13

Soluciones a las actividades de cada epgrafeSoluciones a las actividades de cada epgrafe13

Unidad 13. reas y permetros

PGINA 247

PARA EMPEZAR

El valor de pi de los babilonios

Averigua qu valor se obtiene para pi a partir de la igualdad anterior.

2pir = 2524

= 6 l

r = l

Por tanto:

2pir = 2524

6r 8 2pi = 254

8 pi = 258

= 3,125

El valor de pi de los egipcios

Calcula, segn la igualdad anterior, el valor de pi.

pi 4,52 = 82 8 pi = 6420,25

3,16

Pg. 1



PGINA 248

Clculo mental 1

Di el rea de este rectngulo:

4 cm

2,5 cm

A = 4 2,5 = 10 cm2

Clculo mental 2

Cul es el lado de este cuadrado cuya rea conocemos?:

81 cm2 l ?

l 2 = 81 8 l = 81 = 9 cm

Clculo mental 3

Halla el rea de este paralelogramo:

3,2 cm4 cm

10 cm

A = 10 3,2 = 32 cm2

Y ahora, ya que conoces el rea, sabras calcular la otra altura? Es decir, la distancia entre los otros dos lados.

a4 cm

10 cm

Como el rea es 32 cm2, podemos decir que 32 = 4 a 8 a = 324

= 8 cm.

1 Calcula el permetro y el rea de una habitacin rectangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.

Permetro = 2 6,4 + 2 3,5 = 19,8 m

rea = 6,4 3,5 = 22,4 m2

Pg. 1



2 Mide las dimensiones de una pgina de este libro. Cuntos metros cuadrados de pa-pel se necesitan para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

El libro mide 22,5 cm de ancho por 29 cm de alto. Adems, sin contar las tapas, el libro tiene 288 pginas. Como se imprime por las dos caras del papel, en realidad tenemos 144 hojas. As:

rea de una hoja = 22,5 29 = 652,5 cm2

rea total = 652,5 144 = 93 960 cm2 = 9,396 m2

Se necesitan 9,396 m2 de papel.

3 Cunto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de rea?

225 = l 2 8 l = 225 = 15 cm

El lado del cuadrado mide 15 cm.

4 Halla la altura de un rectngulo de 47 m2 de superficie y 4 m de base.

47 = a 4 8 a = 474

= 11,75 m

La altura mide 11,75 m.

a

4 m

47 m2

5 Halla el rea y el permetro de estos dos paralelogramos. Observa que, aunque el segundo es un rombo, su rea se puede calcular como la de un paralelogramo cualquiera.

Romboide: rea = 6 4 = 24 m2

Permetro = 2 6 + 2 5 = 22 m

4 m

4 m

6 m

5 m

5 m

5 m

Rombo: rea = 5 4 = 20 m2

Permetro = 5 4 = 20 m

Pg. 2



PGINA 249

Clculo mental 1

Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. Cul es su rea?

rea = 6 102

= 30 cm2. El rea del rombo es 30 cm2.

La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. Cul es su rea?

rea = 4 42

= 8 dm2. El rea del cuadrado es 8 dm2.

Clculo mental 2

Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. Cul es su rea?

rea = (13 + 7) 102

= 100 cm2. El rea del trapecio es 100 cm2.

6 Halla el rea y el permetro de las siguientes figuras:

a) b)

c) d)

24 m

5 m11 m 13 m13 m

25 m20 m

23 m13 m

28 m

43 m

37 m

14,4 m

16 m

24 m

a) rea = 24 162

= 192 cm2

Permetro = 4 14,4 = 57,6 m

b) rea = (28 + 43) 202

= 710 m2

Permetro = 28 + 20 + 43 + 25 = 116 m

c) rea = (23 + 37) 112

= 330 m2

Permetro = 2 13 + 23 + 37 = 86 m

d) rea = 24 5 = 120 m2

Permetro = 4 13 = 52 m

Pg. 1



7 Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos es 45 m. Cul es la superficie de la parcela?

rea = (37,5 + 62,4) 452

= 2 247,75 m2

El rea de la parcela es 2 247,75 m2.

8 Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm. Halla su rea.

rea = 37 522

= 962 cm2

El rea del rombo es 962 cm2.

9 La diagonal de un cuadrado mide 15 cm. Halla su rea.

rea = 15 152

= 112,5 cm2

El rea del cuadrado es 112,5 cm2.

Pg. 2



PGINA 250

Clculo mental

Halla el rea de este tringulo:

5 m

6 m

rea = 6 52

= 15 m2

El rea del tringulo es 15 m2.

1 Halla el rea de una parcela triangular de la que conocemos un lado, 20 m, y su altura, 13 m.

rea = 20 132

= 130 m2

13 m

20 m

El rea de la parcela es 130 m2.

2 Halla el rea de este tringulo:

240 m

50 m

rea = 240 502

= 6 000 m2

3 Halla el rea de un tringulo equiltero de 40 m de lado y 34,64 m de altura.

rea = 40 34,642

= 692,8 m2

El rea del tringulo es 692,8 m2.

4 De un tringulo rectngulo conocemos los tres lados: c = 18 cm, c' = 24 cm y h = 30 cm.

a) Calcula su rea.

b) Cunto mide la altura sobre la hipotenusa?

a) rea = 18 242

= 216 cm2

b) rea = h altura2

8 216 = 30 altura2

8 altura = 14,4 cm

Pg. 1



PGINA 251

Clculo mental

Halla el rea y el permetro de este cuadriltero irregular:

rea tringulo pequeo = 3 42

= 6 m2

rea tringulo grande = 12 52

= 30 m2

rea cuadriltero = 6 + 30 = 36 m2

Permetro cuadriltero = 4 + 12 + 13 + 3 = 32 m4 m

3 m

13 m

12 m

5 m

1 Copia este polgono, contina descomponindolo en tringulos y toma en ellos las medidas necesarias para calcular sus reas. Halla, as, el rea total.

1,7 cm

4 cm

1,4 cm

2,7 cm

1,7 cm

4 cm

2,7 cm

1,4 cm

2,7 cm

2,3 cm

2,3 cm

2,8 cm

2,1

cm

A = 2,7 1,42

+ 4 1,72

+ 4 2,72

+ 2,8 2,32

+ 2,1 2,32

= 16,325 cm2

2 El lado de un octgono regular mide 15 cm, y su apotema, 18 cm. Halla su rea.

rea = 8 15 182

= 1 080 cm2

Pg. 1



3 Recuerda que en el hexgono regular la longitud del lado es igual a la longitud del radio de la circunferencia circunscrita.

Dibuja un hexgono regular cuyo lado tenga una longitud l = 4 cm.

Comprueba que su apotema mide, aproximadamente, 3,5 cm.

Calcula su rea.

rea = 6 4 3,52

= 42 cm2

4 cm

3,5 cm 4 cm

4 Calcula el rea de la siguiente figura:

60 m

20 m

12 m

60 m

20 m

8 m

12 m

2 3

1

4

rea 1 = 60 12 = 720 m2

rea 2 = rea 3 = rea 4 = 20 82

= 80 m2

rea figura = 720 + 3 80 = 960 m2

Pg. 2



PGINA 252

1 Halla la superficie y el permetro del recinto marrn:

20 m40

m

rea = pi 402 pi 202 = 1 200pi 3 769,9 m2

Permetro = 2pi 40 + 2pi 20 = 120pi 376,99 m

2 Calcula el permetro y el rea de esta figura:

40 m

rea = pi 202

2 pi 102 = 100pi 314,16 m2

Permetro = 2 pi 202

+ 2pi 10 = 40pi 125,66 m

Pg. 1



PGINA 253

3 Halla el rea y el permetro de esta figura:

210

4 dam

rea = pi 42

360 210 = 9,3pi 29,32 dam2

Permetro = 2pi 4360

210 + 4 + 4 22,66 dam

4 Halla la longitud de un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40 de amplitud.

Longitud del arco = 2pi 10360

40 6,98 cm

5 Calcula el rea y el permetro de esta figura:

90

5 cm

2 cm

rea = pi 52

360 90 pi 2

2

360 90 16,49 cm2

Permetro = 2pi 5360

90 + 2pi 2360

90 + 3 + 3 17 cm

6 Calcula el rea de un sector circular de 20 cm de radio y 30 de amplitud.

rea = pi 202

360 30 104,72 cm2

Pg. 1



PGINA 254

1 La diagonal de un rectngulo mide 65 cm, y uno de sus lados, 33 cm. Halla su rea.

x = 652 332 = 3 136 = 56 cm

rea = 33 56 = 1 848 cm2

x

33 m65 m

2 El lado de un rombo mide 97 m, y una de sus diagonales, 144 m. Halla su rea.

x = 972 722 = 4 225 = 65 m

La otra diagonal del rombo mide:

2 65 = 130 m

rea = 144 1302

= 9 360 m2x

97 m72 m

144 m

3 En un trapecio rectngulo, las bases miden 45 m y 30 m, y el lado oblicuo, 17 m. Halla su rea.

x = 172 152 = 64 = 8 m

rea = 45 + 302

8 = 300 m217 m

30 m

x

45 m15 m

4 Halla el rea de un trapecio issceles cuyas bases miden 8,3 m y 10,7 m, y el otro la-do, 3,7 m.

x = 3,72 1,22 = 12,25 = 3,5 m

rea = 8,3 + 10,72

3,5 = 33,25 cm23,7 m

1,2 m

x

10,7 m

8,3 m

Pg. 1



PGINA 255

5 Halla el rea de un tringulo equiltero de lado 15 cm.

a = 152 7,52 = 168,75 13 cm

rea = 15 132

= 97,5 cm215 cm

7,5 cm

a

6 Halla el rea de un hexgono regular de 37 cm de lado.37 cm

a = 372 18,52 = 1 026,75 32,04 cm

rea = 6 37 32,042

= 3 556,44 cm2

18,5 cm

a37 cm

7 Halla el rea de un pentgono regular de radio 21 cm, y apotema, 17 cm.

x = Mitad del lado 8 x = 212 172 = 152 12,33 cm

l = 2 12,33 = 24,66 cm

rea = 5 24,66 172

= 1 048,05 cm2x

21 cm

17 cm

8 En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 29 cm. Halla el rea del tringulo con base en esta cuerda y vrtice opuesto en el centro de la circunferencia.

x = 292 14,52 = 630,75 25,11 cm

rea tringulo = 29 25,112

364,1 cm2x

29 cm 14,5 cm

Pg. 1

Soluciones a Ejercicios y problemasSoluciones a Ejercicios y problemas13


PGINA 256

reas y permetros de guras sencillas

Halla el rea y el permetro de cada una de las figuras coloreadas en los siguientes ejer-cicios:

1 a) b)

5 dm

5 cm4 cm2 cm

8 cm

2 cm

a) A = 52 = 25 dm2 b) A = 8 22

= 8 cm2

P = 5 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm

2 a) b)

5 m

8 m17 m

15 m

a) A = pi 52 78,5 dm2 b) A = 15 82

= 60 m2

P = 2pi 5 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m

3 a) b)

5 dm

11 dm

7 dm 9,2 dm

5 m

m

10 mm

a) A = 11 + 52

7 = 56 dm2 b) A = 10 5 = 50 mm2

P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 10 + 2 5 = 30 mm

4 a) b)

6 cm

18 cm

9,5 cm

15 hm

28 hm5,4 hm

a) A = 18 62

= 54 cm2 b) A = 28 5,42

= 75,6 hm2

P = 9,5 4 = 38 cm P = 28 + 15 2 = 58 hm

Pg. 1



5 a) b)

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm

2,1 cm

3 cm

a) A = 47 + 572

30 = 1 560 mm2 b) A = 5 3 2,12

= 15,75 cm2

P = 57 + 47 + 2 30,4 = 164,8 mm P = 5 3 = 15 cm

6 a) b)

4 dam5 dam

9 dam

6 km

a) A = 9 4 = 36 dam2 b) A = pi 32

2 14,13 km2

P = 2 9 + 2 5 = 28 dam P = 2pi 32

+ 6 9,42 dm

7 a) b)

7,2 cm 6 cm

12 cm20

cm15 cm

36 cm

43 cm

a) A = 8 6 7,22

= 172,8 cm2 b) A = 43 + 362

12 = 474 cm2

P = 8 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm

8 Averigua cunto mide la altura de un rectngulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

a = 405

= 8 m

La altura del rectngulo mide 8 m.

5 m

40 m2 a

9 Halla el rea de un trapecio cuyas bases miden 12cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.

A = 12 + 202

10 = 160 cm2

El rea del trapecio es 160 cm2.

Pg. 2



10 Las bases de un trapecio issceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm. Calcula el permetro y el rea de la figura.

A = 26 + 142

8 = 160 cm2

P = 26 + 14 + 2 10 = 60 cm

11 Los lados de un tringulo rectngulo miden 15dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su rea y la altura sobre la hipotenusa.

15 dm

17 dm8 dm ah

A = 15 82

= 60 dm2

120 = 17 ah

2 8 ah =

12017

7,06 dm

12 Calcula el rea y el permetro de un hexgono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

A = 6 6 5,22

= 93,6 mm2

P = 6 6 = 36 mm

Medir y calcular reas y permetros

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su rea y su permetro. Para ello, tendrs que medir algn elemento (lado, diagonal, radio).

13 a) b)

2,4 cm

1,2 cm

a) A = 5,76 cm2 b) A = 4,52 cm2

P = 9,6 cm P = 7,54 cm

Pg. 3



14 a) b)

2 cm

2,4 cm

2 cm

3,5 cm

a) A = 4,8 cm2 b) A = 3,5 cm2

P = 8,8 cm P = 8 cm

15 a) b)

2 cm

2,7 cm

1,6 cm

2,2 cm

2,9 cm

1,5 cm

2,2 cm

a) A = 4,3 cm2 b) A = 3,3 cm2

P = 8,5 cm P = 7,4 cm

Pg. 4



PGINA 257

reas y permetros menos sencillos

16 Calcula el rea de la zona coloreada.

5 cm 4 cm 3 cm

A = 52 + 42 + 32 (5 + 4 + 3) 52

= 20 cm2

17 Calcula el rea y el permetro de las figuras coloreadas.

7 cm

54 m

40 m

a)

c)

b)

5 m

2,5 m

49 m31 m

35 m

37 m

a)

54 m

40 m

49 m

26 m31 m

35 m

5 m

5 m

37 m

42 m

A = 42 31 + 54 40 52 = 3 437 m2

P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m

Pg. 1



b) A = pi 72

3 51,29 cm2

P = 2pi 73

+ 2 7 28,65 cm

c) A = 5 5 = 25 m2

P = 2 pi 2,5 2 31,4 m

Halla el permetro y el rea de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

18 a)

OB = 11 cm

AB = 8 cm

O

A

B

b)

A = 60

AB = 10 m

AC = 8,7 m

A

BC

a) A = 2 8 112

5 = 440 cm2

P = 2 8 5 = 80 cm

b) Como el tringulo es equiltero (ya que A

= 60), AB

= 2BC

= 10 m.

A = pi 102

360 60 10 8,7

2 8,83 m2

P = 2pi 10360

60 + 10 20,47 m

19 a) b)

15 m

8 m

7 mm

a) A = pi 152 pi 82 505,54 m2 b) A = 72 pi 3,52 10,53 mm2

P = 2pi 15 + 2pi 8 144,44 m P = 7 4 + 2pi 3,5 49,98 mm

Pg. 2



20 a) b)

3 km

9,9 km

4 km 120

8 mm

a) A = 7 72

pi 32

4 17,43 km2 b) A = pi 15

2

360 120 235,5 mm2

P = 2 pi 34

+ 4 + 4 + 9,9 22,61 km P = 2pi 15360

120 + 15 + 15 61,4 mm

21 a) b)

1 m

0,5 m 5 hm 7 hm

8,6 hm

a) A = pi 1,52

4 pi 1

2

4 0,98 m2

P = 2pi 1,54

+ 2pi 14

+ 0,5 + 0,5 4,92 m

b) A = 7 52

+ pi 52

4 37,12 hm2

P = 2 pi 54

+ 8,6 + 5 + 7 28,45 hm

22 Halla el rea de la parte coloreada sabiendo que el dimetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm

Radio circunferencias pequeas: r = 1 cm

A = pi 32 7 12 = 2 6,28 cm2

23 Toma las medidas que necesites para calcular el rea y el permetro de cada figura:

a) b)

1,6 cm

1,6

cm

1,7

cm

3 cm

1,5 cm

3,1 cm60

1,8 cm0,5 cm

a) A = 7,8 cm2 b) A = 1,77 cm2

P = 11,1 cm P = 8,41 cm

Pg. 3



PGINA 258

reas y permetros utilizando el teorema de Pitgoras

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su rea y su permetro. Para ello, tendrs que calcu lar el valor de algn elemento (lado, diagonal, apotema, ngulo). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

24 a) b)

5 m

6 m

7 m 25 m

a) a = 62 2,52 = 29,75 = 5,5 m

A = 6 5,52

= 13,8 m2

2,5 m

6 ma

P = 2 6 + 5 = 17 m

b) x = 252 72 = 576 = 24 m

7 m 25 m

x A = 24 7

2 = 84 m2

P = 24 + 7 + 25 = 56 m

25 a) b)

5 cm 13 cm

90 m

53 m

a) a = 132 52 = 144 = 12 m

A = 12 5 = 60 cm2

13 cm 5 cm

x P = 12 2 + 5 2 = 34 cm

b) x = 532 452 = 784 = 28 m

A = 2 28 902

= 2 520 m2

53 m

x

45 m

P = 53 4 = 212 m

26 a) b)

99 m

15 cm

Pg. 1



a) x 2 + x 2 = 992 8 2x2 = 9 801 8 x2 = 4 900,5 8

8 x = 4 900,5 70 m A = 702 = 4 900 m2

99 m

x

x

P = 70 4 = 280 m

b) x = 152 + 152 = 450 21,2 cm A = pi 21,22 pi 152 704,7 cm2

P = 2pi 21,2 + 2pi 15 227,3 cm

15 cm

15 cmx

27 a) b)

73 cm

110 cm

98 cm

89 cm

18 cm

a) x = 732 + 552 = 2 304 = 48 cm

A = 110 48 22

= 5 280 cm2

73 cm

55 cm

x

P = 4 73 = 292 cm

b) x = 892 + 802 = 1 521 = 39

A = 18 + 982

39 = 2 262 cm2

98 cm

89 cm

80 cm

18 cm

x

P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

28 a) b)

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

8 dm5,6 dm

4 dm

a) x = 412 92 = 1 600 = 40 dam

A = 53 + 712

40 = 2 480 dam2

71 dam

41 dam

53 dam

9 damx

P = 71 + 41 2 + 53 = 206 dam

b) x = 42 2,42 = 10,24 = 3,2 dm

A = 8 + 5,62

3,2 21,8 dm2

2,4 dm

5,6 dm

4 dm

x

P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm

Pg. 2



29 a) b)

12 m

10,2 m

25 cm

25 cm48 cm

a) x = 10,22 62 = 68,04 8,2 m

A = 12 8,22

5 = 246 m2

12 m

6 m

10,2 mx

P = 12 5 = 60 m

b) x = 252 242 = 49 = 7 cm

A = 48 7 22

= 336 cm2

25 cm25 cm

24 cm

x

P = 4 25 = 100 cm

Resuelve problemas

30 Un saln cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25cm de lado (se llaman losetas de 25 25). Cuntas lo-setas son necesarias?

A = 25 25 = 625 cm2

A = 50 m2 = 500 000 cm2

Para cubrir el saln se necesitan 500 000625

= 800 losetas.

31 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. Cuntas baldosas cuadradas de 20 cm de lado sern necesarias para cubrir el patio, idntico, de la casa vecina?

El patio tiene un rea de 540 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.

La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 20 = 400 cm2.

Por tanto, se necesitan 324 000400

= 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.

32 En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuer-da de 34 cm. Halla el rea del segmento circular sabiendo que el ngulo central correspondiente es de 90.

A = 24 24

2 = 288 cm2

A = pi 242 1 808,64 cm2

24 cm90 O34

cm

A = 14

A A = 1 808,64

4 288 = 164,16 cm2

Pg. 3



33 Las medidas de los lados de un trapecio rectngulo son a = 9 m, b = 5 m, c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su rea.

rea = 12 + 92

4 = 42 m2

El rea del trapecio es 42 m2.12 m

9 m

5 m4 m

34 El rea de un tringulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su permetro.

20 m

a20

a11a13 13 m11

m

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm 6666 = 20 a20 8 a20 = = 3,3 cm 20 6666 = 13 a13 8 a13 = 5,08 cm 13 6666 = 11 a11 8 a11 = = 6 cm 11

35 Observa el tringulo equiltero rojo y el tringulo azul:

12 c

m

a) Cul es la relacin entre sus reas?

b) Basndote en la respuesta anterior, y teniendo en cuenta que tienen bases igua-les, cul es la altura del tringulo azul?

c) Cul es la distancia del centro del tringulo a cada vrtice?

a) El rea del tringulo rojo es el triple que la del azul.

b) Como las bases de los dos tringulos son iguales y el rojo tiene un rea tres veces ma-yor que el azul, por la frmula del rea, la altura del tringulo azul es un tercio de la altura del rojo; luego la altura del tringulo azul es 12 : 3 = 4 cm.

c) Primero hallamos la medida del lado del tringulo equiltero:

l 2 = l 2

4 + 144 8 3l

2

4 = 144 8 l 2 = 192 8

8 l 13,86 8 l 2

6,63 cm

12 c

m l

l2

Pg. 4



d = 6,632 + 42 = 59,96 7,74 cm

4 cm

6,63 cm

d

La distancia del centro del tringulo a cada vrtice es 7,74 cm, aproximadamente.

36 La valla de esta parcela tiene una longitud de 100 metros. Cul es el rea de la parcela?

Si llamamos x al lado del cuadrado que est encima del rectngulo, el permetro de la parcela es de 10x. Al igualarlo a la longitud de la parcela, obtenemos:

10x = 100 m 8 x = 10 m

Por tanto, el rea de la figura es la misma que la de 4 cuadrados de lado 10 m:

A = 4 102 = 400 m2

Pg. 5



PGINA 259

37 La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales per-pendiculares. Justifica que tambin puedes calcular su rea mediante la frmula:

d d'2

8 m

15 m

A = d d' = 8 15 = 120 m2

Como vemos, A = A ; A = A; A = A; A = A2

d = 8 m

d =

15 m

1

3

6 4

7

8

5

Por esto el rea de la figura roja es la mitad del rea del rectngulo. As:

A = A

2 = d d'

2 = 120

2 = 60 m2

38 Cul de los tres tringulos tiene mayor rea (azul, naranja o verde)? Justifica tu respuesta.

Todos los tringulos tienen la misma rea ya que la base y la altura son iguales para todos ellos.

39 A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia.

C C

C

A B

Dnde lo pondrs si quieres que el rea del tringulo ABC sea la mayor po sible?

Pondremos C en el punto ms alto de la circunferencia para que el rea sea lo mayor posible. Esto es porque con la misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor ser el rea del tringulo.

C

A B

Pg. 1



40 El permetro del cuadrado rojo interior es de 32cm. Cul es el permetro del cuadrado negro exterior?

Observacin:

l

l

Como vemos en la observacin, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad del del cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es el doble del del cuadrado azul. As, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el lado del cuadrado rojo. El permetro del cuadrado negro ser cuatro veces el permetro del cuadrado rojo, es decir, 32 4 = 128 cm.

Problemas +

41 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:

50 cm

40 c

m

50 cm

40 c

m

El rea del rectngulo es 50 40 = 2 000 cm2.

Como dentro del rectngulo hay 8 losetas completas, cada loseta tiene un rea de:

A = 2 0008

= 250 cm2

Pg. 2



42 La base de este rectngulo mide 20 cm ms que la altura. Su permetro es de 100 cm.

Calcula el rea del cuadriltero coloreado.

Lo primero es calcular las dimensiones:

P = 2 x + 2 (x + 20) = 2x + 2x + 40 = 4x + 40

Como P = 100 cm, entonces:

4x + 40 = 100 8 x = 15 cmx + 20

x

As, el dibujo queda:

35 cm

15 cm

Como vemos, el rea de la zona coloreada es la mitad del rea del rectngulo. Por tanto:

A = 35 152

= 262,5 cm2

43 Nuria y Jorge entrenan en la bicicleta. Nuria observa el cuentakilmetros y co-menta:

Vamos a dieciocho kilmetros por hora. Cuntas vueltas dar mi rueda en un minuto?

Jorge responde:

No lo s, habra que medir el radio de la rueda, pero as, a ojo, chale unas 200 vueltas por minuto.

Nuria piensa que son demasiadas:

Halaaaa! No creo que lleguen ni a 150.

Sabiendo que el dimetro de la rueda es de 50 cm, cul de los dos ha hecho una estimacin ms acertada?

Transformamos 18 km/h en centmetros por minuto:

1 800 000 : 60 = 30 000 cm/min

Cada vuelta que da la rueda recorre 50pi cm.

Por tanto, cada minuto la rueda dar 30 000 : 50pi 191 vueltas.

Es decir, Jorge, que deca 200 vueltas por minuto, ha hecho una mejor estimacin.

Pg. 3



44 Con los datos que te ofrece el esquema, haz una estimacin de la longitud del hilo enrollado en el carrete. (Dimetro del hilo: 1/3 de mm.)

35 mm

12 mmHILO

HILO

12 mm

12 mm

Como el dimetro del hilo es 1/3 de mm, en cada milmetro hay 3 hilos.

A lo ancho hay, pues, 3 35 = 105 hilos.

A lo grueso hay 3 12 = 36 hilos.

ANCHO: 35 mm

GRUESO: 12 mmHILO

Supongamos que los hilos forman circunferencias (no es as, pero se aproxima mucho). De qu radios son esas circunferencias? Las ms pequeas tienen un radio de 6 mm. Las mayores, de 18 mm.

El promedio es 6 + 182

= 12 mm.

Supondremos que todas las circunferencias tienen el radio promedio. Su longitud es:

2 pi 12 75,4 mm

18 mm6 mm

Cuntas circunferencias de hilo hay?

105 a lo ancho 36 a lo grueso = 3 780 circunferencias

Longitud total = 3 780 circunf. longitud de la circunferencia promedio = 285 012 mm

Por tanto, estimamos que la longitud total del hilo del carrete es 285 000 mm, es decir, 285 m.

Pg. 4



PGINA 260

Interpreta, describe, exprsate

45 Abdul, honorable padre de familia, quiere compro-bar la sabidura de sus hijos, Ftima, Aimad, Omar y Fe-dua, y, para ponerles a prueba, les encarga la medicin de la super cie de la huerta que hered de su abuelo Ahmed.

Los hijos no se ponen de acuerdo, y cada uno decide seguir su propio camino.

Explica lo que hace cada uno. 50

m

60 m

90 m

Solucin de Ftima

A = 60 50 + 30 502

= 3 000 + 750 = 3 750 m2

50 m

60 m

60 m 30 m

Solucin de Aimad

A = 90 50 30 502

= 4 500 750 = 3 750 m2

50 m

60 m

90 m

30 m

Solucin de Omar

A = 150 502

= 7 5002

= 3 750 m2

50 m

60 m

60 m90 m

90 m

Solucin de Fedua

A = 75 50 = 3 750 m250 m

60 m

75 m

15 m

90 m

50 m

75 m

Ftima ha dividido el trapecio rectngulo en un rectngulo de 50 m 60 m y un trin-gulo de 30 m de base y 50 m de altura. Despus, ha calculado el rea de cada uno por separado y ha sumado los resultados.

Pg. 1



Aimad ha aadido un tringulo al trapecio de modo que quede un rectngulo de 50 m 90 m. Despus, ha calculado el rea del rectngulo y al resultado le ha restado el rea del tringulo que haba aadido.

Omar ha aadido otro trapecio rectngulo igual al anterior de modo que queda un rectngulo de 50 m 150 m. Ms adelante, ha calculado el rea de dicho rectngulo y lo ha dividido por dos; as resulta el rea del trapecio inicial.

Fedua ha cortado un trozo del trapecio y lo ha aadido por otro lado de forma que queda un rectngulo de 50 m 75 m. Despus, ha calculado el rea de dicho rectn-gulo.

46 Calcula la superficie del primer huerto y, aproximadamente, la del segundo. Describe cmo lo haces y justifcalo.

a)

50 m

10 m

10 m 50 m

b)

50 m

10 m

10 m 50 m

a) Dividimos el huerto en polgonos de los que s sabemos las frmulas de sus reas:

50 m

10 m

10 m 50 m

A1A2

A3 A4

A = A1 + A2 + A3 + A4

A1 = 40 10

2 = 200 m2

A2 = 30 20

2 = 300 m2

A3 = 40 + 30

2 40 = 1 400 m2

A4 = 40 30 = 1 200 m2

A = A1 + A2 + A3 + A4 = 200 + 300 + 1 400 + 1 200 = 3 100 m2

Pg. 2



b) Dividimos la figura en otras que se adaptan bien a su forma y de las que sabemos sus frmulas:

50 m

10 m

10 m 50 m

A1A2

A3 A4

A6A5

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6

A1 = 30 + 10

2 6 = 120 m2 A2 =

40 + 302

10 = 350 m2

A3 = pi 102 = 314 m2 A4 = 20 40 pi 202

4 = 486 m2

A5 = 402 = 1 600 m2 A6 = 40 10

2 = 200 m2

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = 120 + 350 + 314 + 486 + 1 600 + 200 = 3 070 m2

Pg. 3



PGINA 261

Resuelve problemas con el teorema de Pitgoras

47 Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de permetro.

l = 28 : 4 = 7 cm

x = 72 + 72 = 98 9,9 cm7 cm

7 cm

x

La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.

48 Halla el rea y el permetro de un rombo cuyas dia-gonales miden 42 cm y 40 cm.

l = 212 + 202 = 841 = 29 cm

P = 4 29 = 116 cm20 cm

21 c

m l

49 Los lados paralelos de un trapecio rectngulo miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su permetro y su rea.

x = 892 802 = 1 521 = 39 m

A = 30 + 1102

39 = 2 730 m2

110 m

30 m

80 m

89 mx

P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

50 Halla el rea de un tringulo equiltero de 60dam de permetro.

l = 60 : 3 = 20 dam

x = 202 102 = 300 17,32 dam

10 dam

20 damx

A = 20 17,322

= 173,2 dam2

51 Los lados de un tringulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es rectngulo, halla su rea y calcula la altura sobre el lado ms largo.

532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2

Como 532 = 452 + 282, es un tringulo rectngulo.

A = 45 282

= 630 cm2 630 = 53 ah 8 ah = 63053

11,9 cm

La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

Pg. 1



52 Halla el permetro y el rea de esta figura:

26 dm

10 dm x = 262 102 = 576 = 24 dm

A = 24 10

2 = 120 dm2

A 1/2 = pi 122

2 226,08 dm2

26 dm

10 dm

x

A 1/2 = pi 52

2 39,25 dm2

A = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2

P = 26 + 2pi 52

+ 2pi 122

79,38 dm

53 Calcula las dimensiones y el rea de cada una de las siguientes secciones de un cubo:

6 cm3 cm

3 cm

3 cm 6 cm6 cm

6 cm6 cma) b)

a) x = 32 + 32 = 18 4,24 cm

A = 4,24 6 = 25,44 cm2

P = 2 6 + 2 4,24 = 20,48 cm

x

6 cm

b) x = 62 + 32 = 45 6,71 cm

A = 6,71 6 = 40,26 cm2

P = 6,71 2 + 6 2 = 25,42 cm

x

6 cm

Pg. 2



54 Halla el permetro y el rea de esta figura:

13 m4 m

3,5 m

5 m

x = 52 42 = 9 = 3

y = 132 52 = 144 = 12

z = 122 + 3,52 = 156,25 = 12,5 m

13 m4 m

3,5 m

5 m

x

z

y

2

3

1

A = 4 3

2 = 6 m2; A =

5 122

= 30 m2; A = 3,5 12

2 = 21 m2

A = 6 + 30 + 21 = 57 m2

P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m

55 Calcula el permetro y el rea de esta figura:

18 m

8 m

8 m12 m

x = 102 + 42 = 116 10,77 m

A = 18 8 = 144 m2

A = 8 + 18

2 4 = 52 m2

A 1/2 = pi 42

2 25,12 m2

18 m

10 m

8 m

8 m

4 mx

4 m

A = A + A A 1/2 = 144 + 52 25,12 = 170,88 m2

P = 18 + 8 + 10,77 + 2pi 42

+ 12 61,33 m

Pg. 3



Problemas + (con Pitgoras)

56 Un hexgono regular est inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el rea del recinto comprendido entre ambas figuras.

a = 62 32 = 27 5,2 cm

A = 6 6 5,2

2 = 93,6 cm2

A = pi 62 113,04 cm23 cm6 cm

a

A = A A = 19,44 cm2

57 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su rea y su permetro:

a) b)

10 m60

8 mm

x x

x

x

a) x = 102 52 = 75 8,7 m

A = pi 102

360 60 10 8,7

2 8,8 m2

10 m

5 m

x

P = 2pi 10360

60 + 10 20,5 m

b) (2x)2 + x2 = 82 8 5x2 = 82 8 x 3,6 mm

A = 3,6 2 3,6 22

3,6 2 3,62

13 mm

P = 2 8 + 3,6 2 = 23,2 mm

8 mm

x x

x

x

58 Halla el rea y el permetro de la figura roja, obtenida mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.

En primer lugar, hallamos las dimensiones del trapecio issce-les que se ha obtenido: 6 cm

3 cm 3 cm

b = 62 + 62 8,49 cm; b' = 32 + 32 4,24 cm

a = 62 + 32 6,71 cm; c = b b'2

= 2,13 cm

h = a 2 c 2 = 6,712 2,132 6,36 cm

b'

bc

a h

Pg. 4



Ahora, ya podemos calcular su rea y su permetro:

A = b + b'2

h = 8,49 + 4,242

6,36 40,48 cm2

P = b + b' + 2a = 8,49 + 4,24 + 2 6,71 = 26,15 cm

59 Calcula el rea y el permetro de la figura roja:

En primer lugar, hallamos las dimensiones del rombo que se ha obtenido:

6 cm

3 cm

3 cm

d = 62 + 62 + 62 10,39 cm

d' = 62 + 62 8,49 cm

l = 62 + 32 6,71 cm

d'd

l

Ahora, ya podemos calcular su rea y su permetro:

A = d d'2

= 10,39 8,492

= 44,11 cm2

P = 4l = 4 6,71 = 26,84 cm

Pg. 5


Soluciones a Y para terminarSoluciones a Y para terminar13PGINA 262

Asocia causas y efectos

Por qu son esfricas las pompas de jabn?

Las lminas de agua jabonosa son elsticas y tien-den a reducirse todo lo que pueden. Cuando se las llena de aire (pompas), adoptan la forma esfrica porque la esfera es el cuerpo geomtrico cuya su-perficie es menor para un mismo volumen (el vo-lumen de aire que hemos insuflado es su interior).

Aqu, la lmina de jabn es plana (mnima superficie).

Hemos depositado sobre ella un hilo con los extremos anudados. Si pinchamos en su interior (punto rojo) se rompe esta parte de la lmina.

La parte exterior se contrae todo lo que puede. El hilo adopta la forma circular. Por qu? Porque el crculo es la figura plana con mayor superficie (hueco) para el mismo permetro (hilo). De este modo la lmina jabonosa exterior se contrae todo lo posible.

Explica por qu crees que, en este otro caso, el pentgono que se forma es regular:

Pg. 1


Soluciones a Y para terminarSoluciones a Y para terminar13 En los polgonos se cumple que entre todos los polgonos de n lados con el mismo

permetro, el de mayor rea es el regular (todos sus lados y ngulos son iguales).

Al igual que en el caso de la circunferencia, si tenemos un recinto con cinco palitos en la pompa de jabn, se formar un pentgono regular.

PGINA 263

Re exiona antes de actuar

Las reas que se piden a continuacin son mucho ms sencillas de lo que parecen. Se hallan con algo de imaginacin y muy pocos clculos.

1. Todos los arcos con los que se ha trazado esta figura son iguales, pertenecen a circunferencias de radio 6 m. Calcula su rea.

21 3

Las figuras (rectngulos) 1 , 2 y 3 son iguales y miden 12 m 6 m, es decir:

A = A = A = 72 m2 8 A = 3 72 = 216 m2

2. Cul es el rea de la zona comprendida entre los dos cua-drados?

(Gira el interior del crculo 45).

6 cm

6 cm

3 cm

El rea de cada tringulo es A = 3 32

= 4,5 cm2.

Por tanto, el rea pedida es A = 4 4,5 = 18 cm2.

Pg. 2


Soluciones a Y para terminarSoluciones a Y para terminar133. Halla el rea de este dibujo de un jarro. Todos los arcos estn hechos con

un radio r = 8 cm.

El rea pedida es la del cuadrado, que resulta ser de 16 cm de lado.

As, A = 162 = 256 cm2.

4. Halla el rea de toda la figura.

60

4 cm

Cada sector, al ser de 60, es una sexta parte de un crculo. Como hay 6 sectores, resulta que tenemos el crculo entero.

Por tanto: A = pi 42 = 50,3 cm2

Pg. 3


Soluciones a la AutoevaluacinSoluciones a la Autoevaluacin13PGINA 263

Sabes calcular reas de figuras planas?

1 Calcula el rea y el permetro de cada una de las siguientes guras:

a)

5 cm7 cm 12,5 cm

10 cm

b) 17 cm

12 c

m20,5 cm

c)

15 cm

22 cm

28 cm

12 c

m

d)

56 m

106 m

90 m

e) 5 cm

6 cm

4 cm

f )

16 m

11 m

g)16 c

m10 cm

120

a) A = 10 5 = 50 cm2; P = 2 7 + 2 10 = 34 cm

b) A = 20,5 + 172

12 = 225 cm2; P = 12 + 17 + 12,5 + 20,5 = 62 cm

c) A = 28 122

= 168 cm2; P = 15 + 22 + 28 = 65 cm

d) A = 90 562

= 2 520 m2; P = 56 + 106 + 90 = 252 m

e) A = 6 82

= 24 cm2; P = 5 4 = 20 cm

f ) A = 5 16 112

= 440 m2; P = 16 5 = 80 m

g) A = (pi 162 pi 102) 120360

163,36 cm2

P = 2 pi 163

+ 2 pi 103

+ 2 6 66,45 cm

2 Halla el rea de este campo:

60 m

65 m

420m

425 m

25 m

A = 25 602

+ 420 652

= 14 400 m2

Pg. 1


Soluciones a la AutoevaluacinSoluciones a la Autoevaluacin133 Halla el rea y el permetro de cada una de las cuatro

parcelas de este jardn circular de 16 m de dimetro.

Observa que las fi guras I y IV son iguales, pero colocadas de forma distinta. Lo mismo ocurre con las fi guras II y III. Ha-llaremos, por tanto, el rea y el permetro de las fi guras I y II.

16 m

8 m

2 m4 m

6 m

I II III IV

Figura I:

P = 2 pi 22

+ 2 pi 62

+ 2 pi 82

= pi (2 + 6 + 8) = 16pi 50,27 m

A = pi 22

2 + pi 8

2

2 pi 6

2

2 = pi

2 (22 + 82 62) = pi

2 32 = 16pi 50,27 m2

Figura II:

P = 2 pi 22

+ 2 pi 62

+ 2 pi 42

+ 2 pi 42

= pi (2 + 6 + 4 + 4) = 16pi 50,27 m

A = pi 62

2 pi 4

2

2 + pi 4

2

2 pi 2

2

2 = pi

2 (62 42 + 42 22) = 16pi 50,27 m2

Por tanto, todas las fi guras tienen el mismo rea (16pi m2) y el mismo permetro (16pi m).

Sabes valerte del teorema de Pitgoras para calcular reas o permetros de figuras planas?

4 Halla el rea y el permetro de las siguientes guras:

a) b)

12,5 cm

15 c

m

1,2

m

2,5 m

3,5 m

c) Un hexgono regular de 8 cm de lado.

d) Un tringulo equiltero de 2 m de lado.

a) A = 3,5 + 2,5

2 1,2 = 3,6 m2

x = 0,52 + 1,22 = 1,3 m

P = 1,3 + 2,5 + 3,5 + 1,3 = 8,6 m

0,5 m

x 1,2 m

Pg. 2


Soluciones a la AutoevaluacinSoluciones a la Autoevaluacin13b) x = 12,52 7,52 = 10 cm

A = 20 152

= 150 cm2

12,5 cm

x

7,5 cm

P = 4 12,5 = 50 cm

c) x = 82 42 6,93 cm

A = 6 8 6,932

= 166,32 cm2

P = 6 8 = 48 cm 4 cm

x 8 cm

d) x = 22 12 1,73 m

A = 2 1,732

= 1,73 m2

1 m

x 2 m

P = 3 2 = 6 m

5 El rea de esta gura es de 75 cm2. Calcula su permetro.

El rea de la fi gura es equivalente a 3 cuadrados de rea 25 cm2 cada uno:

75 cm2

x

y 25 cm2

75 cm2

= 25 cm225 cm2

Por tanto:

x = 25 = 5 cm

y = 52 + 52 7,07 cm

Hallamos ahora el permetro pedido:

P = 6 5 + 2 7,07 = 44,14 cm

Pg. 3

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