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UNIVERSIDAD DE CHILE Curso EH2801 Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Prof. José Maza Sancho Departamento de Astronomía 8 Marzo 2016

1.01. Introducción: Egipto, Mesopotamia, Stonehenge y el Calendario. El propósito de éste curso es presentar la evolución histórica de los conceptos que han ido plasmando la actual cosmovisión del hombre. A pesar que el curso consta con dos semestres no es posible cubrir el desarrollo de la Astronomía en forma exhaustiva. Es necesario hacer una selección de eventos, limitándose a discutir aquellos más significativos. Nos preocuparemos particularmente del desarrollo de las ideas que condujeron a la Astronomía actual. Por lo tanto ignoraremos, pese a lo interesante que son, los desarrollos astronómicos de culturas que no ejercieron influencia en la fuente principal del conocimiento occidental, por ejemplo, los avances astronómicos de los mayas y los incas. También quedaremos en deuda con el saber astronómico de los chinos y japoneses, como también con el de los mapuches. El primer gran hito en nuestro programa es el estudio de la así llamada “gran revolución científica”, protagonizada por Copérnico, Kepler, Galileo y culminada por Newton. No se puede estudiar a Copérnico sin conocer a su gran antecesor: Claudio Ptolomeo. A su vez, no es posible hablar de Ptolomeo sin recorrer en cierto detalle la astronomía en la Grecia clásica. Los antecesores directos de éstos fueron los egipcios y mesopotámicos. Así, iniciaremos nuestro programa con una breve mirada a la Astronomía de Egipto y Mesopotamia, los movimientos del Sol y la Luna y los orígenes del calendario. Luego haremos un paréntesis para hablar de Stonehenge, ese magnífico monumento neolítico que, sin duda, posee una gran significación astronómica. Posteriormente nos ocuparemos del desarrollo astronómico de la Grecia clásica, concluyendo ese período con Ptolomeo y el Almagesto. Después de un rápido vistazo a la Astronomía de la Edad Media, culminaremos esta primera parte del curso con Copérnico, Tycho Brahe, Kepler, Galileo, Newton y sus seguidores: Halley y Bradley y los mecánicos celestes desde Euler hasta Laplace y Gauss. En el segundo semestre hablaremos de la astronomía desde mediados del siglo XVIII hasta fines del siglo XX. 1.01.1. Los Albores de la Astronomía: Egipto y Mesopotamia. El origen de la Astronomía, como el de la ciencia en general, se remonta a los tiempos prehistóricos, de los cuales no han sobrevivido registros. Es imposible establecer la época cuando el hombre inició el camino de la ciencia, pues ésta, en el sentido que la entendemos ahora, se va desdibujando lentamente al mirar hacia atrás en el tiempo, hasta mezclarse con las actividades más rudimentarias del diario vivir del hombre primitivo. Las condiciones de vida del hombre prehistórico eran muy duras, luchando en forma permanente por su subsistencia, contra un sin número de factores hostiles de la naturaleza. En esa lucha le eran útiles la mayor cantidad posible de conocimientos acerca de los fenómenos naturales. Así, la Astronomía

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debe haber entrado en su vida como parte del medio ambiente y no como una abstracción en busca de la verdad y el conocimiento.

La alternancia del día y la noche regula la vida del hombre y los animales. La altura y dirección del Sol permite conocer aproximadamente la hora del día. El cambio de las estaciones determina la actividad humana. En zonas lejanas al ecuador el ciclo de las estaciones alterna entre un invierno frío y de poca actividad con un verano caluroso y abundante. Cerca del ecuador, entre una estación seca y otra lluviosa. Los cazadores y pescadores primitivos dependían del ciclo de vida y las migraciones de los animales; por ello tuvieron que observar detalladamente la naturaleza. Inicialmente el hombre se dedicó a la caza y la recolección de frutos, trasladándose a distintos lugares según las necesidades. Durante ese período, inmensamente largo, de vida nómada, los avances culturales fueron escasos. Una tribu en perpetuo andar sólo puede conservar las herramientas más imprescindibles para la caza y la recolección. No es posible acarrear grandes vasijas, obras de arte, etc. El gran cambio ocurrió con el descubrimiento de la agricultura. En la primera etapa nómada del hombre la medición del tiempo y la orientación para viajeros y navegantes fueron las principales prácticas que hicieron al hombre contemplar los astros. Hay que pensar que en muchas zonas del planeta los desplazamientos son más fáciles durante la noche, por las altas temperaturas que se alcanzan en el día. Este también es el caso en el norte de Chile, en el desierto de Atacama. Los viajes óptimos deben haber sido en las noches de luna llena. Por ello era importante conocer las fases de la Luna y la ubicación de acuerdo con las estrellas.

Los períodos del Sol y la Luna son las unidades naturales para medir el tiempo. Dividir el tiempo en días es una unidad básica, que regula la actividad del hombre. Para períodos más largos el Sol impone su ciclo anual a través de las estaciones. Sin embargo el período de las fases lunares es más notorio y por ser más corto resulta más práctico para agrupar los días: la Luna definió el mes. Por lo tanto el calendario, ordenamiento civil de los días, fue generalmente dominado por la Luna. Al establecerse el hombre en comunidades agrícolas, algunos pueblos se vieron impulsados a adoptar un calendario solar, de acuerdo al ciclo de las estaciones. Así, los pueblos nómades regularon su calendario enteramente de acuerdo al período sinódico de la Luna, de 29,5 días. Un nuevo mes de 29 o 30 días se iniciaba cada vez que ocurría una Luna nueva. Los pueblos agrícolas usaron tanto el mes como el año en su calendario. Observando la posición de las estrellas en distintas épocas del año, en particular las salidas y puestas heliacales1 de ciertas estrellas, se puede conocer la época del año. También la longitud de las sombras al mediodía, el punto de salida y puesta del Sol en el horizonte y la longitud de los días permite conocer las estaciones. Como durante el día no es posible ver las estrellas, una manera de saber en que parte del ciclo se encuentra el Sol es ésta de las salidas y puestas heliacales. Si el Sol se ubica un poco al oeste de una estrella brillante, se verá

1 Salida (o puesta) heliacal de una estrella es la salida (o puesta) de ella simultánea con el Sol.

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ponerse a ésta en el crepúsculo vespertino. Cuando el Sol pasa a estar al este de la estrella, se la verá salir durante el crepúsculo matutino, un poco antes que el Sol. 1.01.2. Agricultura y el Calendario: Entre los años 4000 a.C. y 1000 a.C. surgen, en las regiones fértiles de China, India, Mesopotamia y Egipto, grandes estados con formas superiores de cultura, de las cuales nos han llegado algunos documentos escritos. Pequeñas ciudades y comunidades agrícolas, con sus propios líderes, reyes y dioses locales, se fundieron en unidades políticas mayores. La extraordinaria fertilidad de esos valles proveía una abundancia que permitió el surgimiento de una nueva clase de dirigentes y directivos, que no necesitaban realizar trabajos directamente asociados a la agricultura. Los grandes ríos – el Nilo, el Éufrates, el Hwang Ho – llenaban sus lechos con limo y sus crecidas en ciertos meses del año, inundaban los campos adyacentes, desbastándolos o fertilizándolos o a veces excavando un nuevo lecho. Las aguas tenían que ser dirigidas continuamente, controladas por diques o profundizando el río o excavando nuevos canales. Ese control no podía estar en manos de las comunidades locales, con distintos intereses; se hicieron necesarios controles centralizados y sólo una fuerte autoridad central podía garantizar la mantención del interés general por sobre los intereses locales. Sólo entonces se garantizaron la fertilidad y la prosperidad. Cuando el país cayó en disputas entre principados y los diques y canales fueron descuidados, el suelo se secó o se inundó y la gente se murió de hambre. Se hizo necesario un fuerte poder central, en segundo lugar, para la defensa de los valles fértiles de los ataques de los vecinos de zonas más pobres. Tuvo lugar una división de las tareas, desarrollándose una casta de guerreros que, con sus jefes convertidos en reyes, llegaron a ser la clase gobernante, controlando los excedentes agrícolas de los granjeros. En esos imperios el príncipe era el legislador, el jefe de la justicia y encabezaba a los funcionarios del gobierno, los cuales como líderes de los departamentos civiles constituían una segunda clase gobernante, junto con los militares. Usualmente estaba constituida por los sacerdotes, los que habían sido los líderes intelectuales locales y ahora estaban organizados en una jerarquía oficial. La clase sacerdotal mantenía en sus manos el liderazgo espiritual del estado y la sociedad. Mantenía el conocimiento teórico y general necesario en el proceso productivo; esa era la fuente de su prestigio y poder social. Donde la agricultura era la ocupación principal, el conocimiento del calendario era parte de las materias que debían dominar. El surgimiento de un grupo que, como clase dirigente, no necesitaba lograrse la subsistencia con sus propias manos, llevó a nuevas condiciones de existencia. La estructura social se hizo más compleja, lo que exigió una mayor sofisticación de parte del liderazgo espiritual. El posterior intercambio comercial generó nuevas necesidades materiales y espirituales; con la fortuna y lujos de los monarcas y señores vino un interés por el arte y la ciencia. Así, por primera vez en la Tierra, junto a las nuevas estructuras sociales, surgieron formas superiores de cultura que

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excedían aquellas de los más avanzados barbarismos prehistóricos; empezó la civilización. Esto implicó un mayor desarrollo astronómico. El primer problema era el medir el tiempo y en particular adaptar el calendario lunar con el año solar. El período sinódico de la Luna2 es en promedio 29,53059 días. Un año solar tiene una duración de 365,24220 días, es decir 11 días más que un período de 12 lunaciones, que alcanzan a 354,3671 días. Después de tres años de doce meses lunares, el calendario lunar se habrá quedado atrás en 33 días con respecto al progreso del Sol. A fin de mantener la concordancia con el Sol, cada tres años, o a veces más a menudo, se intercalaba un mes extra, resultando un año de 13 meses en vez de 12. El problema del calendario consiste en encontrar un período más largo que sea un múltiplo común del mes y del año; después de ése período el Sol y la Luna regresarán a las mismas posiciones mutuas. Un múltiplo común exacto no existe pero se puede encontrar aproximaciones en distintos grados. Con el conocimiento actual de los períodos antes señalados podemos expresar su razón como una fracción continua y escribir sus aproximaciones sucesivas [para mayor detalle ver Apéndice A]. Así encontramos 8/99 y 19/235 indicando primero que 8 años son cercanos a 99 meses (2921,94 días y 2923,53 días) de modo que en 8 años 3 deben tener 13 meses (6 de 29 días y 7 de 30 días) y 5 años deben tener 12 meses (6 de 29 días y 6 de 30 días); los ocho años duran 2922 días. Sin embargo esta aproximación no es muy buena pues en 32 años (cuatro ciclos de 8 años) la fase lunar está atrasada en más de 6 días con respecto al calendario solar. Mucho más preciso es el período de 19 años (6.939,60 días) y 235 lunaciones (6.939,69 días). Siete años de 13 meses deben ser intercalados en el período. De los 235 meses 110 deben tener 29 días y 125, 30 días, totalizando 6.940 días. Naturalmente en tiempos pretéritos no se tenía un conocimiento exacto de los períodos. Encontrar una buena fórmula para el calendario era un difícil problema práctico para ellos, que sólo podía ser resuelto mediante un laborioso proceso de observaciones lunares y solares. Este problema actuó como una fuerza impulsora de observaciones cuidadosas de los fenómenos celestes. La observación continua, por muchos años, llevó a refinar los períodos del Sol y la Luna.

Se podría objetar la necesidad de tanta precisión para la agricultura, que debido a las fluctuaciones meteorológicas es más bien irregular en sus actividades. Sin embargo, debemos tener presente que en esos tiempos las actividades agrícolas iban acompañadas por festividades y ceremonias religiosas. Los dioses, como representativos de las fuerzas naturales y sociales, tomaban su lugar en la vida del hombre; lo que era adecuado o necesario socialmente llegó a ser una imposición de los dioses, fijado estrictamente en los ritos. Lo que en la naturaleza debía tener lugar en cierta estación, por ejemplo la cosecha, como ceremonia religiosa fue fijada en cierta fecha, por ejemplo en cierto aspecto de la Luna. El servicio de los dioses no 2 Período sinódico: intervalo de tiempo en que vuelven a reunirse tres cuerpos celestes en la misma configuración (alineamiento). En el caso de la Luna es el tiempo entre dos lunas nuevas consecutivas, cuando la Luna se alinea entre la Tierra y el Sol.

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permitía ningún descuido, exigía una obediencia estricta a los ritos. El calendario era esencialmente el orden cronológico del ritual. Eso determinó el cuidado continuo de los funcionarios oficiales, en particular de los sacerdotes, pero al mismo tiempo debido a su monopolio del conocimiento de los instantes favorables, una fuente de su poder social.

Período Sinódico:

Mientras la Luna gira en torno de la Tierra ésta lo hace en torno del Sol. El período sideral de la Luna es de casi un mes, tiempo en el cual la Tierra gira casi 30 grados en torno al Sol. Para que la Luna vuelva a la siguiente Luna nueva debe girar entonces 390 grados en torno de la Tierra y eso le toma a la Luna 29,5 días. Si el período de la Luna en torno a la Tierra (período sideral) es PL el ángulo que la Luna gira, por día, será θL, igual cosa para el movimiento aparente del Sol por día.

LL P360

=θ T

T P360

=θ TL θθθ −=Δ

El ángulo Δθ que la Luna girará por día, con respecto al Sol, estará dado por la ecuación:

€

Δθ =360PSinódico

Por lo tanto tendremos:

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TLSinódico PPP111

−=

Para el caso de la Luna PL es de 27,3 días, PT es de 365,25 días y de acuerdo a la ecuación PSinódico resulta ser 29,5 días. 1.01.3. Astronomía en Mesopotamia: Las llanuras de los ríos Éufrates y Tigris estuvieron habitada por dos pueblos distintos: los sumerios en el sur y los semitas en el norte. Los sumerios eran los primeros habitantes de la zona; los semitas llegaron posteriormente de los desiertos del oeste. El origen de los sumerios y su lenguaje es desconocido, no correspondiendo a los semitas o indoeuropeos. En los siglos que siguieron al año 3.000 a. C. las ciudades de Eridu en el mar, Ur colindante con el desierto, Urik, Lagash, Nippur y Larsa, poseían la mayor cultura. Las ciudades semitas del norte como Agade, Sippar, Borsipa y Babilonia, adoptaron esta cultura y después de inmigraciones posteriores se constituyeron en la raza dominante.

Los sumerios fueron los inventores de la escritura cuneiforme en la cual cada sonido, consistente en una vocal y una o dos consonantes, se representaban por un carácter especial. Gracias a tablillas de arcilla escritas en símbolos cuneiformes, ha sido posible descifrar los conocimientos babilonios. Estos sentaron las bases matemáticas para el inicio de la astronomía científica. Además desarrollaron las observaciones astronómicas ya en el siglo XIII a. C. utilizaron una especie de instrumento de paso para la reconstrucción del palacio de Asur. También estaban ya familiarizados con una forma simple de reloj de Sol (el gnomon) y una especie de clepsidra (reloj de agua).

Los babilonios utilizaron un sistema numérico de base 60 por lo cual les pareció natural que el año tuviese 360 días; luego dividieron el día completo en doce horas de 30 “gesh” cada una, es decir el día quedó también dividido en 360 parte. Hasta nuestros días ha llegado la práctica de dividir el círculo en 360 grados y subdividir estos en base sexagesimal, pues así lo hicieron los matemáticos sumerios 2000 años antes de Cristo. El calendario babilónico se basa en la Luna, con meses de 29 y 30 días, que alternan con cierta regularidad, pero no estrictamente, para mantener concordancia entre el mes y las fases lunares. La longitud media de 12 meses (354 días) es muy corta para el año solar por lo cual adoptaron el sistema de intercalar un mes extra cuando era necesario. Durante la tercera dinastía de Ur (años 2.294 al 2.187 a. C.) ya se había reconocido que las inserciones se reproducían en un ciclo de ocho años. Este calendario babilónico fue la base del judío, el griego y del romano, antes de la introducción del calendario juliano, el 45 a. C. Incluso aún influye en el calendario eclesiástico de nuestros días. Las observaciones más notables de los babilonios fueron del planeta Venus. En la época del rey Ammisaduga (años 1921 al 1901 a. C.) los astrónomos observaron la

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primera y la última aparición de Venus en el crepúsculo y la aurora y la duración de su desaparición, agregando predicciones para cada caso. Los astrónomos babilónicos conocían el período sinódico de Venus (de 584 días) y sabían que en 8 años Venus reaparece 5 veces ya que 8 años julianos son 2.922 días y 5 períodos sinódicos de Venus equivalen a 2.920 días. Los Mayas en Mesoamérica también conocieron esta equivalencia.

Los astrónomos babilónicos hicieron muchas observaciones astronómicas. Sabían que la Luna y los planetas no se alejaban mucho de la eclíptica (trayectoria aparente del Sol en el cielo). Observaron la posición de las estrellas en esa zona (Zodíaco) y las posiciones relativas de los planetas. Estimaron el período sinódico de Mercurio con un error de sólo 5 días. Su principal contribución fue la de ser los verdaderos fundadores de la astronomía científica. 1.01.4. Astronomía en Egipto: El acontecimiento más importante en la vida de Egipto era la crecida anual del Nilo, que coincidía con la salida heliacal de la estrella más brillante del cielo, Sotis (Sirio). Intentaron medir el tiempo con la Luna pero no se encadenaron a ese calendario. Dividieron el año en 12 meses de 30 días, agregando 5 días feriados. El año civil o calendario contenía entonces 365 días, sin embargo el año astronómico, definido por la salida heliacal de Sotis, tiene 365¼ días, aproximadamente. Transcurridos cuatro años, Sotis salía un día más tarde en el calendario civil. La salida de Sotis se iba desplazando a lo largo del calendario retornando al mismo día después de 1.460 años (365 × 4 = 1.460), ciclo sotíaco. El año sotíaco o juliano de 365¼ días fue introducido en Roma en el año 45 a. C. por Julio Cesar, con la asesoría técnica de astrónomo griego-egipcio llamado Sosígenes.

Los astrónomos egipcios también fueron buenos constructores de instrumentos astronómicos, con los cuales realizaron sus observaciones. 1.01.5. STONEHENGE: El más grande monumento astronómico de la Prehistoria. Al analizar los logros científicos y culturales de nuestros antepasados más remotos, con frecuencia se encuentran opiniones diametralmente opuestas. Un buen número de personas visualizan al hombre primitivo casi como un simple simio. En el otro extremo suele encontrarse quienes le atribuyen conocimientos de matemáticas, física, etc. que el hombre moderno ha llegado a adquirir en épocas muy recientes. Algo sí parece seguro: la capacidad intelectual del hombre se ha mantenido esencialmente constante en los últimos milenios. Por lo tanto, al tratar de entender la cultura del hombre prehistórico, el problema central es poder evaluar qué conocimientos lograron desarrollar, aceptando que su inteligencia era similar a la del ser humano contemporáneo.

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Los datos de que se dispone para reconstruir la cultura del hombre prehistórico son en general muy fragmentarios. En los mejores casos poseemos restos de construcciones emprendidas por ellos. A través del estudio de estas construcciones podemos intentar deducir elementos de la cultura de sus constructores. Uno de los monumentos que destaca y puede enseñarnos mucho acerca del hombre prehistórico es Stonehenge.

Fig. 1.5.1 Stonehenge es sin duda extraordinario. Ubicado en el sur-oeste de Inglaterra, en la planicie de Salisbury, es una de las construcciones más notables de los tiempos prehistóricos. Por la envergadura del trabajo que significó para sus constructores puede con justicia considerarse como una de las grandes obras emprendidas por el ser humano en la faz del planeta. Stonehenge es una estructura compuesta. Los arqueólogos distinguen tres etapas diferenciadas. La más antigua, Stonehenge I, data del 2.800 al 2.600 a. C.; Stonehenge III, la parte más interna y espectacular, fue construida entre los años 2.000 al 1.500 a. C. En la Figura 1.5.2 se puede apreciar una vista general de Stonehenge mientras la Figura 1.5.3 presenta una vista de Stonehenge III.

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Fig. 1.5.2

Fig. 1.5.3

Stonehenge III está formado por enormes bloques de piedras traídos desde Gales, de las montañas Prescelly, a ¡380 kilómetros de distancia! Según los arqueólogos, tuvieron que ser transportadas por mar, río y tierra, empresa notable si se tiene en cuenta que pesan 5 toneladas. En Stonehenge II destacan unas 80 piedras que comprenden un círculo exterior y piedras dispuestas en forma de herradura que poseen unas 30 toneladas de peso y que posiblemente provienen de Marlborough Downs, a unos 30 km. de Stonehenge. Hawkins calcula que en total 1.500.000 días-hombre fueron necesarios para la construcción de Stonehenge. De acuerdo a

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Clayton, esto significa que por muchas generaciones los individuos mejor dotados del grupo dedicaron sus esfuerzos a la planificación, logística, y construcción de Stonehenge. Clayton por su envergadura y costo lo compara al programa Apolo de la NASA, que puso un hombre en la Luna en 1969. Una descripción detallada de todo el monumento se encuentra en el libro de Fernand Niel titulado "Stonehenge" (ver bibliografía).

Pese a que Stonehenge II y III son las partes más llamativas de Stonehenge en cuanto a su construcción, es probablemente Stonehenge I la sección que revela una mayor profundidad en el conocimiento de sus constructores. Aquí nos ocuparemos exclusivamente de Stonehenge I, siguiendo el análisis de Fred Hoyle ("De

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Stonehenge a la Cosmología Contemporánea. Nicolás Copérnico", Fred Hoyle, Alianza Ed. Madrid, 1976, páginas 33-74).

Stonehenge I consiste en 56 hoyos dispuestos en un círculo de unos 87 metros de diámetro. Estos hoyos fueron descubiertos por John Aubrey en el siglo XVII (1666) y se los conoce como los hoyos de Aubrey. A unos 78 metros del centro del círculo se encuentra una piedra rústica llamada "heelstone". También son parte de la misma estructura piedras que forman un rectángulo inscrito en el círculo de Aubrey. Los lados más cortos del rectángulo son paralelos a la línea que une el centro del círculo y la heelstone. Esta dirección apunta hacia la salida más septentrional del Sol, el día del solsticio de verano (ver Figura 2.5).

Gerald Hawkins publicó en 1963 una interpretación de Stonehenge que dio un renovado interés al tema. En su libro "Stonehenge Decoded" Hawkins justifica la interpretación de Stonehenge como un gran observatorio astronómico. El resultado principal de Hawkins es mostrar que hay direcciones en Stonehenge I que apuntan hacia la salida y puesta del Sol y la Luna en sus posiciones extremas (ver Figura 2.12).

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Analicemos esto más detalladamente. El Sol sale por distintos puntos del horizonte, según la época del año. En el hemisferio norte la salida más septentrional del Sol tiene lugar el día del solsticio de verano (cuando el Sol alcanza su máximo alejamiento del ecuador celeste, unos 24°, el 21 de Junio); la salida más meridional ocurre el día del solsticio de invierno (el 22 de diciembre). El día de los equinoccios el Sol sale por el punto cardinal este. La razón de este cambio de dirección en la salida del Sol es que su trayectoria aparente en el cielo en el curso de un año está inclinada con respecto al ecuador en un ángulo de aproximadamente 24° (en el año 2.000 a. C.). Esta es la causa de las estaciones en la Tierra. Así, el Sol se encuentra sobre la línea del ecuador celeste el día del equinoccio de primavera. Luego se mueve hacia el norte alcanzando su máxima lejanía del ecuador el día del solsticio de verano (hemisferio norte). Después de cruzar el ecuador rumbo al sur (equinoccio de otoño) llega a alejarse 24° del ecuador el día del solsticio de invierno. Esa oscilación norte-sur anual del Sol hace que el Sol salga y se ponga en puntos del horizonte que van cambiando a lo largo del año. Las direcciones de la salida más septentrional y la más meridional, forman un ángulo que depende de la latitud del lugar; en el ecuador el ángulo es de 48°; 180° en un punto de 66° de latitud. En latitudes intermedias el valor del ángulo está comprendido entre los dos valores mencionados. Para la latitud de Stonehenge (51,2° N) vale 80° (ver figura 2.6)

El movimiento de la Luna es algo más complicado. En el curso de una revolución de la Luna en torno a la Tierra (mes lunar), el punto de salida de la Luna por el horizonte de un lugar, oscila entre dos posiciones extremas. Estas dos direcciones extremas forman un ángulo que varía lentamente y para Stonehenge tiene un valor mínimo de 60° y un valor máximo de 100° (ver Figura 2.7).

Errata: En la figura hay que permutar, en la parte inferior, oscilación máxima y oscilación mínima.

La órbita de la Luna está inclinada en 5° 9' con respecto a la eclíptica (plano de la órbita terrestre). Por lo tanto la Luna en su órbita cruza el plano de la eclíptica en dos puntos, N y N', llamados los nodos de la órbita lunar. Estos no permanecen fijos sino

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que se desplazan a lo largo de la eclíptica, completando una revolución en 18,61 años (ver Figura 2.11).

Por lo tanto la órbita lunar está inclinada con respecto al ecuador en un ángulo que varía entre 19° y 29°, en 18,61 años. Hawkins encontró que en Stonehenge I están indicadas, con buena aproximación, las salidas y puestas anuales extremas del Sol y las salidas y puestas extremas mensuales de la Luna, tanto las oscilaciones mensuales máximas como las mínimas. En la Figura 2.12 se indican esas direcciones. Por Luna de invierno y Luna de verano se indican las salidas más septentrionales y más meridionales de la Luna y no se refieren a las estaciones del año.

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Es interesante notar que los lados cortos del rectángulo principal apuntan hacia la salida más septentrional del Sol en el solsticio de verano y los lados largos apuntan hacia la salida más meridional de la Luna en su ciclo de 18,61 años. Esta propiedad sólo se verifica en un lugar de la latitud de Stonehenge. Si hubiese sido construido unos 50 km. más al norte o sur, el rectángulo no habría cumplido esa propiedad. Es difícil pensar que esta sea una simple coincidencia. La relación astronómica de muchas direcciones en Stonehenge I parece fuera de discusión. La pregunta es ¿qué uso se le daba? Parece demasiado complicado, muy elaborado, para determinar solamente las estaciones, los solsticios y los equinoccios; para ello basta con algo mucho más simple. En 1964 Hawkins sugirió que el fin primario de Stonehenge I podría haber sido la predicción de eclipses de Sol y de Luna. Hawkins observó que 56/3 = 18,67 y por lo tanto si cada año se desplaza una piedra 3 hoyos de los 56 del círculo de Aubrey, se completa el circuito en 18,67 años, cifra muy similar a la del ciclo de los nodos lunares, de 18,61 años. Los eclipses tienen lugar cuando el Sol, la Luna y la Tierra están en línea recta. Para que esta situación se produzca es necesario que la Luna se encuentre cruzando el plano de la eclíptica, en uno de los nodos de la órbita lunar. Cuando la Luna se encuentra en el nodo ascendente, N, si el Sol se encuentra en una posición de su órbita aparente que lo hace estar a menos de 15° del nodo N se producirá un eclipse de Sol; si el Sol se encuentra a menos de 10° de N' se producirá un eclipse lunar. Cuando la Luna se encuentra en N' se invertirá la situación y tendremos un eclipse solar si el Sol está a menos de 15° de N' y habrá un eclipse lunar si el Sol se encuentra a menos de 10° del nodo N. Conociendo estas reglas, para saber si en futuro cercano se producirá un eclipse basta con conocer la posición del Sol, la Luna y el nodo, con una precisión de alrededor de 1°. La tesis de Hoyle es que Stonehenge I es una modelo de representación de la eclíptica. En las 56 posiciones de Aubrey ubicaríamos indicadores móviles para representar al Sol, la Luna y los nodos N y N' (ambos nodos están siempre en posiciones opuestas 180° en el círculo, por lo que basta con saber donde está N). El indicador solar podemos moverlo, en el sentido contrario a los punteros de un reloj, a razón de 2 divisiones cada 13 días. De este modo recorrería el círculo en 364 días. El indicador solar se puede "poner a la hora", por ejemplo en la posición 1 de la Figura 2.5, cuando el Sol se encuentra en el solsticio de verano. Este instante se determina gracias a observaciones hechas desde el centro de Stonehenge mirando hacia la Heelstone. Calibrando el indicador solar una vez al año este alcanzaría un error máximo de 1 día y cuarto, algo así como 1,23° de círculo. Si además se calibra el indicador solar el día del solsticio de invierno, el error máximo se reduciría a la mitad, valor perfectamente aceptable. El indicador lunar podemos desplazarlo, en sentido contrario a los punteros de un reloj, en dos divisiones diarias, lo cual nos daría un período de 28 días. La Luna

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tiene un período sideral de 27,3 días, por lo cual se produciría un error de 0,7 días que equivale a 9,2° de error sobre el círculo. Sin embargo el indicador lunar se puede ajustar con el indicador solar dos veces al mes, para la Luna nueva, en que tiene que estar en la dirección del Sol y para la Luna llena en que el indicador lunar debe estar en dirección opuesta al Sol. Así, con dos ajustes mensuales, el indicador lunar describe la posición proyectada de la Luna sobre la eclíptica con una precisión de unos pocos grados. El problema más complejo es poder determinar la posición del nodo. Esto requiere de un cierto conocimiento astronómico gracias al cual es posible darse cuenta que en el mes en que la Luna sale lo más al norte posible en su ciclo de 18,61 años, el nodo N sigue 90° detrás del punto inicial y el nodo N' estará 90° delante del punto inicial. Delante y detrás se refiere al sentido en que rota el indicador solar. El indicador del nodo habría que desplazarlo 3 divisiones por año, en el sentido de los punteros del reloj. El período del indicador del nodo sería 56/3=18,67 años, muy cercano a los 18,61 años del período real del nodo. Recalibrando el nodo cada 18,61 años mediante la salida más septentrional de la Luna, se puede mantener al indicador del nodo calibrado correctamente. Con las reglas y ajustes descritos, podemos afirmar que Stonehenge I podría ser hoy utilizado para predecir eclipses. La pregunta es: ¿fue en verdad Stonehenge construido para esa finalidad? Es muy difícil poder contestar esa pregunta con certeza. Podemos afirmar que algún propósito debe haber tenido sin duda, ya que es muy complejo para ser obra del azar. Cualquiera que haya sido esta finalidad, hoy en día podríamos usar Stonehenge I como predictor de eclipses. Por lo tanto, es razonable pensar que existe una alta probabilidad de que Stonehenge I haya sido construido para predecir eclipses. Para finalizar mencionaremos algo sobre Stonehenge II y III. Fueron construidas entre 500 y 1.300 años después de la primera parte. Es posible que el conocimiento de Stonehenge I se hubiese perdido completamente en ese intervalo de tiempo. Es posible que la tribu o pueblo que construyó Stonehenge I haya emigrado o haya sido exterminada y los constructores de Stonehenge II y III sean totalmente distintos a los originales. Tal vez habían oído hablar sobre conocimientos astronómicos notables asociados a Stonehenge I y trataron de recuperarlos haciendo inmensas construcciones. Por la complejidad de Stonehenge II y III es muy difícil de analizar los posibles usos que pudo haber tenido. La mayoría de los estudiosos del tema creen que lo más probable es que no haya tenido una significación astronómica muy profunda (si es que la tuvo) y sea principalmente de carácter ceremonial y religioso.

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1.01.6. Origen del Calendario

El movimiento del Sol en el cielo sirvió para definir el día y el movimiento del Sol con respecto a las estrellas para definir el año, de algo más de 365 días. Los intervalos intermedios se dividieron en semanas y meses. El mes tiene un origen en el movimiento de la Luna en torno a la Tierra que en 29,5 días tiene un ciclo pasando de Luna nueva, a cuarto creciente, Luna llena y cuarto menguante. Un mes lunar puede ser dividido, aproximadamente en cuatro semanas de siete días cada una, que corresponden a los siete cuerpos celestes que los antiguos conocían que giraban aparentemente en torno de la Tierra: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, la Luna y el Sol. La semana tiene un origen astrológico. Se creía que los siete cuerpos celestes regían de uno en uno todas las horas del día. Si un día estaba regido en la primera hora por Saturno, la segunda hora la regía Júpiter, la tercera Marte, la cuarta el Sol, la quinta Venus, la sexta Mercurio y la séptima la Luna. En la octava se reiniciaba el ciclo. Por ello Saturno gobernaba, de ese día, la primera, la octava, la décimo quinta y la vigésimo segunda horas; la vigésimo tercera la regía Júpiter y la última hora del día la gobernaba Marte. La hora siguiente, primera del nuevo día la regía el Sol. Se adoptó que el día estaba “marcado” de forma especial por el astro que gobierna en la primera hora. Por ello el día que empezaba Saturno fue el “día de Saturno”, seguido del día del Sol, el día de la Luna, el día de Marte, etc. Si se dibuja un círculo y se marca en él siete puntos equidistantes en su perímetro y se escriben en cada punto, en orden de más lejano a más cercano, Saturno, Júpiter, Marte, el Sol, Venus, Mercurio y la Luna, al construir una estrella de siete puntas se marca el orden de los días de la semana. En

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castellano se cambió el día de Saturno por el día del Sabath y el día del Sol por el día de Dios (dies dominica); el resto de los días de la semana guardan una relación directa con el cuerpo celeste al que honran.

1.01.6.1. El calendario Juliano:

Los romanos adoptaron un año de 12 meses de 29,5 días en promedio, que totalizaban 354 días, 11¼ días más corto que un año trópico (el año de las estaciones). Cada dos años debían agregar un mes intercalar, durante Febrero, el último mes del año. El año romano empezaba en Marzo, seguía en Abril, Mayo, Junio, Quintilis, Sixtilis, Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre; el año remataba en Januarius y Februarius. En una ocasión se intercalaba un mes extra de 22 días y a los dos años se intercalaba un mes de 23 días. Los años duraban 354, 376, 354 y 377 esto es en cuatro años había 1.461 días, lo que daba en promedio 365¼ días. Los meses intercalares los ordenaba el Sumo Pontífice Romano, lo cual se prestó para confusión y cuando el Imperio se hizo muy extenso, se transformó en un problema comunicar a todo el imperio los meses intercalares.

Los meses del año romano eran:

Martius Quintilis November Aprilis Sextilis December Majus September Januarius Junius October Februarius

El año empezada en Marzo y terminaba en Febrero. Había seis meses dedicados a los dioses y seis que simplemente estaban ordenados. Marzo se dedica al dios de la guerra, Marte. El segundo mes se dedica a Apolo Aperta, dios de la luz, derivando su

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nombre del apelativo divino (aperta, del latín aperire = abrir), indicando así el mes de la primavera donde se abren todas las manifestaciones de vida. Luego el siguiente mes va a Júpiter Majus, el dios mayor y el siguiente a Juno, esposa de Zeus (Júpiter). Enero va a Jano el más antiguo y venerado dios de Roma. Por último Pluto Februus (Plutón purificador) es el dios del último mes; Plutón es el gran enemigo de cualquier forma de vida y con él se hundía el año en la oscuridad de los tiempos, del mismo modo que se hunden las almas de los muertos en el reino subterráneo de Plutón, una vez sufrido un proceso de purificación.

La intercalación del mes extra de febrero, el mercedino o mercedonio, se hacía en forma irregular y en los tiempos de Julio Cesar había un desacuerdo de casi tres meses entre el equinoccio civil y el astronómico. El mes extra se llamaba mercedonio pues en él se les solía pagar a los servidores.

En el año 46 antes de Cristo Julio Cesar en Roma, aconsejado por el astrónomo alejandrino Sosígenes, adoptó un año de doce meses de 365¼ días en promedio, esto es, tres años seguidos de 365 días y otro de 366. Los meses de 29 y 30 días los hizo de 30 y 31, repartiendo así los 11 días que sobraban. Febrero que hasta entonces era el último mes del año no alcanzó día extra y permaneció con 29 días. Al año 46 antes de Cristo (mejor llamado el año 708 desde la fundación de Roma) se le agregó tres meses intercalares completando 445 días, por lo cual ha sido llamado "el año de la confusión". A partir del 45 a.C. el calendario Juliano rigió sin mayores problemas. El Senado Romano decidió cambiarle el nombre al quinto mes y ponerle Julio en honor a Julio Cesar.

La reforma juliana consistió en:

1.- El principio del año se trasladó al 1 de Enero para que coincidiera con el

comienzo del tiempo y de servicio de los cónsules. 2.- La duración del antiguo año lunar romano se ajustó a la del año solar, dando

a los meses el número siguiente: Januarius 31 Majus 31 September 31 Februarius 29 Junius 30 October 30 Martius 31 Quintilis 31 November 31 Aprilis 30 Sextilis 30 December 30

Con esto se pone fin a “la parte lunar” del calendario. El calendario pasa a ser un calendario netamente solar. Se conserva el mes como unidad intermedia pero ya no tiene relación con la Luna (la Luna nueva o llena cae en cualquier día del mes).

3.- Cada cuatro años se agregaba un día extra al año y por tradición se agregó

en el mes de febrero. Nosotros hacemos que febrero tenga un día más al final. Los romanos agregaban el día extra no al final sino después de la fiesta de las Terminalias que era el 23 de Febrero. Ese era el sexto día anterior a las calendas de marzo (se lo llamaba ante diem sextum calendas martias) y al día agregado se lo llamó “ante diem

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bissextum calendas martias”, es decir el sexto día contado dos veces. Al día se lo llamó bissextus y finalmente al año que tiene ese día extra se lo llamó bisiesto. El primer día de cada mes se lo llamaba el día de las calendas de calare=llamar en latín, pues ese día se voceaba en la ciudad el inicio del mes. De ahí viene la palabra calendario. La palabra equivalente, almanaque, es de origen árabe.

Julio Cesar, artífice del calendario Juliano, que se utilizó por 1.600 años

El mes romano se dividía en las calendas, las nonas y las idus. En tiempos en que el calendario era lunar las calendas era el primero del mes, el novilunio; las nonas era el 7, el primer cuarto. Las idus correspondían al 15, el día del plenilunio. Los romanos numeraban los días en orden decreciente. Empezaban el mes diciendo cuanto faltaba para las nonas. Luego seguían con los días faltantes para las idus y la segunda parte del mes por los días que restaban para las calendas del mes siguiente.

Después del asesinato de Julio Cesar a manos de Bruto en las idus (15) de marzo del año 44 a.C. la aplicación de la regla juliana no se siguió y se hizo un año bisiesto cada tres años. Así el año 8 a.C. se había intercalado 13 años bisiestos en circunstancia que sólo correspondía la intercalación de 10 años. El nuevo emperador romano Cesar Augusto (Octavio) no intercaló años extras hasta el 8 d.C. para que el solsticio de primavera se iniciara el 25 de Marzo como era tradicional.

El senado romano decidió ponerle "Augusto" (Agosto) al sexto mes, que tenía 30 días. Para que el mes de Augusto "no fuese menos" que el de Julio, el senado romano decidió que el mes de Augusto también tuviese 31 días, a expensas de Febrero que de 29 días lo degradaron a 28, elevándose a 29 sólo una vez cada cuatro años. Por esta extraña razón quedaron dos meses juntos de 31 días. El Senado cambió de 31 a 30 al séptimo mes (Septiembre) y al noveno, elevando de 30 a 31 al octavo y al décimo.

Con esos arreglos el calendario quedó de la siguiente manera:

Januarius 31 Majus 31 September 30 Februarius 28 Junius 30 October 31 Martius 31 Julio 31 November 30 Aprilis 30 Agosto 31 December 31

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Esta es la ordenación de los meses y su longitud como se usa hasta hoy. En castellano el primer mes lo llamamos Enero que es una derivación del latín Januarius [portugués: Janeiro; francés: Janvier; inglés: January]. En el año 525 de nuestra era el abad de Roma Dionisio el Exiguo introdujo la costumbre de contar los años desde el nacimiento de Cristo en lugar de hacerlo desde la fundación de Roma. Definió que el año 754 desde la fundación de Roma era el año uno de nuestra era y el año 753 correspondía al año uno antes de Cristo. Dionisio no consideró el año cero en nuestra cronología pues los romanos no tenían el concepto del número cero. El cero lo introdujeron en Europa los árabes, varios siglos después, junto con los números y el sistema decimal que utilizamos hasta la fecha.

La era cristiana tardó mucho en generalizarse, siendo empleada por primera vez en Inglaterra en el año 705, en Francia en el 742 y en Alemania en el 876. En Portugal sólo se adoptó en el 1422. Incluso los papas sólo lo adoptaron en el 1431.

Estudios posteriores parecen indicar que Dionisio habría cometido un error con su “apreciación” del año de nacimiento de Cristo. Su fuente asociaba el nacimiento de Cristo con los años del gobierno de Augusto pero Dionisio falló en tomar en cuenta 4 años que gobernó en el triunvirato. Por ende la asociación que Dionisio debió hacer era asumir el año 750 desde la fundación de Roma era el año 1 después de Cristo. Por ello en nuestra cronología se da la paradoja que Cristo habría nacido el año 4 antes de Cristo. Una discusión más exhaustiva del año del nacimiento de Jesús acota el evento al intervalo entre el año 7 y el año 4 antes de Cristo.

Lo que parece estar fuera de discusión es que el día del nacimiento de Cristo no habría sido el 25 de diciembre de ningún año. El 25 de diciembre era una fiesta pagana donde se celebraba el fin de la migración solar hacia el sur y su retorno hacia latitudes boreales (solsticio de invierno boreal). Coincide con el fin del festival de las Saturnalias, el solsticio de invierno y con el nacimiento de Mitra, dios persa que representa al Sol. Los primeros cristianos en Roma aprovecharon esa fecha, donde todos estaban de fiesta, para celebrar a Cristo. Cuando Constantino transforma el imperio romano al catolicismo se adopta el 25 de diciembre como el día del nacimiento de Jesús y se adopta la época de celebrar la Semana Santa. El nacimiento de Cristo debe haber ocurrido en Abril o Mayo (el comienzo de la primavera boreal). Como Herodes murió muy cerca del eclipse de luna que ocurrió el 13 de Marzo del año 4 antes de Cristo (750 desde la fundación de Roma) algunos piensan que Cristo nació en enero o febrero de ese año, o en el año anterior.

1.01.6.2. El calendario Gregoriano:

En el año 325, en el Concilio de Nicea, se fijó la celebración de la semana Santa el fin de semana posterior a la primera Luna llena que ocurre en o inmediatamente después del 21 de Marzo, fecha del equinoccio vernal (comienzo de la primavera en el hemisferio norte). Entre los años 45 a.C. y el 325 el comienzo de la primavera se había desplazado del 24 al 21 de Marzo. El año Juliano, de 365 días y 6 horas, es 11 minutos

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y 14 segundos más largo que el año trópico (año de las estaciones). Esa pequeña diferencia acumula un error de un día cada 128 años, y había acumulado 3 días en desde Julio Cesar hasta el Concilio de Nicea.

La aplicación del calendario juliano durante la edad media fue acumulando un error importante en el calendario y el día del equinoccio de primavera se fue corriendo en el calendario varios días, hacia el comienzo de Marzo. El problema surge con la forma de determinar el momento de la semana Santa. Hacia fines del siglo XVI el equinoccio tenía lugar el 11 de marzo y no el 21 pero se tomaba el día 21 como referencia para ver la primera luna llena después del 21 y ahí el fin de semana siguiente se celebraba la Semana Santa. Pero, por ejemplo si caía una luna llena el 15 de marzo esa era la primera luna después del equinoccio pero el Vaticano esperaba a la siguiente luna llena, después del 21, para ahí decretar la Semana Santa. Este problema era motivo de gran preocupación en el Vaticano pues los protestantes decía que en Roma estaban “tan perdidos” que ni siquiera celebraban la Semana Santa cuando correspondía.

Moneda conmemorativa de la proclamación del calendario gregoriano, hecha por el Papa Gregorio XIII, en 1582. El calendario Juliano se aplicó hasta el año 1582 cuando el Papa Gregorio XIII, con la asesoría de los astrónomos Luigi Lilio y Cristóbal Clavius, ordenó la reforma del calendario. En 1577 el calabrés Luigi Lilio publicó una memoria acerca del calendario. Al morir Lilio el tema fue abordado por Clavius. Christopher Clavius (Bamberg 1547, Roma 1612) fue un jesuita alemán que logró un gran prestigio por sus cuidadosas ediciones de Euclides y por sus numerosos libros de texto. Dominó los estudios matemáticos en los colegios jesuitas, que eran entonces los mejores del mundo; sus libros de texto servían en todos ellos y a través de sus alumnos llegó a ser el maestro de matemáticas de toda Europa.

El nuevo calendario gregoriano consistió en quitar 10 días del calendario: al jueves 4 de Octubre de 1582 seguiría el viernes 15 de octubre. De esa manera se eliminaron los 10 días que se habían introducido en exceso en la regla juliana. Para evitar que ese error de un día cada 128 años siguiera ocurriendo el calendario gregoriano decidió quitar 3 años bisiestos cada 400 años. De esa manera serán bisiestos los años cuyo número sea divisible por 4 pero no serán si son divisibles por cien, a menos que sean divisibles por 400. De ese modo los años de fin de siglo 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos (si lo eran en el calendario juliano) pero si lo fue el 2000. Tampoco serán bisiestos los años 2100, 2200 ni 2300 pero sí lo será el 2400. Así el año gregoriano queda de 365

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días y 97/400 esto es 365,2425 días (365d 5h 49m 12s) apenas algo más largo (26 segundos) que los 365,242189 (365d 5h 48m 45,1s). La diferencia acumula un error de un día cada 3.250 años. [Este error puede obviarse suprimiendo como bisiesto los años divisible por 4.000; con ello el error quedaría en un día cada veinte mil años].

El calendario Gregoriano fue adoptado inmediatamente en todos los países católicos, como España, Portugal, Francia e Italia. Su introducción en el resto de Europa fue lenta. En la Alemania protestante sólo fue adoptado en 1700. Inglaterra se resistió hasta 1752. Según Voltaire “Los ingleses preferían un calendario en desacuerdo con el Sol, antes que uno de acuerdo con el Papa y se rehusaban a aceptar una reforma que habrían aceptado de buen agrado si la hubiese propuesto el Gran Turco”. Inglaterra lo adoptó recién en el año 1752 cuando al miércoles 2 de Septiembre siguió el jueves 14 del mismo mes. Pese a que se legisló para impedir que los propietarios cobraran la renta del mes completo, se produjeron muchos problemas, con violentas revueltas callejeras. Muchas personas salieron a la calle a protestar exigiendo que se les devolvieran los días que les habían sido robados de sus vidas; paradojalmente varias personas resultaron muertas en ese afán. En Rusia nunca se cambió al calendario Gregoriano, llegando a estar 13 días desfasados al comenzar el siglo XX. Después de la Revolución de Octubre (noviembre de nuestro calendario) de 1917, la Unión Soviética adoptó el calendario de occidente.

Hoja del calendario del mes de octubre de 1582. El mes más corto en muchos años en Italia, España y otros países católicos. Después del día de San Francisco, el 4 de octubre, siguió el 15 de octubre.

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Bibliografía: David Chapman “The Astronomical Basis of Our Calendar”, Journal of the Royal

Astronomical Society of Canada”, Abril, Junio, Agosto, 2002. Arthur Krause “Astronomía para Todos”, Ed. Iberia, Barcelona, 1960. Enciclopedia Espasa-Calpe, Tomo 10, Calendario. Pannekoek, A., “A History of Astronomy", Dover, New York, 1989. Sarton, G., "Historia de la Ciencia", Vol. I, EUDEBA, Buenos Aires, 1965. Balfour, M. "Stonehenge and its Mysteries", Charles Scribner's Sons, N. York, 1979. Hawkins, G.S. "Stonehenge Decoded", 1965 Hawkins, G.S. "Beyond Stonehenge", Harper & Row, 1973 Hoyle, F. "De Stonehenge as la Cosmología Contemporánea", Alianza, Madrid, 1976 Hoyle, F. "On Stonehenge", Freeman, San Francisco, 1977 Niel, F. "Stonehenge", Plaza & Janes, Barcelona, 1981 Thom, A., Thom, A.S., y Thom, S.T. 1974, "Journal History of Astronomy", Vol.5, pp 71-90.

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Apéndice A: Razón entre el mes lunar y el año trópico: El conocimiento actual del mes lunar y del año trópico es el siguiente: Período sinódico lunar: 29d 12h 44m 2,9s equivalente a 29,530589 días Año trópico: 365d 5h 48m 45,1s equivalente a 365,242189 días Doce lunaciones: 354,3671 días Un año comprende 12 lunaciones más 11 días, aproximadamente.

R = 29,530589365,242189

= 0,080852075= 80.852.075,1.000.000.000,

Esta razón R se puede expresar como fracción continua como:

€

R =1

12 +1

2 +1

1+1

2 +1

1+1

1+1

17 +!

Esta fracción continua se puede aproximar de la siguiente manera: Primera aproximación:

€

R =112

= 0,0833333→ error = +3,1%[ ]

Esta aproximación, la más básica dice que en un año hay doce meses Segunda aproximación:

€

R =1

12 +12

=225

= 0,0800000→ error = −1,05%[ ]

En esta aproximación hay 25 meses lunares en dos años.

25

Tercera aproximación:

R = 1

12+ 1

2+11

= = 3/37 = 0,081081 [error = +0,28%]

Aquí hay 37 meses en tres años (el error de aproximación sigue mejorando). Cuarta aproximación:

€

R =1

12 +1

2 +1

1+12

=899

= 0,0808081→ error = −0,054%[ ]

Esta es una muy buena aproximación, donde en ocho años hay 99 meses lunares. 8 x 365,24220 = 2.921,94 días 99 x 29,53059 = 2.923,53 días hay un error de sólo 1,5 días entre estos dos ciclos. Sin embargo en 32 años, cuatro veces este ciclo, el error acumulado alcanzará a más de 6 días, que corresponde a un desplazamiento de la Luna nueva a la Luna en cuarto menguante, perfectamente distinguible a un observador. Mejores son la quinta y sobretodo la sexta aproximaciones. Veamos la quinta: Quinta aproximación:

€

R =1

12 +1

2 +1

1+1

2 +11

=11136

= 0,0808824→ error = +0,037%[ ]

Sexta aproximación:

€

R =1

12 +1

2 +1

1+1

2 +1

1+11

=19235

= 0,0808511→ error = −0,001%[ ]

Esta sexta aproximación es excelente pues tiene un error muy pequeño. Iguala 19 años trópicos con 235 lunaciones. 19 x 365,24220 = 6.939,60 días 235 x 29,53059 = 6.939,69 días

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En 6.940 días hay 19 años y 235 lunaciones. ¿Cuántos meses lunares deben tener 29 días y cuantos 30 días? 29 N + 30 (235 – N) = 6940 Por lo tanto N = 110. Hay entonces 110 meses de 29 días y 125 meses de 30 días. El error de esta sexta aproximación es de apenas 0,09 días equivalentes a 2 horas. En doce de estos ciclos (19x12=228 años) el error acumulado será de un día; recién después de un milenio esta regla presentaría errores visibles.