ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE I- UNIDAD 1

PRESENTADO POR:

YAMILE SERRANO ARO CÓDIGO: 37544661

OSCAR MAURICIO MELO CÓDIGO 80.452.627

MARTHA LILIANA IDROBO CÓDIGO 1061748588

DIEGO FERNANDO MUÑOZ ARANA CÓDIGO: 72.226.591

GRUPO: 100412_4

TUTOR: MARCELA ALEJANDRA PRADO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIAS E INGENIERIAS

MAYO

INTRODUCCION

Uno de los objetos de este trabajo es aplicar el ABP (Estrategia de aprendizaje basada en problemas)

que es una metodología centrada en el aprendizaje, en la investigación y reflexión que siguen los alumnos

para llegar a una solución ante un problema planteado por el profesor. Generalmente, dentro del proceso

educativo, el docente explica una parte de la materia y, seguidamente, propone a los alumnos una

actividad de aplicación de dichos contenidos. Sin embargo, el ABP se plantea como medio para que los

estudiantes adquieran esos conocimientos y los apliquen para solucionar un problema real o ficticio, sin

que el docente utilice la lección magistral u otro método para transmitir ese temario.

El ABP favorece el desarrollo de habilidades en cuanto a la búsqueda y manejo de información y además

desarrolla las habilidades de investigación ya que, los alumnos en el proceso de aprendizaje, tendrán que,

a partir de un enunciado, averiguar y comprender qué es lo que pasa y lograr una solución adecuada.

La temática a tratar dentro de este trabajo es la introducción a las ecuaciones diferenciales; una ecuación

diferencial es una ecuación que contiene la derivada de una o más variables dependientes con respecto a

una o más variables independientes.

Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma

individual.

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

A. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) = 0. Es una Ecuación Diferencial Ordinaria E.D.O

1° orden

1° grado

No es lineal porque la función seno es función de (y).

B. 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0 Es una Ecuación Diferencial Ordinaria E.D.O

Segundo orden, lineal.

C. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥 Segundo orden, lineal.

D (2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 Primer orden,

No lineal debido al termino cuadrático

E. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 Primer orden, lineal.

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

01

2

2

xx

yy

dx

dy

Para comprobar, simplemente reemplazamos los términos de la ecuación por concepto de x:

𝑦 =1

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−1

𝑥2

Reemplazando, tenemos:

01

1

112

2

22

xx

x

xx

Tenemos que:

01111

2222

xxxx

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

Realizado por Yamile Serrano Aro

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

𝑦 {𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐸. 𝐷. 𝑂; 1°𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛; 1°𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜; 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙}

𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = (−2𝑥) ∗ 𝑑𝑥 {𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠}

∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = ∫(−2𝑥) ∗ 𝑑𝑥 {𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙}

𝑦2

2 =

−2𝑥2

2+ 𝐶 {𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠}

𝑦2

2 = −𝑥2 + 𝐶 {𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜}

𝑦2 = 2(−𝑥2) + 𝐶 {𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦}

√𝑦2 = −√2𝑥2 + 𝐶 {𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠}

𝒚 = −√𝟐𝒙𝟐 + 𝑪 {𝐸𝑐𝑢𝑎𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎}

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0

Multiplicando por dx.

2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑦

Luego es una ecuación exacta.

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 − 𝑥2 + 𝑔(𝑦)

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦)

2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦) = 2𝑥𝑦 + 0

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2 − 𝑥2

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

(3𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑦 = 0

𝜕𝑀

𝜕𝑦= 3𝑥 + 2𝑦

𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑥 + 𝑦

Luego NO es exacta.

Dividimos en ambos lados por xy

(3𝑥𝑦 + 𝑦2)

𝑥𝑦𝑑𝑥 +

(𝑥2 + 𝑦𝑥)

𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

Simplificando, tenemos:

(3 +𝑦

𝑥) 𝑑𝑥 + (

𝑥

𝑦+ 1) 𝑑𝑦 = 0

Despejamos para dy/dx

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

− (3 +𝑦𝑥

)

(𝑥𝑦 + 1)

Hacemos la sustitución u=y/x

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑢)

𝑦 = 𝑢𝑥

Haciendo uso de la regla del producto

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢 + 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Sustituimos

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑔(𝑢)

Para nuestro sistema, tenemos:

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=

−(3 + 𝑢)

(1𝑢

+ 1)

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=

−(3 + 𝑢)

(1𝑢 + 1)

− 𝑢

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=

−𝑢(3 + 𝑢)

𝑢 + 1− 𝑢

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=

−2𝑢(2 + 𝑢)

𝑢 + 1

Separando variables:

(𝑢 + 1

−2𝑢(2 + 𝑢)) 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑥

Integrando

∫ (𝑢 + 1

−2𝑢(2 + 𝑢)) 𝑑𝑢 = ∫

𝑑𝑥

𝑥

−1

2∫ (

𝑢 + 1

𝑢(2 + 𝑢)) 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐1

Resolvemos la primera integral

−1

2∫ (

𝑢 + 1

𝑢(2 + 𝑢)) 𝑑𝑢 = ∫ (

𝑢 + 1

2𝑢 + 𝑢2) 𝑑𝑢

Aplicamos la sustitución:

2𝑢 + 𝑢2 = 𝑤

(2 + 2𝑢)𝑑𝑢 = 𝑑𝑤

(1 + 𝑢)𝑑𝑢 =𝑑𝑤

2

−1

4∫

𝑑𝑤

𝑤= −

1

4𝑙𝑛|𝑤| = −

1

4𝑙𝑛|2𝑢 + 𝑢2|

−1

4𝑙𝑛|2𝑢 + 𝑢2| = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐2

𝑒−14

𝑙𝑛|2𝑢+𝑢2| = 𝑒𝑙𝑛|𝑥|+𝑐2

(2𝑢 + 𝑢2)−1/4 = 𝐾𝑥

Dejando en términos de las variables originales:

(2𝑦

𝑥+ (

𝑦

𝑥)

2

)−1/4

= 𝐾𝑥

D. Resuelva la ecuación diferencial

y

x

x

y

dx

dy

Hacemos la sustitución u=y/x

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑢)

𝑦 = 𝑢𝑥

Haciendo uso de la regla del producto

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢 + 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Sustituimos

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑔(𝑢)

𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑢 +

1

𝑢

𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=

1

𝑢

𝑢𝑑𝑢 =𝑑𝑥

𝑥

∫ 𝑢𝑑𝑢 = ∫𝑑𝑥

𝑥

u2

2= ln|x| + C

En términos de las variables originales:

1

2(

𝑦

𝑥)

2

= 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶

𝑦2 = 2𝑥2(𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶)

E. Resuelva la ecuación diferencial

√𝑦𝑥4 + 𝑦′ = 0

Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −(√𝑥4

√𝑦4 )

Separamos variables

𝑑𝑦

√𝑦4= −(√𝑥

4)𝑑𝑥

Integramos

∫𝑑𝑦

𝑦1/4= − ∫ 𝑥1/4𝑑𝑥

4

3𝑦3/4 =

4

5𝑥3/4 + 𝐶

ACTIVIDAD COLABORATIVA

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la

única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar

el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la

tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m

3/s de

agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el

lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Datos

V (0) = Volumen inicial: 6000 *106m3

A=Caudal entrante: 10000 m3/s

B=Caudal saliente: 8000 m3/s

C1=Sustancia contaminante 2 m3/s

Q(t)=? cantidad de concentración de contaminante

Grafica

Tasa de contaminante por dia:

2𝑚3

𝑠∗

60

𝑠𝑒𝑔∗

60

𝑚𝑖𝑛∗

4

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠= 28800

Variación del volumen

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐴 − 𝐵

𝑑𝑣 = (𝐴−𝐵)𝑑𝑡

V= (𝐴−𝐵) + C

𝑉(𝑡) = (𝐴 − 𝐵)𝑡 + 𝑉(𝑜)

Variación del Contaminante

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝑅1 − 𝑅2

R1= Razón de entrada de la mezcla

R2= Razon de Salida de la mezcla

Entonces

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶1 −

𝐵 ∗ 𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)

La concentración de la sustancia en el recipiente es:

𝐶 =𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)

Reemplazamos los datos del ejercicio

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 10.000

𝑚3

𝑠∗ 2

𝑚3

𝑠−

8000𝑚3

𝑠∗ 𝑄(𝑡)

2000 m3/s

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 10.000

𝑚3

𝑠∗ 2

𝑚3

𝑠−

8000𝑚3

𝑠 ∗ 𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 20.000

𝑚3

𝑠−

8000𝑚3

𝑠 ∗ 𝑄(𝑡)

(𝐴 − 𝐵)𝑡 + 𝑉(𝑜)

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 20.000

𝑚3

𝑠−

8000𝑚3

𝑠 ∗ 𝑄(𝑡)

(20.000 − 8000)𝑡 + 6000 ∗ 106

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝐵 ∗ 𝑄(𝑡)

𝑉(𝑡)= 𝐴 ∗ 𝐶1

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

8000 ∗ 𝑄

(12000) + (0) + 6000 ∗ 106= 20.000

𝑑𝑄

𝑑𝑡+

8𝑄

6 ∗ 106= 20.000

𝜇 = 𝑒∫

8𝑄6∗106 = 𝑒

8𝑡6∗106

𝑒8𝑡

6∗106 ∗𝑑𝑄

𝑑𝑡+ 𝑒

8𝑡6∗106 ∗

8𝑄

6 ∗ 106= 𝑒

8𝑡6∗106 ∗ 20.000

𝑑

𝑑𝑡(𝑒

8𝑡6∗106 ∗ 𝑄(𝑡)) = 20000𝑒

8𝑡6∗106

∫ 𝑑 (𝑒8𝑡

6∗106 ∗ 𝑄(𝑡)) = ∫ (20000𝑒 8𝑡

6∗106) 𝑑𝑡

𝑒8𝑡

6∗106 ∗ 𝑄(𝑡) = 120 ∗ 109𝑒 8𝑡

6∗106 + 𝐶

𝑄(𝑡) = 120 ∗ 109 + 𝐶𝑒 −(

8𝑡6∗106)

Hayamos valor de C para Despejarla

𝑄(0) =0

0 = 120 ∗ 109 + 𝐶𝑒 −(

8∗06∗106)

0 = 120 ∗ 109 + 𝐶

𝑐 = −120 ∗ 109

Sustituimos C en la ecuación

𝑄(𝑡) = 120 ∗ 109 − 120 ∗ 109𝑒 −(

8𝑡6∗106)

Esta ecuación nos ayuda a encontrar la cantidad de contaminante en un tiempo

Determinado.

Promedio de contaminante por día

Como durante el día solo se presenta entrada del contaminante en 4 horas,

Realizamos un promedio de entrada por día así:

Tasa de contaminante por dia:

2𝑚3

𝑠∗

60

𝑠𝑒𝑔∗

60

𝑚𝑖𝑛∗

4

ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠= 28800

𝑄(28800) = 120 ∗ 109 − 120 ∗ 109𝑒 −(

8∗288006∗106 )

𝐶 =𝑄(28800)

6000 ∗ 106

𝑪 =0.007534%

Tasa de contaminante por mes:

28800 ∗ 30 = 864.000

𝑄(864.000) = 120 ∗ 109 − 120 ∗ 109𝑒 −(

8∗864.0006∗106 )

𝐶 =𝑄(864000)

6000 ∗ 106

𝑪 = 𝟎. 𝟎136799%

Tasa de contaminante por año

28800 ∗ 365 = 10512000

𝑄(10512000) = 120 ∗ 109 − 120 ∗ 109𝑒 −(

8∗105120006∗106 )

𝐶 =𝑄(10512000)

6000 ∗ 106

𝑪 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟗𝟗%

SEGUNDO EJERCICIO PROPUESTO POR EL GRUPO COLABORATIVO

Una solución salina con 0,2kg de sal por litro se introduce en un tanque que contiene inicialmente 500

litros de agua y 50 kg de sal. La solución entra al tanque a razón de 5 litros/minuto. La mezcla se mantiene

uniforme revolviéndola, y sale del tanque a razón de 5 litros/minuto.

Determine la concentración en kg/L, de la sal en el tanque después de 10 minutos.

Tanque Mezcla

Solución Salina

Solución de Salida

0,2kg sal/Litro

Cent=5L/min

Csal=5L/min

A(t)

500 L

A(0)=50 kg de sal

SOLUCION

Sea A el numero de kg/L de sal en el tanque, t minutos después de iniciar el proceso, tenemos:

𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

�̇�𝑒𝑛𝑡 =5𝐿

𝑚𝑖𝑛×

0,2𝑘𝑔

𝐿=

1𝑘𝑔

𝑚𝑖𝑛

�̇�𝑠𝑎𝑙 =5𝐿

𝑚𝑖𝑛×

𝐴(𝑡)𝑘𝑔

500 𝐿=

𝐴(𝑡)

100

𝑘𝑔

𝑚𝑖𝑛

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 1 −

𝐴

100=

100 − 𝐴

100

Separando la ecuación diferencial e integrando tenemos:

𝑑𝐴

100 − 𝐴=

𝑑𝑡

100

∫𝑑𝐴

100 − 𝐴= ∫

𝑑𝑡

100

− ln|100 − 𝐴| =𝑡

100+ 𝐶

|100 − 𝐴| = 𝑒−𝑡/(100−𝐶) = 𝐾𝑒−𝑡/100

𝑘 = 𝑒−𝑐

Despejando

𝐴 = 100 − 𝐾𝑒−𝑡/100

Aplicando las condiciones iniciales, tenemos:

𝐴(0) = 5 = 100 − 𝐾 → 𝐾 = 95

Sustituyendo el valor de K, en la ecuación:

𝐴(𝑡) = 100 − 95𝑒−𝑡/100

La cantidad de sal, en el tanque a los 10 minutos resulta:

𝐴(10) = 100 − 95𝑒−10/100 = 𝟏𝟒, 𝟎𝟒 𝒌𝒈

Con una concentración de sal en el tanque de 14,04 kg/500L=0,0281 kg sal/ Litro

CONCLUSIONES

Para finalizar hemos aprendido acerca de este curso como manejar la estrategia de aprendizaje basada en

problemas con la ayuda de los aportes que cada uno de los integrantes realizo con los procesos analíticos

y con parámetros acordes al tipo de ecuación, donde así el estudiante tiene una visión más amplia de las

distintas aplicaciones que tiene la ecuaciones diferenciales en la rama de la ingeniería y las ciencias en

general.

BIBLIOGRAFIA

Cuartas, R., (2011). Módulo 1: introducción a las ecuaciones diferenciales. [Videos]. Disponible

en

http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES

Pinto, P. (2012). Revisión Pre saberes. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado

de: http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/2014- 1/Act_1_Revision_de_Presaberes.pdf

Cuartas, R., (2011). Módulo 2: ecuaciones diferenciales de primer orden. [Videos]. Disponible

en http://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES