los +untos +or los 4ue se inter+ola no+ueden elegirse de cual4uier "anera

6rado 1

$or e*e"+lo +ara J1" si 4uere"os inter+olar +or tres +untosalineados5 el +olino"io inter+olador de grado total " en 9 e y +or estos tres +untos no es 8nico5 a +esar de 4ue dim*K " +1L (i los +untos no estn alineados entonces s/ ;a. unicidad(e dice 4ue ' "8 ' & 8 ' LS es un con*unto EunisolventeK5 +ues ∃ p∈K "

8nico tal 4ue ) (V 1 )=u(V 1)

) (V 2 )=u(V 2)

) (V 3 )=u(V 3)

$ara de"ostrarlo )asta ver 4ue -ste es un siste"a de ecuaciones lineales cu.a "atri, es



$ro)le"as de ca"+o <B

A=[1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3] . det 7 0

6rado 2

$ri"ero vere"os co"o e*e"+lo 4ue to"ra"os en un tringuloe4uiltero co"o +untos de inter+olación los 4ue dividen los lados entercios &stos +untos estn so)re un c/rculo cu.a ecuación es de la1or"a p*98 y+1# (iendo p de grado total & . p*98 y+ no id-ntica"entenulo&sto de"uestra 4ue no es 8nico el +olino"io inter+olador de grado & +or ' "8 ' & 8 ' L8 ' %8 ' P 8 ' M S a +esar 4ue dim*K & +1M To"e"os a;ora co"o +untos de inter+olación los v-rtices de untringulo . los +untos "edios de sus lados &l +olino"io inter+olador degrado & +or ' "8$$$8 ' M es 8nico si . solo si p*' " +1p*' & +1;1p*' M +1# i"+lica

p5# 6O)s-rvese 4ue dim*K & +1M 7*emos%ración(ea p∈K & ( p*' " +1p*' & +1;1p*' M +1# Co"o p*' " +1p*' & +1p*' L +1# 5 siendo p cuadrtica . nula en L +untosalineados entonces p es nulo en toda la recta 4ue contiene a ' "8 ' & . ' L (ea l*98y+1# la ecuación de esa recta 6 l ∈K "75 entonces p*98y+1l*98y+q*98y+ con q∈K " +ero

0= 9 (V 4 )=l (V 4 ) * (V 4 ) y l (V 4)@ 0

0= 9 (V 5 )=l ( V 5 ) * (V 5 ) y l(V 5)@ 0

0= 9 (V 6 )=l (V 6 ) * (V 6 ) y l(V 6)@0

⇒* (V 4 )=0

* ( V 5 )=0

* (V 6 )=0

. co"o ' % 8 ' P . ' M no alineados entonces q5# +or tanto p5#

$or lo tanto ' "8 ' & 8 ' L8 ' %8 ' P 8 ' M S es unisolvente en K & &s 1cil ver 4ue el inter+olador so)re un tringulo ad.acente coincide con -ste en el ladoco"8n5 .a 4ue son de grado & . coinciden en L +untos de una recta

6rado 3

&n este caso di; 9: =(: +1)(: +2)

2 =

(3+1)(3+2)2

=10

(ea p∈K L H p*' i +1# ∀i 5 co"o en cada lado del tringulo + es c8)ico .se anula en % +untos entonces p1# en los tres lados⇒ p*98 y+1l "*98 y+l & *98 y+l L*98 y+q*98 y+(iendo

l "*98 y+1# l & *98 y+1# l L*98 y+1#

las ecuaciones de los tres ladosCo"o l "∈K "8 l & ∈K " y l & ∈K " ⇒ q es de grado # ⇒ #1p*' "# +1l "*' "# + l & *' "# + l L*' "# + q*' "# +. l "*' "# + Q #8 l & *' "# + Q #8 l L*' "# + Q # ⇒ q*' "# +1# ⇒ q5# +ues es de grado # &s 1cil de"ostrar 4ue el +olino"io inter+olador so)re un tringulo ad.acente coincide en -steen el lado co"8n5 .a son de grado L . coinciden en % +untos de una recta

Polinomios base

&n cada caso la )ase de K J 4ue conviene usar est 1or"ada +or +olino"ios Lagrangianos5 4ue

valen " en un nodo . # en los de"s10.3.&.1.1 78$5 1




(i l i *'+1# es la ecuación del lado i

⇒ sea C i∨ C i (V )=1

li(V i)li(V )

siendo ' i el v-rtice o+uesto al lado i

⇒ C i (V 5 )=

0 si i@ 5

1 sii= 5

10.3.&.1.2 78$5 2

&n este caso dado un nodo cual4uiera5 e3isten dosrectas tales 4ue no +asan +or ese nodo . +asan +or todos los de"s

(ean l "*'+1# . l & *'+1# las ecuaciones de esas rectas

⇒ sea C 1∨ C 1 (V )= l1 (V ) l2 (V )

l1 (V 1 ) l2 (V 1 )

⇒ C 1 (V 5 )=0 sii@ 11 si i=1

"#$L$@$& Karticiones rectangulares

D: = )olino;iosde gdo : en cada variable= )∨ ) ( x , y )=∑i=0

:

∑ 5=0

:

a i5 xi y

5dim*J +1*J2"+&

6rado 1

&n el caso de rectngulos5 si elegi"os los % v-rtices co"o nodos

+ode"os inter+olar con 1unciones )ilineales 6de "7 si los ladosson +aralelos a los e*es coordenados ' "8 ' & 8 ' L8 ' %S es unisolvente en " .a 4ue si q∈" (q*' " +1q*' & +1q*' L +1q*' % +1# entonces co"o q*' " +1q*' & +?# . qlineal en el lado ' "' & 6+ues 4ueda . constante7 entonces q ≡# en ese lado$or lo "is"o q≡# en el lado ' L' %

&ntonces +ara cual4uier +unto ' to"o la recta vertical 4ue +asa +or -l . q se anula en laintersección con los lados ' "' & . ' L' % . co"o q lineal en esa recta6+ues 91cte7 entonces q*'+1# +or tanto q≡# (i los lados no son +aralelos a los e*es 6si se rota7 a+arecer/ant-r"inos cuadrticos

(i to"a"os ' "8 ' & 8 ' L8 ' %S en los centros de los lados5 no esunisolvente en "

6rado 2

&ste con*unto de nodos es unisolvente en & 6dim*& +1T7(i se eli"ina el +unto central . eli"ina"os el t-r"ino en 9 & y & tene"osun con*unto unisolvente en &

Polinomios base

Lo "s conveniente es to"ar co"o 1unciones )ase los +roductos delos +olino"ios de Lagrange en 9 . en y +or las coordenadas 9 i e y i de los nodos



$ro)le"as de ca"+o !9

Ejempo - 6rado 2

Ni*635.7?l i3637l *.6.7(iendo

l i3637 el i Msi"o +olino"io de Lagrange +or 9 # 8 9 " . 9 &

l *.637 el Msi"o +olino"io de Lagrange +or y # 8 y " e y &

09 Caso 9 varia)les M inter+olación en el es+acioLas +articiones +ueden ;acerse en tetraedros o en ;e3aedrosLos casos son si"ilares al +lano5 +or e*e"+lo5 to"ado co"o nodos los v-rtices de un tetraedrose +uede inter+olar con +olino"ios de grado total "To"ando los v-rtices de un +ris"a cu.as aristas sean +aralelas a los e*es se +ueden usar 1unciones trilineales

09B &rror de inter+olaciónNos interesa sa)er el orden de convergencia con →# Va"os a tener 4ue +edir 4ue las +articiones sean regulares5 o sea 4ue cuando →# las+ro+orciones de los ele"entos se "antengan$ara un ele"ento 6tringulo5 rectngulo5 tetraedro5 etc7(ean

e el di"etro de la "enor )ola 6c/rculos o es1era7 4ue locontieneρe el di"etro de la "a.or )ola contenida

&ntonces va"os a +edir 4ue ∃ U inde+endiente de tal 4ue3e

e

cuando .# o sea 4ue no se ac;aten de"asiado

Va"os a de"ostrar 4ue en cual4uier tringulo de la +artición5 5se cu"+le

‖u−u I ‖ L

2 (T ) %3: +1‖ 2

: +1u‖ L

2( T )

siendo C inde+endiente de 6de+ender de J . U 7 .

‖ 2: +1

u‖ L2 (T )= ∑

i+ 5=: +1‖ "i

" x1

i

" 5

" x2

5 u‖

L2 (T )

Va"os a tra)a*ar en un tringulo de re1erencia5 T 5 dev-rtices 6#8# 75 6"8# 7 . 6#8"7

"#$L$T$" eorema de Sobole!

‖u‖ L

1 (T ) % (‖u‖ L

2 (T )+‖∇u‖ L

2( T )+‖ 22u‖ L

2 (T ) )(e de"uestra si"ilar al caso di"ensión

"#$L$T$& 0ema Bramble ilbert

Dada u ∃ q∈K J tal 4ue

‖u−*‖ L2 (T )+‖∇ (u−*)‖ L

2 ( T )+‖ 22(u−*)‖ L

2 (T )+⋯+‖ 2: +1 (u−* )‖ L

2 (T ) % ' ‖ 2: +1

u‖ L2 ( T )

C6 de+ende solo de J &n el caso general5 de n M di"ensiones5 de)e ser JVnH&



$ro)le"as de ca"+o !!

"#$L$T$L Kropiedad L

∀ y∈T |u I ( y )|=|∑ 5=1

di;9:

u (V 5 ) C 5 ( y )|‖u‖ L1 ( T ) ∑ 5=1

di;9:

| C 5( y )|

Co"o esta"os en T ⇒ ∑ 5=1

di;9:

‖ C 5‖=% no de+ende de ning8n 5 sólo de+ende de J

⇒|u I ( y )| % % d!& u r!#$% rd!& rsub ^ % (A!d$>% B r!#$% ) @ % (‖u‖ L

2( T )+‖∇u‖ L

$or el teore"a de (o)olev ntegrando los cuadrados . ;aciendo ra/, . co"o el rea de T es "H& #

‖u I ‖ L

2(T )≡(∫T

|u I |

2)1 /2

√1

2 % @ % (% d!& u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% )

⇒∃ C:6 4ue sólo de+ende de J tal 4ue

‖u I ‖ L

2(T )% ' % (% d!& u r!#$% rd!& rsub 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!& u∇

"#$L$T$% Acotación del error

8aso T

q . qI son iguales5 entonces

‖u−u I ‖ L

2(T )=‖u−*+* I −u

I ‖ L2(T )‖u−*‖ L2 ( T )+‖(u−*) I ‖ L2(T )

$or +ro+iedad 9‖u−*‖

L2 ( T )+% ' % (% d!& u D r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!

1+% ') % (% d!& u D r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) + % d!& ( u ∇

$or le"a %MI

1+% ') @ ' % d!& C ^ = +1 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (A!d$>% B r!#$% ) - @ ( = ) ¿

Ec. 10-19 ‖u−u I ‖ L

2(T ) % (: )‖ 2: +1

u‖ L2 (T )

8aso #eneral :

Va"os a usar una trans1or"ación a1/n 4ue trans1or"a a T en

∃ / . c tales 4ue ∀ y∈T x= F ( y )=Gy+c∈T OO $ara 4ue no se invierta el sentido del tringulo de)e ser det BV#

Ade"s a u en le asocia"os u en T tal 4ue

∀ y∈^T u ( y )=u ( x )=u(Gy+c)



$ro)le"as de ca"+o !@

10.3..4.1 roiedad

‖u‖ L

2(T )=|det G|−1

2 ‖u‖ L

2(T )

*emos%ración

‖u‖ L2(T )=(∫T

|u ( y )|2d y)1 /2

=(∫T

|u ( x )|2|det G|−1 d x )1/2

=¿

¿|det G|−1

2 (∫T

|u ( x )|2

d x )1/2

=|det G|−1

2 ‖u‖ L

2(T )

10.3..4.2 roiedad 9

‖∇ u‖ L2 (T )

‖G‖ E

|det G|1

2‖∇u‖ L2(T )

‖G‖ E=√ ∑ bi5

2 es la nor"a &uclidea

*emos%ración#

‖∇ u‖ L2 (T )=(∫

T

|∇ u ( y )|2d y)

1 /2

=(∫T

|∇ (u∘ F )|2d y )

1/2

=¿

¿(∫T

|(∇u ) ∘ F ⋅ J F |2d y)

1 /2

=(∫T

|∇u( x )⋅G|2|det G|

−1d x )

1/2

¿|det G|−1

2

(∫T

|∇u( x )|2‖G‖ E2 d x

)1/2

= ‖G‖ E

|det G|1

2 (∫T

|∇u|2)1 /2

=¿

¿ ‖G‖ E

|det G|1

2

‖∇u‖ L

2(T )

10.3..4.3 roiedad !

+ara derivadas su+eriores

‖ 2: +1

u‖ L2(T )

‖G‖ E

: +1

|det G|

1

2

‖ 2: +1

u‖ L2(T )

Va"os a ca")iar la Nor"a euclidea ‖G‖ E +or otra nor"a5 4ue es e4uivalente a "enos deuna constante#

‖G‖≡¿

v∨|v|=1 |G v|= 1

^ E¿ v∨|v|=^ E |G v|

10.3..4.4 roiedad $

Va"os a ver 4u- relación ;a. entre ‖G‖ 5 det % . ;TWρT



$ro)le"as de ca"+o !B

sean y1, y2∈T 4ue estn en los e3tre"os de un di"etro del c/rculo de di"etro ^ E

⇒| y1− y2|=^

sus trans1or"ados seg8n = son x1 , x2∈T

(ea

|v|=| y1− y2|=^

y

y¿

F (¿¿ ¿)− F (¿¿ 2)= x1− x2

G v=G ( y1− y2 )=G y1−G y2=¿

v= y1− y2⇒¿⇒|G v|=| x1− x2| 3T +ues 35 32%T

⇒‖G‖≡1

^ ¿ v∨|v|=^ |G v| 1

^ 3T ⇒ ‖G‖

3T

^

10.3..4." roiedad E

det G ¿|T ||T |

=2|T | 6J J?rea de 7

*emos%ración

|T |=∫T

1 dx=∫T

1|det G|dy=|det G|∫T

1 dy=|det G||T |

Acotaci!n del error

(a)/a"os 4ue +ara^T

‖u−u I ‖ L

2(T ) % (: )‖ 2: +1

u‖ L2 (T )

&ntonces +or +ro+iedad A#

‖u−u I ‖

L2(T )=|det G|

1

2‖u−u I ‖

L2 (T )|det G|

1

2 % (: )‖ 2: +1

u‖ L2 (T )

6+or +ro+iedad C7

|det G|1

2 % (: ) ‖G‖ E

: +1

|det G|1

2

‖ 2: +1

u‖ L2 (T )=% (: )‖G‖ E

: +1‖ 2: +1

u‖ L2 (T )

+ero la nor"a euclidea de / es e4uivalente a la otra a "enos una constante

‖u−u I ‖ L2(T ) % (: )‖G‖ E: +1‖ 2: +1u‖ L

2 (T ) % ' (: )‖G‖: +1‖ 2: +1u‖ L2 (T )

6+or +ro+iedad D7



$ro)le"as de ca"+o >

% ' (: )( 3T

^ E ): +1

‖ 2: +1

u‖ L2 (T )=

% ' (: )

^ E: +1

3: +1‖ 2

: +1u‖ L

2 (T )=% ( = ) $ ^ = +1 % d!& C ^ = +1 u r!#$

(u"ando los cuadrados ∀ tene"os

Ec. 10-20

‖u−u

I

‖ L2

() % ( = ) $ ^ = +1 % d!& C ^ = +1 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )Ta")i-n se +uede +ro)ar 4ue

‖∇ (u−u I )‖ L

2(T ) %

T

3T

: +1‖ 2: +1

u‖ L2 (T )

. si la +artición es regular53T

T

. XC?CY

⇒‖∇ (u−u I )‖ L

2(T ) % ' 3T

: ‖ 2: +1

u‖ L2( T ) %

' 3

: ‖ 2: +1

u‖ L2( T )

(u"ando

Ec. 10-21 ‖∇ (u−u I )‖ L

2() % ' 3

: ‖ 2: +1

u‖ L2 ( )

O sea 4ue la convergencia es de orden J2" en +ara u . de orden J en +ara #u siendo J elgrado de la inter+olación usada

10.4 Métodos de Elementos Finitos

Tratare"os de ;allar una 1unción5 u 5 4ue a+ro3i"e a la solución de +ro)le"a5 u5 tan )ien co"ola inter+olante de u8 uI Co"o e*e"+lo va"os a ver el +ro)le"a de "ini"i,ar

J (u )≡ 1

2∫

|∇u|2−∫

&u

en V = u : → R∨u=0 en ( =" (i +lantea"os 4ue la variación de ) de)e ser nula5 llega"os a

∫

∇u⋅∇φ=∫

& φ ∀φ∨φ=0 en (

&n lugar de "ini"i,ar ) en ' 5 va"os a to"ar una +artición de ? . "ini"i,a"os ) enV 3= v∨v es de grado: encadatri H ngulo, v continuaen y v=0 en (

&n este caso al +lantear 7)*u +1# llega"os a#

∫

∇u3⋅∇φ3=∫

& φ3∀φ3ϵV 3

(i N "8 N & 8 $$$8 N N S es una )ase de '

⇒

φ3 ( x )=∑

5

φ 5 C 5( x)

u3 ( x )=∑i

u i C i( x )

&ntonces

Ec. 10-22

∫

∇(∑i

u i C i( x )) ⋅∇(∑ 5

φ 5 C 5( x))=∫

& (∑ 5

φ 5 C 5( x ))∀ (φ1 , φ2 ,⋯ , φ C )ϵ R C

&n +articular si to"a"os co"o 4 las 1unciones de la )ase5 o sea 64"8 4& 8 ;8 4N 7 de la )asecanónica R N

∫

∇(∑i

u i C i( x )) ⋅∇ C 5( x)=∫

& C 5( x )∀ 5=1,2, # , C

Ec. 10-23



$ro)le"as de ca"+o >9

⇒∑i

ui∫

∇ C i( x )⋅∇ C 5( x )=∫

& C 5( x)∀ 5=1,2, # , C

(i de1ini"os

Ec. 10-24 A=

[a

i5 ]∨a

i5

=

∫

∇ C i

( x) ⋅∇ C 5

( x)

Ec. 10-2" F =[ F 5 ]∨ F 5=∫

& C 5( x )

u= [u 5 ] entonces A u= F da la solución del +ro)le"aCon otros 1uncionales se +uede llegar a siste"as de ecuaciones no lineales

0< $ro+iedades de A

7 A si"-trica . de1inida +ositiva5 o sea A= A

T

y v

T

A v>0∀v

o )ien

ai5=a 5i y∑ 5

a i5 v i v 5>0

27 La "a.or/a de los ai son nulos5 a "enos 4ue los nodos i . sean cercanos 6deele"entos ad.acentes7

Co"o A es si"-trica . de1inida +ositiva entonces el siste"a de ecuaciones es co"+ati)ledeter"inado entonces +ode"os ;allar u . +or tanto +ode"os ;allar uLuego vere"os 4ue u a+ro3i"a a u con el "is"o orden de convergencia 4ue uI

"#$%$"$" Eemplo *" !ariable+

'ini"i,ar

J (u )=1

2∫

0

1

: |u ' |2−∫

0

1

&u

con u*#+1α . u*"+1 β

" J (u )=0⇔ d

d J (u+φ )|

=0

=0 ∀φ∨φ(0)=φ(1)=0

d

d [1

2∫0

1

: (u ' +φ ' )2−∫0

1

& ( u+φ )]=∫0

1

: (u ' +φ ' )φ ' −∫0

1

& φ

en 31#

∫0

1

: u ' φ ' −∫0

1

& φ=0∀φ∨φ(0)=φ(1)=0

Va"os a tra)a*ar con Kele"entos linealesK O sea to"aros una +artición de #8" 9 i H 9 i 1i8 1"HN 8 i1#8 "8$$8 N S . usare"os

φ V ϵ 3= φ∨φ de grado 1 encada I 5 ,φ continuaen [0,1 ] y φ(0)=φ (1)=0

la )ase canónica de ' es N "8 N & 8 $$$8 N N<"S H N i *9 +1W i . N i +oligonal 6continua . lineal en cada I 7



$ro)le"as de ca"+o >!

O)s-rvese 4ue si no tuvi-ra"os alguna de las condiciones de contorno u*#+1X u*"+1Y5entonces no +edir/a"os 4ue 4*#+14*"+1# . +or lo tanto ' tendr/a di"ensión "a.or +ues;a)r/a ele"entos en la )ase de la 1or"a

+or a;ora no considerare"os las condiciones de contorno5 +or lo 4ue incluire"os estosele"entos en la )ase

Co"o de)e ser ∫0

1

: u' φ

' =∫0

1

& φ∀ φϵV 3 en +articular de)e cu"+lirse +ara los ele"entos

de la )ase5 con lo cual

∫0

1

: u' C ' i=∫

0

1

& C i ∀ i=0,1,2, # , C

+ero +ode"os sustituir

u ( x)=∑ 5=0

C

u 5 C 5( x)Nótese 4ue ac inclui"os N # . N N +ues u*9+ no se anula en # ni en " sino 4ue vale X . Y5 +or tanto u# 1α . uN 1 β entonces

∫0

1

: (∑ 5=0

C

u 5 C ' 5( x)) C ' i=∫0

1

& C i∀ i=0,1,2, # , C

⇒∑ 5=0

C

u 5(∫0

1

:C ' 5 C ' i)=∫0

1

& C i∀ i=0,1,2,# , C

4ue es un siste"a de la 1or"a A u=& con



$ro)le"as de ca"+o >@

A= [ ai5 ]∨ai5=∫0

1

: C '

5 C '

i∀ i , 5=0,1,2,# , C

& =[ & i ]∨& i=∫0

1

& C i∀ i=0,1,2, # , C

0<2 Clculo de la "atri, ACo"o el intervalo 05 est dividido en N intervalos 6ele"entos7 e?3eM53e +ode"os escri)ir

ai5=∫0

1

: C '

5 C '

i=∑e=1

C

∫ I

e

: C '

5 C '

i=∑e=1

C

a i5

e

(iendo

Ae=[ ai5

e ]∨ai5

e=∫ I

e

: C '

5 C '

i

&ntonces

A=∑e=1

C

A e

7e se lla"a matri de rigide elemental del ele"ento e5Cuando son varias di"ensiones ;a. 4ue tener o*o de no con1undir la nu"eración de los nodoscon la nu"eración de los ele"entos

"#$%$&$" atrices elementales

O)servando la 1or"a de N i *9+ . N i 6*9+ ve"os 4ue de una 1unción)ase . su derivada solo son no nulas en los ele"entos 4uecontienen a su nodo asociado

$or lo tanto ai5e=∫

xe−1

xe

: C ' 5 C

' i ser nulo e3ce+to +ara 6 i1e ó

i1e<"7 . 6 1e ó 1e<"7 o sea 4ue la 1ila . colu"na corres+ondan anodos del ele"ento I e

$or lo tanto la "atri, Ae ser de la 1or"a#

Lo 4ue se ;ace es calcular sólo la su)"atri, de 232 no nula e irlas su"ado 6 &e7 en la "atri, Aen la +osición correcta 61ila . colu"na i?e<" . *?e7

ae−1,e=∫ xe−1

xe

: C ' e C

' e−1=∫

x e−1

xe

: ( 1

3 )(−1

3 )=−1

32 ∫

I e

:



$ro)le"as de ca"+o >B

ae−1,e−1=∫ xe−1

xe

: C ' e−1 C

' e−1=∫

x e−1

x e

: (−1

3 )(−1

3 )= 1

32∫

I e

:

ae , e−1=ae−1, e=−1

32 ∫ I

e

:

ae , e=∫ xe−1

xe

: C ' e C

' e=

1

32∫

I e

:

entonces la su)"atri,5 es1

32 (∫

I e

: ) [ 1 −1

−1 1 ] en la +rctica ∫

I e

: de)e calcularse nu"-rica"ente

$or la regla del +unto "edio +ode"os a+ro3i"ar

∫ I e

: 3 :

(

xe−1+ xe−1

2

)≡3 : e

La su)"atri, 4ueda#: e

3 [ 1 −1

−1 1 ] en las 1ilas . colu"nas e<" . e

(u"ando ∀e1"8 &8$$8 N

A=1

3

[

: 1 −: 1 0 ⋯ 0 0

−: 1 : 1+: 2 −: 2 ⋯ 0 0

0 −: 2 : 2+: 3 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

0 0 0 ⋯ : C −1+: C −: C

0 0 0 ⋯ −: C : C

]0<9 Clculo del vector 1

& i=∫0

1

& C i=∑e=1

C

∫ I

e

& C i=∑e=1

C

& ie

(i

& e=[ & ie]∨& i

e=∫ I

e

& C i∀ i=0, .. , C

entonces

& =∑e=1

C

& e

* e se lla"a !ector elemental de /ueras equi!alentes del ele"ento e

"#$%$L$" 'ectores elementales

Co"o N i es nulo e3ce+to en los ele"entos e<" . e entonces los / i e son todos nulos e3ce+to +ara

i1e ó i1e<"5 los cuales valen5 +or la regla del +unto "edio#

& e−1

e =∫ I e

& C e−1≅3& ( xe−1+ xe−1

2 ) C e−1( x e−1+ xe−1

2 )=3 & e1

2=

3

2 & e

& ee=∫

I e

& C e≅3& ( x e−1+ xe−1

2 ) C e( xe−1+ xe−1

2 )=3 & e12=3

2 & e




⇒ & ee=& e−1

e≅

3

2 & e

& ie=0∀ i@ e−1, e

&l su)vector no nulo es3

2

& e

[1

1

] en las colu"nas e<" . e

(u"ando ∀e1"8 &8$$8 N

& =3

2 [ & 1& 1+ & 2& 2+ & 3

⋮

& C −1+ & C

& C

] A;ora +ode"os +lantear A 1* con u=[

u0

u1

u2

⋮

u C −1

u C ]Nótese 4ue la J Msi"a ecuación 4ueda

1

3[−: e ue−1+( : e+: e+1 ) ue−: e+1ue+1 ]=3

2( & e+ & e+1)

O sea1

32 [: e (ue−ue−1 )−: e+1 (ue+1−ue) ]=

& e+& e+1

2O sea

: e (ue−ue−1

3 )−: e+1( ue+1−ue

3 )3

=& e+& e+1

2

4ue es igual al es4ue"a de di1erencias 1initas +ara *Ju Z+Z1/

0<< &nsa")lado del siste"a glo)al

$ara ensa")lar el siste"a glo)al se calcula la "atri, A . el vector 1 en 1or"a si"ilar a co"o sedescri)ió en +ara siste"as discretos5 su"ando los coe1icientes de las "atrices ele"entales enla 1ila . colu"na corres+ondiente a la nu"eración glo)al de los nodos corres+ondientes .su"ando los coe1icientes de los vectores 1 ele"entales en la 1ila corres+ondiente a lanu"eración glo)al de los nodos

10. ondiciones de contorno

0! Condiciones de Diric;let&s cuando se 1i*a el valor de u en la 1ronteraCo"o vi"os en este caso las 4 de)en anularse en el nodo corres+ondiente5 entonces la1unción )ase de ese nodo no va . de)e eli"inarse la ecuación de ese nodo Ade"s la

incógnita ui de ese nodo es conocida5 entonces se +asa la colu"na +or ui restando al 2"ie")ro



$ro)le"as de ca"+o @9

La eli"inación de las colu"nas . 1ilas corres+ondientes a los nodos con condición de Diric;letse lla"a reducción del sistema

0!2 Condiciones de Ne"ann(i 4uere"os 4ue J*9+uZ*9+1 β en 91"8 al no 1i*ar u*"+ entonces de)e ser = u6 *"+1#$&n nuestro e*e"+lo esta condición 4ueda J*9+u6*"+1# 5 +ero 4uere"os 4ue sea J*9+uZ*9+1 β

$ara ello de)e"os ca")iar F de 1or"a 4ue = u6 *"+1 J*9+uZ*9+< β$$ara ello resta"os βuZ*9+ de F5 4uedando el 1uncional

J (u )=1

2∫

0

1

: |u ' |2−∫

0

1

&u− K u' =

1

2∫0

1

: |u' |2

−∫0

1

&u−∫0

1

K u' =¿

¿1

2∫0

1

: |u' |2

−∫0

1

&u− Ku (1 )+ Ku (0)

Co"o u607 est 1i*ada +or la otra condición de contorno5 su"arla al 1uncional no ca")ia el"/ni"o $ara si"+li1icar entonces "ini"i,a"os

J (u )=1

2∫

0

1

: |u ' |2−∫

0

1

&u− Ku (1 ) . al +lantear la variación de ) nula en 31# 4ueda

∫0

1

: u ' φ ' −∫0

1

& φ− K φ(1)=0 ∀φ∨φ(0)=0 la "atri, A 4ueda igual5 +ero al vector F se le

su"a el vector [ K C 0(1)

K C 1(1)⋮

K C C (1)]=[

0

0

⋮

K]

Co"o ;a. condición de Diric;let en # 5 eli"ina"os la +ri"era ecuación . ;ace"os u# 1X La 8lti"a ecuación 4ueda . se su"a Y en el 2 "ie")ro(i ;u)iera condición de Neu"ann en # . en "5 entonces 4uedar/an todas las ecuaciones5su"ando X en el 2 "ie")ro de la . Y en el 2 "ie")ro de la 8lti"a $ara +oder resolver elsiste"a se de)er 1i*ar u en alg8n nodo5 +ues la solución +uede variar en una constante .seguir siendo solución Fi*ando alg8n ul entonces deter"ina"os una soluciónLa resolución del siste"a de ecuaciones5 cuando se o)tienen "atrices grandes5 si"-tricas .de1inidas +ositivas5 conviene ;acerla +or "-todos iterativos

"#$P$&$" Eemplo *& 'ariables+

&n este e*e"+lo vere"os 4ue con una "alla uni1or"e se llega a un es4ue"a e4uivalente al"-todo de di1erencias 1initas

−u=& en [0,1 ] > [ 0,1 ]u=g1en ( 1

" u" n=g2 en ( 2

( u ≡÷(∇u )=∇2u)

&4uivale a "ini"i,ar

J (u )=1

2∫

|∇u|2−∫

&u−∫ (

2

g2u

con u1g " en Γ "La variación del 1uncional es

" J (u )=∫

∇u∇φ−∫

&φ−∫ (

2

g2 φ

de)e ser " J (u )=0∀φ∨φ(0)=0 en ( 1



$ro)le"as de ca"+o @!

⇒∫

∇u∇φ=∫

&φ+∫ (

2

g2 φ∀φ∨φ (0)=0 en ( 1

&n este e*e"+lo ??#8"3#8"

$articiona"os en tringulos seg8n el di)u*o . nu"era"os +or un lado los nodos . +or otro ladolos tringulos de e1" a *1@&+ en un +rogra"a se de)er guardar una "ati, de conectividadde L9 4ue en cada colu"na tiene los n8"eros de nodos 4ue tiene el tringulo

corres+ondiente a esa colu"naele; 1 2 3 4 ⋯ e ⋯ 71 72

[1 1 2 2 ⋯ i ⋯ 41 41

9 2 10 3 ⋯ 5 ⋯ 49 42

8 9 9 10 ⋯ : ⋯ 48 49](e anotan en sentido anti;orario&n un +rogra"a +ara calcular cada integral se ;ace un ca")o de varia)le a T . se calcula

la integral en T con las 1unciones )ase en T Nosotros ac va"os a calcular directa"ente en e&n e la 1unción )ase asociada al nodo i es

Ni J C i( xi , yi)=1

C i( x 5 , y 5)=0

C i( x: , y: )=0

. C i ( x , y )=M ie+ Ki

e x+N i

e y

$or lo tanto [1 xi yi

1 x 5 y 5

1 x: y: ][∝i

e

Ki

e

N ie ]=[100]

:ue +uede resolverse con la regla de Cra"er dando



$ro)le"as de ca"+o @@

∝ie=

|1 x i yi

0 x 5 y 5

0 x: y : |

|1 x i y i

1 x 5 y 5

1 x: y: |=

x 5 y : − x: y 5

2 e

K ie=

|1 1 y i

1 0 y 5

1 0 y: |

|1 x i yi

1 x 5 y 5

1 x: y: |=

y 5− y:

2 e

N ie=

|1 x i 1

1 x 5 0

1 x: 0||1 x i yi

1 x 5 y 5

1 x: y: |=

x: − x 5

2 e

si los nodos i8 . J esta)an en sentido anti;orario

e=

1

2|1 x i yi

1 x 5 y 5

1 x: y: |=|T e|>0

Anloga"ente se calculan ∝ 5e

, K 5e

, N 5e y∝:

e, K:

e, N :

e

8;lculo de 7

Ia. 4ue calcular las "atrices ele"entales

Ae=[ al;

e ]∨al;

e =∫T e

∇ C l ⋅∇ C ; ∀ l , ;=1,2, # , 49

+ero los 8nicos ele"entos no nulos son a4uellos 4ue corres+onden a l . m5 nodos v-rtices de e5 o sea l . m %i8 8 J S &n ese caso

al;

e =∫T e

( " C l

" x

" C ;

" x +

" C l

" y

" C ;

" y )=∫T e

( Kl

e K;

e +N le

N ;e )=

e ( K l

e K;

e +N le

N ;e )

⇒al;

e =e ( K l

e K;

e +N le

N ;e ) sil,;ϵ i , 5 , :

La su)"atri, la Ae no nula es

&ila i 5 :

e

[ Ki

2

+N i2

K i K 5+N i N 5 K i K : +N i N :

K 5 Ki+N 5 N i K 5

2+N 52

Ki K : +N i N 5

K: Ki+N : N i K: Ki+N 5 N i K:

2+N :

2 ]colu;na

i 5

:

$or conveniencia de clculo de)e tratarse de 4ue estos ele"entos se ale*en lo "enos +osi)lede la diagonal +rinci+al5 o sea 4ue las di1erencias entre i8 . J de)en ser "/ni"as &llo se logranu"erando los nodos en un orden tal 4ue en cada ele"ento los /ndices de sus nodos di1ieran+oco(i considera"os +or e*e"+lo el ele"ento 2



$ro)le"as de ca"+o @B

2=

32

2

K1= −3

2(3

2

2 )

=−1

3 N 1=0

K2= 3

2(3

2

2 )

=1

3 N 2=

−3

2(3

2

2 )

=−1

3

K9=0 N 9= 3

2(3

2

2 )

=1

3

entonces 4ueda

&ila 1 2 9

32

2 [1

32+0

−1

32 +0 0+0

−1

32 +0

1

32+

1

32

0+−1

32

0+0 0+−1

32

0+1

32 ]

colu;na

¿1¿2

¿9

O sea

&ila 1 2 9

A2=

1

2 [1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1 ]colu;na

1

2

9

$ara el ele"ento

1=

32

2

K1=0 N 1=−1

3

K9=1

3 N 9=0

K8=−1

3

N 8=1

3&ila 1 9 8

A1=

1

2 [ 1 0 −10 1 −1

−1 −1 2 ]colu;na

1

9

8

&stas "atrices ele"entales las va"os su"ando +ara o)tener A



$ro)le"as de ca"+o

A1=

1

2

[2 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 ⋯

−1 4 −1 0 0 0 0 0 −2 0 ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

0 0 0 0 −1 4 −1 0 0 0 ⋯

0 0 0 0 0 −

1 2 0 0 0 ⋯

−1 0 0 0 0 0 0 4 −2 0 ⋯

0 −2 0 0 0 0 0 −2 8 −2 ⋯

0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 8 ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱]8;lculo de <

Ia. 4ue calcular los vectores ele"entales F e

F e=[ & l

e ]∨& le=∫

T e

& C l

estos ele"entos son nulos e3ce+to el su)vector corres+ondiente a los nodos del tringulo5 osea +ara l % i8 8 J S 4ue +ode"os calcular +or la regla del tra+ecio +ara tringulos#

∫T e

&C i≅|T e|

3 ( & i+0+0 )=

32

6 & i⇒ F

e=3

2

6

& i& 5& :

i 5

:

$ara los ele"entos " . & F 1=3

2

6 [& 10

00

00

0

& 8& 9⋮

] F 2=3

2

6 [& 1& 2

00

0

0

0

0

& 9⋮

]&stos vectores se van su"ando +ara o)tener F




F =32[

& 1/3

& 2/2& 3/2

& 4/2

& 5/2& 6/2& 7 /6

& 8/2& 9& 10

⋮

](i se co"+letan todas las cuentas se llega a un siste"a igual al 4ue se o)tiene +or di1erencias1initas

10. Elementos sales

&n el "-todo +lanteado en 0< suelen usarse +ara ' )ases co"o la 4ue se usa en 0< .en 0!25 es decir 1unciones de 1or"a Lagrangianas5 4ue valen en un nodo . son nulas enlos de"s nodos del ele"ento's adelante en 0 vere"os 4ue cuando se usa inter+olación con +olino"ios de grado totalJ la convergencia es de orden J2" en u&sto signi1ica 4ue lo 4ue i"+orta es el "a.or grado +ara el cual el +olino"io es de gradoco"+leto La inclusión de t-r"inos de grado su+erior no "e*ora la convergencia si no seco"+leta el grado su+eriorDe)ido a eso vere"os 4ue en ele"entos 2D . 9D a veces se descartan nodos de losele"entos +ara dis"inuir la cantidad total de nodos 6. +or tanto el ta"a=o del siste"a deecuaciones7 sin sacri1icar convergencia5 +ues con esto se eli"inan t-r"inos del grado

inco"+leto sin a1ectar el grado co"+leto

0> &le"entos unidi"ensionalesLos ele"entos "s usuales son seg"entos lineales de dos nodos 6uno en cada e3tre"o delele"ento7 . cuadrticos de tres nodos 6uno en cada e3tre"o . otro en el centro del ele"ento7La )ase de ' 4ue se utili,a es la 4ue contiene a las 1unciones de 1or"a usadas +arainter+olación a tro,os

=e#men%o lineal (2 nodos!

( )

( )75

1

75

2

75175

2

75

2

75

1

75

275

1

ee

ee

ee

ee

: : : : : )

: :

: : : )

−

−=

−

−=

=e#men%o cuadr;%ico (3 nodos!

( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )75

2

75

/

75

1

75

/

75

2

75

175

/

75

/

75

2

75

1

75

2

75

/

75

175

2

75

/

75

2

75

2

75

1

75

/

75

275

1

eeee

eee

eeee

eee

eeee

eee

: : : :

: : : : : )

: : : :

: : : : : )

: : : :

: : : : : )

−−

−−

=

−−

−−

=

−−

−−

=




"#$M$"$" =unciones de /orma locales y globales

Las 1unciones de 1or"a 4ue ;e"os de1inido dentro de cada ele"ento son lla"adas /uncionesde /orma locales . las usare"os cuando calcule"os las integrales dentro de un ele"ento +aracalcular la "atri, de rigide, ele"ental(in e")argo en ecuaciones co"o &c 0M22 o &c 0M29 4ue involucran integrales en todo elca"+o5 +ara cada nodo considera"os una /unción de /orma global Eti+o so")rero 6ta")i-nlla"ada /unción base +or ser +arte de la )ase de '75 de1inida en todo el ca"+o . 4ue es igual alas 1unciones de 1or"a locales corres+ondiente al nodo en los ele"entos 4ue lo contienen .nula en los de"s ele"entos$ara ele"entos unidi"ensionales lineales5 las gr1icas de las 1unciones )ase tienen 1or"astriangulares co"o se "uestra en la 1igura

0>2 &le"entos )idi"ensionales

"#$M$&$" Elementos triangulares

Al igual 4ue en la inter+olación a tro,os5 en el '&F se ;ace un ca")io de varia)le en lasintegrales +ara llevar los ele"entos triangulares a un tringulo estndar&n ese tringulo estndar la )ase de ' 4ue se utili,a es la 4ue contiene a las 1unciones de1or"a usadas +ara inter+olación a tro,os:ri;n#ulos lineales (3 modos!

( )

( )

( ) %% g )

g % g )

% g % g )

=

=

−−=

A

A

1A

/

2

1

:ri;n#ulos cuadr;%icos ( nodos!

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )% g %% g )

g%% g )

% g g % g )

%%% g )

g g % g )

% g % g % g )

−−=

=

−−=

−=

−=

−−−−=

14A

4A

14A

2A

2A

12A

.

:

4

21

/

21

2

21

1

Nótese 4ue los +olino"ios son de grado co"+leto en el caso de tringulos

"#$M$&$& Elementos cuadriláteros

&n 1or"a anloga5 ta")i-n se ;ace un ca")io de varia)le +ara llevarlo al cuadrado estndar .se usan las "is"as 1unciones de 1or"a 4ue en inter+olación en el cuadrado estndar#8uadril;%eros lineales (4 nodos!




( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )% g % g )

% g % g )

% g % g )

% g % g )

+−=

++=

−+=

−−=

11A

11A

11A

11A

41

4

41

/

41

2

41

1

8uadril;%ero cuadr;%ico serend>pi%o ( nodos!

8uadril;%ero cuadr;%ico )a#ran#iano (9 nodos!No suele utili,arse +or4ue el agregado del nodo central no ca")ia el grado total . +or tanto no"e*ora la convergencia5 "ientras 4ue au"enta la cantidad de varia)les en el siste"a

"#$M$&$L =unciones de /orma locales y globalesTa")i-n de)e"os distinguir entre las /unciones de /orma locales 4ue aca)a"os de ver 6de1inidas dentro de un ele"ento7 . las /unciones de /orma globales Eti+o so")rero o/unciones base 6de1inidas en todo el ca"+o7$ara ele"entos triangulares lineales las gr1icas de las 1unciones )ase tienen 1or"as+ira"idales co"o se "uestra en la 1igura

0>9 &le"entos tridi"ensionalesTa")i-n se ;ace un ca")io de varia)le en las integrales +ara llevar los ele"entos estndar .se usan las "is"as 1unciones de 1or"a 4ue en inter+olación a tro,osLos ele"entos tetra-dricos tendrn +olino"ios de grado co"+leto "ientras 4ue las cu=as .;e3a-dricos van a tener algunos t-r"inos de grado su+erior inco"+leto De)ido a esto suelen

usarse ele"entos serend/+itos 4ue tienen "enos nodos . el "is"o grado total




10.3 Integraci!n nmérica

&n general las integrales involucradas en el clculo de A . F de)en calcularse +or "-todos nu"-ricos Cuando se usan ele"entos de grado J 5 +ara 4ue no se a1ecte el orden deconvergencia con res+ecto a la integración e3acta5 se de)en usar 1ór"ulas de integraciónnu"-rica 4ue sean e3actas +ara +olino"ios de grado &J<& en cada varia)le +ara ele"entostriangulares o tetra-dricos5 . de grado &J<" en cada varia)le +ara ele"entos rectangulares o

;e3a-dricos$or tanto5 +ara tringulos lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +untocentral7 . +ara tringulos cuadrticos la regla +ara grado total 2 64ue usa los +untos "edios decada lado75 sin e")argo suelen usarse 1ór"ulas de 9 . > +untos +ara "e*orar la +recisión

$ara tetraedros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara tetraedros cuadrticos la 1ór"ula +ara grado 2 64ue usa cuatro +untos interiores75 +ero+ara "a.or +recisión suelen usarse 1ór"ulas de < . ! +untos

$ara cuadrilteros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara cuadrilteros cuadrticos la 1ór"ula +ara Gauss con < +untos

(in e")argo5 +ara o)tener "e*or +recisión suelen usarse 1ór"ulas con < +untos +aracuadrilteros lineales . nueve +ara cuadrilteros cuadrticos




$ara ;e3aedros lineales se +uede usar la regla del +unto "edio 64ue usa el +unto central7 .+ara ;e3aedros cuadrticos la 1ór"ula +ara Gauss con +untos5 +ero suelen usarse 1ór"ulasde +untos . 2@ +untos +ara "e*orar la +recisión

10. on"ergencia del método de elementos Finitos

0 Caso varia)le(ean#u la solución e3actauI su inter+olada de grado Q en cada * u a+ro3i"ación de ele"entos 1initos de grado Q en cada *(a)e"os 4ue ' C8 C6 tales 4ue

‖u−u I ‖ L2 ( I ) % 3

: +1‖u( : +1)‖ L

2 ( I )

‖(u−u I )' ‖ L

2 ( I ) % ' 3: ‖u

( : +1 )‖ L2( I )

Va"os a ver 4ue ‖u−u3‖ . ‖(u−u3 ) ' ‖ ta")i-n +uede acotarse as/

De"ostraciónVa"os a considerar a "odo de e*e"+lo el +ro)le"a

¿u - & ;- % >,b r!#$% u % (> r!#$% ) -u % (b r!#$% ) -0 r!#$% &*&

¿ 4ue e4uivale a

67 ∫a

b

u ' φ ' =∫a

b

&φ∀ φ V ϵ ≡ φ∨φ (a )=φ (b)=0

&n el '&F en lugar de resolver esto restringi"os a las 4 4ue son de grado J en cada ele"ento. ;alla"os u

∫a

b

u3

' φ3

' =

∫a

b

& φ3

∀φ3

ϵV 3

≡

φ de grado: en cada I

5

∨φ (a )=φ (b)=0



$ro)le"as de ca"+o B9

co"o u cu"+le &4∈' 5 en +articular ta")i-n cu"+le +ara las 4

∫a

b

u ' φ 3' =∫a

b

& φ3∀φ3ϵV 3

Restando con la ecuación de u tene"os la ecuación del error 5

∫a

b

(u−u3 ) ' φ3 ' =0 ∀φ3ϵV 3

O sea 4ue el error de uZ es ortogonal al su)es+acio V;5 entonces uZ es la +ro.ección de u

ortogonal a ' con ⟨ u , v ⟩=∫u' v'

&n +articular elegi"os φ3=u I −u3 5 4ue es de grado J en cada I 5 entonces

∫a

b

(u−u3 ) ' (u I −u3 ) ' =0

Considere"os a;ora

‖(u−u3 ) ' ‖ L2( I )

2=∫

a

b

|(u−u3 ) ' |2=∫

a

b

(u−u3 ) ' (u−u3 )' =¿

¿∫a

b

(u−u3 )' [u−u I +u

I −u3 ] ' =∫a

b

(u−u3 ) ' [ (u−u I )' +(u I −u3 ) ' ]=¿

¿∫a

b

(u−u3 )' (u−u I ) ' +∫

a

b

(u−u3 ) ' (u I −u3 )=∫a

b

(u−u3 )' (u−u I ) ' (%O)

(%O) ‖(u−u3 )' ‖ L2 ( I )‖(u−u

I ) ' ‖ L2 ( I )

⇒‖( u−u3) ' ‖ L2 ( I ) ‖(u−u I ) ' ‖ L

2 ( I ) % ' 3: ‖u

(: +1)‖ L2 ( I )⇒

⇒∃% '

∨‖(u−u3 ) ' ‖ L2 ( I ) % ' 3:

‖u(: +1)

‖ L2 ( I )

Nótese 4ue el error de u (con‖u‖=‖u ' ‖ L

2 ( I ) ) es "enor 4ue el de la inter+olada 6en realidad

+udo usarse ! +olino"ial cual4uiera en lugar de uI 7 Anloga"ente se de"uestra +ara varias varia)les 4ue

∃% ' ∨‖∇ (u−u3 )‖ L

2 ( ) % ' 3: ‖ 2

: +1u‖ L

2 ( )

"#$[$"$" Acotación de ∥u<u∥

(ea 4 ( 4*a+14*b+1# y \4:1u<u

‖u−u3‖ L2 ( I )

2=∫

a

b

(u−u3 )2=∫a

b

(u−u3 ) (u−u3 )=¿

ntegrando +or +artes−φ r!#$% ) - % &*& % (u u rsub $ r!#$% ) % (φ' r!#$% ) r!#$% r!& rsub > rsup b + !&% r

(u−u

¿∫a

b

$ues u1u en a . en b

⇒‖u−u3‖ L2( I )

2=∫

a

b

(u−u3 ) ' φ '

$ero seg8n la ecuación del error



$ro)le"as de ca"+o B!

∫a

b

(u−u3 ) ' φ3 ' =0 ∀φ3ϵV 3

en +articular +ara 414I 5 entonces

‖u−u3‖ L2 ( I )

2=∫

a

b

(u−u3 )' φ ' −∫a

b

(u−u3 ) ' φ I

' =∫a

b

(u−u3 )' ( φ−φ I )'

(%O)

φ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$% ) ⇒

¿‖( u−u3) ' ‖ L

2 ( I )‖(φ−φ

I ) ' ‖ L2 ( I ) %

' 3: ‖u

(: +1)‖ L

2( I ) %3 ¿

‖u−u3‖ L2 ( I )

2% $ ^ =+1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!#$

⇒‖u−u3‖ L2( I )

% $ ^ =+1 % d!& u ^ % (=+1 r!#$% ) r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (; r!

02 Caso varias varia)lesCo"o e*e"+lo considere"os

−u=& en

u=0 en ( &s +arecido a la de"ostración anterior

(ea φ∨− 0 φ=u−u3 en

φ=0 en (

‖u−u3‖ L2 ( )

2=∫

(u−u3 ) (u−u3 )=∫

(u−u3 ) (− 0 φ )=¿

¿−∫

( u−u3 )∇ -∇φ¿(¿)∫

∇ (u−u3 ) -∇φ−∫ (

(u−u3 )∇φ- n=¿

¿∫

∇ (u−u3 ) -∇φ

$ues u1u en >

+ode"os restarle la ecuación del error con 414I #

∫

∇ (u−u3 )-∇ φ I =0

∫

∇ (u−u3 )-∇ ( φ−φ I )∫

∇ ( u−u3) -∇φ−∫

∇ (u−u3 )-∇φ I =¿

¿∫

∇ (u−u3 ) -∇ (φ−φ I )

(%O)‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )

‖∇ ( φ−φ I )‖ L

2 ( )

% ' 3: ‖ 2

: +1u‖ L

2 ( ) % $ % d!& C ^ 2 φ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )

$ero si ? es conve3o entonces

‖ 22

φ‖ L2 ( ) % ' % d!& Gφ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )

⇒‖u−u3‖ L2( )

2 % 3

: +1‖ 2: +1

u‖ L2 ( )‖ φ‖

L2 ( )=%

¿3

: +1‖ 2: +1

u‖ L2 ( )‖u−u3‖ L

2 ( )

⇒‖u−u3‖ L2( ) %

¿3

: +1‖ 2: +1

u‖ L2( )

O sea 4ue la convergencia es de orden J2" +ara u . orden J +ara #u

10.5 Método de los residos )onderados

Va"os a ver 4ue a +artir de la 1or"ulación di1erencial del +ro)le"a 6lla"ada /orma /uerte7+ode"os llegar al "is"o es4ue"a de ele"entos 1initos 4ue lleg)a"os a +artir de la

1or"ulación variacionalConsidere"os el +ro)le"a de $oisson#



$ro)le"as de ca"+o B@

−u=& en

u=0 en ( este +ro)le"a e4uivale a ;allar u tal 4ue

∫

(− u−& )φ=0 ∀φ

u=0 en ( [sta es la 1or"a d-)il del +ro)le"a original&n +articular se va a veri1icar +ara 4 del es+acio de ele"entos 1initos 67

∫

(− u−& ) φ3=0∀ φ3∈V 3

O sea

∫

& φ3=−∫

( u ) φ3=−∫

(∇ -∇u ) φ3 ∀φ3∈V 3

Usando el teore"a de Green

∫

& φ3=∫

∇u -∇φ3−∫ (

(∇u φ3 ) - n=∫

∇u -∇φ3∀φ3∈V 3

$ues \ en nula en ]Iace"os la a+ro3i"ación de )uscar un u%' 4ue veri1i4ue esa igualdad

∫

∇u3 -∇φ3=∫

& φ3∀ φ3∈V 3

4ue es la "is"a 4ue ten/a"os en el "-todo de ele"entos 1initos 6B7&n este caso5 al igual 4ue antes5 ;e"os usado el "is"o es+acio de ele"entos 1initos5 ' 5 +aralas 4 . +ara las u &ste es el "-todo de GalerQinLos "-todos de $etrov M GalerQin to"an distintos es+acios +ara las 4 . +ara las u&l "-todo de los Residuos $onderados tiene la venta*a de 4ue ;a. ecuaciones di1erenciales4ue no tienen una 1or"ulación variacional e4uivalente A estas ecuaciones igual +uedea+licarse el "-todo de residuos +onderados

10.10 Métodos no con*ormes

&stos "-todos usan 1unciones 4 4ue sean continuas en cada ele"ento +ero +ueden ser discontinuas en la 1rontera entre ele"entos &n este caso .a no se +uede usar el teore"a deGreen en ? +ues 4 discontinua en ?

00 &*e"+lo 6 varia)le7 <u]1/ en a8b e4uivale a−u φ - !&% r*" > %* b φ φ !&> > %r*H*s∀

∫a

b

¿

⇒∫a

b

&φ=∫a

b

−u φ - su" r*" <-1 %* I+1 % (!&% r*" x rsub <1 %* x rsub < u φ ¿¿

6M!u</ 7 se lla"a Eresiduo de la ecuaciónB Las 4 se lla"an 1unciones de +eso . se to"an de una )ase de '



$ro)le"as de ca"+o BB

−¿ x 5

¿

¿+¿

x 5−1

¿

u'

( x

5 )φ¿¿

¿∑ 5=1

C +1

(∫ x

5−1

x 5

u' φ' )−∑ 5=1

C +1

u' φ| x 5−1

x 5

=∫a

b

u' φ

' −∑ 5=1

C +1

¿

+¿ x 5

¿

¿−¿ x 5

¿

φ¿u

' ( x 5 )¿

¿∫a

b

u' φ

' −u' (b ) φ (b )+u

' ( a ) φ (a )−∑ 5=1

C +1

¿

La su"atoria ser/a nula si 4 1uera continua

002 &*e"+lo 6varias varia)les7&n varias varia)les +ode"os a+licar Green en cada ele"ento +ero luego al su"ar5 lasintegrales en las 1ronteras entre ele"entos no se ven a cancelar

−u=& en

u=0 en ( e4uivale a

∫

(− u )φ=∫

&φ∀ φ lineal encada ele;ento

u=0 en (

⇒∫

&φ=∫

(−u ) φ=∑T (∫

T

(− u ) φ)=∑T (∫

T

∇u -∇φ−∫" T

"u

" nT

φ d. )=¿

¿∫

∇u -∇φ−∑T (∫

" T

" u

" nT

φ d. )Donde

" u

"nT

=∇ u- n

−¿+¿−φ

¿

φ¿d. ¿

"u

"nT

¿

⇒∫

&φ=∫

∇u -∇φ−∫ (

" u

"nT

φ d. −∫ (

¿

¿




−¿+¿−φ

¿

φ¿d.

" u

" nT

¿

⇒∫

&φ=∫

∇u -∇φ−∫ (

¿

¿

$ues

∫ (

" u

" nT

φ d. =0

(iendo ( =" ( )

¿ (

¿=(¿T " ( ))−" ( )

+¿−φ−¿=saltode discontinuidad en( ¿

φ¿

o sea 4ue la solución de la ecuación di1erencia5 si 4 es discontinua5 no cu"+le

∫

∇u3 -∇φ3=∫

&φ

$ues−¿

+¿−φ¿

φ¿

d. ¿

" u

"

nT

¿

∫ (

¿

¿

$ero los "-todos no con1or"es consisten en )uscar u lineal en cada ele"ento 4ue cu"+la

∑T (∫

T

∇u3-∇φ)=∫

&φ∀φ lineal encada ele;ento

As/ +lanteado el +ro)le"a no tiene solución 8nica5 lo cual +uede verse5 +or e*e"+lo5 si /1# 5

+ues cual4uier u constante en cada ele"ento cu"+le ∑T (∫

T

∇u3-∇φ)=0 +ues

∇u3=0 aun4ue no sea la 1unción nula

$ara tener unicidad lo 4ue se ;ace es )uscaru lineal en cada tringulo . continua en el +unto "edio de cada lado de

∑T (∫

T

∇u3-∇φ)=∫

&φ

&4 lineal en cada . continua en los +untos "edios de los lados de . 41# en ∂6^7

A;ora ;a. unicidad de solución5 +ues +ara el siste"a ;o"og-neo#

(i ∑T (∫

T

∇u3-∇φ)=0 &4 lineal en cada . continua en los +untos "edios de los lados

de T . 41# en ∂6^7 entonces #u1# en cada




&ntonces u constante en cada .5 co"o de)e ser continuaen los +untos "edios de los lados5 ese valor constante de)eser el "is"o +ara todos los tringulos5 +or tanto u esconstante en ? . co"o es nula en ∂6?7 entonces es nula entodo ?Co"o 1unciones )ase se usan las "is"as de antes +ero

co"o nodos se to"an los +untos "edios de los lados A;ora tendre"os "s nodos 4ue antes5 +ues cada tringuloa+orta dos nodos nuevos (e usan las )ases asociadas aestos nodos tanto +ara las 4 co"o +ara inter+olar u en cada

009 $atc; test(i u es lineal en cada . continua en los +untos "edios entonces

∑T

∫T

∇u-∇ φ=∫

& φ ∀φ linealen cada T y continuaen los )untos ;edios

*emos%ración−¿

+¿−φ¿

φ¿

d. ¿−¿

+¿−φ¿

φ¿

d. ¿

" u

" nT

¿

∫l

¿

" u

" nT

¿

∫ (

¿

¿

Co"o u lineal en cada tringulo su derivada es constante" u

"nT

=: l




−¿+¿−φ

¿

φ¿

d. ¿−¿

+¿−φ¿

φ¿ d. ¿−¿

+¿−φ¿

φ¿ ( ;l )¿

|: l|¿¿

: l∫l

¿

" u

" nT ¿

∫ (

¿

¿

$ues la regla del +unto "edio es e3acta +ara 42<4< 4ue es lineal . co"o 4 es continua en los+untos "edios5 642<4<76ml 7?0&ntonces

−¿+¿−φ

¿

φ¿

d. ¿

" u

" nT ¿

∫

&φ=∫

∇u -∇φ−∫ (

¿

¿

$or lo tanto

∑T

∫T

∇u-∇ φ=∫

& φ ∀φ linealen cada T y continuaen los )untos ;edios

(e +uede de"ostrar 4ue +ara u no lineales la igualdad no se cu"+le +ero la di1erencia es deorden 2 en &sto i"+lica 4ue el es4ue"a es consistente 607 .a 4ue la solución e3acta satis1ace el es4ue"ade clculo salvo un t-r"ino de orden su+erior

00< Convergencia

∑T

‖∇ (u I −u3 )‖ L2(T )

2

=∑T

∫T

∇ (u I −u3 ) -∇ (u

I −u3 )=¿

¿∑T

∫T

∇ (u I −u+u−u3 ) -∇ (u I −u3 )=¿

¿∑T (∫

T

∇ (u I −u )-∇ (u I −u3 )+∫

T

∇ (u−u3 ) -∇ (u I −u3))=¿¿∑

T

∫T

∇ (u I −u ) -∇ (u I −u3)+∑T

∫T

∇u -∇ (u I −u3 )−∑

T

∫T

∇u3-∇ (u I −u3 )

0 Consistencia no i"+lica convergencia 4ue es 4ue la solución tienda a la e3acta cuando;P0




$or Cauc;. (c;uart, . to"ando 41uI <u

∑T

‖∇ ( u I −u)‖ L

2(T )‖∇ (u I −u3 )‖ L2 (T )+∑

T

∫T

∇u-∇φ−∑T

∫T

∇u3 -∇φ

$or Cauc;. (c;art, +ara el +roducto escalar

(∑T

‖∇ (u I −u )‖ L

2 (T

)

2

)

1

2

(∑T ‖

∇

(u

I −u3 )‖

L2

(T )

2

)

1

2+

∑T ∫T

∇u -∇φ−

∑T ∫T

∇u3

-∇φ

¿(∑T

‖∇ ( u I −u )‖ L

2 ( T )

2

)1

2 (∑T

‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( T )

2

)1

2+∑T

∫T

∇u -∇φ−∫

&φ

$ues las u se )uscaron de "odo 4ue ∑T

∫T

∇u3-∇ φ=∫

&φ &4 lineal en cada .

continua en los +untos "edios5 cosa 4ue cu"+le en +articular 41uI <u

⇒∑T

‖∇ (u I −u3 )‖ L2(T )

2

(∑T

‖∇ (u I −u)‖ L2 (T )

2

)1

2 (∑T

‖∇ (u I −u3 )‖ L

2 (T )

2

)1

2+|∑T

∫T

∇u -∇φ−∫

&φ|Dividiendo +or la segunda su"atoria

⇒(∑T

‖∇ (u I −u3)‖ L2 (T )

2

)1

2 (∑T

‖∇ (u I −u )‖ L2 (T )

2

)1

2+|∑T ∫T

∇u -∇φ−∫

& φ

|(∑

T

‖∇ (u I −u3 )‖ L2 (T )

2

)1

2

$ero co"o uI lineal en cada T# ‖∇ (u−u I )‖ L

2() % ' 3‖ 2

2u‖ L

2 ( )

⇒‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( ) %

' 3‖ 2

2u‖ L

2 ( )+|∑

T

∫T

∇u -∇φ−∫

& φ|‖∇ (u I −u3)‖ L2 ( )

Co"o vi"os en el $atc; Test5 el nu"erador del 8lti"o t-r"ino se anula cuando u es lineal encada tringulo . es de orden 2 en en otro caso Con lo cual 4uedar/a# $ % d!& C ^ 2 u r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% )

‖∇ (u I −u3 )‖ L2 ( )

% ¿

Co"o

‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )=‖∇ (u−u

I +u I −u3 )‖ L2 ( ) ‖∇ (u−u

I )‖ L2 ( )+‖∇ (u

I −u3 )‖ L2 ( )

&ntonces

‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( ) %

¿3‖ 2

2u‖ L

2 ( )

O sea 4ue la convergencia de #u es de orden ;

10.11 Métodos mi$tos(e usan en siste"as de ecuaciones di1erenciales +arciales . consiste en usar +ara unas1unciones incógnita distintas 1unciones )ase 4ue +ara otras 1unciones incógnitas

0 &*e"+lo - &cuaciones de NavierM(oQes

− u+ (u -∇ ) u+∇ )=& Donde#

u ( x)=(u1 ( x , y , $ ) ,u2 ( x , y , $ ) , u3 ( x , y , $ ) ) es la velocidad

) ( x )= ) ( x , y , $ ) es la +resión

& ( x )= & ( x , y , $ ) es la 1uer,a a+licada so)re el 1luido

$ara 1luidos inco"+resi)les la ecuación de continuidad es¿u=0




_ la condición de contorno +uede ser u=0 en " ( )&stas ecuaciones vectoriales dan < escalares#

−u i+ (u -∇ )ui+" )

" x i

=& i eni=1,2,3

∇ - u=0 en

u=0 en " ( )

La ecuación de (toQes no lleva el t-r"ino (u -∇ ) u . 4ueda

−u i+" )

" x i

=& i eni=1,2,3

∇ -u=0 en

u=0 en " ( )

&ste +ro)le"a no corres+onde a la "ini"i,ación5 de un 1uncional sino a un +unto deensilladura

$ode"os derivar el "-todo de ele"entos 1initos directa"ente de las ecuaciones di1erenciales+or el "-todo de residuos +onderadosUsa"os co"o 1unciones de +eso φ=(v , * )'ulti+lica"os cada ecuación +or una co"+onente de φ e integra"os en ( 67

∫

(− ui+" )

" x i )φ vi=∫

& i v i∀ vi∨v i=0 en " ( ) i=1,2,3

∫

(∇ - u ) *=0 ∀*

usando el teore"a de Green en las as ecuaciones

∫

∇ui -∇vi−∫

) " v i

" x i

=∫

& i vi∀ vi∨vi=0 en " ( ) i=1,2,3

∫

(∇ -u )*=0∀ *

O sea 627

(1 )∫

∇u - ∇ v−∫

)∇ - v=∫

& v ∀ v∨v=0 en " ( )

∫

(∇ - u ) *=0∀ *

&ste +ro)le"a corres+onde al +unto de ensilladura de

J (u , ) )=1

2∫

|∇u|2−∫

) (∇ -u )−∫

& - u

+ues es "/ni"o en unas varia)les . "3i"o en otrasLa variación res+ecto a u es

0="u J (u , ) )=∫

∇u- ∇ v−∫

)∇ - v−∫

& v∀ v∨v=0 en " ( )

4ue es la +ri"er ecuaciónLa variación res+ecto a + es

∇ - u=¿ (u )2 ∇u es la *aco)iana de u



$ro)le"as de ca"+o

0=" ) J (u , ) )=∫

(∇ -u )*=0∀*

4ue es la segunda ecuaciónta")i-n +uede verse co"o un "/ni"o condicionado a ∇ - u=0

to"ando v∨∇

- v=0⇒

∫

)∇

- v=0

⇒ (2 ) ∫

∇u- ∇ v−∫

& v=0 ∀ v∨v=0 en " ( ) y ∇ - v=0 en

∇ - u=0&s "s 1cil resolver 4ue 2 +ues no se i"+onen restricciones a u 6+ero en 2 no a+arece laincógnita p7&stos +ro)le"as +ueden resolverse +or un "-todo "i3to5 4ue usa una )ases +ara u3 .

v . otra )ase +ara p . q

"#$""$"$" Apro9imación por elementos /initos de "

%usca"osu

. p

Hu

. p

+olino"iales a tro,os .

∫

∇u3 - ∇v3−∫

)3∇ - v3=∫

& v3∀ v3enel es)acio de EF ∨v3=0 en " ( )

∫

(∇ - u ) *3=0∀ *3 enel es)acio de EF

Va"os a ver en 4u- condiciones tene"os esta)ilidadCo"o el +ro)le"a es lineal5 +ara 4ue ;a.a esta)ilidad )asta 4ue

‖∇ u3‖ L2 ( )+‖ )3‖ L

2( ) % ‖& ‖

L2 ( )

To"e"os

v3=u3

*3= )3

∫

‖∇u3‖2−0=∫

& - u3 (%O )‖& ‖ L

2 ( )‖u3‖ L2 ( )

∫

(∇ -u ) )3=0

‖∇ u3‖ L2 ( )

2‖& ‖

L2( )‖u3‖ L

2 ( )

. co"o u3=0 en " ( ) . ? acotado entonces ∃% ' ∨‖u3‖ L

2 ( ) % ' ‖∇u3‖ L2 ( )

∃% ' ∨‖∇ u3‖ L

2 ( )

2‖& ‖

L2( )% ' ‖∇u3‖ L

2( )⇒‖∇u3‖ L

2( ) % ' ‖& ‖

L2 ( )

&ntonces ;a. esta)ilidad +ara la u$ara de"ostrar la esta)ilidad +ara la p de)e"os +edir 4ue se cu"+la la condición deesta)ilidad le %a)usQa %re,,i 6%%7 4ue es 4ue ∃ `W0 inde+endiente de tal 4ue

M ‖ )3‖ L2 ( )

¿v3

∫

(∇ - v3 ) )3

‖∇v3‖ L2 ( )

∀ )3ϵV 3

si esa condición se cu"+le

⇒∃ v3∨M ‖ )3‖ L2 ( )

∫

(∇ - v3 ) )3

‖∇v3‖ L2 ( )

∀ )3ϵV 3

+ero




∫

∇u3 - ∇ v3−∫

)3∇ - v3=∫

& v3∀ v3 enel es)acio de EF ∨v3=0 en " ( )

⇒∫

)3∇ - v3=∫

∇u3 - ∇v3−∫

& v3

⇒M ‖ )3‖ L2 ( )

∫

∇u3 - ∇ v3

‖∇ v3‖ L2 ( )

−∫

& v3

‖∇v 3‖ L2 ( )

(%O)

‖∇u3‖ L2 ( )+ ‖v3‖ L

2 ( )

‖∇ v3‖ L2 ( )

‖& ‖ L

2 ( ) ‖∇u3‖ L2 ( )+% ‖& ‖

L2 ( )

⇒‖ )3‖ L2 ( )

1

M ‖∇u3‖ L

2 ( )+

%

M ‖& ‖

L2 ( )

_ co"o ‖∇ u3‖ L2 ( ) % ' ‖& ‖ L

2 ( )

∃% % d!& p rsub $ r!#$% rd!& rsub ^ 2 % (E r!#$% ) @‖& ‖ L

2 ( )

⇒¿en estas condiciones se +uede +ro)ar 4ue

‖∇ (u−u3 )‖ L2 ( )+‖ )− )3‖ L

2 ( )

%

M [‖∇ (u−u

I )‖ L2 ( )+‖ )− )

I ‖ L2 ( ) ]

o sea 4ue si 4uere"os 4ue ;a.a convergencia de orden J de)e"os usar +ara u inter+olaciónde grado J . +ara p inter+olación de grado J<"$$ero esto es as/ si se cu"+le la condición de %% Va"os a ver en 4u- condiciones se cu"+leCo"o en la ecuación sólo est # p5 entonces p +uede variar en una constante5 +or tanto

+ode"os elegir los p +ara 4ue ∫

)3=0 . +ara esas p se +uede +ro)ar 4ue e3iste vsolución del +ro)le"a

∇ - v3= )3

v3=0 en " ( ) tal 4ue ‖∇ v‖

L2 ( ) % ‖ )3‖ L

2 ( ) con C inde+endiente de p . v

&ntonces

∫

)3∇ - v3=∫

( )3 )2=‖ )3‖ L2 ( )

2P‖ )3‖ L

2 ( )

‖∇v‖ L

2 ( )

%

⇒∃ v y M = 1

% >0∨M ‖ )3‖ L

2 ( )∫

)3∇

-

v3

‖∇ v‖ L

2 ( )

&sta no es la condición de %% a "enos 4ue +oda"os sustituir ! +or una ! del es+acio de &F$ode"os ;acerlo si to"a"os una inter+olación de ! 5 ! I tal 4ue

(1 )∫

)3∇ - v=∫

)3∇ - v I ∀ )3

.

(2 )‖∇ v I ‖ L

2( ) % ‖∇v‖ L2 ( )con% inde)endiente de3

"#$""$"$& Caso con!ergencia de orden "

_a ;a)/a"os visto 4ue si se cu"+l/a la condición de %%5 +ara tener convergencia de orden ;a)/a 4ue to"ar# +ara p +olino"ios de grado )0+ara ! +olino"ios de grado )




6Notar 4ue las p +ueden ser discontinuas +ero las ! no +ues a+arece ∇ - v 7

+ero si to"a"os u +olino"ial de grado entonces ∇ - u3 es +olino"ial de grado 0 . co"o

de)e cu"+lirse ∫

(∇ -u3 ) *3=0∀ *3 )olino;ial de grado0 entonces

+ara *3=∇ -

u3⇒∫

(∇ -

u3 )2

=0⇒∇ -

u3=0 en entonces no se cu"+le 67

$ara solucionar este +ro)le"a to"are"os +ara ! +olino"ios de grado 2 . construire"os unainter+olación 4ue cu"+la . 2Co"o en cada T p es constante entonces +ara 4ue se cul+a

∫

)3∇ - v I = )3∫

∇ - v I = )3∫

∇ - v=∫

)3∇ - v

(i

∫

∇ - v I =∫

∇ - v⇔(¿ )∫

"T

v

I -nT d. =∫

" T

v - nT d.

&ntonces de)e"os construir una inter+olación 4ue cu"+la#

∫" T

v I - nT d. =∫" T

v - nT d.

/n%erpolacion (caso 2 variables!

Co"o ! I ser de 2 grado5 tene"os 4ue 1i*ar > coe1icientes +ara cadaco"+onente5 total 2 coe1icientes7 Deter"ina"os los valores en los v-rtices

v 5 I ( )i )=v 5 ( ) i )i=1,2,3 5=1,2

son5 > condiciones27 Deter"ina"os ! I en los +untos "edios de los lados +ara 4ue

∫l

v 5

I d. =∫

l

v 5 d. l=1,2 5=1,2,3⇒∫"T

v

I - nT d. =∫

" T

v - nT d.

&ntonces se veri1ica 67&l orden de convergencia es +or4ue los p son de grado 0 (i4uere"os orden de convergencia 2 tendre"os 4ue usar p de grado . +ara 4ue se cu"+la la condición de %%5 ! de)e sr de grado 2 "suna 1unción )ur)u*a 6de grado 97La 1unción )ur)u*a )637 es de grado 9 . vale 0 en los lados deltringulob*9+1λ "*9+λ & *9+λ L*9+

(iendoλ "*9+1# la ecuación del lado λ & *9+1# la ecuación del lado 2

λ L*9+1# la ecuación del lado 9

la +arte de 2 grado se constru.e igual 4ue antes . se le su"a a cada co"+onente la 1unción)ur)u*a +or un coe1iciente a deter"inarCo"o p es de er grado5 la igualdad 67 4ueda

∫T

( a+b x1+c x2 )∇ - v=∫T

( a+b x1+c x2 )∇ - v I

4ue se cu"+lir si se cu"+len#

∫T

∇ - v=∫T

∇ - v I

∫T

x1∇ - v=∫T

x1∇ - v I




∫T

x2∇ - v=∫T

x2∇ - v I

La +ri"er igualdad se cu"+le +ues b*9+1# en ∂ 5 entonces en ∂ sólo 4ueda la +arte de 2grado 4ue .a vi"os 4ue cu"+le

∫" T

v I

- nT d.

=∫" T

v - nT

d.

_ se eligen los coe1icientes de la 1unción )ur)u*a en cada co"+onente de v I +ara 4ue se

cu"+lan las otras igualdades(/ se usaran solo +resiones continuas entonces se +ueden to"ar ! e grado 2 . p de grado .se cu"+le la condición de %%6&n este caso en lugar de au"entar el es+acio de las ! ;e"os ac;icado el de las p7 (e +uede de"ostrar 4ue e3iste la inter+olación ! I +ero no se sa)e cul es

10.12 Integraci!n redcida

&l uso de 1unciones con divergencia nula se lla"a )lo4ueo

∫

(∇ -u3 )2=0⇔∇ -u3=0 en

La integración reducida re"+la,a la integral +or una regla de integración 4ue no es e3acta +arael grado usado &ntonces

∫a)rox

(∇ - u3 )2=0 no i"+lica ∇ - u3=0 en

As/ ;a)r "s 1unciones 4ue cu"+lan ∫a)rox

(∇ - u3 )2=0

Algunos "-todos "i3tos se +ueden ver co"o "-todos de integración reducida5 4ue se usan+ara evitar el )lo4ueo

10.1( Sistemas no en régimen

09 $ro)le"as +ara)ólicos

"#$"L$"$" Eemplo < Ecuación del calor$

" u

"t −u=& en > (0,T )

u=0 e n " > ( 0,T )u=u0 en> 0

Donde u1u*98t+ es la te"+eratura . 9 es la distanciat es el tie"+o

Lo usual es usar un "-todo de &F +ara las varia)les es+aciales . ree"+la,ar"u

" t +or un

cociente incre"ental6Otra +osi)ilidad es usar ele"entos 1initos en todas las varia)les7Usando residuos +onderados5 +ara cada t "ulti+lica"os +or la 1unción de +eso 4 e integra"os

∫

" u

" t φ−∫

( u ) φ=∫

&φ

. usando Teore"a de Green

∫

" u

" t φ+∫

∇u -∇φ=∫

&φ )ues∫"

∇u - φ=0 ya*ueφ=0 en"

$articiona"os ? . usa"os &F sustitu.endo u . 4 +or u . 4&l +ro)le"a es ;allar u tal 4ue




∫

" u3

"t φ3+∫

∇u3 -∇φ3=∫

& φ3∀φ3 del es)acio de EF ∨φ3=0 en"

Co"o

u3 ( x ,t )=∑i=1

C +1

ui (t ) C i( x)

φ3 ( x )=∑i=1

C +1

φi C i( x)

∫

(∑i=1

C +1 " ui ( t )

" t C i( x )) C 5( x )+∫

(∑i=1

C +1

u i (t )∇ C i( x))-∇ C 5( x )=∫

& C 5( x)∀ 5=1,⋯, C

∑i=1

C +1

( "ui ( t )

" t ∫

C i( x) C 5( x ))+∑i=1

C +1

(ui ( t )∫

∇ C i( x)-∇ C 5( x ))=∫

& C 5( x )∀ 5=1,⋯ , C

De1iniendo#

G=[ bi5 ]∨bi5=∫

C i( x) C 5( x )

F =[ & 5 ]∨& 5=∫

&C 5( x )

A= [ ai5 ]∨ai5=∫

∇ C i( x) -∇ C 5( x )

&ntonces

G " u ( t )

" t + A u (t )= &

4ue es un siste"a de ecuaciones di1erenciales ordinarias con valor inicial u ( x , 0 )=u0

( x ) .se +uede resolver +or alg8n "-todo de RungeMXutta +or e*e"+lo usando di1erencias ;aciaatrs o)tene"os un "-todo i"+l/cito

1

0 t G (un−u

n−1 )+ A un= &

( 1

0 t G+ A )u

n=& +1

0t G u

n−1

Usando di1erencias ;acia adelante tene"os un "-todo e3+l/cito +ero re4uiere ∆t "enores1

0 t G (u

n+1−un )+ A u

n= &

1

0 t

G un+1=& +

(1

0 t

G− A

)u

n

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