100412_195_Trabajo_Fase_3

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

ECBTI 100412-

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO N°3


LINA DANIELA REYES

JESSICA LORENA OLAYA

EUDY FERNEY GONZALEZ

JUAN CLIMACO PINILLA OSPITIA

CODIGO 100412_195

ADRIANA GRANADOS COMBA

TUTORA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

COLOMBIA

2014


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INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la

interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber,

aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de

algún conjunto de parámetros. En el presente trabajo colaborativo efectuaremos aplicaciones de la

unidad 3 del módulo de Ecuaciones Diferenciales usaremos las series matemáticas y en especial la

serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. En los Ejercicios que se

establecen a continuación se evidenciaran todo lo estudiado en esta unidad ya sí mismo a través de

los juegos lúdicos presentados de manera creativa aprenderemos más de este fascinante mundo de

las ecuaciones diferenciales.


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Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:

3y” – 2xy’ + 8y = 0, y (0) = 3, y´ (0) = 0

1

1. Revisar la convergencia de las siguientes series

2.


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Convergencia de

Luego tenemos Como el factorial es positivo siempre

Criterio del cociente

Ahora

Como la serie converge a cero

Convergencia de ;

Es positivo siempre

Criterio del cociente

→ se divide por todos los términos

Luego

→


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La serie se converge

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0:

4. Resolver por series la ecuación diferencial

Son puntos singulares y los son puntos ordinarios.

Trabajemos con el punto ordinario , los candidatos a la solución son de la forma

Debemos hallar las : derivamos dos veces:

Pasamos a sustituir y en la ecuación diferencial original:


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Homogenizamos las potencias de

Haciendo

Todo en términos de :

Ahora homogenizaremos el índice de las series:

Luego:

Comparando coeficientes:


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Formula de recurrencia para los coeficientes:

Iteremos la fórmula de recurrencia:

Volviendo a:

La solución general:


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Siendo dos soluciones linealmente independientes.

El ejercicio resuelto, solo tiene validez para la ecuación diferencial con condiciones iniciales. Si la condición inicial esta en , utilizamos las series Maclaurin y si la condición inicial

esta en , utilizamos la serie Taylor.

5. Encuentre para la ecuación diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto ordinario x=0 que sean linealmente independientes.

Suponemos la solución de la forma

Reemplazando en la ecuación original

Expandiendo algunos términos

Igualando términos se obtiene


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Luego

Son dos soluciones linealmente independientes

Tercera actividad: Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participación y el ejercicio de solución a una situación planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:

Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostración que pueden realizar posteriormente continúan con el análisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema

Un cohete con masa estructural m1, contiene combustible de masa inicial m2; se dispara en línea recta hacia arriba, desde la superficie de la tierra, quemando combustible a un índice constante a (es decir , donde m es la masa variable total del cohete) y expulsando los productos de escape hacia atrás, a una velocidad constante b en relación al cohete. Si se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg, donde g la suponemos constante; encontrar la velocidad y la altura alcanzada en el momento de agotarse el combustible (velocidad y altura de apagado).


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Pero teníamos y como el tiempo de apagado se produce cuando m = m1 ya que no hay combustible, es decir Por


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lo tanto o sea que

cuando = velocidad de apagado.

Sustituyendo, queda que

De la misma manera se encuentra que = altura alcanzada al acabarse el combustible.

=


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CONCLUSION

� Resolvimos la ecuación diferencial mediante el uso de series de potencias,operando el

símbolo sumatoria para operaciones básicas como son la derivación y enfasamiento de tal

forma que se puedan encontrar los coeficientes inderminados de la solución en forma de

serie de potencias para el caso particular de una ecuación de segundo orden, la cual luego se

procede a verificar mediante separación de variables


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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Gómez, R (2012).Modulo de Ecuaciones Diferenciales. Palmira

Aula Virtual Curso de Ecuaciones Diferenciales

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