1_2Operacionesconmatrices

7/26/2019 1_2Operacionesconmatrices

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CD 01MATRICES1.2 Operaciones con matrices

Conocimientos previos

Puesto que las matrices constituyen una ordenacin de nmeros de reales, recordemos pues ciertas

propiedades de stos, que permitan entender posteriormente las operaciones que pueden realizarse con lasmatrices.

Los nmeros reales verifican, respecto de la suma, las propiedades siguientes:

1. Asociativa: a !b c" # !a b" c. Paro todo a, by cnmeros reales.$. %&istencia del elemento neutro o elemento identidad: a ' # a !e&iste y es nico".

(. %&istencia del elemento opuesto: a !a" # '.

)e dice que el con*unto de los nmeros reales al verificar estas propiedades tiene estructura de grupo

!respecto de la operacin suma". + como adems cumple la propiedad conmutativa: a b # b a sedenomina grupo a-eliano.

A. Suma

o Demostracin de las propiedades de la suma de matrices

)ean ! " ! " ! " , ,ij mxn ij mxn ij mxn ij ij ijA a B b C c a b c= = = :

Asociativa! " ! "A B C A B C+ + = + +

! " ! " ! "ij ij ij

A B C a b c+ + = + + y ! " ! " ! "ij ij ijA B C a b c+ + = + +

pero como los nmeros reales verifican la propiedad asociativa, se tiene que:

! " ! " ! " ! "ij ij ij ij ij ij

a b c a b c+ + = + +

Conmutativa! " ! "ij ij

A B a b+ = + , pero como las matrices son reales:

! " ! "ij ij ij ij

A B a b b a B A+ = + = + = + , ya que: ij ij ij ija b b a+ = +

Matri nula' ! " !'" ! '" ! "

ij ij ijA a a a A+ = + = + = =

Matri opuesta)ea ! "ij n mA a += una matriz y definamos la matriz ! "ij n mB b += , donde ij ijb a= , luego:

'ij ij ij ij

a b a a+ = = , y por tanto 'A B+ = , y a la matrizBse la llama matriz opuestadeA.

Actividad 1

)ean las matrices:

1 $ ( 1 $ 1 1 ' '

1 ' ' , 1 1 ' , ' 1 '

' ' $ ' $ ' ' ' 1

A B C

= = =

/alcula:

a) La suma deAyB.

b) La opuesta de C.

c) /omprue-a que se verifica la propiedad conmutativa.

Matemticas aplicadas a las Ciencias Sociales II 1-12


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MATRICES1.2 Operaciones con matrices

Solucin

a"

1 $ ( 1 $ 1 $ ' $

1 ' ' 1 1 ' $ 1 '

' ' $ ' $ ' ' $ $

A B

+ = + =

-"

1 ' ' 1 ' '

' 1 ' ' 1 '

' ' 1 ' ' 1

C

= =

c"

1 $ ( 1 $ 1 1 ' ' 1 $ ( $ $ 1 ( ' $

! " 1 ' ' 1 1 ' ' 1 ' 1 ' ' 1 $ ' $ $ '

' ' $ ' $ ' ' ' 1 ' ' $ ' $ 1 ' $ 1

+ + = + + = + =

A B C

1 $ ( 1 $ 1 1 ' ' $ ' $ 1 ' ' ( ' $

! " 1 ' ' 1 1 ' ' 1 ' $ 1 ' ' 1 ' $ $ '

' ' $ ' $ ' ' ' 1 ' $ $ ' ' 1 ' $ 1

+ + = + + = + =

A B C

!. "roducto de un n#mero por una matri

Ampliacin

Las propiedades del producto de matrices se demuestran, al igual que las de la suma, teniendo encuenta que los nmeros reales verifican las propiedades distri-utiva, asociativa y posesin de

elemento neutro respecto del producto.A modo de e*emplo demostraremos la propiedad distri-utiva del producto por un escalar respecto dela suma de matrices, es decir, la propiedadDistributiva 1:

Por definicin de suma de matrices:

! " ! "ij ij

A B a b + = +

Por definicin de producto de un escalar por una matriz:

! " ! " ! ! ""ij ij ij ij

A B a b a b + = + = +

Por la propiedad distri-utiva del producto respecto de la suma de los nmeros reales:

! " ! " ! ! "" ! "ij ij ij ij ij ijA B a b a b a b + = + = + = +

Aplicando la definicin de suma de matrices:

! " ! " ! ! "" ! " ! " ! " + = + = + = + = +ij ij ij ij ij ij ij ij

A B a b a b a b a b

Aplicando la definicin del producto de un escalar por una matriz:

! " ! " ! ! "" ! " ! " ! " ! " ! " + = + = + = + = + = +ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij

A B a b a b a b a b a b

Actividad 2



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0adas las matrices:

1 $ 1 $ 1 ( $ '

' ' ( , $ 2 1 , 1 ' 1

$ 1 ' 1 1 $ 1 1 2

A B C

= = =

3alla1 (

$$ $

A B C + +

. 45u propiedad de la suma de matrices 6as aplicado para resolver el

pro-lema7 45u propiedad del producto de escalares por matrices 6a podido ser aplicada a la 6ora dea-ordar el pro-lema7

Solucin

1 ($

$ $A B C

+ +

Aplicando la propiedad asociativa,

1 $ 1 $ 1 ( $ ' 1 $ 1 8 18 $ 9 8 '

' ' ( $ $ 2 1 $ 1 ' 1 ' ' ( 8 1' $ $ ' $

$ 1 ' 1 1 $ 1 1 2 $ 1 ' $ $ 8 $ $ 1'

( 1$ 1 9 8 '

8 1' 1 $ ' $

' 1 8 $ $ 1'

+ = + =

= +

( 1

$ 1' (

$ 1 9

=

;especto de la suma se 6a aplicado la propiedad asociativa. + tam-in se pudo aplicar la propiedaddistri-utiva del producto respecto de la suma de escalares.

C. "roducto de matrices

A tener en cuenta

La propiedad del lge-ra matricial ms relevante es *ustamente el producto de matrices por su

idiosincrasia:

< =o siempre est definido: es imprescindi-le que el nmero de columnas de la primera matrizcoincida con el nmero de filas de la segunda.

< 0estaca la importancia del orden de los factores, ya que no se verifica la propiedad conmutativa.

%l producto de dos matrices del mismo orden, por e*emplo n, da como resultado otra matriz de ordenn, lo cual nos indica que en el con*unto de matrices de dic6o orden, el producto es una operacininterna. )in em-argo, no es as> para el con*unto de matrices no cuadradas, pues en este caso nisiquiera el producto est definido.

Actividad $



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)ean: ( )1 ' 'A= y

1 ' (

$ ' '

1 ' 1

B

=

. 0etermina el orden deAB.

Solucin

( ) ( )

1 ' (

1 ' ' $ ' ' 1 ' (

1 ' 1

AB

= =

?-tenemos un vector fila de orden 1&(. %s decir, podemos o-servar cmo en el producto de matrices, lamatriz resultante tiene las mismas filas que la primera matriz y las mismas columnas que la segunda.

D. "otencias de una matri cuadradaAmpliacin

)lo se puede calcular la potencia de una matriz cuadrada, en caso contrario no tiene sentido.

%sto es de-ido al producto de matrices, en el que se dec>a que para poder multiplicar dos matrices era

necesario que el nmero de columnas de la primera matriz fuese igual al nmero de filas de lasegunda matriz. %n el caso de la potencia, como la primera y segunda matriz ser>an la misma,necesariamente el nmero de filas y columnas tiene que ser igual, y consecuentemente de-e ser unamatriz cuadrada.

Ampliacin

Aquellas matrices que al multiplicarlas por ellas mismas nos vuelven a dar la matriz, es decir,aquellas matrices que coinciden con su cuadrado, se denominan matrices idempotentes. @al es elcaso de la matriz identidad.

Actividad %

/alcular la potencia c-ica de la matriz siguiente:

1 ' '

' 1 '

' ' 1

Solucin

( )( $I III II I I I= = =

$

1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' '

' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1

= = =

I I

"aso a paso



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3ay veces en las que nos pueden pedir que calculemos para ciertas matrices potencias muy elevadas.

%n estos casos puede ocurrir lo siguiente:

< 5ue llegue un momento en el que tras 6a-er realizado las sucesivas multiplicaciones

o-tengamos la matriz inicial. %n cuyo caso decimos que se trata de una potencia c&clica.< 5ue en los resultados de las sucesivas multiplicaciones o-servemos alguna propiedad que nos

permita plantear una frmula que, de manera inductiva, podamos aplicarla para calcular unapotencia de cualquier orden.

eamos un e*emplo.

Actividad '

/alcula 1$:A , siendo

1 ' '

$ 1 '

$ ' 1

A

=

.

Solucin

/alculamos $A y (A :

$

1 ' ' 1 ' ' 1 ' '

$ 1 ' $ 1 ' 8 1 '

$ ' 1 $ ' 1 8 ' 1

A

= =

( $

1 ' ' 1 ' ' 1 ' '

8 1 ' $ 1 ' 9 1 '

8 ' 1 $ ' 1 9 ' 1

A A A

= = =

A partir de los resultados, podemos o-servar que:

1 ' '

$ 1 '

$ ' 1

nA n

n

=

Pero de-emos demostrar que en efecto es as>. Para ello aplicaremos el mtodo de induccin:

< Para n # 1, efectivamente se cumple que: 1A A= . %n el e*ercicio adems tam-in lo 6emos

compro-ado para$

A y(

A .

< )upongamos que es cierto para n1, veamos entonces que se verifica para n:

1

1 ' ' 1 ' ' 1 ' '

$! 1" 1 ' $ 1 ' $ 1 '

$! 1" ' 1 $ ' 1 $ ' 1

n nA A A n n

n n

= = =

Luego, con esto queda demostrado.

Por lo tanto:



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1$:

1 ' '

$29 1 '

$29 ' 1

A

=

Actividad (

)ean las matricesA,By C:

1 ' 1 1 ' 1 1 1 1

' ' ' , ' 1 ' , 1 1 1

' ' 1 1 ' 1 1 1 1

A B C

= = =

/alcula 128 9, nA B y C .

Solucin

a" 128A :

$

1 ' 1 1 ' 1 1 ' $

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' 1 ' ' 1 ' ' 1

A

= =

( $

1 ' $ 1 ' 1 1 ' (

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' 1 ' ' 1 ' ' 1

A A A

= = =

Aplicando induccin, si suponemos que:1

1 ' 1

' ' '

' ' 1

n

n

A

=

eamos que en efecto:

1 '

' ' '

' ' 1

n

n

A

=

1

1 ' 1 1 ' 1 1 '

' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' 1 ' ' 1 ' ' 1

n n

n n

A A A

= = =

Luego:128

1 ' 128

' ' '

' ' 1

A

=

-" 9B :



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$

1 ' 1 1 ' 1 $ ' $

' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

1 ' 1 1 ' 1 $ ' $

B

= =

$ $

( $

$ $

$ ' $ 1 ' 1 8 ' 8 $ ' $

' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

$ ' $ 1 ' 1 8 ' 8 $ ' $

B B B

= = = =

( (

8 (

( (

8 ' 8 1 ' 1 : ' : $ ' $

' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

8 ' 8 1 ' 1 : ' : $ ' $

B B B

= = = =

Aplicando induccin, si suponemos que:

$ $

1

$ $

$ ' $

' 1 '

$ ' $

n n

n

n n

B

=

eamos que en efecto:

1 1

1 1

$ ' $

' 1 '

$ ' $

n n

n

n n

B

=

$ $ 1 1

1

$ $ 1 1

$ ' $ 1 ' 1 $ ' $

' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

$ ' $ 1 ' 1 $ ' $

n n n n

n n

n n n n

B B B

= = =

Luego:

2 2

9

2 2

$ ' $ ($ ' ($

' 1 ' ' 1 '$ ' $ ($ ' ($

B

= =

c" nC :

$

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

C C

= = =

( $ $ $! " ! 1"C C C CC C C C C = = = = = =

Aplicando induccin, si suponemos que 1 !! 1" 1"! 1"n nC C = , veamos que en efecto 1! 1"n nC C= :

1 $ $ $ $ 1! 1" ! 1" ! 1" ! 1" ! 1"n n n n n nC C C CC C C C = = = = =



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Actividad )

)ean las matricesA, By C:

1 ' $ 1 1 1

, ,' 1 ' 1 ' 'A B C

= = =

/alcula la matrizXde forma que se verifiquen las siguientes igualdades:

a" $8 $A BC C X =

-" $tA B C X =

Solucin

a" $8 $A BC C X = $

1 ' $ 1 1 1 1 18 $' 1 ' 1 ' ' ' '

8 ' 18 1 1 $ $

' 8 ' ' ' ' '

8 ' 18 18 $ $ 1 18 $ $

' 8 ' ' ' 8

x y

z t

x y

z t

x y x y

z t z t

=

=

= =

%ntonces, igualando cada uno de los elementos situados en la misma posicin en am-as matrices:

1 $ 19

18 $ 1$

' '

8 8

x x

y y

z z

t t

= =

= = = = = =

-" $tA B C X =

1 ' $ 1 1 1 $ $

' 1 ' 1 ' ' $ $

tx y

z t

=

/omoAes simtrica:

1 ' $ 1 1 1 $ $ $ 1 1 1 $ $

' 1 ' 1 ' ' $ $ ' 1 ' ' $ $

( $ $ $

' 1 $ $

x y x y

z t z t

x y

z t

= =

=

+ como dos matrices son iguales si y slo si lo son cada uno de sus elementos, igualando uno a unoresolvemos el sistema:



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(

( $ $

$ $ 1

' $ '1 $ 1

$

xx

y y

z zt

t

= = = =

= = = =

Ampliacin

Bna matrizAse dice que es involutivasi $A I= .

Actividad *

La matriz2 8 81 ' 1

2 2 8

A =

es involutiva. /alcula 1$($A .

Solucin

2 8 8 2 8 8 1 ' '

1 ' 1 1 ' 1 ' 1 '

2 2 8 2 2 8 ' ' 1

=

1$($ $ 919! "A A I= =

E. Transposicin de matrices

"ropiedades de la transposicin de matrices

( ) =t

tA A

( )+ = +t t t

A B A B

( ) = t t

A A

( ) = t t t

A B B A

Actividad +0adas las matricesA, By C:

2 1 ( $ 1 1 ' '

$8 ( 2 , $ 2 ( , ' 1 '

' 1 $ 1 ( 8 ' ' 1

A B C

= = =

/alcula:

a" La matriz opuestaA.-" La matriz transpuesta deB. 45u tipo de matriz es la matrizB7

c" $C . 45u tipo de matriz es la matriz C7

d" /alcula $2 tAC B + .



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Solucin

a" Catriz opuesta deA:

2 1 2 1

$8 ( 2 $8 ( 2

' 1 $ ' 1 $

A

= =

-" tB B= , se trata de una matriz simtrica.

c"$

(

1 ' ' 1 ' ' 1 ' '

' 1 ' ' 1 ' ' 1 '

' ' 1 ' ' 1 ' ' 1

C I

= = =

Ces una matriz idempotente.

d"

$

2 1 ( $ 1

2 2 2 2 $8 ( 2 $ 2 (

' 1 $ 1 ( 8

$2 (2 2 ( $ 1 $$ ( 9

1$' 12 $2 $ 2 ( 1$$ 1' $$

' 2 1' 1 ( 8 1 $ 18

t t tAC B AC B A B

+ = + = + = + =

= + =

Actividad 10

)ean las matricesAyB:

1 $ ( 1,

$ 1 1 (A B

= =

0emuestra queAB#BA. 45u tipo de matrices son7 4)e verifica la propiedad conmutativa siempre que semultiplican $ matrices cuadradas de orden $ de este tipo7 4+ se verifica en general para el producto de dosmatrices cualesquiera7 ;azona tus respuestas.

Solucin

1 $ ( 1 1 2$ 1 1 ( 2 1

AB = =

( 1 1 $ 1 2

1 ( $ 1 2 1BA

= =

LuegoAyBson matrices permuta-les, que conmutan.

A y B son matrices simtricas. eamos si en efecto todas las matrices cuadradas de orden $ que sonsimtricas son permuta-les.



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)ean las matrices simtricas:

,a b x y

A Bc d z t

= =

a b x y ax bz ay bt AB

c d z t cx dz cy dt

+ + = = + +

5ue vuelve a ser una matriz simtrica. Al igual que:

x y a b xa yc xb ydBA

z t c d za tc zb td

+ + = = + +

/omo el producto de nmeros reales es conmutativo, se tiene que AB# BA,y por lo tanto, se verifica quetodo par de matrices de orden $ simtricas son permuta-les.

%n general el producto de matrices no es conmutativo. Dasta que consideremos un contrae*emplo. )ean lasmatricesAyB,

1 ' ' 1,

$ ' ' 'A B

= =

1 ' ' 1 ' 1

$ ' ' ' ' $AB

= =

' 1 1 ' $ '

' ' $ ' ' 'BA

= =

Puesto que no o-tenemos los mismos resultados, podemos concluir que en general la propiedadconmutativa del producto de matrices no se cumple.

Actividad 11

)eanAyBmatrices simtricas 4es cierto que ( )t

A B A B+ = + 7 45u tipo de matriz es entonces la matriz!AB"7

Solucin

( )t t tA B A B A B+ = + = +

Luego la matrizABes una matriz simtrica, al igual queAy queB.

Actividad 12

0emuestra que la matriz tA A es una matriz simtrica.

Solucin

( ) ! "t

t t t t t A A A A A A= =



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Actividad 1$

0emuestra que para cualquier matriz cuadradaA,la matriz tA A+ es simtrica.

Solucin

( ) ! "t

t t t t t t A A A A A A A A+ = + = + = +

Actividad 1%

?-serva las siguientes matrices:

1 $ (

$ 1 $

( $ 1

=

A

1 ' 1

' 1 $

1 $ 1

=

B

1 $ ( 8

$ 2 $ '

( $ 1 1

8 ' 1 '

=

C

1 ' '

' 1 '

' ' 1

=

D

45u tipo de matrices son7 4?-servas entre ellas algn tipo de relacin7 %&trae para cada una de ellas susfilas y sus columnas. 45u relacin e&iste entre las filas y las columnas7

Solucin

)on matrices simtricas


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