GUA DE NUMEROS COMPLEJOSI) UNIDAD IMAGINARIA:

Como sabemos, en R no podemos resolver races cuadradas de nmeros negativos, como , ya que no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea igual a 1.

Para eso definimos el smbolo i para indicar un nmero tal que: i = 1 i =

Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este nmero no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones:

EcuacinResolucinNZQIR

x 3 = 1

x + 2 = 1

x 2 = 1

x + 1 = 0

Ejercicio 2: Utilicen el smbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x + 4 = 0

b) x + 5 = 0

c) x 10 = 2 x

d) x 9 = 0

e) 9 x + 16 = 0

f) ( x + 5 ) = 10 x

g)

h) ( x 2 ) ( x 2 ) = 20i) ( x 8 ) = 16 x

j) 3 ( 2 2 x ) = ( x 4 ) ( x 2 )

k) ( 2 x 1 ) = ( 1 + 2 x ) ( 1 2 x ) 1

Potencias de la Unidad Imaginaria:

Veamos algunas de ellas:

Etc

Ejercicio 3: Completen las potencias de i:

a)

e)

i)

b)

f) (

j)

c)

g) (

k) x + 1 =

d)

h) (

l) x i =

II) NUMEROS COMPLEJOS

Definicin: A toda expresin en la forma a + b.i , donde a y b son nmeros reales e i es la unidad imaginaria la llamaremos NMERO COMPLEJO.

Notas:

a) Al conjunto de todos los nmeros complejos, los denotaremos con la letra .

b) A cada nmero complejo lo denotaremos con la letra z, as:

z = a + b i, o bien z = b i + a, con a(( y b((.

c) Si z = a + b i entonces llamaremos PARTE REAL al valor a y se denotar como Re(z)=a. Y llamaremos PARTE IMAGINARIA al valor b, denotado como Im(z)=b.d) Si Re(z)=0 se dice que z es un nmero IMAGINARIO PURO.

Si Im(z)=0 se dice que z es un nmero REAL.

e) Definicin: (Igualdad de Complejos)Dos nmeros complejos Z1 y Z2 son iguales siempre que Re(z1) = Re(z2) y Im(z1) = Im(z2)

Los Nmeros Complejos se pueden expresar de varias formas:

Forma binomica: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

Ejemplos:Z1 = 2 + 3 i; Z2 = (1/3) i; Z3 = (1/2) i + 9; Z4 = 2; Z5 = 10 iForma canonica o de par ordenado: Se colocan, entre parntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del complejo en cuestin.

Ejemplos: Z1 = (2, 3); Z2 = (1/3, 1); Z3 = (9, 1/2); Z4 = (2, 0); Z5 = (0, 10)Forma trigonomtrica o polar (Ser explicada ms adelante)

Ejercicio 4: Completen la siguiente tabla:

Nmero Complejo

ZParte Real

Re (z)Parte Imaginaria

Im(z)es complejo, real o imaginario puro?

5 + 3 i

28

42/3

2 i

5 i

04

40

III) CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NMERO COMPLEJO

A partir de un nmero complejo z = a + bi, se definen los siguientes:

* El conjugado de z es = a bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es inverso aditivo)

* El opuesto de z es z = a bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas)

Ej:

= 1 2 i

= 1 + 2 i

= 1 + 2 i

= 4 i

= 4 i

= 4 i

= 6

= 6

= 6Ejercicio 5: Completen el siguiente cuadro:z

z

+ i

2 6 i

7 + i

3

i

2 i

IV) REPRESENTACIN GRAFICA: El plano complejo es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se representar la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se representar la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

Notas:

En el plano complejo los nmeros imaginarios pueden ser representados como puntos o como vectores:

Ejercicio 6: Representar los siguientes nmeros complejos:

= 1 i

= 3 + 2 i

= 2 3iV) MDULO DE UN COMPLEJO:Ejercicio 7: Hallar el mdulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos:a) 5 2 i

b) 3 + i

c) + i

d) 1 i

VI) ARGUMENTO DE UN COMPLEJO:

OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOSEn los siguientes ejemplos pueden observar cmo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos nmeros complejos:

Suma: ( 2 + 3 i ) + ( 1 5 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 3 5 ) i = 3 2 i

Resta: ( 2 + 3 i ) ( 1 5 i ) = ( 2 1 ) + ( 3 (5) i) = 1 + 8 iMultiplicacin: ( 2 + 3 i ) . ( 1 5 i ) = 2 . 1 + 2 . (5i) + 3 i.1 + 3i .(5i) =

= 2 10 i + 3 i 15 i = 17 7 i

(recordar que i = 1)

Divisin:

Para resolver la divisin de dos nmeros complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos a ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:

= = = = -

Multiplicar por una fraccin de igual numerador y denominador es como multiplicar por 1, por lo tanto, la igualdad no se altera.

Ejercicio 8: Consideren los complejos: = 2 + i ; = 3 + 5 i ; = 4 i y resuelvan las siguientes operaciones:

a) + =

b) + =

c) =

d) 5. =

e) (+).=

f) ( +).() = g) . =

h) () =

Ejercicio 9: Consideren los complejos: = 3 i ; = 4 i ; = 7 + 2 i y resuelvan las siguientes divisiones:

a)

b)

c)

d)

e) =f) =EJERCICIS1) Adicin y Sustraccin de Nmeros Complejos:

a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) =

R: ( 22, 10)

b) ( 7 + 5 i ) ( 3 4 i ) ( 5 + 2 i ) =

R: ( 9 , 7 )

c)( 1 + i ) + ( 3 3/2 i ) + ( 4 + i ) =

R: ( 0 )

d) ( 8 ++ (

EMBED Equation.3

R: ( 10 + i )

e) (

R: ( i )

f) (

R: ()

2) Multiplicacin y Divisin de Nmeros Complejos:

a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) =

R: ( 156 i )

b) ( 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =

R: ( 29 )

c) ( 1 + i ) . ( 1 i ) =

R: ( 2 )

d)

R: (4/5)

e) ( i) . ( i ) =

R: (5 i )

f) (

R: ( 1 + 6 i )

g) ( 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) =

R: ( 1 + 3 i )

h) ( 1 + i ) : ( 1 i ) =

R: ( i )

i) (4 + 2 i ) : i =

R: ( 2 4 i )

j) (

R: ( i )

k) (i) : ( i ) =

R: ()

3) Potencia de Nmeros Complejos:

a) i =

b) i =

c) i =

d) i =

e) ( i ) =

f) ( i ) =

g) ( 1 + i ) =

(R: 2i)

h) ( 4 3 i) =

(R: 7 24 i)

i) () =

(R: )j) () =

(R: )

4) Ejercicios combinados en C:

a) =

(R:)

b) =

(R:)

c)

(R: )

d) =

e)

f) =CONTROL NMEROS COMPLEJOS1) Dados los nmeros complejos siguiente:

Realiza las siguientes operaciones con ellos, indicando por separado la parte real y la parte imaginaria del resultado.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2) Comprueba si el complejo es una solucin de la ecuacin sin necesidad de resolver la ecuacin

3) Determina el valor de a para que el complejo sea

a) Un nmero real

b) Un imaginario puro

c) Est situado en la bisectriz del segundo cuadrante

4) Resuelva las ecuaciones:

a) .

b) .

5) Realizar las siguientes operaciones con nmeros complejos en forma binaria y representa grficamente el resultado.

a)

b)

6) Realiza las siguientes operaciones primero en forma binmica y luego en forma polar, y comprueba que los resultados coinciden.

a)

b)

c)

7) Realiza las siguientes operaciones combinadas con nmeros complejos.

a)

b)

/

CJOSROL NUMEROS COMPLE mplejos (

EJE IMAGINARIO

Z1

Z2Z3

EJE REAL

Z4.

Z5.

(Complejos representados como vectores)

EJE IMAGINARIO

Z1

Z2Z3

EJE REAL

Z4.

Z5.

(Complejos representados como puntos)

EJE IMAGINARIO

z = a + b i

b

.

. . .

. . . .

EJE REAL

a

EMBED Equation.3

Se llama mdulo de un nmero complejo a la longitud del vector que lo representa.

Su notacin ser EMBED Equation.3 , r EMBED Equation.3 .

Ejemplo: halla el mdulo de z = ( 3 + 4 i

EMBED Equation.3

Por lo tanto:

EMBED Equation.3

EJE IMAGINARIO

z = a + b i

b

.

. . .

. ( . .

EJE REAL

a

Se llama argumento del complejo z = a + bi al ngulo ( que forman el vector que representa a z y el semieje positivo real. Lo denotaremos as: Arg(z).

El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre s por un nmero enteros de vueltas:

Arg(z) = ( + 2k(, con k ( Z

Llamaremos argumento principal al que esta comprendido entre EMBED Equation.3 , o sea una vuelta; y se calcula usando cualquier funcin trigonomtrica como por ejemplo:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

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_1365270587.unknown

_1407699653.unknown

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