1.3

Funciones lineales

Presentación 3

MATE 3002

Funciones Lineales

Una función lineal es una función cuya regla de

correspondencia es una fórmula de la forma

f (x) = mx + b, donde m y b son constantes (cualquier

número real).

Si m = 0, la función se conoce como una función

constante, f (x) = b.

f (x) = 3

Líneas Horizontales y Verticales

Rectas Horizontales tienen

ecuaciones de la forma

y = b o f(x) = b. Son

funciones constantes.

Rectas Verticales tienen

ecuaciones de la forma

x = a. NO son

funciones.

y = 2

x = 2

f(x) = 3

Noción de pendiente

Se describe la inclinación de una recta con

la pendiente.

A mayor pendiente, mayor inclinación.

(En la figura L1 está más inclinada que

L2.)

Para calcular la pendiente, tomamos dos

puntos 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 y calculamos:

Tipos de pendientes

Positiva—línea inclinada

hacia arriba de izquierda a

derecha

Negativa—línea inclinada

hacia abajo de izquierda a

derecha

Líneas Horizontales

Si una línea es horizontal, el cambio en y es 0 para dos

puntos cualesquiera y el cambio en x es diferente de 0.

Por lo tanto una línea horizontal tiene pendiente = 0.

Líneas Verticales

Si una línea es vertical, para dos puntos cualesquiera,

el cambio en y es un número real diferente de 0 y el

cambio en x = 0. Por lo tanto, la pendiente no está

definida.

Ecuación Pendiente-Intercepto

La función lineal f dada por f (x) = mx + b se conoce

como la forma pendiente-intercepto de la recta.

La constante m

es la pendiente

de la recta, y el

intercepto en y

es (0, b).

Ejemplo

Hallar la pendiente y el intercepto en y de la recta con ecuación: 3x – 6y 7 = 0.

Solución: Esta ecuación NO está en la forma pendiente- intercepto.

3x 6y 7 0

Se observa que, la pendiente es y el int-y es 1

20,

7

6

.

6y 3x 7

1

6(6y)

1

6(3x 7)

y 1

2x 7

6

(forma general de la recta)

(forma pendiente-intercepto)

Ejemplo

Una línea tiene pendiente de e int-y en (0, 16).

Hallar una ecuación para la línea.

Solución:

7

9

Usando la forma pendiente-intercepto sustituímos

para m y 16 para b:

7

9

y mx b

y 7

9x 16

Como hemos confirmado que las ecuaciones de rectas

son funciones podemos escribir también:

Ejemplo

Una línea tiene pendiente de y pasa por el punto

(–3, 6). Determinar una ecuación para la línea.

2

3

Solución:

Sustituimos en la forma pendiente-intercepto

por la constante m:

2

3

Usando el punto (3, 6), sustituímos –3 para x y 6 para

y, luego resolvemos para hallar b.

y 2

3x b

6 2

33 b

Ecuación de la línea es ó f x 2

3x 4.

6 2 b 4 b

Ejemplo

Hallar la ecuación de la línea que contiene los puntos (2, 3) y (1, 4).

Solución: Primeramente, determinamos la pendiente.

Usando la forma pendiente-intercepto, sustituímos 7 por m.

m 4 3

1 27

1 7

Luego, usamos cualquier de los dos puntos para hallar b.

𝑦 = 7𝑥 + 𝑏

3 = 7(2) + 𝑏 3 = 14 + 𝑏

3 − 14 = 𝑏 −11 = 𝑏

𝑦 = 7𝑥 − 11

𝑜 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 11

Notación Funcional

𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒃

• Una función lineal se representa:

• Si un punto (h,k) satisface la ecuación

y = mx + b, entonces

• f(h) = k (f evaluada en h es k.)

• f(x) = k cuando x = h.

• Si f(x) = mx + b es una función lineal,

entonces el intercepto en y es f(0) y el

intercepto en x es el valor de x cuando

f(x) = 0.

Ejemplo

*Aquí se expresan dos puntos en notación de funciones.

• f(-7) = 1 entonces el punto (-7, 1) pertenece a la

gráfica de f.

• f(3) = -4 entonces el punto (3, -4) pertenece a la

gráfica de f.

• La pendiente de f es:

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=

−𝟒 − 𝟏

𝟑 − −𝟕=

−𝟓

𝟏𝟎= −

𝟏

𝟐

• Determinar la función lineal que satisface las

siguientes condiciones:

(a) f(-7) = 1 y f(3) = -4

Ejemplo (cont.)

• Sustituimos en la forma pendiente-intercepto

m=½.

y = - ½ x + b

• Utilizamos cualquiera de los dos puntos, (-7, 1)

o (3, -4) para determinar b.

-4 = - ½ (3) + b

𝒃 = −𝟒 + 𝟑

𝟐= −

𝟓

𝟐

𝑦 = −1

2𝑥 −

5

2 , por lo tanto 𝑓 𝑥 = −

1

2𝑥 −

5

2

- ½ (3) + b = -4

−3

2 + b = -4

Ejemplo (cont.)

• Hallar los interceptos de

• Intercepto en y : f(0)

: f(0) = −1

20 −

5

2

: f(0) = −5

2

• Intercepto en x : f(x)=0

: 0 = −1

2𝑥 −

5

2

: −1

2𝑥 −

5

2 = 0

: −1

2𝑥 =

5

2

: 𝑥 =5

2−

2

1

𝑓 𝑥 = −1

2𝑥 −

5

2

𝑥 = −5

0, −5

2

−5,0

Ejemplo (cont.)

• Trace la gráfica de

• Intercepto en y :

• Intercepto en x:

𝑓 𝑥 = −1

2𝑥 −

5

2

0, −5

2

−5,0

Ejemplo

Dado que 𝑓 𝑥 = 5

4𝑥 − 3, determinar el valor de la x

cuando y =12.

Notar otras formas de preguntar lo mismo:

(1)…determinar a si (a, 12) pertenece a la gráfica de f(x).

(2) Resolver: 5

4𝑥 − 3 = 12

5

4𝑥 − 3 = 12

5

4𝑥 = 15

𝑥 = 154

5

𝑥 =60

5= 12

(12, 12) pertenece a la gráfica de f(x).