11 Fluida Ideal
-
Upload
irfan-aditya-dharma -
Category
Documents
-
view
224 -
download
2
Transcript of 11 Fluida Ideal
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
1/33
ALIRAN FLUIDA IDEAL
Semua fluida nyata (real fluids) mempunyaiviskositas.
Untuk beberapa kasus dapat dipahami untuk
mengabaikan efek dari viskositas fluidadianggap sebagai fluida ideal.
incompressible
zero viscosity tak ada tegangan geser
inviscid
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
2/33
Persamaan Euler Persamaan momentum
untuk aliran tanpa gesekan
Dalam aliran inviscid, tegangan normal adalah
sama dengan tekanan termodinamik negatif.
z
V
wy
V
vx
V
ut
V
pg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pgx
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
y
pgy
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
pgz
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
3/33
Jika arah koordinat zmenuju vertikal ke atas:
zgkgg
VVtV
Dt
VD
pzg
1
r
V
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
r
pg rz
rrr
rrr
21
Persamaan Euler:
Dalam koordinat silindris:
r
VV
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
r
p
rg rzr
1
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
z
pg zz
zzr
zzz
1
Jika sumbu z
mengarahsecara vertikal:
gr=g=0
gz
=-g
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
4/33
Persamaan Euler dalam Streamline
Coordinate
+
g dsdxdn
npp
2
dsdxdn
n
pp
2
s
R
y
z
n
dndxds
s
pp
2
dndxds
s
pp
2
dnds
Persamaan gerak akan ditulis dalam koordinat s(jarak
sepanjang streamline) dan njarak normal terhadap
streamline.
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
5/33
Velocity field: ),( tsVV
p
dsdndxVolume elemen fluida:
Tekanan di pusat elemen fluida:
Dengan mengabaikan gaya2 akibat gesekan:
dsdndxadsdndxgdndxs
s
ppdndx
s
s
pp s
sin
22
sagsp
sin
sas
zg
s
p
1
s
V
Vt
V
Dt
DV
a s
sss
s
Akibat : ),( tsVV ss
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
6/33
s
VV
t
V
s
zg
s
p
1
s
VV
s
p
1
dndxdsadndxdsgdsdxn
n
ppdsdx
n
n
pp n
cos
22
Untuk arah normal terhadap streamline:
nagn
p cos
nan
zg
n
p
1
R
V
an
2
Euler eq. searah streamline
R
V
n
zg
n
p 21
Euler eq. tegak lurus streamline
R
V
n
p 21
Utk permukaan horizontal
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
7/33
Persamaan Bernoulli integrasi pers.
Euler (steady state)
Dari persamaan utk aliran incompressible daninviscid distribusi kecepatan dan tekanan.
Untuk beberapa kondisi khusus
penyelesaian cukup kompleks
Integrasi persamaan Euler
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
8/33
Penurunan menggunakan Streamline Coordinate
Pers. Euler untuk steady state sepanjangstreamline:
s
VV
s
zg
s
p
1
dpdss
p
dzdss
z
Untuk perpindahan sepanjang ds:
dVdss
V
perubahan tekanan
perubahan elevasi
perubahan kecepatan
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
9/33
VVzgp
0
zgVV
p
gzVp
2
2
Harus diketahui hubungan antara tekanan dandensity.
Untuk kasus:
Steady flow
Incompressible
Frictionless
Sepanjang streamline
gzVp
2
2
konstan
konstan
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
10/33
Penurunan menggunakan Rectangular Coordinate
Pers. Euler untuk steady state dalam
rectangular coordinate:
VVdz
Vdw
dy
Vdv
dx
Vdu
Dt
VDzgp
1
zyxVV ,,
sdVVsdzgsdp
1
Steady flow, velocity field:
Dalam selang waktu dt, partikel berpindah ds
sepanjang streamline.
kdzjdyidxsd
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
11/33
kdzjdyidxz
pk
y
pj
x
pisdp
11
dz
z
pdy
y
pdx
x
p
1
dp1
kdzjdyidxkgsdzg
gdz
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
12/33
sdVsdVVsdVV
22
1
2
1
kdzjdyidxz
Vk
y
Vj
x
Vi
2
1 222
dzz
Vdy
y
Vdx
x
V 222
2
1
221
Vd
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
13/33
02
1 2 gdzVddp
gzVdp
2
2
gzVp
2
2
konstan
konstan
Untuk kasus:
Steady flow
Incompressible
Frictionless
Sepanjang streamline
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
14/33
Unsteady Bernoulli Equation
Persamaan momentum:
Dt
VDzgp
1
dst
VdssVVds
DtDVsd
DtVDsdzgsdp sss
s
1
dpsdp
dzsdz
ss dVds
s
V
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
15/33
dst
VdVVgdz
dp sss
2
1
12
2
1
2
1
2
2 02
dst
Vzzg
VVdp s
dst
V
gz
Vp
gz
Vp s
2
1
2
2
22
1
2
11
22
Batasan:
Incompressible
Frictionless
Sepanjang streamline
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
16/33
Contoh:
1
2
h=3 m
L=6 m
D=150 mm
Dengan mengasumsikan tak ada gesekan, tentukan
kecepatan meninggalkan pipa sebagai fungsi waktusetelah tutup pipa dilepas. Reservoir cukup besar
sehingga perubahan level dapat diabaikan.
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
17/33
dst
Vgz
Vpgz
Vp s
2
1
2
2
221
2
11
22
Asumsi:
Incompressible
Frictionless
Sepanjang streamline dari titik 1 ke 2
p1= p2=patm
V1
20
z2=0
z1=h=konstan
Abaikan kecepatan di reservoir
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
18/33
2
1
2
21
2ds
t
VVghgz s
2
1 0
L
ss dst
Vds
t
V
dt
dVLds
dt
dVds
t
VL L
s 2
0 0
2
Di dalam pipa: Vs=V2
dt
dVL
Vgh 2
2
2
2
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
19/33
L
dt
Vgh
dV
22 22
2
L
t
gh
V
ghVgh
dVV
V
22tanh
2
1
2
22
0
1
0
2
L
t
gh
V
gh 22
tanh
2
1 21
Integrasi: V=0 pada t=0 dan V=V2pada t=t,
tanh-1(0)=0
gh
L
t
gh
V2
2tanh
2
2
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
20/33
Untuk kondisi yang diketahui,
m/s67.7381.922 xxgh
txxt
ghL
t639.067.7
6
1
22
2
V2
t
7.67
V2=7.67tanh(0.639t)
m/s)639.0tanh(67.72 tV
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
21/33
Irrotational Flow
Adalah aliran di mana elemen fluida bergerak
dalam flow field tidak mengalami rotasi.
0
0 V
0
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
Dalam koordinat silindris:
0111
rzrz V
rr
rV
rr
V
z
V
z
VV
r
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
22/33
Irrotational Flow Applikasi Pers. Bernoulli
gzVp
2
2
konstan
Persamaan di atas berlaku untuk dua titik pada
streamline yang sama. Nilai konstanta
bergantung pada masing2 stream line.
Syarat inviscid:
Incompressible
Steady
Irrotational
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
23/33
Dari pers. Euler:
VVzgp
1
VVVVVV
2
1
0 V
Irrotational flow
VVVV
2
1
22
1
2
11VVVzgp
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
24/33
Selama selang dt partikel berpindah dari:
rdrr
kdzjdyidxrd
rdVrdzgrdp 22
11
2
2
1
Vdgdz
dp
gzVdp
2
2
gzVp
2
2
konstan
konstan
Integrasi:
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
25/33
Velocity Potential ()
Untuk velocity field yang irrotational:
0 V
0)( gradcurl
Dan hanya valid jika merupakan fungsi skalar.
Untuk irrotational flow, harus ada
fungsi dimana gradiennya merupakan vektor
kecepatan.
V
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
26/33
xu
yv
zw
Koordinat silindris:
zk
re
rer
1
rVr
rV
1
zVz
Velocity potential:
Hanya untuk irrotational flow
Valid untuk daerah aliran dimana gaya viskos diabaikan
Irrotational ideal fluid zero viscosity
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
27/33
Stream Function & Velocity Potential utk Two-
Dimensional, Irrotational, Incompressible
xu
yv
yu
xv
0
y
u
x
v
Substitusi pers. stream function ke kondisi
irrotational:
02
2
2
2
yx
(Laplace Eq.)
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
28/33
0
y
v
x
u
Substitusi pers. velocity potential ke
persamaan kontinuitas:
02
2
2
2
yx
(Laplace Eq.)
Semua fungsi atau yang memenuhi pers.
Laplace mempunyai ciri: aliran dua dimensi,
incompressible, irrotational.
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
29/33
Stream function adalah konstan sepanjang
streamline.
= konstan d=0
0
dy
ydx
xd
Slope dari sebuah streamline sebuah garis
konstan :
u
v
u
v
y
x
dx
dy
/
/
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
30/33
Sepanjang garis dengan konstan d=0:
0
dy
ydx
xd
Slope dari sebuah potential line sebuah
garis konstan :
v
u
y
x
dx
dy
/
/
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
31/33
Contoh:
Diberikan incompressible flow field.
22 ayax 13 sa
y
u
x
vz
2
Tentukan: a) Buktikan flow irrotational
b) Velocity potentialPenyelesaian:
Irrotational flow z= 0.
yu
xv
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
32/33
ayayaxy
u 222
axayax
x
v 222
022222
aaayyaxxy
u
x
vz
Komponen kecepatan
ayx
u 2
ay
x
2
Integrasi terhadap x:
)(2 yfaxy
-
7/22/2019 11 Fluida Ideal
33/33
yv
)(22 yfaxyyy
axv
dy
df
axy
yf
axax
2)(
22 0 dy
df
f = konstan
axy2 konstan