10_Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos
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8/19/2019 10_Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos http://slidepdf.com/reader/full/10proporcionalidad-y-semejanza-de-triangulos 1/6 Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos 1. Teorema de Thales Si: 3 2 1 // // ‹ ‹ ‹ n m b a = Si: 3 2 1 / // ‹ ‹ ‹ n m b a = 2. Consecuencia del teorema de Thales en un triángulo Si: AC // MN n m b a = 3. En circunferencias tangentes interiores n m b a = 4. En circunferencias tangentes exteriores n m b a = 5. Teorema de la bisectriz interior x 2 =a·b–m·n n m b a = 6. Teorema de la bisectriz exterior x 2 =m·n–a·b n m b a = 7. Teorema del incentro Si "I" es incentro del ∆ ABC. b a c ID BI + = a b n m ‹ 1 ‹ 2 ‹ 3 a b n m ‹ 1 ‹ 2 ‹ 3 A M b n m a N C B m n a b a b m n α ° α ° a b n m x α ° α ° a b n m x α α c a I b D A C B
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Proporcionalidad y Semejanza de Triángulos
1. Teorema de Thales Si: 321 //// ‹‹‹
nm
ba =
Si: 321 //// ‹‹‹
nm
ba =
2. Consecuencia del teorema de Thales en un triángulo
Si: AC//MN
nm
ba =
3. En circunferencias tangentesinteriores
nm
ba
=
4. En circunferencias tangentesexteriores
nm
ba =
5. Teorema de la bisectriz interior
x2=a·b–m·n
nm
ba =
6. Teorema de la bisectriz exterior
x2=m·n–a·b
nm
ba
=
7. Teorema del incentro Si "I" es incentro del ∆ ABC.
bac
IDBI +=
a
b n
m‹ 1
‹2
‹ 3
a
bn
m
‹1
‹2
‹ 3
A
M
b n
ma
N
C
B
m
n
a
b
a
b
mn
α ° α °a b
nm
x
α °
α °
a b
nm
x
α αc a
I
bD A C
B
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8. Propiedad
9. Teorema de ceva
a.b.c = x.y.z
Semejanza de triángulos
DeniciónDos triángulos son semejantes, si tienen
sus tres ángulos internos congruentes ylas longitudes de sus lados homólogosson directamente proporcionales.
⇒ El ∆ ABC ~ ∆ PQR
Razón de semejanza (r)Es aquel número real y positivo que se ob-tiene al dividir dos longitudes homólogasde dos triángulos semejantes.Ejemplo:
Razón =2
1h
h...
510
48
36
==== = 2
Algunas guras donde se presen-tan triángulos semejantes1. Si AC//MN ⇒ el ∆ ABC ~ ∆ MBN
2. Si AC//MN ⇒ el ∆ ABC ~ ∆ MBN
3. Cuadrado inscrito en un triángulo
x = hbbh+
4. Cuadrado inscrito en un rombo.
x =Dd
dD+
d y D son diagonales
5.
x = baab+
6.
x2 = m·n
αα
β
β
A B C D
P
CD AD
BC AB =
a x
y
z c
b
α
a
Aβ
b
B
φc
Cα
ak
Pβ
bk
Q
φck
R
4
α
3
5
βh
2
β
h1
α10
68
A C
B
NM
α
α β
β
φ
M N
A
B
C
α βφ
φ
αβ
x
x
D
d
b
h
x
x
xx
ba
x
α°
m
α °
n
x
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P ROBLEMAS A PLICATIVOS
1. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si:L1//L2//L3
a) 53° b) 60° c) 30°d) 26,5° e) 18,5°
2. En la siguiente fgura, calcule “x”.a) 36b) 12c) 24d) 18e) 14
3. En la siguiente fgura, calcule “x”.a) 3b) 2c) 1d) 4e) 5
4. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si
G es baricentro. a) 14b) 13c) 12d) 8e) 15
5. En la siguiente fgura, calcule “x”.
a) 5b) 6c) 4d) 3e) 2
6. Calcule “x”.Si: ABCD es un romboide.
a) 10b) 16c) 12d) 8e) 4
7. Calcule “x”.a) 3b) 2c) 1d) 4e) 6
8. En la fgura, calcule “x”.a) 2b) 3c) 1d) 4e) 5
9. En la siguiente fgura, calcule “x”.a) 8b) 4c) 6d) 12e) 10
10. Calcule “x”, si G es baricentro.
a) 6 b) 8 c) 12d) 14 e) 16
12
x4
L3
L2
L1
12
3 6
x
α
α
θ
θ
4
x
12
1
α
α
α
α
G
x+4
x-5
α
α
x 2 1
θ θα α
4
x
a
3a
A D
CB
24
3 x
α α θ
θ
ω ω
2
6x4
x 12
4
2
θθ
x
G4 α
α
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11. Calcule “x”, si O es circuncentro delD ABC. CD=2; EC=3.
a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1
12. Calcule “x”.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
13. Calcule “x”, si G es baricentro y1 1 1a b 4
− =
a) 8 b) 2 c) 3d) 1 e) 4
14. Calcule “x”.Si: AB=6
a) 2413
b)185
c) 13
3
d) 4 e) 2
15. Calcule “x”, si los triángulos ABC,CDE y EFG son equiláteros.
a) Ll
b) L l c)2Ll
d)Ll
e)2
Ll
P ROBLEMAS P ROPUESTOS
1. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si:L1//L2//L3
a) 30° b) 60° c) 53°d) 45° e) 60°
2. En la siguiente fgura, calcule “x”.
a) 2 b) 6 c) 5d) 3 e) 4
3. En la siguiente fgura, calcule “x”.
a) 1 b) 6 c) 4d) 2 e) 3
x
2x
O
A C
B
E
D
α
α
θ
θ
12
4x
6
ab
G
A
B
C
x
10
8
C
E
x
A
B
P
C GE A
B
D
L
xF
a
ab
b
bx
L1
L2
L3
M
B
A 4 xD C
N
4
12 6
x
P
B
N
A CM
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4. En la siguiente fgura, calcule “x”. SiBM//QN .
a) 4 b) 2 c) 3d) 6 e) 8
5. En la siguiente fgura, calcule “x”. Si:CM=10 y CN=2AN
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 5/3
6. En la fgura, BC=AE; CD=4 y EC=3.Calcule AE.
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 12
7. En la fgura, 2AB=3EB; BD=2CD yDE=4. Calcule AC.
a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
8. Del punto P, se observa el punto Q enel espejo en B, si PB=2 y BC=3AB.Calcule BQ.
a) 7 b) 5 c) 4d) 6 e) 8
9. En la fgura PQMN es un cuadrado, AP=1 y NC=4. Calcule NP.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10. En la fgura, AD=DB; BE=2 y EC=7.Calcule AD.
a) 3 b) 4 c) 5d) 2 e) 6
11. Las bases de un trapecio miden 4 y8 y la altura 9, calcule la distancia delpunto de intersección de los lados noparalelos a la base mayor.a) 14 b) 15 c) 16d) 7 e) 18
4
12
x x+4
Q
B
αα
M A CN
xM
A C
B
N
α
α
A C
B
D
E
α α
x
A B E
C
D
A B Espejo
Q
P
C
A C4
B
Q
P N
M
A
B
E
C
D
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12. Si: BN=NQ y BM=MC, calcule “x”.
a) 80° b) 100° c) 110°d) 120° e) 135°
13. Si: AP=PM=MB; BN=NC; DE=3; cal-cule EN.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14. En el triángulo ABC, DE=a y AE=6a.Calcule CD. Si: AB=12.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
15. Si: JD=JE=JF y AD·BE·CF=64. Cal-cule JD.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
α
α
A C
B
MN
Q
80°x
DP
AC
B
MN
E
D
C E A
B
D β
β
α
φ φαC
E
F A
B
J
CLAVES
1.e 2.c 3.a 4.a 5.b
6.c 7.a 8.b 9.c 10.c
11.b 12.b 13.e 14.a 15.e
1.d 2.e 3.d 4.d 5.a6.c 7.b 8.d 9.b 10.a
11.e 12.b 13.b 14.b 15.d
