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S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACINY DESARROLLO TECNOLGICO
cenidet
CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIN
UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERA ELECTRNICA
P R E S E N T A
GERARDO CORTS LOZANO
DIRECTOR DE TESIS: Dr. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMREZ
CO-DIRECTOR: M.C. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLITI
CUERNAVACA, MORELOS DICIEMBRE 2002
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INDICE
INDICE
Pg.
INDICE ILISTA DE TABLAS IIILISTA DE FIGURAS IV
CAPTULO IINTRODUCCIN
1
1.1 Estado del arte. 2
1.2 Justificacin. 5
1.3 Alcance 51.4 Aportacin... 6
1.5 Organizacin del trabajo de tesis. 6
CAPTULO IIMTODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCIN 8
2.1 Mtodos tradicionales de modelado del motor de induccin.. 8
2.2 Mtodo de Euler Lagrange... 10
2.2.1 La ecuacin Euler Lagrange.. 11
2.2.2 Modelo trifsico del motor de induccin.. 152.2.3 Teora del marco de referencia. 182.2.4 Modelo equivalente bifsico. 20
2.3 Simulaciones 22
CAPTULO IIIANLISIS, MODELADO Y SIMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO.
28
3.1 Modelo del sistema completo motor de induccin robot.. 28
3.2 Simulacin del sistema 36
CAPTULO IVCONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIN BASADO EN PASIVIDAD 41
4.1 Introduccin. 414.2 Planteamiento del problema 43
4.3 Diseo del controlador nominal.. 44
4.3.1 Diseo de las seales deseadas. 444.4 Anlisis de estabilidad. 51
4.4.1 Anlisis de estabilidad del subsistema elctrico... 52
4.4.2 Anlisis de estabilidad del subsistema mecnico. 55
I
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INDICE
4.5 Simulacin del sistema en lazo cerrado... 57
CAPTULO VCONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO
LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
63
5.1 Tcnica de rediseo de Lyapunov... 64
5.2 Diseo del controlador robusto para el subsistema mecnico. 665.3 Anlisis de estabilidad del subsistema mecnico 68
5.4 Diseo del controlador robusto para el subsistema elctrico.. 715.5 Anlisis de estabilidad del subsistema elctrico.. 74
5.6 Simulacin del sistema 77
CAPTULO VIANLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 85
6.1 Anlisis del ndice de desempeo 85
6.2 Conclusiones 94
6.3 Trabajos futuros... 96
REFERENCIAS 97
APNDICE A A-1
A.1 Funcin S, herramienta de Simulink de Matlab. A-1
A.2 Manual para el uso de los programas de simulacin.. A-3
II
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INDICE
INDICE DE TABLAS
Tabla Pg.
2.1 Ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de unmotor de induccin 10
2.2 Parmetros de simulacin para un M.I. de 1 hp. 24
2.3 Parmetros de simulacin para un M.I. de 3 hp. 252.4 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Ong,98] 27
2.5Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por[Krause,95]
27
3.1Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgidogiratorio de dos grados de libertad.
37
4.1Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgidogiratorio de dos grados de libertad 58
5.1 Parmetros nominales del robot 77
5.2Parmetros nominales de los motores de induccin que accionan alrobot rgido giratorio de dos grados de libertad
79
A.1 Rutinas de la funcin S contenida en un archivo .M A-3A.2 Programas generados A-4
A.3 Parmetros de simulacin A-5
III
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INDICE
INDICE DE FIGURAS
Figura Pg.
1.1 Entradas y salidas de un circuito elctrico no lineal 3
2.1Mquina de induccin trifsica, simtrica, dos polos, conectada enestrella, (a) diagrama esquemtico; (b) diagrama elctrico de los
devanados de estator y rotor.
9
2.2Diagrama a bloques de flujo de datos para el programa de simulacin
del motor de induccin23
2.3 Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 242.4 a) Velocidad; b) Par electromagntico generado 25
2.5 Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 26
2.6 a) Velocidad; b) Par electromagntico generado 26
3.1Robot rgido giratorio accionado por motores de induccin, caso
particular de dos grados de libertad28
3.2Diagrama a bloques del programa de simulacin para el robot rgidogiratorio de dos grados de libertad accionado directamente por motores
de induccin
37
3.3 Corrientes de los devanados de a) estator motor 1; b) rotor motor 1 383.4 a) Velocidad del motor 1; b) Par electromagntico generado por el
motor 138
3.5 Corrientes de los devanados de a) estator motor 2; b) rotor motor 2 393.6 a) Velocidad del motor 2; b) Par electromagntico generado por el
motor 2 39
4.1 Diagrama a bloques del sistema pasivo 44
4.2 Representacin polar de los flujos del rotor 45
4.3Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el robot
rgido giratorio accionado por motores de induccin58
4.4 Trayectoria de posicin deseada 59
4.5Primera, segunda y tercera derivada de la trayectoria de posicin
deseada59
4.6a)error de seguimiento de posicin motor 1 b)error de seguimiento de
velocidad motor 160
4.7a)error de seguimiento de posicin motor 2 b)error de seguimiento develocidad motor 2
60
4.8a)Corrientes de los devanados de estator motor 1 b)Corrientes de los
devanados de rotor motor 161
4.9a)Voltajes de alimentacin para el motor 1 b)Par electromagnticogenerado por el motor 1
61
4.10a)Corrientes de los devanados de estator motor 2 b)Corrientes de los
devanados de rotor motor 262
IV
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INDICE
4.11a)Voltajes de alimentacin para el motor 2 b)Par electromagntico
generado por el motor 262
5.1Diagrama a bloques para describir al sistema en lazo cerrado con
perturbaciones65
5.2 Diagrama a bloques del flujo de datos para el esquema de controlpropuesto 78
5.3a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 1 b)
Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 180
5.4a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 2 b)
Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 280
5.5a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 1 b)
Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 181
5.6a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 2 b)Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 2
81
5.7a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 1 b)
Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 182
5.8a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 2 b)
Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 282
5.9a) Corrientes en los devanados de estator del motor 1 b) Corrientes en
los devanados de rotor del motor 183
5.10a) Voltajes de alimentacin para el motor 1 b) Par electromagntico
generado por el motor 183
5.11a) Corrientes en los devanados de estator del motor 2 b) Corrientes enlos devanados de rotor del motor 2
84
5.12a) Voltajes de alimentacin para el motor 2 b) Par electromagntico
generado por el motor 284
6.1a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 186
6.2a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 2 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 286
6.3a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 187
6.4a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 2 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 287
6.5a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1
88
6.6a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 2 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 88
6.7a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 289
6.8a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 290
6.9a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 291
6.10 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b) 91
V
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INDICE
ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 2
6.11a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2
92
6.12a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)
ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 292
6.13 a) Comparacin del seguimiento de trayectoria de posicin para elmotor 1 b) Comparacin del seguimiento de trayectoria de velocidad
para el motor 1
93
6.14a) Comparacin del seguimiento de trayectoria de posicin para elmotor 2 b) Comparacin del seguimiento de trayectoria de velocidad
para el motor 2
94
VI
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Simbologa
B Coeficiente de friccin viscosa en N m s/rad
B0 Regresor para la parte elctrica
c Constante positivaC Matriz de trminos de Coriolis
D Matriz de inercias
e Errores para el subsistema elctricof Fuerzas generalizadas
f Representa cualquier sistema trifsico de variables elctricasf, G Funciones continuas
fmm Fuerza magnetomotriz
g0 Vector independiente de los parmetros inciertos para la partemecnica
ge0 Vector independiente de los parmetros inciertos para la parte
elctricaI1 Momento de inercia para el eslabn 1 del robot
I2 Momento de inercia para el eslabn 2 del robot
iar, ibr, icr Corriente en las fases a, b, c del rotor
ias, ibs, ics Corriente en las fases a, b, c del estatorIn Matriz identidad de nxn
j Inercia del rotor en Kg m2
J Matriz antisimtricaK Matriz cuya diagonal es {e, 0}
Ks Matriz de transformacin de elementos de circuitos trifsicosestacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario
Ks
-1 Matriz de transformacin inversa
l1 Longitud del primer eslabn del robotl2 Longitud del segundo eslabn del robot
lc1 Centro de gravedad del eslabn 1 del robot
lc2 Centro de gravedad del eslabn 2 del robot
Ll Inductancia de dispersinLm Inductancia de magnetizacin
Lr Matriz de inductancias de rotor, inductancia de rotor
Ls Matriz de inductancias de estator, inductancia de estatorlsr Valor mximo de la inductancia mutua
Lsr Matriz de inductancias mutuas
M Matriz constanteM Matriz de inercias combinadas
m1 Masa del eslabn 1 del robot
m2 Masa del eslabn 2 del robotNr Nmero de vueltas en los devanados de rotor
Ns Nmero de vueltas en los devanados de estator
p Momento generalizado
q Coordenada generalizadaQ Fuerzas externas
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qe Coordenada generalizada para la parte elctrica, carga elctrica
qm Coordenada generalizada para la parte mecnica, posicin angularqm Error de seguimiento de posicin
Rm Coeficiente de friccin viscosa del rotor
Rr Resistencia de los devanados de rotor
Rs Resistencia de los devanados de estatorT 32
Matriz de transformacin de Blondel
T* Co-energa cinticaT*r Co-energa cintica del robot
T*rr Co-energa cintica del robot debida a los movimientos rotacionales
T*rt Co-energa cintica del robot debida a los movimientostraslacionales
u Vector de entrada de un sistema no linealu1d1,u1d2,u2d1,u2d2 Voltajes deseados de estator para los motores 1 y 2
V Energa potencial, Funcin candidata de Lyapunov
var, vbr, vcr Voltaje en las fases a, b, c del rotor
vas, vbs, vcs Voltaje en las fases a, b, c del estatorw(t,x) Seal de control adicional para contrarrestar las incertidumbres
we Vector de seales de compensacin para la parte elctricawm Vector de seales de compensacin para la parte mecnica
x1,y1, x2, y2 Coordenada de posicin para el robot
y Vector de salida de un sistema no lineal
Y0 Regresor para la parte mecnica
1, 2, 3 Funciones de clase k
Indica variacin
Funcin continua que agrupa los trminos inciertos
e Parmetro de diseo para la parte elctricam Parmetro de diseo para la parte mecnica
e Matriz de ganancias positiva definida para el subsistema elctrico
s Matriz de ganancias definida positiva para el subsistema mecnico
Enlaces de flujo.
ar, br, cr Enlaces de flujo en las fases a, b, c del rotor
as, bs, cs Enlaces de flujo en las fases a, b, c del estator
Desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de
referencia arbitrario
Posicin real
0m Vector de parmetros nominales para la parte mecnica
e Vector de parmetros inciertos para la parte elctrica
e0 Vector de parmetros nominales para la parte elctrica
m Vector de parmetros inciertos para la parte mecnica
r Posicin angular de la flecha del rotor
ref Posicin de referencia
d Posicin angular deseada del vector de flujo
em Par electromagntico generado por el M.I. en N m.
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Captulo I
INTRODUCCIN
Los motores de induccin (M.I.) son ampliamente utilizados en aplicacionesindustriales que requieren velocidades prcticamente constantes, esto debido a su
simplicidad de operacin, robustez, su necesidad prcticamente nula de mantenimiento y su
costo reducido en comparacin con otras mquinas.
Actualmente, debido a los avances en la teora del control no lineal, de mquinas
elctricas, de la electrnica de potencia y de los procesadores digitales, hay una tendencia abuscar un mejor desempeo dinmico en las mquinas elctricas a travs del diseo desistemas de control ms sofisticados.
En el caso de los motores de induccin existen ciertos desafos en la bsqueda pormejorar el diseo de sus sistemas de control. Esto debido principalmente a que: Su
dinmica exhibe no linealidades muy significativas, no todos los estados estn disponibles
para su medicin, es un sistema altamente acoplado y sus parmetros pueden variarsignificativamente de sus valores nominales durante su operacin.
En aos recientes, se han desarrollado una amplia variedad de tcnicas de control no
lineal para controlar a los motores de induccin tales como: El control vectorial, el controlbasado en pasividad, los controladores basados en la linealizacin por retroalimentacin,
etc., obteniendo muy buenas caractersticas de desempeo. Por lo anterior, los motores de
induccin han encontrado aplicacin en sistemas de alta precisin, anteriormentereservados nicamente a las mquinas de CD.
1
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
1.1 Estado del arte
En la actualidad existen diferentes mtodos de control del motor de induccin y
entre ellos se encuentran:
a). Control en rgimen permanente:
Considerado como un mtodo clsico, se basa en la linealizacin del modelo delmotor en un punto de operacin de rgimen permanente. Su ventaja principal consiste en
que es posible aplicar la teora de control lineal en el diseo del controlador; sin embargo,
el comportamiento dinmico es variable y depende de qu tan cerca est funcionando el
motor del punto de operacin supuesto [Taylor,94]. Algunos mtodos de control enrgimen permanente usados son el control voltaje / frecuencia (V/Hz.) constante y el
control de la frecuencia de deslizamiento y corriente del estator [Kosow,72].
b). Control no lineal:
Control vectorial:
Es el mtodo de control estndar para mquinas de induccin y utiliza el modelo nolineal del motor. Su objetivo es hacer que el motor de induccin se comporte como un
motor de CD de excitacin separada, con las variables par electromagntico y flujo
magntico desacopladas. En esencia, el mtodo consiste en una transformacin no linealde coordenadas (rotacin) y una retroalimentacin no lineal para lograr el desacoplamientodel par electromagntico y del flujo magntico. Algunas tcnicas de control vectorial son
el control por orientacin del flujo del rotor, del flujo del estator y del flujo de
magnetizacin [Blashke,72], [Vas,90], [Novotny,96].
Control no lineal moderno
1.- Diseo por linealizacin exacta [Taylor,94]:
Es uno de los diseos de control ms comunes para las mquinas elctricas actuales.
El concepto de diseo est basado en una estructura de dos lazos; en el primer paso de
diseo, se busca una compensacin no lineal, de manera que se cancelen las nolinealidades en el motor (sin considerarla para algn objetivo de control especfico); esta
compensacin es implementada como un lazo de retroalimentacin interior. En el segundo
paso de diseo, se obtiene una nueva compensacin sobre la base de la dinmica lineal
resultante del motor pre-compensado, de manera que se alcance algn objetivo de control
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CAPITULO I INTRODUCCION
definido; esta compensacin lineal es implementada como un lazo de retroalimentacin
exterior. La ventaja de una dinmica lineal en lazo cerrado es que la seleccin de losparmetros del controlador se simplifica de sobremanera y la respuesta transitoria es
predecible. Sin embargo, no todos los sistemas no lineales pueden ser controlados
mediante el uso de esta tcnica. La linealizacin exacta no es realmente una sola
metodologa, sino que existen dos nociones de linealizacin: Linealizacin entrada-salida,que puede ser aplicada solo a sistemas de fase mnima con grado relativo bien definido;
Linealizacin entrada-estado, que puede ser aplicada eliminando cualquier dificultad con la
dinmica interna del sistema, pero es menos intuitiva y por lo tanto ms difcil de aplicar enla prctica.
2.- Diseo basado en pasividad y el moldeo de energa [Sastry,99]:
Utilizan la formulacin de Euler-Lagrange para el modelo del motor de induccin,
considerando ciertas propiedades fsicas tales como la conservacin de la energa y
pasividad.La principal caracterstica que se obtiene al hacer uso de la tcnica de modelado de
Euler Lagrange es que tiene gran relacin con las caractersticas fsicas del sistema. Esto
facilita la interpretacin del modelo matemtico obtenido; adems, una gran variedad de
sistemas en ingeniera pueden ser tratados con esta metodologa. Otra propiedadimportante es que tambin provee automticamente las funciones de almacenamiento y
disipacin de la energa del sistema, que son de gran utilidad en el diseo de los sistemas de
control basados en pasividad.Para explicar brevemente el concepto de pasividad es necesario primero definir la
propiedad de disipatividad; este concepto est ntimamente relacionado con el fenmeno
de prdida y disipacin de la energa. Ejemplos tpicos de sistemas disipativos son loscircuitos elctricos, en los cuales parte de la energa elctrica es disipada en forma de calor
en las resistencias del circuito. Matemticamente, para definir la propiedad de
disipatividad es necesario introducir dos funciones: La razn de suministro de energa y lafuncin de almacenamiento, la cul mide la cantidad de energa que es almacenada dentro
del sistema. Estas funciones son relacionadas a travs de la desigualdad de disipacin, la
cul establece que un sistema disipativo no almacena ms energa que la que le es
suministrada desde el exterior, siendo la diferencia la energa disipada. Consideremos elejemplo del circuito elctrico no lineal como el que se muestra en la figura 1.1 [Sastry,99],
siendo las entradas un conjunto fuentes de voltaje y corriente independientes, y las salidas
los voltajes y corrientes dependientes.
Figura 1.1 Salidas y entradas de un circuito elctrico no lineal
3
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
La cantidad u(t)T
y(t) es interpretada como la potencia instantnea de entrada al
circuito, con las direcciones de referencia mostradas en la figura. Se dice que el circuitoanterior es pasivo si la cantidad de energa en la entrada (integral de la potencia) no excede
el cambio en la cantidad de energa almacenada en el circuito. Si el circuito no lineal
comienza con todos sus elementos almacenadores (inductores y capacitores) descargados,
el circuito es pasivo si
Ttodapara0,y(t)dt(t)uT
0
T
3.- Diseo basado en backstepping [Taylor,94]:
Se divide al sistema en subsistemas de menor orden, se elige uno de stos y se le
disea un controlador por retroalimentacin como si no existieran otras dinmicas y seobtiene un pseudo control. Si en este proceso no aparece la seal de control verdadera, se
repite el procedimiento con los dems subsistemas hasta que sta aparezca.
4.- Diseo basado en redes neuronales y lgica difusa [Vas,99]:
Los desarrollos recientes en la teora de control son tales que las tcnicas
convencionales para el diseo de controladores estn siendo reemplazadas por alternativas
que adoptan estrategias diferentes. Estas estrategias hacen uso de lo que se llama
Inteligencia Artificial (redes neuronales, lgica difusa, redes neuro-difusas y algoritmosgenticos). Su principal caracterstica es que usan la experiencia de los humanos. En la
literatura, la mayora de las publicaciones sobre la aplicacin de la Inteligencia artificial en
mquinas elctricas describen aplicaciones a controladores de posicin y velocidad basadosen lgica difusa y redes neuronales. Tambin se describen problemas de estimacin de
parmetros, observadores y sensores.
5.- Diseo basado en modos deslizantes:
El objetivo del control basado en modos deslizantes es forzar al estado de una plantaa deslizarse sobre una superficie dada en el espacio de estado (superficie deslizante). En
este rgimen de deslizamiento, las trayectorias de estado estn localizadas en la superficie
deslizante y por lo tanto son invariantes, independientemente de los parmetros de la plantay disturbios externos [Buja,93]. Las caractersticas que hacen interesante la aplicacin de
la teora de los modos deslizantes en mquinas elctricas son: Alta precisin, respuesta
dinmica rpida, buena estabilidad, simplicidad en el diseo e implementacin y sobre todo
robustez. La robustez se refiere principalmente a baja sensitividad a desviaciones en losparmetros del sistema y disturbios externos. La teora de los modos deslizantes ha sido
aplicada al control de posicin y velocidad en motores de CD y sistemas de control de
posicin para motores de induccin y motores sncronos [Sen,87].
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CAPITULO I INTRODUCCION
1.2 Justificacin
Actualmente los mtodos de control no lineal son aplicados cada vez con mayorfrecuencia a procesos industriales, debido a que se obtienen mejores desempeos
dinmicos. En el caso de los motores de induccin (M.I.), algunos de sus parmetrosvaran durante su operacin, debido a esto se utilizan mtodos de control que puedanenfrentar estas incertidumbres. Dentro de estas tcnicas estn: El control adaptable, el
control por modos deslizantes, los controles basados en lgica difusa y redes neuronales, y
el control robusto, por citar algunos.
En el Cenidet existe una tesis previa para el control de motores de induccin en la
cual se consider conocido el modelo del motor, en esa tesis se dise un controlador
nominal basado en pasividad [Miguel,01]. Ahora, en el presente trabajo se considera quelos modelos del M.I. y de la carga no son conocidos con precisin, para lo cul se propone
el uso de la tcnica de rediseo de Lyapunov. Utilizando esta tcnica se disearn seales
de control que son agregadas a la ley de control nominal para hacer frente a lasincertidumbres paramtricas del sistema. Por considerarla de inters prctico y de
complejidad aceptable, la carga utilizada es un robot rgido giratorio de 2 grados de
libertad, sin embargo, el planteamiento se hizo de manera general, siendo aplicable al casode n grados de libertad.
1.3 Alcance
El objetivo de la tesis es el estudio de un esquema de control no lineal robusto en eldominio del tiempo con la capacidad de hacer frente a las variaciones paramtricas
inherentes a los motores de induccin. Adicionalmente se considera la incertidumbre en
los parmetros de la carga, para ste trabajo la carga considerada es un robot rgidogiratorio de dos grados de libertad.
Como alcances se tienen los siguientes:
a).- Obtener el modelo matemtico del sistema completo motor de induccin robot
rgido giratorio.
b).- Disear un controlador robusto para lograr el seguimiento de trayectorias (posicin
y velocidad) de un robot rgido giratorio accionado por motores de induccin.
c).- Validar el sistema resultante mediante simulaciones en computadora.
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
1.4 Aportacin
El trabajo de tesis intenta darle solucin al problema de la incertidumbreparamtrica en los motores de induccin, el cul ya ha sido resuelto utilizando algunas
otras tcnicas como lo son el control adaptable [Marino,91] y el control inteligente, asaber, lgica difusa y redes neuronales. El uso de estos mtodos tiene la desventaja deaumentar el orden del sistema controlador-planta, mientras que utilizando el control
robusto se obtiene una ley de control que no incrementa el orden del sistema.
La tesis aportar bases slidas en la aplicacin de la tcnica de rediseo deLyapunov para el diseo de controladores robustos, adems de contribuir en la lnea de
investigacin de mquinas elctricas y de control no lineal en las que se trabaja en este
centro de investigacin.
1.5 Organizacin del trabajo de tesis
El captulo 2 presenta diferentes mtodos de modelado del M.I., en l se describenlas tcnicas de modelado tradicionales y se hace una breve exposicin del mtodo de
modelado basado en la tcnica variacional, con una breve explicacin sobre la obtencin de
la ecuacin de Euler Lagrange. Posteriormente se obtiene el modelo matemtico del M.I.
aplicando esta ltima tcnica. De manera que se simplifique el modelo del M.I., se aplicala teora del marco de referencia para obtener una representacin bifsica del modelo del
M.I. Por ltimo, en ste captulo se simula la operacin del M.I. en lazo abierto.
El captulo 3 consiste del anlisis y modelado del sistema completo, motor - carga,que para este trabajo consiste de un robot rgido giratorio de dos grados de libertad
accionado por M.I. acoplados directamente a sus uniones; tambin se simula la operacin
del sistema en lazo abierto.
En el captulo 4 se plantea el problema de control para posteriormente disear elcontrolador del M.I. basado en pasividad. Este controlador recibe la denominacin de
nominal ya que se considera que los parmetros del sistema son completamente conocidos,
adems se exponen los resultados de simulacin.
En el captulo 5 se hace una breve exposicin sobre el mtodo de diseo que utiliza
la tcnica de rediseo de Lyapunov; sta tcnica de control robusto se utiliza para hacer
frente a las incertidumbres paramtricas del sistema motor-carga. Para este trabajo lasincertidumbres consideradas son: Los valores de resistencia del estator y del rotor, y
adems los parmetros del robot rgido de dos grados de libertad, tales como las inercias,
6
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CAPITULO I INTRODUCCION
las masas y los centros de gravedad. Para finalizar con el captulo se muestran los
resultados de simulacin al aplicar el controlador robusto en el sistema.
Para concluir, en el captulo 6 se hacen las observaciones sobre el desempeo delcontrolador robusto, el anlisis comparativo de los controladores nominal y robusto y las
conclusiones.
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Captulo II
MTODOS DE MODELADO DEL MOTORDE INDUCCIN
En el modelado de sistemas fsicos, existen dos tcnicas para la obtencin de las
ecuaciones que describen el comportamiento de los sistemas [Wellstead,78]; una es
utilizando las leyes de fuerzas ya sea mecnicas, elctricas, etc., la segunda tcnica es
mediante la aplicacin de principios variacionales para seleccionar las funciones de energa.Para sistemas que tienen slo elementos de la misma naturaleza la primera tcnica es
usualmente suficiente. De hecho, para sistemas puramente mecnicos o puramente
elctricos, por ejemplo, aplicando la segunda ley de Newton y las leyes de Kirchhoffrespectivamente, obtendremos las ecuaciones deseadas. Este mtodo puede an ser usado
en sistemas de naturaleza mixta, es decir que incluyen sistemas de diferente naturaleza,
como por ejemplo sistemas electromecnicos, electroneumticos, etc. En este caso lasfuerzas de interaccin se obtienen mediante mtodos de desplazamientos arbitrarios y
conservacin de la energa. Pero este mtodo tiene varios inconvenientes, como por
ejemplo, que es necesario hacer un estudio muy profundo sobre los tipos de sistemasinvolucrados, sobre todo en problemas ms complicados. A fin de obtener las ecuaciones
que describan a un sistema de una manera sistemtica, se requiere de un mtodo ms
general, esta es la meta de la tcnica variacional.
En este captulo se presenta el modelado del M.I. utilizando las tcnicas
tradicionales y el procedimiento de modelado utilizando la metodologa de Euler-Lagrange;
adems se simula la operacin del M.I. sin carga acoplada y en lazo abierto.
2.1 Mtodos tradicionales de modelado del M.I.
El anlisis completo del motor de induccin comprende la determinacin de las
fuerzas magnetomotrices (fmm) resultantes en el entrehierro de la mquina, las densidadesde flujo magntico, los enlaces de flujo, adems del conocimiento de los parmetros de la
mquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc.
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
Una vez conocidos los parmetros fsicos de la mquina se plantean las ecuaciones
de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de stas sepueden determinar las dems variables de inters como son las corrientes, el par
electromagntico, la velocidad, etc.
A continuacin se presenta el esquema fundamental del M.I. que se estconsiderando [Krause,95]; obsrvese la disposicin fsica de los devanados del estator y del
rotor cilndrico, y el diagrama elctrico de los mismos:
eje cs
eje bs
eje as
eje cr
eje br
eje ar
cs bs
as
cr
br
ar
csbs
as
crbr
ar
r
r
(a)
vbs
ibs
i cs
i as v as
v cs+
+
+
Ns
Ns
Ns
Rs
Rs
Rs v cr
i cr
ibr
i ar
v ar
vbr+
+
+
Nr
Nr
Nr
Rr
RrRr
(b)
Figura 2-1 Mquina de induccin trifsica tipo jaula de ardilla, simtrica, dos polos, conectada enestrella, (a) diagrama esquemtico; (b) diagrama elctrico de los devanados de estator y rotor.
La inclinacin intencional del circuito elctrico de la derecha en la figura 2-1 (b) escon la finalidad de enfatizar el defasamiento existente entre estator y rotor.
Utilizando las leyes de Ohm y Kirchhoff se obtienen las ecuaciones diferenciales
que describen al sistema. (Tabla 2.1)
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
Tabla 2.1. Ecuaciones de diferenciales que describen el funcionamiento del M.I.
Ecuaciones de voltaje en los devanados de
fase del estator:
Ecuaciones de voltaje en los devanados de
fase del rotor:
dt
dRiv
dt
dRiv
dt
dRiv
csscscs
bssbsbs
assasas
+=
+=
+=
dt
dRiv
dt
dRiv
dt
dRiv
crrcrcr
brrbrbr
arrarar
+=
+=
+=
donde: a, b, c, denotan las tres fases del M.I.,
s denota a las variables y parmetros asociados al estator,
r denota a las variables y parmetros asociados al rotor,
son los enlaces de flujo,R son las resistencias en los devanados de estator y rotor,v es el voltaje aplicado a cada una de las fases,
i es la corriente en cada fase,
y para la parte mecnica del M.I. se obtiene la siguiente expresin
Lrr
em Bdt
dj ++= , (2.1)
donde: j es la inercia del rotor en Kg m2,
B es el coeficiente de friccin viscosa en N m s/rad,
res la velocidad angular del rotor en rad/seg,Les el par de la carga en N m,emes el par electromagntico generado por el M.I. en N m.
La solucin de las ecuaciones diferenciales anteriores, permite determinar el
comportamiento del M.I. en sus diferentes regmenes de operacin.
2.2 Mtodo de Euler Lagrange
La liga comn entre los diferentes subsistemas que conforman a un sistema denaturaleza energtica mixta, es que todos estos subsistemas transforman la energa. Por lo
tanto, parece natural formular el problema del modelado en trminos de cantidades de
energa. El punto de inicio del mtodo variacional [Pierre,69] [Ortega,98] es la definicin
de funciones de energa en trminos de conjuntos de variables generalizadas,posteriormente, este procedimiento nos lleva a la definicin de la funcin Lagrangiano, as
como al planteamiento de la ecuacin de Euler Lagrange. Para obtener finalmente las
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
ecuaciones diferenciales que describen el funcionamiento del sistema, slo es necesario
resolver la ecuacin de Euler-Lagrange, para cada una de las variables generalizadas.
2.2.1 La ecuacin Euler Lagrange
La configuracin de un sistema fsico es descrita generalmente por un conjunto de
cantidades llamadas coordenadas. Por ejemplo, para una sola partcula de masa en elespacio, las coordenadas necesarias para describir su configuracin podran ser un vector
tridimensional que describa la posicin de la partcula respecto a un punto de referencia enun sistema coordenado. Desde un punto de vista dinmico, se puede ver a un sistema
fsico como formado por varias partculas, las cuales estn interconectadas, de lo que
resultan ciertas restricciones en el comportamiento del sistema. Ya que un sistema fsicofrecuentemente es una parte aislada de un sistema mucho ms grande, el medio circundante
tambin impone ciertas restricciones en su comportamiento, o dicho en otras palabras, un
sistema fsico puede ser visto como un conjunto de subsistemas, los cuales estn de ciertamanera interconectados, esto genera ciertas restricciones y dependencias. El medio
ambiente tambin impone ciertas restricciones al comportamiento del sistema.
Para sistemas en equilibrio esttico, las coordenadas generalizadas bastan paradescribir completamente al sistema; cuando el sistema tiene un comportamiento dinmico,
es necesario definir un conjunto extra de variables dinmicas que nos den informacin
acerca de cmo la configuracin del sistema cambia con el tiempo. Una opcin para esteconjunto extra de coordenadas es utilizar las primeras derivadas de las coordenadas
(velocidades generalizadas) [Ortega,98][Drazin,92].
Cuando se considera a un sistema como un conjunto de subsistemas
interconectados, es posible que las restricciones surgidas de estas interconexiones reduzcan
el nmero de variables usadas para describir al sistema, esto debido a que estasrestricciones generan relaciones entre las diferentes variables que no son independientes.
En el caso de las restricciones llamadas holonmicas [Wellstead,78], stas son
expresadas como relaciones entre coordenadas o velocidades y tienen la forma fj(q1,,qn;t)= 0 para j = 1,,m, donde qi = 1,,n, es el nmero de coordenadas y m el nmero de
restricciones.
Es posible seleccionar un conjunto de n - m coordenadas independientes o
generalizadas (el nmero de grados de libertad) tales que eliminen la necesidad de las
ecuaciones de las restricciones.
Una vez seleccionadas las coordenadas generalizadas se define el Lagrangiano (Ver
apndice B) cmo L(q1,,qn; q ), con el conjunto de velocidades
generalizadas, que caracteriza al sistema, dependiente de las coordenadas, de las
velocidades y del tiempo, pero no de la trayectoria seguida para ir de un estado inicial aotro final. La diferencial total de L es [Guerrero,00]:
t;q,..., n1 && n1 q,...,q &&
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
( ) dtt
Lqd
q
Lt;q,...,q;q,...,qdL k
n
1k k
n1n1 +=
=
&&
&& , (2.2)
con k = 1,,n.
En el caso de sistemas conservativos, para determinar L se elige una trayectoria deintegracin que mantiene todas las variables q (velocidades generalizadas) constantes para
la integracin con respecto a las qk
&
k (coordenadas generalizadas) y mantiene todas las qk
constantes para la integracin con respecto a las , adems las integraciones pueden ser
desarrolladas para un valor especfico de tiempo t. As:kq&
( =t;q,...,q;q,...,q
t;0,...,0;q,...,q
t;0,...,0;q,...,q
t..,0;0,...0;0,.n1n1
n1n1
n1
n1
t;q,...,q;q,...,qdLL&&
&& ) , (2.3)
donde () identifica a las variables auxiliares de integracin. Sustituyendo (2.2) en (2.3) y
separando trminos se obtiene
( ) ( )
( )
=
=
+
=
n1
n1
q,...,q
0,...,0
n
1k
k
k
n1n1
q,...,q
0,...,0
n
1k
k
k
n1n1n1
qdq
t;q,...,q;q,...,qL...
dqq
t;0,...,0;q,...,qLt;q,...,q;q,...,qL
&&
&&
&&
&&
(2.4)
y se observa que el primer trmino de la derecha depende de las coordenadas y del tiempopero es completamente independiente de las velocidades, y el segundo trmino es funcin
de los valores finales de las coordenadas y de las velocidades. Si se definen las fuerzasgeneralizadas fk como las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto de lasposiciones generalizadas:
( ) ( )
k
n1n1k
q
t;0,...,0;q,...,qLt;q,...,qf = , (2.5)
la energa potencial V es:
( )( kq,...,q
0,...,0
n
1k
n1k dqt;q,...,qfVn1
=
= ) , (2.6)
El momento generalizado pkse define como la derivada parcial del Lagrangiano con
respecto de las velocidades generalizadas [Ortega98]:
( ) ( )
k
n1n1n1n1k
q
t;q,...,q;q,...,qLt;q,...,q;q,...,qp
&
&&&& = , (2.7)
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
y la co-energa cintica T*
(( =
=n1 q,...,q
0,...,0k
n
1k
n1n1k qdt;q,...,q;q,...,qpT*&&
&&& ))
)
)
(2.8)
el Lagrangiano L se define como la diferencia entre la co-energa cintica y la energapotencial:
( ) ( ) ( ) V*Tt;q,...,qVt;q,...,q;q,...,q*Tt;q,...,q;q,...,qL n1n1n1n1n1 == &&&& (2.9)
que se puede utilizar para cualquier tipo de sistema, independientemente de su naturalezaenergtica.
Ahora bien, el principio de Hamilton establece que [Ortega,98] la trayectoria
dinmica real de un sistema descrito por el Lagrangiano, desde un tiempo t1hasta el tiempo
t2es tal que la integral de lnea es un extremo, por lo que laprimera variacin I de la integral de lnea I, que es independiente del tiempo, debe serigual a cero, esto es [Sage77][kwong77]:
(=2
1
t
t n1n1 t;q,...,q;q,...,qLI &&
( 0dtt;q,...,q;q,...,qLI 21
t
tn1n1 == && (2.10)
sujeta a las restricciones q(t1)=0 y q(t2)=0 . Evaluando esta variacin e igualando acero, se obtiene:
= =
=
2
1
t
t
n
1k
k
kk
0,dtqqL
dtd
qLI
& (2.11)
El extremo I = 0 debe mantenerse para toda variacin qkde cualquier coordenadaqky como stas son independientes, el trmino entre parntesis de la ecuacin (2.11), debe
ser igual a cero para toda k, por lo que se obtiene la ecuacin:
0,q
L
dt
d
q
L
kk
=&
(2.12)
conocida como ecuacin Euler Lagrange (EL) .
Para extender el anlisis anterior al caso de sistemas no conservativos se deben
considerar las fuerzas no conservativas (externas al sistema conservativo) Q que
pueden ser de 3 tipos: Las acciones de control, la disipacin y las interacciones del sistema
con el medio ambiente. Se supone que las acciones de control (consideradas como fuerzasimpulsoras aplicadas a la parte conservativa del sistema e independientes de las
coordenadas y velocidades generalizadas) entran linealmente al sistema en la forma
nR
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
nRMu , donde es una matriz constante y es el vector de control. Las
fuerzas disipativas (dependientes de las velocidades generalizadas) son de la forma
unxnRM unRu ( )
,q
qF
&
&
donde es la funcin de disipacin de Rayleigh. Las fuerzas de interaccin con el
ambiente pueden ser usadas para modelar el efecto de las perturbaciones. As,para sistemas no conservativos la ecuacin EL toma la siguiente forma [Ortega,98]:
(F )q&
Q
n
R
( ) ( )Mu
q
qq,L=
&
&
q
qq,
&
&
eq en
Lem+ ( )V* mm + ) ( VV em+T=
( )Q
q
qFL
dt
d+
&
&
(2.13)
donde q = [q1,,qn]T y q son los vectores de coordenadas y velocidades
generalizadas, respectivamente.
[ Tn1 q,...,q &&= ]
Por otro lado, si el nmero de entradas de control es igual al nmero de grados de
libertad (nu= n), se dice que el sistema es completamente actuado y en el caso contrario (nu< n) es subactuado, esto es, existen algunas coordenadas generalizadas a las cuales no se les
aplica una fuerza externa. Por ltimo, el desarrollo de la ecuacin EL proporciona lasecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema dinmico.
Para el caso de sistemas electromecnicos es necesario establecer qu variables
pueden ser elegidas como variables generalizadas. Para la parte mecnica est bien
definido el significado de coordenada, velocidad, fuerza y momento, por lo que es usual
elegir los desplazamientos mecnicos mnm Rq como coordenadas generalizadas. Sinembargo, para la parte elctrica no existe esta correspondencia y se tiene la opcin de elegir
como coordenadas generalizadas a las cargas elctricas enR a los enlaces de flujo
R [Guerrero,00]. En este trabajo se elige a las cargas elctricas como lascoordenadas generalizadas para la parte elctrica.
La funcin de energa total (el Lagrangiano) es una combinacin de las funciones de
energa de los subsistemas [Wellstead,78]:
( ) ( ) V,*T*T*TV*TLL emee =+== (2.14)
donde los subndices e y m se usan para denotar cantidades de los subsistemas elctrico y
mecnico respectivamente; nm+ ne= n, T* es la co-energa cintica total y V la energa
potencial total. En el subsistema elctrico, la co-energa cintica est relacionada con loscampos magnticos y la energa potencial con los campos elctricos. Para el tipo de
sistemas de inters se supone que la funcin de co-energa cintica total tiene la forma:
( )mm
T
mee
T
e qDq2
1q(q)Dq
2
1qq,*T &&&&& += (2.15)
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
donde De(q) = DeT(q) > 0 y Dm > 0 son las matrices de inercias generalizadas, de los
subsistemas elctrico y mecnico, respectivamente. La funcin de energa potencial slodepende de las coordenadas generalizadas y est acotada por debajo, esto es, existe un
tal que V(q)Rc > c para todo q [Ortega,98].R.cyRn
Hay que tener en cuenta que la co-energa del subsistema mecnico generalmente nodepende de las coordenadas elctricas, pero la co-energa del subsistema elctrico s
depende de las coordenadas mecnicas.
2.2.2 Modelo trifsico del M.I.
El M.I. est formado por ne = ns + nr devanados en el estator y rotorrespectivamente. Tambin son consideradas fases simtricas y devanados de fase
senoidalmente distribuidos. La permeabilidad del ncleo se considera infinita, adems, la
saturacin, las prdidas en el hierro y el efecto de las ranuras son despreciados. Slo sonconsiderados materiales magnticos lineales, y adems se asume que todos los parmetros
son constantes y conocidos.
Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, la aplicacin de las leyes de Gauss y
Ampere dan como resultado las siguientes relaciones entre los vectores enlaces de flujo ycorrientes :eq&
eme q)(qD &= (2.16)
con la posicin angular mecnica del rotor, yD [ ] [
,q,...,qq,,...,
T
n1e
T
n1 ee&&&
== ]mn
m Rq e(qm) = De
T(qm) > 0 la matriz de inductancias de los devanados.
Si se definen las coordenadas generalizadas del sistema como las cargas elctricas
qi, i = 1,...,ne, y la posicin angular del rotor qm, la co-energa del campo magntico puedeser calculada como (con denotando la variable de integracin):
eme
T
e
n
1i
i
q
0iime
*
e q)(qDq2
1'qd)'q()q,q(T
ei
&&&&& &
===
(2.17)
y la co-energa cintica mecnica como 2mmm*m qD2
1)q(T && = , donde Dm > 0 es la inercia
rotacional del rotor.
Despreciando los efectos capacitivos en los devanados del motor, y considerando
una flecha rgida, la energa potencial V del sistema es solamente debida a las interacciones
entre materiales magnticos en el estator y el rotor, o sea V = V(qm). Esta contribucin deenerga es cero si hay solamente materiales magnticos en una sola parte (estator o rotor) de
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
la mquina, y las propiedades de reluctancia de la otra parte son uniformes, este es el caso
del M.I. tipo jaula de ardilla, por lo que V (qm) = 0.Para modelar las fuerzas externas, se asumir que los efectos disipativos son lineales
e invariantes en el tiempo. Estas fuerzas externas son: Para la parte elctrica, las
resistencias en los devanados Rei > 0, i = 1,...,ne, y para la parte mecnica, al coeficiente de
friccin viscosa Rm > 0. Por lo tanto las funciones de disipacin de Rayleighcorrespondiente a las partes elctrica y mecnica del modelo toman la siguiente forma:
( ) m2
mmme
T
eee Rq2
1qFyqRq
2
1)q(F &&&&& == e (2.18)
donde Re= diag { R1, ..., Rne} > 0.
Las fuerzas de control son los voltajes aplicados a los devanados , nsnRu s
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
,
LLL
2
1L
2
1
L2
1LLL
2
1
L2
1L
2
1LL
L
mslsmsms
msmslsms
msmsmsls
s
+
+
+
= (2.21)
,
LLL2
1L
2
1
L2
1LLL
2
1
L2
1L
2
1LL
L
mrlrmrmr
mrmrlrmr
mrmrmrlr
r
+
+
+
= (2.22)
3
2,
)cos()cos()cos(
)cos()cos()cos(
)cos()cos()cos(
lL
rrr
rrr
rrr
srsr =
+
+
+
= (2.23)
Ls, Lr, Lsr representan a las matrices de inductancias de los devanados del estator, rotor y
mutuas respectivamente; Ll y Lm representan a las inductancias de dispersin y de
magnetizacin, respectivamente, lsr es el valor mximo de la inductancia mutua y res laposicin angular de la flecha del rotor.
Del anlisis anterior resulta el modelo matemtico para un motor de induccin
trifsico que consta de 8 ecuaciones diferenciales no lineales acopladas, 6 referentes a laparte del subsistema elctrico y 2 referentes al subsistema mecnico, que deben resolverse
para determinar el comportamiento dinmico del M.I. en cualquier condicin de operacin,
, estas ecuaciones desarrolladas son [Miguel,01]:
[ ] [ ]
[ ] ++
+++++=
Lrbrcsarbscrasrsrp
arcscrbsbrasrsrpcrcsbrbsarasrsrpr
Biiiiii)3
2sen(l2n
iiiiii)
3
2sen(l2niiiiiisenl2n
J
1
dt
d
rndt
dp
r =
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
+++++
+++
=
+++++
+++
=
+++++
+++
=
+++++
++
=
+++++
++=
+++++
++
=
crcrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas
brmrarmrcsrsrbsrsrasrsr
rlr
cr
brbrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas
crrmarrmcsrsrbsrsrasrsr
rlr
br
ararrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas
crmrbrmrcsrsrbsrsrasrsr
rlr
ar
csrsrrpcrrsrrpbrrsrrparcss
crrsrbrrsrarrsrbsmsasms
sls
cs
bsrsrrpcrrsrrpbrrsrrparbss
crrsrbrrsrarrsrcsmsasmssls
bs
asrsrrpcrrsrrpbrrsrrparass
crrsrbrrsrarrsrcsmsbsms
sls
as
viRsenlni)3
2sen(lni)
3
2sen(lni
iLiLicosli)3
2cos(li)
3
2cos(l
)L(L
1
dt
di
viR)3
2sen(LnisenLni)
3
2sen(Lni
iLiLi)3
2cos(LicosLi)
3
2cos(L
)L(L
1
dt
di
viR)3
2sen(lni)3
2sen(lnisenlni
iLiLi)3
2cos(li)
3
2cos(licosl
)L(L
1
dt
di
vsenlni)3
2sen(lni)
3
2sen(lniiR
icosli)3
2cos(li)
3
2cos(liLiL
)L(L
1
dt
di
v)3
2sen(lnisenlni)
3
2sen(lniiR
i)3
2
cos(licosli)3
2
cos(liLiL)L(L
1
dt
di
v)3
2sen(lni)
3
2sen(lnisenlniiR
i)3
2cos(li)
3
2cos(licosliLiL
)L(L
1
dt
di
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
(2.23a)
en donde res la posicin angular de la flecha del rotor, res la velocidad de la flecha delrotor, ia, ib, icson las corrientes en cada una de las fases tanto de estator como de rotor y npes el nmero de pares de polos.
2.2.3 Teora del marco de referencia
Como pudo observarse en la seccin anterior, el modelo matemtico del M.I. es
muy complicado (debido al nmero de ecuaciones y a la dependencia de stas con eltiempo), para reducir la complejidad de estas ecuaciones frecuentemente se utiliza uncambio de variables que resulta en un modelo matemtico similar pero con un nmero
menor de ecuaciones. Existen diferentes cambios de variables que estn contenidos en una
transformacin general que refiere las variables de la mquina a un marco de referencia elcul gira a una velocidad angular arbitraria. Todas las transformaciones reales son
obtenidas de esta transformacin general simplemente asignando la velocidad de rotacin
del marco de referencia.
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
Un cambio de variables, el cul formula una transformacin de elementos de
circuitos trifsicos estacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario puede serexpresado por [Krause,95]:
fqd0= Ksfabcs (2.24)
con:
(fqd0s)T= [ fqs fdsf0s]
(fabcs)T= [ fasfbsfcs]
donde f : representa a cualquier sistema trifsico de variables elctricas (voltajes,
corrientes, pares, etc.,) defasadas 120 elctricos entre si,
abc: sistema de variables originales,
qd0: sistema de variables resultantes.
+
+
=
2
1
2
1
2
13
2sin
3
2sinsin
3
2cos
3
2coscos
3
2Ks (2.25)
(0)()dt
0+= (2.26)
donde: es una variable auxiliar de integracin, es un desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referenciaarbitrario,
es la velocidad angular del marco de referencia arbitrario.
La transformacin inversa es:
+
+
=
13
2sin
3
2cos
13
2sin3
2cos
1sincos
)(K 1s (2.27)
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
2.2.4 Modelo equivalente bifsico
Considerando las suposiciones acerca de los devanados del estator y del rotor
(simtricos, balanceados y senoidalmente distribuidos) es posible encontrar un conjunto
equivalente de devanados que produzca efectos elctricos y magnticos equivalentes en elM.I. Se ha encontrado que dos devanados equivalentes en el estator y dos en el rotor son
suficientes para representar a una mquina trifsica, por lo que es posible obtener una
representacin equivalente con un nmero menor de ecuaciones, y en consecuencia, se hacems sencillo el anlisis matemtico [Krause,95]. Si se parte del modelo trifsico del Motor
de Induccin, el modelo equivalente de dos fases se obtiene aplicando la transformacin deBlondel [Mndez,01], [Ortega,98]:
=sinsin0
coscos1
3
2T23
(2.28)
Es importante observar que la transformacin anterior es equivalente a latransformacin general utilizando argumentos de proyeccin de variables.
El modelo resultante es conocido como y su caracterstica principal es que lasvariables equivalentes tienen un defasamiento de 90 elctricos entre s y estn referidas a
su parte correspondiente (estator o rotor), esto es, los ejes del estator tienen una posicinfija mientras que aquellos correspondientes al rotor estn girando a la velocidad angular
elctrica del rotor. Las matrices anteriormente descritas (ecuaciones 2.19 y 2.20), toman la
siguiente forma al aplicarles la transformacin de Blondel:
,ILel
elIL)(qD
2r
qn
sr
qn
sr2smemp
mp
J
J
= (2.29)
T
2
2
e
2r2
22s
e J01
10J,
0
IM,
IR0
0IRR =
=
=
= , (2.30)
con:
Tqnqn
mpmp
mpmpqJn)(ee,
)qcos(n)qsin(n
)qsin(n)qcos(ne mpmpmp
JJ =
= , (2.31)
donde, como fue definido anteriormente: Ls, Lr, lsr> 0 son las inductancias de estator, rotor
y la inductancia mutua respectivamente, Rs, Rr > 0 son las resistencias de estator y rotor
respectivamente. I2es una matriz identidad de 2x2, J es una matriz antisimtrica, e es
una matriz de rotacin y M
mpqJn
ees la matriz de entrada.
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
uMqRqqWqD eeeemee =++ &&&&& (2.39)
Lemmmmm qRqD =+ &&& (2.40)
con:
e
T
eem qWq2
1 &&= (2.41)
y
==
0Jeln
Jeln0
dq
dDW
mp
mp
qJn
srp
qJn
srp
m
e (2.42)
donde todos los parmetros fueron descritos anteriormente (ecuaciones. 2.29, 2.30 y 2.31),
adems Dmes la inercia rotacional del rotor, Rmes el coeficiente de friccin viscosa de la
flecha del rotor, Les el par de carga que es aplicado a la flecha del motor y emes el parelectromagntico generado por el M.I.
2.3 Simulaciones
Para la simulacin del sistema se obtuvo la representacin en espacio de estado del
modelo matemtico del M.I. obtenido anteriormente (ecuaciones 2.39, 2.40), donde se
considera tanto la parte elctrica como la parte mecnica.
La forma general de la representacin en espacio de estado es la siguiente:
t)ug(x,t)f(x,x +=& (2.43)
]
Para este trabajo la representacin en espacio de estado que se obtuvo es:
[ ] kuMqWDqTT
1 ++= &&& (2.44)
en donde:
}D,diag{DDme
= (2.45)
[ ] [ mTrTsT
meT qqqqqq &&&&&&&&&&&& == , (2.46)
( )
+=
11m1x4
4x144em
TR0
0RqWW
x
x&
, (2.47)
22
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
=
2
2
T0
IM (2.48)
con W definida por la ecuacin (2.42), Dm es la inercia rotacional del rotor, Rm es elcoeficiente de friccin viscosa del rotor y donde k es un vector donde aparece el par de
carga aplicado al M.I., esto es:
[L-0000k= ]
T (2.49)
Todas las simulaciones realizadas en este trabajo, fueron hechas utilizando la
funcin S [apndice A], que es una herramienta de Simulink de Matlab. La siguiente figura,
describe en que forma se hizo la simulacin utilizando la funcin S de Simulink de Matlab:
Motor de Induccin
bifsico
Alimentacin
Trifsica
Conversin de
3 a 2 fases
(Transformacin de
Blondel)
Funcin S
Corrientes de estator
Corrientes de rotor
Subsistema
Mecnico
Subsistema
Elctrico
Posicin de la flecha del rotor
Velocidad de la flecha del rotor
Par de carga
Par electromagntico generado
-
Salida
a graficar
Par electromagntico
Motor de Induccin
bifsico
Alimentacin
Trifsica
Conversin de
3 a 2 fases
(Transformacin de
Blondel)
Funcin S
Corrientes de estator
Corrientes de rotor
Subsistema
Mecnico
Subsistema
Elctrico
Posicin de la flecha del rotor
Velocidad de la flecha del rotor
Par de carga
Par electromagntico generado
-
Salida
a graficar
Par electromagntico
Figura 2.2. Diagrama de flujo de datos para el programa de simulacin del M.I.
Con la finalidad de hacer comparaciones para poder validar el desempeo de este
modelo, los resultados fueron comparados con los esquemas de simulacin propuestos en
1.-[ Ong,98] y 2.- [ Krause,95 ].
1.- Los parmetros fsicos de una mquina trifsica de 1 hp, 60 Hz y alimentada
con 200 V son [Ong,98]:
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
Tabla 2.2 Parmetros de un M.I. de 1 hp
Parmetro ValorResistencias de estator 3.35 ohms
Resistencias de rotor 1.99 ohms
Inductancia de estator 252.535 mH
Inductancia de rotor 252.535 mH
Inductancia mutua 245.595 mH
Coeficiente de friccin
viscosa
0
Inercia del rotor 0.1 Kg m2
No. de pares de polos 4
Carga 0
Los resultados de simulacin utilizando el modelo obtenido en este trabajo, para la
mquina de 1 hp son los siguientes:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Corrientes de estator
tiempo seg.
Corriente
Amp.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Corrientes de rotor
tiempo seg.
Corriente
Amp.
a) b)
Figura 2.3 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor
24
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40
10
Velocidad
tiempo seg.
Velocidad
rad
/seg.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5
0
5
10
15
20
25
Par electromagtico generado
tiempo seg.
Parelectromagntico
Nm
a) b)
Figura 2.4 a)Velocidad, b) Par electromagntico generado
2.- Los parmetros fsicos de una mquina trifsica de 3 hp, 60 Hz y alimentada
con 220 V son los siguientes [Krause,95]:
Tabla 2.3 Parmetros para un M.I. de 3 hp.
Parmetro ValorResistencias de estator 0.435 ohms
Resistencias de rotor 0.816 ohmsInductancia de estator 105.965 mH
Inductancia de rotor 105.965 mH
Inductancia mutua 103.965 mH
Coeficiente de friccinviscosa
0
Inercia del rotor 0.089 Kg m2
No. de pares de polos 4
Carga 0
Los resultados de simulacin para el motor de 3 hp, utilizando el modelo obtenido
en este trabajo, son los siguientes:
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
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0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-8
-6
-4
-2
10
Corrientes de estator
tiempo seg.
Corriente
Amp.
00
0
0
0
0
20
40
60
80
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Corrientes de rotor
tiempo seg.
Corriente
A
mp.
a) b)
Figura 2.5 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
10
Velocidad
tiempo seg.
Ve
locidad
rad/seg
00
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-20
0
20
40
60
80
100
120
140
Par electromagntico generado
tiempo seg.
Parelectromagntico
Nm
a) b)
Figura 2.6 a) Velocidad, b) Par electromagntico generado
Como se esperara en un ensayo experimental de un M.I., los resultados desimulacin, tanto del motor de 1 hp como del motor de 3 hp, muestran que:
Cuando un M.I. es arrancado con la tensin nominal aplicada a las terminales delestator, desarrollar un par de arranque que determinar un aumento de velocidad. Cuando
la velocidad aumenta desde el reposo, su deslizamiento disminuir y su par aumentar hasta
aquel valor de deslizamiento en que se desarrolla el par mximo, esto determina que la
velocidad aumente an ms reduciendo el deslizamiento y el par desarrollado por el motor
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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
de induccin simultneamente. Tanto el par desarrollado en el arranque como el
correspondiente valor de deslizamiento que produce el par mximo son superiores al paraplicado de la carga. La velocidad del motor aumentar, por consiguiente, hasta que el
valor de deslizamiento sea tan pequeo que el par desarrollado se reduzca a un valor igual
al par aplicado. Este comportamiento se puede observar en las figuras 2.4 b y 2.6 b,
primero se alcanza un valor mximo de par que disminuye paulatinamente hasta el valor dela carga aplicada a la flecha del rotor, que en este caso es igual a cero, es decir, el motor se
encuentra trabajando en vaco. Debido a esto, el deslizamiento es muy pequeo (inferior al
1 %) y la frecuencia del rotor, la reactancia del rotor y la fem inducida en el rotor, son muypequeas, por consiguiente, la corriente en estado estable de rotor, es pequea y suficiente
nicamente para producir el par en vaco necesario.
Ya que en las dos mquinas simuladas se tienen 4 pares de polos, la velocidad
generada es de 1800 rev/min. 94 rad/seg. (figuras 2.6 a y 2.4 a)
Con lo anterior y adems en base a las comparaciones de los resultados obtenidos
por el modelo obtenido del M.I. en este trabajo y los de [Ong98] (tabla 2.1) y[Kraus95](tabla 2.2) se puede concluir que el modelo es funcional para la simulacin de
diferentes tipos de motores.
Tabla 2.4 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Ong98]Corriente de estatoral arranque
Corriente deestator en estadoestacionario
Parelectromagnticomximo
Par electromagnticoen estado estacionario
Velocidad enestadoestacionario
Ong 21 Amp. 1.8 Amp. 18 Nm. 0 1800 rev/min.Tesis 22 Amp. 1.5 Amp. 20 Nm. 0 1800 rev/min.
Tabla 2.5 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Kraus95]
Corriente de estatoral arranque Corriente deestator en estadoestacionario
Parelectromagnticomximo
Par electromagnticoen estado estacionario Velocidad enestadoestacionario
Kraus 85 Amp. 8.3 Amp. 120 Nm. 0 1800 rev/min.Tesis 90 Amp. 7.5 Amp. 135 Nm. 0 1800 rev/min.
Cabe hacer la aclaracin que los valores obtenidos con el esquema de simulacin
utilizado en esta tesis y los esquemas contra los que se compar, a pesar de que los
parmetros de los M.I. son similares, no arrojaron los mismos resultados. Esto puede tenervarias razones: Los mtodos de integracin, el tamao de los pasos de integracin, el
programa utilizado para hacer las simulaciones, etc., adems de que los modelos
matemticos utilizados no son iguales. Sin embargo, el objetivo de hacer estascomparaciones no era el de establecer una correspondencia exacta entre los diferentes
esquemas comparados, sino simplemente mostrar que estos resultados son similares a los
resultados obtenidos por otros autores.
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Captulo III
ANLISIS, MODELADO Y SIMULACINDEL SISTEMA MOTOR-CARGA EN LAZO
ABIERTO
En este captulo, siguiendo el mtodo de modelado basado en la formulacin deEuler-Lagrange, se obtiene el modelo completo del sistema motor carga, adems sesimula la operacin del sistema resultante en lazo abierto.
3.1 Modelo del sistema completo motor de induccin robot
El sistema a modelar es un robot rgido accionado directamente por M.I en cada una
de sus uniones, el esquema bsico se muestra en la siguiente figura:
l2
m2,I2y
lc2
qm2
l1
Motor 2m1,I1
lc1
qm1
xMotor 1
Figura 3-1 Robot rgido giratorio accionado por motores de induccin, caso particular de 2 grados delibertad.
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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO
Como se vi en el captulo anterior, el punto de inicio de esta metodologa es ladefinicin de las funciones de energa del sistema, por lo tanto, la co-energa cintica delsistema completo es:
*rk
*mk
*ek
* TTTT ++= , k = 1,,n (3.1)
definiendo:
Tek*: es la co-energa cintica de la parte elctrica del k-simo motor,
Tmk*: es la co-energa cintica de la parte mecnica del k-simo motor,
Tr*: es la co-energa cintica del robot,
ekmkekTek
*ek q)(qDq2
1T &&= , (3.2)
2
mkkm
*
mk qD2
1
T &
= , (3.3)
con Dek las matrices de inductancias (ecuacin 2.29) y Dmk las inercias de los rotores decada uno de los motores, siendo este valor un escalar; cabe hacer la aclaracin de que parael desarrollo del modelo completo del sistema se utilizar el modelo a dos fases del M.I quefu obtenido en el captulo anterior (seccin 2.2.4).
Para el caso particular descrito en la figura 3.1, un robot planar de dos grados delibertad, son necesarios dos motores de induccin que son acoplados directamente a cadauna de las uniones del robot. Para este trabajo en particular, tambin se considera que elrobot se mueve en un plano horizontal. Los parmetros fsicos necesarios para describir alrobot rgido giratorio son los siguientes: I1, I2son los momentos de inercia de los eslabones1 y 2 respectivamente, l1y l2 son las longitudes de los eslabones, la posicin angular dellazo 11con respecto del eje horizontal es qm1y la del eslabn 2 con respecto al eslabn 1 esqm2. Se supone que las masas m1 y m2 de los eslabones estn concentradas en susrespectivos centros de gravedad lc1y lc2. Se considera la energa cintica total del robot(Tr*) debida a los movimientos traslacionales (Trt*) y rotacionales (Trr*). Lascoordenadas y velocidades (traslacionales) de los centros de gravedad de los eslabones son[Spong,89]:
x1= lc1cos qm1
x2 = l1cos qm1+ lc2cos (qm1 + qm2) (3.4)
y1= lc1sin qm1y2= l1sin qm1+ lc2sin (qm1+ qm2) (3.5)
derivando, para obtener las expresiones para las velocidades
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
m1m1c11 qsinqlx && = (3.6)
m1m1c11 qcosqly && = (3.7)
)q)sin(qqq(lsinqqlx m2m1m2m1c2m1m112 ++= &&&& (3.8)
)q)cos(qqq(lcosqqly m2m1m2m1c2m1m112 +++= &&&& (3.9)
de donde se obtiene:
2m1
2c1
21
21
21 qlyxv &&& =+= (3.10)
m2m2m1m1c212
m2m12c2
2m1
21
22
22
22 q)cosqq(ql2l)qq(lqlyxv &&&&&&&& ++++=+= (3.11)
que se usan para determinar la co-energa cintica traslacional dada por:
222
211rt vm2
1vm
2
1*T += (3.12)
y ya que la co-energa cintica debida al movimiento rotacional (usando como referencia lacoordenada x) es [Spong,89]:
( ,qqI2
1qI
2
1T
2
m2m122m11
*rr
&&& ++= ) (3.13)
sustituyendo v12y v2
2 en (3.12) y sumando esta nueva expresin a (3.13), la energa cintica
total del robot, para el caso particular de 2 grados de libertad, es:
( ) ( )[ ]
( )2m2m122m11
m2m2m1m1c21
2
m2m12c2
2m1
212
2m1
2c11
*r
qqI2
1qI
2
1
cosqqqql2lqqlqlm2
1qlm
2
1T
&&&
&&&&&&&
+++
++++++= (3.14)
ya que para este trabajo se considera que el sistema se mueve en un plano horizontal, laenerga potencial del sistema V = 0
Ahora, para el sistema completo que considera el robot rgido y los motores deinduccin, se obtiene el Lagrangiano, que es determinado por la diferencia de la co-energacintica y la energa potencial, L = T*-V. Ya que en este caso en particular se hace laconsideracin de que el sistema se mueve en un plano horizontal, la energa potencial delsistema es igual a cero, por lo tanto el Lagrangiano es igual a la co-energa cintica total delsistema:
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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO
...qD2
1qD
2
1qDq
2
1qDq
2
1L 2m2m2
2m1m1e2e2
Te2e1e1
Te1 ++++= &&&&&&
( ) ( )[ ] ( )2m2m122m11m2m2m1m1c212m2m12c22m12122mi2c11 qqI21
qI2
1qcosqqql2lqqlqlm
2
1qlm
2
1&&&&&&&&&& +++++++++
(3.15)
donde los subndices 1 y 2 indican que el trmino corresponde a la unin del motor 1 con eleslabn 1, o a la unin del motor 2 con el eslabn 2 respectivamente.
El siguiente paso para obtener las ecuaciones diferenciales que describen al sistemaes plantear la ecuacin de Euler Lagrange para posteriormente resolverla para cada unade las coordenadas generalizadas. Recordando, las coordenadas generalizadas son para elsubsistema elctrico las cargas elctricas y para el subsistema mecnico las posicionesangulares de los eslabones del robot. Las ecuaciones a resolver para la parte elctrica sonlas siguientes (es decir la ecuacin Euler Lagrange, que viene de la ecuacin 2.13, sinperturbaciones externas):
11e1
e1
e1e1
uMqF
qL
qL
dtd =
+
&& (3.16)
22e2
e2
e2e2
uMq
F
q
L
q
L
dt
d=
+
&&
(3.17)
Para la ecuacin (3.16) se tiene:
e1m1m1
ee1e1
e1
e1e1
e1
qqq
DqD
q
L
dt
d
qD
q
L
&&&&&
&&
+=
=
0q
L
e1
=
(3.18)
Las fuerzas de disipacin de Rayleigh correspondientes son:
e1e1e1
e1e1
e12e1e1e1
qRq
)q(F
Rq2
1)q(F
&&
&
&&
=
=
(3.19)
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
para ecuacin (3.17), se tiene:
e2m2m2
ee2e2
e2
e2e2e2
qqq
DqD
q
L
dt
d
qDq
L
&&&&&
&&
+=
=
0q
L
e2
=
(3.20)
Las fuerzas de disipacin de Rayleigh correspondientes son:
e2e2e2
e2e2
e22e2e2e2
qRq
)q(F
Rq
2
1)q(F
&&
&
&&
=
=
(3.21)
Las ecuaciones a resolver para la parte mecnica son:
em1m1
m1
m1m1 q
F
q
L
q
L
dt
d=
+
&&
(3.22)
em2m2
m2
m2m2 qF
qL
qL
dtd
=+
&& (3.23)
con respecto a las coordenadas generalizadas correspondientes a la parte mecnica. Para laecuacin (3.22) se tiene:
m2m2c21m2m1c212m22m12m11m2m2c21
m2m1c212m12c22m1
212m1
2c11m1m1
m1
m22m12m11m2m2c21
m2m1c212m12c22m1
212m1
2c11m1m1
m1
qsinqllsinqqll2mqIqIqIcosqqll
cosqqll2mqlmqlmqlmqDq
L
dt
d
qIqIqIcosqqll
cosqqll2mqlmqlmqlmqDq
L
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&
&&&&&&
++++
+++++=
++++
+++++=
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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO
e1m1
e1Te1
m1
qq
Dq
2
1
q
L&&
=
(3.24)
Las fuerzas de disipacin de Rayleigh para la parte mecnica son:
m1m1m1
m1m1
m1m1Tm1m1m1
qRq
)q(F
qRq21)q(F
&&
&
&&&
=
=
(3.25)
para la ecuacin (3.23) se tiene:
m2m1c212m22m12m2m1c212m22c22m1
2c22m2m2
m2
m22m12m2m1c212m22c22m1
2c22m2m2
m2
qsinqllmqIqIqcosqllmqlmqlmqDq
L
dt
d
qIqIqcosqllmqlmqlmqDq
L
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&
+++++=
+++++=
m2m2m1c212m22m1c212e2
m2
e2Te2
m2
sinqqqllmsinqqllmqq
Dq
2
1
q
L&&&&&
=
(3.26)
Las fuerzas de disipacin de Rayleigh son:
m2m2m2
m2m2
m2m2Tm2m2m2
qRq
)q(F
qRq2
1)q(F
&&
&
&&&
=
=
(3.27)
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinmico del sistema completoson:
1e1e1e1e1m1m1
ee1e1 uMqRqqqDqD =++ &&&&& (3.28)
2e2e2e2e2m2m2
ee2e2 uMqRqqq
DqD =+
+ &&&&& (3.29)
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
++++++++ m12m11m2m2c21m2m1c212m12c22m1
212m1
2c11m1m1 qIqIcosqqllcosqqll2mqlmqlmqlmqD &&&&&&&&&&&&&&&&
m2m2c21m2m1c212m22 sinqqllsinqqll2mqI &&&& + e1m1
e1Te1 qq
Dq
2
1&&
em1m1m1 qR =+ & (3.30)
+++++ m2m1c212m22m12m2m1c212m22c22m1
2c22m2m2 sinqqllmqIqIcosqqllmqlmqlmqD &&&&&&&&&&&&&
m2m2m1c212m22m1c212e2
m2
e2Te2 sinqqqllmsinqqllmqq
Dq
2
1&&&&& ++
em2m2m2 qR =+ & (3.31)
Para una mejor visualizacin y por facilidad para la simulacin, se arregla el grupode ecuaciones anteriores en forma matricial, adems, tambin se separan los subsistemaselctrico y mecnico.
Para el subsistema elctrico se obtiene:
uM
M
q
q
R0
0R
qW0
0qW
q
q
D0
0D
e2
e1
e2
e1
e2
e1
m22
m11
e2
e1
e2
e1
=
+
+
&
&
&
&
&&
&&
(3.32)
en donde
m1
e11 q
DW
= (3.33)
y
m2
e22 q
DW
= (3.34)
Para el subsistema mecnico, ecuaciones (3.30) y (3.31), se observa que aparecen 2tipos de trminos relacionados con las coordenadas generalizadas correspondientes a laparte mecnica. El primer tipo incluye la segunda derivada de las coordenadasgeneralizadas. El segundo tipo incluye trminos cuadrticos de las primeras derivadas delas coordenadas generalizadas. stos ltimos tambin se pueden clasificar en dos tipos:aquellos que incluyen un producto del tipo q son llamados centrfugos, mientras que
aquellos que envuelven un producto del tipo q donde i j, son llamados trminos de
Coriolis [Spong,89].
2i
&
i&
jq&
Arreglando las ecuaciones (3.30) y (3.31) de una manera matricial y tomando en
cuenta los tipos de trminos descritos anteriormente se obtiene:
( ) ( )( )
+
+++
++++++++
m2
m1
22c222m2c21
2c22
2m2c212c2221m2c21
2c2
212
2c11
m2
m1
m2
m1
q
q
IlmI)cos(qlllm
I)cos(qlllmII)cos(ql2lllmlm
q
q
D0
0D&&
&&
&&
&&
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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO
=
+
++
em2
em1
m2
m1
m2
m1
m2
m1
m1m2c212
m2m1m2c212m2m2c212
q
q
R0
0R
q
q
0q)sin(qllm
)qq)(sin(qllmq)sin(qllm&
&
&
&
&
&&&
(3.35)
En forma abreviada, la ecuacin del subsistema elctrico (ecuacin 3.32) puede serexpresada de la siguiente forma:
uMqWRqD eeeee =+ &&& (3.36)
en donde De=diag {De1,De2}, , W=diag{W[TT
e2Te1e qqq &&&&&& = ]
)
1 m1q& ,W2 m2q& }, Re=diag{Re1,Re2}
y Me= [ Me1Me2]T.
La ecuacin del sistema mecnico que combina tanto la parte mecnica de losmotores, como la dinmica del robot (ecuacin 3.35), tambin es posible expresarla de unamanera abreviada como sigue:
emmm qCqM =+ &&& (3.37)
en donde:
( ) (( )
+++
++++++++
=
22c222m2c21
2c22
2m2c212c2221m2c21
2c2
212
2c11
m2
m1
IlmI)cos(qlllm
I)cos(qlllmII)cos(ql2lllmlm
D0
0DM
(3.38)
+
+
= m2
m1
m1m2c212
m2m1m2c212m2m2c212
R0
0R
0q)sin(qllm
)qq)(sin(qllmq)sin(qllm
C &
&&&
(3.39)
e22Te2em2
e11Te1em1
qWq2
1
qWq2
1
&&
&&
=
= (3.40)
adems y [ Tm2m1m qqq &&&&&& = ] e = [em1 em2]T el vector de pares electromagnticos
generados por los M.I.
El modelo completo para el sistema motor de induccin robot rgido est definidopor las ecuaciones (3.36) y (3.37). Cuando este grupo de ecuaciones describe a un sistemadel cual todos sus parmetros son conocidos, se dice que son las ecuaciones del sistemanominal.
El modelo obtenido correspondiente a la parte del subsistema mecnico tiene ciertaspropiedades muy interesantes y que son muy tiles para el diseo del sistema de control,estas caractersticas son las siguientes [Spong,89], [Bekkouche,98]:
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
Propiedad 1.- La matriz de inercias M es simtrica y positiva definida.
Propiedad 2.- Hay una entrada de control independiente para cada grado de libertad(rigidez).
Propiedad 3.- Definiendo la matriz:A = M(q( mm q,q & ) )
)
m)-2C ( (3.41)mm q,q &Entonces A es antisimtrica.
Propiedad 4.- Todos los parmetros constantes tales como las masas, momentos deinercia, aparecen como coeficientes de funciones conocidas de las coordenadasgeneralizadas. Definiendo cada coeficiente como un parmetro diferente, una relacinlineal resulta, de manera que se puede rescribir la ecuacin dinmica como
( q,q,qY)g(qq)q,C(qq)M(q mmmmmmmmm &&&&&&&
=++ (3.42)
en dondeY
es una matriz llamada el regresor, y es un vector de
parmetros.
rn.
mmm Rq,q,q
&&&
Las propiedades 3 y 4 mostradas, como se ver ms adelante, son de gran utilidad
para el diseo del controlador.
3.2 Simulacin del sistema
Los parmetros de simulacin fueron similares a los que utiliz [Bekkouche,98],siendo la diferencia principal de que en el presente trabajo no se tom en cuenta los efectosde la friccin. Los parmetros son los siguientes:
Para la combinacin de las dinmicas del motor y robot (ecuacin 3.37):
( ) ( )( )
+
+
++=
03.00
003.0
3.8qcos7.58.3
q5.7cos3.8q11.4cos20.5
m2
m2m2M
( ) 2m1
m2m1m2m2 00q
)qq(qqsin7.5 +
+=
&
&&&
C ,
donde 02es una matriz de ceros de 2x2, que, de acuerdo a la ecuacin (3.39) corresponde alos valores de los coeficientes de friccin viscosa de los motores. Cabe aclarar que los
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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO
valores mostrados anteriormente, son resultado de combinaciones entre los diferentesparmetros del robot, a saber, masas, centros de gravedad, longitudes e inercias.
Los parmetros de los motores que accionan a este robot de dos grados de libertadse muestran en la tabla 3.1.
Tabla 3.1 Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgido giratorio de dos gradosde libertad.
Parmetro ValorResistencias de estator 0.687 ohmsResistencias de rotor 0.842 ohmsInductancia de estator 84 mHInductancia de rotor 81 mHInductancia mutua 81 mHCoeficiente de friccinviscosa
0
Inercia del rotor 0.03 Kg m2
No. de pares de polos 2
La siguiente figura, describe como se hizo la simulacin en Simulink de Matlab,utilizando la funcin S.
Robot rgido giratorio de 2 grados de libertad
accionado directamente por M.I.
Alimentacin
Trifsica
Conversin de
3 a 2 fases
(Transformacin de
Blondel)
Funcin S
Corrientes de estator
Corrientes de rotor
Subsistema mecnico
combinado
Subsistema
Elctrico
motor 1
Posiciones
Velocidades
Par
electromagntico
generado
Salida
a graficar
Subsistema
Elctrico
motor 2
Par
electromagntico
generado
Pares electromagnticos
Motores 1 y 2
Robot rgido giratorio de 2 grados de libertad
accionado directamente por M.I.
Alimentacin
Trifsica
Conversin de
3 a 2 fases
(Transformacin de
Blondel)
Funcin S
Corrientes de estator
Corrientes de rotor
Subsistema mecnico
combinado
Subsistema
Elctrico
motor 1
Posiciones
Velocidades
Par
electromagntico
generado
Salida
a graficar
Subsistema
Elctrico
motor 2
Par
electromagntico
generado
Pares electromagnticos
Motores 1 y 2
Figura 3.2 Diagrama a de flujo de datos del programa de simulacin para el robot rgido de dos grados
de libertad accionado directamente por M.I.
Las simulaciones fueron realizadas tomando al sistema en lazo abierto, es decir, sise hiciera experimentalmente sera lo siguiente: Ya que el robot est en lazo abierto, seespera que los motores al arrancar, se comporten como lo haran con cualquier carga
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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV
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acoplada. Esto es, los eslabones del robot comenzaran a girar en su respectivo eje, sinseguir ninguna trayectoria, las seales internas generadas por el motor no distaran muchode lo que se observara si se tuviera una carga constante. Cabe hacer la aclaracin, quedebido a la configuracin del sistema, el motor 1, carga una masa mayor que la del motor 1.Esto debido a que el motor 1 carga con los dos eslabones del robot, as como con el
segundo motor. Los resultados de simulacin son los siguientes:
1 2 3 4 5 6 7-2
-2
-1
-1
-5
10
15
20
25
Corrientes de estator motor 1
Tiempo seg.
C
orriente
Amp.
050
00
50
00
0
0
50
0
0
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Corrientes de rotor motor 1
Tiempo seg.
C
orriente
Amp.
a) b)
Figura 3.3 a) Corrientes de los devanados estator del motor 1 b) Corrientes de