10_gradualmentevariado

5/11/2018 10_gradualmentevariado - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD DEL CAUCADEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA

X.1

PRÁCTICA X

X ESTUDIO DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

X.1 OBJETIVOS

Entender el comportamiento del flujo gradualmente variado y la influencia de loscontroles que lo generan.Aplicar modelos matemáticos desarrollados para el cálculo de perfiles de flujogradualmente variado, contrastándolos con las mediciones realizadas en ellaboratorio.Analizar perfiles de flujo experimentalmente y compararlos con los resultadosteóricos.

X.2 GENERALIDADES

El flujo variado puede ser clasificado como rápidamente variado o gradualmente variado.En el primer caso (rápidamente variado) la profundidad de flujo cambia abruptamente enuna distancia comparativamente corta, por ejemplo en un resalto hidráulico. En el otrocaso, se requieren distancias mayores para que alcancen a desarrollarse los perfiles de flujogradualmente variado. En un canal con flujo permanente uniforme pueden existir causasque retardan o aceleran la corriente de forma que pasa a condiciones variadas que semanifiestan por un aumento o disminución de la profundidad del flujo, respectivamente.

X.2.1 Flujo variado retardado

Se presenta cuando la velocidad del flujo disminuye, y por ende aumenta la profundidad

(Figura X.1.a), en el sentido de la corriente. Algunas causas que retardan el flujo son:disminución brusca de la pendiente del canal; interposición de obstáculos en el lecho delcanal como vertederos, presas, compuertas de control. Para condiciones iniciales de flujouniforme lento, se tendrá flujo gradualmente variado; para flujo uniforme rápido sepresentará un resalto hidráulico al pasar a condiciones de remanso.

X.2.2 Flujo variado acelerado

Se presenta cuando la velocidad del flujo aumenta, y por ende la profundidad disminuye(Figura X.1.b), en sentido de la corriente; ocurre cuando la pendiente del canal aumentabruscamente o cuando existe una caída vertical.

a) Retardado. b) Acelerado.

Figura X.1 Flujo gradualmente variado.




X.2

X.3 PERFILES DE FLUJO VARIADO

En el análisis de flujo en canales abiertos es necesario predecir el comportamiento de losperfiles de la lámina de agua. Esto se puede hacer con un análisis del comportamiento de la

pendiente de la superficie del agua en función de las variables geométricas e hidráulicas delflujo, como se analizará a continuación.

Figura X.2 Variables hidráulicas en flujo gradualmente variado.

En cualquier sección transversal la energía total H está dada por la expresión:

Z Y

g

V H

2

2

(X.1)

en donde:

H : energía total.V : velocidad de flujo.Y : energía de presión (P/

). Z : posición respecto al plano de referencia.

Derivando la ecuación (X.1) con la distancia longitudinal y considerando un sistema dereferencia (x,Y) con incrementos positivos hacia la derecha y hacia arriba respectivamente,se obtiene:

dx

dZ

dx

dY

dx

gV d

dx

dH 22 (X.2) en donde: B :ancho de la superficie libre del agua.A : área mojada.

f Sdx

dH : es el cambio de energía respecto a la distancia x, es decir la pendiente de

fricción; siempre negativa para el sistema de referencia especificado.




X.3

dx

dY F

dx

dY

gA

BQ

dx

dY

dY

dA

gA

Q

dx

gV d R

2

3

2

3

222

: es el cambio en la energía cinética

respecto a la distancia.

0Sdx

dZ : es el cambio de elevación del fondo del canal con respecto a la distancia, o

pendiente del fondo; para el sistema de referencia especificado es negativacuando decrece en el sentido de flujo.

h

RgY

V F : número de Froude.

B

AY h : profundidad hidráulica.

Sustituyendo en la ecuación (X.2) y despejando para el cambio en la profundidad con ladistancia se tiene:

2

1 R

f 0

F

SS

dx

dY (X.3) que describe la variación de la profundidad de flujo en un canal de forma arbitraria comofunción de 2, R f 0 F SS y .

Para el cálculo de los perfiles de flujo es útil determinar la relación entre las pendientes defondo (S0), de fricción (S f ) y del número de Froude

RF . Por las características del flujo

uniforme se tiene que Y=Y n, S0= S f y en la condición de flujo crítico 1 RF . De lo anteriory un análisis del comportamiento y la interacción de las variables hidráulicas se puedeestablecer el siguiente juego de desigualdades.

S f > S0 corresponde a Y < Y n y S f < S0 corresponde a Y > Y n. R

F > 1 corresponde a Y < Y c y R

F < 1 corresponde a Y > Y c.

Estas desigualdades dividen el canal en tres secciones en la dimensión vertical como sepuede observar en la Figura X.3. Por convención, estas zonas se numeran del 1 al 3empezando por la porción superior. Los perfiles en canales con pendientes menores que lacrítica, se denominan perfiles de pendiente suave (M); los perfiles en canales de pendientemayor que la crítica se denominan de pendiente fuerte (S); los perfiles en canales conpendiente igual a la pendiente crítica se llaman (C), los perfiles en canales con pendientenegativa se denominan adversos (A) y los perfiles en canales horizontales se denominan(H). Para cada zona y para cada tipo de pendiente del canal, la pendiente del nivel del agua

puede ser positiva o negativa, presentándose flujo retardado o acelerado respectivamente.

Por ejemplo para un canal de pendiente suave o subcrítica:

Zona 1: Y >Y n>Y c ; S0>S f , RF <1; por tanto 0

dxdY , se forma remanso, perfil M1.

Zona 2: Y n>Y>Y c ; S0<S f , RF <1; por tanto 0

dxdY , se forma caída, perfil M2.

Zona 3: Y n>Y c >Y ; S0<S f , RF >1; por tanto 0

dxdY , se forma remanso, perfil M3.




X.4

Con un análisis similar al anterior para cada zona y cada pendiente se tienen diversassituaciones, presentadas en la Figura X.3.

Zona 1 Y>Y n; Y>Y c Zona 2 Y n≥Y≥Y c; Y c≥Y≥Y n Zona 3 Y<Y n; Y<Y c

P e n d i e n t e H o r i z o n

t a l

S 0 = 0 , Y n

> Y c

Caída-subcrítico Remanso-supercrítico

P e n d i e n t e

M o d e r a d a

0 < S 0 < S

c

Y n

> Y c

Remanso-subcrítico Caída-subcrítico Remanso-supercrítico

P e n d i e n t e c r í t i c a

S 0 = S c

> 0

Y n = Y c

Remanso-subcrítico Crítico Remanso-supercrítico

P e n d i e n t e p r o n u n c i a d a

S 0 > S c

> 0

Y n

< Y c

Remanso- subcrítico Caída -supercrítico Remanso-supercrítico

P e n d i e n t e A d v

e r s a

S 0 < 0

Caída-subcríticoRemanso-supercrítico

Figura X.3 Sistema de clasificación de perfiles de flujo gradualmente variado.Modificado de Chow, V. T, 1994.




X.5

X.4 Métodos de cálculo

Para el cálculo de perfiles de flujo gradualmente variado se utiliza la ecuación (X.3); sinembargo, la pendiente de fricción en flujos reales no es conocida y se debe determinar a

partir de alguna ecuación de resistencia al flujo. Adicionalmente, se deben hacer algunassuposiciones, entre ellas:

Se consideran tramos de análisis relativamente pequeños, de tal forma que se puedaconsiderar flujo uniforme y así determinar la pendiente de fricción utilizando unaecuación de resistencia al flujo, usualmente Manning.La pendiente del canal es pequeña, por ende la profundidad de flujo vertical esaproximadamente la misma profundidad perpendicular al fondo, es decir que no serequiere corregir la profundidad de flujo por la pendiente.El coeficiente de rugosidad es independiente del tirante hidráulico y constante entodo el tramo en consideración.

Para conocer la variación de la profundidad del flujo gradualmente variado en relación conla longitud del canal ya sea hacia aguas arriba o aguas abajo de la sección de control, seemplean métodos teóricos aproximados entre los cuales los más usados son: el métodotramo a tramo y el de integración gráfica. Estos métodos son aplicables a canalesprismáticos y no prismáticos.

X.4.1 Método tramo a tramo

En este método se divide el canal en tramos cortos y se hacen los cálculos etapa por etapa.Es un método simple aplicado a canales prismáticos.

En la Figura X.2 se puede plantear la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2.

xSg

V Y Z

g

V Y Z f

22

2

2

22

2

1

11 (X.4) en donde:

g

V Y E xS Z Z i

ii2

y2

021 (X.5) reemplazando la ecuación (X.5) en la ecuación (X.4) y despejando para

x se obtiene

f 0 SS

E E x 12 (X.6)

x : longitud de cada tramo. E 1 : energía específica para la sección inicial del tramo. E 2 : energía específica para la sección final del tramo.S0 : pendiente del canal en tanto por uno (m/m; cms/cms).S f : pendiente de fricción, también denominado gradiente hidráulico medio del tramo.

Se calcula para la profundidad media del tramo dada por:




X.6

2

21 Y Y Y m (X.7)

Y 1 : profundidad del agua en la sección inicial del tramo.Y 2 : profundidad del agua en la sección final del tramo.

Para el sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S:

2

32

*

*

mm

f R A

nQS (X.8)

Para el sistema C.G.S.2

32

*64.4

*

mm

f R A

nQS (X.9)

Am : área de la sección media de profundidad Y m. Rm : radio hidráulico de la sección media de profundidad Y m.Q : caudal.n : coeficiente de rugosidad del canal según Manning.

Para aplicar este método se debe conocer la profundidad de la sección inicial y la clase devariación. Tomando incrementos o decrementos

Y , la profundidad siguiente seráY Y Y 12 .

El signo es (+) si la variación es retardada hacia aguas abajo y el signo es (-) si esacelerada. El valor de los intervalos que se adopten (

x, Y ) puede ser cualquiera, peroentre más pequeño sea, es mayor la exactitud del método.

Figura X.4. Esquematización del cálculo tramo a tramo.

x L : longitud total de flujo gradualmente variado.




X.7

X.4.2 Método de integración gráfica

El método tiene como base la expresión diferencial presentada en la ecuación (X.3), quecuando se consideran tramos se convierte en la siguiente expresión.

f 0

R

SS

F

Y

x 21(X.10)

Para sistema técnico, internacional o M.K.S:

2

3 / 2*

*

R

A

nQS f

(X.11)

Para sistema C.G.S:

2

3 / 2

**64.4

*

R A

nQS f

(X.12)

g : aceleración de gravedad = 980 cm/s2 = 9.8 m/s². R : radio hidráulico.

Como las variables A y S f son función de la profundidad Y , la ecuación (X.10) puedeexpresarse como:

Yn

YodY Y F xY F

dY

dx*)()( (X.13)

Puesto que esta expresión no es integrable directamente, se debe recurrir a otros métodos

aproximados como el de la integración gráfica.

Si se grafica en coordenadas rectangulares la función F(Y) se tiene una curva.

f SS

gA

BQ

Y F 0

3

2

1

)( (X.14)

Según la Figura X.5, la curva está limitada por F (Y 0) y F (Y n). El área debajo de la curvacorresponde a la integral de la ecuación (X.13) o sea la longitud entre las secciones deprofundidades Y 0 y Y n. Para encontrar esta área numéricamente se procede así:

Se divide el área en trapecios de bases F (Y 1) y F (Y 2) y altura 12 Y Y Y .

El área de cada trapecio Y Y F Y Y F Y F

x A m )(2

)()( 21 .

x L : longitud total de flujo gradualmente variado.




X.8

Como en el método anterior, se parte de una sección de profundidad conocida y se debeconocer también la clase de variación según la cual se suma o resta Y . Entre más pequeñossean los intervalos x o Y adoptados, mayor será la exactitud.

Figura X.5 Método de integración gráfica.

X.4.3 Controles al flujo

Independiente del método de cálculo seleccionado es importante resaltar que para loscómputos se debe considerar el tipo de flujo, ya sea subcrítico o supercrítico, crítico,horizontal y adversa y localizar los respectivos controles al flujo, puesto que en flujosubcrítico el cálculo se hace desde aguas abajo y en flujo supercrítico desde aguas arriba.

X.5 REFERENCIAS

Ven Te Chow. Hidráulica de los Canales Abiertos. Editorial Diana 1982, México.Vennard & Street. Elementos de Mecánica de Fluidos. Editorial CECSA, 1985. MéxicoFrench, Richard. Hidráulica de Canales Abiertos. 1988. México.

X.6 TRABAJO DE LABORATORIO

A. Observaciones

a) Antes de iniciar o al finalizar con la toma de datos, se sugiere dar variaspendientes al canal y observar los diferentes perfiles de flujo que se pueden generarcon pendiente adversa, horizontal, subcrítica y supercrítiva, los controlescorrespondientes aguas arriba y aguas abajo, la formación del salto hidráulico comoejemplo del flujo rápidamente variado, etc. Pueden usar varios tipos de controles,como por ejemplo: la compuerta al final del canal o una presa vertedora en maderaexistente en el laboratorio y que pueden colocar en puntos intermedios, la entrada alcanal.




X.9

B. Mediciones1. Medir las variables geométricas de la sección transversal del canal de pendiente

variable.2. Colocar el canal con una pendiente cualquiera y ubicar una compuerta en el extremo

final.3. Hacer circular un caudal sin que se rebose el agua.4. Mirar la variación del perfil del agua. Si es bien notoria, continuar con el paso

siguiente; de lo contrario modificar la pendiente del canal y el caudal hasta lograrvisualizar bien la variación del perfil.

5. Quitar la compuerta para que se establezca el flujo normal. Una vez que seestabilice medir la profundidad (Y n) del agua y aforar el caudal en el vertederotriangular localizado en el tanque aforador del extremo final del canal.

6. Medir la cota inicial ( Z 1) y final ( Z 2) y la longitud del canal y con estos datoscalcular la pendiente (S0).

7. Colocar nuevamente la compuerta al final del canal manteniendo constante el

caudal.8. A partir del control medir las profundidades del agua (Y ) cada 20 cm.9. Identificar el tipo de flujo (subcrítico o supercrítico)10. Identificar el tipo de perfil, Figura X.3. 11. Anotar los datos experimentales.

X.7 INFORME

1. Con los datos de flujo uniforme: Q, Y n y S0, calcule el coeficiente n del lechousando la expresión de Manning para el sistema de unidades que vaya a usar (X.8) o(X.9).

2. Calcule la profundidad crítica Y c

y verifique el tipo de flujo (subcrítico osupercrítico).

3. Determine, según el tipo de flujo, el control hidráulico o dirección de cálculo para elperfil. Subcrítico desde aguas abajo y supercrítico desde aguas arriba.

4. Calcule la pendiente crítica Sc y verifique el tipo de perfil, Figura X.35. Tome como profundidad de control para iniciar los cálculos, la misma de la práctica

en el laboratorio para L=0, y dándose incrementos de Y arbitrarios, calcule lasdistancias x entre secciones y la distancia total L medida en el laboratorio.

a. Empleando el método tramo a tramo.b. Empleando el método de integración gráfica.

6. Determine aproximadamente la distancia a la cual se encontrará la profundidad

normal del flujo, L(Y n), usando cualquiera de los 2 métodos de cálculo.7. Dibuje los perfiles teóricos (Y vs L) con los resultados de cada método e identifiqueel control.

8. En el mismo gráfico, ubique los puntos experimentales medidos en el laboratorio( x, Y ).

9. Observaciones.10. Conclusiones.




X.10

Tabla X.1 Datos y Cálculos.Q(cm³/s) :_________ B (cm) :__________ Y n :________q(cm²/s) :_________ Y c(cm) :__________ Tipo de flujo :________ Z 1 (cm) :_________ Z 2 (cm):__________ S0 :________

LFGV medida (cm):_________ Lmedida a Y n (cm):________ Tipo de perfil :________

Datos Cálculos Método Tramo a Tramo

L (cm) Y (cm) A (cm²) V(cm/s) E(cm) Y m (cm) A m (cm²) P m (cm) R m (cm) S f x(cm) L(cm)

Datos Cálculos Método Gráfico L (cm) Y (cm) A (cm²) P(cm) R(cm) S f F R² F(Y) F(Y) m Y=Y i-Y i-1 x(cm) L( cm)

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